柯西不等式的证明与应用
柯西不等式的证明及其应用
摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。
关键词：柯西不等式，证明，应用
Summar y：Cauchy's inequality is a very important inequality, this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality, solving the most value, solving equations, trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula, better explains the Cauchy inequality.
Keywords：Cauchy inequality, proof application
不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中的应用。柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。
一、相关定理
柯西不等式是指下面的定理
定理 设,(1,2,...,),i i a b R i n ∈=则2
2
21
1
1
()()()n
n
n
i i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑
当数组a 1，a 2，…，a n ,b 1，b 2，…，b n 不全为0时，等号成立当且仅当(1)i i b a i n λ=≤≤.
柯西不等式有两个很好的变式：
变式1 设,0(1,2,...,),i a R bi i n ∈>= 2
21()
n
i i i i
i a a b b =≥∑∑∑,
等号成立当且仅当(1)i i b a i n λ=≤≤
变式2 设a i ,b i 同号且不为0（i=1，2，…，n ）则2
1()
n
i i i i i i
a a
b a b =≥∑∑∑,
二、柯西不等式的证明： 常用的证明柯西不等式的方法有： 1）配方法：
作差：因为2
221
1
1
()()()n
n
n
i
j
i i i j i a b a b ===-∑∑∑
221
1
1
1
()()()()
n n n n
i
j
i i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑
2211
11
n n n n
i j
i i j j
i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑
2222
1111111(2)2n n n n n n
i j j i i j j i i j i j i j a b a b a b a b =======+-∑∑∑∑∑∑
222211
1(2)2n n i j i j j i j i i j a b a b a b a b ===-+∑∑ 211
1()02n n
i j j i i j a b a b ===-≥∑∑
所以222
1
1
1
()()()n
n
n
i
j
i i i j i a b a b ===-∑∑∑0≥，即2221
1
1
()()()n
n
n
i
j
i i i j i a b a b ===≥∑∑∑
即 (2222222)
11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++
当且仅当……0(,1,2,,)i j j i a b a b i j n -== 即
…………(1,2,,;1,2,,;0)j
i j i j
a a i n j n
b b b ===≠时等号成立。 2）利用判别式证明（构造二次函数法）
若21
0n
i i a ==∑，则12....0.n a a a ====此时不等式显然成立。若21
0n
i i a =≠∑，
构造二次函数()222
1112n n n
i i i i i i i f x a x a b x b ===????=?-+ ? ?????
∑∑∑()2
10n i i i a x b ==-≥∑对于
x ∈R 恒成立，所以此二次函数()f x 的判别式△≤0，即得证。 3）用数学归纳法证明
i ）当1n =时，有2221112()a b a b =，不等式成立。
当n=2时，22222
112212221122()2a b a b a b a b a b a b +=++
222222222222121211221221()()a a b b a b a b a b a b ++=+++。
因为2222122111222a b a b a b a b +≥，故有22222112212
12()()()a b a b a a b b +≤++ 当且仅当1221a b a b =，即
12
12
a a
b b =时等号成立。 ii ）假设n k =时不等式成立。即
(222222)
211221212()()()k k k k a b a b a b a a a b b b +++≤++++++
当且仅当
(12)
12n n
a a a
b b b ===时等号成立。 那么当1n k =+时，
2112211()k k k k a b a b a b a b ++++++……
222
112211112211()2()k k k k k k k k a b a b a b a b a b a b a b a b ++++=++++++++…………
22222222121211112211()()2()k k k k k k k k a a a b b b a b a b a b a b a b ++++≤+++++++++++ (2222222222222222121211111111)
()()k k k k k k k k k k a a a b b b a b b a a b b a a b ++++++≤++++++++++++………………222222121121()()k k a a a b b b ++=++++++………… 2222221212()()n n a a a b b b =++++++…………
当且仅当……1111212111,,,k k k k k k k k a b b a a b b a a b b a ++++++===时等号成立，
即
(112)
121
k k k k a a a a b b b b ++====时等号成立。 于是1n k =+时不等式成立。
由i ）ii ）可得对于任意的自然数n ，柯西不等式成立。 4）用向量法证明
设n 维空间中有二个向a ……12(,,,)n a a a =，b ……
12(,,,)n b b b =，其中…………1212,,,;,,,n n a a a b b b 为任意两组实数。
由向量的长度定义，有a
=b
=又由内积的定义，a b ? =a b cos θ,其中θ是a ,b
的夹角， 且有a b ?
