函数概念及其基本性质
第二章函数概念与基本初等函数I
一. 课标要求：
函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题.
1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成
的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，
2. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象.
3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
4. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.
5. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.
6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
7.了解指数函数模型的实际背景.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）.
8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.
9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0,a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义.
10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数
1
312
,,,
y x y x y x y x
-
====的
图象，了解它们的变化情况
11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.
12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.
二. 编写意图与教学建议
1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.
2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学.
3. 函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.
4. 教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑顺序上的调整，体现了特殊到一般的思维规律，有利于学生对函数概念学习的连续性.
5 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设.
6 在学习对数函数图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想. 教学中重视知识间的迁移与互逆作用.
7．教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展.
8.教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担.
9. 教材加强了函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.
10. 为体现教材的选择性,在练习安排上加大了弹性,教师应根据学生实际,合理地取舍.
三. 教学内容及课时安排建议
本章教学时间约23课时：
2．1 函数的概念与图象10课时
2．2．指数函数5课时
2．3 对数函数5课时
2．4 幂函数2课时
2．5 函数与方程3课时
2．6 函数模型及其应用3课时
数学探究案例——钢琴与指数曲线1课时
实习作业1课时
小结与复习2课时
§2.1.1 函数的概念和图象⑴——概念
一、教学目标
1、知识与技能：
了解函数产生的背景，掌握函数的概念、，特别是函数的三要素。会判断什么样的对应是函数。会求简单函数的定义域及值域。
2、过程与方法：
（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域。
3、情态与价值：使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。
二、教学重点与难点：
重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；
难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节教学目标 .
2、教学用具：投影仪 .
四、教学思路
（一）创设情景
1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： （1）人口数量与时间（年份）的变化关系问题；
（2）自由落体下落的距离与下落时间的变化关系问题； （3）某市一天的气温与时间的变化关系问题
3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。
4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；
5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系？如何用集合的语言来描述？
（二）探求新知
1、函数的有关概念
（1） 函数的概念：
设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个 数x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）．记作： y =f (x )，x ∈A ．
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域（range ）．
强调：①任意性；②唯一性。
思考：课本例1 ，对照定义说明理由。
注意：① “y =f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g (x )”；
②函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． （2）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？ ①一次函数：y =ax +b (a ≠0)；②二次函数：y =ax 2+b x +c (a ≠0)；
③ 反比例函数：y =
x
k
(k ≠0) （3）函数三要素：
①由定义，构成函数需要几个要素？
②如果一个函数的定义域、对应法则确定，则其值域是否确定？ ③如果定义域、值域确定，函数是否确定？为什么？试举例说明。 例：,;,.y x x R y x x R =∈=-∈ ④由此，两个函数相同的条件是什么？
⑤思考：函数(),y f x x A =∈与函数(),s f t t A =∈是同一函数吗？
函数y x =与2
x y x
=是同一函数吗？
2．函数的定义域
⑴如果函数对应法则可以用解析式表示出来，那么要确定这个函数，还必须给出定义域。 ⑵如果给出了解析式，但未给出定义域，那么我们就认为其定义域就是使其解析式有意
义的x 的取值集合。
⑶例：①求函数f (x ) =
3+x +
2
1
+x 的定义域。 ②设一个矩形周长为80，其中一边长为x ，求它的面积关于x 的函数的解析式，并写出定义域.
⑷引导学生小结几类函数的定义域：
①如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .
②如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 . ③如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数集合. ④如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）
⑤满足实际问题有意义.
3．函数的解析式
⑴函数“()y f x =”表示y 是x 的函数,可简记为()f x ，这里“f ”即对应法则； ⑵“f ”是一个记号，在不同的函数中具有不同的意义；
⑶如果在同一问题中涉及多个函数，为了区别，也常用()g x 、()h x 、()x ?、()F x 等等来表示；
⑷当自变量x 在定义域内取某一确定的值a 时，对应的函数值用()f a 来表示，如：
()21f x x ==+，则()21f a a =+，()13f =．
4．函数的值域 例：求下列函数的值域
⑴ ()(){}2
11,1,0,1,2,3f x x x =-+∈-； ⑵()()2
11f x x =-+。 由此，进一步强调函数值域的意义。 （三）学以致用
例1 下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）
A ．()(), f x x g x =
B ．()(), f x x g x ==
C ．()()1, x
f x
g x x
==
D ．()()01, f x g x x == 强调： 从函数的三要素入手，在定义域、值域和对应法则中，只要有一个不同，就不
是同一函数．
例2 已知()()2
21, 2.f x x g x x =+=+
⑴求()1f g -????；⑵求()2
f a
、()1g a +；⑶若()()f g x g f x =????????，求x 的值。
强调：准确理解对应法则“f ”的意义。 例3 求下列函数的定义域：
①f (x ) =
24++x x ；
②()1f x =；③1
()11f x x
=+ ；④1()||f x x x =-。
强调：①求函数定义域的几个原则；②函数的定义域一般应用集合或区间表示． （四）巩固深化 课本练习第3—7题 （五）归纳小结
①从具体实例引入函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；②初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法。 （六）承上启下
1、举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、值域和对应关系。
2、《课课练》第1、2课时。
§2.1.1 函数的概念和图象⑵——定义域和值域
一、教学目标
2、 知识与技能：
（1）进一步理解函数的概念。
（2）会求函数特别是复合函数的定义域。 （3）掌握求函数值域的常见方法。 2、过程与方法：
（1）通过实例，学会求函数复合函数的定义域，进一步家深对函数概念的理解。 （2）在复习初中已学函数的基础上，经历求函数值域的过程，掌握常见方法。 3、情态与价值：让学生感受数形结合、等价转化等数学思想，激发学习的积极性。 二、教学重点与难点：
重点：函数值域的常见方法。
难点：复合函数的定义域，判别式法的发现。 三、学法与教学用具
1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节教学目标 .
2、教学用具：投影仪 . 四、教学思路 （一）创设情景
复习初中所学函数，说出它们的定义域、值域，并说明如何得到？ （二）探求新知
1、函数的定义域
例1．求下列函数的定义域： ⑴(
)f x ；⑵()
1x f x +=
．
变题1：若()f x ，求()2
f x
的定义域。
变题2：若()f x 的定义域是[]0,1，则()
2f x 的定义域是_____________。
练习：①若()f x 的定义域是[]0,1，则()1f x +的定义域是_____________。 ②若()f x 的定义域是[]1,3-，则()()()g x f x f x =+-的定义域是_____________。 思考：若()f x 的定义域是D ，则()f x ?????的定义域是_____________。 2．函数的值域
例2．求下列函数的值域： ⑴[)1,1,1y x x =-+∈-
；⑵y =1
.1
y x =-
+ 变题1：函数1
21y x =-
+的值域是_______________. 变题2：函数21
1
x y x +=+的值域是_______________.
思考：一般地，函数ax b
y cx d
+=+的值域是_______________.
