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矩阵与线性方程组

第1 章矩阵与线性方程组

矩阵是描述和求解线性方程组最基本和最有用的工具。本章涉及向量和矩阵的基本

概念，归纳了向量和矩阵的基本运算。

1.1 主要理论与方法

1.1.1 矩阵的基本运算

一、矩阵与向量

a11x1 + a12x2 + ￠￠￠+ a1n x n = b1

a21x1 + a22x2 + ￠￠￠+ a2n x n = b2

...

a m1x1 + a m2x2 + ￠￠￠+ a mn x n =

b m

>>>=>>>>;

(1.1)

它使用m个方程描述n个未知量之间的线性关系。这一线性方程组很容易用矩阵||向量

形式简记为

Ax = b (1.2)

式中

A =26664

a11 a12 ￠￠￠ a1n

a21 a22 ￠￠￠ a2n

...

a m1 a m2 ￠￠￠ a mn

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(1.3)

称为m ￡ n矩阵，是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合；而

x =26664

...

x n

37775

; b =26664

...

b m

37775

(1.4)

分别为n ￡1向量和m￡1向量，是按照列方式排列的复数或实数集合，统称列向量。类似地，按照行方式排列的复数或实数集合称为行向量，例如

a = [a1; a2; ￠￠￠ ; a n] (1.5)

是1 ￡ n向量。

二、矩阵的基本运算

1. 共轭转置：若A = [a ij ]是一个m￡ n矩阵，则A的转置记作A T，是一个n ￡m矩阵，

定义为[A T]ij = a ji；矩阵A的复数共轭A¤定义为[A¤]ij = a¤ji；复共轭转置记作A H，定义

为

A H =26664

a¤11 a¤21 ￠￠￠ a¤m1

a¤12 a¤22 ￠￠￠ a¤m2

...

a¤1n a¤2n ￠￠￠ a¤mn

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(1.6)

共轭转置又叫Hermitian伴随、Hermitian转置或Hermitian共轭。满足A H = A的正方复矩阵称为Hermitian矩阵或共轭对称矩阵。

2. 矩阵求和：两个m￡n矩阵A = [a ij ]和B = [b ij ]之和记作A+B，定义为[A+B]ij =

a ij +

b ij。

3. 标量与矩阵相乘：令A = [a ij ]是一个m ￡ n矩阵，且?是一个标量。乘积?A是一

个m ￡ n矩阵，定义为[?A]ij = ?a ij。

4. 矩阵与向量相乘：m ￡ n矩阵A = [a ij ]与r ￡1向量x = [x1; x2; ￠￠￠ ; x r]T的乘积Ax

只有当n = r时才存在，它是一个m ￡1向量，定义为

[Ax]i =

n X j=1

a ij x j ; i = 1; 2; ￠￠￠ ;m

5. 矩阵与矩阵相乘：m ￡ n矩阵A = [a ij ]与r ￡ s矩阵B = [b ij ]的乘积AB只有当n =

r时才存在，它是一个m ￡ s矩阵，定义为

[AB]ij =

n X k=1

a ik

b kj ; i = 1; 2; ￠￠￠ ;m; j = 1; 2; ￠￠￠ ; s

根据定义，容易验证矩阵的加法服从下面的运算规则。

2加法交换律(commutative law of addition)：A + B = B + A

2加法结合律(associative law of addition)：(A + B) + C = A + (B + C)

定理1.1 矩阵的乘积服从下面的运算法则。

(1) 乘法结合律(associative law of multiplication): 若A 2 C m￡n;B 2 C n￡p;C 2

C p￡q，则A(BC) = (AB)C。

(2) 乘法左分配律(left distributive law of multiplication)：若A和B是两个m￡n 矩阵，

且C是一个n ￡ p矩阵，则(A + B)C = AC + BC。

(3) 乘法右分配律(right distributive law of multiplication)：若A是一个m￡n 矩阵，并

且B和C是两个n ￡ p矩阵，则A(B + C) = AB + AC。

(4) 若?是一个标量，并且A和B是两个m ￡ n矩阵，则?(A + B) = ?A + ?B。

6. 逆矩阵：令A是一个n￡n矩阵，若可以找到一个n￡n矩阵A?1满足AA?1 = A?1A =

I，称矩阵A可逆，并称A?1是矩阵A的逆矩阵。

下面是共轭、转置、共轭转置和逆矩阵的性质。

(1) 矩阵的共轭、转置和共轭转置满足分配律：

(A + B)¤= A¤+ B¤

(A + B)T = A T + B T

(A + B)H = A H + B H

(2) 矩阵乘积的转置、共轭转置和逆矩阵满足关系式

(AB)T = B T A T

(AB)H = B H A H

(AB)?1 = B?1A?1 (A;B 为可逆的正方矩阵)

(3) 共轭、转置和共轭转置等符号均可与求逆符号交换，即有

(A¤)?1 = (A?1)¤; (A T)?1 = (A?1)T; (A H)?1 = (A?1)H

因此，常常分别采用紧凑的数学符号A?¤;A?T和A?H。

(4) 对于任意矩阵A，矩阵B = A H A都是Hermitian 矩阵。若A可逆，则对于Hermitian矩阵B = A H A，有A?H BA?1 = A?H A H AA?1 = I。

7. 幂等矩阵：矩阵A n￡n称为幂等矩阵(idempotent matrix)，若A2 = AA = A。

8. 对合矩阵：矩阵A n￡n称为对合矩阵(involutory matrix)，若A2 = AA = I。

三、向量的线性无关性与非奇异矩阵

1. 向量组线性相关/无关：一组m维向量fu1;u2; ￠￠￠ ;u n g称为线性无关，若方程

c1u1 + c2u2 + ￠￠￠+ c n u n = 0

只有零解c1 = c2 = ￠￠￠= c n = 0。若能够找到一组不全部为零的系数c1; c2; ￠￠￠ ; c n使得上述方程成立，则称m维向量组fu1;u2; ￠￠￠ ;u n g线性相关。

