不变子空间、若当、最小多项式(简介)

§7 不变子空间

◎ 本节重点：不变子空间的定义与“限制”.

已知可对角化对应于对角矩阵，但是并不是每个都能对角化的.退一步，对应于准对角形也好；虽然比对角形复杂，但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念. 一、定义与例子

1.定义：)(n V L ∈σ，W 是σ的不变子空间W ?是V 的子空间，且,W ∈?ξ有W ∈)(ξσ.

简称σ-子空间. （注意：与线性变换有关）

2.例子：设)(n V L ∈σ，则下列子空间W 都是σ的不变子空间：

1）{}0=W 2）V W = 3）)0(1-=σW 4）)(V W σ= 5）{}ξλξσξλ0)(|0=∈==V V W 例1若线性变换A 与B 是可交换的，则B 的核与值域都是A -子空间.

二、线性变换在不变子空间上的“限制”

1.定义：设W 是)(n V L ∈σ的不变子空间，可只在W 中考虑σ，记为W |σ.

【意义】缩小了线性变换的范围，从而简化线性变换.因此，如果V 可分解为若干-σ子空间i W 的直和，那么对V 的线性变换σ的研究就归结为对各个子空间i W 的直和研究.

2.区别：W |σ与σ的作用结果一样，但作用范围不同.即

σξξσξ=?∈)|(W W ；ξσξ)|(W W ??无意义.

三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系（意义）

设V 可分解为若干个σ-子空间的直和：s W W W V ⊕⊕⊕= 21，

在每个不变子空间i W 中取基k i i i εεε,,,21 ，s i ,2,1=，并把他们合并为V 的一组基，则在这组基下，σ的矩阵具有

准对角形????

? ??s A A 1，其中i A ，s i ,2,1=是i W A |在对应基下的矩阵.

进一步的，我们有：

*四、不变子空间的直和分解

定理12：设线性变换)(n V L ∈σ的特征多项式)(λf 可分解成一次因式：

S r S r r f )()()()(2121λλλλλλλ---= ,则V 可以分解成不变子空间的直和：

s V V V V ⊕⊕⊕= 21,其中}0)(|{=-∈=ξλσξi r i i E V V .

§8 若当（Jordan ）标准形介绍

若当（Jordan ）标准形是一类特殊的准对角矩阵. 一、基本定义

1. 若当块

???????? ??=λλλ

λλ10000100000100

00),( t J （λ是复数；注意对角元相同） 2. 若当形矩阵＝由若干个若当块（阶数未必相同、λ未必相同）组成（不计顺序）的准对角矩阵. （若当形矩阵中包括对角矩阵）

【问题】若当形矩阵的特征值＝？ 例1求所有的三阶若当形矩阵.（若当块不计排列顺序）

二、主要结论

定理13： ))((C V L n ∈?σ，在V 中必定存在一组基，使σ在这组基下的矩阵式若当形矩阵. （这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外，是被σ唯一决定的，它称为σ的若当标准形）

若用矩阵来描述，即

定理14：复数域上，每个方阵都相似于某个若当形矩阵.（好用的结论）

三、若当标准形的求法（第八章介绍）

【特例】若A 可对角化，则若当标准形就是相似的对角矩阵.

【第二届中国大学生数学竞赛预赛2010】设????

? ??=00020100030100B ，

证明B X =2无解，这里X 为三阶复数矩阵.

[证法]对复数矩阵，优先考虑它相似于某个Jordan 矩阵这个性质，并联系特征值.

§9 最小多项式介绍

最小多项式有着良好的理论意义，特别是适用于对角化问题.

已知Cayley Hamilton -定理：方阵A 的特征多项式是A 的零化多项式.要寻找其中次数最低的，这就是最小多项式的研究思路. 一、基本定义

定义：)(x ?是方阵A 的最小多项式0)(=?A f 且)(x ?次数最低、首项系数为1.

例 数量矩阵kE 的最小多项式是 二、基本性质

引理1矩阵A 的最小多项式必唯一.

证法 带余除法

引理2)(x f 是A 的零化多项式)(x f ?是A 的最小多项式)(x ?的倍式，即)(|)(x f x ?.

【特例】最小多项式是特征多项式的因式.

证法 带余除法

例 求????

? ??=1111A 的最小多项式. 2)1(-x

【问题】相似矩阵有相同的最小多项式？

例 k 阶若当块k

k a a a J ???????? ??=11 的最小多项式是 （直接计算，k a x )(-） 三、主要结论

定理 数域P 上矩阵A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积. 推论 复数域上A 可对角化的充要条件是A 的最小多项式无重根.

例 设A 是n 阶幂等矩阵，且秩为r .试求A 的相似标准形，并说明理由；求A E -2. 解法：由A A =2知A 有最小多项式)1()(2-=-=λλλλλg 且无重根，所以A 相似于对角矩阵，

且特征值只能是1或0.又r A r =)(，故存在可逆矩阵P 使???? ?

?=-0001r E AP P .

从而 r n r n r A E E E AP P E P A E P ----=-????

? ??=-=-222002)2(11. 矩阵相似对角化的应用

1.利用矩阵相似对角化计算矩阵多项式

若矩阵A 与B 相似，则存在可逆矩阵P 使得1-=PBP

A ，于是1

-=P PB A k k . 进一步有：当)(x ?是多项式时，1)()(-=P B P A ??.

特例：当A 相似于对角矩阵时，由1-=P PB A k k 容易计算方幂k A .

2.求Fibonacci 数列通项：)1,0(1012==+=++a a a a a n n n 解法 用矩阵形式表示递推关系式???? ?????? ??=???? ?????? ??=???? ??-+011101110111a a a a a a n

n n n n

???? ??=0111A 的特征值为2512,1±=λ，对应的特征向量为'???

