一类非线性四阶波动方程的初边值问题
有限差分法解微分方程两点边值问题
使用有限差分方法解边值问题： 由两点边值问题的一般形式： 根据差分方程： 当网格划分均匀，即有，化简差分方程： 代入再次化简： 用方程组展开写成矩阵形式： MATLAB编程：
运行后算出的结果：0 0.00376645934479969 0.00752341210586145 0.0112613555020809 0.0149707943560995 0.0186422448923756 0.0222662385306948 0.0258333256736017 0.0293340794862392 0.0327590996670822 0.0360990162080584 0.0393444931425513 0.0424862322797872 0.0455149769241112 0.0484215155776656 0.0511966856249889 0.0538313769980622 0.0563165358203363 0.0586431680282822 0.0608023429690169
0.0627851969725639 0.0645829368973219 0.0661868436473210 0.0675882756598612 0.0687786723621374 0.0697495575954688 0.0704925430057619 0.0709993313988528 0.0712617200593841 0.0712716040318917 0.0710209793627865 0.0705019463019362 0.0697067124625652 0.0686275959382091 0.0672570283754778 0.0655875580013963 0.0636118526041142 0.0613227024657904 0.0587130232464804 0.0557758588178718 0.0525043840457360 0.0488919075199819 0.0449318742312199 0.0406178681927653 0.0359436150070336 0.0309029843752992 0.0254899925498146 0.0196988047273101 0.0135237373829146 0.00695926054356603 0 与精确解比较：
微分方程的边值问题
微分方程边值问题的数值方法 本部分内容只介绍二阶常微分方程两点边值问题的的打靶法和差分法。 二阶常微分方程为 (,,),y f x y y a x b '''=≤≤ (1.1) 当(,,)f x y y '关于,y y '为线性时，即(,,)()()()f x y y p x y q x y r x ''=++，此时(1.1)变成线性微分方程 ()()(),y p x y q x y r x a x b '''--=≤≤ (1.2) 对于方程(1.1)或(1.2)，其边界条件有以下3类： 第一类边界条件为 (),()y a y b αβ== (1.3) 当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。 第二类边界条件为 (),()y a y b αβ''== (1.4) 当0α=或者0β=时称为齐次的，否则称为非齐次的。 第三类边界条件为 0101()(),()()y a y a y b y b ααββ''-=+= (1.5) 其中00000,0,0αβαβ≥≥+>，当10α=或者10β=称为齐次的，否则称为非齐次的。微分方程(1.1)或者(1.2)附加上第一类，第二类，第三类边界条件，分别称为第一，第二，第三边值问题。 1 打靶法介绍 下面以非线性方程的第一类边值问题(1.1)、(1.3)为例讨论打靶法，其基本原理是将边值问题转化为相应的初值问题求解。 【原理】假定()y a t '=，这里t 为解()y x 在x a =处的斜率，于是初值问题为 (,,) ()()y f x y y y a y a t α '''=?? =??'=? (1.6) 令z y '=，上述二阶方程转化为一阶方程组
两点边值问题的差分求解
微分方程数值解实验报告 姓名 丁建伟 学号 200708020211 日期 2010.11.25 实验项目 两点边值问题的差分求解 指导教师 徐强 一、上机实验的问题和要求（需求分析）： 实验内容： (I) 分别在步长h=1/20,1/40,1/80,1/160情形下用中心差分格式计算齐次两点边值问题-u ＂=f,u(0)=u(1)=0。其中f(x) = 100*exp(-10*x)，精确解为u(x) = 1 - (1-exp(-10))*x - exp(-10*x) (II) 给出差分解近似精确解在无穷范数和L2范数下的误差阶。 目的与要求： 掌握中心差分格式的程序实现 掌握分析算法误差的方法 二、程序设计的基本思想，原理和算法描述： 基本思想及原理： 做均匀网格剖分： 1010=<<<=N x x x ,分点ih x i =步长n h 1= 在节点i x 处，对微分方程离散化)(22x f dx u d =- )(12 )()(2)(344222211h O dx u d h dx u d h x u x u x u i i i i i +??????+??????=+--+有)()( )()(2)(211u R x f h x u x u x u i i i i i +=+---+ 其中 2434()()12i i h d u R u O h dx ??=-+???? 记u 在节点N k x k ~0,=数值解为 N k u k ~0,=， 则有,2:211i i i i i h f h u u u u L =+--=-+