……1222n n a b a b a b =+++。
因|cos θ
|1≤，故a b ? ≤a b
，于是
|……1122n n a b a b a b +++|
2222222
11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++………………
当且仅当|cos θ|1=时，即a
与b 共线时等号成立。
由a ,b
共线可知……1122,,,n n a b a b a b λλλ===()R λ∈
即
(12)
12n n
a a a
b b b ===……(0,1,2,,)i b i n ≠=
由以上，命题得证。 5) 利用均值不等式
当()()…………2222221212n n a a a b b b ++++++=0时不等式显然成立 当()()…………2222221212n n a a a b b b ++++++≠0柯西不等式可化为
1 ≥
()
()()
2
11222222221
1
1
2
.........n n n
n
a b a b a b a
a a
b b b
+++++++++。
由均值不等式可知
()
()()
2
112222
22221
1
1
2
.........n n n
n
a b a b a b a
a a
b
b b
+++++++++
≤
2
2
2
2
????????=
(2222)
112222222222
22
12121212 (2)
n n n n n n
a b a b a a a b b b a a a b b b ++++++++++++++++=1即1≥
()
()()
2
11222222221
1
1
2
.........n n n
n
a b a b a b a
a a
b
b b
+++++++++当且仅当
(12)
12n n
a a a
b b b ===……(0,1,2,,)i b i n ≠=时等号成立。
从而柯西不等式得证。 而变式一 二可由柯西不等式稍加变形容易得到。
三、柯西不等式的应用：
1）证明不等式
在不等式的证明中，柯西不等式的作用是很突出的。有些不等式的证明用常归方法很繁琐，而用柯西不等式却很简单。 例3.1.1已知 a>b>c>d ，求证：
1119a b b c c a a d
++≥----。 证 因为a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d)>0,由柯西不等式知
()111(
)a d a b b c c a
-++--- =[(a-b)+(b-c)+(c-d)] 111()a b b c c a
++--- ≥()2
111++=9 从而
1119a b b c c a a d
++≥----。 例3.1.2：已知
222
1222212 (1)
...1
n n
a a a x x x +++=+++=，
求证：1122...1n n a x a x a b +++≤
证法一：（常用证法）22111122222
2
222,...
2,2,
n
n
n n a x a x a x a x a x a x +≥+≥+≥
把上面n 个不等式相加，得
()()2222221
2121122......22...2,n n n n a
a a x x x a x a x a x +++++++≥+++
即
()
1122112222 (1)
n n n n a x a x a x a x a x a x ≥+++∴+++≤
证法二：（利用柯西不等式来证明）
分析求证的不等式特点，可构造如下两组数：1212,,...;,...n n a a a x x x 由柯西不等式（A ）有
()
()()
2
222
222112212121122 (1)
n n n n n n a x a x a x a a a x x x a x a x a x +++≤++++++∴+++≤
两相比较，可见用柯西不等式证明较为简捷
例3.1.3：设i x R +
∈（i=1，2，…n ）且111n
i i i
x x ==+∑，求证：112n
i i j
i i j n x x x =≤<≤≥∑∑[5]
证 注意到恒等式12
i j i j n
x x ≤<≤∑
=()2
2i i x x -∑∑，只需要证明
1
n
i i x =∑≥()2
2
i
i
x x
-∑∑即()2
21
n
i i
i i x x x =≤+∑∑∑
上式左边=
2
? ?
≤()()11i i i i x x x x ??
+? ?+??
