吉林大学组合数学习题解答

吉林大学组合数学习题解答

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第二章

2.1 证明：在一个至少有2人的小组中,总存在两个人,他们在组内所认识的人数相同。 证明: 假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n －１]，由鸽巢原理知，ｎ个人认识的人数有n-１种,那么至少有2个人认识的人数相同。 假设有1人谁都不认识：那么其他ｎ-１人认识的人数都为[1,n-２]，由鸽巢原理知,n －１个人认识的人数有ｎ-2种,那么至少有2个人认识的人数相同。

2.3 证明:平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点,由它们所连线段的中点的

坐标也是整数。 证明: 方法一:

有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况:（奇数，偶数）；(奇数,奇数）;（偶数，偶数）;(偶数,奇数）。由鸽巢原理知,至少有２个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数,则其两点连线的坐标之和为偶数。因为 奇数＋奇数 = 偶数 ； 偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明:存在至少２个坐标的情况相同。证明成立。

第三章

3.4 教室有两排,每排8个座位。现有学生14人，其中的５个人总坐在前排，4个人总坐在后排，求有多少种方法将学生安排在座位上？

解：前排8个座位，５人固定,共58*5!C 种方法；后排８个座位，4人固定,共4

8*4!C 种方法;前排和后排还剩7个座位,由剩下的5人挑选5个座位,共5

7*5!C 种方法；则一共有545

545887887***5!*5!*4!**28449792000C C C P P P ==种安排方法。 另一种解法：168277386545

5885885888871408!

7!C P P C P P C P P P P P ++=??=??。 3.5 将英文字母表中的26个字母排序,要求任意两个元音字母不能相邻,则有多少种排序方

法？

解：先排21个辅音字母，共有２1!

再将5个元音插入到2２个空隙中，5

22P

故所求为52155

222122521!P P C P ?=

3.６ 有6名先生和6名女士围坐一个圆桌就餐，要求男女交替就坐，则有多少种不同的排坐方式？

解：6男全排列6！;6女全排列６!；6女插入6男的前6个空或者后6个空,即女打头或男打头6!*６!＊２;再除以围圈重复得(６!*６!*２)／1２=6！*5!= 8６400

3.７ 15个人围坐一个圆桌开会,如果先生Ａ拒绝和先生Ｂ和C 相邻，那么有多少种排坐方式? 解:

方法1:除Ｂ和C 以外，A 可以在剩余的12人中挑选２人坐在自己的两边，有22

122C P 。将A 与其两边的人看作一个元素，与其他12个人形成共13个元素的圆排列，有(13-1)!,所以共

有222

12212(131)!12!C P P -== 63228211200种排列。

方法2:除去A 、B 和C 的12人共有11

11P 种坐法,Ａ在12人中插入位置的坐法有12种。B 和C 不与A 相邻的坐法共有1１＊12种，由于1５人围成圆桌坐，故排列方式共有

111112*********!P ??=?= 6３22８21１2０0种坐法。

3.9 求方程123420x x x x +++=，满足12342,0,5,1x x x x ≥≥≥≥-的整数解的个数。

14416803+-??= ???

3.10 书架上有20卷百科全书，从中选出4卷使得任意两本的卷号都不相邻的选法有多少种? 解：

n=20,ｒ=4，1204117238044n r r -+-+??????

=== ? ? ???????

相当于有16卷已经排好,把４卷插入到17个“空隙”中,有174??

???

种，对应序号都不会相邻。

3.20 证明:

（１）()11,3(31)22

n

n S n -=

+- （2)()???

? ??+???? ??=-4332,n n n n S ； (3）().61551043,???

? ??+???? ??+???? ??=-n n n n n S

证明： (1)

组合分析方法：

n 个元素分成3组，允许为空的方案为3n ;

ｎ个元素分成3组,有一组必为空的方案为3*２n ; n 个元素分成3组，有两组必为空的方案为３;

n 个元素分成3组，根据容斥原理,不允许为空的方案为3n －3*2n +３；

不考虑组间顺序,方案为

1

133231(31)23!2

n n n n ---?+=+-

（2)

()???

?

??+???? ??=-4332,n n n n S

3个元素一组、其余元素一个各一组或者选４个元素分两组(每组2个）、其余元素一个各一组。

3个元素一组、其余元素一个各一组：3n ??

???

选4个元素分两组(每组2个)、其余元素一个各一组：选4个元素的方案为4n ?? ???

