2019届高考数学二轮分类突破训练第二篇考点一 考查角度1三角函数图象与性质的综合应用

考查角度1 三角函数图象与性质的综合应用

分类透析一三角函数的图象及解析式

例1 已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,0<φ<

的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上的一个最低点为M.

(1)求f(x)的解析式;

(2)画出函数y=f(x)在[0,π]上的图象.

分析 (1)x轴上相邻两个交点之间的距离是半个周期,由周期可确定ω,由图象过点M可确定A,φ.(2)用“五点法”作图,先做变量代换,然后列表、描点、连线.

解析 (1)由最低点为M,得A=2.

由x轴上相邻两个交点之间的距离为,得=,即T=π,

∴ω===2.

又点M在函数f(x)的图象上,

∴2sin2×+φ=-2,即sin=-1,

∴+φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=2kπ+(k∈Z).

又φ∈,∴φ=.

故f(x)的解析式为f(x)=2sin2x+.

(2)列表如下:

π2π

2x+

x 0 π

f(x) 1 2 0 -2 0 1

其图象如图所示.

方法技巧 (1)求函数表达式,比较难求的是φ,可以用“五点法”中的第一个点作为突破口或者将已知点的坐标代入解析式,要尽量选最值点.

(2)作函数图象一般用“五点法”.若用图象变换来作图,常常先平移后伸缩,这样就不容易出错,但考题中也有先伸缩后平移的,无论哪种变形,切记每个变换总是对x而言.

分类透析二三角函数的性质

例2 已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+2cos2x-2.

(1)求函数f(x)图象的对称轴方程;

(2)求f(x)在x∈[0,π]上的单调递减区间;

(3)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.

分析 (1)化简函数解析式,求出对称轴方程.(2)根据正弦函数的单调递减区间,求函数f(x)在x∈[0,π]上的单调递减区间.(3)先确定ωx+φ的范围,然后根据范围求最值.

解析(1)f(x)=1+sin 2x+1+cos 2x-2=sin 2x+cos 2x=sin.

令2x+=kπ+,k∈Z,则x=+,

所以函数f(x)图象的对称轴方程是x=+,k∈Z.

(2)令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,则kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.

又x∈[0,π],令k=0,得≤x≤,

所以f(x)在x∈[0,π]上的单调递减区间为.

(3)因为x∈,

所以≤2x+≤,所以-1≤sin2x+≤,

所以-≤f(x)≤1.

故当x∈时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-.

方法技巧 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性等问题时,往往先在定义域内化简三角函数式,尽量先化为y=A sin(ωx+φ)+B的形式,然后再求解.

(2)讨论函数y=A sin(ωx+φ)+B的单调性、值域时,可以利用换元思想设t=ωx+φ,转化成y=A sin t+B的形式,再结合函数的图象求解.

分类透析三三角函数图象与性质的综合应用

例3 已知函数f(x)=A cos(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若

(2a-c)cos B=b cos C,求f+sin C的取值范围.

分析 (1)先利用函数的图象,求出A,再通过函数的周期求出ω,

最后通过函数的图象经过点,求出φ,即可解出函数f(x)的解析式.

(2)由(2a-c)cos B=b cos C,结合正弦定理,求出

cos B,利用函数的解析式求f+sin C的表达式,通过A的范围求出函数的取值范围.

解析(1)由图象知,A=2,T=2=π,∴ω==2.

由图象可知,f=2,∴2cos=2,

∴cos+φ=1,∴+φ=2kπ,φ=-+2kπ,k∈Z.

又∵|φ|<,∴φ=-,

∴f(x)=2cos.

(2)∵(2a-c)cos B=b cos C,

∴(2sin A-sin C)cos B=sin B cos C,

即2sin A cos B=(sin B cos C+cos B sin C)=sin(B+C)=sin A,∵sin A≠0,∴cos B=.

又B∈(0,π),∴B=,∴A+C=.

由(1)知, f+sin C=2cos+sin C=cos A+sin A+sin

=cos A+sin A+cos A+sin

A=3sin.

又

∵A∈,∴A+∈,∴sin∈(0,1 ],

∴f+sin C的取值范围是(0,3].

方法技巧三角形中取值范围问题的解题思路:建立所求量(或式子)与已知角或边的关系,把角或边作为自变量,所求量(或式子)的值作为函数值,转化为函数关系,将原问题转化为求函数的值域问题.注意利用条件中的范围限制,以及三角形自身范围限制,要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善,避免结果的范围过大.