例3．求函数2
1
x
y x x =
-+的值域． 思考1 根据函数关系你能在值域C 中找到几个值吗？例如C ∈0？C ∈1？为什么？ 思考2 有谁找到了一个数不在C 中呢？又为何？
思考3 由此,给定一个值y,你怎样来判断它是否是值域C 中的元素呢? （只需判断关于x 的方程y x x x
=+-1
2是否在定义域内有实数解就可以了）.
解：由2
1
x
y x x =
-+得()210yx y x y -++=
若0y =，则0x =，方程有解，0y ∴=在函数值域中；
若0y ≠，为使方程有解，只须()2
2140y y ?=+-…,解得113
y -剟()0y ≠．
综合得，所求函数的值域是1,13??
-????
．
指出：⑴从函数概念看,函数)(x f y =的值域就是定义域中任一自变量x 在对应法则“f ”作用下的象的集合,即值域C 中每一个y 的值,根据对应法则“f ”都有原象x 与之对应.因此,函数)(x f y =的值域就是使方程y x f =)(在定义域内有解的y 的取值范围.如果此方程是关于x 的二次方程,则方程有解的充要条件就是判别式0≥?,由此求出函数的值域.这种求函数值域的方法,我们叫做“判别式法”.
⑵一般地，二次分式函数21112
222
a x
b x
c y a x b x c ++=++ (22
12a a + )0≠，常化为关于x 的二次方程，然后根据方程有解的条件，利用判别式法求解。
思考4：如何求函数2221
1
x x y x --=-的值域？
注意：如果分子分母可约，一般不采用判别式法，而是转化为型如()0cx d
y a ax b
+=≠+的函数求值域．
例4：
求函数y x =
分析：本题中所给函数是无理函数，一般应考虑有理化．你是否试图通过移项平方来实施？这样做往往会使函数的定义域扩大，从而影响函数的值域，处理时要特别细心．能否通过其他方法来实现有理化呢？换元！是我们常用的手段之一．
解
：设t 2
1x t =-， ∴2
2
15
124
y t t t ??=--=-++ ???
，其中0t ．
画出二次函数2
15
24
y t ??=-++ ???在[)0,+∞上的图象（如图）．
可见，当0t =时y 取得最大值1，所以原函数的值域是(],1-∞．
指出：1．换元法是处理无理函数问题时常用的方法． 2．本题中在得到关于t 的二次函数后，由于其定义域不是
R ，而是[)0,+∞
5
4
y ?
，那就错了！ 3．请你思考下面的问题：
引申：若关于x 的方程x a =有解，求常数a 的取值范围． 析 设函数()f x x =则方程()f x a =何时有解等价于：当a 取何值时，在函数()f x 的定义域中存在自变量x 与之对应．由函数值域的定义可知，所求a 的取值范围就是函数()f x 的值域，∴a 的取值范围就是(],1-∞．
（三）巩固深化
1．若函数()y f x =的定义域是1,32??
???
，则函数()2f x 的定义域是 ．
2．求函数3
21
2
+-+=
x x x y 的值域． （四）归纳小结
①通过本课的学习，你学会了哪些知识？ ②具体解题时应注意哪些问题？ （五）布置作业
1．下列四个函数：①1y x =+；②21y x =-；③21y x =-；④3
y x
=
．其中，定义域和值域相同的是 （ ） A ．①② B ．①②④ C ．②③ D ．①③④
2．有下列四个命题：①21
y x
=
的值域是{}|0y y ≠；②2y x =()2x R x ∈≠且的值域是 {}|04y y y ≠且…；③21
1
x y x -=
-的值域是R ；④y ={}|0y y …．其中正
确命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3．函数()114y x x x Z =--∈且剟的值域是 ．
4．若函数21
1
x y x -=
-的值域是(],0-∞，则其定义域是 ． 5．求下列函数的定义域： ⑴(
)f x =
()1111f x x
=
++．
6．求下列函数的值域：
⑴()3012x
y x x -=+…；⑵2211x y x +=-
；⑶y =．
7．已知函数()f x 的定义域为[]1,1-，求函数1144y f x f x ?
??
?=++
- ? ??
??
?的定义域．
8．求下列函数的值域：
⑴23y x =-；⑵3
21
2
+-+=x x x y 。
§2.1.2 函数的表示法(1)——解析法
一．教学目标
1．知识与技能
（1）明确函数的三种表示方法及其优点；
（2）明确函数解析式的意义，能根据条件求函数的解析式。 2．过程与方法：
通过具体实例，掌握求函数解析式的常见方法。 3．情态与价值
让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透分类、转化等数学思想方法。 二．教学重点和难点
教学重点：求函数解析式的常见方法。
教学难点：能根据条件进行恰当分类，能准确注明函数的定义域。 三．学法及教学用具
1．学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标． 2．教学用具：圆规、三角板、投影仪． 四．教学思路
（一）创设情景
⑴前课学习了函数定义域、值域的求法，作业中还有哪些问题需要再一起共同讨论？ ⑵回顾本节开头三个函数的例子，你觉得表示一个函数有哪些方法？ （二）探求新知
1. 函数的表示法 ⑴函数有哪些表示方法？
表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种 ⑵三种方法各有何特点？
解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域．
列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值。 图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况）
⑶阅读课本例1：某种笔记本的单价是5元，买}{
(1,2,3,4,5)x x ∈个笔记本需要y 元，试用三种表示法表示函数()y f x =．
2．求函数解析式的方法
例1．根据下列条件，求函数()f x 的解析式：
⑴已知)
1f
x =+()f x ；
⑵已知()f x 是一次函数，且()98f f x x =+????，求()f x ； ⑶已知()()3225f x f x x +-=+，求()f x ．
解：⑴设1t 1t =-，∴()()()2
21211f t t t t =-+-=-，
∵11t =…,∴()()2 1 1f x x x =-…．
⑵设()() 0f x ax b a =+≠，则()()()2
f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++????，
由 2
98a x ab b x ++=+ 得233
9248a a a b b ab b ==-?=??????==-+=???
或．
∴()()3234f x x f x x =+=--或．
⑶在()()3225f x f x x +-=+ ①中，以x -换x 得()()3225f x f x x -+=-+ ② 由①，②消去()f x -得()21f x x =+．
指出：① 求解析式的方法较多，关键是根据题目特点灵活进行选择，如本例中的3个小题分别采用了换元法、待定系数法和消元法．
②求函数解析式时，同时要注明函数的定义域．在用换元法求解时，最后得到的()
f x 的
解析式中，自变量x 实际上是由t “换”来的，因此必须由t 的范围来确定
()
f x 的定义域．
例2．已知函数 ()f x 满足2211f x x x x ?
?+=+ ??
?．
⑴求()f x 的解析式；⑵求()f x 的定义域、值域．
析：⑴本题若采用换元法，令1
t x x
=+
，则难以用t 来表示出x ，注意到2
112f x x x x ?
???+=+- ? ??
???，从而()22f x x =-.
