放缩法的应用技巧
放缩法的应用技巧
放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点。所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对不等式的局部进行合理的放大和缩小从而向结论转化，其难度在于放缩的合理和适度。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧从而充满思考性和挑战性。为了帮助更多的学生突破这一难点，我们从以下几个方面对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析。
一、常见的放缩方法
证题中经常用到的放缩方法法有：
1.“添舍”放缩：对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果；
2.分式放缩：分别放缩分式的分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果；
3.利用重要的不等式或结论放缩：把欲证不等式变形构造，然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩，例如均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质定理等。
4.单调性放缩：挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数，利用单调性、值域产生的不等关系进行放缩。
二、常见的放缩控制
当我们选择了正确的放缩方法后，却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控，导致放缩的过大或过小，达不到欲证的目标。那么如何控制好放缩的尺度呢？
例1．求证：
4
713121112222<++++n 分析1：不等式左边不能直接求和，我们希望通过合适的放缩后可以求和。
若采取“
)1(112- )1(1≥--=n n n ”的方法向右端放大， 则左边n n ?-+?+?+<)1(1 3212111 )2111(1-+= +-+)3121(47212)111(><-=--+n n n 很明显，放得有点大了，导致传递性失败，不等式链中断，放缩失败。那怎么办呢？ 【1】 调整放缩的“量”的大小 分析2：分析1中“放”的有点过大，因为，，放大了412 112 12?< ，，放大了18 13213 12 ?<所以可以通过调整放大的“量”来控制放缩的效果。在) 1(1 12-< n n n 分母减少了n ，我们可以把分母只减少1，即 ），（2)1111(211112 2≥+--=- +--+n n =1+])111211(21+--+n n <1+)211(21+=7 4 【2】 调整放缩的“项”的起点 分析3：分析1中从第二项开始放缩，放的最终有点大。可以调整放缩的项数，从第三项开始放缩。 证明2：左边n n ?-+?+ +<)1(1 321411 411+= +-+)3121(47147)111(<-==--+n n n 由此可见，调整成功。显然从第三项开始放缩所得的结果比从第二项开始放缩所得的结果又更小 些。以此类推，当放缩的项数越少，放缩后的结果就会越来越精细，越来越逼近目标。 除此之外，还可以调整放缩的次数，通过多次放缩的调整来达到效果；有时也可以根据欲证式子的结构特点，把相邻的项分组捆绑后进行放缩，也可以达到控制放缩合理和尺度的效果。 三、常见的问题类型 数列型不等式的一边常与求和有关，所以可以通过放缩后求和(或求和后放缩)来达到欲证的目标。下面我们通过几道典型例题来体会常见问题的处理手法。 一. 放缩与“公式法求和” 选择恰当．．的放缩方法，通过“通项”的适度．．放缩使之转化为等差或等比数列，从而求和达到简化证题的目的。 例2．1223(1)n n =?+?++?+ n 设S ，求证：2 )1(2)1(2 +<<+n s n n n 证明：因为2)1()1(++< +< ?k k k k k k ，2 1 )1(+<+<∴k k k k ∑∑==+<<∴n k n n k k S k 1 1)21 (，即2)1(2)1(2+<<+n s n n n 说明：分别利用“添舍项”和“均值不等式”把通项放缩为等差数列，然后求和得证。 例3．求证： 2! 1 !31!21!11<++++n 证明：因为,2122212)1(!1-=??≥??-=k k k k .,,2,1,2 1 !11n k k k =≤∴ - 2)21(22 11)21(12 1212121!1!31!21!1111210<-=--= ++++<++++∴--n n k n 说明：把分母适当变小，实现分式的放大，把通项放缩为等比数列，然后方便求和。 例4．已知12-=n n a ，证明： 2 31213221n a a a a a a n n n <++<-+ 证明：通项21 22121212111=--<--=+++k k k k k k a a ，2 11n a a n k k k <∑=+，不等式右边得证。 k k k k k k k k k k k a a 23121023121)22(23121) 2 12(4121)212(2212121 21211 ?-=+?->-+?-=--=-- - =--=++ 31 2)211(312)212121(312)23121(211 11->--=++-=?->∴∑∑==+n n n a a n n n k k n k k k ，不等式左边得证。 说明：不等式两端的结构特点是本题证明的突破口，利用“添舍项”把通项放缩为与 2 1 有关的形式，然后求和证明。其中不等式左边的放缩方法有数种，值得体会研究。 二. 放缩与“裂项法求和” 在例1中，不等式的左边无法求和，但通过放缩产生裂项相消的求和效果后，使问题解决。例2的右边也是利用放缩产生了裂项的效果，然后求和。下面我们再通过几道例题的证明体会裂项求和效果的运用。 例5.求证：n n n 213 1211 1)11(2<+ ++ + < -+ 证明：)2(),1(21 2 21≥--=-+< += k k k k k k k k n n n n n k n k 212)1(21)]1()23()12[(2111 <-=+-+=--+-+-+<∴∑ = )1(21 221k k k k k k k -+=++> += )11(2)11(2)]1()23()12[(211 -+=++-=-++-+->∴∑ =n n n n k n k 说明：例1分式、例5根式的放缩后裂项相消求和的处理手法是很多灵活题目的原型，值得体会。 例6.