论文：数学中的类比法
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毕业论文论文题目浅论数学中的类比法
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摘要 (3)
英文摘要 (4)
第一章类比分类 (5)
1.1 数学思想的类比 (5)
1.2 结构形式的类比 (5)
1.3 概念类比 (5)
1.4 方法类比 (6)
1.5 升降维类比 (6)
1.6 特殊与一般的类比 (7)
第二章类比的运用 (7)
第三章类比的作用 (9)
3.1创设类比情景,激发学习兴趣 (9)
3.2类比思想方法,温故知新 (9)
3.3通过类比联想,启发解题思路 (10)
3.4利用类比方法,发展创新思维 (10)
第四章运用类比推理应注意的几个问题 (10)
第五章总结与展望 (11)
参考文献 (12)
致谢 (13)
浅论数学中的类比法
摘要
波利亚说:“类比是一个伟大的引路人.”可以说,类比是探索问题、解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法.在数学中,类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段,也是开拓新领域和创造数学新分支的重要途径.
类比法是在两个或两类事物间进行对比，找出一些相同或相似点后,猜测在其他方面也可能存在相同或相似之处，并做出某种判断的推理方法，类比法（Method of analogy）也叫“比较类推法”。随着课程改革的深入展开,培养学生的综合解题能力越来越重要,数学学习更应重视数学思想方法的渗透和培养。类比思想是一种重要的数学思想方法。类比可以使学生经历探究的学习过程,改变学生的学习方式;类比能培养学生直觉思维能力,是一种很重要的思维方法;类比可以增强学生的数学应用意识,提高解决问题的能力。类比法的一般模式为：类事物具有性质类事物具有性质所以，类事物可能具有性质在教学中，适当对学生进行类比法的训练，这也是培养学生创造性思维的一种方法。不过，对类比法得到的结论，要提醒学生养成想想是否正确的习惯，学会用实例进行检验，以提高学生判断问题的能力。
关键词：推理；解题法；类比法；思维；创造性；检验
Shallow the analogy method teaching of mathematics
Abstract
BoLiYa said: "analogy is a great guide." say that analogy is to explore the problems and solutions to the problems and discover new results of a fruitful thinking methods. In mathematics, analogy is found concept, methods, theorem and the important method, also is formula explore new fields and creating new mathematics branch of important ways.
Anology is in two or two things, find some comparison between the same or similar points, guess in other respects may also exists identical or similar, and make a judgment reasoning Method, the Method of analogy (of analogy) also called "of comparative analogy". With the deepening of the reform of course on problem solving, to cultivate students the comprehensive ability more and more important, learning mathematics mathematical way of thinking more should attach importance to the penetration and develop. Analogical thought is an important mathematical thinking methods. Analogy so that students can experience exploring learning process, change student's study way; Analogy can train students' intuition thinking ability, is a kind of very important thinking methods; Analogy can enhance student's mathematics application consciousness and improve the ability to solve problems. The general mode of analogy method for: things with properties with properties things such things might have, therefore, in the teaching, proper nature of the training students' analogy method, this also is to cultivate students creative thinking of a kind of method. But, for the analogy method, the conclusions to remind students form the habit of right think whether, learn to use the example for inspection, to improve the students' judgment question ability.
Keywords: reasoning; Problem-solving method; The analogy method; Thinking; Creative; inspection
浅谈数学中的类比法
类比法（Method of analogy）也叫“比较类推法”，它作为一种推理的方法,指的是根据两种事物在某些特征上的“相似”,作出它们在其他特征上也可能“相似”的判断。类比法在初中数学范围内应用极其广泛, 是发现概念、方法、公式和定理的重要手段并能以此开创新领域、新分支。在数学学习中会起到事半功倍的效果。类比法是初中重要的教学方法,数学中的许多定理、公式和法则是通过类比得到的,在解题中寻找问题的线索,往往也借助于类比方法,从而达到启发思路的目的。,以类比法在初中数学教学中的应用为主题进行探讨。下面就数学教学中的类比法问题谈点粗浅的看法。
第一章类比分类
1.1数学思想的类比
类比和对比这两种方法是相辅相成的，都是通过新旧知识的相互联系，利用已有的旧知识，揭示新知识的本质。
正方形的性质列成表格进行知识结构类比,进一步明确它们之间的关系. 边平行四边形矩形菱形正方形对边平行且相等对边平行且相等四边都相等四边都相等角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分互相平分且相等互相平分且垂直互相平分,相等且垂直通过上面的表格,对平行四边形,矩形,菱形,正方形从边,角,对角线三个方面进行类比,指出它们之间的相同之处,同时也理解它们之间的不同之处,从知识结构的角度来把握特殊四边形的性质,构建知识的体系与网络. 数学知识之间存在着紧密的联系,类比成为知识联系的纽带.通过横向类比既加强了知识间的对比,同时又鲜明地展示了知识的获取过程,形成清晰的知识脉络。
1.3概念类比
理解本质辨异同。概念类比, 数学概念是数学思维的细胞, 是形成数学知识体系的要素, 是基础知识的核心内容。在初中数学教学中,数学概念的教学是重要的一环,对于概念本质的理解是学生学习数学的一个难点,如何有效的进行突破呢?进行概念的类比教学不失为一种有效的途径与方法。在初中数学学习中有大量的概念,如果孤立地去理解与记忆这些概念,会成为学生学习的一个负担,但从概念的定义形式上看,有一部分概念的定义形式是相似的,通过这些概念之间的类比,进一步理解概念的本质.例如: 三角形,四边形,多
形。由在同一平面且不在同一条直线上的四条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做四边形. 由在同一平面且不在同一直线上的多条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做多边形. 从概念的定义形式上来看,是对一类图形条件的限制,形式上是一致的,不同之处,一是三角形定义中没有"在同一平面",二是组成线段条数,其他都是相一致的.通过这样的类比,学生能从一个新的角度与高度对这三个概念进行认识与理解, 进一步理解概念的本质。
在回顾与拓展中设置了一个学生"跳一跳"能解决的问题:4 a 的含义,a 的取值, 读法分别是什么呢? 生 1:四次方根,生 2:算术四次方根…… 学生对 4 a 的读法,写法,含义,a 的取值都能进行明确的回答与分析,这样的知识拓展,显然是教师采用概念形成类比的结果,开启了学生思维的大门,找到了学习新知的有效方法与途径. 数学概念是数学知识的基础.学生对数学概念的形成过程,同化过程,就决定了对数学概念掌握的程度.只有理解数学概念,剖析概念,抓住概念的本质,才能举一反三,触类旁通。
在几何教学中，在讲解相似三角形判定定理可类比全等三角形得到，全等形与相似形的关系：全等三角形是相似三角形，当相似比值K＝l时的特例，全等与相似条件的比较：(1)两角相等——两三角形相似
两角相等，夹边相等——两三角形全等；
(2)两边成比例、夹角相等——两三角形相似
两边相等，夹角相等——两三角形全等；
(3)三边对应成比例——两三角形相似
三边对应相等——两三角形全等。
此外，在多项式除法与多位数除法，因式分解与质因数分解：开立方与开平方，中心对称与轴对称；分比定理与合并定理；扇形面积公式与三角形面积公式等等，都可以通过类比和对比进行教学，这种数学方法的教学，学生在学习过程中能较轻松地接受新知识，在实践中也证明，这种类比和对比的数学方法，学生掌握的知识扎实，理解也较好。当然，类比和对比只能用来帮助我们建立猜想，作为研究问题的线索。
1.4方法类比
在教学《中心对称和中心对称图形》时,可以将它和《轴对称和轴对称图形》放在一起进行类比教学。为了弄清“中心对称与中心对称图形的区别和联系”也可以先提问题“轴对称与轴对称图形的区别和联系”让学生在横向上有一个类比。甚至在教学“中心对称作图”时也可类比“轴对称作图”,只要将“垂直、延长、相等”改成“连接、延长、相等”。这样,通过对两个类比对象各个方面的比较,学生就很容易接受新知识,真正是“温故而知新”,起到了一箭双雕的效果。
再例如:初一数学合并同类项的教学，计算:1+2=3；-1+(-2)=-3；1+(-2)=-1；a+2a=3a；-a+(-2a)=-3a； a+(-2a)=-a；a2b+2a2b=3a2b；-a2b+(-2a2b)=-3a2b ；a2b+(-2a2b)=-a2b 这样可以通过简单的计算方法类比出合并同类项的方法(只把同类项的系数相加,字母部分不变)。
1.5升降维类比
将平面（二维）中的对象升级到空间（三维）中的对象，这种类比方法称之为升维类比。从平面到立体是典型的升维类比,立体几何中不少定理结论也可以溯源于平面几何的某些定理结论。将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，此种类比方法即为降维类比。
从构成几何体的元素数目类比看，三角形由3条线围成，它是平面内最少的基本元素围成的封闭图形，空间中最少4个面围成四面体，即四面体是最少空间基本元素（平面）围成的封闭几何体，平面中两三角形的面积之比，根据类比的理念，在空间应是体积之比。平面角类比二面角。降维类比常表现为特殊化。平面图形与立体图形只是维度不同的几何
常可抓住几何要素的如下对应关系对比：
线---面，面----边，体积----面积，二面角----平面角，面积----线段长等。
1.6特殊与一般的类比
所谓类比推理,是指通过两个(或两类)对象的一些相同(或相似)属性的比较,从而推出它们的某些其他属性也相同(或相似)的一种逻辑方法。
类比对象类比属性
甲ABCD
乙ABC
所以,乙对象可能具有属性D.