⑵为确定函数的定义域，必须求出1
t x x
=+的值域，可考虑用判别式法：
由1
t x x =+，得：210x tx -+=．
由2
40t ?=-…，得22t t -或厔， ∴()f x 的定义域是(][),22,-∞-+∞U ，
又24x …，∴()222f x x =-…，即值域为[)2,+∞．
指出：此题是先“配凑”再换元，要特别注意其定义域． 例3 ．设f(x)是R 上的函数，且满足f(0)=1，并且对任意实数x,y 有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，
求f(x)的表达式。
分析：只需令y x =，可得()21f x x x =++。
指出：本题采用了赋值法。
例4． 某地的出租车按如下方法收费：在3km 以内（含3km ）的路程按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按元/km 收费.试写出以行车里程x(km)为自变量,车费y(元)为函数值的函数解析式。
答案：()7,037,037 2.43,3 2.40.2,3x x y x x x x <≤?<≤??
==??
+->->???
评 此题所涉及的函数为分段函数，需分情况讨论．
（三）巩固深化
1．根据下列条件求函数的解析式： ⑴1();x f x x +=⑵2211(),();f x x f x x x -=+⑶1
()2(),().f x f x f x x
-= 2．为配合客户不同需要，某电信公司有A 、B 两种优惠计划供客户选择：
请根据上面提供的信息，解答下列问题：
⑴通话时间超过多少分钟时，计划B 比计划A 更省钱？
⑵若用户决定选择计划B ，则通话多少时间可比选择计划A 便宜得最多？最多便宜多少钱？
⑶通过以上研究你觉得应如何选择优惠计划？
析：先根据题意，分别求出A 、B 两计划付费金额关于通话时间的函数解析式，通过计算它们之间的差值，再作出回答．
解：设A 、B 两计划付费金额关于通话时间x （分钟）的函数分别为()f x 和()g x ，
依题意： ()()50, 060
0.460500.426, 60x f x x x x ??=?
-+=+??
>剟，
()()98, 0300
0.4300980.422, 300x g x x x x ??=?-+=-??
>剟，
()()48, 0600.472, 6030048, 300x y f x g x x x x -??
=-=-???
<>剟?．
⑴易见，当060x
剟，()()f x g x <；
当60300x 即0.4720x ->得180x >； 当300x >时，()()f x g x >．
∴当通话时间超过180分钟，计划B 比计划A 更省钱． ⑵由⑴，当180300x
当300x >时，48y =．
∴当通话时间在300分钟以上时，计划B 比计划A 便宜得最多，最多便宜48元钱．
⑶通过以上研究，若通话时间在180分钟以内，则选择计划A ；若通话时间超过180分钟，则选择计划B ．
（四）归纳小结
（1）理解函数的三种表示方法及其特点，注意分段函数的表示方法。 （2）能根据条件特征选择适当方法求函数的解析式。 （五）承上启下 （1）作业：《课课练》第3、4课时。
（2）下节课我们一起学习函数的另外两种表示法。
§2.1.2 函数的表示法⑵——列表法与图象法
一．教学目标
1．知识与技能
⑴掌握函数图象的画法；
⑵了解列表法是函数的一种表示，能根据表中信息抽象函数关系，解决实际问题。 2．过程与方法：
⑴通过具体实例，能根据函数解析式描绘函数的图象。
⑵能根据题目要求，灵活选用函数的表示法，提高解决实际问题的能力。 3．情态与价值
让学生感受到学习函数表示的必要性，初步学会数学建模，渗透数形结合思想方法。 二．教学重点和难点
教学重点：根据函数解析式描绘函数的图象。 教学难点：根据实际问题，建立函数解析式。 三．学法及教学用具
1．学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标． 2．教学用具：圆规、三角板、投影仪． 四．教学思路
（一）创设情景
1． 是否所有函数都能用解析式表示？你能举出一个不能用解析式表示的函数吗？ 2．表示函数的方法除解析法外，还有哪些方法？ 3．回顾已学初等函数的图象画法。
（二）探求新知
1．什么叫函数的图象 函数()f x 的图象即集合
()(){},,x y y f x x A =∈（A 为定义域）表示的图形。
2．直线x a =与函数图象有几个交点？为什么？ 思考：课本31P 练习4 （三）学以致用
例1.试画出下列函数的图象
⑴1y x =+； ⑵ ()[)2
11,1,3y x x =-+∈。 注意：①函数的定义域；②实心点与虚心点。
思考：⑵中涉及的二次函数与函数2
y x =的图象有何关系？ 一般地，函数()y f x a b =++与()y f x =的图象有何关系？ 例2．试画出函数()f x x =的图象。 练习：试画出函数()3f x x =+的图象。 例3. 画出下列函数的图象： ⑴12y x x =--+；⑵()
11
x y x x
++=
-；⑶2y x x =-．
分析：先对函数式进行化简，然后利用一些常见函数的图象来作出．
解：⑴3, 21221, 213, 1x y x x x x x -??
=--+=---??-?
<>??．
⑵()
()0
11
21
01x y x x x x
x x x
++=
=
=-<≠----且． ⑶()()22
11, 2211, 2
x x y x x x x ?--?
=-=?--+??<…．
思考1：函数⑴、⑵的值域是_______________. 思考2：试讨论方程2x x a -=（常数）的解的个数。
评：⑴本例几个函数的解析式所反映的函数关系不够明朗，通过化简变形使函数关系明朗化，从而利用已学几个函数的图象即可作出它们的图象．
⑵题中⑴⑶小题都为分段函数，
它们的图象是由几部分拼接而成的．注意：
分段函数是一个函数，而不是几个函数．
⑶较为准确地作出函数的图象，为用数形结合思想解题提供了可能．
例4．某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售价x ⑵设经营此商品的日销售利润为P 元，根据上述关系写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？
析：本例以表格的形式给出了日销量y 与销售单价x 之间的对应关系，二者之间的函数关系不甚明显． 可先在直角坐标系中作出该函数的图象，通过观察其图象特征，找到相应的函数模型，从而求出函数的解析式．
解：⑴在直角坐标系中描出实数对(),x y 的对应点（如图）．可见,
（例3⑴） （例3⑵） （例3⑶）
函数()y f x =是一次函数模型．
设y ax b =+，将点()()30,6050,0及代入可得：
60303
050150a b a a b b =+=-????
?=+=??
． ∴()3150,3050y x x N x
=-+∈且剟．
经检验，其他三点均满足上述函数关系．
⑵()()()30303150P x y x x =-?=--+()()2
340300 ,30150x x N x
=--+∈剟，
∴当40x =时，max 300P =．
答：当销售单价为40元时，可获得最大日销售利润，最大利润为300元．
评：⑴函数模型方法在实际问题中有着广泛的应用，在本册第二章中我们将专题研究． ⑵要重视函数的三种表示法的互相转化．当然，并不是所有的函数都能用三种方法表示出来，如狄利克雷函数()1, 0, x Q
D x x Q ∈?=?
??
，我们无法作出它的图象．
（四）巩固深化
x
（ ）
2．向高为h 的圆锥形漏斗注入化学溶液（漏斗下方口暂时关闭），注入溶液量V 与溶液深度h 的函数图象是 （ ）
3．已知()2,0
,1,0x f x x ≥?=?
