易拉罐形状和尺寸的最优设计方1

易拉罐形状和尺寸的最优设计方案

摘要：本文讨论的是在体积一定的情况下，满足成本最低即用料最省的易

拉罐形状和尺寸的最优设计方案。

问题一，我们对十种常见饮料的易拉罐的罐体直径、圆台直径、罐体高度等八项指标进行了实际测量，得到了比较精确的数据。

问题二，将易拉罐分为各处壁厚相同、壁厚不同以及兼顾不同壁厚与焊接长度三种情形；分别建立了以易拉罐表面积、材料体积以及材料体积和焊缝长度为目标函数，容积一定为约束条件的非线性规划模型。通过理论推导(拉格朗日乘

数法)求得与关系的解析解分别为、、

，并用实测数据进行验证，实测数据与理论结

果吻合效果较好。

问题三，类似于问题二，我们也分上述三种情形分别建立非线性规划模型，再用拉格朗日乘数法求得解析解之后，用Matlab 6.5编程求得结果，并用配对样

本检验，说明实测数据与理论结果基本相符。

问题四，在问题三的基础上，我们引入黄金分割点，综合考虑压强、环保，同时兼顾材料最省，设计了一种兼顾各种优点的新型易拉罐，各项指标见正文表6。

问题五，根据数学建模的经历阐述了数学建模的含义、关键之处和难点。

本文对易拉罐形状和尺寸的最优设计综合考虑了多方面的影响因素，并巧妙应用拉格朗日乘数法求出了最优解析解，具有较强的实用性和推广性。

关键词：非线性规划、拉格朗日乘数法、配对样本检验

一、问题重述

我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同。看来，这并非偶然，而应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

1.取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，并把数据列表加以说明；解答以下各问。

2. 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸。

3.设易拉罐的中心纵断面的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

4.利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

5.用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文阐述什么是数学建模及其关键步骤以及难点。

二、模型假设

1．各种易拉罐的上面的拉环生产成本固定，不受易拉罐形状和尺寸的影响；2．易拉罐的容积是一定的；

3. 易拉罐所有材料的密度都相同，材料的价格与其体积成正比；

4．易拉罐圆台部分顶盖到侧面间的坡度为0.3[1]。

三、符号说明

：规划的目标函数；

：易拉罐的表面积；

：易拉罐的体积；

：正圆柱体形易拉罐底面的半径；

：圆台上表面的半径；

：圆台下表面的半径；

：易拉罐侧面的高度；

：易拉罐上顶的厚度；

：易拉罐圆台部的厚度；

：易拉罐侧面的厚度；

：易拉罐底面的厚度；

：圆台的母线长度；

：易拉罐焊缝的长度；

：易拉罐所材料量；

：为各部分的系数；

：为各部分的系数；

：为各部分的系数；

：易拉罐的各种压强；

：易拉罐底的弧面面积；

：易拉罐底的搭接角；

：圆台的高；

：易拉罐的美观度；

：易拉罐底面的圆弧角

四、模型分析

问题一：

可以借助物理仪器，如游标卡尺、螺旋测微仪测量易拉罐的高度、直径、顶面、底面、圆台侧面、圆柱侧面的厚度

问题二：

对于一个体积给定的正圆柱体，最优设计应该考虑材料最省，可以分为易拉罐各点罐壁厚度相同和各点罐壁厚度不同这两种情况。因此，最优设计可以通过建立以用料最省、焊缝最短为目标函数，以体积一定为约束条件的规划模型予以解决。

具体地可以按以下步骤求解其最优设计：

首先，考虑最简单的情况：易拉罐各点罐壁厚度相同。将表面积的大小作为目标函数，建立非线性规划模型一，求解该正圆柱体的表面积最小时所对应的尺寸（半径和高的比值）；

然后，考虑易拉罐各点罐壁厚度不同。以用料最少作为目标函数，建立模型二，通过拉格朗日乘数法求解易拉罐的最优尺寸；

再进一步考虑易拉罐焊缝增加的工作量。我们将焊缝的长短也作为目标函数之一，在模型二的基础上建立模型三，同样通过拉格朗日乘数法求解最优尺寸；

最后，为了验证模型求解的结果是否准确，我们考虑把问题一所得的数据代入进行检验，看理论值与实际值是否吻合，把它作为衡量模型求解结果好坏以及实际值是否合理的标准。

问题三：

易拉罐的纵断面上部是圆台，下部是正圆柱体，对于这一设计，同样按照问题二的分析方法，逐步求解易拉罐的最优尺寸，依次建立模型四、五、六，同样通过拉格朗日乘数法求解。

为验证求解结果是否正确，把实际数据代入模型进行检验。

问题四：

日常生活中，面对同样的饮料，消费者更青睐于美观大方、安全方便的产品。因此，在满足用料最省的前提下，我们引入黄金分割和压强，在兼顾二者的前提下建立优化模型。

具体地，我们可以从以下几个方面来考虑：

（一）增加美观度，引入黄金分割点来判断，使得易拉罐的外形达到最优。

（二）考虑压强变化所引起的底面弧度变化，一方面使得用料最省，另一方面对于不同种类饮料，作出不同类的易拉罐设计。

（三）考虑改变易拉罐的材料，例如可以使用纸质材料，使得更环保，更安全。

最终作出新型易拉罐的设计图。

问题五：

根据学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文阐述建模的含义，以及它的关键步骤和难点。

五、模型建立

1. 问题二：正圆柱形易拉罐尺寸的最优设计模型

（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形

图1 各点罐壁厚度相同的圆柱形易拉罐

由图1可知：

易拉罐的容积为.