2. 奇异/非奇异矩阵：一个n ￡ n矩阵A是非奇异的，当且仅当矩阵方程Ax = 0只有

零解x = 0。若A不是非奇异的，则称A 奇异。

四、初等行变换与阶梯型矩阵

1. 矩阵的初等行变换：令矩阵A 2 C m￡n的m个行向量分别为r1; r2; ￠￠￠ ; r m。下列运

算称为矩阵A的初等行运算(elementary row operation)或初等行变换：

(1) 互换矩阵的任意两行，如r p $ r q，称为Ⅰ型初等行变换。

(2) 一行元素同乘一个非零常数?，如?r p ! r p，称为Ⅱ型初等行变换。

(3) 将第p行元素同乘一个非零常数ˉ后，加给第q行，即ˉr p + r q ! r q，称为Ⅲ型初

等行变换。

2. 阶梯型矩阵：一个m ￡ n矩阵称为阶梯型(echelon form)矩阵，若

(1) 全部由零组成的所有行都位于矩阵的底部。

(2) 每一个非零行的首项元素总是出现在上一个非零行的首项元素的右边。

(3) 首项元素下面的同列元素全部为零。

1.1.2 向量空间、内积空间与线性映射

一、向量空间

以向量为元素的集合V 称为向量空间，若加法运算定义为两个向量之间的加法，乘法运算定义为向量与标量域S中的标量之间的乘法，并且对于向量集合V 中的向量x; y;w和标量域S中的标量a1; a2，以下两个闭合性和关于加法及乘法的八个公理(axiom) [也称公设(postulate)或定律(law)]满足：

闭合性(closure properties)

(c1) 若x 2 V 和y 2 V ，则x + y 2 V ，即V 在加法下是闭合的，简称加法的闭合

性(closure for addition)；

(c2) 若a1是一个标量，y 2 V ，则a1y 2 V ，即V 在标量乘法下是闭合的，简称标量乘

法的闭合性(closure for scalar multiplication)。

加法的公理

(a1) x + y = y + x; 8 x; y 2 V ，称为加法的交换律(commutative law for addition)；

(a2) x+(y +w) = (x+y)+w; 8 x; y;w 2 V ，称为加法的结合律(associative law for addition)；

(a3) 在V 中存在一个零向量0，使得对于任意向量y 2 V ，恒有y +0 = y (零向量的存

在性)；

(a4) 给定一个向量y 2 V ，存在另一个向量?y 2 V 使得y + (?y) = (?y) + y = 0 (负

向量的存在性)。

标量乘法的公理

(s1) a(by) = (ab)y对所有向量y和所有标量a; b 成立，称为标量乘法的结合律(associative law for scalar multiplication)；

(s2) a(x + y) = ax + ay对所有向量x; y 2 V 和标量a 成立，称为标量乘法的分配

律(distributive law for scalar multiplication)；

(s3) (a + b)y = ay + by对所有向量y和所有标量a; b成立(标量乘法的分配律)；

(s4) 1y = y 对所有y 2 V 成立，称为标量乘法的单位律(unity law for scalar multipli- cation)。

二、实内积空间

实内积空间(real inner product space)是满足下列条件的实向量空间E：对E中每一对

向量x; y，存在向量x和y的内积hx; yi 服从以下公理：

(1) hx; xi > 0; 8 x 6= 0，称为内积的严格正性(strict positivity)或称内积是正定

的(positive deˉnite)，并且hx; xi = 0 , x = 0；

(2) hx; yi = hy; xi，称为内积的对称性(symmetry)；

(3) hx; y + zi = hx; yi + hx; zi; 8 x; y; z；

(4) h?x; yi = ?hx; yi对所有实向量x; y及所有实标量?成立。

三、复内积空间

复内积空间(complex inner product space)是满足下列条件的复向量空间C：对C中每一对向量x; y，存在复向量x和y之间的内积hx; yi 服从以下公理：

(1) x 6= 0 ) hx; xi > 0，称为内积的严格正性或称内积是正定的；

(2) hx; yi¤= hy; xi，称为内积的共轭对称性(conjugate symmetry)或Hermitian性；

(3) hx; y + zi = hx; yi + hx; zi，对所有向量x; y; z成立；

(4) hcx; yi = c¤hx; yi对所有复向量x; y 及所有复标量c成立。

四、线性映射

令V 和W分别是R m和R n 的子空间，并且T : V 7! W是一映射。称T为线性映射或线性变换，若对于v 2 V; w 2 W和所有标量c，映射T满足线性关系式

T(v + w) = T(v) + T(w) (1.7)

和

T(cv) = cT (v) (1.8)

1.1.3 随机向量

一、随机向量的统计描述

1. 均值向量：考查m￡1随机向量x(?) = [x1(?); x2(?); ￠￠￠ ; x m(?)]T。令随机变量x i(?)的均值E fx i(?)g = 1i，则随机向量的数学期望称为均值向量，记作1x，定义为

1x = E fx(?)g =26664

E fx1(?)g E fx2(?)g ...

E fx m(?)g

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=26664

...