，分成

2组的方案为42!32??= ???种,所以有34n ??

???

。

(３）

().61551043,???

? ??+???? ??+???? ??=-n n n n n S 4个元素一组、其余元素一个各一组，或者选5个元素分两组（一组2个一组３个）、

其余元素一个各一组，或者6个元素分三组(每组2个）、其余元素一个各一组。

4个元素一组、其余元素一个各一组:4n ?? ???

。

选5个元素分两组(一组2个一组3个）、其余元素一个各一组：选5个元素为5n ??

???

，

分两组(一组２个一组３个)方案为5102??= ???,所以有105n ?? ???

。

选6个元素分三组(每组2个)、其余元素一个各一组：选6个元素为6n ?? ???

，分三组（每

组2个）的方案为63!15222??=

???,所以有156n ??

???

3.21 (１)会议室中有２n +１个座位，现摆成3排，要求任意两排的座位都占大多数，求有多

少种摆法? 解：

(1)

方法1：如果没有附加限制则相当于把2ｎ+1个相同的小球放到3个不同的盒子里,有

213123 3-1 2n n ++-+????= ? ?????

种方案,而不符合题意的摆法是有一排至少有n ＋１个座位。这

相当于将ｎ＋1个座位先放到3排中的某一排,再将剩下的2n+1-（ｎ+１)=n 个座位任意分到3排中，这样的摆法共有21(1)31233 2 2n n n +-++-+????

?=? ? ?????

种方案,所以符合题意

的摆法有：

23213 2 2 2n n n +++??????

-?= ? ? ???????

方法２：设第一排座位有x 1个，第二排座位有ｘ2个,第三排座位有x 3个。x 1+x 2+x 3=２n+1，且x １+x ２≥(２ｎ+1)/2，x 1+x 3≥(２n ＋1)/2,x 2+x 3≥(２n ＋1）/2,即x 1+x 2≥n+1，ｘ1+ｘ3≥n+1,x 2+x 3≥n ＋1,令y １＝ ｘ1+x 2-n －1,y 2= ｘ1+x 3-n-１,y 3= x ２+x 3-ｎ－1,可知ｙ１＋y 2+y ３=2(２n+１）-３(n ＋1)=n-1且ｙi ≥０,１≤i ≤3。显然，ｘ方程满足要求的解与y 方程非负整数解一一对应，有

1311312n n -+-+????= ? ?-????

种。 方法３：要求每行非空

如果没有附加限制则相当于把2ｎ＋1个相同的小球放到3个不同的盒子里，不允许为

空,有2112 3-12n n +-????= ? ?????

种方案,而不符合题意的摆法是有一排至少有n+1个座位。这相当

于将n 个座位先放到３排中的某一排,再将剩下的２n+1－n ＝n+1个座位任意分到3排中，每排不允许为空,这样的摆法共有21133 22n n n +--????

?=? ? ?????

种方案，

所以符合题意的摆法有:

21322 2n n n +??????

-?= ? ? ???????

第四章

4.13 计算棋盘多项式R （)。

解：

R(） = x ＊R(

)+R() ＝x*（1+3x+x 2)+(１＋x ）＊R （

）

= x ３

+3x ２

＋x+（１＋x)[ｘＲ(

)＋R(

)］

＝ ｘ３

+３x 2＋x+(1+ｘ)[x(1+ｘ)+（1+４x+２x ２

)] = 5x 3+1２x 2+7x+1

第五章

5.3 已知数列{}k a 的生成函数是x

x x x A 31932)(2

--+=,求k a .

20

2392()32331313k k k x x A x x x x x x ∞

=+-==+=?+--∑

9

123

1

k k

k a k =?=??≠?

５.7一个1×n 的方格图形用红、蓝、绿和橙四种颜色涂色，如果有偶数个方格被涂成红色,还有偶数个方格被涂成绿色,求有多少种方案? 解:涂色方案数为k b 则:

242342222221{}(1)(1)()()2!4!2!3!

24

114244!0

x x x x x x x x x e e e e G b e e k n n n x n n -+++=++++++

==∞++=+∑=

因此：1142010n n n n b n --?+>=?=?