已知,1111,)31(1+-++==n n n n n a a b a 证明：31 21 ->∑=n b n k k 证明：1 3113131131331333111 3 11111111 -+-++-+=-++=- ++= +++++n n n n n n n n n n n b 13113121-++- =+n n ，（※） 1 31312++->∴n n n b （※※）31 2)3131(2)]3131()3131()3131[(21132211 ->+-+=+-+++-++-+>∴++=∑n n n b n n n n k k 说明：对通项利用“分离变量”化简至（※）处是本题的关键，根据式子中各项的符号以及分母的幂指数 决定放缩为（※※）的形式，以实现“相消”求和的效果。 例7.已知),()()1(,2)1(2 n f n f n f f +=+=求证： ∑ =<+n k k f 1 2 1 1)(1 证明：,1 )(1 )(1]1)()[(1)1(1],1)()[()1(+-=+=+∴ +=+n f n f n f n f n f n f n f n f ) 1(1 )(11)(1+- =+∴ n f n f n f ，) 1(1 )1(1])1(1)(1[])3(1)2(1[])2(1)1(1[1)(11 +- =+-+-+-=+∴∑ =n f f n f n f f f f f k f n k 由已知可得,0)(>n f ∑ ==<+∴ n k f k f 1 2 1 )1(11)(1 说明：对通项结构特点的分析，决定对已知等式的右边进行因式分解取倒数。然后再裂项、移项变形就是 很自然的想法了。 三. 放缩与“并项法求和” 例8.已知,1],)1(2[3212≥-+= --n a n n n 证明：8 7111,454<+++>m a a a m 有对任意整数 分析：通项中含有 1 11 1)1(+-+ -n n n a a ，把 ，捆绑并为一项，然后结合n 的奇偶性进行适度的放缩。 证明：当n 为奇数时，3 22 12132211212 222312222223]121121[2311----------++<--++=-++=+n n n n n n n n n n n n a a 即当n 为奇数时，)2 1 21(2311121--++<+n n n n a a ，且,24=a 当m 为偶数且m>4时： )2 1 212121(2321)11()11(11112343165454---+++++<++++=+++m m m m m a a a a a a a a = 87 412321)2 11(4123214=+<-+-m 当m 为奇数且m>4时：1+m 为偶数， 8 7 111111115454<++++<++++m m m a a a a a a a 综上可知，对于任意整数m>4，都有 8 7 11154<+++m a a a 例9.求证),2(212 11214131211N n n n n n ∈≥+>+-+++++ 分析：观察分母的变化规律，把若干项“捆绑”并为一项后进行放缩，然后求和就很容易实现欲证的目标。 证明：左边=)2 1 121121()16115110191()81716151()4131(2111n n n +-+++++++++++++++ - )2 1 2121()161161161161()81818181()4141(211n n n +++++++++++++++ > =2 1)21(212121211n n +=+++++ 个共 四．利用递推关系式放缩 利用递推关系式本身蕴含的不等关系或放缩产生的不等关系，在很多题目中可以起到很好的放缩效果。 例10.已知),2(12,311≥+≥≥-k a a a k k 求证： 2 1 11111121≤++++++n a a a 分析：根据欲证不等式的结构特点，通过递推关系式构造关于k a +1的不等式，然后实现对通项的放缩。 证明：,121+≥-k k a a 41)1(2111≥++≥+∴-a a a k k 且 1k 1122-1-1-2422211 111111+=???≥+?++?++?++= +∴ ）（a a a a a a a a k k k k k 1 k 2111+≤+∴ ）（k a 21 )2 1-1212121211n 32<=+++≤∴+n （）（）（）（左边 例11.已知12-=n n a ，证明： 3 2111132<++++n a a a 分析：通过对n a 的适度放缩产生关于n a 的不等递推关系式，然后谋求对 k a 1 的放缩，转化为熟悉的问题。 证明：112)12(22212--=-=->-=n n n n n a a ， ,3,1)2(2211 ==≥>∴ -a a n a a n n 且 323222 3211?≥???= ≥∴----n n n n n n a a a a a a a a n 时，，2)21(31-?≤∴n n a 左边32 )2 11(32])21()21(211[3112<-=++++≤ -n n 五．构造和数列后进行放缩 如果数列不等式没有直接的求和的形式，很多时候可以间接的构造和数列，然后进行放缩处理。 例12.已知 ][log 21 131212n n >+++ ，正数列{}n a 满足)2(,01 11≥+≤>=--n a n na a b a n n n 证明：)2(] [log 222≥+< n n b b a n 分析：根据已知构造关于 n a 1 的递推关系式，然后利用“累加法”把不等式的左边转化为和数列的形式。 证明：1 10--+≤ 111≥≥-∴-n n a a n n b n n a a a a a a a a n n n n n n 1 211111)11()11()11(12112211+++-+≥+-++-+-=≥∴--- 时， 02][log 21][log 21122>+=+>∴ b n b b n a n ， ][l o g 222n b b a n +< ∴ 例13. 已知函数2 1()2 f x x = +，定义数列{}n x :10x =,1()n n x f x +=,* n N ∈， 若10(2,3,4,)2k x k <≤ = ，证明:对任意*m N ∈都有:1 134m k k k x x +-- , 34 9 x = ， 当2k ≥时,102k x <≤ , ∴221 12222 1111 22(2)(2) k k k k k k k k x x x x x x x x -+----=-=++++114k k k k x x x x ---+<14k k x x --< ∴11 43 2213232112 32111 ()()4418 k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x +---+-------= ? ?? ?