高中物理极值问题求解的一般规律

高中物理极值问题求解的一般规律

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陈　兴极值问题,就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。极值问题在高中物理的力学、热学、电学等部分均有出现,且解题方

法变化多样,是考查学生能力的重要题型之一,也是学生普遍感到困难的题型之一。

高中物理教学极值问题物理规律

中学物理习题中,遇求极值的问题很多,且多为思维难度大的习题,由于数学知识的制约,无法用高等数学求极值的方法求极值,只能用初等数学的方法求极值,根据不同问题,通常涉及到的数学知识有:点到直线的距离最短,两数的几何平均值小于或等于它们的算术平均值,二次函数求极值的方法,因式分解,三角函数,几何作图法,有关圆的知识,等等。

下面就物理极值问题,以问题为例,粗谈求解的一般规律。一、利用二次函数规律求物理极值的问题函数y =ax 2+bx +c (c ≠0)存在有极值。若列出的物理方程满足二次函形式,则可由求二次函数极值的方法求解物理极值。

图1

例1.A 物体以V 米/秒做匀速直线运动T 秒后,B 物体以加速度a 米/秒2从同

一地点由静止开始做匀加速直线运动追

赶A,求B 追到A 之前,它们之间的最大距离为多少?

解:分析如图1所示,设B 出发t 秒时,A 、B 物体间的距离为S,据题意可列物理方程为:

S =V (T +t )-12at 2=-12

at 2

+Vt +VT

经配方有:S =-12

a (t -V a

)2+V 2

2a

+VT

可见,当t =V a

时有最大距离,S m ax =V 2

2a

+VT

二、利用三角函数规律求物理极值的问题

在物理极值问题中,有许多题目里的物理量变化关系与角度变化有关,于是对这一类问题,我们只要着眼于列出被求物理量与角度的物理方程,再利用三角函数的有关规律即可求解物理极值。

例2.如图2所示,物体放置在水平地面上,它们之间的动摩擦因数为μ,物体重为G,欲使物体沿水平地面做匀速直线运动,所用的最小拉力为多大?图2

该题的已知量只有μ和G,说明最小拉力的表达式中最多只含有μ和G,但是,物体沿水平地面做匀速直线运动时,拉力F 可由夹角的不同值而有不同的取值。因此,可根据题意先找到F 与夹角有关的关系式再作分析。

解:设拉力F 与水平方向的夹角为θ,根据题意可列平衡方程式,受力分析如图3所示,ΣF X =0,ΣF y =0图3

即

由于μ、G 一定,欲使F 最小,必须cos θ+μsin θ最大,∴

三、利用不等式性质求物理极值的问题

(如a +b ≥2ab,当a =b 时,a +b 有最小值,

ab 有最大值)

例3如图所示中,已知定值电阻R ,电源内阻,滑动变阻器的最大

阻值为R,当滑动变阻器连入电路的电阻R X 多大时,在变阻器上消耗的功率最大?

图4

解:设变阻器连入电路的为R X (0

:

则

∴

欲使

P R X 有最大值,只有

要有最小值,当

时,即R x =r

+R 1时,

为最小,故

四、利用物理规律求极值的问题

在物理极值中,还有不少可以直接利用物理有关规律性质和条件便能很快地求极值解。

例4.在例1中,由于B 物体是从静止开始做匀加速直线运动追赶A,而A 是做匀速运动,因此,只要B 的速度等于A 的速度时,它们之间才有最大距离,于是,由V B =a t 得t =V B a

=

V a 代入S =V(T +t)-12

a t 2

便求得最大

距离Smax =

V

2

2a

+VT 五、利用物理图象求解极值

物理问题用图象来描绘,利用图象的直观性,既明了又简捷,往往对问题的解决起到事半功倍的效果。

例6.某物体从静止开始沿直线运动,当停止运动时,位移为L,若运动中加速度大小只能是a 或是零。那么此过程的最大速度是多大?最短时间为多少?

图5

此问题采用V -t 图象分析较为简单。解:根据题意,只有满足如图5所示的V -t 图象OAT 2所围的面积,才有最大速度和最短时间。由于位移L 就等于速度图线与t 轴所围成的面积。从图象可知,在L 一定时,(既

S ΔOAT2=S □OBCT3=L),V A =V m ax >V B ,T 2=T m in

所以

综上所述,无论采用何种方法解物理极值问题,首先都必须根据题意,找出符合物理规律的物理方程或物理图象,这也是解决物理问题的核心,决不能盲目地将物理问题纯数学化。

(作者单位江苏靖江市斜桥中学)

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中国校外教育下旬刊学科教育

07/2008

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