易拉罐的表面积为

因此，建立以表面积最小为目标函数，以体积一定作为约束条件的非线性规划模型，即

模型一：

（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形

易拉罐上、下底面，侧面的厚度不同，导致用料量也不相同。根据材料的用量与其体积成正比，那么在容积一定时，所用材料的体积最小时的尺寸即易拉罐的最优尺寸。

图2 有不同罐壁厚度的圆柱形易拉罐

如图2所示，做一个易拉罐所需要的材料为：

应使取得最小值。

由此可得，

模型二：

（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度[4]的情形

在模型二的基础上，考虑工作量（焊缝长度）的不同工作量有影响，因此，综合考虑这两方面因素，使得易拉罐的材料用量最省的同时，焊缝长度也尽量取到最小。

根据模型分析，可得

焊缝长度：

将焊缝的长度为时的工作量转化为同等的材料体积，从而可以将二者直接相

加。

由此可以得到

模型三：

此模型即为求解问题二的完善模型。

2. 问题三：圆柱体加圆台形易拉罐尺寸的最优设计模型

（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形

此时，以易拉罐表面积的大小来衡量尺寸的优劣。

图3 各点罐壁厚度相同的含圆台易拉罐

由图3，得

圆台的上面、侧面的面积为

圆柱侧面的面积为

圆柱底面的面积为

此时易拉罐的表面积为：

由于圆台的斜率为一定值0.3[1] ，因此

得到

模型四:

（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形

图4有不同罐壁厚度易拉罐的圆台如图4所示，易拉罐所需材料量为：

由此可得

模型五:

（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度的情形

综合考虑两方面因素，使得易拉罐用料最少时，焊缝长度也尽量取到最小。焊缝长度：

由此可得

模型六：

模型六为求解问题三的完善模型。

3．问题四：自己设计的易拉罐最优形状和尺寸模型

（1）考虑美观度的情形

在模型六的基础上引入美观度来描述易拉罐的外形是否美观，考虑易拉罐的

直径和高度之比趋向于黄金分割点，即：，取得最小值时即为最优解。

由此可得

模型七：

（2）考虑压强引起的底面弧度变化的情形

目前市售的易拉罐不是正圆柱体，也不仅仅将顶部变为圆台，而是上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐压.所有这些都是物理、力学、工程或材料方面的要求,我们只做简单讨论。

对于上拱的底面，是为了耐压，从物理角度分析曲面下的压强，若液体表面为曲面，则表面张力有拉平液面的趋势，从而对液体产生附加压强。附加压强的方向由表面张力的方向确定，大小可以用液面内外的压强差来表示[3]。

图5 易拉罐的底面示意图

对于下表面而言，受到的压力包括三部分：第一部分是通过小液块的边线，作用在液块上的向上的表面张力；第二部分力是液体内气体产生产生的作用于液块底面向下的压力；第三部分是液体本身向下的重力。

1设球形液面半径为，单位长度液体表面的张力为（大小即为液体的表面张力系数），则小液块边线所具有的总张力向下分量为：

用表示液体内外的压强差，则小液块所受的向上的张力为：

这两部分力方向相反，在平衡时大小相等，所以

2液体重力作用产生的压强；

3易拉罐内部气体压强为一定值。

因此，易拉罐下表面所受到的压强为

与此同时，底部的上拱必然会引起所用材料的增多

图6 易拉罐的底面积示意图

易拉罐的底面积为：

此时所用材料量为：

可得

模型八：

六、模型求解

1. 问题一的求解

测量各种类易拉罐的高度、直径、顶面、圆台侧面、圆柱侧面、底面的厚度的数据

[5]

2. 问题二的求解

（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形

根据模型一可知：函数取最小值时，必定有，

即，

然后利用编程，可得

图7 体积一定时随变化的曲线

即易拉罐的高度为半径的二倍（等边圆柱形）时，所需材料最少。（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形

根据模型二，用拉格朗日乘数法求解。

首先生成新的函数，

然后分别对，，求偏导，并令其为0，

解得：

即圆柱体的高与半径之比为6时为最优尺寸。

由（1）、（2）可知，

根据问题一中测得的实际数据可以得到：

由表3可知：所有均在此范围内，在1与3之间必有一个最优值符合实际条件，从结果可以大致得出此最优值应该在1.5附近。

因此，实际值是合理的，而的比例关系式也符合实际情况。

（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度的情形

对模型三用拉格朗日乘数法按照（2）的求解步骤求解。

解得：

即，

此时的，关系即为最优设计尺寸。

3．问题三的求解

(1) 易拉罐各点罐壁厚度相同的情形

根据模型四，通过编程求解，得到要使得表面积最小，只有

，即

即圆柱体没有顶部的圆台，这显然与已知不符，因此，我们考虑用易拉罐所用材料最少为目标函数来求解。

（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形

根据模型五，用拉格朗日乘数法求解步骤求解，首先求偏导数，然后令偏导数为0解最小值

得到：

解之可得：

化简可得：

从而可求得，，，四者之间的关系：

令，

代入表1的数值，结果见表4

表4 与数据表

对表4中、进行配对样本检验[2]，结果如下：

由结果可知，，结果的差异性不显著，说明理论值与实际值相吻合。

因此，

即，，四者之间的关系满足上述表达式时，易拉罐的尺寸最优。

（2）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度的情形对模型六同样用拉格朗日乘数法得：

此时解得：

其余处理方法与（2）相同，同样可得关系表达式是易拉罐的尺寸最优的表达式：

化简可得：

因此，当，，之间的关系满足上述表达式时，易拉罐的尺寸最优。

4．问题四的求解

（1）考虑美观度的情形

对模型七用拉格朗日乘数法得：

即得到，，的关系式，此时着重考虑接近于0.618，使易拉罐具有最大的美感，可以求出易拉罐的最优尺寸。

（2）考虑压强引起的底面弧度变化的情形

模型八用拉格朗日乘数法理论上可算出给定压强下的，，，，之间的关系式。

根据模型解出新的搭接角度为45°，而市售的罐底的搭接角度为77°~90°。

事实上，比较小的搭接角度能将来自罐内碳酸饮料的气压分流掉大部分。对软饮料来说，罐内最大气压可达90磅/平方英寸，分流的气压，由罐底边缘承担，罐底边缘是整个罐强度最大的部位，由5层金属粘结而成。由于搭接角度小，所以生产超级底的圆合金片下料面积比原来减少7%。另外，由于这种结构强度高，因此底的厚度可以从0.0085英寸减薄到0.0082英寸，这又可以节省约3%的用料。（3）考虑环保的情形

