【精选资料】初中数学竞赛数论题

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数论题练习（一）

1. 求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .

2. 对于i =2，3，…，k ，正整数n 除以i 所得的余数为i －1．若n 的最小值0n 满

足020003000n <<，则正整数k 的最小值为 ．

3．满足方程2

2

2()x y x y xy +=++的所有正整数解有（ ）．

(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组

4．正整数n 分别除以2,3,4,5,6,7,8,9,10得到的余数依次为1,2,3,4,5,6,7,8,9，则n 的最小值为 ．

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5．n 是一个三位数,b 是一个一位数,且22

,1

a a

b b ab ++都是整数,求a b +的最大值与最小值.

6．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()1234

52009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b

的值

为 ．

7．试求出所有这样的正整数a 使得关于x 的二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根.

8．是否存在质数p ，q ，使得关于x 的一元二次方程2

0px qx p -+=有有理数根？

9．已知m、n均为正整数,且m>n,2006m2+m=2 007n2+n.问m-n是否为完全平方数?并证明你的结论.

10．已知k为常数，关于x的一元二次方程(k2-2k)x2+(4-6k)x+8=0的解都是整数.求k的值. 11．已知n为自然数，9n2-10n+2 009能表示为两个连续自然数之积.则n的最大值为 .

12．设a是3的正整数次幂，b是2的正整数次幂，试确定所有这样的,a b，使得二次方程20

-+=的根是整数.

x ax b

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13．是否存在这样的正整数n ,使得2371n n +-能整除32

1n n n +++?请说明理由。

14．使得2(1)(2)(3)12n n n n ++++可表示为2个正整数平方和的自然数n ( )

A 不存在

B 有1个

C 有2个

D 有无数个

15．证明：存在无穷多对正整数(),m n ，满足方程()2

2

25107m n mn m n +=++。

16．方程323652x x x y y ++=-+的整数解（x ，y ）的个数是（ ）．

（A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多

17．已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程2

1()02

x abx a b -++=是

否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.

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18．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ．

19．设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ 求a ，b 的值.

20．已知正整数a 满足3

192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．

21．试确定一切有理数,r 使得关于x 的方程()0122

=-+++r x r rx 有根且只有整数根。

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22．已知p 为质数，使二次方程01522

2=--+-p p px x 的两根都是整数，求出所有可

能的p 的值。

23．设[]x 为不超过x 的最大整数，求方程[]0514042

=+-x x 的解。

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