? ??±1,251，???? ??=-211λλAP P 由此可求n A ，即得???

????????? ??--???? ??+=n n n a 25125151. 3.利用矩阵相似对角化线性方程组

【例】（人口流动问题）设某国人口流动状态的统计规律是每年有十分之一的城市人口流向农村，十分之二的农村人口流入城市.假定人口总数不变，则经过许多年以后，全国人口将会集中在城市吗？

解 设最初城市、农村人口分别为00,y x ，第k 年末人口分别为k k y x ,，则

???? ?????? ??=???? ??00118.01.02.09.0y x y x ，???

? ?????? ??=???? ??--118.01.02.09.0k k k k y x y x 记???? ??=8.01.02.09.0A ，可得???

? ??=???? ??00y x A y x k k k . 为计算k A ，可考虑把A 相似对角化.特征多项式)7.0)(1(--=-λλλA E .

1=λ对应的特征向量为)1,2(1'=α；7.0=λ对应的特征向量为)1,1(2'-=α

取????

??-==1112),(21ααP ，得???? ??-=-2111311P ???

? ??-???? ?????? ??-=???? ??=-21117.00011112317.00011k k k P P A

令∞→k ，有07.0→k ，得???

? ??=???? ??-???? ?????? ??-→12223121110001111231k A ?????

? ??+=???? ?????? ??→???? ??3132)(1222310000y x y x y x k k 可见当∞→k 时，城市与农村人口比例稳定在1:2.

定理7：设A 为实对称矩阵，则必存在正交矩阵T ，使得1T AT T AT -'=为对角阵.（注意：对角元恰好是A 的全体特征值） （常用于证明题）

[证明思路]：利用对称变换的理论，等价于对称变换有n 个特征向量作成标准正交基（见教材）.也可用数学归纳法，将实对称矩阵A 用两次正交相似变换化为对角阵.

证明：设σ在n 维欧氏空间V 的标准正交基下的矩阵是A ，则σ是对称变换.

1=n 时，)(αL V =，取V e ∈=αα/1，则V e ∈)(1σ，有11)(ke e =σ，1e 即为所求. 设1-n 时命题成立（含义？），考虑n 的情形.设法把n V 分解成11-+n V V ，才能使用归纳假设：

1）σ对称σ??→?引理

有实数特征值1λ（才能保证特征向量)(1R V ∈α，正交矩阵要求实数矩阵）；

2）取111/αα=e ，则是实．

特征向量.设1V 是)(1e L 的正交补，则1V 是σ-子空间，维数为1-n ，且1|V σ是1V 的对称变换.于是利用归纳假设，1V 有1-n 个特征向量n e e ,,2 标准正交，联合n e e e ,,,21 即为V 的特征向量、标准正交基.

另证：直接从矩阵角度证明，数学归纳法：1=n 显然. 设1-n 时命题成立，A 必有实数特征

值1λ（特征向量n R ∈1α），取111/αα=e ，则也是实．

特征向量.扩充成n R 的标准正交基n e e e ,,,21 ，以它们为列作n 级矩阵1T ，则1T 正交，且

),,,(),,,(),,,(1121111112111211111n n n Ae T Ae T e T Ae Ae Ae T e e e A T AT T -----===' λ

注意到),,,(),,,(112111112111111n n e T e T e T e e e T T T E -----=== ，故111e T -是E 的第一列，

于是11AT T '形如??

? ??B C 01

λ,而A 对称，11AT T '也对称，得0=C ，且B 是1-n 级对称矩阵. 由归纳假设，存在1-n 级正交矩阵Q ，使得),,(2n d i a g BQ Q λλ ='，取212,001T T T Q T =??

? ??=可得T 是正交矩阵，并且

),,(1111n diag Q B Q AT T λλλ ==???

? ?????? ?????? ??'=' 又AT T AT T 1-='与A 相似，有相同的特征值，于是n λλ,,1 是A 的全部特征值.

《欧氏空间》复习 一、主要概念

1）内积 2）长度 3）夹角 4）正交 5）度量矩阵 6）标准正交基

7）正交矩阵 8）正交变换 9）正交补 10）对称变换 11）最小二乘法 二、重要方法

1.验证欧氏空间.[内积4条公理]

2.利用内积计算长度、夹角；证明向量相等、长度关系式.

3.求标准正交基.[可验证！先正交化再单位化，反之…错.]

4.正交补的构造与求法.

5.正交矩阵、正交变换、对称变换的应用与证明.[注意变换与矩阵的转化]

6.求正交矩阵T ，使得1T AT T AT -'=为对角阵.（可验证！注意区别第五、七章的方法）

7.利用正交线性替换化实二次型为标准形.

*8.求最小二乘解. 三、思考题

1.什么是内积？欧氏空间的哪些概念与内积有关？

（长度、夹角、正交、度量矩阵、标准正交基、同构、正交变换、对称变换、正交补）

2.内积与标准正交基有何联系？

3.标准正交基有何作用？

4.如何构造子空间的正交补？

5.正交矩阵、实对称矩阵各有哪些特点？

6.正交变换、对称变换各有哪些特点和区别？ 四、例题选讲

◎ A 正定1>+?E A

证1：A 正定?特征值E A i +?>0λ的特征值11>+i λ

于是1111)1()1)(1(21=?>+++=+ n E A λλλ

证2：A 正定?0),,,(11>=-i n diag AT T λλλ

1

111)1()1)(1()1,,1(),,(1211111=?>+++=++=+=+--- T T T Tdiag E T Tdiag E A n n n λλλλλλλ