这是从特殊到特殊的一种推理形式,以两个对象之间的类似为基础的,但所推出的结论未必可靠,仅是一种“似真”的结果,带有猜测的性质.
例如学生在学习不等式的加减移项法则时,应用等式的加减移项法则作为类比就比较容易理解这些问题。但这种类比却又容易造成以后乘除移项的失误,有些学生根据“同向不等式可以相加”、“正数的同向不等式可以相乘”,根据类比推理得出“同向不等式可以相减”、“正数的同向不等式可以相除”这样的错误结论来.
尽管类比的结果不一定正确,还必须经过严格的证明,但是通过类比联想可以发现新的数学知识,可以找到解决问题的方法和途径,可以培养学生的发散思维,创造性思维及合情推理能力.所以,类比推理在数学中虽然不是证明方法,但却是一种重要的数学发现法,是提出假设进行猜想的基础,是各种创造性思维形式的基本要素.
第二章类比的运用
类比是一种从个别到个别，或从一般到一般的推理，运用类比法的关键是找合适的类比对象，并确定它们之间的相似属性。因此有人说，类比就是在两个或两类事物间“求同存异”的过程。故从某种意义上讲，类比是一种相似或相同，相似或相同的属性越多，运用类比法就越可靠。在我们中学教学过程中，经常在数与形式之间，平面与立体之间，低次与高次之间，相等与不相等之间进行种种类比，将复杂问题简单化，并从简单问题的解决中得到解决复杂问题的方法。下面我就平面与立体间类比为例探讨一下类比法。
例如：空间的四面体与平面上的三角形，有一致之处；四面体是空间中最少的平面围成的几何体，而三角形是由平面上最少的直线围成的图形，是相似的，它们具有类比关系。因此我们可以根据三角形的有关概念、性质类比推出四面体的相应概念、性质。如：
正三角形等四面体
三角形内切圆四面体内切球
三角形外接圆四面体外接球
三角形三心重合等四面体三心重合
类比的基础是事物之间的相似性或是一致性.只有两个对象有某个方面的相似性,就可以类比,它包括形式上的相似,结构上的相似,内容上的相似等等.
解决立体几何通常有两种思路: (1)转化为平面几何问题;(2)寻找一个与平面几何相似的对象,通过类比法求解.通过分析此题转成平面几何显然不容易,于是,设法寻找平面几何中的类比对象.由平面几何与立体几何的类比知识知道,与四面体相似的平面几何对象是三角形。
例如：在学习分式这章时，关键是要用与分数类比的方法导出分式概念，分式基本性质与分式的四则运算法则，这样新知识易为学生接受与掌握，具体操作如下：
首先，复习小学学过的分数概念：两数相除，可以表示成分数的形式.如3÷4=34
,(-7)÷2=72
- ,5÷(-9)= 59- ， 一个分数由分子、分母和分数线构成，分子、分母都是数，但分母不能是零，为什么分母不能为零呢?因为零不能做除数，分数有正分数、负分数，如果分子等于零，只要分母不是零(不论是正数还是负数)，这个分数的值就是零。把分数的概念引伸到代数式来，如 这两个式子有什么特点?(1)分式由分子、分母与分数线构成；(2)分母中含有字母，这就是分式，这样就很自然地引入了分式的概念，接着，指出分数与分式的区别所在：分数与分式形式相同，但分式中的分子、分母均为整式，且分母是含有字母的整式。其次，在讲分式的基本性质时，先复习分数的基本性质，推想分式的基本性质，我们来看如何做不同分母的分数的加法：1223+ ，这里先将异分母化为同分母，1223+=1*32*22*33*2+=1466+56
，这是根据什么呢?根据分数的基本性质：分数的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的数，分数的值不变，分式是一般化了的分数，因此，分式应该有T T A B
+，这里，A 、B 、C 是整式，由分数的基本性质应该想到化分母为相同,所以，分式的分母应为AB,T T A B
+= **()**T B T A T A B A B B A AB
++=。因此，分式的基本性质是分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。
将分式知识点的讲解与已学过的分数进行类比教学，不仅让学生复习了旧知，同时也更容易让学生快速的接受新知，使教学起到事半功倍的效果。
分式的四则运算顺序也可以类比分数进行，先做括号内的运算，然后再进行乘除运算，最后进行加减运算，这个顺序和步骤正是分式四则混合运算的顺序和步骤。概括地说是：“先乘除，后加减、括号内先进行”。
圆台,圆柱,圆锥这一知识点中有比较多的公式,是一个难点.这三者之间的知识本质。 通过类比,学生就产生了一种豁然开朗的感觉. 首先让学生了解圆台,圆柱,圆锥之间的关系,以圆台为基础,圆锥可以是看着圆台的上底面缩小为一个点形成的,而圆柱就是上下两个底面大小一样的圆台.在 这个基础之上,对于这三个几何体的侧面积公式就可以有一个重新的认识.这三个侧面积公式分别为 S 圆台侧面积=π(R+r)l, S 圆锥侧面积=πRl, S 圆柱侧面积=2πRh,事实上通过 公式的类比,我们可以发现这三个公式在本质上是一样的,圆锥,圆柱的侧面积公式都是圆台侧面积的特殊情况,即当 r=0 时，就成了圆锥的侧面积公式,当 R=r 时成 为了圆柱的侧面积公式.通过公式中数学本质的类比,进一步理清公式之间的关系, 使知识成为一个纵向的知识链条,构建一个纵向的网络结构,提高了学习的效率。 在解决数学问题时，解题方法的类比也十分实用。例如：设函数3
2()331
x f x x x =-+ ，则123(0)()()()...(1)_101102103
f f f f f +++++= ；A.51 ; B.52 ; C.101 ; D.102 。【分析】本题是求函数值的和问题，把它与数列求和进行类比，观察各函数值中自变量的特点，联想到等差数列求和的方法是：12132n n n a a a a a a --+=+=+，对于本题，我们可以先将()f x 进
行恒等变形。因为333()(1)x f x x x =-+ ，所以3
33(1)(1)(1)
x f x x x --=+-，()(1)1f x f x +-=，而1100299398505101 (101101101101101101101101)
+=+=+=+==+，因此，原式=1*51=51，选A 。 升降维类比在数学解题中的应用也十分的广泛，使复杂问题简单化。看下面这个问题：在平面上，若两个正三角形的边长的比为1:2，则它们的面积比为1:4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1:2，则它们的体积之比为＿＿。【分析】因为两个正三角形是相似三角形，所以它们的面积之比是相似比的平方。同理，两个正四面体是两个相似的几何体，体积之比为相似比的立方。所以它们的体积比为1:8.本题也可以从边长、面积、体积的单位入手，例如：边长单位为m ，则体积单位为㎡，体积单位为m 3，所以面积之比是边长之比的平方，体积之比是边长之比的立方。
一般与特殊的转化当面临的数学问题由一般情况难以解决,可以从特殊情况来解决,反之亦然,这种方法在选择, 填空题中非常适用. 例:设等比数列{an}的公比为q,前n 项和为n s , 若12,,n n n s s s ++成等差数列,则q=___________. 【分析】由于该题为填空题,我们不防用特殊情况来求q 的值.将问题转化，不妨假设为: 213,,s s s 成等差,求q 的值。 这样就避免了一般性的复杂运算. (略解)
第三章 类比法的作用
随着课程改革的深入展开,培养学生的综合解题能力越来越重要,数学学习更应重视数学思想方法的渗透和培养。类比思想是一种重要的数学思想方法。类比可以使学生经历探究的学习过程,改变学生的学习方式;类比能培养学生直觉思维能力,是一种很重要的思维方法;类比可以增强学生的数学应用意识,提高解决问题的能力。类比法的作用是“由此及彼”。如果把“此”看作是前提，“彼”看作是结论，那么类比思维的过程就是一个推理过程。古典类比法认为，如果我们在比较过程中发现被比较的对象有越来越多的共同点，并且知道其中一个对象有某种情况而另一个对象还没有发现这个情况，这时候人们头脑就有理由进行类推，由此认定另一对象也应有这个情况。现代类比法认为，类比之所以能够“由此及彼”，之间经过了一个归纳和演绎程序即：从已知的某个或某些对象具有某情况，经过归纳得出某类所有对象都具有这情况，然后再经过一个演绎得出另一个对象也具有这个情况。现代类比法是“类推”。
3.1创设类比情景,激发学习兴趣
由于类比是从特殊到特殊的一种猜测、推理,从一个已知的领域去探索另一个领域.这正符合学生的好奇、去了解陌生世界的心理,也可以极大地激发出学生的兴趣,从而主动地探索、研究新的知识.