由表5可知，纸易拉罐由纸浆高压压铸成形，造型美观同铝易拉罐，不污染环境，是国际推广的最优绿色包装，它使用安全卫生，生产工艺简单，投资少，尤其是成本低的特点最突出，这样我们可以考虑使用纸作为易拉罐的材料推广使用。

最终，我们得到新型易拉罐的设计图如下：

易拉罐的设计

易拉罐形状和尺寸的最优设计 一．问题重述 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等)的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务： 1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。 2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸 4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。 二、问题分析 在易拉罐设计的实际情况中，问题分析 在易拉罐设计的实际情况中，我们必须保证罐内的体积大于饮料的净含量(我们通常饮料的净含量为355ml而它实际的体积大约为365ml），同时考虑饮料对罐体各部分的应力，需确定罐盖、罐底和罐壁的厚度，在此情况下的最优是使得容积一定时，所用的材料最省(我们用所用材料的体积来衡量）。

在问题一中对于各个部分的数据可以直接测量测量如下数据如下表： 罐高123.7 罐柱内径61.29 上圆台高13.5 下圆台高7.7 罐盖内径58.17 罐底厚度0.29 罐盖厚度0.29 罐底拱高10.11 圆柱体高102.5 罐壁厚度0.135 问题二是对正圆柱体的易拉罐在容积一定时，以半径和高之比为衡量最优设计的标准； 问题三中，对比问题一中所测的数据，发现易拉罐罐盖、罐底的厚度是罐壁的2倍，因此我们在解决此问题是可以假设罐盖、罐底的两倍，再利用规划方法所求得的数据与测量数据进行比较，以及观察市场上正规厂家生产的碳酸和非碳酸饮料易拉罐的异同之处，做出关于易拉罐形状和尺寸的最优模型。 三、模型假设 （1）、根据薄壁圆筒的应力分析，假设易拉罐罐盖﹑罐底的厚度是罐壁的两倍； （2）、易拉罐的各接口处的材料忽略不计； （3）、易拉罐各部分所用的材料相同； （4）、单位体积材料的价格一定；

全国数学建模竞赛易拉罐形状和尺寸的最优设计模型全国一等奖

易拉罐形状和尺寸的最优设计模型 (2006年获全国一等奖) 摘 要：本文主要考虑当容积一定时，如何设计易拉罐的形状和尺寸，使得所用材料最 省。首先对易拉罐进行测量，对问题二、问题三、问题四建立数学模型，并利用LINGO 软件结合所测的数据进行计算，得出最优易拉罐模型的设计。 模型一，对正圆柱体形状的易拉罐，当容积一定时，以材料体积最小为目标，建立 材料体积的函数关系式，并通过求二元函数条件极值得知，当圆柱高为直径两倍时，最 经济，并用容积为360 ml 进行验算，算得mm H 63.122=，mm R 58.30=与市场上净含量 为355ml 的测得的数据基本接近。 模型二，对上面部分为正圆台、下面部分为正圆柱的易拉罐同样在容积量一定时， 考虑所用材料最省，建立优化模型，并通过LINGO 软件仍用容积为360 ml 进行验算，算 得mm R 58.30=，mm r 33.291=，mm h 94.81=，mm h 8.1112=，高之和约为直径的两倍。 模型三，考虑到罐底承受的压力，根据力学上横梁支点的受力与拱桥设计的原理， 设计底部支架（环形）与一定弧度的拱面，同时利用黄金分割，将直径与高之比设为， 建立容积量一定时材料最省的优化模型，再将有关数据代入计算，得到结论，现行易拉 罐的设计从某种意义上不乏是最优设计。 关键词：优化模型 易拉罐 非线性规划 正圆柱 正圆台 一、问题重述 销量很大的饮料容器(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。这应该是某种意义 下的最优设计，而不是偶然。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的 钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就 很可观了。 现针对以下问题，研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。 问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验 证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说 明；如果数据不是测量得到的，那么必须注明出处。 问题二：设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计其结果是否可以合理地说明所 测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 问题三：设易拉罐的中心纵断面如图1所示，即上面部分是一个正圆 台，下面部分是一个正圆柱。什么是它的最优设计其结果是否可以合理 地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。 问题四：利用所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐形状和 尺寸的最优设计。 同时，以做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇 短文(不超过1000字，论文中必须包括这篇短文)，阐述什么图1 是数学建模、它的关键步骤，以及难点。 二、问题分析

最新易拉罐的优化设计知识分享

易拉罐形状和尺寸的最优设计 组员：邢登峰，张娜，刘梦云 摘要 研究易拉罐形状和尺寸的最优设计可以节约的资源是很可观的。 问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。 问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型2()2(2)v s r rd r r ππ=+，由微积分方法求最优解， 结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型： 2min (,) (,)0.0 0s r h g r h r h v s t r h π?=-=?>??>? 用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。

问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。 模型 圆台面积 2 ()(s r r R r ππ=++用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=45.07最小。 结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。 问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1：0.4更别致、美观。对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。 另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。 最后写出了我们对数学建模的体会文章。

关键词：易拉罐最优设计数学建模 问题重述 在生活中我们会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务： 1．取一个净含量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.

2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.