()()()()3120.2f x f x g x x ---=>
求()g x 的解析式，并作出它的图象。
4．已知函数()243f x x x =-+．
⑴画出函数()y f x =的图象；⑵讨论方程()f x a =的解的个数．
5．某工厂产品的次品率p 与日产量x （件）(),198x N x ∈≤≤的关系如下表所示：
⑵若每生产一件正品盈利3百元，每生产一件次品损失1百元，将该厂日盈利额M （百元）表示成日产量x （件）的函数．
（五）归纳小结
1． 作函数图象一般有两种方法：一是描点法，二是通过基本函数的图象变换，主要有 平移变换，对称变换，伸缩变换等．随着学习的深入，注意方法的积累．
2． 要熟练掌握一些常见函数的图象，如一次函数、反比例函数、二次函数等．
3． 作图前，应首是确定函数的定义域，以保证图象准确定位．在对函数式进行变形过 程中，要时刻关注定义域的变化，分清实线与虚线，空心点和实心点．
4． 画图时要尽可能地作出能反映函数性质的一些特征点和特征线，如图象与坐标轴的 交点，双曲线的渐近线，抛物线的顶点、对称轴等，以确保所作图象尽可能地准确．
5． 分段函数的图象，其各个部分有些是“连”的，有些是“断”的，其判断的方法是： 计算分界点处对应的函数值是否相等，相等则“连”，不等则“断”．
（六）布置作业 《课课练》第3课
补充1：一元二次不等式和简单的分式不等式的解法
一．教学目标：
1．知识目标
（1）通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。 （2）会结合图象解一元二次不等式。 （3）会解简单的分式的分式不等式。 2．方法与过程
通过具体的例题，结合函数的图象，让学生在老师的引导下去体验、感悟、模仿、理解、掌握一元二次不等式和简单的分式的解法。培养数形结合的能力。
3．情感、态度、价值观
激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想
二．教学重点和难点：
重点：解一元二次不等式
难点：一元二次不等式与相应函数、方程的联系。 三．学法及教学用具
学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标． 教学用具：三角板、投影仪． 教学过程:
（一）问题情境:
⑴ 二次函数()2
0y ax bx c a =++>图象与x 轴交点个数有几种情形？
⑵若二次函数()2
0y ax bx c a =++>图象与x 轴有两个交点，则这两个交点与方
程2
0ax bx c ++=的两个根()1,212x x x x <有何关系？
⑶二次函数()2
0y ax bx c a =++>图象与x 轴有两个交点时，x 轴上方图象上的
点的纵坐标y 取值范围如何？x 轴下方图象上的点的纵坐标y 取值范围又如何？
（二）探求新知 1．一元二次不等式:
——只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。 2．一元二次不等式:
问题1：画出函数=y 62
--x x 的图象，利用图象回答：
⑴方程62
--x x ＝0的解是什么；⑵x 取什么值时，函数值大于0；⑶x 取什么值时，函数值小于0。
问题2：一般地，怎样确定二次不等式c bx ax ++2
>0与c bx ax ++2
<0的解集呢？ ??? 组织讨论：?
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式
()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：
设相应的一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，
ac b 42-=?，则不等式的解的各种情况如下表：
0>?
0=?
0
二次函数
c bx ax y ++=2
（0>a ）的图象
c bx ax y ++=2
c bx ax y ++=2
c bx ax y ++=2
一元二次方程
()的根
00
2>=++a c bx ax
有两相异实根 )(,2121x x x x <
有两相等实根 a
b
x x 221-
==
无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax
{}21x x x x x ><或 ???
?
??-≠a b x x 2
R 的解集
)0(02><++a c bx ax
{}21x x x x <<
?
?
（三）学以致用
例1 解下列不等式 （1）02632
>+-x x
（2）2223x x ->--
（3）01442
>+-x x
（4）0322>-+-x x
点评 解一元二次不等式有两种方法：
① 图象法： 步骤为转正─找根─写解集
② 因式分解法：步骤为列出等价不等式组─写解集 （四）拓展延伸 例2（1）如何解不等式2102x x +>-，21
02
x x +≥- （2）解不等式2112
x x +>- 点评：(1)
f (x )
g (x )>0? f (x )·g (x )>0 ；(2) f (x )
g (x )
<0? f (x )·g (x )<0； (3)
f (x )
g (x )≥0????f (x )·g (x )≥0 g (x )≠0 ； (4) f (x ) g (x )≤0????f (x )·g (x )≤0 g (x )≠0
。 例3 （1）关于x 的不等式2
210kx x ++>的解集为φ，求实数k 的取值范围. （2）已知不等式2
10ax bx ++>的解集是()3,2-，求实数a,b 的值。
（3）若关于x 的不等式2
20mx mx +->无解，求实数m 的取值范围. （五）兴趣探究（供学有余力的同学思考） 解关于x 的不等式2
10x ax a +-+≤ （六）自主练习（作业） 1．解下列不等式：
① 2
4415x x ->； ② 2
144x x -≥； ③()()231x x x x +<-+；
④ 2
280x x --+≥； ⑤ ()(5)40x x -+<； ⑥
2
053
x x -≥+。
2．已知{}{}
22|27150,|0A x x x B x x ax b =+-<=++≤且A B =?I ， 2|
05x A B x x -??
=≤??+??
U ，求实数,a b 的值。 3．如果对于任何实数x ，不等式2
10kx kx -+>都成立，求k 的取值范围。 4．对于任意实数x ，函数()f x = 2
2
(54)2(1)3a a x a x -----的值域为负实数集，求a 的取值范围。
补充2：含绝对值的不等式的解法
一．教学目标
1、 知识与技能：
掌握ax b c +<与()0ax b c c +>>、()ax b f x +<与()ax b f x +>型的不等 式解法；并学会含两个绝对值的不等式的解法。
2、 过程与方法：
通过具体的例题的讲解和师生的共同探究过程中，让学生掌握有关不等式解法。 3、 情态与价值：
让学生体验发现、探究、解决数学问题的过程和乐趣，激发学习的积极性。 二．教学重点和难点
重点：不等式的()ax b f x +<与()ax b f x +>解法
难点：等价转化思想的应用。 三．学法及教学用具
1．学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标． 2．教学用具：三角板、投影仪． 四．教学过程
（一） 复习引入 1．作业订正：《课课练》
2．解关于x 的不等式2
10x ax a +-+>
3．由初中绝对值定义：,0
0,0,0a a a a a a >??
==??-
，归纳含绝对值的问题的常规思路为去绝对值。
（二） 探究新知 1．结合数轴可得：
①()0x a a a x a <>?-<<
②()0x a a x a x a >>?><-或
2．推广到x 的一次或二次因式得到ax b c +<与()0ax b c c +>>的解法。 强调：ax b c +<与()0ax b c c +>>解集的区别：“且”、“或” （三）学以致用
例1．解不等式：①257x +< ②257x -> ③ 127x <-≤ 例2．解不等式：① 4321x x ->+ ②2
2
x
x x -< 分析：关键是去掉绝对值
方法1：原不等式等价于??
?+>--<-??