3.2类比思想方法,温故知新
类比法在中学数学学习中有着重要的作用，它是学习知识、系统掌握知识和巩固知识的有效方法。当我们学习新知识，掌握新知识时，通过类比又可以将这些知识有机地联系起来。如二次曲线学习中，将椭圆与双曲线相应的概念，性质作类比，可使之系统化。类比法在解题中可以启发我们的思维，正如伟大哲学家康德所说：“每当理智缺乏可靠理论的思路时，类比这个方法往往可以指引我们前进。”故此，类比法可以说是我们中学数学
解题的引路人。类比是从旧知识推出新知识的一种思考方法,也是人们联想的思维工具.知识之间存在着思想方法等联系,可以通过让学生利用旧知的类比,大胆猜测,从而探索新知.
例如在学习三棱锥的体积时,教师应引导学生与三角形的面积进行类比:因为三角形的底边长对应三棱锥的底面积S,三角形底边上的高对应三棱锥的底面S上的高h,而二维空间里的三角形的面积公式为S=12ah,所以由类比方法推测,三维空间里的三棱锥的体积应为V=13hS;在证明三角形面积公式时可以把三角形补成一个平行四边形,三角形的面积是平行四边形的面积的一半,而类似地,要求三棱锥的体积,应把它补成一个三棱柱,然后再分割成三个等体积的三棱锥,这就是课本上的方法——如果我们教师运用类比的方法引导学生进行思考,那么他们对这种方法的理解就会毫无困难.
3.3通过类比联想,启发解题思路
教师教学生,不能是简单地讲解知识,不能仅满足于让学生模仿性地解题,更要让学生学会数学的基本思想,分析问题的能力、迁移解题的能力.采用类比联想,能使学生通过举一反三、触类旁通,迅速地掌握数学的基本知识和技能。
”.引导大家回忆起定积分中求曲边梯形例如面对思考题:“证明半球的体积为3
23R
的面积,步骤为“无限分割-以直代曲-求和-取极限”,核心为“以直代曲”.通过类比、探讨后,得出了分割半球的多种方法:①底面与圆面平行的若干圆柱;②底面与圆面垂直的若干小半圆柱;③圆锥.
3.4利用类比方法,发展创新思维
在解决数学问题的过程中,虽然问题情境发生了根本性的变化,两个对象在表面上毫无共同之处,但通过以发散的思维来分析问题形式,创造条件,使两者存在共同点,这种类比不是一种简单的模仿,而是一种创造性,这对数学教学中培养学生的创新能力和创造性思维能力有着极其重要的作用.
例如有这样的一个问题曾难倒了大部分学生:“求证:正四面体A-BCD内的任意一点P到各个面的距离之和等于常数”.其实只要与平面几何的问题进行类比:“求证:等边三角形内的任意一点P到三角形的三边的距离之和等于常数”.由于平面几何中该命题的证明采用的是“面积法”,类似地,这个立体几何问题可采用“体积法”,于是问题迎刃而解.
其一类比思维:是解答数学题的基本方法。类比思维包括两方面的含义:(1)联想,即由新信息引起的对已有知识的回忆;(2)类比,在新、旧信息间找相似和相异的地方,即异中求同或同中求异。通过类比思维,在类比中联想,从而升华思维,既有模仿又有创新。其二类比联想:是指对一件事物的认识引起对和该事物在形态。
事实上,当我们遇到一个较为生疏的难题而又无从下手的时候,如果能构造一个类似的熟悉问题,从这个熟悉问题的解答过程中得到启发,那么就很有可能悟出原问题的解法。
第四章运用类比推理应注意的几个问题
第一,要善于观察事物的特点。注意从不同事物身上发现它们的共同或相似之处,并追究造成这种共同或相似的原因。要大胆放宽眼界,做到不受自己的研究对象和学科的限制。
第二,类比通常与归纳、演绎综合运用,相互融合，协调发展。另外它也离不开分析、观察、猜想。探索性演绎法通常是靠猜想与联想、直觉等心智运动串联起来的,因此必须自觉掌握创造性思维等特征,并运用到实际工作中去。
第三,要善于联想。从一种事物联想到与它性质相似的其他事物;从一种方式方法联想到与其作用类似的其他方式方法;从一个概念或定理联想到与它关系比较密切的一串概念
第四,强调数学的严密性。类比法本质是发现的方法,而非严格的推理,它在科学探索过程中走了捷径。学生容易接受和喜欢这种方法,自觉和不自觉地进行类比,但其结论有时不一定可靠。因此，要对通过类比推出的结论要给以证明。同时要对学生中不正确的类比及时给予纠正,防止知识的负迁移,形成正确的知识体系。
第五,不能将两个或两类本质不同的事物,按其表面的相似来机械地加以比较而得出某种结论,否则就要犯机械类比的错误。
只有我们意识到类比的教育教学价值,通过类比的教学方法去展示数学的知识,才能让学生拓展视野,以极大的热情去研究、学习数学,认识到数学世界的和谐统一,才能真正实现学生由“学会”到“会学”的转化。在此，对作为教育工作中的指导者的教师就提出了要求，不仅要有扎实的基本知识体系，同时还要具有严谨的教学思想和负责的态度。
第五章 总结与展望
在自然科学发展史上，无论古代、近代，还是现代，类比在科学发现中是一种被普遍应用的方法。类比方法的应用是随着科学思维水平的提高而不断发展的。这种发展具体表现在：从简单到复杂，从静态到动态，从定性到定量的发展。
近代的科学发展使人们认识到，单靠某一事物与已知事物之间的简单的静态的性质类比，那是很不充分的，还需要从事物性质的量上进行研究，这就需要把定性类比和定量类比结合起来，例如，欧姆把电流的传导同傅利叶的热传导定理相类比。在热传导中，温差(ΔT)，热量(Q)和物体的比热(c) 有协变关系，它的数学模式为：Q ＝cm(ΔT) 。欧姆把热量和温差的协变关系通过类比推移到电流传导上去，电流(I)同热量(Q)相当；电压(U)同温差(ΔT)相当；而电导(1／R)同热容量(cm)相当，从量上考察协变关系，电传导的数学模式为：I=U ?1/R 。这里所运用的就是定性类比和定量类比相结合的方法。
通过以上探讨数学中的类比法，我发现：在中学学习的几个几何图形的面积公式，它们有相似之处。以三角形为参考对象，三角形的面积是：12
底×高。设底边为a,高为h ，则三角形面积为12ah 。再看扇形的面积公式：12
lR ，类比三角形面积，将弧长l 看作其底，半径R 看作其高，即扇形面积也可以看成：12
底×高;试想，当l R π=时，图形变为半圆。面积为211*22
R R R ππ=,即半圆的面积。那么，圆的面积也可由此推出 （2l R π=时，面积为2212*2R R ππ=），这时可以将底面看作圆的周长，即21(2)2
R R R ππ==12底×高。再来看梯形的面积公式：1()2
a b h +（a 与b 分别为梯形的上下两底，h 为高），同样也可以按照三角形面积公式来记忆，12
底×高，只是这里将上下两底统一看成了梯形的底。 这样看来平面几何图形的面积公式似乎可以类比三角形面积公式来写，但是是所有的几何图形都可以吗？这个问题需要进一步的研究和证明。不过，通过类比，有助于记忆和发散人的思维是毋庸置疑的。
参考文献
