常见函数不等式及其关系(四个基本函数不等式家族)
最新基本初等函数经典总结
第十二讲 基本初等函数 一：教学目标 1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质； 2、理解基本初等函数的性质； 3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数 二：教学重难点 教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用； 教学难点：基本初等函数基本性质的应用 三：知识呈现 1.指数与指数函数 1).指数运算法则：（1）r s r s a a a +=； （2）()s r rs a a =； （3）()r r r ab a b =； （4）m n m n a a =； （5）m n n m a a -= （6）,||,n n a n a a n ?=??奇偶 2). 指数函数：形如(01)x y a a a =>≠且 2.1）对数的运算： 1、互化：N b N a a b log =?= 2、恒等：N a N a =log 3、换底： a b b c c a log log log = 指数函数 0
推论1 a b b a log 1log = 推论2 log log log a b a b c c ?= 推论3 log log m n a a n b b m =)0(≠m 4、N M MN a a a log log log += log log log a a a M M N N =- 5、M n M a n a log log ?= 2）对数函数： 3.幂函数 一般地，形如 a y x =（a R ∈）的函数叫做幂函数，其中 a 是常数 1)性质： (1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1, 1); 对数函 数 0
一次函数与方程和不等式的关系
一次函数与方程和不等式的关系 1．如图1，直线y=kx+b与x轴交于点A（-4，0），则当y>0时，x的取值范围是（?）A．x>-4 B．x>0 C．x<-4 D．x<0 （1）（2） 2．已知一次函数y=kx+b的图像，如图2所示，当x<0时，y的取值范围是（?）A．y>0 B．y<0 C．-2
8．对于一次函数y=2x+4，当______时，2x+4>?0；?当________?时，?2x+?4
《一次函数与一元一次不等式》习题精选
《一次函数与一元一次不等式》习题精选 知识库 1．解一元一次不等式可以看作是:当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围． 2．解关于x的不等式kx+b>mx+n可以转化为： （1）当自变量x取何值时，直线y=（k-m）x+b-n上的点在x轴的上方．或（2）求当x取何值时，直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方．（不等号为“<”时是同样的道理） 魔法师 例：用画图象的方法解不等式2x+1>3x+4 | 分析：（1）可将不等式化为-x-3>0，作出直线y=-x-3，然后观察：自变量x取何值时，图象上的点在x轴上方 或（2）画出直线y=2x+1与y=3x+4，然后观察：对于哪些x的值，直线y=2x+1上的点在直线y=3x+4上相应的点的上方 解：方法（1）原不等式为：-x-3>0，在直角坐标系中画出函数y=-x-3?的图象（图1）．从图象可以看出，当x<-3时这条直线上的点在x轴上方，即这时y=-x-3>0，因此不等式的解集是x<-3． 方法（2）把原不等式的两边看着是两个一次函数，?在同一坐标系中画出直线y=2x+1与y=3x+4（图2），从图象上可以看出它们的交点的横坐标是x=-3，因此当x<-3时，对于同一个x的值，直线y=2x+1上的点在直线y=3x+4?上相应点的上方，此时有2x+1>3x+4，因此不等式的解集是x<-3． (1) (2) 演兵场 ☆我能选 》
1．直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是（） A．x>1 B．x≥1 C．x<1 D．x≤1 2．已知直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0），则关于x的不等式2x+k<0?的解集是（） A．x>-2 B．x≥-2 C．x<-2 D．x≤-2 3．已知关于x的不等式ax+1>0（a≠0）的解集是x<1，则直线y=ax+1与x 轴的交点是（） A．（0，1） B．（-1，0） C．（0，-1） D．（1，0） ☆我能填 4．当自变量x的值满足____________时，直线y=-x+2上的点在x轴下方． ： 5．已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点（2，0），则不等式x-2≥-x+2?的解集是________． 6．直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是________，则不等式-3x+9>12?的解集是________． 7．已知关于x的不等式kx-2>0（k≠0）的解集是x>-3，则直线y=-kx+2与x?轴的交点是__________． 8．已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3?的交点坐标是_________． ☆我能答 9．某单位需要用车，?