易拉罐形状和尺寸的最优设计 摘要 本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。 在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比:1:2 R H=（H为圆柱的高，R为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高:1:6 R H=时，表面积最小。一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b倍时，最优设计方案为:2 =。 R H b 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得出当24 +==(h为 H h R r 圆台的高，r为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出 4.5 r→时 H h R +≈，0 材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。 在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。此时，材料最省。但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。此时，易拉罐形状和尺寸最优。如果设计为旋转式拉环，====时，可以得到优于现实中易拉罐的设计方案。 r h R H 2.2,0.75, 3.93, 6.86 最后，本文总结了此次数学建模中有益的经验--在数学建模过程必须灵活应用从简到繁、由易到难不断扩展的研究方法，并且要充分发挥数学软件在优化设计中无可比拟的优势；同时，通过此次数学建模比赛深刻体会到了数学工具在生产实践中的重要作用。

产品创新设计作业——易拉罐的设计

经典产品开发案例——易拉罐 引言 易拉罐是我们日常生活中再常见不过的产品，而事实上早在1959年它便诞生了，至今已有了50多年的历史。挑选易拉罐作为案例分析，是因为我相信简单却又经久的设计就是最成功的，这些经典产品历经了时间和用户的考验，在易拉罐简单的设计背后却有许多值得学习的常识和经验。 生活中有很多这样的产品，比如拉链、圆珠笔、白炽灯、缝纫机、复印机、剃须刀等等。这些发明悄然地改变了世界，伴随我们的生活工作。而我们常常忽视了它们的优秀，在科技更新速度日益飞升的今天，大多数人变得麻木，诸如“什么时候发明的”，“有什么独特的设计”，“功能是如何实现的”这些问题也仅仅是和我们打了个照面而已。我们欣然地接受这些伟大的发明家们的创造，对于我们而言，花尽可能少的时间知道它怎么使用就足够了，甚至懒惰到可以包容一些并不合理的设计。 之所以叫易拉罐，是由于它在顶部的设计采用了易拉环的结构，这是一次开启性的革命，也给人们的生活带来了极大的便利和享受。 1 易拉罐的诞生与市场需求 我们知道，新产品的开发首先应该做的就是需求分析。需求分析首先要确认已存在产品或系统的未确认缺点及未来可能发生的潜在问题，然后确认用户目前及未来还没有满足的希望。首先，要了解，大部分灌装饮品如汽水、啤酒等都注满二氧化碳，因此铝罐要承受的压力极大，约每平方厘米需要50公斤的力度，才能把拉盖开启。如何让使用者轻易将拉盖开启正式制造拉盖的一大难题。 最早的铝罐需要分离式的开罐器，这一局限性使得许多场合下应用都不便利。1959年，俄亥俄州的艾玛弗兰兹发现外出郊游时喝冰啤酒很困难，于是他用汽车保险杠杆打开啤酒，弗兰兹想要找到更好的办法，思考如何将开罐头的杠杆粘在杠杆上。他彻夜未眠，终于找到了发明的灵感，当然这也他在达顿可靠工具制造公司的工作经验密不可分，他在金属的制作和刻痕上有着丰富的经验积累，弗兰兹于1963年取得易拉罐的专利权。他也声明，易拉罐不是他个人发明的，自1800年来大家就一直在研究这个问题，他所做的知识找出将拉环粘到罐顶部的方法。 此后，易拉罐在美国成功研发并生产，由罐身、顶盖和底罐三片马口铁材料制成。目前用来制作易拉罐的材料主要有两种：铝材和马口铁，王老吉、红牛、露露等品牌用的是马口铁，可乐、雪碧等碳酸饮料品牌采用的是铝制易拉罐。 2 易拉罐的设计 易拉罐之结构设计

易拉罐形状和尺寸的最优设计

淮海工学院 毕业论文 题目：易拉罐形状和尺寸的最优设计 作者：吴杰学号：0903102228 系(院)：数理科学系 专业班级：信息与计算科学032 指导者：谭飞（高等数学教研室主任）评阅者： 2007年5月连云港

毕业论文中文摘要

毕业论文文摘要

目录 1 引言 (1) 1．1易拉罐的发展和前景 (1) 1．2 实际调研 (2) 1.3基本设计方案 (2) 2可口可乐易拉罐的优化设计 (3) 2．1模型的假设 (4) 2．2数据测量 (4) 2.3符号说明 (5) 2．4 模型的建立与求解 (5) 2．4．1 模型一的建立与求解 (5) 2．4．2 模型二的建立与求解 (7) 2．4．3 模型三的建立与求解 (9) 2．5 模型的评价与推广 (11) 结论 (13) 致谢 (14) 参考文献 (15) 图1 罐体主要尺寸图 (4) 图2 圆柱罐体剖面图 (5) 图3 柱台罐体剖面图 (7) 图 4 罐体受压性能图 (10) 表 1 罐体主要尺寸 (4) 表 2 罐体物理性能 (10)

1 引言 1．1易拉罐的发展和前景 铝质易拉罐具有许多优点，如重量轻、密闭性好、不易破碎等，被大量用作啤酒、碳酸类饮料、果汁等食品的包装材料。1963 年，易拉罐在美国得以发明，它继承了以往罐形的造型设计特点，在顶部设计了易拉环。这是一次开启方式的革命，给人们带来了极大的方便和享受，因而很快得到普遍应用。到了1980年，欧美市场基本上全都采用了这种铝罐作为啤酒和碳酸饮料的包装形式。经过30多年来的发展已在全球形成庞大的生产规模，供求关系已出现严重的失衡。即使是易拉罐技术发展最快，消费水平最高的美国，近年来罐厂生产能力的提高比消费需求增长快，生产能力年增2%，而需求量年增1%，同样出现年生产能力超过需求10亿只的局面。随着设计和生产技术的进步，铝罐趋向轻量化，从最初的60克降到了1970年的21～15克左右。 国内的易拉罐业始于80年代，当时年产仅24亿只，随着原罐厂进行重大技术改造的完成以及国外罐业投资者的资本输入，到目前全国易拉罐年生产能力超过100亿只。 近年来，我国铝质易拉罐产量逐年增长，年消耗量约为60～70亿只。据业内专家预测，到2010年，全国易拉罐用铝将达到29万吨。据中国饮料协会预测，到2010年，碳酸饮料产量将达到800万吨，如果罐装率按20％计算，易拉罐用量将达到124亿只。尽管国内易拉罐需求量逐年上升，但供求关系严重失衡已是不可回避的事实。 为了生存，罐厂每年都出现“内耗”式的压价销售，这一方面导致罐厂本身处于亏损运营状态，另一方面阻碍了中国罐业向前发展。竞争的结果，表面上看饮料、啤酒厂是受益者，但从长远看包装品制造商因无力进行技改大幅度降低成本，而作为使用包装品的饮料、啤酒业也难以使自己产品的包装成本降低下来因而阻碍了消费，最终也是受害者。 国外罐业者在降低成本方面主要有二条途径，一是规模经济。国外罐业经过三十多年的发展，生产已形成集团化，具有相当大规模，在这样的基础上不断增置设备或提高生产速度再扩大规模是轻而易举的事。而国内罐厂的规模与国外相比都较小，又由于近年来大多数罐厂处于亏损运营，因而再花费一大笔资金去再引进技术和设备扩大规模是较为困难。此外在目前这种供求严重失衡的状况再扩大规模，无疑将需求关系进一步恶化。显然，靠这一途径降低成本不适合国内现状。 其次是降低原辅材料的成本。依靠科技进步降成本可以达到事半功倍。罐业是集冶金、化工、机械、电子等行业科技于一体，降低原辅材料成本就是依靠这些行业的科技进步。（1）减薄铝板材厚度。（2）改变罐形。根据国外某材料厂家报告，在美国的罐厂用铝板材料厚度每减薄0.01mm，每千罐可节省约0.22美元，易开盖口颈从404规格缩小至401规格可节省材料12.5%，罐从206口颈缩为204全套可节约材料用量6.7%，再降至202又可节约13.6%，最好水平到19.4%。为了确保罐原有的各项性能指标要求，相应采用许多新工艺，诸如采用罐底二次成型技术，可使罐底耐压力提高26%。在国外有许多罐业服务的专业性厂家，从铝板材、模具、电子化工设备等制造行业形成一条龙，每当罐业提出某