《期末总复习》

一、考试题型

填空、计算、证明、讨论或判断

二、复习依据

作业（习题集）、例题、课外提高

三、各章主线

1.线性空间 线性空间……定义、线性运算、基、维数、坐标 子空间……两个封闭性、基、维数、生成子空间、扩充基、维数公式、和、直和 同构……构造、判定、意义

2.线性变换 线性变换……验证（定义）、运算、关于基的矩阵及变换问题的转化、不变子空间 特征值与特征向量……证明、求法（可验证）、结论、对角化判定及求可逆矩阵C

值域与核……基、维数、两者维数关系

3.Jordan 标准形 不变因子 初等因子 Jordan 标准形

4.欧氏空间（注意：涉及的概念都与内积有关）

内积……验证(四条公理）、长度、夹角、标准正交基（求法，可验证）

正交变换……判定、不变性、正交矩阵（可验证）

对称变换……判定、特征值、对角化（求正交矩阵[可验证].区别第5章方法）

四、注意事项

1.几类矩阵的特点、区别与联系：

……可逆矩阵、对称矩阵、合同矩阵、相似矩阵、正定矩阵、正交矩阵.

2.线性变换问题与矩阵问题的转化

……线性空间（通过基）、欧氏空间（通过标准正交基）

3.可验证的几种计算类型

特征值（迹）、特征向量（代入方程组）、标准正交基（两两正交、长度为1）、

正交矩阵（行[或列]向量组标准正交，或E A A ='）

小学少先队组织机构

少先队组织由少先队大队部及各中队组成，其成员包括少先队辅导员、大队长、中队长、小队长、少先队员，为了健全完善我校少先队组织，特制定以下方案：

一、成员的确定

1、大队长由纪律部门、卫生部门、升旗手、鼓号队四个组织各推荐一名优秀学生担任（共四名），该部门就主要由大队长负责部门内的纪律。

2、中、小队长由暮从碧山下，山月随人归。

却顾所来径，苍苍横翠微。

相携及田家，童稚开荆扉。

绿竹入幽径，青萝拂行衣。

欢言得所憩，美酒聊共挥。

长歌吟松风，曲尽河星稀。

我醉君复乐，陶然共忘机。

【简析】终南山，在今陕西西安市南，地近京城而又山林幽静。斛斯山人想来是一位隐士，同时是李白的好朋友。这首诗只写一次很平常的作客经过，但写出了很淳朴的感情。各班中队公开、公平选举产生，中队长各班一名（共11名），一般由班长担任，也可以根据本班的实际情况另行选举。小队长各班各小组先选举出一名（共8个小组，就8名小队长）然后各班可以根据需要添加小队长几名。

3、在进行班级选举中、小队长时应注意，必须把卫生、纪律部门的检查学生先选举在中、小队长之内，剩余的中、小队长名额由班级其他优秀学生担任。

4、在班级公开、公平选举出中、小队长之后，由班主任老师授予中、小队长标志，大队长由少先队大队部授予大队长标志。

二、成员的职责及任免

1、大、中、小队长属于学校少先队组织，各队长不管是遇见该班的、外班的，不管是否在值勤，只要发现任何人在学校内出现说脏话、乱扔果皮纸屑、追逐打闹、攀爬栏杆、乱写乱画等等一些违纪现象，都可以站出来制止或者报告老师。

2、班主任在各中队要对中、小队长提出具体的责任，如设置管卫生的小队长，管纪律的小队长，管文明礼貌的、管服装整洁的等等，根据你班的需要自行定出若干相应职责，让各位队长清楚自己的职权，有具体可操作的事情去管理，让各位队长成为班主任真正的助手，让学生管理学生。各中队长可以负责全班的任何违纪现象，并负责每天早上检查红领巾与校牌及各小队长标志的佩戴情况。

3、大、中、小队长标志要求各队长必须每天佩戴，以身作则，不得违纪，如有违纪现象，班主任可根据中、小队长的表现撤消该同学中、小队长的职务，另行选举，大队长由纪律、卫生部门及少先队大队部撤消，另行选举。

4、各班中、小队长在管理班级的过程中负责，表现优秀，期末评为少先队部门优秀干部。

§74 不变子空间

§7.4 不变子空间 教学目的 本节要求掌握不变子空间的概念及其不变子空间的判断方法，掌握值域和核的概 念以及它们都是σ的不变子空间的事实，了解σ的秩和零度的概念及其相关结论。 教学难点 不变子空间的证明 教学重点 不变子空间的概念、值域和核的概念以及它们都是σ的不变子空间的证明 教 学 过 程 备 注 教学 内容 一、不变子空间的定义 为了解决不变子空间的问题，我们需要不变子空间的概念.先看一个例 子. 在3V 中，设σ是数量变换，即有一个确定的数k ，使得对任意 αασαk )(,3=∈V ，设W 是3V 中过原点的一个平面，W 是3V 的一个子空间， 对W 中每一个向量ξ，ξ在σ作用之下的像)(ξσ仍是W 中的向量，这样的子空间W 就是σ的不变子空间. 定义1 设σ是F 上向量空间V 的一个线性变换，W 是V 的一个子空间，若W 中向量在σ下的像仍在W 中，即对于W 中任一向量ξ，都有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的一个不变子空间，或称W 在σ之下不变. 例1 向量空间V 本身和零子空间是V 的任一个线性变换的不变子空间，称它们为V 的平凡不变子空间，其它不变子空间称为非平凡不变子空间. 例2 向量空间V 的任一子空间都是数量变换的不变子空间. 例3 在R [x]中，令x)(f (f(x))'=σ，对任意][],[)(x R x R x f n ∈是R [x]的子空间，并且]x [n R 是σ的不变子空间. 例4 设σ是3V 中以过原点的一条直线L 为轴,旋转θ角的变换,则L 是 σ的一维不变子空间;过原点且与L 垂直的平面H 是σ的一个二维不变子空 间. 二、不变子空间的判断 下面给出一种判断不变子空间的方法 定理7.4.1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，W 是V 的子空间， {}r 21,,,ααα 是 W 的基.则W 是σ的不变子空间的充要条件是 )(,),(),(r 21ασασασ 在W 中.