-<-=?--- 对* m N ?∈,1121()()()m k k m k m k m k m k k k x x x x x x x x +++-+-+-+-=-+-++- 1121m k m k m k m k k k x x x x x x ++-+-+-+≤-+-++- 342111118444m k m k k +-+--?? < +++ ??? 21111 11 ()(1)181********()1()()1182744274343414 k m k k k m k ------??=?=??- 总之，运用放缩法进行数列不等式的证明，要认真分析条件和结论的结构特征，明确方向，防止盲目放缩。同时还要多总结、多思考，多掌握一些常用的放缩技巧，以提高分析问题和解决问题的能力。 高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+ 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高得放缩技巧而充满思考性与挑战性,能全面而综合地考查学生得潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题得极好素材。这类问题得求解策略往往就是:通过多角度观察所给数列通项得结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如:; ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:; ⑷二项式放缩:,, (5)利用常用结论: Ⅰ、得放缩 : Ⅱ、得放缩(1) : (程度大) Ⅲ、得放缩(2):(程度小) Ⅳ、得放缩(3):(程度更小) Ⅴ、分式放缩还可利用真(假)分数得性质:与 记忆口诀“小者小,大者大”。解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 Ⅵ、构造函数法构造单调函数实现放缩。例:,从而实现利用函数单调性质得放缩:。 一．先求与再放缩 例1、,前n项与为S n ,求证: 例2、 , 前n项与为S n ,求证: 二．先放缩再求与 (一)放缩后裂项相消 例3.数列,,其前项与为 ,求证: (二)放缩后转化为等比数列。 例4、满足: （1）用数学归纳法证明: （2）,求证: 三、裂项放缩 例5、(1)求得值; (2)求证:、 例6、(1)求证: (2)求证: (3)求证: 例7、求证: 例8、已知,,求证:、 四、分式放缩 姐妹不等式:与 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 例9、姐妹不等式:与 也可以表示成为 与 例10、证明: 五、均值不等式放缩 例11、设求证 例12、已知函数,a>0,b>0,若,且在[0,1]上得最大值为, 求证: 六、二项式放缩 ,, 例13、设,求证、 例14、 , 试证明:、 2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：221 4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828 e ≈） 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+ 放缩法在数列不等式中的应用 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要地位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困难，找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩，消项求解 例1在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, （Ⅰ）求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; （Ⅱ）证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析：（Ⅰ）数学归纳法。 （Ⅱ）本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积，可将其放缩为等差型两项之积，通过裂项求和。 （Ⅰ）略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+，． （Ⅱ）11115612 a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+． 故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??=+-+-++- ?+?? … 111111562216412n ??= +-<+= ?+??，综上，原不等式成立． 点评： 数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。 另外，熟悉一些常用的放缩方法， 如： ),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = +-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n 高中数学方法讲解之放 缩法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。 放缩法的方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如： 4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3log 2 =<=+k k k k k （程度大） Ⅲ、 )1111(21)1)(1(11 112 2+--=+-=- 2=+++++++< c d d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立 例2.当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n ∴ 2 22 2)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ?? ????-=??? ???