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致谢
感谢我的导师老师，他严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样；他循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪。老师平日里工作繁多，但在我做毕业设计的每个阶段，从选题到查阅资料，论文提纲的确定，中期论文的修改，后期论文格式调整等各个环节中都给予了我悉心的指导。除了敬佩老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作。
最后还要感谢所有的数学系老师，是在他们的教诲下，我喜欢上了数学，掌握了坚实的专业知识基础，为我以后的扬帆远航注入了动力。
同时也真诚的感谢所有帮助过我的同学和朋友。
浅谈数学归纳法
浅谈数学归纳法 国良 井冈山大学数理学院邮编：343009 指导老师：艳华 [摘要]用数学归纳法证明数学问题时，要注意它的两个步骤缺一不可，第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的依据，也是证明的关键和难点，两个步骤各司其职，互相配合.数学归纳法经历无数数学的潜心研究与科学家们的利用，是数学归纳法得以发展和它为数学问题与科学问题的发现做出了极大的贡献。学好归纳法是科学问题研究的最基础的知识. [关键词]理论依据；数学归纳法；表现形式 1 数学归纳法的萌芽和发展过程 数学归纳法思想萌芽可以说长生于古希腊时代。欧几里德在证明素数有无穷多多个时，使用了反证法，通过反设“假设有有限多个”，使问题变成“有限”的命题，其中证明里隐含着：若有n个素数，就必然存在第n+1个素数，因而自然推出素数有无限多个，这是一种是图用有限处理无限的做法，是人们通过过有限和无限的最初尝试。 欧几里德之后直到16世纪，在意大利数学家莫洛克斯的《算术》一书中明确提出一个“递归推理”原则，并用它证明了1+2+3+…+（2n-1）=2n,对任何自然数n都成立。不过他并没有对这原则做出清晰的表述。 对数学归纳法首次作出明确而清晰阐述的是法国数学家和物理学家帕斯卡，他发现了一种被后来成为“帕斯卡三角形”的数表。他在研究证明有关这个“算术三角形”的一些命题时，最先准确而清晰的指出了证明过程且只需的两个步骤，称之为第一条引理和第二条引理：
第一条引理 该命题对于第一底（即(n=1)成立，这是显然的。 第二条引理 如果该命题对任意底（对任意n ）成立，它必对其下一底（对n+1）也成立。 由此可得，该命题对所有n 值成立。 因此，在数学史上，认为帕斯卡是数学归纳法的创建人，因其所提出的两个引理从本质上讲就是数学归纳法的两个步骤，在他的著作《论算术三角形》中对此作了详尽的论述。 帕斯卡的思想论述十一例子来述归纳法的，而在他的时代还未建立表示一般自然数的符号。直至十七世纪，瑞士数学家J 。伯努利提出表示任意自然熟的符号之后，在他的《猜度术》一书中，才给出并使用了现代形式的数学归纳法。由此，数学归纳法开始得到世人的承认并得到数学界日益广泛的应用。十九世纪，意大利数学家皮亚若建立自然数的公理体系时，提出归纳公理，为数学归纳法奠定了理论基础。即：对于正整数N +的子集M ，如果满足：①1∈M;②若a ∈M ，则a+1∈M ；则M=N +. 2 数学归纳法的表现形式 2.1 第一数学归纳法 原理1：设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果 （1）当00()n n n N +=∈时，()P n 成立； （2）假设0(,)n k k n k N +=≥∈时命题成立,由此推得n=k+1时，()P n 也成立； 那么，对一切正整数n 0n ≥,()P n 成立。 证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令S 表示使该命题不成立的正整数作成的集合，那么S ≠?，于是由最小数原理，S 中有最小数a ,
数学中的归纳类比(填空)
数学中的归纳类比 1．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点 ()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --??--?????=+--? ? ???????????--?????=+- ? ??????? ，． ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案第2012棵树种植点 的坐标应为______________． 2．根据下面一组等式： 1234561,235,45615,7891034,111213141565,161718192021111, s s s s s s ==+==++==+++==++++==+++++= ………… 可得13521n s s s s -+++???+=__________． 3．对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”： 1 3 7 22 32 42 3 5 9 1 7 25 23 3 33 9 43 27 5 11 29 仿此，若3 m 的“分裂”中最小的数是211，则m 的值为________． 4．已知实数数列{}n a 中，1a =1，6a =32，2 12 n n n a a a ++=，把数列{}n a 的各项排成如右图的三角形状。记(,)A m n 为第m 行从左起第n 个数，则若()50 (,),2A m n A n m ?=，则m n +=________． 5.观察下列各式：2 2 1,3,a b a b +=+=3 3 4 4 5 5 4,7,11,a b a b a b +=+=+=L 则1010 a b += A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a ? ? ?
数学中的类比法
数学中的类比法 摘要 类比是数学学习中经常用到的一种推理方法.它是发现概念、定理、公式的重要手段，也是发现问题、探索问题、解决问题的重要方法.本文主要研究了：将平面几何的一些定理推广到空间几何中、将代数中的集合运算与概率事件中的运算进行类比、从有限到无限的类比、降次类比、降元类比等.这有助于我们借助类比对象间的“类比关系”更清晰的认识两个相似体系间的内在联系，逐渐养成发散思维能力和创新意识，通过类比还可以降低问题解决的难度. 关键词：类比；降维类比；降次类比；几何.