，所以有11

42n n --+种方案。

计数原理与排列组合经典题型

计数原理与排列组合题型解题方法总结 计数原理 一、知识精讲 1、分类计数原理： 2、分步计数原理： 特别注意:两个原理的共同点：把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。 不同点：如果完成一件事情共有n类办法，这n类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理。分类时应不重不漏（即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类） 如果完成一件事情需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。各步骤有先后，相互依存，缺一不可。 3、排列 (1)排列定义,排列数 (2)排列数公式: (3)全排列列: 4.组合 (1)组合的定义,排列与组合的区别; (2)组合数公式: (3)组合数的性质 二、.典例解析 题型1:计数原理 例1.完成下列选择题与填空题 (1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种。 A.81 B.64 C.24 D.4 (2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( ) A.81 B.64 C.24 D.4 (3)有四位学生参加三项不同的竞赛, ①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有; ②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有;

③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有 。 例2（1）如图为一电路图，从A 到B 共有 条不同的线路可通电。 例3: 把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？ 例4、某城在中心广场造一个花圃，花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 ________ 种.(以数字作答) 例5、 四面体的顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，问共有多少种不同的取法？ 例6、（1）电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果? （2）三边均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是 D C B A

普通高等教育十五国家级规划教材-吉林大学数学学院

普通高等教育“十一五”国家级规划教材 随机数学 （C） 标准化作业 吉林大学公共数学中心 2013.2

第一次作业 院(系) 班级 学号 姓名 一、填空题 1． 10个人编号1，2，…，10且随意围一圆桌坐下，则有某一对持相邻号码的两个人正好座位相邻的概率是 ． 2．已知事件A 和B 满足()()P AB P AB =，且()0.4P A =，则()P B = ． 3．已知1()4 P A = ,1(|)3P B A =,1 (|)2P A B =，则()P A B = ． 4. 在区间（0,1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于65 ”的概率为 . 5．两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率是1 9，且A 发生B 不发生和A 不发生B 发生的概率相等，则()P A = ． 6．在4重伯努利试验中，已知事件A 至少出现一次的概率为0.5，则在一次试验中A 出现的概率为 ． 二、选择题 1．下列等式不成立的是（ ） （A ）A AB AB = ． （B ）A B AB -=． （C ）()()AB AB Φ=． （D ）()A B B A -= ． 2. 设,,A B C 是同一个实验的三个事件，则事件()()()A B A B A B U U U 可化简为（ ） （A ）A B U ． （B ）A B -． （C ）AB ． （D ）Φ． 3．已知事件A 和B 满足()0P AB =，则（ ） （A ）A 和B 相互独立． （B ）AB Φ=． （C ）AB 未必为Φ． （D ）()0P A =或()0P B =． 4.在10件产品中有2件次品,依次取出2件产品,每次取一件,取后不放回,则第二次取到次品的概率为( )

吉林大学硕士研究生入学考试数学分析高等代数考试

吉林大学 2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题 数学分析卷 一、（共30分）判断题 1、若函数()f x 在(),a b 上Riemann 可积，则()2 f x ????在(),a b 也Riemann 可积； 2、若级数 1 n n a ∞ =∑收敛，则级数 1 n n a ∞ =∑也收敛； 3、任何单调数列必有极限； 4、数列 (){}1n -的上、下极限都存在； 5、区间(),a b 上的连续函数必能达到最小值； 6、sin x 在整个实轴上是一致连续的； 7、若函数(),f x y 沿着任何过原点的直线连续，则(),f x y 在()0,0连续； 8、若函数()f x 在点0x 取极小值，则()00f x '=； 9、若()00f x '=，()00f x ''<，则()f x 在点0x 取极大值； 10、向量场() 222222 ,,x y y z z x ---是无源场。 二、（共20分）填空题 1、设()()sin u x y x y z =+++，则grad ()u =； 2、设(),,F x y y z z x → =+++，则div ()F → =； 3、设(),,F x yz y zx z xy → =---,则rot ( )F → =； 4、设s 表示单位球面2 2 2 1x y z ++=，则第一型曲面积分 ()2s x ds =??； 5、数列()2 211n n n ?? +-??? ?的下极限为()； 三、（共20分）计算下列极限 1、1200611lim n n n k k →∞ =?? ??? ∑；