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(1.9)

式(1.9)表明，均值向量的元素是随机向量各个元素的均值。

2. 自相关矩阵：随机向量的自相关矩阵定义为

R x

def = E fx(?)x H(?)g =26664

r11 r12 ￠￠￠ r1m

r21 r22 ￠￠￠ r2m

...

r m1 r m2 ￠￠￠ r mm

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(1.10)

式中，r ii; i = 1; 2; ￠￠￠ ;m表示随机变量x i(?)的自相关函数，定义为

r ii

def = E fjx i(?)j2g; i = 1; 2; ￠￠￠ ;m (1.11)

而r ij表示随机变量x i(?)和x j(?)之间的互相关函数，定义为

r ij

def = E fx i(?)x¤j (?)g; i; j = 1; 2; ￠￠￠ ; m; i 6= j (1.12)

显然，自相关矩阵是共轭对称的，即为Hermitian矩阵。

3. 自协方差矩阵：随机向量x(?)的自协方差矩阵定义为

C x

def = E f[x(?) ? 1x][x(?) ? 1x]H g =26664

c11 c12 ￠￠￠ c1m

c21 c22 ￠￠￠ c2m

...

c m1 c m2 ￠￠￠ c mm

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(1.13)

式中，主对角线的元素

c ii

def = E fjx i(?) ? 1i j2g; i = 1; 2; ￠￠￠ ;m (1.14)

表示随机变量x i(?)的方差?2

i ，即c ii = ?2

i ，而非主对角线元素

c ij

def = E f[x i(?) ? 1i][x j(?) ? 1j ]¤g = E fx i(?)x¤j (?)g ? 1i1¤j = c¤j i (1.15)

表示随机变量x i(?)和x j(?)之间的协方差。自协方差矩阵也是Hermitian矩阵。

随机向量间的互相关矩阵与互协方差矩阵很容易由自相关矩阵与自协方差矩阵推广得到。

4. 统计不相关：两个随机向量x(?)与y(?)统计不相关，若它们的互协方差矩阵等于零矩阵，即C xy = O。

5. 正交：两个随机向量x(?)和y(?)称为正交，若它们的互相关矩阵为零矩阵，即

R xy = E fx(?)y H(?)g = O (1.16)

二、正态随机向量

若随机向量x(?) = [x1(?); x2(?); ￠￠￠ ; x m(?)]T的各分量为联合正态分布的随机变量，则称x(?)为正态随机向量。

1.1.4 内积与范数

一、向量的内积与范数

1. 常数向量的内积与范数

(1) 内积：两个m ￡1维常数向量x = [x1; x2; ￠￠￠ ; x m]T 和y = [y1; y2; ￠￠￠ ; y m]T的内

积(或叫点积)定义为

hx; yi = x H y =

m X i=1

x¤i y i (1.17)

(2) 范数：

(a) l1范数

kxk1

def =

m X i=1

jx i j = jx1j + jx2j + ￠￠￠+ jx m j (1.18)

上述范数有时也叫和范数或1范数。

(b) l2范数

kxk2 = (jx1j2 + jx2j2 + ￠￠￠+ jx m j2)1=2 (1.19)

这一范数常称Euclidean范数，有时也称Frobenius范数。

范数

kxk1 = max(jx1j; jx2j; ￠￠￠ ; jx m j) (1.20)

也称无穷范数或极大范数。

(d) l p范数

kxk p = ? m X i=1

jx i j p!1=p

; p > 1 (1.21)

l p范数也叫H?older范数[20]。

2. 随机向量的内积与范数

(1) 内积：若x(?)和y(?) 分别是样本变量?的随机向量，则它们的内积定义为

hx(?); y(?)i def = E fx H(?)y(?)g (1.22)

其中，样本变量?可以是时间t、圆频率f、角频率!和空间变量s等。

(2) 范数：随机向量x(?)的范数定义为

kx(?)k2 def = E fx H(?)x(?)g (1.23)

二、矩阵的范数

1. Frobenius范数

kAk F

def =0@

m X i=1

n X j=1

ja ij j21A

1=2

(1.24)

这一定义可以视为向量的Euclidean范数对按照矩阵各行排列\长向量"

x = [a11; ￠￠￠ ; a1n; a21; ￠￠￠ ; a2n; ￠￠￠ ; a m1; ￠￠￠ ; a mn]T

的推广。矩阵的Frobenius范数也被称为Euclidean范数、Schur范数、Hilbert-Schmidt范数或者l2范数。

2. l p范数

kAk p

def = max

x6=0

kAxk p

kxk p

(1.25)

式中，kxk p是向量x的l p范数，由式(1.21)定义。l p范数也称为Minkowski p 范数，或者简称p范数。

3. 行和范数(row-sum norm)

kAk row = max

16i6m8<:

n X j=1

ja ij j9=;

(1.26)

4. 列和范数(column-sum norm)

kAk col = max

16j6n( m X i=1

ja ij j) (1.27)

5. 谱范数(spectrum norm)

kAk spec = ?max = p?max (1.28)

1.1.5 基与Gram-Schmidt正交化

一、向量子空间的基

生成子空间W的线性无关的向量fu1;u2; ￠￠￠ ;u d g称为子空间W的基向量(basis vec- tors) 或简称为基。生成子空间W的基向量的个数称为子空间W 的维数，即有

d = dim(Span fu1;u2; ￠￠￠ ;u d g) (1.29)

二、Gram-Schmidt正交化

令fx1; x2; ￠￠￠ ; x n g 是p维向量子空间W的任意一组基(即线性无关的向量)。于是，子空间W的标准正交基fu1;u2; ￠￠￠ ;u n g可以通过Gram-Schmidt正交化构造如下：

p1 = x1; u1 = p1

kp1k

= x1

kx1k

p k = x k ?

k?1 X i=1

(u H

i x k)u i; u k = p k

kp k k

(1.30)