(完整版)不变子空间、若当、最小多项式(简介)

§7 不变子空间 ◎ 本节重点：不变子空间的定义与“限制”. 已知可对角化对应于对角矩阵，但是并不是每个都能对角化的.退一步，对应于准对角形也好；虽然比对角形复杂，但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念. 一、定义与例子 1.定义：)(n V L ∈σ，W 是σ的不变子空间W ?是V 的子空间，且,W ∈?ξ有W ∈)(ξσ. 简称σ-子空间. （注意：与线性变换有关） 2.例子：设)(n V L ∈σ，则下列子空间W 都是σ的不变子空间： 1）{}0=W 2）V W = 3）)0(1-=σW 4）)(V W σ= 5）{}ξλξσξλ0)(|0=∈==V V W 例1若线性变换A 与B 是可交换的，则B 的核与值域都是A -子空间. 二、线性变换在不变子空间上的“限制” 1.定义：设W 是)(n V L ∈σ的不变子空间，可只在W 中考虑σ，记为W |σ. 【意义】缩小了线性变换的范围，从而简化线性变换.因此，如果V 可分解为若干-σ子空间 i W 的直和，那么对V 的线性变换σ的研究就归结为对各个子空间i W 的直和研究. 2.区别：W |σ与σ的作用结果一样，但作用范围不同.即 σξξσξ=?∈)|(W W ；ξσξ)|(W W ??无意义. 三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系（意义） 设V 可分解为若干个σ-子空间的直和：s W W W V ⊕⊕⊕=Λ21，在每个不变子空间i W 中 取基k i i i εεε,,,21Λ，s i Λ,2,1=，并把他们合并为V 的一组基，则在这组基下，σ的矩阵具有 准对角形??? ? ? ? ?s A A O 1，其中i A ，s i Λ,2,1=是i W A |在对应基下的矩阵. 进一步的，我们有： *四、不变子空间的直和分解 定理12：设线性变换)(n V L ∈σ的特征多项式)(λf 可分解成一次因式： S r S r r f )()()()(2121λλλλλλλ---=Λ,则V 可以分解成不变子空间的直和：

不变子空间.若当.最小多项式(简介)

不变子空间.若当.最小多项式(简介) §7 不变子空间 ◎ 本节重点：不变子空间的定义与“限制”. 已知可对角化对应于对角矩阵，但是并不是每个都能对角化的.退一步，对应于准对 角形也好；虽然比对角形复杂，但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念. 一、定义与例子 1.定义：σ∈L(Vn)，W是σ的不变子空间?W是V的子空间，且?ξ∈W,有 σ(ξ)∈W. 简称σ-子空间. （注意：与线性变换有关） 2.例子：设σ∈L(Vn)，则下列子空间W都是σ的不变子空间： 1）W={0} 2）W=V 3）W=σ -1 (0) 4）W=σ(V) 5）W=Vλ0={ξ∈V|σ(ξ)=λ0ξ} A与B是可交换的，则B的核与值域都是A-子空间. 二、线性变换在不变子空间上的“限制” 1.定义：设W是σ∈L(Vn)的不变子空间，可只在W中考虑σ，记为σ|W. 【意义】缩小了线性变换的范围，从而简化线性变换.因此，如果V可分解为若干σ-子空间 Wi的直和，那么对V 的线性变换σ的研究就归结为对各个子空间Wi的直和研究. 2.区别：σ|W与σ的作用结果一样，但作用范围不同.即 ξ∈W?(σ|W)ξ=σξ；ξ?W?(σ|W)ξ无意义. 三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系（意义） V=W1⊕W2⊕ ⊕Ws，设V可分解为若干个σ-子空间的直和：在每个不变子空间Wi中 取基εi,εi, ,εi，i=1,2, s，并把他们合并为V的一组基，则在这组基下，σ的 矩阵具有 1

2 k ?A1 准对角形 ? ?? ?，其中Ai，i=1,2, s是A|Wi在对应基下的矩阵. As?? 进一步的，我们有： *四、不变子空间的直和分解 定理12：设线性变换σ∈L(Vn)的特征多项式f(λ)可分解成一次因式： f(λ)=(λ-λ1)r(λ-λ2)r (λ-λS)r,则V可以分解成不变子空间的直和： 1 2 S V=V1⊕V2⊕ ⊕Vs,其中Vi={ξ∈V|(σ-λiE)iξ=0}. r §8 若当（Jordan）标准形介绍 若当（Jordan）标准形是一类特殊的准对角矩阵. 一、基本定义 1. 若当块?λ 1 J(λ,t)= 0 ?0 00 10 00 λ 00 λ1

Strongart数学笔记：浅谈不变子空间的存在性问题

浅谈不变子空间的存在性问题 最近读了Abramovich与Aliprantis的An Invitation to Operator Theory，对其中的不变子空间问题还是很有感觉的，下面就结合书中的内容给大家简单科普一下。 先讲讲为什么要研究不变子空间。一般研究线性算子时。T：X→X 的算子总是要比T：X→Y的线性算子更加值得关注，这一点在有限维的情形下就更为明显了，一般矩阵中方阵总是特别被重视，因为我们可以定义其行列式、可逆性等等。线性算子T：X→Y不变子空间V是指满足T（V）≤V的子空间V，这样我们就可以把T限制在V上得到一个V上的类似方阵的线性算子T：V→V，这也就是不变子空间的妙处了。 假设T：X→X是Banach空间X上的有界线性算子，那么它天然的就带有两个闭不变子空间：Ker T与Im T，而它们还是T的闭超不变子空间。这里子空间V称为T的超不变子空间是指对于任何与T交换的算子S，V都是S的不变子空间。这个结论可以说定义超不变子空间的动机，也是关于超不变子空间存在性的第一个命题，相信很多同学在泛函分析甚至线性代数中都证明过类似命题，只是那时还没有给出超不变子空间这个名称而已。 有了这个基本结论，就可以看一下非平凡闭不变子空间的存在性