?+>-≥-1
2)34(0
341234034x x x x x x 或， ∴原不等式的解集为{x| x>2或x<3
1}. 方法2：整体换元转化法
分析：把右边看成常数c ，就同)0(>>+c c b ax 一样 ∵|4x-3|>2x+1?4x-3>2x+1或4x-3<-(2x+1) ? x>2 或x<3
1， ∴原不等式的解集为{x| x>2或x<
3
1}. 例3．解不等式：①21x x -<+ ②2124x x ++->
例4．已知U=R ，{}
{}|21,|02P x x Q x x =->=<<，求()U C P Q I 。 ①将不等式13
22
x -
<<表示成ax b c -<的一种形式。 ②已知不等式()20x b b -<>解集为{}|39x x -<<，求a,b 之值。 思考：解不等式()
13mx m -<为常数 （四）布置作业：
1.解下列不等式：
①1213x ≤+< ②5231x x --+≤
③2
1
32
x x -
> ④242x x -≤+ ⑤()()
343,a x a R a -->∈为常数
§2.1.3 函数的简单性质——单调性(1)
一．教学目标
1.知识与技能： （1）．理解函数单调性的概念， （2）．掌握判断一些简单函数的单调性的方法；
（3）．了解函数单调区间的概念。 2.过程与方法： 通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受数形结合的思想。
3.情态与价值：
培养学生合作、交流的能力和团队精神， 激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯。
二．教学重点：函数单调性概念的理解及应用 三．教学难点：函数单调性的判定与证明 四．教学过程
（一）、设置情景
课件演示：展示已绘制的NBA 球星姚明四个赛季的得分、篮板数据表
姚明数据统计表
得分 篮板
赛季
赛季
注：图象是由点构成的，连线是为了体现变化趋势。
问：你还能举出生活中有哪些利用图象进行分析的实例吗？
(二)、学生活动展示三个具体函数的图象，说出函数图象的变化趋势
问题1：能用图象上动点P （x ，y 学生观察讨论：在某一区间内，
当x 的值增大时,函数值y 也增大——图像在该区间内逐渐上升；
当x 的值增大时,函数值y 反而减小——图像在该区间内逐渐下降。 （三）建构数学
1．观察归纳，形成定义
2：观察上图，如何用数学语言来准确地表述
函数的单调性呢？
①观察：在某一区间内，当x 的值增大时,函数值y 也增大?图像在该区间内呈逐渐上升的趋势；当x 的值增大时,函数值y 反而减小?图像在该区间内呈逐渐下降的趋势。函数的这种性质称为函数的单调性。
②归纳：单调性定义
一般地，设函数()y f x = 的定义域为A ，区间I A ?
如果对于区间I 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x < 时 ，都有12()()f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调增区间
如果对于区间I 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x < 时 ，都有12()()f x f x >，那么就说()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调减区间
如果函数()y f x =在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这个区间上具有单调性，这个区间就叫做函数()y f x =的单调区间。
注意：（1）在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 （2）函数的单调性指对某个区间而言的，是一个局部概念;
判断1：函数 f (x )= x 2 在(),-∞+∞上是单调增函数；（3） x 1, x 2 取值的任意性 判断2：定义在R 上的函数 f (x )满足 f (2)>f (1)，则函数 f (x )在R 上是 增函数； （四）数学应用
例1．根据函数y = f (x )的图象写出它的单调区间答：函数y =f (x )的单调区间有[-5,-2],[-2,1], [1,3],
x
o y
X 1
X 2 f (x 1) f (x 2) x
o
y
X 1
X 2
f (x 1) f (x 2)
函数概念及其基本性质
第二章函数概念与基本初等函数I 一. 课标要求： 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成 的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域， 2. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义. 10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数 1 312 ,,, y x y x y x y x - ====的 图象，了解它们的变化情况 11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学. 3. 函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.
函数的概念和性质
专题讲座 高中数学“函数的概念与性质”教学研究 李梁北京市西城区教育研修学院 函数就是中学数学中的重点内容,它就是描述变量之间依赖关系的重要数学模型、 本专题内容由四部分构成:关于函数内容的深层理解;函数概念与性质的教学建议;学 生学习中常见的错误分析与解决策略;学生学习目标检测分析、 研究函数问题通常有两条主线:一就是对函数性质作一般性的研究,二就是研究几种具体的基本初等函数——二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、研究函数的问题主要围绕以下几个方面:函数的概念,函数的图象与性质,函数的有关应用等、 一、关于函数内容的深层理解 (一)函数概念的发展史简述 数学史角度:早期函数概念(Descartes,1596—1650引入坐标系创立解析几 何,已经关注到一个变量对于另一个变量的依赖关系)[几何角度];Newton,1642—1727,用数流来定义流量(fluxion)的变化率,用以表示变量间的关系;Leibniz,1646—1716引入 常量、变量、参变量等概念;Euler引入函数符号,并称变量的函数就是一个解析表达式[代数角度];Dirichlet,1805—1859提出就是与之间的一种对应的观点[对应关系角度] ;Hausdorff在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数[集合论角度]、 Dirichlet:认为怎样去建立与之间的关系无关紧要,她拓广了函数概念,指出:“对于在某区间上的每一个确定的值,都有一个确定的值,那么叫做的函数、”这种函数的定义,避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,简明精确(经典函数定义)、 Veblen,1880－1960用“集合”与“对应”的概念给出了近代函数定义,通过集合概念,把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了,且打破了“变量就是数”的限制,变量可以就是数,也可以就是其它对象、 (二)初高中函数概念的区别与联系 1.初中函数概念:
一次函数概念图像及性质
一次函数概念、图像及性质 【教学目标】 1. 了解认识一次函数定义、图像，并能根据函数解析式画出图像 2. 理解一次函数的截距概念，会根据直线的表达式指出它在y 轴上的截距 3. 理解、掌握一次函数性质，熟悉图像所经过的象限及y 随x 变化而变化的情况 4. 能运用一次函数的图像及性质解综合型问题 【教学重难点】 1. 根据一次函数的图像确定解析式 2. 掌握一次函数性质，并能灵活运用于解题 3. 能结合一次函数知识点灵活求解综合型问题 【教学内容】 ★ 知识梳理 一、概念 定义：解析式形如)0( ≠+=k b kx y 的函数叫做一次函数 二、图像 一次函数的图象满足：（1）形状是一条直线；（2）始终经过（0 , b ）和（k b - , 0）两点 三、截距 定义：直线)0( ≠+=k b kx y 与y 轴的交点坐标是) , 0 (b ，截距是b 四、性质 1. 一次函数)0( ≠+=k b kx y ，当0>k 时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大；当0 一、概念 例1. 下列关于x 的函数中，是一次函数的是（ ） （A ）1)1(32+-=x y （B ）x x y 1+ = （C ）x y 3-= （D ）x y 5-= 例2. 下列各式中，y 与x 成正比例关系的是 ；成一次函数关系的是 （1）x y 43= （2）x y 2 2-= （3）x y 29-= （4）x y 4= （5）52=+xy （6）765=+y x 例3. 下列说法中，不正确的是（ ） （A ）一次函数不一定是正比例函数 （B ）不是一次函数就一定不是正比例函数 （C ）正比例函数是特殊的一次函数 （D ）不是正比例函数不一定不是一次函数 例4. 下列说法不正确的是（ ） （A ）在32--=x y 中，y 是x 的正比例函数 （B ）在x y 21-=中，y 与x 成正比例 （C ）在1=xy 中，y 与x 1成正比例 （D ）在圆的面积公式2r S π=中，S 与2r 成正比例 例5. 已知b kx y +=，当3-=x 时，0=y ；当1=x 时，4=y ，求k 、b 的值 函数的概念及性质 概览：概念，表示方法，图象和性质 1. 概念 函数的定义：传统定义（初中的），近代定义。自变量，对应法则，定义域，值域〖两域都是集合，回答时要正确表示。〗 对应法则f 是函数的核心，是对自变量的“操作”，如)(x f 是对x 进行“操作”，而)(2x f 是对2x 进行“操作”，)2(f 是对2进行“操作” 函数的三要素，或两要素：定义域、对应法则 判定两个函数是否相同。