式中，2 6 k 6 n。

1.1.6 矩阵的标量函数

一、矩阵的二次型

任意一个正方矩阵A的二次型x H Ax是一实标量。以实矩阵为例，考查二次型

x T Ax = [x1; x2; x3]24

1 4 2

?1 7 5

?1 6 335

= x2

1 ? x2x1 ? x3x1 + 4x1x

2 + 7x2

2 + 6x3x2 + 2x1x

3 + 5x2x3 + 3x2

= x2

1 + 7x2

2 + 3x2

3 + 3x1x2 + x1x3 + 11x2x3

这是变元x的二次型函数，故称x T Ax为矩阵A的二次型。

一个复共轭对称矩阵A称为

正定矩阵，若二次型x H Ax > 0; 8 x 6= 0；

半正定矩阵，若二次型x H Ax > 0; 8 x 6= 0 (也称非负定的)；

负定矩阵，若二次型x H Ax < 0; 8 x 6= 0；

半负定矩阵，若二次型x H Ax 6 0; 8 x 6= 0 (也称非正定的)；

不定矩阵，若二次型x H Ax既可能取正值，也可能取负值。

二、矩阵的迹

1. 定义：n ￡ n矩阵A的对角元素之和称为A的迹(trace)，记作tr(A)，即

tr(A) = a11 + a22 + ￠￠￠+ a nn =

n X i=1

a ii (1.31)

2. 性质：

(1) 关于迹的等式[27]

(a) 若A和B 均为n ￡ n矩阵，则tr(A § B) = tr(A) §tr(B)。

(b) 若c是一个复或者实的常数，则tr(cA) = c tr(A)。

(d) 矩阵A的转置、复数共轭和复共轭转置的迹分别为

tr(A T) = tr(A)

tr(A¤) = [tr(A)]¤

tr(A H) = [tr(A)]¤

(e) 迹是相似不变量：若A为m ￡ n 矩阵，且B为n ￡ m矩阵，则tr(AB) = tr(BA)

(f) 若矩阵A和B均为m ￡ m矩阵，并且B非奇异，则

tr(BAB?1) = tr(B?1AB) = tr(A)

(g) 若A是一个m ￡ n矩阵，则tr(A H A) = 0 , A = O m￡n (零矩阵)。

(h) x H Ax = tr(Axx H)和y H x = tr(xy H)。

(i) 分块矩阵的迹满足

tr ·A B

C D?= tr(A) + tr(D)

式中，A 2 C m￡m;B 2 C m￡n;C 2 C n￡m;D 2 C n￡n。

(j) 矩阵A H A 和AA H的迹相等，且有

tr(A H A) = tr(AA H) =

n X i=1

n X j=1

ja ij j2 (1.32)

(k) 迹等于特征值之和，即

tr(A) = ?1 + ?2 + ￠￠￠+ ?n (1.33)

(l) 对于任何正整数k，有

tr(A k) =

n X i=1

i (1.34)

式右的和称为A的诸特征值的k次矩。

(2) 关于迹的不等式[27]

(a) 对一个复矩阵A 2 C m￡n，有tr(A H A) = tr(AA H) > 0。

(b) 若A;B均为m ￡ n矩阵，则

tr[(A T B)2] 6 tr(A T A)tr(B T B) (Cauchy-Schwartz不等式)

tr[(A T B)2] 6 tr(A T AB T B)

tr[(A T B)2] 6 tr(AA T BB T)

(d) tr[(A + B)(A + B)T] 6 2[tr(AA T) + tr(BB T)]。

(e) 若A和B为m ￡ m对称矩阵，则tr(AB) 6 1

2 tr(A2 + B2)。

三、行列式

1. 定义：一个n ￡ n正方矩阵A的行列式记作det(A)或jAj

det(A) = jAj =ˉˉˉˉˉˉˉˉˉ

a11 a12 ￠￠￠ a1n

a21 a22 ￠￠￠ a2n

...

... a

￠

ˉˉˉˉˉˉˉˉˉ

(1.35)

若A = fag 2 C1￡1，则它的行列式由det(A) = a给出。

2. 性质：

(1) 关于行列式的等式关系[27]

(a) 如果矩阵的两行(或列)互换位置，则行列式数值保持不变，但符号改变。

(b) 若矩阵的某行(或列)是其他行(或列)的线性组合，则det(A) = 0。特别地，若某

行(或列)与另一行(或列) 成正比或相等，或者某行(或列)的元素均等于零，则det(A) = 0。

det(A) = det(A T) (1.36)

但det(A H) = [det(A T)]¤。

(d) 单位矩阵的行列式等于1，即det(I) = 1。

同济大学线性代数教案第一章线性方程组与矩阵

线性代数教学教案第一章线性方程组与矩阵授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为

n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ，或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义：对于矩阵()ij m n a ?=A ，称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ，

a b+

21 2 n m m mn a a a ????，转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律（这里k 为常数，A 与B 为同型矩阵）阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???，m b = ? ??? β，有：

2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：=Ax β.

授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ，21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ，的行数相同、列数相同，则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ，都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .

知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。扩展矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。等价关系的性质（1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59）行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。初等变换的性质

设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。初等矩阵的性质设A 是一个m ×n 矩阵，则（1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使（2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵；即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使（4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。（5）~r A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？）初等变换的应用（1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。（2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节矩阵的秩

线性方程组的矩阵求解算法

线性方程组的矩阵求解算法摘要线性方程组的矩阵求解算法,只需在约当消元法的基础上,再对方程组的增广矩阵的行最简形进行行(列)删除和增加行,交换行等运算即可得到方程组的解,并且这种方法既可求解有唯一解的方程组.因而算法简单,易于实现. 关键词线性方程组;解向量;解法;约当消元法 1 矩阵求解算法设有线性方程组m n A X b ?=,其增广矩阵())(1,m n A A b ?+=,算法的步骤如下: 第一步:利用约当消元法,把增广矩阵A 化为行最简形,设行最简形为()1m n B ?+.若()t i (),r A r =则方程组无解;否则设(),r A R =并执行以下步骤; 第二步:删除B 中的所有零行和每一行第一个非零元素(这个非零元素一定是1)所在的列,得到矩阵()1,r n r D ?-+并记录每行的第一个非零元所在的列标,放在一维数组()1,,t r L 中,如第i 行的第一个非零元在第j 列,则()t i j =; 第三步:构造矩阵() 1m n r D H F ?-+?? = ? ??,其中 ()()1100 001 0000 10n r n r F -?-+-?? ?- ? = ? ? -??L L L L L L L L 第四步:对矩阵H 中的行作交换运算:把H 中的第i 行(,1,1,i r r =-L 即从第r 行开始直到第一行)依次与其下一行交换,使之成为第()t i 行,交换运算结果后的矩阵记为G ,则G 中的前n r -个n 维列向量即为方程组的一个基础解系,最后一列向量即为方程组的一个特解; 第五步:写出方程组的通解. 2 算法证明先证一个特殊情形,增广矩阵A 的行最简形矩阵B 的左上角为一r 阶的单位矩阵,即第i 行的第一个非零元的列标为i ,即()()1t i i i r =≤≤,所以设B 为