问题，这里的非平凡是指子空间不能为{0}或X。假若算子T与一个非一一或值域非稠的算子S：X→X交换，那么T就一定存在非平凡的闭不变子空间，实际上这个子空间就是S的闭超不变子空间。这里通过子空间的超不变性，从一个算子传递到与之交换的另一个算子，是处理不变子空间问题的常用手段。 除了核与值域之外，我们还有另一类常见的超不变子空间，那就是线性算子T：X→X的特征值空间。由此可得，有限维复Banach空间上任何非数值算子都有非平凡的超不变子空间。对于有限维实Banach空间X的情形，结论则稍微复杂一点：假若dim X的奇数，那么T的非平凡超不变子空间一定存在；假若dim X≥4是偶数，那么T的不变子空间一定存在，但未必是超不变的；假若dim X=2，那么T甚至可以没有非平凡不变子空间，对此只要取旋转算子就可以了。 对于无穷维空间的情形，问题就变得非常复杂。最新的研究表明，哪怕就是在最简单的Hilbert空间上的有界线性算子，也可以不存在非平凡的不变子空间。当然啦，即便是对于非紧算子而言，存在非平凡闭不变子空间的情形也是比较广泛的，比如Hilbert空间l^2上的右平移算子R（x_1,x_2,…)=(0,x_1,x_2,…）就有非平凡闭不变子空间{x∈l^2；x_1=0}. 下面我们要讨论的一类重要情形是关于紧算子的，直观的来看紧算子就是把很大的Banach空间映射到一个比有限维空间大不了多少

有限维线性空间的分解

毕业论文 题目有限维线性空间的分解 学院数学与统计学院 姓名周吉强 专业班级数学与应用数学 学号 20101010646 指导教师邵海琴教授 提交日期 2014-5-28 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 年月日

论文指导教师签名： 年月日 目录 1引言与预备知识 1 2有限维线性空间的分解 2 2.1按子空间的直和分解 2 2.2按生成子空间分解 3 2.3按特征子空间分解，即按可对角化的线性变换分解 4 2.4按根子空间分解，即准素分解 6 2.5按 循环子空间分解 7 2.6按线性变换的 标准形分解 9 参考文献................. ... ... ... ............. . (12) 有限维线性空间的分解 周吉强

（天水师范学院，数学与统计学院,甘肃，天水，741000） 摘要总结了有限维线性空间按子空间、生成子空间、特征子空间、根子空间、 循环子空间以及线性变换的Jordan标准形等分解方法，并通过具体的例子加以说明. 关键词线性空间;直和分解；子空间；生成子空间；根子空间；循环子空 间；线性变换 Decomposition of finite-dimensional linear space Jiqiang Zhou (School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741000) Abstract In this paper, we summary decomposition methods of finite dimensional Linear space by subspace, generating subspace, proper subspace, and root space, - cyclic subspace and standard from of transformation, we explain for the six decomposition methods by concrete examples. Keywords Linear space, straight and decomposition, subspace, generating subspace, root space, cyclic subspace, linear transformation 有限维线性空间的分解

关于线性变换的不变子空间研究

目录 1.线性变换的不变子空间 1.1代数学的发展历程简介 1.2线性变换的不变子空间的概念及性质 1.3线性变换的不变子空间性质的多种证明 2.研究线性变换的不变子空间的必要性与可行性 2.1研究该问题的必要性 2.2研究该问题的可行性 3. 线性变换的不变子空间的国内外研究现状 3.1国内研究现状 3.2国外研究现状 4.线性变换的不变子空间的应用 4.1理论上的应用 4.2生活中的应用 5.心得体会

摘要 线性变换的不变子空间理论是高等代数的重要理论之一，但是对于一个线性变换的不变子空间，在高等代数教材中也是简单的讲解一下，于是本文对它做了更进一步的讨论。空间中的任何元素经过映射后，新的元素仍然在这个空间里，这个空间叫做这个映射下的不变子空间，不变子空间是原空间的一个子集，对于原空间运算也构成空间且封闭，其作用是可以在子空间去考虑原空间的代数性质，而不必回到原空间，从而将问题简化，本文的研究内容也是建立在这个基础之上的。 关键词：线性变换不变子空间的性质地位应用

1.线性变换的不变子空间 1.1代数学的发展历程简介 数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。 “代数”（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米（al-Khowārizmī，约780－850）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wa’l muqabalah，直译应为《还原与对消的科学》．al-jabr 意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；muqabalah 意即“对消” 或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作“algebra”。 花拉子米科学研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学和地理学等领域．他撰写了许多重要的科学著作．在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：《代数学》和《印度的计算术》． 1859年，我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。 后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数