准备和一个体车主或一国有出租公司其中的一家签订合同，设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y元，付给出租车公司的月租费是y元，y，y分别与x之间的函数关系图象是如图11-3-4所示的两条直线，?观察图象，回答下列问题： （1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的出租车合算 （2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同 < （3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，?那么这个单位租哪家的车合算 10．在同一坐标系中画出一次函数y 1=-x+1与y 2 =2x-2的图象，并根据图象 回答下列问题： （1）写出直线y 1=-x+1与y 2 =2x-2的交点P的坐标． （2）直接写出：当x取何值时y 1>y 2 ；y 1 六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）； α 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 集合不等式函数测试试卷 （： 120 分分：120分） 班姓名分 一．（本大共10 小；每小 4 分，共 40 分. 在每小出的四个中，只有 一是符合目要求的） 1．集合 {1,2, 3}的真子集共有（） A、 5 个 B、 6 个 C、 7 个 D、 8 个 2．中的阴影表示的集合是（） A ．A C u B B．B C u A A B C．C u( A B) D．C u( A B) U 3. 以下五个写法中：①｛0｝∈｛ 0,1,2｝；②｛1,2｝；③｛ 0,1,2 ｝＝｛ 2,0,1 ｝；④0 ； ⑤ A A ，正确的个数有（） A ．1 个B． 2 个C．3 个D． 4 个 4．已知y f x 是定义在 R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) ① y f x ② y f x ③ y xf x ④ y f x x A．①③B．②③C．①④D．②④ 5．函数y x 4 ）| x | 的定域（ 5 A．{ x | x 5} B．{ x | x 4} C．{ x | 4 x 5} D. x x 4且x 5 6．若函数f (x) x 1, ( x 0) ， f ( 3) 的（）f ( x 2), ( x 0) A ．5 B．－ 1 C．－ 7 D ．2 7．已知函数y f x ， x a,b ，那么集合 x, y y f x , x a,b x, y x 2 中元素的个数?（） A ． 1B． 0C． 1 或 0D． 1 或 2 8．已知函数 f (x) 的定域 [ a, b] ，函数 y f (x) 的象如甲所示，函数y f ( x ) 的象是乙中的() 精心整理 一次函数与一元一次不等式训练题及答案 一、选择题（共10 小题；共30 分） 1.如图，以两条直线，的交点坐标为解的方程组是 A. B. C. D. 2.将一次函数的图象向上平移个单位，平移后，若，则的取值范围是?() A. B.4 C. D. 3.如图所示，函数和的图象相交于，两点．当时，的取值范围是 A. B. C. D.或 4.一次函数的图象如图所示，则方程的解为?() A. B. C. D. 5.如图，直线是函数的图象．若点满足，且，则点的坐标可能是?()． A. B. C. D. 6.如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解 集是 ?() A. B. C. D. 7.用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示）， 则所解的二元一次方程组是 ?()． A. B. C. D. 8.已知函数，，的图象交于一点，则值为?() A. B. C. D. 精心整理 A. B. C. D. 10.已知关于的一次函数在上的函数值总是正的，则的取值范围是 A. B. C. D.以上答案都不对 二、填空题（共 5 小题；共15 分） 11.如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得方程组的解是?． 12.一次函数与的图象如图，则的解集是?． 13.如图，已知函数与函数的图象交于点，则不等式的解集是?． 14.方程组的解是则直线和的交点坐标是?． 15.观察函数的图象，根据图所提供的信息填空： （ 1）当?时，； （ 2）当?时，； （ 3）当?时，； （ 4）当?时，． 三、解答题（共 5 小题；共55 分） 16.如图，函数和的图象相交于点， （1）求点的坐标； （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 17.已知一次函数的图象过点，，求函数表达式并画出它的图象，再利用图象求： （ 1）当为何值时，，，； （ 2）当时，的取值范围； （ 3）当时，的取值范围． 18.甲、乙两地相距，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地 的距离与时间之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的函数关系．根据图象，解答下列问题： （1）线段表示轿车在途中停留了 ? ； （2）求线段对应的函数解析式； （3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车． 19.如图，直线经过点，． （ 1）求直线的解析式； （ 2）若直线与直线相交于点，求点的坐标； （ 3）根据图象，写出关于的不等式的解集． 