比较知 )()(:)(u R x f x u L i i i h += 所以[]()()i h i i R u L u x Lu =- 表示用差分算子 h L 代替微分算子L 产生的误差 称之为（局部）截断误差。这里关于h 的阶为 )(2h O 。 注意 []()i i Lu f x = 所以()()()i h i i R u L u x f x =- 由此知：（局部）截断误差可视为差分格式，将数值解换成相应真解值后，左端减右端，再做Taylor 展式获得的（可作为计算公式）。 方程的联立形式（中心差分格式） ?? ???==-==+---+0,01~1,20211N i i i i u u n i f h u u u 矩阵形式 b AU =(其中 A 是三对角矩阵) 又因为A 是三对称矩阵，而且符合追赶法的使用条件，故可用追赶法求解U 的解。 三、主要程序代码或命令： #include
非线性两点边值问题解的存在唯一性
第!"卷第#期纺织高校基础科学学报$%&’!"()%’# *++!年,月-./01/102312/45673.859:2;:082630<27/0:02/=>?@ A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ’(*++! 非线性两点边值问题解的存在唯一性 俞成 B东华大学应用数学系(上海*+++C!D 摘要F运用首次积分法讨论了一类非线性两点边值问题(得到了解的存在性G唯一性G多解 性的判断法则及其和参数H之间的关系’ 关键词F边值问题I J K L L>M N@O K P积分方程I唯一性 中图分类号F Q!R C’*文献标识码F S文章编号F!++T U V#"!B*++!D+#U+*+*U+# +前言 近年来(人们对于边值问题有很大的兴趣W!X T Y(这一研究之所以会受到如此重视(一方面是由于它来自许多实际问题(比如流体力学W R Y(原子物理中的Z L[%P U\%]&>M方程W V Y(有着强烈的应用背景(同时从数学的角度来看也是很有价值的’ 文献W*(#Y研究了边值问题 ^_‘H a B_D(bc d(H e+( f_B b D‘!(bc g d’B!D 本文中主要讨论其常微分方程形式(即 _h‘H a B_D(H e+( f_B i!D‘_B!D‘!’B*D 其中ac j W+(k lY且a B+D m+(nbe+(a B b D e+(因为(研究常微分方程能为椭圆方程提供一定的研究思路’ 对于方程B*D(文献W"(T Y均是用J K L L>M N@K O P积分方程和o M>>P函数来研究它的’文献W"Y讨论 了H‘!时正解的个数(但是对&O L b p+k a B b D b (&O L b p l a B b D b 的取值都有严格的限制(而文献W T Y的所有结论都 是基于这样的假设F qrc B B+(!D(W+(lD D(rs+(在B+(!D上(同时存在t(uc W+(!YN@v!+w t B!i w D u r B w D[w x l’本文与文献W!(*(#(C Y相同(采用首次积分法(并取消了文献W"(T Y提到的假设(讨论了方程B*D解的存在性(唯一性(多解性(及其与参数H之间的关系(并在证明过程中给出了H取值的上下界’ !方程B*D解的存在性 定理!如果a B w D满足李氏条件(那么q H !(H*N@ 方程B*D有解_c j*B i!(!D y j W i!(!Y(当+x H!z H z H*z l’ 证明如果_B b D是方程B*D的解(那么_B i b D也是它的解’ 由对称性知_B b D‘_B i b D(所以_{B+D‘+’又_h e+(故_{B b D e+(当+x b x!时’所以_B b D E收稿日期F*++!U+#U*T 作者简介F俞成B!,R V U D(男(浙江省诸暨市人(东华大学本科生’ 万方数据
数学建模 两点边值问题的两种数值解法及代码
常微分方程组两点边值问题的数值解法 3)1(1 )0(0 4===-''y y y y 可化为微分方程组3)1(1 )0(41221==='='y y y y y y 方法一：配置法 Matlab 程序： function bvcollation clc solinit = bvpinit(linspace(0,1,20),[100 600]);% sol = bvp4c(@twoode,@twobc,solinit); x = linspace(0,1,20); y = deval(sol,x); y' plot(x,y(1,:),x,y(2,:)); end %微分方程组 function dydx = twoode(x,y) dydx = [ y(2) 4*y(1)]; end %边值条件 function res = twobc(ya,yb) res = [ ya(1)-1 yb(1)-3]; end 运行结果： 1.0000 -0.4203 0.9834 -0.2117 0.9777 -0.0055 0.9828 0.2007 0.9988 0.4091 1.0259 0.6220 1.0644 0.8419 1.1147 1.0710 1.1774 1.3121 1.2531 1.5677 1.3427 1.8407 1.4472 2.1341 1.5678 2.4512 1.7057 2.7954 1.8626 3.1707 2.0401 3.5811 2.2402 4.0313 2.4652 4.5261 2.7175 5.0712 3.0000 5.6724