++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=?? ? ??? 放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。 放缩法的方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶ 利用基本不等式，如： 4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3log 2 =<=+k k k k k （程度大） Ⅲ、)1 1 11(21)1)(1(11112 2+--=+-=-< k k k k k k ； （程度小） 例1.若a , b , c , d ∈R +，求证： 21<+++++++++++< c a d d b d c c a c b b d b a a 【巧证】：记m =c a d d b d c c a c b b d b a a +++ ++++++++ ∵a , b , c , d ∈R + ∴ 1=+++++++++++++++> c b a d d b a d c c a c b a b d c b a a m 2=+++++++ 放缩法的应用技巧 放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点。 所谓放缩法就是利用不等式的传递性， 对不等 式的局部进行合理的放大和缩小从而向结论转化，其难度在于放缩的合理和适度。证明数列型不等式，因 其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧从而充满思考性和挑战性。为了帮助更多的学生突破这 一难点，我们从以下几个方面对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析。 一、 常见的放缩方法 证题中经常用到的放缩方法法有： 1?“添舍”放缩：对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果； 2.分式放缩：分别放缩分式的分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果； 3?利用重要的不等式或结论放缩： 把欲证不等式变形构造，然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩， 例如均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质定理等。 4.单调性放缩：挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数，禾U 用单调性、值域产 生的不等关系进行放缩。 二、 常见的放缩控制 分析3:分析1中从第二项开始放缩，放的最终有点大。可以调整放缩的项数，从第三项开始放缩。 由此可见，调整成功。显然从第三项开始放缩所得的结果比从第二项开始放缩所得的结果又更小 些。以此类推，当放缩的项数越少，放缩后的结果就会越来越精细，越来越逼近目标。 除此之外，还可以调整放缩的次数，通过多次放缩的调整来达到效果；有时也可以根据欲证式子 的结构特点，把相邻的项分组捆绑后进行放缩，也可以达到控制放缩合理和尺度的效果。 当我们选择了正确的放缩方法后， 却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控, 达不到欲证的目标。那么如何控制好放缩的尺度呢？ 豹 … 1 1 1 1 7 例1 ?求证： 2 2 2 1 2 3 n 4 1：不等式左边不能直接求和，我们希望通过合适的放缩后可以求和。 “ 1 导致放缩的过大或过小, 分析 若采取 则左边 n(n 1) 1 1 【1】 分析 证明 【2】 很明显, 1 12 2 3 放得有点大了, 调整放缩的“量” 2:分析1中“放” 通过调整放大的 1 减少1,即二 n 1 1 1 ：左边 <1 -(' (n 1) 1 1 (n n 2) ”的方法向右端放大, (n 1) n 导致传递性失败, 1 1 1 1 (一—)( ) 1 2 2 3 不等式链中断，放缩失败。 1 1 ( ) n 1 n 那怎么办呢？ 的大小 的有点过大，因为右 “量”来控制放缩的效果。 1 1 1 1 、/ ( (n n 1 2 n 1 n 1 、1 ) (1 1 ) (j J ) + 2 1 3 2 4 3 5 2) 调整放缩的“项”的起点 —,放大了 2 丄 -2 n ( n 1 32 1 厂，放大了 分母减少了 n(n 1) 这样放的量就少了。 1 -?)=1+2(1 1 n 1 2 1 18 所以可以 n ，我们可以把分母只 ?)<1 + ；(1 ■)=； n 1 2 2 4 证明2:左边 1 1 — 4 2 3 亠1丄(丄丄) (n 1) n 4 2 3 高考数学数列放缩法技巧全汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = + -?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n “放缩法”证明不等式的基本策略 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 例1、已知* 21().n n a n N =-∈求证： *12 231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111 .,1,2,...,,2122(21)2 3.222232 k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q 1222311111111 ...(...)(1),2322223223 n n n n a a a n n n a a a +∴ +++≥-+++=-->- *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的 值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k -，从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例2、函数f （x ）= x x 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n + )(2 1 21*1 N n n ∈-+. 证明：由f (n )= n n 414+=1- 11 11422n n >-+? 