20.如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运 动． （ 1）求直线的解析式． （ 2）求的面积． 11.3.2 一次函数与一次不等式 教学目标 理解一次函数与一元一次不等式的关系，会根据一次函数的图象解决一元一次不等式的求解问题； 学习用函数的观点看待不等式的方法，初步形成用全面的观点处理局部问题的思想； 经历不等式与函数关系问题的探究过程；学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想。 教学重点 一次函数与一元一次不等式的关系的理解 教学难点 一次函数图象确定一元一次不等式的解集。 教学过程 I 提出问题，引入新课 通过上节课的学习，我们已经知道，“解一元一次方程0 = ax” +b 与“求当x为何值时，b =的值为0”是同一个问题，现在我们来 ax y+ 看看： （1）以下两个问题是不是同一个问题？ ①解不等式：0 x - 2> 4 ②当为何值时，函数4 y的值大于0？ =x 2- （2）你如何利用图象来说明②？ （3）“解不等式0 x”可以与怎样的一次函数问题是同一的？怎 - 2> 4 样在图象上加以说明？ II 1.根据下列一次函数的图象，你能求出哪些不等式解集？并直接写出 （1 (对每一题都能写出四种情况（大于0，小于0，大于等于0，小于等于0），让学生在充分理解的基础和写出对应的x的取值范围，先小组内交流，然后反馈矫正。) 解： （1）（略） （2）由图象可以得出： 3 x；0 x； > +的解集是3 x-< < 3 x-> +的解集是3 x-≤ 3 ≥ x +的解集是3 x；0 ≤ 3 x-≥ +的解集是3 例2 P41例题 解法1： 分析：将不等式转化为一般形式，再画出对应的一次函数的图象，就是我们已会的求解了． 解法2： 分析： (1)如果不将原不等式转化，能否用图象法解决呢? (2)不等式两边都是一次函数的表达式，因而实际上是比较两个一次函数在x取相同值时谁大的问题． (3)如何在图象上比较两个一次函数的大小呢? (4)如何确定不等式的解集呢? 1 集合不等式知识点整理 一． 集合及其表示法 1、我们把_能确切指定的一些对象的全体_叫做集合。集合中各个对象叫做__元素_，他们的特征是：①__确定性__②__互异性__③__无序性__. 2、数的集合简称数集，我们把常用的数集用特定的字母表示： 全体自然数的集合，记作_N _，不包括零的自然数组成的集合，记作_* N _； 全体整数组成的集合，记作_Z _； 全体有理数组成的集合，记作_Q _； 全体实数组成的集合，记作_R _. 正整数集，负整数集，正有理数集，负有理数集，正实数集，负实数集分别表示为_,,,,,Z Z Q Q R R +-+-+-_ 3、我们把含有有限个数的集合叫做__有限集_，含有无限个元素的集合叫做_无限集_. 我们引进空集，规定空集_不含有任何元素_，记作__ φ __. 4、集合的表示方法有：_列举法、描述法、文氏图_. 5、元素与集合之间应用__,∈?_ 二． 集合之间的关系 1、对于两个集合A 和B ，如果__A 中的任意元素也都是B 中的元素___，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作_A B ?_，数学的表达式是_,x A x B ?∈∈__. 2、如果__A 是B 的子集，B 也是A 的子集__，那么叫做集合A 和集合B 相等，记作__A B =_ 【用来证明两个集合相等的方法】 3、对于两个集合，如果__A 是B 的子集且B 中至少有一个元素不属于A _，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作 A B ? ，数学的表达式是_,x A x B ?∈∈且,b B b A ?∈?_. 4、 数集*,,,,N N R Q Z 之间的关系是_*N N Z Q R ????_. 5、空集是任何集合的_子集__，是任何非空集合的_真子集__.【任何涉及到子集和真子集问题，要考虑空集！】 6、若集合是有限集，元素有n 个，则这个集合的子集有___2n _个，真子集有__21n -___ 数学是科学的大门和钥匙--培根 数学是最宝贵的研究精神之一--华罗庚 一次函数与一元一次不等式（基础） 责编：杜少波 【学习目标】 1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观 地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想． 2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题． 【要点梳理】 【高清课堂：393614 一次函数与一元一次不等式，知识要点】 要点一、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 要点二、一元一次方程与一元一次不等式 我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 要点三、如何确定两个不等式的大小关系 ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集?y ax b =+的函数值大于y cx d =+的 函数值时的自变量x 取值范围?直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围． 【典型例题】 类型一、一次函数与一元一次不等式 1、如图，直线y kx b =+交坐标轴于A （－3，0）、B （0，5）两点，则不等式kx b --＜0的解集为（ ） A ．