The analogy method in mathematics Abstract:Analogy is a reasoning method is often used in mathematics learning. In mathematics, analogy is an important means of found concept, theorem, formula, and found the problem, explore the problems, the important way to solve the paper mainly studied: some of plane geometry theorem is generalized to space geometry; Collection of the algebraic operations with probability event in operations analogy; From limited to unlimited analogy; Drop analogy; Yuan analogy, etc. This will help us with the analogy between objects "analogy" more clear understanding of the intrinsic relationship between two similar system, and gradually form a divergent thinking ability and innovation consciousness, through the analogy can also reduce the difficulty of problem solving. Keywords: analogy, dimension reduction, fall time analogy, geometric analogy
数学中的归纳与类比
数学中的归纳与类比
数学教学中的归纳与类比 摘要：数学教师要想有所发现、有所创造并培养出有创新能力的学生, 就要认真研究数学发现中的规律, 研究数学的思想方法，只有掌握了正确的数学思想方法, 才能学得深刻, 理解得透彻, 才能用学到的知识解决实际问题。 关键词教学归纳类比 学习数学史, 看看数学家们实际的工作, 我们会发现, 和其他自然科学一样, 数学家们的科学研究工作也是从观察和实验开始, 通过归纳和类比, 经历失败和挫折, 终于领悟而发现一条规律, 做出一个证明的。伟大的数学家拉普拉斯曾经说过, “甚至在数学里, 发现真理的主要工具也是归纳和类比。”而开普列是说到“我珍惜类比胜于任何别的东西, 它是我最可信赖的老师, 它能揭示自然界的秘密, 在几何学中它应该是最不容忽视的。”欧拉, 这位十八世纪里领袖的数学家和带头的物理学家, 也正是一位用归纳和类比方法的大师,他曾经用正确的归纳和大胆的类比做出了很多惊人的著名的数学发现。 本文通过一些教学中的例子，来说明归纳与类比的重要性。 1、归纳 所谓归纳, 作为数学思想方法, 是指通过对特例的分析去引出普遍的结论，主要是通过实验、观察、分析从而归纳出结论, 有时得到的结论不一定是正确的, 要求对归纳出的结论进行严格的证明。具体过程是:归纳(不完全) ——猜想——完全归纳(数学归纳法证明) 。数学归纳法是应用范围相当广泛的论证方法, 其基本形式是: 为了证明与参数n 有关的命题对一切自然数成立, 首先验证归纳基础, 其次提出归纳假设, 最后完成归纳过渡, 从而得到结论对一切自然数成立。归纳包括：枚举归纳、、类比归纳、实验归纳、统计与模式归纳。 1.1 枚举归纳 枚举归纳法是从枚举一类事物中的若干分子具有某种性质得出这类事物的
类比推理在数学教学实践中的应用研究
类比推理在数学教学实践中的应用研究
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类比推理在数学教学实践中的应用研究-中学数学论文 类比推理在数学教学实践中的应用研究 山西运城临猗县临晋中学林晓娜 类比推理是人们认识客观对象的推理模式之一，是通过对已有知识的了解，在学习相关知识的过程中，将已知知识转移到对新知识的理解上，通过这种比对方式找出规律，从而获得新知识的掌握。 一、类比推理在教学中的作用 学习数学与学习其他知识的过程都是一样的，需要寻找出学习知识的思路。演绎推理就是建立完善的思维体系，通过合理推理进行总结、类比来证明思路的过程。成功的演绎推理不注重结果，而注重验证结果的推理过程。类比推理中最重要的就是学习验证结论的过程，现阶段我国学生普遍缺少解决问题及找出问题的原因的能力，通过类比推理的思路学习，可以帮助学生培养其判断成因、预测结果的能力，而这正是学习类比推理思路的意义所在。在新课改的推动下，高中数学教材当中加入了推理与证明的知识内容，教学中运用类比推理思路有着十分深远的意义。 二、类比推理在教学中的应用现状 类比推理有助于提高学生的思维能力，通过对目前高中数学课堂的观察来看，大多数教师在教学时只注重类比推理的形式，却没有关注到类比推理在培养学生创新能力、创新意识中的作用，学生学习类比推理知识题通常以应付考试的念头居多。类比推理结论的正确与否将直接影响学生试卷上的分数,教师通过大量的时间来教授类比推理，这对于学生而言不一定正确，类比推理的结论存在也使得学生同样需要花费时间去验证，教师认为太过强调类比推理教学将不利于学生应
初中数学论文：浅谈中学数学解题的类比法
数学：浅谈中学数学解题的类比法 【摘要】类比法是在两个或两类事物间进行对比，找出一些相同或相似点儿后，猜测在其他方面也可能存在相同或相似之处，并作出某种判断的推理方法。它的一般模式为：类事物具有性质类事物具有性质所以类事物可能具有性质。 我们中学数学的解题法有许多种，我主要探讨一下类比法。类比法是根据两个或两类事物在某些属性上都相同或相似，而推出它们在其他属性上也相同或相似的推理方法，它们的一般模式为：类事物具有性质所以类事物可能具有性质。 因此，类比是一种从个别到个别，或从一般到一般的推理，运用类比法的关键是找合适的类比对象，并确定它们之间的相似属性。因此有人说，类比就是在两个或两类事物间“求同存异”的过程。故从某种意义上讲，类比是一种相似或相同，相似或相同的属性越多，运用类比法就越可靠。在我们中学教学过程中，经常在数与形式之间，平面与立体之间，低次与高次之间，相等与不相等之间进行种种类比，将复杂问题简单化，并从简单问题的解决中得到解决复杂问题的方法。下面我就平面与立体间类比为例探讨一下类比法。 例如：空间的四面体与平面上的三角形，有一致之处；四面体是空间中最少的平面围成的几何体，而三角形是由平面上最少的直线围成的图形，是相似的，它们具有类比关系。因此我们可以根据三角形的有关概念、性质类比推出四面体的相应概念、性质。如： 正三角形等四面体 三角形内切圆四面体内切球 三角形外接圆四面体外接球 三角形三心重合等四面题三心重合 类比的基础是事物之间的相似性或是一致性。只有两个对象有某个方面的相似性，就可以类比，它包括形式上的相似，结构上的相似，内容上的相似等等。 例如：设是四面体四个面上的高，为四面体内任意一点，到相应四面体的距离分别为，求证：。 类比分析： 解决立体几何通常有两种思路：(1)转化为平面几何问题;(2)寻找一个与平面几何相似的对象，通过类比法求解。通过分析此题转成平面几何显然不容易，于是，设法寻找平面几何中的类比对象。由平面几何与立体几何的类比知识知道，与四面体相似的平面几何对象是三角形。故可转为平面几何上问题：设是三角形三边的高，是三角形内任意一点，到相应三边距离为。求证，通过类比平面几何问题的解法，可得到原问题的解 类比法在中学数学学习中有着重要的作用，它是学习知识、系统掌握知识和巩固知识的有效方法。当我们学习新知识，掌握新知识时，通过类比又可以将这些知识有机地联系起来。如二次曲线学习中，将椭圆与双曲相应的概念，性质作类比，可使之系统化。类比法在解题中可以启发我们的思维，正如伟大哲学家康德所说：“每当理智缺乏可靠理论的思路时，类比这个方法往往可以指引我们前进。”故此，类比法可以说是我们中学数学解题的引路人。
浅谈数学归纳法在高考中的应用
1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++?????? =?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递 归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发
类比法
类比法 （一）什么叫类比法 类比法是一种从个别到个别（或从特殊到特殊）的推理方法．它是在甲、乙两个（或两类）事物之间进行对比，从它们的某些类似或相同（相异）的属性出发，根据甲具有某一种属性，推出乙可能也有与之类似或相同（相异）的另一属性． 在数学中，类比法推理的基本公式是： 因为，对象A有属性a、b、c，对象B有属性a′、b′（a′，b′分别与a、b相同或类似），所以，对象B也可能有属性 c ′（c ′与c相同或类似）． 由于类比推理把人们对甲类事物的认识推移（推广）到对乙类事物的认识，扩大了认识领域，所以，类比是从旧知识推出新知识的一种思考方法，是启发人们联想的思维工具，是创造性思维的一种形式． （二）类比法在立体几何中的应用 类比法在立体几何中主要有下列三方面的应用： 1．学习新知识 学习立体几何教材，最基本的方法之一是与平面几何类比． 学习立体几何时，对出现的新问题与平面几何的有关知识进行类比，大胆猜想，可以发现新知识，从而达到温故而知新． 首先要选好类比对象．例如，选三角形与三棱锥．这是因为，在平面上，用直线围成的封闭图形中，三角形所用的直线条数最少；在空间中，用平面围成的封闭图形中，四面体所用的平面个数最少，所以，三棱锥与三角形可以类比． 例1 如何用类比法学习三棱锥的体积公式． 【解】用类比法学习三棱锥的体积公式可分下列两步进行： （1）类比发现三棱锥的体积公式