总结求线性方程组的方法

总结求线性方程组的方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

华北水利水电大学总结求线性方程组的方法课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式： 2014年12月31日

摘要：线性方程组的求解是当代代数学中的一个重要组成部分。它广泛应用在数学以及其他领域。它与矩阵、线性变换、行列式、向量组的线性相关性，二次型，这些型之间有着相当密切的联系。线性方程组是线性代数中一个相当基础的内容必须要学会以及熟悉内容。本文章主要说明和讨论线性方程组的基本结构，然后应用克拉莫法则，高斯消元法来来求解。关键词：线性方程组、高斯消元法、克拉莫法则； Summary for the method of liner equations Abstract: Solution of the system of linear equations is an important component part of algebra. It is widely used in mathematics and other areas. It and determinant, matrix, linear transformation, linear correlation vector group, quadratic form, has the close relation. System of linear equations is a very basic content in linear algebra must grasp and familiar with the content. This article mainly explain and discuss the basic structure of system of linear equations, then apply law of kramer, gauss elimination method to solve.

第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组

线性方程组与矩阵

高代小练习专业课研究部一、填空题 1．设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r < n ，则方程组的基础解系由_n-r__个解向量组成． 2．向量组123,,ααα线性无关，则122331(,,)rank αααααα+++=__3____. 3．设向量组12,,,r βββ 可以由向量组12,,,s ααα 线性表出.如果向量组12,,,r βββ 线性无关，则r __<=___s （填大小关系）. 4.在数域K 上的4维向量空间K 4内，给定向量组α1 =（1，-3，0，2）α2 =（-2，1，1，1）α3 =（-1，-2， 1，3），则此向量组的秩是_2____. 5.若V={(a+bi ，c+di)|a,b,c,d 属于R},则V 对于通常的加法和数乘，在复数域上是__2____维的，而在实数域上是__4_____维的. 6.设线性方程组AX=0的解都是线性方程组BX=0的解，则秩A ?>=??秩B. 7.设t ηηη,,,21 及t t ηληληλ+++ 2211都是)0(≠=b b AX 的解向量，则 =+++t λλλ 21______。 8.设任意一个ｎ维向量都是齐次线性方程組0=AX 的解向量，则=)(A r ______。 9.已知321,,ααα是齐次方程组0=AX 的基础解系，那么基础解系还可以是______. (A) 332211αααk k k ++ (B) 133221,,αααααα+++ (C) 3221,αααα-- (D) 233211,,αααααα-+- 10.在三维几何空间中，用V 1表示通过原点的直线，V 2表示通过原点且与V 1垂直的平面，试求 21V V ?=_原点____，和21V V ?=_整个空间R 3 ____。二．解答题 1.在4维向量空间中，（1）求基到基的过渡矩阵。

矩阵分解与线性方程组求解

一、用列主元素高斯削去法求解下述线性方程组： ?????? ?-=+--=++---=--+=--+36 15531495102210762133421342143214 3214321x x x x x x x x x x x x x x x 程序： function x=gaussa(a) m=size(a); n=m(1); x=zeros(n,1); for k=1:n-1 [c,i]=max(abs(a(k:n,k))); q=i+k-1; if q~=k d=a(q,:);a(q,:)=a(k,:);a(k,:)=d end for i=k+1:n a(i,:)=a(i,:)-a(k,:)*a(i,k)/a(k,k) end end for j=n:-1:1 x(j)=(a(j,n+1)-a(j,j+1:n)*x(j+1:n))/a(j,j) end 执行过程： >> a=[1 13 -2 -34 13;2 6 -7 -10 -22;-10 -1 5 9 14; -3 -5 0 15 -36] a = -10 -1 5 9 14 2 6 -7 -10 -22 1 13 -2 -34 13 -3 -5 0 15 -36 >> gaussa(a) a = -10.0000 -1.0000 5.0000 9.0000 14.0000 0 5.8000 -6.0000 -8.2000 -19.2000 1.0000 13.0000 -2.0000 -34.0000 13.0000 -3.0000 -5.0000 0 15.0000 -36.0000 a = -10.0000 -1.0000 5.0000 9.0000 14.0000 0 5.8000 -6.0000 -8.2000 -19.2000 0 12.9000 -1.5000 -33.1000 14.4000 -3.0000 -5.0000 0 15.0000 -36.0000 a = -10.0000 -1.0000 5.0000 9.0000 14.0000 0 5.8000 -6.0000 -8.2000 -19.2000 0 12.9000 -1.5000 -33.1000 14.4000 0 -4.7000 -1.5000 12.3000 -40.2000

线性方程组的矩阵求法

线性方程组的矩阵求法摘要：关键词：第一章引言矩阵及线性方程组理论是高等代数的重要内容, 用矩阵方法解线性方程组又是人们学习高等代数必须掌握的基本技能,本文将给出用矩阵解线性方程组的几种方法，通过对线性方程组的系数矩阵（或增广矩阵）进行初等变换得到其解，并列举出几种用矩阵解线性方程组的简便方法。第二章用矩阵消元法解线性方程组第一节预备知识定义1：一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。定理1：初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。定义2：定义若阶梯形矩阵满足下面两个条件：（1）B的任一非零行向量的第一个非零分量（称为的一个主元）为1；（2）B中每一主元是其所在列的唯一非零元。则称矩阵为行最简形矩阵。第二节 1．对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩

阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，因此，我们将要通过花间矩阵来讨论化简线性方程组的问题。这样做不但讨论起来比较方便，而且能给我们一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次都把未知量写出来。下面以一般的线性方程组为例，给出其解法：（1） 11112211 21122222 1122 , , . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= +++= +++= L L L L L L L L L L L L L L L 根据方程组可知其系数矩阵为：（2） 11121 21222 12 n n m m mn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ??? L L L L L L L L L L L L 其增广矩阵为：（3） 111211 212222 12 n n m m mn m a a a b a a a b a a a b ?? ? ? ? ? ??? L L L L L L L L L L L L L L L 根据（2）及矩阵的初等变换我们可以得到和它同解的线性方程组，并很容易得到其解。定理2：设A是一个m行n列矩阵

矩阵在线性方程组中的应用

矩阵在线性方程组中的应用摘要矩阵和线性方程组都是高等数学的重要教学内容。在高等数学教学中利用矩阵解线性方程组的方法基本上是所知的固定几种：利用矩阵初等变换、克拉默法则、高斯—若尔当消去法。但是解一个线性方程组有时需要几种方法配合使用，有时则需要选择其中的最简单的方法。而对于一些特殊的线性方程组的解法很少有进行归类、讲解。我们希望可以通过对本课题的研究，总结和归纳用特殊矩阵解几类特殊线性方程组的解法。关键词矩阵；线性方程组；齐次线性方程组；非齐次线性方程组

MATRICES IN THE APPLICATIONS OF THE SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS ABSTRACT Matrices and system of linear equations are important content of advanced mathematics. We often use several fixed methods to solve system of linear equations in advanced mathematics，such as Matrix transformations;Cramer's Ruleand Gauss-Jordan elimination method. But sometimes, we need to choose one of the most simple ways,or we need to use several methods to solve system of linear equations. For some special solution method of system of linear equations, there are few classification and explanation in detail. We hope that we can research, summarizes and induces solution method of some special system of linear equations with special matrices. KEY WORDS matrices; system of linear equations; homogeneous system of linear equations; nonhomogeneoussystem of linear equations

线性代数习题第三章矩阵的初等变换与线性方程组

习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1、用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形、 2、用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵、 3、设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =、 4、设A就是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B、 (1) 证明B可逆(2)求1 AB-、

习题 3-2 矩阵的秩 1、求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠????=?? L 2、设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =、

3、从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系就是、 .()()a R A R B = .()()b R A R B <; .()()1c R B R A >-; .()()() 1.d R A R B R A ≥≥- 4、矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= 、 a 、1; b 、 2; c 、 3; d 、 4、 5、设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = 、 a 、 1; b 、 n -11; c 、 –1; d 、 1 1-n 、 6、设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证: ()()R A R A E n +-=

线性方程组AX=B的数值计算方法实验

线性方程组AX=B的数值计算方法实验【摘要】在自然科学与工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组。例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小二乘法验数据的曲线拟合问题，解非线性方程组的问题，用差分法或者有限元法解常微分方程，偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组。线性代数方面的计算方法就是研究求解线性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特征值及特征向量的数值方法。关于线性方程组的数值解法一般有两类：直接法和迭代法。关键字高斯消元法、三角分解法、高斯-赛德尔迭代、稀疏矩阵一、实验目的 1.掌握高斯消元法、三角分解法、高斯—赛德尔迭代发的编程技巧。 2.掌握线性方程组AX=B的数值计算方法。 3.掌握矩阵的基本编程技巧。二、实验原理 1.高斯消元法

数学上，高斯消元法是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解。高斯（Gauss ）夏鸥按法其实是将一般的线性方程组变换为三角形（上三角）方程组求解问题（消元法），只是步骤规，便于编写计算机程序。一般高斯消元法包括两过程：先把方程组化为同解的上三角形方程组，再按相反顺序求解上三角方程组。前者称为消去或消元过程，后者称回代过程。消去过程实际上是对增广矩阵作行初等变换。对一般的n 阶方程组，消去过程分n-1步：第一步消去11a 下方元素。第二步消去22a 下方元素，......，第n-1步消去1-n 1-n a ，下方元素。即第k 步将第k 行的适当倍数加于其后各行，或可说是从k+1~n 行减去第k 行的适当倍数，使它们第k 列元素变为零，而其余列元素减去第k 行对应列元素的倍数。 2.三角分解法三角分解法是将原正方 (square)矩阵分解成一个上三角形矩阵或是排列(permuted) 的上三角形矩阵和一个下三角形矩阵，这样的分解法又称为LU 分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求反矩阵，和求解联立方程组。不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一，还可找到数个不同的一对上下三角形矩阵，此两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵。

线性方程组和矩阵知识总结.doc

线性方程组和矩阵知识总结吴荣魁 2013201363 线性方程组的基本概念 ???????=+++=+++=+++m mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 322112222212111212111 其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量它满足:当每个方中的未知数xi 都用ki 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解 b1=b2=…=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. 线性方程组的解法 ???????=+++=+++=+++m mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 322112222212111212111 （1）、写出线性方程组的增广矩阵。（2）、用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵。（3）、看阶梯形矩阵的最后一个非零行的首非零元是否在最后一列。如果是，则方程组无解；反之方程组有解。（4）、在有解的情况下，找出阶梯形矩阵中非零行的个数r 。如果r=n ，则方程组有唯一解；如果r

常系数线性方程组基解矩阵的计算

常系数线性方程组基解矩阵的计算董治军（巢湖学院数学系，安徽巢湖238000）摘要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数exp A t，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法. 关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数 Calculation of Basic solution Matrix of