x ＞－3 B ．x ＜－3 C ．x ＞3 D ．x ＜ 3 【思路点拨】kx b --＜0即kx b +＞0，图象在x 轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式kx b +＞0的解集. 13.3 一次函数与一次方程、一次不等式 ◆知识概述 1、通过简单的实例发现并了解一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系． 2、通过用函数观点处理方程（组）与不等式问题，体验用函数观点认识问题和处理问题的意义和方法，进一步体验数与形的相互联系的紧密性和相互转化的灵活性． 3、任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y＝ax＋b确定它与x轴的交点的横坐标的值. 4、任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围. 5、一次函数y＝kx＋b与一元一次方程kx＋b＝0和一元一次不等式的关系：函数y＝kx＋b的图象在x轴上方点所对应的自变量x的值，即为不等式kx＋b>0的解集；在x轴上所对应的点的自变量的值即为方程kx＋b＝0的解；在x轴下方所对应的点的自变量的值即为不等式kx＋b<0的解集. ◆典型例题 例1、若正比例函数y＝（1－2m）x的图象经过点A（x，y）和点B（x，y），当x＜x时，y＞1211212 ＞．m＜ 0C＜mO B．m＞．mD），则ym的取值范围是（ A．2答案：D．例2、一次函数y＝kx＋b的自变量x的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，则这个函数的解读式为____________. 分析： 本题分两种情况讨论：①当k＞0时，y随x的增大而增大，则有：当x＝－3，y＝－5；当x ＝6中可得b ＋，把它们代入y＝－2y＝kx时，＝x－y∴∴函 数解读式为4． 1 / 7 ②当k 初等函数的基本不等式 安徽省潜山二中 一. 初等函数的基本不等式 1. 三角、反三角型不等式 (1) 335111sin min{,},0;66120 x x x x x x x x - ≤≤-+≥ (2) 2 2 2 sin (0);2 4 1(1)x x x x x π π π ≥ ≥ ≤≤ +- 22sin (0);111163 x x x x x x x π≤ ≤≤≤≤++ (3) 224 1111cos 1;2224 x x x x -≤≤-+ (4) 22 111- cos ,0;221x x x x π≤≤≤≤+ (5) 2 32 23arctan ,32113 x x x x x x x x ≤≤≤≤+++0;x ≥ 2 arctan ,01;41(1)x x x x π ≤ ≤≤+- .0,4 1arctan 2 2 ≥+ ≤ x x x x π （5）的证明: .0,1arctan 3 2 ≥+≤ x x x x 设=)(x f ,0,1arctan 3 2 ≥+- x x x x 0.132>+=x m 则 2 2 -3 2 23 '24222321(1)113()(1)(2)/0,13(1) x x x f x m m m x x +-+=-=--+≤++ ,0)0()(=≤f x f 不等式得证！(其余部分证明类似, 此略) 2. 对数型不等式 (1) 23 5111ln (1)(1),0;1221511(1)26 x x x x x x x x x x x x x - ≤≤+≤≤≤+-≤≥++++ (2) 2111 (1)ln (1),0;1212112 x x x x x x x x x x x +-≤≤+≤≤-≤<+++ (3) 对数平均不等式11 3312 ()()().2ln ln 63 x y x y xy x y xy x y +-<<++- (4).2 ln 1ln ln }ln 1),max{ln( y x y x y y x x xy y x ++≤--≤++ 或写成.2 )(1},max{1 y x y x e xy e y x y x y x +≤≤+- (4)中的 )ln(ln ln y x y x y y x x +≥-- 的证明： 不等式即,)(1 y y x y x y x x y x y x y x y x y y x x y x y x ?-+?-≥?+≥---由赫尔德不等式 （或加权算数 -几何平均不等式，...)得证. 显然利用它得到 ,01 2) 1ln()1(ln ≥----x x x x x 由此可见函数)1ln()(ln )(x x x f -?=在 ]21,0(上单调增，在)1,2 1 (上单调减. 后一结果，一般称为指数平均不等式. 3. 指数数型不等式 (1) 21...(1,0;0,);2!! m x x x e x m x x m m ≥++++≥≥<或为奇数 (2) ).,0(! ...!212为偶数m x m x x x e m x ≤++++≤ (3) 2 (1),0(0,1 ).x e ex x x x ≥+-≥=取等号 (3)可推广为1 2 [(1)()], 1.x t e e e x t x t x t -≥-++-≥- 4. 幂不等式 集合、不等式、函数练习题 1．已知集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =?，则m 的值为 （ ） A ．1 B ．—1 C ．1或—1 D ．1或—1或0 2．．