如图1-17，因为三角形的底边长a 对应三棱锥的底面积S ，三角形的底边a 上的高h 对应三棱锥的底面S 上的高H ，三角形的面积公式A= （2）类比发现三棱锥体积公式的证法 证明三角形的面积公式是用割补法，即把三角形补成一个平行四边形，易得三角形的面积是平行四边形的面积之半．类似地，证明三棱锥的体积公式，应先把它补成一个三棱柱，然后再分割成三个等积的三棱锥（参看高中课本《立体几何》）． 2．发现新定理和编制新命题 科学家开普勒（Kepler ）说：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的．” 在立体几何中，类比法是发现新定理和编制新命题的一个主要工具． 例2 把直三面角（即三个面角都是直角）与直角三角形类比，对直角三角形的勾股定理，你能发现直三面角有什么新定理？ 【解】如图1-18，在Rt △ACB 与直三面角P-ABC 中，Rt △ACB 的两条直角边长a 、b 对应直三面角P-ABC 的三个直角三角形PAB 、PBC 、PAC 的面积S △PAB 、S △PBC 、S △PAC ，Rt △ACB 的斜边长c 对应直三面角P-ABC 的△ABC 的面积S △ABC ，因此，与 直角三角形的
类比思想在中学数学中地指导应用
数学专业毕业论文 类比思想在中学数学中的应用
类比思想在中学数学中的应用 前言 大数学家拉普拉斯曾经说过：“在数学的王国里，发现真理的主要工具就是归纳和类比。”所谓类比法，是通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或相类似之处，推出它们在其它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想以至形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法．利用类比法，可使我们的思维能力、观察能力得到良好的锻炼。 中学数学中的概念，公式，性质以及在解题中类比思想无处不在，通过类比可以探索出很多新的知识、方法，寻求出与众不同的解题思路，探索数学规律。由于类比是从特殊到特殊的一种猜测、推理，从一个已知的领域去探索另一个领域，而这正符合学生的好奇、去了解陌生世界的心理。这样可以极激发出学生的兴趣，让学生去主动地探索、研究新的知识。 除此之外，类比就是一种大胆的合理的推理，它是创新的一种手段。因为有了类比，在研究一个问题时，学生将跳出一定的框架，不受现有知识的约束，根据其中的思想方法、表现形式等去利用其他的知识、方法来大胆提出设想、来找到具有创新性的解题方法。 伟大的德国古典哲学家康德也曾经说过：每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比，这个方法往往能指引我们前进在数学教学中，类比作为一种信息转移的桥梁，不仅是一种良好的学习方法，能使学生巩固旧知识掌握新知识；而且是一种理智的解题策略，能使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题形象化。 古语云：授人以鱼，只供一饭；授人以渔，则终身受用无穷。学知识，更要学方法。类比思想是富于创造性的一种方法,它既是一种逻辑方法，也是一种科学研究的方法，是最重要的数学思想方法之一，在中学学数学中有着广泛的应用。
类比法在数学中的应用
类比法在数学中的应用 类比是一切理解和思维的基础，作为一种逻辑方法，它在教学中有广泛的应用。在数学教学中应用类比法，可以帮助学生理解、鉴别各种概念、性质、定理、公式、题型等，达到正确认识，确定行之有效的解题策略的目的；这样既可以加强“双基”，又有利于培养学生良好的思维品质。 所谓“类比教学”，就是对有联系的知识进行归类比较，帮助学生找出知识之间的相同点、相似点和不同点，达到掌握知识的目的。在学习过程中，当新旧知识彼此相似而又不完全相同时，对原先知识又是一知半解，掌握不好时，新旧知识必然会混淆不清，应用时难免错漏百出，若不及时加以排解，势必影响其他章节的学习。因此，数学教学中，只有通过反复地归类比较，指出知识间的异同，帮助学生认识数学的本来面目，并加深印象，才能学好数学。 类比教学法既能从纵向找到新旧知识间的关系和区别，又能从横向找到有关知识的联系和区别，所以，在数学教学中应用类比方法进行教学与复习，就有着不可替代的作用，笔者在教学实践中的深刻体会是： 一、数学解题中多用类比法，讲解要少而精 教师对类比教学法在思想上要有正确的认识。在初中数学教学中，许多老师由于求胜心切，搞题海战术，题目讲得多而广，满堂灌，但都是为讲解而讲解，匆匆忙忙，往往收效甚微。如果在数学解题中多用类比法，讲解少而精，必定取得事半功倍的效果。正如奥苏伯尔所刘：“教育工作者向来强调学习广度的重要性，而把它与学习的深度对应，实际上如果在两者之间作出选择，我们宁愿少而精的知识，不愿要多而囫囵吞枣，少些但巩固的知识既有用又可以迁移，大量混淆不清的知识是完全无用的。” 二、运用类比法教学，要有针对性 类比教学中类比材料要有针对性，要从学生作业或试卷中的常见错误及缺漏中取得信息并寻求类比的典型材料。另外，课文的许多有内在联系，貌似实异，似是而非的知识都特别注意加以类比，寻求并分析各自的特点，掌握各知识在解题中的正确运用，避免张冠李戴，达到教与学的最佳效果。类比教学中我们要多掌握些实用的类比方法并灵活加以运用。常见的教学类比方法有：（一）因果类比法，是根据类比的两个对象各自的属性之间可能具有的一种因果关系而进行的一种推理方法。 （二）结构类比法。由于结构上极其相似，而将待证问题的条件或结论类比已知公式，进行适当代换，从而使问题获得解决的方法。
小学数学教学中的类比迁移法
小学数学教学中的类比迁移法 成都大学师范学院（610106）冯德雄李璐杨肖摘要：类比迁移法降低了认知结构建立的系数，在数学教学中有广泛的应用。本文探讨小学数学教学中如何应用类比迁移法，分析类比思想在小学数学教学中的积极作用，指出当前在数学教学中应用类比迁移法教学的误区。一方面在小学数学教学中渗透数学类比思想方法，学生学会类比思想方法。另一方面教师恰当地用类比促进小学生学习的正迁移。 关键词：类比迁移；思维；小学数学；数学教学 关于类比迁移的研究中表明，类比迁移的方法对于学习新的技能、科学知识和数学知识、进行科学发现和探索、培养创造力有比较显著的作用。这是因为人类已经逐渐认识到，学习并不仅仅是简单地给认知结构里增加新知识，掌握抽象的规则，学习的成功也经常依靠我们从记忆中提取出相关的知识、技能、经验，并以这些成功经验为出发点又去学习新的知识和技能，这样循环反复的学习和更新即类比迁移。因此，实践证明，有关类比迁移的研究，为人类学习新知识和新技能，以及教育的改革和发展具有重要的引导以及实践意义。 小学数学教学不只是教会学生会计算、做题，而是要求学生学会数学思维的方法。数学在培养人的逻辑思维与非逻辑思维是其他任何一个学科都不能代替的。一方面在小学数学教学中渗透数学类比思想方法，学生学会类比思想方法。另一方面教师恰当地用类比促进小学生学习的正迁移。本文以教学中的课堂片段为例，具体分析类比迁移法在数学教学中的应用。探讨在小学数学教学中如何更好的应用类比迁移。 一、小学阶段研究类比迁移法的意义 小学是幼年儿童走进知识殿堂学习的最初的一个大的环境，是人们接受最初阶段正规教育的学校，是基础教育的重要组成成分。在这个阶段，养成良好的学习习惯和形成正确的思维方式和方法，对于一个人来说是至关重要，甚至是影响他一辈子的成就和幸福。伟人曾说过，一个答案只能用一次，一个方法可以用很多次，但是一种思想或者思维方法却可以用一辈子。小学数学教学中应用类比法,可以锻炼学生不同的思维模式，同时为学生学习、沟通知识间的联系,帮助学生建立良好的认知结构。这样的教学方法有很多，如果能在小学这个阶段不断渗透学习思维方法，为学生创设良好的学习情境，定不会能教出只会做题的迂腐学子。 成都市小学使用的北师大版小学数学教材，在内容设计上也含有类比的思想。但是，北师大版教材的难度较大，隐身知识很多，知识点之间的联系不紧密，新接触这个教材的教
北师大版高中数学22第一章第1节类比推理教学设计方案