数学建模 易拉罐的设计问题

易拉罐的形状和尺寸的最优设计 一旅五队赵久国（3782011040）摘要 现实生活中，我们会发现销售量很大的易拉罐饮料（例如：体积为355毫升的可乐，啤酒，雪碧，七喜等）的形状和尺寸几乎都一样，联系利润问题，我们可能会猜想同样是355毫升的容量，设计成那样的形状可能会节约易拉罐的制造成本。带着这样的猜想，我通过数学建模的方法去寻找原因。 本文就是通过建立简化的数学模型，找到在易拉罐体积一定（355毫升）的条件下，使得易拉罐材料最省（通过计算易拉罐的表面积来表示用料）的外形及尺寸。我第一步是实际调查研究（发现：实际生活中没有把易拉罐设计成长方体的形状的，都是接近圆柱体的，可以断定长方体没有圆柱体节省材料，于是对于后面的模型只考虑圆柱体的情况）；第二步是通过简化建模所需的条件（假定易拉罐的侧面和底面用的材料都一样且厚度都一样（注：现实生活中肯定不一样，这需要前面模型的优化））；第三步是建立的简单模型，并且进行求解；第四步是对模型所得的数据进行分析，和与实际生活中所测的易拉罐的数据进行对比；第五步是得出基本的结论和对模型进行改进，粗略确定易拉罐外形和尺寸的最佳设计方案。 关键词：355毫升易拉罐简化条件模型设计导数求极值 对比分析优化设计

第一步： 对于体积恒定的355毫升的易拉罐，在保证体积不变的情况下设计他的形状，尺寸，要求是表面积最小。 第二步： 假设： 1.易拉罐设计的形状为圆柱体，侧面和底面用的材料都一样且厚度都一样. 2.易拉罐的体积一定. 3.确定变量和参数：设易拉罐内半径为r,高度为h ，厚度为a ，体积为v ，表面积为s 。其中r 和h 是自变量，易拉罐面积s 是因变量，而体积v 是固定参数，则s 和v 分别为： 2222233 222()()2422,s r a a r a h r h ar a r a hra ha v v r h h r ππππππππππ=+?++?-=++++== 第三步： 根据前两步建立模型： 2g(,)min (,) 0,0,(,)0r h r h v s r h r h g r h π=-=>>=设目标函数其中且 V 是已知的，g(r,h)是约束条件，目标函数s 就是要求在体积V 一定的条件下求S 的最小值，此时r 和s 的比值。

创新设计方案

创新设计方案 一、设计名称：可以关闭的易拉罐 二、设计目的（设计背景）： 大多数人们在外面玩的时候口渴了都会想到要买水喝，但很多又不愿意一瓶喝完，就出现了易拉罐比较少量的瓶子，但易拉罐有一个最不方便的地方就是喝不完也关不上，很多人不喜欢手上拿着就喜欢放在包里方便，渴的时候再拿出来，然后我们就想到为了大家方便，想要设计出可以打开后还可以关闭的易拉罐瓶子。 三、设计原理： 现在的大多数人追求的生活品质越来越高，人们对这些消费品的要求也越来越多样化。易拉罐在人们的生活中随处可见，最初的易拉罐设计是将一个拉环固定在事先划好的开盖带上，利用杠杆作用和刻划痕迹，罐头先在开口上方打开，进一步拉开的动作将金属片拉离罐头顶部，铝片沿着刻划的痕迹撕开，留下来的开口从罐子边缘延伸到（或超过）罐子中心，这样在打开罐子饮用或倾倒饮料时，空气能由开口进入罐内，让饮料轻松地流出。易拉罐拉环独特的设计一方面结束了钥匙型开罐器的时代，另一方面也将在罐顶上打两个不同三角形切口的开罐动作减少为一个拉的轻松动作。半开半闭式的易拉罐更容易引进市场，通过在罐顶下安装旋转装置，让喝不完的水放在任何一个地方不易溢出，会给更多的人带来方便。四、作用与功能： 方便人们的生活，受各大消费群众的需求，方便携带和饮用。拉环式易盖有两种形式：一种是小口式，拉环拉起时罐盖开启一小口，由此小口可以吸出或倒也流体内装物，比如汽水类易拉罐就属于小口式；另一种是大口式，拉环拉起时几乎整个罐盖都被揭开，以便取出固体 五、设计结构与简图：