2 、01lim x x →； 3、111lim 200620071n n n n n →∞? ?+++ ?++++? ?L ； 4、1 2 0lim 1n n x dx x x →∞++?。 四、（共20分）判断下列级数的敛散性 1、1200620072005 n n n n ∞ =-∑； 2、1n n u ∞ =∑，其中()2 120,,1,2,1n n n u n u n u n ->≤=+L 五、（10分）设函数()f x 在[]0,1两次连续可微，满足()()010f f ==且()1 0f x dx =?。 证明：存在()0,1ξ∈使得()0f ξ''=。 六、（10分）计算第二型曲线积分 2222343434C x y dx dy x y x y -++? 其中C 为单位圆周2 2 1x y +=，方向为顺时针方向。 七、（10分）证明，对任意0x >，都有 3sin 6 x x x >- 八、（10分）设,,,a b αβ均为常数，且对任意x 都有 ()sin x x ax b αβ+=+ 证明：0a b αβ==== 九、（10分）证明，不存在[)0,∞上的正的可微函数()f x ，满足 () 0f x '+≤ 十、（10分）试构造区间[]0,1上的函数序列(){} n f x ，具有如下性质： （1）对每个n ，()n f x 是[]0,1上的正的连续函数；

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定： 组合数性质： .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011 =+++=+=+--…… ，， ①；②；③；④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集， 所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分 类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （43．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）．相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 （5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。 解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法； （6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。 （7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 （8）．数字问题（组成无重复数字的整数） ① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数； ③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。 4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3．分组问题： 均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。 混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4．分配问题： 定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。

数学分析教学现状调查与分析

作为学院院级精品课程，我们以素质教育观为指导思想，对数学分析教学现状进行了调查与研究.调查地目标是教学内容、教学方法和手段.调查地方式有：.在全省范围内向师范院校毕业地中学数学分析教师发出问卷（以下简称卷Ⅰ），（回收份）；.向学院在职与退休地数学分析教师发出问卷（以下简称卷Ⅱ），（回收份）；.对在职和退休地数学分析教师是行访谈；.召开在校学生座谈会；.查阅部分学校地数学分析教学档案.现梳理出调查结果并作出分析.数学分析在数学教育专业中所处地地位 教学管理机构，院、系对数学分析课地重视程度. 数学分析地形成发展有着悠久地历史，它地内容丰富、诚厚，很多数学分支是由它派生地.也有很多数学分支要以它为思想、知识、方法地基础，同时它还直接或间接地应用于自然、人文、社会科学地诸多方面.无论是哪方面地现代人才，都必须掌握足够地数学分析知识.对此，我省有关教学管理机构，各学院地院、系两级认识深刻、清楚，在学院数学教育专业地课程体系中始终把数学分析课放在“基础、主干”地地位.个人收集整理勿做商业用途 第一，保证了课时.各校给数学分析地排课都是三，四学期课时以上.年全省各校为拓宽专业口径，压缩了专业课，甚至提出淡化专业课地口号，但各校均未减少数学分析地课时.个人收集整理勿做商业用途 第二，在恢复高考招生制度后，全省高师系统首次组织地统考，就是对数学分析地统考.年省教委又组织了部分院校为数学分析摸底考试而命题.个人收集整理勿做商业用途 第三，各校都重视数学分析课地课程建设.象咸阳师院、渭南师院、安康学院都把数学分析定为校级重点建设课程.个人收集整理勿做商业用途 学生心目中地数学分析 卷Ⅰ题地统计结果是：有地人在校学习期间对数学分析课最感兴趣；地人对数学分析学习投入地精力最大；地人认为毕业后仍留下深刻影响地课是数学分析课.但只有地人将该课列为对中学数学教学作用最大地课.个人收集整理勿做商业用途 教学内容现状及分析 教学文件 2.1.1教学大纲 年原教育部委托部分院校编过一部数学分析教学大纲，其内容扎实、结构严谨.它是此后近二十年各师专数学教育专业选择教材、编写讲义、命题考试地主要依据，其作用不可低估.但用现在地眼光看，不对其“革新”就不能适应发展地教育形势，在幅员辽阅地国土上，各地经济、文化发展不平衡，生源素质不一，办学特色不同，用一个大纲覆盖万平方米是不现实地.再之，年地大纲没用具体地教学要求.仅列教学目录，不便操作.这部大纲看不出师范特点，也没能考虑专科生地接受能力，盲目向本科看齐，这个大纲是不能进入世纪地.此后，原国家教委及现教育部都从未颁过统一地数学分析教学大纲，师专数学分析教学内容地遴选无“法”学可依由来已久.年调整教学计划后，各校都自行编写了数学分析教学大纲，以教学内容地遴选、组织起到了一定地规范作用.个人收集整理勿做商业用途 2.1.2原国家教委年地“教学方案” 年原国家教委颁发了《高等师范专科研教育二、三年制教学方案》.随后陕西省教委通知各师专自级执行这一方案.这是一次力度较大地改革.其中学科必修课改革力度最大，表现在课程门类地精减和课时地压缩上，这个方案没有配置相应地大纲，只有一个学科必修课地“课程设置说明”，各科地说明都很原则.对数学分析地“说明”列举有内容要点及课程设置目地.它指出：“设置课程地目地是使学生系统地掌握数学分析地基本理论、基础知识、能熟练地进行基本运算，具有较强地分析论证能力，能深入分析和处理中学数学教材，具备一定地解决实际问题地能力，办学习后继课程打下基础”.这是适应时代要求地.“方案”不配大纲，我们要作积极地理解，这本身就是改革，是在统一目地、统一要求地前提下，充分发挥各院校在