〖定义域和值域分别相同的两个函数不一定是同一函数，例x y x y 2,==；又如])1,0[(,2∈==x x y x y 定义域都取〗 区间 定义，名称，符号，几何（数轴）表示 映射 定义，符号，与函数的异同 2. 函数的表示方法 列表法，图象法，解析法 分段函数 定义域、值域、最值 求函数解析式的常用方法：配凑，换元，待定系数，函数方程（消去法） 3. 函数的图象 作图的步骤：定义域，列表，描点，连线〖注意抓住特征点，如边界点，与两轴的交点等；边界点注意空心/实心〗 带有绝对值符号的函数 定义域，分段脱去绝对值，作图 4. 函数的性质 求定义域 分式，偶次根式，对数的真数和底数，复合函数，实际问题中的实际意义。 求值域 由定义域和对应法则决定，故应先考虑定义域。方法：观察分析，例 函数211)(x x f +=；配方；换元；判别式；单调性；数形结合（图象）；基本不等式；反求法（反函数法）等。 单调性 对于定义域内的某个区间而言。 单调区间若不含端点，则必须写成开区间，若含端点，则写成闭区间，通常写成开区间也可。 一个函数可能有多个独立的单调区间，应用逗号相隔回答，不用并集，而函数的两域都是整体性的集合，若有必要则要用并集回答。 图象特征：从左到右升/降。 证明步骤：设值，作差，定号，作答。 判断函数单调性的有关规律。 如增加增得增，减加减得减；注意：增乘增未必增，减乘减未必减（还要看各自的函数值是否同正或同负） 奇偶性 函数概念与性质练习题大全 函数定义域 1、函数x x x y +-=)1(的定义域为 A ． {}0≥x x B ．{}1≥x x C ．{}{}01 ≥x x D ．{}10≤≤x x 2、函数x x y +-=1的定义域为 A ． {}1≤x x B ．{}0≥x x C ．{}01≤≥x x x 或 D ．{}10≤≤x x 3、若函数)(x f y =的定义域是[]2,0，则函数1 ) 2()(-= x x f x g 的定义域是 A ． []1,0 B ．[)1,0 C ．[)(]4,11,0 D ．()1,0 4、函数的定义域为)4323ln(1 )(22+--++-= x x x x x x f A ． (][)+∞-∞-,24, B ．()()1,00,4 - C ．[)(]1,00,4 - D ．[)()1,00,4 - 5、函数)20(3)(≤<=x x f x 的反函数的定义域为 A ． ()+∞,0 B ．(]9,1 C ．()1,0 D ．[)+∞,9 6、函数4 1lg )(--=x x x f 的定义域为 A ． ()4,1 B ．[)4,1 C ．()()+∞∞-,41, D ．(]()+∞∞-,41, 7、函数2 1lg )(x x f -=的定义域为 A ． []1,0 B ．()1,1- C ．[]1,1- B ．()()+∞-∞-,11, 8、已知函数 x x f -= 11)(的定义域为M ，)1ln() (x x g +=的定义域为N ，则=N M A ． {}1->x x B ．{}1 第二章函数概念与基本初等函数 I 一. 课标要求：函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重 要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f（x）的含义；了解函数构成的 三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域， 2.了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景. 理解指数函数的概念和意义，掌握f（x）=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f（x）=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a>0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1（x）的意义. 1 10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数y = x,y= x3,y=x-1,y = x2的图象，了解它们的变化情况 11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学. 3.函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法. 4.教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑顺序上的调整，体现了特殊到一般的思维 函数的概念与性质 【知识要点】 1.函数的概念及函数的三要素 2.怎么判断函数的单调性 3.怎么判断函数的奇偶性 【典型例题】 例1．求下列函数的解析式，并注明定义域． （1）若x x x f 2)1(+=-，求)(x f ． （2）若31 )1(44-+=+x x x x f ，求)(x f ． 例2.求下列函数的值域． （1）)1(1 3 2≥++=x x x y （2）1)(--=x x x f （3）232--=x x y （4）246 (),[1,4]1 x x f x x x ++= ∈+ 例3.已知函数f （x ）=m （x +x 1）的图象与函数h （x ）=41（x +x 1 ）+2的图象关于点A （0，1）对称. （1）求m 的值； （2）若g （x ）=f （x ）+ x a 4在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围. 例4．判断下列函数的奇偶性 （1）334)(2-+-=x x x f （2）x x x x f -+?-=11)1()( 例5．设定义在[-2，2]上的偶函数，)(x f 在区间[0，2]上单调递减，若)()1(m f m f <-，求实为数m 的取值范围。 例6．已知函数f （x ）=x + x p +m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值. （2）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值. 例7．（2005年北京东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ， 有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）. （1）求f （1）的值； （2）判断f （x ）的奇偶性并证明； （3）如果f （4）=1，f （3x +1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围. 函数及基本性质 一、函数的概念 （1）设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到 B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． （2）函数的三要素:定义域、值域和对应法则． 注意1：只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3) 5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+= x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(，2)(x x g =； ⑷()f x ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。 A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸ 2：求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数．如：943)(2-+=x x x f ，R x ∈ ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．如：()6 35 -= x x f ，2≠x ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．如()1432+-=x x x f ， 13 1 > 第一章 函数 1.1 函数的概念及其基本性质（4课时） 教学要求：理解集合、区间、邻域及映射的概念，理解函数的概念，掌握函数的表示方法，了解函数的基本性质，理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念，掌握基本初等函数的性质及图形，会建立简单应用问题中的函数关系式。 教学重点难点：重点是理解集合、映射及函数的概念；难点是理解反函数及隐函数的概念。 教学过程： 一、集合及其运算 1、集合概念 (1) 什么是集合? 所谓集合是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素. (2) 集合的表示法 a 列举法：就是把集合的元素一一列举出来表示.由元素n a a a ,,21组成的集合A,可表示成 A={n a a a ,,21} b 描述法：若集合M 是由具有某种性质P 的元素x 的全体所组成,就可表示成 }|{P x x M 具有性质= (3) 集合元素的三大特性：确定性、互异性、无序性. (4) 元素与集合,集合与集合之间的关系：属于、包含、子集、真子集、空集. ２、集合的运算 (1) 并集 {| }A B x x A x B ?=∈∈或；(2) 交集 {| } A B x x A x B ?=∈∈且 (3) 差集 \{| }A B x x A x B =∈?但 (4) 全集与补集(或余集) 全集用I 表示，称A I \为A 的补集记作C A . 即 \{| }C A I A x x I x A ==∈?但 集合的并、交、补满足下列法则： (1) 交换律：A B B A ?=?，A B B A ?=? (2) 结合律：)()(C B A C B A ??=??，)()(C B A C B A ??