北师大版高中数学选修2-2 《类比推理》教学设计方案 江西省高安中学熊智勇 一、教学内容 课题：类比推理 教材：北师大版普通高中课程标准实验教材数学（选修2-2） 年级：高二年级所需课时：1课时 二、教材分析 本节选自选修2-2推理与证明中的归纳与类比，教材将类比推理作为合情推理的一个重要内容，是整个高中阶段对类比推理的高度概括与总结，也是将这种培养学生思维能力的方式从幕后走向台前，是点晴之笔。让学生认识到数学既是演绎的科学又是归纳的科学，数学不只是现成结论的体系，结论的发现过程也是数学的重要内容，从而形成对数学较为完整的认识，为进一步学习高等数学作准备。 三、学情分析 类比推理被安排在高二下学期，这个阶段的学生思维趋于成熟，能进行抽象的逻辑思维分析。在知识方面：已经学习过高中阶段大部分的知识板块，具备一定的知识储备；在能力方面：初高中已将类比推理渗透到教材的很多章节，学生已经在自觉不自觉的应用着。所以教师在教学中应注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点。 四、教学目标 （一）知识与技能： 1．通过对已学知识的回顾认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去； 2．通过具体实例中类比推理的过程，初步了解为何可以进行类比以及如何进行类比。 （二）过程与方法： 本节课主要是利用以前学习过的知识，认识一种思维方法——类比推理，在整个过程中，学生已经具备独立研究的知识和能力，因此以学案辅助教学，以问题组的形式展开，采用以学生活动为主，自主探究，合作交流，教师适当启发总结的教学方法，让学生积极参与到教学活动中来，形成积极思考大胆探索的学习氛围。（三）情感态度与价值观： 1．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识；2．认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学、用数学、完善数学的正确数学意识。 教学重点：体会用类比推理发现新的数学结论和方法的思考方式与规律，能利用类比进行简单的推理。 教学难点：能找到事物之间的共同或相似性质，不仅会在形式结构和叙述方式上进行类比，还需对推理过程或思维策略进行类比。
高中数学常见的知识类比
专题高中数学常见的知识类比 一、⑴类比的定义：由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）． 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． ⑵类比推理的一般步骤： ⑴找出两类事物之间的相似性或一致性； ⑵用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）； ⑶一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的； ⑷在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。 ⑶类比推理的特点： ①类比是人们已经掌握了事物的属性，推测正在研究的事物的属性，它以已有认识作基础，类比出新的结果； ②类比是从一种事物的特殊属性推测出另一种事物的特殊属性； ③类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能． 二、常见的几种类比： 代数方面：加→乘，减→除，乘→乘方，除→开方，实数与向量.数与式（分数对分式、整数对整式、有理数对有理式）.等式→不等式，等差数列→等比数列等等。 几何方面：平面（二维）→立体（三维），线段→面，面积→体积，平面角→二面角. 解析几何方面：圆→椭圆，椭圆→双曲线
(1) a=b?a+c=b+c; (1) a＞b?a+c＞b+c; (2) a=b? ac=bc; (2) a＞b? ac＞bc; (3) a=b?a2=b2;等等。(3) a＞b?a2＞b2;等等 【3】实数系与向量系的类比： 实数系向量系 实数0、单位1 数a的相反数－a 实数a的绝对值| a | 零向量0 → 、单位向量e →向量a → 的相反向量－a →向量a → 的模|a → | 运算规律： ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)， (ab)c＝a(bc) ③分配律：a(b＋c)＝ab＋ac ④消去律：若ab＝ac，a≠0，则b＝c ⑤若ab＝0，则a＝0，或b＝0 ⑥公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2 (a±b)2＝a2±2ab＋b2 ⑦| a·b |＝| a |·| b | 运算规律： ①交换律：a → ＋b → ＝b → ＋a → ②结合律：(a → ＋b → )＋c→＝a→＋(b→＋c→) (a→·b→)c→≠a→(b→·c→)（乘法不满足）③分配律：a → ·(b → ＋c → )＝a→·b→＋a→·c→ ④不满足消去律：若a → ·b → ＝a → ·c → ，那么b → 与c →不一定相等. ⑤若a → ·b → ＝0，那么不一定a → ＝0 → 或b → ＝0 → . ⑥公式：(a → ＋b → )·(a→－b→)＝a→2－b→2 (a→±b→)2＝a→2±2a→·b→＋b→2 ⑦|a → ·b → |≤|a→|·|b→| || a |－| b ||≤| a±b |≤| a |＋| b | ||a→|－|b→||≤|a→±b→|≤|a→|＋|b→| 【4】利用平面向量的性质类比空间向量的性质
浅谈数学类比法
浅谈数学类比法 惠州市第一中学数学科组李海媚 科学史上有许多创造发明及现代科学研究，都广泛地运用了类比推理，例如仿生学可以说是专门使用了类比推理的科学。我们也可以用类比法来解决某些数学问题。为了解数 学问题B，我们可以联想到一个已经会解的问题A，问题B和问题A有许多类似的属性，于是我们推想问题B与问题A可能有某个或几个类似的结论，或者推测可以用解决问题A的类似方法来解决问题B，这种利用类比推理来寻找解决途径的方法叫类比法。其推理过程是:对象A具属性a、b、c、d 对象B具属性a、b、c 则对象B也可能具有属性d。下面浅谈数学类比法的一般方法。 一、一般与特殊的类比 研究一个较复杂的命题时，先解决命题的一个特殊情况，然后对解决特殊情况时所用的方法，所得的结果进行分析，大胆地与一般情况相类比，看能不能“照此办理”。当特殊问题不易求解时，也可先解决一般性问题。 :xR,,例1已知,为正常数且 1，f(x)f(x，a), 1,f(x) 则f(x)是否为周期函数,若是，求它的周期，若不是，说明理由。 分析:拿到已知条件很可能毫无思路，但我们注意到特例f(x)=tanx满足约束条件时，思路就豁然开朗了: ,1，tanx因为tan(x，),41,tanx ,且f(x),tanx是以,4，为周期的周期函数,所以可以猜测f(x)是以4a为周期的周期函数。,4
1，f(x)证明:？f(x，a),1,f(x) 1，f(x)1，1，f(x，a)11,f(x),,？f(x，2a),f(x，a)，a,,,,1，f(x)1,f(x，a)f(x)1, 1,f(x) 11,,？f(x，4a),f(x，2a)，2a,,,,,f(x)1f(x，2a),f(x) 因此()是以4为周期的周期函数，fxa。 32,，,1995219951993 例:2计算(1995年北京市初中数学竞赛题， 32，,199519951996 分析:本题很难就此计算，我们不妨将这种特殊情况转换成一般情况，看其规律，进行 求解。 1995,a 322 2(2)(2)(1)1993a,a,a,a,a,,,3221996(1)(2)(1)a，a,a，a，a, 二、生疏与熟悉的类比 对于某一数学问题，虽然我们暂时还不知道应该如何求解时，但发现这一问题的某些部分(条件、结论、图形、形式、数据等等)与我们熟悉的另一问题相类似，则可将两者加以类比，看能否把解决后一问题的方法移植过来，并逐步消除可能出现的差异，最后找出解决原来问题的解法。 例2设a满足:、、b、 2,a,bc,8a，7,0, ,22,b，c，bc,6a，6,0, 求a的取值范围。，1986全国高中数学竞赛试题， 解:把已知条件与我们熟悉的二元一次方程组的解法进行类比，容易想到代入法消c， 2 42222:baabaa由此得，(,14，13)，(,8，7),0
数学中的类比法浅析
数学中的类比法浅析 孚梅 [论文摘要] 类比法是在两个或两类事物间进行对比，找出一些相同或相似点后,猜测在其他方面也可能存在相同或相似之处，并做出某种判断的推理方法。随着课程改革的深入,培养学生的综合解题能力越来越重要,数学学习更应重视数学思想方法的渗透和培养。类比思想是一种重要的数学思想方法。类比可以使学生经历探究的学习过程,改变学生的学习方式;类比能培养学生直觉思维能力,是一种很重要的思维方法;类比可以增强学生的数学应用意识,提高解决问题的能力。在教学中，对学生进行类比法的训练，是培养学生创造性思维的一种方法。不过，对类比法得到的结论，要提醒学生学会用实例进行检验，以提高学生判断问题的能力。 [关键词] 推理解题法类比法思维创造性检验 类比法也叫“比较类推法”，作为一种推理的方法,指的是根据两种事物在某些特征上的“相似”,作出它们在其他特征上也可能“相似”的判断。类比法在初中数学围应用极其广泛, 是发现概念、方法、公式和定理的重要手段。类比法是重要的教学方法,数学中的许多定理、公式是通过类比得到的,在解题中寻找问题的线索,往往也借助于类比方法,从而达到启发思路的目的。 下面就数学教学中的类比法谈点粗浅的看法。 一、类比分类 数学中的类比，主要有以下几种：