§74-不变子空间

§7.4不变子空间 教学目的本节要求掌握不变子空间的概念及其不变子空间的判断方法，掌握值域和核的概念以及它们都是σ的不变子空间的事实，了解σ的秩和零度的概念及其相关结论。 教学难点不变子空间的证明 教学重点不变子空间的概念、值域和核的概念以及它们都是σ的不变子空间的证明 教学过程备注 教学内容 一、不变子空间的定义 为了解决不变子空间的问题，我们需要不变子空间的概念.先看一个例子. 在 3 V中，设σ是数量变换，即有一个确定的数k，使得对任意α α σ αk ) ( , 3 = ∈V，设W是 3 V中过原点的一个平面，W是 3 V的一个子空间，对W中每一个向量ξ，ξ在σ作用之下的像) (ξ σ仍是W中的向量，这样的子空间W就是σ的不变子空间. 定义1 设σ是F上向量空间V的一个线性变换，W是V的一个子空间， 若W中向量在σ下的像仍在W中，即对于W中任一向量ξ，都有W ∈ ) (ξ σ，则称W是σ的一个不变子空间，或称W在σ之下不变. 例1 向量空间V本身和零子空间是V的任一个线性变换的不变子空间，称它们为V的平凡不变子空间，其它不变子空间称为非平凡不变子空间. 例2 向量空间V的任一子空间都是数量变换的不变子空间. 例3 在R[x]中，令x) ( f (f(x))' = σ，对任意] [ ], [ ) (x R x R x f n ∈是R[x] 的子空间，并且]x[ n R是σ的不变子空间. 例4 设σ是 3 V中以过原点的一条直线L为轴,旋转θ角的变换,则L是σ的一维不变子空间;过原点且与L垂直的平面H是σ的一个二维不变子空间. 二、不变子空间的判断 下面给出一种判断不变子空间的方法 定理7.4.1 设σ是n维向量空间V的一个线性变换，W是V的子空间，{} r 2 1 , , ,α α α 是W的基.则W是σ的不变子空间的充要条件是 ) ( , ), ( ), ( r 2 1 α σ α σ α σ 在W中.

第22讲不变子空间,特征值和特征向量

第22讲线性变换与矩阵回顾，特征值与特征向量一、线性变换的概念和基本性质 定义设σ: V→V 是线性空间V 到自身的一个映射(变换), 如果σ保持加法及数乘运算, 即对任意α, β∈V, 对任意常数k, 都有 σ(α+β) = σ(α)+σ(β), σ(kα) = kσ(α), 则称σ是线性空间V 的一个线性变换,称σ(α) 为向量α在线性变换σ下的象. 我们用L(V)来表示线性空间V 的全部线性变换所作成的集合. 1

2 定理设σ是n 维线性空间V 的一个线性变换, α1, α2,?,αn 是V 的一组基, 则V 中任一向量α的象σ(α)由基的象σ(α1), σ(α2),?, σ(αn ) 所完全确定. 11112121212122221122()() (1)()n n n n n n n nn n a a a a a a a a a σαααασαααασαααα=+++??=+++????=+++? 记σ(α1, α2,?, αn ) = (σ(α1), σ(α2),?, σ(αn )), A = (a ij )n ?n , 则(1)式可表示为σ(α1, α2,?, αn ) = (α1, α2,?, αn )A . n 阶矩阵A 叫做线性变换σ在基α1, α2,?, αn 下的矩阵. 其中A 的第j 列就是基向量αj 的象σ(αj ) 在这组基下的坐标.

定理设线性变换σ在基α , α2,?, αn下的矩阵是A, 即 1 σ(α) = (α1, α2,?, αn)A, 设向量α, σ(α) 在这组基下的坐标分别是 X = (x1, x2,?, x n)T , Y = (y1, y2,?, y n)T, 则Y = AX. 定理设α , α2,?, αn是n 维线性空间V 的一组基, 对任意 1 , β2,?, βn, 都存在线性变换σ, 使得 给定的n 个向量β 1 σ(αi)= βi(i= 1, 2,?, n). , α2,?, αn, 是n 维线性空间V 的一组基, A = (a ij) 是定理设α 1 任一n 阶矩阵, 则有唯一的线性变换σ满足 σ(α1, α2,?, αn) = (α1, α2,?, αn)A 推论σ∈L(V) 是双射?σ对应的矩阵可逆. 3

-不变及分解

第九讲 不变子空间与直和分解 ———标准形和最小多项式的应用 一、不变子空间 例题9.1 证明：n 维线性空间V 的任一子空间W ，一定存在,()L V ∈A B ,使得ker W V ==A B ，此时必有=AB 0。 这里构造的(L V)∈A,B ，还满足=BA 0。那么在例题9.1中，是否存在 ,()L V ∈A B ，ker W V ==A B 同时≠BA 0？ 如果W V =或者0W =，恒有=BA 0，如果W 是V 的非平凡子空间，回答是肯定的。 命题9.2 设W 是n 维线性空间V 的非平凡子空间，则一定存在V 的线性变换,A B ,使得ker W V ==A B ，同时≠BA 0。 证明：取W 的一个基底12,,,r ααα ，再扩充为V 的一个基1,,,,r n ααα ，因为0r n <<，对于122111r r r r n n V, x x x x x ββααααα++?∈=++++++ 。 作 1122:r r r n n V V x x x βααα+++→→+++A 1122:r r V V x x x βααα→→+++B 则(L V)∈A,B ，且ker W V ==A B 。此时 111()()0r ααα+==≠BA B ， 所以≠BA 0。 什么时候可以使 Ker W V ==A A ？一个必要条件是 dim dim dim ker 2dim V V V W =+=A A 。 命题9.3 若dim V 为偶数，且V 的子空间W 满足2dim dim W V =，则存在线性变换A ，使 W Ker V ==A A 。