设计结构：采用普通的易拉罐瓶子，在开口处设计可以旋转开关的开口。 六、设计说明： 这次我们设计的是一个可开关的易拉罐，这个易拉罐跟平时我们看到的普通易拉罐没有什么区别，只是在拉罐开口处做了一些轻微的调整，普通的拉罐拉开过后就不可以再关闭，使消费者买了打开了以后就必须要喝完，然而一些消费者一次喝不完这么多放在那里就只有浪费。我们这次设计的这个易拉罐开口就设计成为了可开关的，当消费者打开后喝不完还可以将瓶口关上，这样方便了二次饮用，不会造成了浪费，也方便携带。做成这个易拉罐的技术条件也非常简单，只需要在现有的易拉罐制作工艺上，将易拉罐瓶口配上一个可旋转的开关，开关可以由简单的铝片制成，在消费者第一次将易拉罐打开后，旋转铝片就可将开口处密封。 七、制造用料： 普通的易拉罐一个，少许铝片 八、可行性分析： 在该易拉鑵项目可行性研究中，从节约资源和保护环境的角度出发，遵循“创新、先进、可靠、实用、效益”的指导方针，严格按照技术先进、低能耗、 低污染、控制投资的要求，确保该易拉鑵项目技术先进、质量优良、保证进度、

易拉罐设计问题

易拉罐的设计问题 一、模型的假设 1、除易拉罐的顶盖外，罐的其他部分厚度相同 2、忽略材料的接缝折边以及切削的损耗 3、易拉罐所装的饮品的体积一定 4、忽略制造中的工艺上的必须要求的折边长度 二、符号说明 V 表示易拉罐的用料体积 0V 表示易拉罐的罐内的容积 r 表示圆柱形的圆半径 S 易拉罐的表面积 λ表示易拉罐的上、下底面的单位面积的造价 θ表示易拉罐的侧面的价格 α表示易拉罐的上顶面与侧面厚度的比例系数 d 表示除顶盖外的其他部分材料的厚度 三、模型的建立及求解 要比较易拉罐的优劣，可以由其制作过程中所消耗的原材料的多少来判别，即最优易拉罐应具有最小的表面积。 如果，先不考虑材料的厚度及价格等因素，由圆柱的体积公式可得，2V r h π=，从而2V h r π=，又易拉罐的表面积为2222S r r h ππ=+，将2V h r π=代入其中得222V S r r π=+ 又由题知，体积V 为常数，即求当 r 为何值时，函数Ｓ取值最

小，由此目标函数为 min 222V S r r π=+ 22V V S r r r π=++≥= 当且仅当22V r r π=，即r =时h=2r 。但是，在实际生活中，易拉罐却不是这样的。 我们以355ml 的可口可乐易拉罐为对象来测量，得到如下数据。 由数据可知，4h r ≈即易拉罐的高与直径的比约为2:1。这是由于喝饮料时要使劲拉使得顶盖要比其他部分厚。 考虑到用于上下底面与侧面所用材料的造价不同，故制造一个易拉罐的价格为222y r rh λπθπ=+，于是目标函数可化为 min 222y r rh λπθπ=+ () 223y r rh rh πλθθ=++≥当且仅当22r λ=rh θ，即2r h λθ= 时，易拉罐的价格最低，此时易拉 罐不再是等边圆柱了。 考虑易拉罐的顶盖厚度是其他部分的材料厚度的α倍，进而易拉罐的侧面用料体积为 22(())((1))V r d r h d ππα=+-++ 圆柱形易拉罐顶盖用料的体积为2d r απ，底部用料体积为2d r π，所以易拉罐用料体积为

易拉罐设计数学模型

2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛山西赛区吕梁高等专科学校 第五队 参赛队员：1. 张晶晶 2. 刘美琴 3. 王超鹏 指导教师：王亮亮 2006 年 9 月 18 日

承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：吕梁高等专科学校 参赛队员(打印并签名) ：1. 张晶晶 2. 刘美琴 3. 王超鹏 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：王亮亮 日期： 2006 年 9 月 18 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

易拉罐形状和尺寸的设计 摘要 本文研究易拉罐的形状和尺寸的设计问题。 体积给定的圆柱体，其表面积最小的尺寸（半径和高）为多少？从纯数学的观念出发，这个尺寸（半径和高）为1：2。也就是说，对于易拉罐而言，当高是半径的2倍时，其表面积最小。即易拉罐设计成等边圆柱时，消耗的材料较少，生产成本较低。但在实际生活中，我们所看到的易拉罐不是等边圆柱的，有的长些，有的短些，生活中（市场上）的易拉罐为什么会是这样呢？ 经过我们调查测量，也发现销量很大的饮料的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎是一样的。经过测量生活中（市场上）饮料罐胖的部分的直径和高的比为6.4/10.3=0.621，非常接近黄金分割比0.618。这是巧合，还是这样的比例看起来最舒服，最美？看来，这样并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。 事实上，体积一定的易拉罐的形状和尺寸的设计问题，不仅与表面积的大小有关，而且还与易拉罐的上、下底面和侧面所用材料的价格有关，也与制造过程中焊接口的工作量的多少和焊缝长短有关。此时，易拉罐就不再是等边圆柱了。 在本文讨论中，我们假设1、不考虑制造过程中焊接口的工作量的多少和焊缝长短问题，只考虑了表面积和所用材料的问题；2、不考虑易拉罐底部上拱问题，模型中模型的底部以平底处理；3、不考虑易拉罐的拉环。在以上假设的基础之上我们以355ml 的可口可乐饮料罐的形状和尺寸为例进行讨论，应用层次分析法逐步建立了四个模型。应用初等数学的知识算出了各个模型中的高和半径的比值、表面积和成本，最终讨论计算结果认为当高与半径之比4.68827时，模型基本上与市场上的易拉罐形状和尺寸相同。然后我们对生活中355ml的可口可乐饮料罐给出了我们自己的关于易拉罐的形状和尺寸的设计。 关键词：等边圆柱易拉罐 注：本文中提到的等边圆柱是指：圆柱的高与圆柱的底面直径之比为1：1的圆柱体。