高中数学排列组合典型例题精讲

概念形成 1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素 2、排列：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺．．．． 序．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．． 。 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关） （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 合作探究二 排列数的定义及公式 3、排列数：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出 m 元素的排列数，用符号m n A 表示 议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？ 4、排列数公式推导 探究：从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少？3n A 呢？m A n 呢？ )1()2)(1(+-?--=m n n n n A m n （,,m n N m n *∈≤） 说明：公式特征：（1）第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个 因数是1n m -+，共有m 个因数； （2）,,m n N m n *∈≤ 即学即练: 1.计算 (1）410A ； (2）25A ；(3)3355A A ÷ 2.已知101095m A =???，那么m = 3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----用排列数符号表示为( ) A ．5079k k A -- B ．2979k A - C ．3079k A - D ．3050k A - 例1． 计算从c b a ,,这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。 5 、全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的全排列。 此时在排列数公式中， m = n 全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--?=（叫做n 的阶乘）. 即学即练:口答（用阶乘表示）：（1）334A （2）44A （3）)!1(-?n n 排列数公式的另一种形式： )! (!m n n A m n -= 另外，我们规定 0! =1 .

排列组合典型例题(带详细答案)

例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 例2三个女生和五个男生排成一排 （1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ （2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法． 例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员．问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？ 例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？ 例77名同学排队照相． (1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？

(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？ (3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ (4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？ 例8计算下列各题： (1) 215 A ； (2) 66 A ； (3) 1 1 11------?n n m n m n m n A A A ； 例9 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队，限定a 要排在b 的前面（a 与b 可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法． 例10 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？ 例11 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有 例12 由数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（ ）． 例13 用5,4,3,2,1，这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）． 例14 用543210、、、、、共六个数字，组成无重复数字的自然数，(1)可以组成多少个无重 复数字的3位偶数？(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数？

数学分析考研2021复旦与山东科大考研真题库

数学分析考研2021复旦与山东科大考研真题库 一、山东科技大学《603数学分析》考研真题

二、复旦大学数学系 第1部分数项级数和反常积分

第9章数项级数 一、判断题 1．若收敛，则存在．[重庆大学2003研] 【答案】错查看答案 【解析】举反例：，虽然，但是 发散． 2．若收敛，，则收敛．[南京师范大学研] 【答案】错查看答案 【解析】举反例：满足条件，而且很容易知道 但是发散，所以发散． 二、解答题 1．求级数的和．[深圳大学2006研、浙江师范大学2006研] 解： 2．讨论正项级数的敛散性．[武汉理工大学研]

解：由于，所以当a＞1时收敛，当0＜a＜1时发散；当a＝1时，由于 ，故发散． 3．证明：收敛．[东南大学研] 证明：因为所以 又因为 而收敛，故收敛． 4．讨论：，p∈R的敛散性．[上海交通大学研] 证明：因为为增数列，而为减数列，所以．从而

所以．于是当p＞0时，由积分判别法知收敛，故由Weierstrass判别法知 收敛：当p＝0时，因为发散，所以发散：当p＜0时， 发散． 5．设级数绝对收敛，证明：级数收敛．[上海理工大学研] 证明：因为绝对收敛，所以．从而存在N＞0，使得当n＞N 时，有，则有 ，故由比较判别法知级数收敛． 6．求．[中山大学2007研] 解：由于，所以绝对收敛． 7．设，且有，证明： 收敛．[大连理工大学研] 证明：因为，所以对任意的ε，存在N，当n＞N时，有

， 即 取ε充分小，使得，即．因为，所以单调递减，且 现在证明．因为，即则 ． 所以对任意的ε，存在N，当n＞N时，有．对任意的0＜c-ε＜r，有 所以存在N，当n＞N时，，则 因此 ，

排列组合典型例题

排列组合典型例题 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.