1.(2017年浙江卷,18改编)已知函数f(x)=2sin x·sin-x.

(1)求f及f(x)的最小正周期T的值.

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.

解析(1)f=2sin sin=2××=-

.

因为f(x)=2sin x sin

=2sin x sin cos x-cos sin x

=sin x cos x-sin2x=sin 2x-×

=sin 2x+cos 2x-=sin-, 所以T==π.

(2)因为-≤x≤,所以0≤2x+≤,

所以-≤sin-≤1-,

所以-≤f(x)≤1-,

故f(x)在区间上的最大值为1-,最小值为

-.

2.(2018年上海卷,18改编)已知函数f(x)=2sin ωx cos

ωx+2sin2ωx-(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求函数f(x)的单调递增区间.

(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点,求b的最小值.

解析 (1)f(x)=2sin ωx cos ωx+(2sin2ωx-1)

=sin 2ωx-cos 2ωx=2sin.

由最小正周期为π,得ω=1,所以f(x)=2sin.

由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,整理得

kπ-≤x≤kx+,k∈Z,

所以函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z.

(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=2sin 2x+1的图象,

所以g(x)=2sin 2x+1.

令g(x)=0,得x=kπ+或x=kπ+(k∈Z).

若y=g(x)在[0,b]上至少含有10个零点,则b不小于第10个零

点的横坐标.所以b的最小值为4π+=.

3.(2015年山东卷,理16改编)已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x+3.

(1)求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间;

(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=,f(A)=4,求△ABC周长的最大值.

解析 (1)∵f(x)=sin 2x+cos 2x+3=2sin2x++3,

∴函数f(x)的最小正周期T==π.

由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得

kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,

∴函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.

(2)由f(A)=4,得2sin+3=4,

∴sin2A+=.

∵0

A=,故B+C=.

由正弦定理==,

得===2,

∴b+c=2(sin B+sin C)=2=2sin≤2.

当B=时,b+c取得最大值2,

∴a+b+c≤+2=3.

故△ABC周长的最大值为3.

1.(2018年兰州诊断试题)已知向量a=(cos 2x,sin 2x),b=(,1),函数f(x)=a·b+m.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)当x∈时,f(x)的最小值为5,求m的值.

解析 (1)由题意知f(x)=(cos2x,sin 2x)·(,1)+m

=cos 2x+sin 2x+m=2sin+m,

所以f(x)的最小正周期T=π.

(2)由(1)知f(x)=2sin+m,

当x∈时,2x+∈.

所以当2x+=时,f(x)取得最小值,最小值为-+m.

又f(x)的最小值为5,所以-+m=5,即m=5+.

2.(2018年安徽池州模拟)已知函数f(x)=cos2ωx+sin ωx cos ωx-(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求函数f(x)的单调递减区间;

(2)若f(x)>,求x的取值范围.

解析(1)f(x)=cos2ωx+sin ωx cos ωx-=(1+cos 2ωx)+sin 2ωx-=cos

2ωx+sin 2ωx=sin2ωx+,

因为f(x)的最小正周期为π,所以ω=1,

故f(x)=sin.

由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得

+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

故函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.

(2)因为f(x)>,所以sin>.

由正弦函数的性质得+2kπ<2x+<+2kπ,k∈Z,解得-+kπ

故x的取值范围为.

3.(2018届天津河西期中考试)已知函数f(x)=sin2ωx-+2cos2ωx-1(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值及函数f(x)的单调递增区间.

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.

解析 (1)f(x)=sin+2cos2ωx-1

=sin 2ωx cos-cos 2ωx sin+cos 2ωx

=sin 2ωx·+cos 2ωx·=sin,

因为f(x)的最小正周期为π,所以ω=1,

故f(x)=sin.

由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.

故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.

(2)由(1)得f(x)=sin,因为0≤x≤,所以

≤2x+≤,

所以f(x)在区间上的最大值为1,最小值为-.

4.(2018年湖北模拟)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象(部分)如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求函数f(x)在区间上的最大值与最小值.

解析 (1)由图可知A=2,T=4=2,∴ω==π.

由f=2sin=2,可得+φ=2kπ+,解得φ=2kπ+,k∈Z.

又|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin.

(2)∵x∈,∴πx+∈,

∴-≤2sin≤2,即f(x)的最大值是2,最小值是-.