易拉罐形状和尺寸的最优设计

2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“对论文格式的统一要求”） C题: 易拉罐形状和尺寸的最优设计 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务： 1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。 2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。 什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。 4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。 5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

易拉罐形状和尺寸的最优设计 摘要 本题在建立数学模型的基础上，用LINGO 实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。 在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比（为圆柱的高，为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高时，表面积最小。一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的倍 b 时，最优设计方案为61:： =H R 。 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO 软件对模型进行分析，得出当(为圆台的高，为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO 对其进行分析，得出，时材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。 在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。此时，材料最省。但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。此时，易拉罐形状和尺寸最优。如果设计为旋转式拉环，86.693.3075.h 2.2r ====H R ，，，时，可以得到优于现实中易拉的设计方案。 关键词：最优设计 体积结构 材料最省 lingo

易拉罐形状及尺寸的最优模型

易拉罐形状及尺寸的最优模型 『摘要』 本文研究的是易拉罐外形和尺寸的最优化问题，通过建立数学模型找到在易拉罐体积一定的条件下，使得易拉罐表面积最小，材料最省的外形及尺寸。 我们首先动手测量易拉罐的各项尺寸，然后通过一个由简单到复杂的分析过程，逐步建立模型与实测数据比较确定易拉罐外形和尺寸的设计方案，并且通过进一步优化得到最优的设计方案。 第一题需要我们亲自动手用各种工具测量易拉罐上底面及下底面直径、易拉罐各部分高度以及厚度。 第二题假设易拉罐为一个正圆柱体，问题简化为已知圆柱体的体积求其高度和底面半径为多少时表面积最小。进一步分析问题建立目标函数，用微分地方法求解。最后于我们实际测量的数据比较发现这种模型不是最优模型，还需要进一步研究。 第三题假设易拉罐的上部是一个正圆台，这样问题就变为上不圆台和下部圆柱体体积和一定的条件下，求其表面积和最小，与第二步相同建立目标函数，并考虑到各种约束条件，例如美观要符合黄金比例、人体机能等 关键词：最优化 LINGO 黄金分割率 3dmax cad

1问题重述 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务： 1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。 2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。 什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。 5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步 2 问题分析 通过对问题进行分析可以看出，本文研究容积一定的易拉罐的用料最省问题，通过建立模型找到一种最合理、最节约的设计，进而结合实际问题优化模型。 问题1，通过实际测量得到易拉罐下部圆柱体内直径，中部圆柱体内高度，上部圆台体上直径、下直径，上部圆台体高度以及易拉罐顶部和其他部位厚度。 问题2，假设易拉罐是一个正圆柱体，即将上部圆台看成正圆柱，问题简化为在圆柱体体积一定的条件下求其表面积最少，建立优化模型，用微分方程求解模型。 问题3，设易拉罐是由一个圆柱体和一个圆台构成，即在第二问基础上考虑到易拉罐上下表面直径不同，问题仍然可以看成已知体积求最小表面积的优化问题。求解方法为，把易拉罐分为两部分分别求其表面积和体积，然后求和得出其总体积、总的表面积，确定目标函数，并从美观、方便等方面建立约束条件，进而求出最优解。 问题4，

参考论文1-易拉罐的最优设计

易拉罐最优设计模型 （2006年全国一等奖） 摘要：本文建立了易拉罐形状和尺寸的最优设计模型，使易拉罐制作所用的材料最省，来增加生产商的经济效益。在饮料罐容积一定的基础上，按照材料最省原则，根据所给的任务2、任务3、任务4，分别建立了模型Ⅰ、模型Ⅱ、模型Ⅲ，最终在讨论和分析后，对模型进行了评价和改进。 对于任务1，利用千分卡尺测量了我们认为验证模型所需要的易拉罐各个部分的数据，并把所测得的数据用图形和表格加以说明。 对于任务2，在易拉罐为正圆柱体的情况下建立模型Ⅰ，通过确定目标函数),(h r A ，给出约束条件0),(=h r B ，利用初等解法得出 4:=r h 为圆柱体易拉罐的最优设计。并用此其结果检验用千分尺所测得029.4:=r h ，其绝对误差仅为0.29，可以说几乎一致。 当易拉罐为正圆台与正圆柱组合的情况下建立了非线性规划模型Ⅱ，利用LINGO 软件算出9.120:37.0:6.30:8.29:::11≈h h r r 为该模型的最优设计。这一结果与我们测量所得数据基本吻合，其中圆台高误差较大，这引起了我们对此模型与实际易拉罐形状、尺寸的进一步观察与思考。 最终我们感悟出要设计一个既省材又耐用且美观的易拉罐必需考虑经济、耐压、美观和实用性四个方面。从这四个方面出发我们建立了关于材料最省的优化模型Ⅲ，并利用LINGO 软件算出其结果为： 9.9:5.27:5.30:7.10:8.116:5.32:::::3211≈h r r h h r 在模型的结尾部分，我们通过对建立模型的方法、计算工具等方面进行了模型的评价，并提出进一步改进的方法。 最后通过本模型以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇短文。 关键词：易拉罐 最优设计 非线性规划 LINGO 软件

易拉罐形状和尺寸的最优设计(2)