∑∑ =21
n
i
i i x x =+∑∑，得证。
例3.1.4：设实数,,a b c , λ满足a ≥λ>0,b ≥λ ,c ≥
λ
求证
2≥
证 因为a ≥
λ>0,
≤
2
a λλ
+-=2
a
2b ≤
2
c
，故
≥
222222a b c
b c c a a b
+++++ 由柯西不等式可知
()()()222a b c b c a c a b +++++????222222a
b c b c c a a b ??++ ?
+++??()22a b c ≥++ 从而222222a b c
b c c a a b +++++≥()()()()22222a b c a b c b c a c a b +++++++=()()
2
23a b c ab bc ac ++++ 又()22a b c ++=6()ab bc ac +++()()()222
b c c a a b -+-+-()6ab bc ac ≥++
故
222222a b c b c c a a b +++++≥2
+≥2 当且仅当2a b c λ===时等号成立。
例3.1.5：已知……12,,,n a a a 为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数n ，有不等式
(1222211)
1122n a a a n n
+++≥+++。 证明：由柯西不等式：
211(1)2n +++
……2=++……
1222212111(
)()12n n a a a n a a a ≤++++++…………
于是 (122221211)
1112(1)
111
122n n
a a a n n n a a a +++
+++≥++++++。
又因为……12,,,n a a a 为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于1，
次小的数不小于2，最大的不小于n ，这样就有
(1211)
121111n
n a a a +++≥+++。 所以有 (1211)
111112(1)111122n
n n n
a a a +++
+++≥++++++。 因为 (12222)
1211
1112(1)111
122n n
a a a n n n a a a +++
+++≥++++++ 而 (1211)
111112(1)111122n
n n n
a a a +++
+++≥++++++ 所以有
(1222211)
1122n a a a n n
+++≥+++。 例3.1.6：设……0(1,2,,)i a i n ≥=
，则证明：
(121)
)n
n i a a a =≥+++[5]
证明：由柯西不等式，对于任意的n 个实数……12,,,n x x x ，有
222
22221212()(111)()n n x x x x x x ++++++≥+++………………
即 (2222121)
2
()n n
x x x x x x n
++++++≥
于是1
1
n n i i ==≥
1
1)n
i i n a ==-
∑11[()]n n j i i j a a ===-
∑……12)n a a a =+++。 例3.1.7:设121
,,.....,0,1n n i i x x x x =>=∑
，则1
n
i =≥
[5] 证 由柯西不等式变式1，得
左边
= 2
1
1
11
n
n
n n
i i i i =====≥-≥
()()()
()
()()2
112
2
1
122
11i i i
i
n x x x x ---∑∑∑∑
2
≥
例3.1.8（第42届IMO 预选题）设12,,...,n x x x 是任意实数。证明：
12
222222
11212...111...n n
x x x x x x x x x ++++++
++++证 由柯西不等式，对于任意实数12,...n a a a 有
12...n a a
a +++
令k a =
222
121...k
k
x x x x ++++，k=1，2，…n.
因此原不等式转换为证明
2
2212
22222211212...111...n n x x x x x x x x x ??????+++ ?
? ?+++++++??????
<1 当k ≥2时，有2
222121...k k x x x x ?? ?++++?
?≤()()2
222222
121211...1...k
k k x x x x x x x -++++++++ =
222121
11...k x x x -++++-()222
1211...k x x x ++++ 当k=1时，2
1211x x ?? ?+??≤1-2
1
11x +，因此 2
2221121...n
k k k x x x x =?? ?++++??∑≤1-222
121...n
n
x x x x ++++<1.故原不等式得证。 例3.1.9设12,,...,0n x x x >，1
1n i i x ==∑则
1
n
n
i =≥
.[5]
证 由柯西不等式，得 左边
=11
n
n
i i ==-
2
1
n
i =≥
()()()
()
()()
2
112
2
1122
11i i
i
i
n x x x x ---∑∑∑∑
2
例3.1.10.若n 是不小于2
的正整数，试证：
4111111...7234212n n <-+-++-<
- [5]
证明：111
111111111...1...2 (234)
212232242n n n n ????