例题9.4 (L V)∈A,B ，且 22,==A A B B ，证明 (i) ,V V =?==A B AB B BA A ， (ii) Ker Ker ,=?==A B AB A BA B 。 证(i)“?” V α?∈， V V V αβαβ∈=∴ ?∈=B B A B A 因此 ()2 αβββα====∴=AB A A A A B AB B 。 同理=BA A 。 “?” 因为,==AB B BA A ，所以()V V V V ==?B AB A B A ，同样 ()V V V V ==?A BA B A B 。因此V V =A B 。 (ii)“?” V ∈?α，则Ker Ker αα-∈=B B A ，所以()0αα-=A B ，即 αα=AB A ，所以=AB A 。同理有=BA B 。 “?” Ker α?∈A ，则0αα==B BA ，得Ker α∈B 。即Ker Ker ?A B 。 同理Ker Ker ?B A 。得证。 命题9.5若()()()f x g x h x =，且((),())1g x h x =，设(L V)∈A ，证明 Ker ()Ker ()Ker ()f g h =⊕A A A 。 证明 因为()()()()()f g h h g ==A A A A A ，所以很容易得到 Ker ()Ker (),Ker ()Ker ()f g f h ??A A A A 因此就有 Ker ()Ker ()Ker ()f g h ?+A A A ； 反过来，Ker ()f α?∈A ，即()0f α=A ；因为((),())1g x h x =，所以(),() u x v x ?使得()()()()1v x h x u x g x +=，即有等式 ()()()()v h u g +=A A A A E 。

不变子空间

§7 不变子空间 对于给定的n 维线性空间V ，A ∈)(V L ,如何才能选到V 的一个基,使A 关于这个基的矩阵具有尽可能简单的形式.由于一个线性变换关于不同基的矩阵是相似的.因而问题也可以这样提出:在一切彼此相似的n 阶矩阵中,如何选出一个形式尽可能简单的矩阵.这一节介绍不变子空间的概念，来说明线性变换的矩阵的化简与线性变换的内在联系. 定义7 设A 是数域P 上线性空间V 的线性变换,W 是V 的一个子空间.如果W 中的向量在A 下的像仍在W 中，换句话说,对于W 中任一向量ξ，有A W ∈ξ，就称W 是A 的不变子空间，简称A -子空间. 例1 整个空间V 和零子空间{}0，对于每个线性变换A ，都是A -子空间. 例2 A 的值域与核都是A -子空间. 例3 若线性变换A 与B 是可交换的，则B 的核与值都是A -子空间. 因为A 的多项式f (A )是和A 交换的，所以f (A )的值域与核都是A -子空间. 例4 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间. 特征子空间与一维不变子空间之间有着紧密的联系.设W 是一维A -子空间，ξ是W 中任何一个非零向量，它构成W 的一个基.按A -子空间的定义，A W ∈ξ,它必是ξ的一个倍数: A ξλξ0=. 这说明ξ是A 的特征向量，而W 即是由ξ生成的一维A -子空间. 反过来，设ξ是A 属于特征值0λ的一个特征向量，则ξ以及它任一倍数在A 下的像是原像的0λ倍，仍旧是ξ的一个倍数.这说明ξ的倍数构成一个一维A -子空间. 显然，A 的属于特征值0λ的一个特征子空间0λV 也是A 的一不变子空间.

A -子空间的和与交还是A -子空间. 设A 是线性空间V 的线性变换, W 是A 的不变子空间.由于W 中向量在A 下的像仍在W 中，这就使得有可能不必在整个空间V 中来考虑A ，而只在不变子空间W 中考虑A ，即把A 看成是W 的一个线性变换，称为A 在不变子空间W 上引起的变换.为了区别起见，用符号A |W 来表示它；但是在很多情况下，仍然用A 来表示而不致引起混淆. 必须在概念上弄清楚A 与A |W 的异同：A 是V 的线性变换, V 中每个向量在A 下都有确定的像；A |W 是不变子空间W 上的线性变换，对于W 中任一向量ξ，有 (A |W )ξ=A ξ. 但是对于V 中不属于W 的向量η来说，（A |W ）η是没有意义的. 例如，任一线性变换在它的核上引起的变换就是零变换，而在特征子空间0λV 上引起的变换是数乘变换0λ. 如果线性空间V 的子空间W 是由向量组s ααα,,,21 生成的，即),,,(21s L W ααα =，则W 是A -子空间的充要条件为A 1α,A 2α,…, A s α全属于W . 下面讨论不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系. 1）设A 是维线性空间V 的线性变换，W 是V 的A -子空间.在W 中取一组基k εεε,,,21 ,并且把它扩充成V 的一组基 n k k εεεεε,,,,,,121 +. (1) 那么，A 在这组基下的矩阵就具有下列形状

高代课件52：关于跟不变子空间有关的若干问题总结2

高代课件52：关于跟不变子空间有关的若干问题总结2 12n 12n 1在课件51中我们说明了线性变换在的一组基，，，下的矩阵是1 1 此时-子空间有n+1个 那么如果线性变换在的一组基，，，下的矩阵是对角矩阵，且对角元素互不相同的 时候，-子空间共有多少个呢？ 例1：若是实数域R 上的n 维线性空间的线性变换，已知它有n 个不同实特征值，试求其全部不变子空间，并指出其个数。 证明：设的n 个不同特V V λλ σεεελ λσσεεεσσσ?? ? ? ? ? ? ?? ? () {}1 2 12n 12n i 1 012n 0121 征值为，，，,且其对应的特征向量为，，，则可得的特征子空间()是一维不变子空间,1,2, ,的特征多项式为f ()设0，(，，，),显然和都是-子空间令W=(，，，),(11)，显然此时的W 也是-子空间 此时-子空间共有1+C C C 1i s n i i n n i i i n n n n V L i n W W L W W L s n λλλλααασασλλλααασααασσ=-=== -==≤≤-+++∑()()()n n 12k 12k k+1n k 12k k+1n 12k k+1n k 1 2个下面证明的不变子空间必在这2个里面 不失一般性不妨设的不变子空间是k 维不变子空间，1k n-1 设中的一组基为，，，,把它扩充为的一组基，，，，，，则，，，，，，=，，，，，，0则的特征多项式为f ()= k k n k i i k W W V A B C E A B E C E σσββββββββσββββββββββλσλλλλλ==≤≤?? ? ??-=--?∑()k k 1 12k k 12k 12k 12k i 12k 12k 0有k 个不同的根 不失一般性，不妨令，，，为的特征值 在中不妨设，，，对应的特征向量为，，，显然，，，由于的特征子空间()是一维不变子空间 所以=k ,1,2,,, 所以，，，亦因为，，，线性无关，且dim()所以必在2i n i k i k k i i i k k k A E A A W W V L i k W W k W λλλλλλλλλλγγγγγγσααγαααααα=--?-=∈==∈=∑n 个里面。