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n 2211221122112 1 ?- ++?- +?-Λ )(21 2 1)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+-Λ. 此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。 3、逐项放大或缩小 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:3511 2 <∑ =n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(2142 2+--=+-=-n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 111 222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n 高考专题 放缩法 缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。 数列及不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列及不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类及数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1 +=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 < n B 解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得： 1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列， 所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以 12-=n a n （2）)1 21 121(21)12)(12(111+--=+-== +n n n n a a b n n n ，所以 高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 1 42 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k 技巧积累:(1)??? ??+--=-< =1211212144 4412 2 2n n n n n (2)) 1(1) 1(1)1()1(212 11+--=-+=+n n n n n n n C C n n (5) n n n n 2 1121)12(21--=- (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+=???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+- =+n n n n >算数平均数可 证） 122a b +?>≥ (3)2n n ≥=> 易知恒成立，当 2)> ≥恒成立。 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n Λ (2)求证:n n 412141361161412 -<++++Λ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n ΛΛΛ (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n Λ (3)再结合 n n n -+<+22 1进行裂项,最后就可以得到答案 例3.求证: 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ 解析:一方面: 353211211215 1 31211 1 2 = + 浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧 黄荟宇 放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。 所谓放缩的技巧：即欲证B A ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使B C A ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”。 常用的放缩技巧还有：（1）若,A t A ,A t A ,0t <->+>（2） ,n 1n <-n n 2>,1n 11n ,1n ->-+-+), 0n (n n )1n (n 2>=>+<<+=+-2n 1)1n (n 11n 1n 1 ).1n n (2n 1n n 21n n 2)n 1n (2),1n (n 11n 1)1n (n 1--<=+<++=-+>--=-（3）若,R m b a +∈、、则.b m a b a ,m b a b a +<+>（4） +++<++++221211!n 1!31!211 .211n -+ （5）.n 12)n 11n 1()3121()211(1n 131211222-=--++-+-+<++++ （6）11n n 1n 11n 11n 1n 212n 11n 1<+=++++++≤+++++ 或≥+++++n 212n 11n 1 .21n 2n n 21n 21n 21==++ （7）n n n n 1n 1n 1n 131211==+++>++++ 等等。 用放缩法证明下列各题。 例1 求证：.133lg 3lg ∈求证：.1)1n (log )1n (log n n ≤+?- 证明：因为,11n ,2n >->所以,0)1n (log ,0)1n (log n n >+>-因为 4)]1n ([log ]2)1n (log )1n (log [)1n (log )1n (log 2 2n 2n n n n -=++-≤+?-［因为22n 1n <-（放 大），所以,n log )1n (log 2n 2n <-又,2n >所以x log n 是增函数］，所以 14)n (log 4)]1n ([log 2 2n 22n =<-，所以.1)1n (log )1n (log n n <+?-高中数列放缩法技巧大全
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