-+-++
-=+++-+++ ? ?-????
111
...122n n n
=
+++++
所以求证式等价于4
111 (71222)
n n n <
+++<
++ 由柯西不等式有
()()2
111...12 (212)
2n n n n n n n ??++++++++>?? ???++?? 于是：
()()2111224
...112212 (2317)
3n n n n n n n n n n
+++>==≥+++++++++ 又由柯西不等式有
111...122n n n
+++<++
2==
2）求函数的极值
柯西不等式也可以广泛应用于求函数的极值或最值。事实上，由
(2222222)
11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++
可得……1122n n a b a b a b +++≤ ，如将上式左边当作一个函数，而右边值确定时，则可知
……1122n n a b a b a b +++
的最大值与最小值分别是
，且取最大值与最小值的充要条件是。
(12)
12n n
a a a
b b b === 反过来，如果把柯西不等式右边的一个因式或两个的积当作函数，而其他的因式已知时，则可求出此函数的最小值。
例3.2.1
：求函数y =的最大值，并指出x 为何值时取得最大.
法一：观察可得341x x -+-=故223cos 4sin x x θθ-=-=从而原函数可化为6cos 8sin y θθ=+，有三角函数的知识已知以最大值为10但此时不易确定x 的值。
法二：由柯西不等式得
y =≤
根据等号成立
=x =3.36故所求函数最大值为10此时x =3.3.6.
例3.2.2：已知,,,a b c R 为常数，当2222x y z R ++=时，求函数
(,,)f x y z ax by cz =++的最大值与最小值。[5]
解：由柯西不等式：
22(,,)()f x y z ax by cz =++222222()()a b c x y z ≤++++2222()a b c R =++
故(,,)f x y z ≤ 当且仅当x y z
t a
b c
=
==，即,,x at y bt z ct ===（t 为常数）时等号成立。 将,,x at y bt z ct ===代入2222x y z R ++=得22222()a b c t R ++=
则
t =(,,),,)x y z a b c =时，
(,,)f x y z =±分别为所求的最大与最小值。
例3.2.3已知实数a,b,c,d,满足3a b c d +++=,22222365a b c d +++=，试求a 的最值
解：由柯西不等式得，有
()()22
22111236236b
c d b c d ??
++++≥++ ???
即()2
222236b c d b c d ++≥++ 由条件可得，()2
253a a -≥-
解得12a ≤≤
==时等号成立， 代入时111,,3
6
b c d ===，max 2a = 211,,3
3
b c d ===时 min 1a = 3）解方程
例3.3.1：解方程组22
25
9435
x y x y +=??
+=? 解：由柯西不等式：
22222
21
[(3)(2)][()()](2)32x y x y +?+≥+
即2
2
2
22594363521()()32
x y +≥
=>+，故方程组无解。
例3.3.2：在实数集内解方程组222
94862439
x y z x y z ?++=??
?-+-=?.[5]
解：由柯西不等式：
2222222()[(8)6(24)](8624)x y z x y z ++-++-≥-+- （1）
因为222222()[(8)6(24)]x y z ++-++-29(64364144)394
=?++?= 又因为22(8624)39x y z -+-=。
即2222222()[(8)6(24)](8624)x y z x y z ++-++-=-+- 即（1）式取等号。 由柯西不等式取等号的条件有
8624
x y z ==-- （2） （2）式与862439x y z -+-=联立，则有6918
,,132613
x y z =-
==-。 例3.3.3
解方程11=.[5] 解
根据柯西不等式(
2
≤
()(
)
2
2
2
222x y z ?
?
??+-+-?++?????
?
因从而
211≤()222x y z ++()222
22x y z ???-++?? 即
()222211x y z ??++-??≤0从而()2
22211x y z ??++-??
=0故()22211x y z ++-=0又
由上述过程的可逆性还得到
(2
=
()(
)
2
2
2
2
2
2
x y z ??
??+-+-?++?????
?
再根据柯西不等式
取等号的条件，有且仅有x y z ?=?