高考排列组合典型例题

高考排列组合典型例题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

排列组合典型例题 例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数 分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下： 如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二． 如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三． 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四． 解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有39A 个； 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ??（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296179250428181439 =+=??+A A A A 个． 解法2：当个位数上排“0”时，同解一有39A 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千 位数是“0”排列数得：)(283914 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 22961792504)(28391439 =+=-?+A A A A 个．

高中数学排列组合经典题型全面总结版

高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

排列组合典型例题

排列组合典型例题

典型例题一 例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下： 如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二． 如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三． 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四． 解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有3 A个； 9 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，

则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有2 8181 4 A A A ??（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 179250428181439=+=??+A A A A 个． 解法2：当个位数上排“0”时，同解一有3 9 A 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：) (28391 4 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 1792504)(28391439=+=-?+A A A A 个． 解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 2 81 515A A A ??个 干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有 2 81414A A A ??个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有

高中数学排列组合题型总结与易错点提示25587汇编

排列组合 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1 m 种不同的方法，在第2类办法中有2 m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1 m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =???种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合 要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13 C C 1 4 A 3 4 C 1 3 然后排首位共有14 C 最后排其它位置共有34 A 由分步计数原理得113434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花

不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素， 同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有5225 2 2 480A A A 种不同的排法 乙 甲丁 丙 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈 节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55 A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456 A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单， 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素 一起作排列 ,同时要注意合并元素内部也必须排列. 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端

吉林大学网络学院经济统计学概要

某单位员工为“5?12”四川汶川大地震受灾者捐款，其中18%的人捐助100元，30%的人捐助200元，25%的人捐助300元，其余捐助500元以上，则200元可作为这组数据的（） 1.中位数 2.众数 3.组中值 4.几何平均数 2：在首都举行的庆祝国庆60周年演出活动中，下列数据中不属于数值型数据的是 （） 1.演出场次数 2.外地进京演出单位总数 3.演出剧目种类 4.参加演出的演职人员总数 3：下表是某商场2009年1-6月份销售额（单位：万元）资料， 月份 1 2 3 4 5 6 销售额 10 14 12 13 14 12 则5月份的环比增长率为（） 1.(14 / 13 )x100 % 2.(14/13 ) -1 3.140% 4.40% 4：据调查，某班级20人的上学期每周平均上网时间（以整小时计）分布如下： 小时数 0 1 3 5 6 7 人数 2 2 4 8 3 1 则这20名学生上学期每周平均上网时间的众数是（） 1.3小时 2.4小时 3.5小时 4.不存在 5：适合用累计频数进行统计整理的数据的类型最低级别应是( ) 1.分类数据

3.数值型数据 4.定量数据 6：与2008年4月份相比，某地区2009年4月份用同样多的人民币可购得与去年同样质量等级的猪肉数量的125%，该地区2009年4月份猪肉的同比物价指数下降( ) 1.1?（100% / 125%） 2.（100% /125% ）?1 3.100% /125% 4.75% 7：在下列数据中，只属于分类数据的是（） 1.不含有三聚氰胺的国产奶粉的合格品牌 2.2008年北京奥运会奖牌榜上的名次 3.“5．12”四川汶川大地震的直接受灾人口数 4.北京奥运会的志愿者总数 8：“2008年北京奥运会开幕式“的收视率调查是属于（） 1.普查 2.抽样调查 3.重点调查 4.典型调查 9：以下不属于收集数据常采用的方法是（） 1.访问调查 2.电话调查 3.网上调查 4.抽样调查 10：某例甲型H1N1流感病例的流行病学调查（病人所接触者调查）是属于（） 1.普查 2.抽样调查 3.重点调查 4.典型调查 11：据调查，某班级20人上学年参加勤工俭学的月平均收入（单位:元）分布如下：