高代课件51：关于跟不变子空间有关的若干问题总结1

课件51：关于跟不变子空间有关的若干问题总结1 {}()()-112m -1-11例1：设是n 维线性空间V 的可逆线性变换，W 是V 中-不变子空间，证明：W 也是线性变换-不变子空间。证明：当W=V 或W=0时，结论显然成立。 当0

§74-不变子空间

§7.4 不变子空间

T T n A )0,,0,0(),,,(21ΛΛ=ααα，因此ξ的坐标T n a a a ),,,(21Λ是齐次线性方 程组 ??? ??? ? ??=??????? ??00021M M n x x x A (1) 的在n F 中的解向量.反之，对齐次线性方程组(1)的每个解向量 T n b b b ),,,(21Λ来说,σαααKer b b b n n ∈+++Λ2211.令σKer 的任一向量ξ 与它的坐标对应,这就得到了F 上向量空间σKer 与(1)的在F 上的解空间W 的同构映射.因此 σσ秩秩-n dim dim =-==A n W Ker 故 n =+的零度秩σσ 例5 设{}4321αααα，，，是四维向量空间V 的一个基,线性变换σ关于这个基的矩阵为A ,并且 ??? ? ?? ? ? ?=2-12-255213121-1201A 求σ的值域与核. 解 先求ker , 设 ker(), 关于{1,2,3,4}的坐标 为(x 1, x 2, x 3, x 4), ()在{1,2,3,4}下的坐标为(0, 0, 0, 0)，由定理7.4.4，有 ??????? ? ?---2122552131211201 ??????? ??4321x x x x ＝??? ? ?? ? ??0000 解得该齐次线性方程组的基础解系为 X 1＝(－2,－2 3,1,0), X 2＝(－1,－2,0,1). 令 1 =－2 1 2 3 - 2+3 , 2 =－ 1 －2 2 + 4 那么ker ()＝L (1, 2)，σ的零度=2 . 再求Im . 由定理7.4.3，Im ＝L ( (1), ( 2 ), ( 3 ),

线性空间直和分解一个定理的证明的教学建议_梁庆光

线性空间直和分解一个定理的 证明的教学建议 梁庆光 (赣南师范学院数学与计算机系,赣州,341000) 文献[1]给出了线性空间按线性变换的特征值分解成不变子空间的直和的一个定理,叙述于下: 定理　设数域P 上线性空间V 的线性变换A 的特征多项式为f (λ),它可分解因式为: f (λ)=(λ-λ1)r 1(λ-λ2)r 2…(λ-λs )r s ,其中λ1,λ2,…,λS 互不相等,r 1,r 2,…,r s 都是 正整数,则V 可分解成A 的不变子空间的直和:V =V 1 V 2 … V s ,其中V i ={ξ (A - λi E ) r i ξ=0,ξ∈V },i =1,2,…,S ,E 是单位变换。他们给出了证明,笔者认为可分为三段,简述如下: ①令f i (λ)=f (λ)(λ-λi ) r i =(λ-λ1)r 1…(λ-λi -1)r i -1(λ-λi +1)r i +1…(λ-λS ) r s ,i =1,2,…,S 用符号V i 表示线性变换f i (A )的值域(下面称为f i (A )的象),即 V i =f i (A )V ,i =1,2,…,S 由等式A ·f i (A )=f i (A )·A ,知V i 是A 的不变子空间(i =1,2…,S ),再由等式: (A -λi E )r i V i =f (A )V =0,知V i =f i (A )V {ξ|(A -λi E )r i ξ =0,ξ∈V },i =1,2,…,S (1) 即线性变换f i (A )的象空间包含于线性变换(A -λi E )r i 的核空间(i =1,2,…,S )②分两点证明:V =V 1 V 2 … V S ,其中V i (i =1,2,…,S )是f i (A )的象。 证明　V =V 1+V 2+…+V S ,其中V i 是f i (A )的象,(i =1,2,…,S ) 再证明　V =V 1+V 2+…+V S =V 1 V 2 … V S ,其中V i 是f i (A )的象(i =1,2,…,S ) 证明和V 中零向量关于(A -λi E )r i 的核( i =1,2,…,S )中向量的分解式唯一,即设有　β1+β2+…+βS =0,其中βi ∈(A -λi E )r i 的核,( i =1,2,…,S )推出　βi =0,i =1,2,…,S 利用(1)式和第一步的结论来证明和V 中零向量关于f i (A )的象(i =1,2…,S )中向量的分解式唯一,即设　α1+α2+…+αS =0,其中αi ∈f i (A )的象(i =1,2,…,S ),由(1)式,得αi ∈f i (A )的象 (A -λi E )r i 的核,i =1,2,…,S 。即得αi = 0,i =1,2,…,S ,由此证得V =V 1+V 2+…+V S =V 1 V 2 … V S ,其中V i =f i (A )的象(i =1,2,…,S ) ③证明f i (A )的象与(A -λi E ) r i 的核相等(i =1,2,…,S ),即证明55 第6期 梁庆光　线性空间直和分解一个定理的证明的教学建议 收稿日期　1998-07-10