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中考压轴题专题辅助圆的应用

辅助圆的应用

【学习目标】1、熟练掌握利用圆构造等腰三角形和直角三角形;

2、学会在恰当的时候利用圆为辅助线解决实际问题.

【重点难点】利用圆为辅助线解决实际问题.

【学习过程】

一、利用“两圆一中垂线”构造等腰三角形

如图,已知抛物线32++=bx ax y (a ≠0)与x 轴交于点A (1,

0)和点B (-3,0)与y 轴交于点C .

(1)抛物线的解析式为 ;

(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ,问在对称轴上是否存

在点P ,使△CAP 为等腰三角形?若存在,请直接写出所有

符合条件的点P 的坐标.

二、利用“两垂线一圆”构造直角三角形

如图,已知抛物线32++=bx ax y (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0)和点B (-3,0),与y 轴交于点C .在抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使△CBQ 是直角三角形,若存在,请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标.

三、利用圆求线段的最值

1. 如图①,菱形ABCD 的边长为2,∠ABC=60°,点E 是AD 边的中点,F 是CD 上的动点,将△DEF 沿EF 折叠,点D 落在P 处,则线段BP 最短时的长度为 .

2. 如图②,在Rt △ABC 中,∠CAB=90°,AC=AB=1,以AC 上动点O 为圆心,以AO 为

半径作圆O ,交AC 于点D ,连接BD 交圆O 于点E ,则CE 的最小值为 3.如图③,⊙O 的半径为5,OP=3,经过点P 的最长弦为 ,最短弦为 . 四、三点及三点以上到同一点距离相等,作辅助圆 如图,四边形ABCD 中,∥AB ,BC=2,AB=AC=AD=4.则BD 的长为 . 五、四点共圆时作辅助圆 1. 如图①,在△ABC 中, BE 和CD 分别是AC 和AB 边上的高,连接DE ,△ADE 与四边形DBCE 的面积比为1:8,则sinA= .

2.如图②,在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,∠ACB=30,在Rt △ADC 中,∠ADC=90°,∠ACD=45°,若BD=8,则AB= .

思考:如何判断四点共圆?

六、利用圆的切线性质作辅助圆

如图,在平面直角坐标系内A (8,0),B (0,6),若直线L 与AB 平行,且在直线L 上有且只有一点P 使∠OPA=90°,求满足条件的直线L 的解析式. 七、利用圆构造相等角(课后拓展)

如图,已知抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)与x 轴交于A (1,

0)、B (4,0)两点,与y 轴交于C (0,2),连接AC 、

BC .

B P E D A 图① O P 图③ E D B

C 图① D

C 图图② E

D C A B O

(1)BC 的垂直平分线交抛物线于D 、E 两点,则直线DE 的解析式为 ;

(2)若点P 在抛物线的对称轴上,且∠CPB=∠CAB ,求出所有满足条件的P 点坐标.

25. 在矩形ABCD 中,点P 在AD 上,AB =2,AP =1,将三角板的直角顶点放在点P

处,三角板的两直角边分别能与AB 、BC 边相交于点E 、F ,连接EF .

(1)如图,当点E 与点B 重合时,点F 恰好与点C 重合,求此时PC 的长;

(2)将三角板从(1)中的位置开始,绕点P 顺时针旋转,当点E 与点A 重

合时停止,在这个过程中,请你观察、探究并解答:

① ∠PEF 的大小是否发生变化?请说明理由;

② 在旋转中,当点F 与BC 边中点重合时,求四边形AEFP 的面积;

③ 直接写出从开始到停止,线段EF 的中点所经过的路线长.

备用图

中考压轴题专题辅助圆的应用

中考压轴题专题辅助圆的应用

16.如图,在平面直角坐标系中,直线33y x =-+与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B .点Q 在直线AB 上,点P 在x (1)当点P 与点A 重合时,点Q (2)设点P 的横坐标为a ,则a 1.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ,则线段CE 注解,以CE 为固定值,当作直径作圆与AB 2.如图,⊙O 的直径为4,C 为⊙O 上一个定点,∠发沿半圆弧?

中考压轴题专题辅助圆的应用

AB 向B 点运动(点P 与点C 在直径AB 的异侧),当P 点到达B 点时运动停止,在运动过程中,过点C 作CP 的垂线CD (1)在点P 的运动过程中,线段CD (2)在点P 的运动过程中,线段AD