参赛论文 易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题 摘要 饮料灌装是饮料生产中十分重要的一环，饮料灌装容器的设计不仅直接关系到生产企业的制造成本，同是也决定着饮料产品的品质和价值。理想的饮料灌装容器应能起到以下作用：保护内在质量、免受物理损坏、使用方便、便于运输、和促进销售。在日常生活中,我们总会买些易拉罐装的饮料和食品,殊不知,易拉罐的设计便包含了一定的物理、数学知识。对易拉罐的设计，生产者总会考虑让它成本最低，并且功能最强。如：设计一个体积固定为V 的圆柱形易拉罐，什么样的设计方案最优？ 首先我们根据测的一组数据得直径和高的比值接近黄金分割点。本文基于用铝材料做成一个容积一定的圆柱形的容器用料最省问题，我们分析说明表面积最小是正圆柱体的最优设计。再从实际情况出发，注意到罐的顶盖比其他部分都要厚，我们引入了厚度因子a,并结合模型<一>的结论r:h=1:4，考虑用材料的体积SV ，建立模型<二>，得出a=3.再以此为基础， 建立模型<三>: Min S=[2H R ??π+2R ?π+32r ?π+22)3.0()(h h r R +?+?π]b ? S.t. V=H R ??2π+)(3 1 33r R -??π R=r+0.3h 设定从顶盖到胖体部分的斜率为 a. 并代入工程生产中普遍认定的斜率0.3,运用Mathematica 软件求解，得出h=4r 的结论，这与我们在第一问中用游标卡尺所测得的数据吻合.对此时的SV 进行求偏导数,得出极值点为h=5.36221, r=1.49597, R=3.1046, H=10.8017.问题四我们用曲面积分思想建立了模型〈四〉： Min )(2322 02120 02122R R r R R r R H R SV ---??++?+??=ππππb ? S.t V=H R ??2π+])()[(3 320322020R R h R R h R --+-?- ??π π 得出我们设计的易拉罐H=6.54 h=2.54 R=3.82 直径：高度=2R ：（H+h ） 最后,我们根据自己本次参加数学建模课余培训直到参加竞赛的亲身体验,写了《体验数学建模》一文。

易拉罐设计

易拉罐最优设计模型 （2006年获全国一等奖） 摘要：本文建立了易拉罐形状和尺寸的最优设计模型，使易拉罐制作所用的材料最省，来增加生产商的经济效益。在饮料罐容积一定的基础上，按照材料最省原则，根据所给的任务2、任务3、任务4，分别建立了模型Ⅰ、模型Ⅱ、模型Ⅲ，最终在讨论和分析后，对模型进行了评价和改进。 对于任务1，利用千分卡尺测量了我们认为验证模型所需要的易拉罐各个部分的数据，并把所测得的数据用图形和表格加以说明。 对于任务2，在易拉罐为正圆柱体的情况下建立模型Ⅰ，通过确定目标函数),(h r A ，给出约束条件0),(=h r B ，利用初等解法得出 4:=r h 为圆柱体易拉罐的最优设计。并用此其结果检验用千分尺所测得029.4:=r h ，其绝对误差仅为0.29，可以说几乎一致。 当易拉罐为正圆台与正圆柱组合的情况下建立了非线性规划模型Ⅱ，利用LINGO 软件算出9.120:37.0:6.30:8.29:::11≈h h r r 为该模型的最优设计。这一结果与我们测量所得数据基本吻合，其中圆台高误差较大，这引起了我们对此模型与实际易拉罐形状、尺寸的进一步观察与思考。 最终我们感悟出要设计一个既省材又耐用且美观的易拉罐必需考虑经济、耐压、美观和实用性四个方面。从这四个方面出发我们建立了关于材料最省的优化模型Ⅲ，并利用LINGO 软件算出其结果为： 9.9:5.27:5.30:7.10:8.116:5.32:::::3211≈h r r h h r 在模型的结尾部分，我们通过对建立模型的方法、计算工具等方面进行了模型的评价，并提出进一步改进的方法。 最后通过本模型以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇短文。 关键词：易拉罐 最优设计 非线性规划 LINGO 软件 问题重述 在生活中我们会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务： 1．取一个净含量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认

易拉罐的设计

易拉罐的设计 生活中我们常看到圆柱形的包装容器，如易拉罐、水杯、油漆桶等。那么，为什么这些容器都设计成了这样的形状？这样的形状有什么优势呢？显然，当一个容器需要大量使用的时候，考虑用料成本，设计一个容积足够、美观大方又节省材料的容器是极为必要的。 标签：易拉罐设计最小值 易拉罐是生活中常见的饮料容器，每天都有不计其数的易拉罐饮料从生产线上生产出来打包装箱输送到全国各地，同时被无数人购买，畅饮之后又要丢入垃圾桶。每个易拉罐的用料不多，但是有了庞大的基数支撑，用料成本便不可忽视，节约用料是一个极为重要的问题。 根据已经掌握的知识，平面中等面积的情况下圆的周长最短，那么，可以联想到空间中等体积的情况下球体的表面积最小。按照节省用料的考虑，为什么没有大规模使用球型的容器呢？最简单直观的缺点是不方便持握，不方便放置。而且还有一个问题就是球型容器运输的时候放入箱子中也会浪费更多的空间。 思考一：假设包装都是标准的圆柱体，忽略包装材料的拼接，近似认为容积就等于体积，这样把问题近似转换为一个纯粹的数学问题，即：“体积一定的圆柱体，底面半径与高的比值为多少时，表面积最小？” 设易拉罐的高为h，底面半径为r，有圆柱体的体积公式V=πr2h，得到h= 。又易拉罐表面积为S=2πr2+2πrh。将h= 代入表面积公式得S=2πr2+ 。[1]现在，问题转化成为了在r取何值的时候，函数S能够取到最小值。S= ，当且仅当2πr2= ，即时，易拉罐有最小表面积，此时h=2r。 但是在实际生活中，我们绝对看不到有这样形状的容器装满饮料放在货架上，为什么呢？这种形状的圆柱体又叫等边圆柱，这种形状拿起来的手感很差，因为太粗了，不适合作为饮料的容器，作为罐头、油桶倒是不错。那么，还有什么因素影响了易拉罐的形状呢？易拉罐的上底和下底经过观察和侧面是不一样的，一般来说，下底的材料会更加厚一些，或是更加硬一些，这可能是影响易拉罐形状的又一因素。 思考二：体积一定的圆柱形容器，上下底面的价格是侧面造价的k倍，那么底面半径和高的比为多少时表面总造价最小[2]？ 经过调查，有相当一部分饮料包装的底面的单位造价是侧面单位造价的2倍左右，为了便于计算，假设k=2。设圆柱底面半径r，高为h，侧面单位造价为a，底面单位造价为ka，圆柱体总造价为y。V=πr2h，y=2aπrh+4aπr2。= 。 当且仅当4r=h时，表面总造价最低。如果材料特殊，底面单位面积造价不