??-=?-=??k 为常数）将此带如原方程
得
2
2
2
11k
k k ++=即()222
22k x y z ??-++??=11，而
()222
11x y z ++-=0从而k=1
因此x y z ?=?
??-=?-=??
x y z ?=?
=??
=?4）解三角与几何问题
例3.4.1 在△ABC 中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R 求证
()2
22221
11sin sin sin a
b c A B C ??++++ ???
≥362R
证 由柯西不等式可知()22222
111sin sin sin a b c A B C ??
++++
???
≥2
sin sin sin a b c A B C ??++ ?
??
=()2222R R R ++=362R ，证必。 例3.4.2 设P 是△ABC 内的一点，,,x y z 是P 到三边,,a b c 的距离，R 是△ABC
[5]
证明：由柯西不等式得，
=
≤记S 为△ABC 的面积，则
2242abc abc
ax by cz S R R
++==?
=
≤
故不等式成立。
例3.4.3：在三角形ABC 中，证明sin sin sin 22
nA nB nC -
≤++≤
[5]
证明：由柯西不等式：
22(sin sin sin )(1sin 1sin 1sin )nA nB nC nA nB nC ++=?+?+? 222222(111)(sin sin sin )nA nB nC ≤++++
即2222(sin sin sin )3(sin sin sin )nA nB nC nA nB nC ++≤++ （1） 因为22221cos 21cos 2sin sin sin 1cos 22
nB nC
nA nB nC nA --++=-+
+ 21
2cos (cos 2cos 2)2
nA nB nC =--+
22cos cos()cos()nA nB nC nB nC =--+-
22cos cos()cos()
nA nB nC nB nC ≤-++-
22cos cos()
nA nB nC ≤-++
故2222sin sin sin 2cos cos()nA nB nC nA nB nC ++≤-++ （2） 又因为22cos cos()nA nB nC -++2cos (1cos )nA nA =+-
2
cos (1cos )2[
]2
nA nA +-≤+
因而 2192cos cos 24
4
nA nA -+≤+= （3） 将（3）代入（2）得 2229sin sin sin 4
nA nB nC ++≤ （4） 将（4）代入（1）得29
(sin sin sin )34nA nB nC ++≤?
即sin sin sin nA nB nC ≤++≤
例3.4.4：求证三角形三边上正方形面积之和不小于该三角形面积的
222a b c ++≥，其中,,a b c 为三角形的三边长，S 为三角
形的面积。[5]
证明：由海伦——秦九韶面积公式：
2()()()S s s a s b s c =---，其中2
a b c
s ++=
。 于是216()()()()S a b c b c a c a b a b c =+++-+-+-
2222224442()b c c a a b a b c =++---
由柯西不等式：
2222222444444()()()b c c a a b b c a c a b ++≤++++4442()a b c =++
当且仅当222
222b c a c a b
==，即a b c ==时等式成立。
柯西不等式的应用(整理篇)
柯西不等式的证明及相关应用 摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式： ()2 2211n n b a b a b a +++Λ()()2 222122221n n b b b a a a ++++++≤ΛΛ()n i R b a i i Λ2,1,,=∈ 等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数 ()()()2 2 222 11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=Λ =()()() 2 222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ 由构造知 ()0≥x f 恒成立 又22120n n a a a +++≥Q L ()()() 0442 2221222212 2211≤++++++-+++=?∴n n n n b b b a a a b a b a b a ΛΛΛ 即()()() 22221222212 2211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+ 即12 12n n a a a b b b ===L 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法 （1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()2 11a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ( )()()()2 2 22 22222212 1211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++ ()()()2 22 1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立 （2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()() 22 221222212 2211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当 i i ma b =，m 为常数，k i Λ2,1= 或120k a a a ====L 时等号成立 设A=22221k a a a +++Λ B=2 2221k b b b +++Λ 1122k k C a b a b a b =+++L 2 C AB ≥∴
不等式典型例题之基本不等式的证明
5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新????