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}集合B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ?A ，则实数m 的取 A ．(－∞，3] B ．(0,3] C ．[3，＋∞) D ．(－3,0) 3．如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ） A 、 ()M P S B 、 ()M P S C 、 ()u M P C S D 、 ()u M P C S 4．设{}022=+-=q px x x A ，{}05)2(62=++++=q x p x x B ，若? ?? ???=21B A ，则=B A （ ） （A ）??????-4,31 ,21 （B ）??????-4,21 （C ）??????31,21 (D)? ?????21 5．函数2x y -=的定义域为（ ） A 、(],2-∞ B 、(],1-∞ C 、11,,222????-∞ ? ????? D 、11,,222????-∞ ? ?? ??? 6.不等式3≤|5－2x |<9的解集是 A ．(－∞, －2)∪(7, +∞) B .[1, 4] C .[－2, 1]∪[4, 7] D .(－2, 1]∪[4, 7) 7.若不等式x >ax +2 3的解集为(4, b )，则a , b 的值分别为 A ．36, 81 B .81, 36 C .41, 9 D .9, 4 1 8.设? ??<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 9.设2 2 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +≤-??=-< 一次函数与方程、不等式专项练习60题（有答案）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（） A．x=2 B．y=2 C．x=﹣1 D．y=﹣1 2．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（） A． x＜B．x＜3 C． x＞ D．x＞3 3．如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集是（） A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜1 4．已知一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式a（x﹣1）﹣b ＞0的解集为（） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞1 D．x＜1 5．如图，直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为（1，2），则使y1＜y2的x的取值范围为（） A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜2 6．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集为（） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞2 D．x＜2 7．如图，直线y=kx+b经过点A（﹣1，﹣2）和点B（﹣2，0），直线y=2x过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集为（） A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜﹣1 C．﹣2＜x＜0 D．﹣1＜x＜0 8．已知整数x满足﹣5≤x≤5，y1=x+1，y2=﹣2x+4，对任意一个x，m都取y1，y2中的较小值，则m的最大值是（）A．1B．2C．24 D．﹣9 9．如图，直线y1=与y2=﹣x+3相交于点A，若y1＜y2，那么（） A．x＞2 B．x＜2 C．x＞1 D．x＜1 10．一次函数y=3x+9的图象经过（﹣，1），则方程3x+9=1的解为x=_________． 11．如图，已知直线y=ax+b，则方程ax+b=1的解x=_________． 12．如图，一次函数y=ax+b的图象经过A，B两点，则关于x的方程ax+b=0的解是_________． 13．已知直线与x轴、y轴交于不同的两点A和B，S△AOB≤4，则b的取值范围是_________． 一次函数与一元一次不等式（提高） 【学习目标】 1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想． 2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题． 【要点梳理】 要点一、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数 的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范 围. 要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度 看，就是为何值时，函数的值大于0.从“形”的角度看，确定直线 在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 要点二、一元一次方程与一元一次不等式 我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 要点三、如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐 标范围． 