（一）结构形式的类比 结构关系相同或相似的两类事物，可以并列或平行的类比。例如：加法运算律与乘法运算律，向量与复数，圆与椭圆等，因它们的性质结构相近，可以从结构方面类比。类比时，要抓住两者平行的结构特点，并要注意两者的不同对类比 （二）概念类比 理解本质辨异同。概念类比, 数学概念是数学思维的细胞, 是形成数学知识体系的要素, 是基础知识的核心容。在初中数学教学中,数学概念的教学是重要的一环,对于概念本质的理解是学生学习数学的一个难点,如何有效的进行突破呢?进行概念的类比教学不失为一种有效的途径与方法。在初中数学学习中有大量的概念,如果孤立地去理解与记忆这些概念,会成为学生学习的一个负担,但从概念的定义形式上看,有一部分概念的定义形式是相似的,通过这些概念之间的类比,进一步理解概念的本质.例如: 三角形,四边形,多边形概念分别为: 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形。由在同一平面且不在同一条直线上的四条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做四边形. 由在同一平面且不在同一直线上的多条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做多边形. 从概念的定义形式上来看,是对一类图形条件的限制,形式上是一致的,不同之处,一是三角形定义中没有"在同一平面",二是组成线段条数,其他都是相一致的.通
类比推理在高中数学教学中的应用
学科论文 浅谈类比思想在文科数学教学中的应用 姓名冯娟 单位阜阳市第二中学 学科数学 2013年5月
浅谈类比思想在文科数学教学中的应用 阜阳二中数学组：冯娟 摘要：类比是一切理解和思维的基础，作为一种逻辑方法，它在教学中有广泛的应用。在数学教学中应用类比法，可以帮助学生理解、鉴别各种概念、性质、定理、公式、题型等，达到正确认识，确定行之有效的解题策略的目的；这样既可以加强“双基”，又有利于培养学生良好的思维品质。 关键词：类比推理猜想证明数学学习 笔者现阶段所教授的是高三文科普通班，学生基础相对比较薄弱。学生对数学这一学科几乎到了“谈数色变”的程度。在平时的教学中，常常有学生抱怨：我怎么想不到这样的方法？笔者认为学生困惑的根源是缺乏知识的迁移能力和未形成系统的知识体系。作为数学教师，笔者认为应该帮助学生构建系统的知识体系，培养学生的知识迁移运用能力，而类比思想是串联新旧知识的纽带。 类比教学法既能从纵向找到新旧知识间的关系和区别，又能从横向找到有关知识的联系和区别，所以，在数学教学中应用类比方法进行教学与复习，就有着不可替代的作用，一下内容是笔者在教学实践中的深刻体会。 一、类比推理思想的重要性 类比是猜想的前提，而猜想又是发现和创造前提，虽然，笔者们发现数学研究活动中充满着猜想和错误。大科学家牛顿曾经说过：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。在人类历史上，类比获得的科技发明不胜枚举：鲁班类比带齿的草叶发明了锯，科学家类比蝙蝠规避障碍物的原理发明了雷达，类比金枪鱼的结构发明了金枪潜艇--- 二、类比推理思想在教学中的应用” 1、类比推理在概念形成过程中的应用 数学概念是整个数学知识结构的基础。在引入新概念的教学中，首先就要使学生“感知”新材料，了解概念事物的形成过程。
浅谈数学归纳法及其在中学数学中的应用2
目录 1、数学归纳法---------------------------------------------------------- 3 1.1 归纳法定义-------------------------------------------------------- 3 1.2 数学归纳法体现的数学思想----------------------------------------- 4 1.2.1 从特殊到一般------------------------------------------------ 4 1.2.2 递推思想---------------------------------------------------- 4 2、数学归纳法在中学数学中的应用技巧------------------------------------- 5 2.1 强调------------------------------------------------------------- 5 2.1.1 两条缺一不可------------------------------------------------ 5 2.2 技巧------------------------------------------------------------- 5 2.2.1 认真用好归纳假设-------------------------------------------- 5 2.2.2 学会从头看起------------------------------------------------ 6 2.2.3 在起点上下功夫---------------------------------------------- 7 2.2.4 正确选取起点和过渡------------------------------------------ 8 2.2.5 选取适当的归纳假设形式-------------------------------------- 9 3、数学归纳法在中学数学中的应用 ---------------------------------------- 9 3.1 证明有关自然数的等式--------------------------------------------- 9 3.2 证明有关自然数的不等式------------------------------------------ 11 3.3 证明不等式------------------------------------------------------ 11 3.4 在函数迭代中的应用---------------------------------------------- 12 3.5 在几何中的应用-------------------------------------------------- 14 3.6 在排列、组合中的应用-------------------------------------------- 16 3.7 在数列中的应用-------------------------------------------------- 16 3.8 有关整除的问题-------------------------------------------------- 17
类比法在数学解题中的运用
类比法在数学解题中的应用 摘 要：类比是一种重要的逻辑方法，通过列举实例来说明类比法在数学解题中的应用，可以拓宽数学的解题思路，有助于培养学生的灵活性、独创性、广阔性和敏捷性。 关键词：类比法；数学解题；应用 类比是根据两个数学对象的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法，它通常称为类比法。它是以比较为基础，通过对两个(或两类)不同的对象进行比较，找出它们的相同点或相似点，然后以此为依据，将关于某一些知识或结论推移到另一种对象中去。其结论的可靠程度依赖于两个研究对象的共同属性，一般说来，共有属性愈多，结论的可靠程度就愈大；共有属性于是本质的，结论的可靠程度就愈高。类比既是一种逻辑方法又是一种科学研究的方法，它是人们思考问题和处理问题的重要手段，是发明创造的一把金钥匙。 类比分为简单类比和复杂类比两类。简单类比是一种形式性类比，它具有明显性、直接性的特征，其模式为 复杂类比是一种实质性类比，需要通过较为深入的分析后才能得出新的猜测，其模式为 类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其正确性，还必须经过严格的逻辑论证。运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：
类比思维在数学知识的延伸拓展过程中常借助于比较、联想，用作启发诱导以寻求思维的变异和发散。在数学学习中，我们可以通过类比学习新知识，也可以通过类比来寻求解题思路，甚至通过类比来推广数学命题。利用类比法，可使我们的思维能力、观察能力得到良好的锻炼。下面我们从数学解题的角度来谈谈类比法的应用。 一、平面几何与立体几何的类比 有些立体几何问题的解决可类比于平面几何问题解决的思路方法，有时可简化运算与推理，优化解题过程。 例1 如图1，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（于四个面都相切的球）的球心O ，且与BC 、DC 分别截于E 、F ，如过截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A —BEFD 与三棱锥A —EFC 的表面积分别为12,S S ，则必有( ) (A) 12S S > (B) 12S S < (C) 12S S = (D) 12S S 与的大小关系不能确定 图1 图2 分析 本题是立体几何问题，将立体中的有关图形、有关量与平面相应的元素进行类比: 由此可得到平面几何中相应的问题： 如图2，在ABC 中，直线EF 经过其内切圆的圆心O ，且与AB 、AC 分别交于E 、F ，如果线段EF 将ABC 分成面积相等的两部分,设AEF 与四边形EBCF 的周长分C