高中不等式的证明方法
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
(完整word版)柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：( )()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=????? 当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 三角形式 ad bc =等号成立条件： 三角形式的证明： 222111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑
高中数学教学论文 柯西不等式的证明与应用
柯西不等式的证明及其应用 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用 Summar y： Cauchy's inequality is a very important inequality, this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality, solving the most value, solving equations, trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula, better explains the Cauchy inequality. Keywords ：Cauchy inequality, proof application 不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中 的应用。柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等 式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为， 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：( )()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=????? 当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 三角形式 ad bc ≥ =等号成立条件： 三角形式的证明： 222111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑
不等式证明的常用基本方法
证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t
高等数学中不等式的证明方法
高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.wendangku.net/doc/c05153614.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.wendangku.net/doc/c05153614.html,) 原文地址： https://www.wendangku.net/doc/c05153614.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公
柯西不等式的证明及其应用
柯西不等式的证明及其应用 赵增林 （青海民族大学，数学学院，青海，西宁，810007） 摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，并 给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 关键词：柯西不等式，证明，应用 柯西不等式 定理：如果1212,,,;,,,n n a a a b b b …………为两组实数，则 2222222 11221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… （*） 当且仅当12211331110n n a b a b a b a b a b a b -=-==-=……时等号成立。 若120,0,,0n b b b ≠≠≠……，则不等式的等号成立的条件是 12 12n n a a a b b b ===……。 我们称不等式（*）为柯西不等式。 柯西不等式的证明： 一）两个实数的柯西不等式的证明： 对于实数1212,,,a a b b ，恒有22222 11221212()()()a b a b a a b b +≤++，当且仅当 12210a b a b -=时等号成立。如果120,0b b ≠≠则等式成立的条件是12 12 a a b b =。 证明：对于任意实数1212,,,a a b b ，恒有 2222 22121211221221()()()()a a b b a b a b a b a b ++=++-，而21221()0a b a b -≥， 故2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++。 当且仅当12210a b a b -=时等号成立。 不等式的几何意义如图1所示，在直角坐标系中有 异于原点O 的两点12(,)P a a ，12(,)Q b b ，由距离公式 得：|OP |=，|OQ |=
高中数学基本不等式证明
不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证 明及其应用 Prepared on 22 November 2020
柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角 度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==?? ==???= ?=?????当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： 三角形式 三角形式的证明： 向量形式 向量形式的证明： 一般形式 一般形式的证明： 2 2 2 111n n n k k k k k k k a b a b ===?? ≥ ??? ∑∑∑
证明： 推广形式(卡尔松不等式)： 卡尔松不等式表述为：在m*n 矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素 之积的几何平均之和。 或者： 或者 推广形式的证明： 推广形式证法一： 或者 推广形式证法二： 事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证， 这个不等式并不难，可以简单证明如下： 付：柯西（Cauchy ）不等式相关证明方法： 等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明介绍如下： 证明1：构造二次函数 ()()()2 2 222 11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++= =()()()22 222 121122122n n n n n n a a a x a b a b a b x b b b ++ ++++ ++++ + ()0f x ∴≥恒成立 即()()()2 22 2211221212n n n n n n a b a b a b a a a b b b ++ +≤++ +++ + 当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即 12 12 n n a a a b b b === 时等号成立 证明（2）数学归纳法
证明不等式的几种常用方法
证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以
不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．
柯西不等式各种形式的证明及其应用培训资料