Linear Homogeneous System with Constant Coefficients Zhijun Dong (Department of Mathematics, Chaohu College Anhui, Chaohu) Abstract: Differential equations application in engineering technology is very extensive, when many problems are attributable to its solving problem, base solution matrix existence and specific seek is different things, general homogeneous linear differential equations is not the base solution matrix by integral get, but when coefficient matrix is constant matrix, can pass out the base solution matrix method, then are available matrix exponential t, the general form base solution matrix, the paper discusses the most widely used differential equations with constant coefficients, combined with differential equations, linear algebra, discuss knowledge of homogeneous linear differential equation with constant coefficients of base solution matrix several general calculation method. Keyword: linear homogeneous system with constant coefficients; matrix of basic solutions; matrix exponent 引言: 线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，根据线性微分方程组的解的结构理论，求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵，本文主要讨论齐次线性微分方程组 X ’＝AX ★ 的基解矩阵的计算问题，这里A 是n n ?常数矩阵. 一．矩阵指数exp A 的定义和性质： 1.矩阵范数的定义和性质定义：对于n n ?矩阵A ＝ij a ???? n ×n 和n 维向量X ＝()1,...,T n X X 定义A 的范数为A ＝,1 n ij i j a =∑ ，X =1 n i i x =∑ 设A ，B 是n ×n 矩阵，x ，y 是n 维向量，易得下面两个性质：

矩阵与线性方程组

第1 章矩阵与线性方程组矩阵是描述和求解线性方程组最基本和最有用的工具。本章涉及向量和矩阵的基本概念，归纳了向量和矩阵的基本运算。 1.1 主要理论与方法 1.1.1 矩阵的基本运算一、矩阵与向量 a11x1 + a12x2 + ￠￠￠+ a1n x n = b1 a21x1 + a22x2 + ￠￠￠+ a2n x n = b2 ... a m1x1 + a m2x2 + ￠￠￠+ a mn x n = b m 9> >>>=>>>>; (1.1) 它使用m个方程描述n个未知量之间的线性关系。这一线性方程组很容易用矩阵||向量形式简记为 Ax = b (1.2) 式中 A =26664 a11 a12 ￠￠￠ a1n a21 a22 ￠￠￠ a2n ... ... ... a m1 a m2 ￠￠￠ a mn 37775 (1.3) 称为m ￡ n矩阵，是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合；而 x =26664 x1 x2 ... x n 37775 ; b =26664 b1 b2 ... b m 37775 (1.4) 分别为n ￡1向量和m￡1向量，是按照列方式排列的复数或实数集合，统称列向量。类似地，按照行方式排列的复数或实数集合称为行向量，例如 a = [a1; a2; ￠￠￠ ; a n] (1.5) 是1 ￡ n向量。二、矩阵的基本运算 1. 共轭转置：若A = [a ij ]是一个m￡ n矩阵，则A的转置记作A T，是一个n ￡m矩阵，定义为[A T]ij = a ji；矩阵A的复数共轭A¤定义为[A¤]ij = a¤ji；复共轭转置记作A H，定义为 A H =26664 a¤11 a¤21 ￠￠￠ a¤m1 a¤12 a¤22 ￠￠￠ a¤m2 ...

矩阵的初等变换与线性方程组习题含答案

第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3.4.1 基础练习 1．已知121011251-?? ? = ? ?-??A ，求()R A . 2．已知3210 1032 100000200000-?? ?- ? = ?- ? ?? ?B ，求()R B . 3．若矩阵,,A B C 满足=A BC ，则（）. (A)()()R R =A B (B) ()()R R =A C (C)()()R R ≤A B (D) ()max{(),()}R R R ≥A B C 4．设矩阵X 满足关系2=+AX A X ，其中423110123?? ? = ? ?-??A ，求X . 5．设矩阵101210325?? ?= ? ?--?? A ，求1 ()--E A . 6．A 是m n ?矩阵，齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充要条件是 . 7．若非齐次线性方程组=Ax b 中方程个数少于未知数个数，那么( ). (A) =Ax b 必有无穷多解； (B) 0=Ax 必有非零解； (C) 0=Ax 仅有零解； (D) 0=Ax 一定无解. 8．求解线性方程组（1）12312312312333332x x x x x x x x x +-=??+-=??-+=?，（2）72315 532151011536 x y z x y z x y z ++=?? -+=??-+=? （3）123412341 23420 202220 x x x x x x x x x x x x ++-=?? ++-=??+++=?

9．若方程组 12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-?? -=-??-=--+-? 有无穷多解，则λ= . 10．若12(1,0,2),(0,1,1)T T ==-αα都是线性方程组0=Ax 的解，则=A ( ). (A)()2,1,1- (B)201011-?????? (C)102011-????-?? (D)011422010-?? ??--?? ???? 3.4.2 提高练习 1．设A 为5阶方阵，且()3R =A ，则* ()R A = . 2．设矩阵12332354445037a a -????=-?? ??-?? A ，以下结论正确的是( ). (A)5a =时，()2R =A (B) 0a =时，()4R =A (C)1a =时，()5R =A (D) 2a =时，()1R =A 3．设A 是43?矩阵，且()2R =A ，而102020103?? ? = ? ?-??B ，则()R =AB . 4．设12243311t -?? ? = ? ?-??A ，B 为3阶非零矩阵，且0=AB ，则t = . 5．设12312323k k k -?? ? =-- ? ?-?? A , 问k 为何值，可使（1）()1R =A （2）()2R =A （3）()3R =A . 6．设矩阵111111111111k k k k ?? ? ? = ? ? ??? A ，且()3R =A ，则k = .