【典型例题】 类型一、一次函数与一元一次不等式 1、已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与轴交于点（2，0），则关于的不等式＞0的解集为（） A．＜－1 B．＞－1 C．＞1 D．＜1 【答案】A； 【解析】∵一次函数的图象过第一、二、四象限，∴＞0，＜0，把（2，0）代入解析式得：0＝2＋， 解得：＝－2，∵＞0， ∴， ∴－1＜， ∴＜－1， 【总结升华】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的关系，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式等的理解和掌握，能根据一次函数的性质得出、的正负，并正确地解不等式是解此题的关键． 举一反三： 【变式】如图，直线与坐标轴的两个交点分别为A（2，0）和B（0，－3），则不 等式＋3≥0的解集是（） A．≥0 B．≤0 C．≥2 D．≤2 【答案】A； 提示：从图象上知，直线的函数值随的增大而增大，与轴的交点 为B（0，－3），即当＝0时，＝－3，所以当≥0时，函数值≥－3． 2、（2015?武汉模拟）已知：一次函数y=kx+b中，当自变量x=3时，函数值y=5；当x=﹣4时，y=﹣9． （1）求这个一次函数解析式； （2）解关于x的不等式kx+b≤7的解集． 【思路点拨】（1）把两组对应值分别代入y=kx+b得到关于k、b的方法组，然后解方程组求出k和b，从而可确定一次函数解析式；（2）解一元一次不等式2x﹣1≤7即可． 【答案与解析】 解：（1）根据题意得，解得， 所以一次函数解析式为y=2x﹣1； （2）解2x﹣1≤7得x≤4． 【总结升华】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 举一反三： 【变式】（2015春?成武县期末）如图，直线y=kx+b经过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，（1）求直线y=kx+b的表达式； 高职单招数学集合不等式函数试 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 数学周末练习《集合》 刘素卿 2015.6.13 1.,{|32}.{|32}.{|32}.{|32}.{|32} U U R A x x C A A x x x B x x x x x x D x x x ==-≤<= ≤-≥≤-><-><-≥设全集集合，则 或 或 C 或 或 2．已知集合{1,1}M =-，{1,2}N =，则M N U 等于 (A){1} (B){1,1}- (C){1,2} (D){1,1,2}- 3.己知全集U={}8,7,6,5,4,3,2,1 ，{}5,4,3=A ，{}6,3,1=B ，则集合{}8,7,2是（ ） A. B A ? B. B A ? C . B C A C U U ? D. B C A C U U ? D 4.设集合A ＝{}x|－2＜x ＜3，B ＝{}x|x ＞1，则集合A ∩B 等于 A.{}x|x ＞－2 B. {}x|－2＜x ＜3 C.{}x|x ＞1 C. {}x|1＜x ＜3 5.集合A ＝{} 3|≤x x ，则下面式子正确的是 （ ） A ．2∈A B ．2?A C ．2?A D ．{}?2 A 6.设2:3,:230p x q x x =--=，则下面表述正确的是 （ ） A ．p 是q 的充分条件，但p 不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但p 不是q 的充分条件 C ．p 是q 的充要条件 D ．p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件 7．若集合{}{}|13,|2A x x B x x =<≤=>，则A B I 等于 (A) {}|1x x > (B) {}|3x x ≤ (C) {}|23x x <≤ (D){}|12x x << (A)0 (B) 1 (C)2 (D)3 8．集合{1,2,3}的子集共有 个 9．满足条件{1,2}{1,2,3}M ??的集合M 的个数为 一次函数与方程（或不等式）结合的问题 一般地，一次函数中，令是一元一次方程，它的根就是的图象与x轴交点的横坐标，一元一次不等式（或）可以看作是取正值（或负值）的特殊情况，其解集可以看作相应的自变量x的取值范围。两直线的交点坐标，就是由这两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解。下面举例说明。 例1. 在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图1所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是__________，从点燃到燃尽所 用的时间分别是_________； （2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式； （3）燃烧多长时间，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高在什么时间内，甲蜡烛比乙蜡烛低 析解：（1）由图1知，燃烧前两根蜡烛的高度分别为30厘米、25厘米；燃尽所用的时间分别是2小时、小时。（2）设甲蜡烛燃烧时，y与x之间的函数关系式为。