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角 度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式 ()() ()2 2222 bd ac d c b a +≥++ 等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()2 2222 2222123123112233n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++???++++???+≥+++???+ 等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==??==???= ?=?????当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明： ()()() ()()() 2 22222222222 222222222 2 2,,,220=a b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立 2 22 111n n n k k k k k k k a b a b ===??≥ ??? ∑∑∑
柯西不等式及排序不等式及其应用经典例题透析
经典例题透析类型一：利用柯西不等式求最值1．求函数 的最大值．思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不 等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。 解析：法一：∵且， ∴函数的定义域为，且， 当且仅当时，等号成立， 即时函数取最大值，最大值为法二：∵且， ∴函数的定义域为 由， 得 即，解得∴时函数取最大值，最大值 为. 总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键． 举一反三： 【变式1】（2011，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。 （I）证明：-3≤f（x）≤3； （II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。 【答案】 (Ⅰ) 当时，． 所以．…………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， 当时，的解集为空集； 当时，的解集为； 当时，的解集为． 综上，不等式的解集为．……10分 【变式2】已知，，求的最值. 【答案】法一： 由柯西不等式 于 是的最大值为，最小值为. 法二： 由柯西不等式 于是的最大值为，最小值为. 【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值． 【答案】 根据柯西不等式 ， 故。 当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立， 此时，评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑． 类型二：利用柯西不等式证明不等式
利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。 （1）巧拆常数：2．设、、为正数且各不相等，求证： 思路点拨：∵、、均为正，∴为证结论正确只需证： 而，又，故可利用柯西不等式证明之。 证明： 又、、各不相等，故等号不能成立 ∴。 （2）重新安排某些项的次序：3．、为非负数，+=1，，求证： 思路点拨：不等号左边为两个二项式积， ，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。 证明：∵+=1 ∴ 即（3）改变结构：4、若>>，求证： 思路点拨：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了。 ，，∴，∴所证结论改为证
柯西不等式的应用及推广
浅谈柯西不等式的应用及推广 【摘要】剖析柯西不等式的证明、推广以及它们在证明不等式、求函数最值、解方程等方 面的一些应用，进而对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论。 【关键词】柯西（Cauchy ）不等式；函数最值；三角函数证明；不等式教学 【Abstract 】Cauchy-inequality analyzed by proving and extending,applied by proving an inequation and finding asolution to an equation or the maximum value & minimum value of function.Then Cauchy-inequality's some questions appeared in math-teaching of middle school will be discussed. 【Key words 】Cauchy-inequality,the maximum & minimum value,inequation-teaching,func of triangle's proving 引言 中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的皱型和影子。在中学数学教学中，不等式的教学一直是一个难点，学生在学习不等式、应用不等式解题中困难重重。而柯西不等式是著名的不等式之一，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用。基于此，本文拟以柯西不等式为例，从证明方法到应用技巧方面进行总结和归纳，并谈谈它在中学数学中的一些应用.。 1 柯西不等式的证明[1][2] 对柯西不等式本身的证明涉及有关不等式的一些基本方法和技巧。因此，熟练掌握此不等式的证明对提高我们解决一些不等式问题和证明其它不等式有很大帮助。本文所说的柯西不等式是指 ()n i n i i n i i n i i i b a b a , ..., 2,11 2 1 2 2 1====∑ ∑ ∑≤?? ? ?? 当且仅当 n n b a b a b a = == ...2 21 1时，等号成立。 1.1 构造二次函数证明 当021====n a a a 或021===n b b b 时，不等式显然成立 令∑ == n i i a A 1 2 ∑ == n i i i b a B 1 ∑ == n i i b C 1 2 ， 当n a a a ,,,21 中至少有一个不为零时，可知A>0 构造二次函数()C Bx Ax x f ++=2 2 2，展开得：
4 基本不等式的证明(1)
4、基本不等式的证明（1） 目标： (,0)2 a b a b +≥的证明过程，并能应用基本不等式证明其他不等式。 过程： 一、问题情境 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 a 。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计） ，那么a 并非物体的实际质量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b 。那么如何合理的表示物体的质量呢？ 把两次称得的物体的质量“平均”一下，以2 a b A +=表示物体的质量。这样的做法合理吗？ 设天平的两臂长分别为12,l l ，物体实际质量为M ，据力学原理有1221,l M l a l M l b == ，有2,M ab M == ,0a b >时，2 a b +叫,a b ,a b 的几何平均数 2 a b + 二、建构 一般，判断两数的大小可采用“比较法”： 02a b +-=≥ 2 a b +≤（当且仅当a b =时取等号） 说明：当0a =或0b =时，以上不等式仍成立。 从而有 2 a b +≤(0,0)a b ≥≥（称之“基本不等式” ）当且仅当a b =时取等号。 2 a b +≤的几何解释： 如图,,2 a b OC CD OC CD +≥== 三、运用 例1 设,a b 为正数，证明：1(1)2(2)2b a a a b a +≥+≥ 注意：基本不等式的变形应用 2,2a b a b ab +??≤+≤ ???