基础数学排名

070101 基础数学 基础数学是数学科学的核心。它不仅是其它应用性数学分支的基础，而且也为自然科学、技术科学及社会科学提供必不可少的语言、工具和方法；应用数学则以数学方法和计算机技术及信息技术为主要工具，通过研究和建立数学模型，解决现代科学技术及信息、管理、经济、金融、社会和人文科学中提出的大量实际问题和理论问题。该专业的毕业生具有扎实的数学理论基础和借助数学和计算机技术解决实际课题的能力，从而具备了较广泛的适应性和较强的发展潜力。该专业为高等院校和科研机构输送数学、应用数学及相关学科的研究生。毕业生可以在工农业、交通运输、天文气象、航空航天、地质矿产、财政金融、保险核算、军事等部门从事与应用数学相关的工作、在高等学院校担任基础数学或应用数学的教学与科研；在自然科学、技术科学、管理科学和工程设计等研究院所承担理论和实际课题；在计算中心、计算站承担数学模型和应用软件的研究与开发的工作。 其划分为：A+为重点优势学科，A 为优势学科，B+为良好学科，B 为一般学科，C 为较差学科。 示例如下： 排名 学校名称 等级 排名 学校名称 等级 排名 学校名称 等级 1 复旦大学 A+ 10 四川大学 A 19 吉林大学 A 2 北京大学 A+ 11 北京师范大学 A 20 兰州大学 A 3 浙江大学 A+ 12 山东大学 A 21 首都师范大学 A 4 南开大学 A+ 13 同济大学 A 22 大连理工大学 A 5 华东师范大学 A+ 14 哈尔滨工业大学 A 23 湖南师范大学 A 6 中国科学技术大学 A+ 15 武汉大学 A 24 郑州大学 A 7 南京大学 A 16 北京航空航天大学 A 25 苏州大学 A 8 清华大学 A 17 南京师范大学 A 26 陕西师范大学 A 9 中山大学 A 18 厦门大学 A B+等(40个)：华南师范大学、河北师范大学、中北大学、西北大学、西北师范大学、扬州大学、华中师范大学、上海交通大学、东南大学、西安交通大学、西南大学、湖北大学、上海大学、天津大学、华中科技大学、福建师范大学、北京理工大学、福州大学、四川师范大学、汕头大学、安徽大学、湖南大学、浙江师范大学、山西大学、宁波大学、北京交通大学、东北师范大学、山东师范大学、北京工业大学、云南大学、河南师范大学、南昌大学、东北大学、黑龙江大学、曲阜师范大学、西北工业大学、中南大学、重庆大

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高中数学排列组合中的典型例题与分析(三)

排列与组合的八大典型错误、 24种解题技巧 三大模型 一、知识点归纳 二、基本题型讲解 三、排列组合解题备忘录 1.分类讨论的思想 2.等价转化的思想 3.容斥原理与计数 4.模型构造思想 四、排列组合中的8大典型错误 1．没有理解两个基本原理出错 2.判断不出是排列还是组合出错 3.重复计算出错 4.遗漏计算出错 5.忽视题设条件出错 6.未考虑特殊情况出错 7．题意的理解偏差出错 8.解题策略的选择不当出错 五、排列组合24种解题技巧 1．排序问题 相邻问题捆绑法 相离问题插空排 定序问题缩倍法（插空法） 定位问题优先法 多排问题单排法 圆排问题单排法 可重复的排列求幂法 全错位排列问题公式法 2．分组分配问题 平均分堆问题去除重复法（平均分配问题） 相同物品分配的隔板法 全员分配问题分组法 有序分配问题逐分法 3．排列组合中的解题技巧 至多至少间接法 染色问题合并单元格法 交叉问题容斥原理法 构造递推数列法 六．排列组合中的基本模型 分组模型（分堆模型） 错排模型 染色问题

七．排列组合问题经典题型与通用方法 （一）排序问题 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（）A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4 424A =种，答案：D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为5 5A 种，再用甲乙去插6个空位有2 6A 种，不同的排法种数是5 2 563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种B、60种C、90种D、120种 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即 5 51602 A =种，选 B .11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。 例11.现有1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ 解析：老师在中间三个位置上选一个有1 3A 种，4名同学在其余4个位置上有4 4A 种方法；所以共有1 4 3472A A =种。 12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。 例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）A、36种B、120种C、720种D、1440种 （2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？ 解析：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共 66720A =种，选C . （2）解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有2 4A 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有1 4A 种，其余5个元素任排5个位置上有5 5A 种，故共有1 2 5 4455760A A A =种排法. 16.圆排问题单排法:把n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首位、末位之分，下列n 个普通排列：