=?? (3) 分配律：)()()(C B C A C B A ???=??， )()()(C B C A C B A ???=?? (4) 对偶律：C C C B A B A ?=?)(，C C C B A B A ?=?)( （5）幂等律：A A A ?=A A A ?=；（6）吸收律：A A ?Φ=A A ?Φ= 两个集合的直积或笛卡儿乘积 {(,)| }A B x y x A y B ?=∈∈ 且 二、区间与邻域 1、映射与领域 区间：开区间 ),(b a 、闭区间 ],[b a 、半开半闭区间],(b a ，),[b a 、有限,无限区间. 邻域：)(a U 或}|{),(δδδ+<<-=a x a x a U a ：邻域的中心,δ：邻域的半径 去心邻域： }||0|{),(δδ<-<=a x x a U 左δ邻域),(a a δ-、右δ邻域),(δ-a a . 2、映射概念 定义 设,A B 是两个非空集合，如果存在一个法则f ，使得对A 中的每一个元素x .按法则f ,在B 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 为从A 到B 的映射，记作 f B →：A 或,f y x A →∈：x| 其中，并y 称为元素x 的像，记作)(x f ，即 )(x f y =,而x 称为元素y 的一个原像。 映射f 的定义域：f D A =，映射f 的值域：(){()|}f R f A f x x A ==∈ 第五讲 函数的基本概念与性质 函数是中学数学中的一条主线，也是数学中的一个重要概念．它使我们从研究常量发展到研究变量之间的关系，这是对事物认识的一大飞跃，而且对于函数及其图像的研究，使我们把数与形结合起来了．学习函数，不仅要掌握基本的概念，而且要把解析式、图像和性质有机地结合起来，在解题中自觉地运用数形结合的思想方法，从图像和性质对函数进行深入的研究． 1．求函数值和函数表达式 对于函数y=f(x)，若任取x=a(a为一常数)，则可求出所对应的y值f(a)，此时y的值就称为当x=a时的函数值．我们经常会遇到求函数值与确定函数表达式的问题． 例1 已知f(x-1)=19x2＋55x-44，求f(x)． 解法1 令y=x-1，则x=y+1，代入原式有 f(y)=19(y＋1)2＋55(y＋1)-44 ＝19y2＋93y＋30， 所以 f(x)=19x2+93x＋30． 解法2 f(x-1)=19(x-1)2＋93(x-1)+30，所以f(x)=19x2＋93x＋30． 可． 例3 已知函数f(x)=ax5-bx3＋x＋5，其中a，b为常数．若f(5)=7，求f(-5)． 解 由题设 f(-x)=-ax5＋bx3-x＋5 =-(ax5-bx3＋x＋5)+10 =-f(x)+10， 所以 f(-5)=-f(5)＋10=3． 例4 函数f(x)的定义域是全体实数，并且对任意实数x ，y ，有f(x+y)=f(xy)．若f(19)=99，求f(1999)． 解 设f(0)=k ，令y=0代入已知条件得 f(x)=f(x+0)=f(x ·0)=f(0)=k ， 即对任意实数x ，恒有f(x)=k ．所以 f(x)=f(19)=99， 所以f(1999)=99． 2．建立函数关系式 例5 直线l1过点A(0，2)，B(2，0)，直线l 2：y=mx ＋b 过点C(1，0)，且把△AOB 分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，如图3－1．设此三角形的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并画出图像． 解 因为l 2过点C(1，0)，所以m ＋b=0，即b=-m ． 设l 2与y 轴交于点D ，则点D 的坐标为(0，-m)，且0＜-m ≤2(这是因为点D 在线段OA 上，且不能与O 点重合)，即-2≤m ＜0． 故S 的函数解析式为 例6 已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12．从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边 一、选择题 1．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()(1)ln f x x -=+，则()1f =（ ） A ．ln 2- B ．ln 2 C ．0 D ．1 2．已知定义域为R 的函数()f x 在[)2,+∞单调递减，且(4)()0f x f x -+=，则使得不等式( ) 2 (1)0f x x f x +++<成立的实数x 的取值范围是（ ） A ．31x -<< B ．1x <-或3x > C ．3x <-或1x > D ．1x ≠- 3．已知0.3 1()2 a =， 12 log 0.3b =， 0.30.3c =，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b << D ．b c a << 4．函数2()1sin 12x f x x ?? =- ?+?? 的图象大致形状为（ ）． A ． B ． C ． D ． 5．奇函数()f x 在(0)+∞， 内单调递减且(2)0f =，则不等式(1)()0x f x +<的解集为（ ） A ．() ()(),21,02,-∞--+∞ B ．() ()2,12,--+∞ C ．()(),22,-∞-+∞ D ．()()(),21,00,2-∞-- 6．已知函数()() 22 6 5m m m f x x -=--是幂函数，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠， 满足 ()()1212 0f x f x x x ->-，若a ，b R ∈，且0a b +>，则()()f a f b +的值（ ） A ．恒大于0 B ．恒小于0 C ．等于0 D ．无法判断 7．已知函数(1)f x +为偶函数，()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，则满足不等式 (21)(3)f x f x ->的x 的解集是（ ） 函数概念与性质 一、选择题（每小题5分，共50分） 1、下列哪组中的两个函数是同一函数 （A ）2y =与y x = （B ）3y =与y x = （C ）y =2y = （D ）y =2 x y x = 2、下列集合A 到集合B 的对应f 是映射的是 （A ）{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方； （B ）{}{}f B A ,1,0,1,1,0-==：A 中的数开方； （C ）,,A Z B Q f ==：A 中的数取倒数； （D ）,,A R B R f +==：A 中的数取绝对值； 3、已知函数11)(22-+ -=x x x f 的定义域是（ ） （A ）[－1，1] （B ）{－1，1} （C ）（－1，1） （D ）),1[]1,(+∞--∞ 4、若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上（ ） （A ）必是增函数 （B ）必是减函数 （C ）是增函数或是减函数 （D ）无法确定增减性 5、)(x f 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确．．． 的是( ) （A ）0)()(=+-x f x f （B ）)(2)()(x f x f x f -=-- （C ）)(x f ·)(x f -≤0 （D ）1) ()(-=-x f x f 6、函数()f x 的定义域为),(b a ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则 ()f x 在),(b a 上是 （A ）增函数 （B ）减函数 （C ）奇函数 （D ）偶函数 7、若函数()(()0)f x f x ≠为奇函数，则必有 （A ）()()0f x f x ?-> （B ）()()0f x f x ?-< （C ）()()f x f x <- （D ）()()f x f x >- 8、设偶函数f(x)的定义域为R ，当x ],0[+∞∈时f(x)是增函数，则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是（ ） （A ）f(π)>f(-3)>f(-2) （B ）f(π)>f(-2)>f(-3) （C ）f(π) 五、基本初等函数及其性质和图形 1.幂函数 函数称为幂函数。如，， ，都是幂函数。没有统一的定义域，定义域由值确定。如 ,。但在内 总是有定义的，且都经过（1,1）点。当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数： 的图形，如图1-1-2、图1-1-3。 图1-1-2 图1-1-3 2.指数函数 函数称为指数函数，定义域 ，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。高等数学中常用的指数函数是时，即。以与 为例绘出图形，如图1-1-4。 图1-1-4 3.对数函数 函数称为对数函数，其定义域 ，值域。当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。与互为反函数。当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。 以为例绘出图形，如图1-1-5。 图1-1-5 4.三角函数有 ，它们都是周期函数。对三角函数作简要的叙述： （１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。图形为图1-1-6、图1-1-7。 图1-1-6正弦函数图形 图1-1-7余弦函数图形 （２）正切函数，定义域，值 域为。周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8 图1-1-8 （３）余切函数，定义域，值域为 ，周期。在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。 