线性方程组的几种求解方法

线性方程组的几种解法线性方程组形式如下：常记为矩阵形式其中一、高斯消元法高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x 向量。现举例说明如下：（一）消元过程第一步：将(1)/3使x 1的系数化为1 得再将(2)、(3)式中x 1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1) 得 )1(32)2( (03) 4 32=+x x )1(321)1(......23132=++ x x x

由(3)-4×(1)(1) 得第二步：将(2)(1) 除以2/3，使x 2系数化为1，得再将(3)(1) 式中x 2系数化为零，即由(3)(1) -(-14/3)*(2)(2) ，得第三步：将(3)(2) 除以18/3，使x 3系数化为1，得经消元后，得到如下三角代数方程组：（二）回代过程由(3)(3) 得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2) 得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1) 得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T （三）、用矩阵演示进行消元过程第一步：先将方程写成增广矩阵的形式第二步：然后对矩阵进行初等行变换初等行变换包含如下操作（1）将某行同乘或同除一个非零实数 ) 3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63) 18-=x ) 2(32) 2(......02=+x x ) 1(32)3( (63) 10 314-=-- x x

（2）将某行加入到另一行（3）将任意两行互换第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形式如下：示例：（四）高斯消元的公式综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为 1．消元（1）令 a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n） b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n）（2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行 l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n） a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n） b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n） 2．回代若a nn(n) ≠0 x n = b n(n) / a nn(n) x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n ) （五）高斯消元法的条件消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。注意A的顺序主子式D i（i=1,2,…,n）,在消元的过程中不变，这是因为消元所作的变换是“将某行的若干倍加到另一行”。若高斯消元法的过程进行了k-1步(a ii(i) ≠0,i

求解线性方程组的几种方法

§1 消元法引例求解线性方程组 ?????=++=++=++288338 219432321321321x x x x x x x x x （1.1）解: 用i r 表示方程组中的第i 个方程，采用消元法求解此线性方程组：方程组（1.1）???→??21r r ?????=++=++=++2883319 43282321321321x x x x x x x x x ?? ???==+=++??????→?--423 0823,23323211312x x x x x x r r r r （1.2） ?????===???????→?÷+-23 12),(3213321x x x r r r r （1.3）由于方程组(1.1)与(1.3)同解，从而得到(1.1)的解T x x x x ),,(321=T )2,3,1(= 定义以下变换1，2，3称为线性方程组的初等变换。 1．将某一方程乘以一个非零的倍数； 2．将某一方程的某个倍数加到另外一方程上去； 3．对调两方程的位置。命题初等变换总是把方程组变成同解的方程组。用消元法求解线性方程组的过程：首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的恒等式“0=0”（如果出现的话）去掉。如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一个非零的数，那么方程组无解，否则有解。在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数小于未知量的个数，那么方程组有无穷多个解。定理在齐次线性方程组 111122121122221122000 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=????+++=?L L L L L L L L L L L L L L 中，如果s

线性代数习题矩阵的初等变换与线性方程组讲课讲稿

线性代数习题［第三章］矩阵的初等变换与线性方程组

习题3-1矩阵的初等变换及初等矩阵 3 2 1 3 1 5的逆矩阵. 3 2 3 4.设A 是n 阶可逆矩阵将A 的第i 行与第j 行对换后得矩阵B . (1)证明B 可逆 ⑵求AB 1. 1?用初等行变换化矩阵A 1 0 2 1 2 0 3 1 为仃取简形 3 0 4 3 4 1 2 1 3 2 2 1 ,B= 2 2 ,求X 使AX B 3 1 1 3 1 3.设A 2?用初等变换求方阵A

习题3-2矩阵的秩1?求矩阵的秩: (1)A 1 2 3k 2.设A 1 2k 3问k为何值，可使 k 2 3 (1)R(A) 1 ； ⑵R(A) 2; ⑶ R(A) 3 qb o i 1,2, |||,n &1 b| &1 b? a? b| a?b? Ill III a n E a n b 2 a2b n III a n b n

3.从矩阵A中划去一行，得矩阵B,则R(A)与R(B)的关系是_______ a. R(A) R(B) b. R(A) R(B); c. R(B) R(A) 1 ; d. R(A) R(B) R(A) 1. 3 2 1 3 1 4.矩阵2 1 3 1 3 的秩R= 7 0 5 1 8 a.1; b. 2; c.: 3; d. 4. 1 a a a 5.设n(n 3)阶方阵 a A 1 a a 的秩R(A)=n-1,则 a a a a 1 a. 1; b. 1 ; c.—; d . 1 1 n n 1 6.设A为n阶方阵，且A2A,试证： R(A) R(A E) n

线性方程组的几何意义与矩阵之间的关系

线性方程组的几何意义与矩阵之间的关系数学系数052 蒋春摘要：通过对二元线性方程组，三元线性方程组，四元线性方程组有关系数矩阵，增广矩阵的秩的分析，对其列，行向量的线性相关性分析，初步得出如何用矩阵的方式讨论线性方程组的几何意义。关键词：线性方程组空间直线系数矩阵增广矩阵矩阵秩线性相关性引言：判断空间中平面与平面、直线与直线及直线与平面的位子关系是代数知识在空间解析几何上的应用，体现了几何与代数的完美结合，虽在解析中给出了两条判定定理，但在实际应用中这两条定理是不够用的，本文用方程组系数矩阵，增广矩阵的秩，对其列，行向量的线性相关性作出系统研究，并给出了一些非常有用的结论。 1：二元线性方程组几何意义与矩阵之间的关系设线性方程组：1111 2 222a x b y c l a x b y c l +=?????????+=???????? 因为i i i a x b y c +=表示平面内一条直线i l 根据解析几何知1l 与2l 的几何关系： ○1：相交的充分必要条件是（不重合）： ()11 22 1a b a b ≠??????? ○2平行的充分必要条件是： ()111 222 2a b c a b c =≠??????? ○3重合的充分必要条件是： ()111222 3a b c a b c ==??????? 设线性方程组系数矩阵和增广矩阵分别为 1122a b A a b ??=????，111222a b c B a b c ??=???? 现记线性方程组增广矩阵的列向量 112a a α??=????，122b b α??=????，132c c α?? =???? 则

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