例2 证明： 22(1)2a b ab +≥ 此不等式以后可直接使用 1(2)1(1)1 x x x + ≥>-+ 4(3)4(0)a a a +≤-< 2 2≥ 2 2> 例3 已知,0,1a b a b >+=，求证：123a b +≥+ 四、小结 五、作业 反馈32 书P91 习题1，2，3
不等式的证明方法习题精选精讲
不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。 1．不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1：若0< B ．a b a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 解：∵0<->-b a 。 由b a -< -11，b a 11>，∴（A ）成立。 由0<< b a ，||||b a >，∴（C ）成立。 由0>->-b a ，2 2 )()(b a ->-，2 2b a >，∴（D ）成立。 ∵0<->-a b a ， )(11b a a --<-，b a a ->11，∴（B ）不成立。 故应选B 。 例2：判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若0<c ，在2 2c b c a >两边同乘以2 c ，不等式方向不变。∴b a >。 （3）错误。b a b a 1 1，成立条件是0>ab 。 （4）错误。b a >，bd ac d c >?>，当a ，b ，c ，d 均为正数时成立。 2．不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3：下列不等式中不等价的是（ ） （1）2232 >-+x x 与0432 >-+x x （2）13 8112++ >++ x x x 与82>x （3）35 7354-+>-+x x x 与74>x （4） 023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A ．（2） B ．（3） C ．（4） D ．（2）（3） 解：（1）0432232 2 >-+?>-+x x x x 。 （2）482>?>x x ，44,11 3 8112>?>-≠?++>++ x x x x x x 。
均值不等式的证明方法
柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong （数学之家） 本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是n n G A ≥: 一些大家都知道的条件我就不写了 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出： 8444844)()(: 4422)()(abcdefgh efgh abcd h g f e d c b a abcd abcd cd ab d c b a d c b a ≥+≥+++++++=≥+≥+++=+++八维时二维已证，四维时： 这样的步骤重复n 次之后将会得到 n n n x x x x x x n 2 221221 (2) ...≥ +++ 令A n x x x x x x x x x x n n n n n n =+++= =====++......;,...,2122111 由这个不等式有 n n n n n n n n n n A x x x A x x x A n nA A 2 121 212 221)..(..2 )2(- -=≥ -+= 即得到 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子： 例1： 1 1 12101(1,2,...,)11(...)n i i i n n n a i n a a a a =<<=≥ --∑ 若证明 例2：
1 1 1211(1,2,...,)1 1(...)n i i i n n n r i n r r r r =≥=≥ ++∑ 若证明 这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法： 给出例1的证明： 12121 2 212 2 123 4 211(1)2(1)(1) 11,(1)(2)2(1) 22(1)2(1)2211111111n a a a a a a p a q a q p p q p q pq q p q q q p q a a a a =+ ≥ ?- --≥----=+= ?--≥-+?-+≥?+≥+?≥+ + + ≥+ ----≥ 当时设，而这是元均值不等式因此此过程进行下去 因2 1 1 2 1221 1212221 12 2 1 1 2 11(...)...(...)112 2 (2) 1111() 111n n n n n n n n i i n n n n n n n n n i i n n i i a a a a a a a a a a G n a G G G G n a G =++-==≥ --=====+-≥ = ----≥ --∑ ∑ ∑ 此令有即 例3： 1 115,,,,1(1),,111,,11( )( ) 1 1 n n i i i i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i i i i i i i i n r s t u v i n R r S s n n T t U u V v n n n r s t u v R ST U V r s t u v R ST U V =>≤≤== = = = ++≥--∑∑∑∑∑∏ 已知个实数都记，求证下述不等式成立： 要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式