图1-1-9 （４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。 图1-1-10 （５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。 一、选择题 1．已知定义域为R 的函数()f x 在[)2,+∞单调递减，且(4)()0f x f x -+=，则使得不等式( ) 2 (1)0f x x f x +++<成立的实数x 的取值范围是（ ） A ．31x -<< B ．1x <-或3x > C ．3x <-或1x > D ．1x ≠- 2．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义：能够将圆 O （O 为坐标原点）的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”.则下列函数中一定是“优美函数”的为（ ） A ．1()f x x x =+ B ．1()f x x x =- C ．( ) 2 2()ln 1f x x x =+ + D ．() 2 ()ln 1f x x x =++ 3．定义在R 偶函数()f x 满足()()22f x f x -=-+，对[]12,0,4x x ?∈，12x x ≠，都有 ()()1212 0f x f x x x ->-，则有（ ） A ．()()()192120211978f f f =< B ．()()()192119782021f f f << C ．()()()192120211978f f f << D ．()()()202119781921f f f << 4．函数2()1sin 12x f x x ?? =- ?+?? 的图象大致形状为（ ）． A ． B ． C ． D ． 5．已知函数(1)f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()21210f x f x x x ??-->??恒成立，设1,(2),(3)2a f b f c f ?? =-== ??? ，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c << 6．对于实数a 和b ，定义运算“*”：,, ,. b a b a b a a b ≤?*=? >?设()f x x =， ()224g x x x =--+，则()()()M x f x g x =*的最小值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7．下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．y = B ．2log y x = C ．1y x x =+ D ．5y x = 8．已知()f x 为奇函数，且当0x >时，()2f x x =-，则1 ()2 f -的值为（ ） A ．52 - B ．32 - C ． 32 D ． 52 9．已知函数2()2+1,[0,2]f x x x x =-+∈，函数()1,[1,1]g x ax x =-∈-，对于任意 1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3]-∞- B ．[3,)+∞ C ．(,3][3,) -∞-+∞ D ．(,3)(3,)-∞-?+∞ 10．已知() 2 ()ln ,(,)f x x ax b x a b R =++?∈，当0x >时()0f x ≥，则实数a 的取值范 围为（ ） A ．20a -≤< B ．1a ≥- C ．10a -<≤ D ．01a <≤ 11．函数()f x =是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 12．设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意的x D ∈，存在y D ∈，使得()()f x f y =-成立，则称函数()f x 为“呆呆函数”，下列为“呆呆函数”的是（ ） A ．2sin cos cos y x x x =+ B ．2x y = C ．ln x y x e =+ D ．22y x x =- 13．下列各组函数表示同一函数的是（ ） A ．()f x = 2 ()f x = B ．,0(),0 x x f x x x ≥?=? - 第三章函数 第一单元函数的概念与性质 第一节函数的概念 一、选择题 1．下列对应中是映射的是() A．(1)、(2)、(3)B．(1)、(2)、(5) C．(1)、(3)、(5) D．(1)、(2)、(3)、(5) 2．下面哪一个图形可以作为函数的图象() 3．(2009年茂名模拟)已知f：A→B是从集合A到集合B的一个映射，?是空集，那么 下列结论可以成立的是( ) A ．A ＝ B ＝? B ．A ＝B ≠? C ．A 、B 之一为? D ．A ≠B 且B 的元素都有原象 4．已知集合M ＝{}?x ，y ?|x ＋y ＝1，映射f ：M →N ，在f 作用下点(x ，y )的元素是(2x,2y )，则集合N ＝( ) 5．现给出下列对应： (1)A ＝{x |0≤x ≤1}，B ＝R － ，f ：x →y ＝ln x ； (2)A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，f ：x →y ＝±x ； (3)A ＝{平面α内的三角形}，B ＝{平面α内的圆}，f ：三角形→该三角形的内切圆； (4)A ＝{0，π}，B ＝{0,1}，f ：x →y ＝sin x . 其中是从集A 到集B 的映射的个数( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题 6．(2009年珠海一中模拟)已知函数f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f ?2?f ??? ?12＝________. 7．设f ：A →B 是从集合A 到B 的映射，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(kx ，y ＋b )，若B 中元素(6,2)在映射f 下的元素是(3,1)，则k ，b 的值分别为________． 8．(2009年东莞模拟)集合A ＝{a ，b }，B ＝{1，－1,0}，那么可建立从A 到B 的映射个数是________．从B 到A 的映射个数是________． 三、解答题 9．已知f 满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，求f (72)的值． 10．集合M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－1,0,1}，映射f ：M →N 满足f (a )＋f (b )＋f (c )＝0，那么映射f ：M →N 的个数是多少？ 函数的概念及基本性质练习题 1. 下列各图中，不能是函数f (x )图象的是( ) 2．若f (1x )＝1 1＋x ，则f (x )等于( ) A.1 1＋x (x ≠－1) B.1＋x x (x ≠0) C.x 1＋x (x ≠0且x ≠－1) D ．1＋x (x ≠－1) 3．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3 D ．2x －3 4．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 5.已知函数f (x )＝??? 2x ＋1，x ＜1 x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a 等于( ) A.12 B.4 5 C ．2 D ．9 6．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}， B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数 D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值 7．下列各组函数表示相等函数的是( ) A ．y ＝x 2－3 x －3与y ＝x ＋3(x ≠3) B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1 C ．y ＝x (x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z 8．求下列函数的定义域： (1)y ＝－x 2x 2－3x －2；(2)y ＝34x ＋8 3x －2 数学必修1函数概念及性质（知识点总结） （一）函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意：○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础. (3).求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等. 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象． C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上. 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成. (2) 画法 A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法（请参考必修4三角函数） 常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用： 1、直观的看出函数的性质； 2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。函数的概念及性质
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