由图1可知，函数的图象过点 （2，0），（0，30），所以，解得 所以甲蜡烛燃烧时y与x的关系式为：；同理乙蜡烛燃烧时y与x的关系式为。 （3）由题意得，解得。 ； 所以，当燃烧1小时的时候，甲、乙两根蜡烛的高度相等。观察图象知当时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当时，甲蜡烛比乙蜡烛低。 说明：本题是一次函数与二元一次方程的结合，利用图象的信息，提供数据解决问题。 例2. 某零件制造车间有工人20名，已知每人每天可以制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，在这20人中，车间每天安排x人制 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持年级八年级课题一次函数与一元一次不等式课型新授教学媒体多媒体 教学目标知识 技能 1．认识一元一次不等式与一次函数问题的转化关系 2．学会用图象求解不等式 3．进一步理解数形结合思想 过程 方法 1．培养提高从不同方向思考问题的能力 2．经历不等式与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待问题情感 态度 积极参与活动，形成合作交流的意识及独立思考的习惯 教学重点1．理解一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系。2．掌握用图象求解不等式的方法 教学难点图象法求解不等式中自变量取值范围的确定 教学过程设计 教学程序及教学内容师生行为设计意图一、情境引入 问题1：解不等式5x+6>3x+10 问题2：当自变量x为何值时，函数y=2x-4的值大于0 思考：以上两个问题是同一个问题吗？ 是否能用一次函数图象说明以上问题呢？ 二、自主探究 1．画出函数y=2x-4的图象，能否解决问题2 2．由以上问题，你能否说出一次函数与一次不等式之间有何关系？ 三、课堂训练 例1：用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10 学生独立完成问题1 中的不等式可转化为 2x-4>0解得x>2 问题2可转化为 2x-4>0，x>2时函数 y=2x-4的值大于0， 因此为同一的问题 学生尝试画图 教师引导学生观察图 象，可以看出当x>2 时，直线上的点全在 x轴的上方，即x>2 时y=2x-4>0，由此可 发现，通过函数图象 可以求不等式的解集 小组内讨论，并发表 意见 师生共同归纳 由于任何一元一次不 等式都可转化为 ax+b>0或axkb<0(a， b为常数，a≠0)的形 式，所以解一元一次 不等式可看成：当一 次函数值大于（或小 于）0时，求自变量 相应的取值范围 目的是让学生向 一次函数方向联 想 让学生明确解决 问题应从变化与 对应的观点考虑 通过这一活动动 指数函数及其性质 一、指数与指数幂的运算 （一）根式的概念 1、如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． 2 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． 3、根式的性质 ：n a =；当n 为奇数时 ， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． 2 、正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 (a ≠0) a -p = 1/a p (a ≠0；p ∈N *) 4、指数幂的运算性质 (0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。 二、指数函数的概念 一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：○ 1 指数函数的定义是一个形式定义； ○ 2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1． 高中数学常用公式及常用结论（集合&不等式&函数） 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21(完整版)六大基本初等函数图像及其性质
集合不等式函数测试试卷.doc
(完整版)一次函数与一元一次不等式训练题及答案.docx
一次函数与一次不等式教案
集合不等式知识点整理(答案)
一次函数与一元一次不等式(基础)知识讲解
一次函数与一次方程一次不等式
初等函数的基本不等式(1)
集合、不等式、函数练习题
一次函数与方程不等式专项练习60题(有答案)
一次函数与一元一次不等式(提高)知识讲解
高职单招数学集合不等式函数试
一次函数与方程(或不等式)结合的问题
一次函数与一元一次不等式教案
(完整版)基本初等函数知识点
数学公式(集合&不等式&函数)
- 中职数学试卷：集合不等式函数及基本初等函数(带答案)
- 初等函数的基本不等式(1)
- 六大基本初等函数图像与性质
- 基本初等函数(整理)
- 基本初等函数(整理)
- 基本初等函数(整理)
- (完整word)六大基本初等函数图像及其性质
- 常见基本初等函数极限
- 六大基本初等函数图像及性质
- 基本初等函数知识点总结
- 初等函数常用公式
- (完整版)基本初等函数知识点及函数的基本性质
- (完整word版)六大基本初等函数图像与性质
- (整理)基本初等函数总复习
- 基本初等函数经典复习题+答案
- (完整word版)六大基本初等函数图像及其性质
- 基本初等函数经典总结
- 基本初等函数知识点归纳
- (完整版)基本初等函数知识点
- 基本初等函数复习题(含答案)