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脉冲微分方程解的性态与逼近能控性

随机脉冲涨落的物理概念

随机脉冲涨落的物理概念林诗俊（新疆乌鲁木齐建设路26号设计院，830002）摘要：本文对随机脉冲涨落的物理概念和检验方法，对布朗运动和目前正在进行的可控核聚变实验的可行性作了较详细的分析，同时提出了自发熵减的概念。关键词：碰撞，分子，可控核聚变，随机脉冲涨落,速率趋同效应,自发熵减。在《碰撞加速原理》[] 一文中对分子之间通过碰撞获得加速的机理以及一个分子连续碰撞均获得加速的概率进行了较详细的分析，文中认为：“一个分子通过n 次碰撞每次碰撞均被碰撞加速的形式属于一种连续碰撞加速形式，我们把它定为第一种碰撞加速形式。第二种碰撞加速形式是传递加速形式。它是当第一个分子碰撞第二个分子后第二个分子被加速，第二个分子碰撞第三个分子后，第三个分子被加速，以此类推的一个n 次碰撞，每次碰撞都是被碰撞的分子被加速的过程。第三中碰撞加速形式是混合碰撞加速形式，它是上面两种碰撞加速形式的两个或多个片段相互连接的n 次碰撞组成。对于气体，三种碰撞加速形式都有，对于液体基本上是第二种碰撞加速形式，而对于固体，完全属于第二种碰撞加速形式。”“ 一个分子可以通过被一系列速度小的分子的碰撞达到很高的速度。一个连续加速过程称为一个加速片段，一个连续减速的过程称为一个减速片段，而一个分子的历程就是由一系列长短不同的连续加速与连续减速的片段组合而成的系列，单个片段的最小长度为一，即只进行一次碰撞”，“由于碰撞加速作用，会发生很多高速运动的分子随机的在液体，气体中的某处或多处局部集中形成局部短时高温热点，与之对应的有很多低速运动的分子随机的在液体，气体中的某处或多处局部集中形成局部短时低温冷点，这些随机的局部高温热点与局部低温冷点要远大于用统计物理学所计算出的涨落幅度，属于一种随机脉冲式的大幅度涨落，可称为随机脉冲涨落”。本文将结合这些结论对随机脉冲涨落的物理概念作更深入的讨论。 1我们知道，不论是气体，液体和固体，他们内部的分子都处在非常频繁的相互碰撞之中，由于任何一个分子在碰撞过程中速度可能增大，也可能减小，可能连续增大，也可能连续减小，而且每次速度改变的量都是不同的，因此，在这种频繁的相互碰撞作用下，系统中的分子的速度不可能相同，任何一个分子的速度都在零和系统允许的最大的速度之间随机的变化，在一段足够的时间内，任何一个分子都会遍历系统允许的任何一种速度，而分子取某一速度的次数与分子系统的速度分布规律相对应，这使得我们不能具体判断某一时刻某一个分子会以何种速度运动，只能判断某一分子以某种速度运动的概率，任何一个分子都具有以系统允许的任何一种速度运动的可能性。从能量的观点来看，一个分子数为N 的分子系统在只考虑分子的平动能的情况下的总能量为： εεN a E N i i i ==∑=1 （1） https://www.wendangku.net/doc/c316916812.html,

微分方程稳定性分解

带有时滞的动力系统的运动稳定性分五部分内容，第一部分是Понтрягин定理，给出解实部、虚部的形式；第二部分分析了线性系统的一般性质、特征方程重根时解的表示和解的指数估计；第三部分讨论解的存在唯一性；第四部分探讨解的表达式；第五部分给出Фрид定理。以此说明特征方程根的实部的符号可以用以判断带有时滞的线性系统的稳定性。直接法的基本定理一、Понтрягин定理要讨论的常系数线性系统的滞量τ为常数，所指的滞后型与中立型系统分别为1()()n i ij j ij j j x a x t b x t τ=??=+-??∑， 1 ()()()n i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=??=+-+-??∑，1,2, ,i n =0τ>，这时，相应的特征方程分别是0ij ij ij a b e λτδλ-+-=， 0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=。对0τ=的情形0ij ij ij a b e λτδλ-+-=为一代数方程1 10n n n P P λλ -+++=。在常微分方程解的稳定性理论中，关于特征方程()0P λ=的根的实部符号这样一个问题是极其重要的。如果给了方程组的平衡态之位置及其对应的特征多项式()P λ，则欲是平衡态的位置稳定，其充要条件是特征多项式()P λ的所有根都有负实部。但是，现在的特征方程0ij ij ij a b e λτδλ-+-=，0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=已不再是代数方程，可系统的稳定性仍然与特征根的分布紧紧联系在一起，这两个特征方程的一切根i λ都有0i Re λδ≤<时，系统 1()()n i ij j ij j j x a x t b x t τ=??=+-??∑， 1 ()()()n i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=??=+-+-??∑，1,2, ,i n =0τ>

微分方程稳定性理论简介

第五节微分方程稳定性理论简介这里简单介绍下面将要用到的有关内容：一、一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程 ()dx f x dt = （1）右端不显含自变量t ，代数方程 ()0f x = （2）的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足 0lim ()t x t x →∞ = （3）则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为： 0'()()dx f x x x dt =- （4）（4）称为（1）的近似线性方程。0x 也是（4）的平衡点。关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论：若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点 0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是 0'()0()f x t x t ce x =+ （5）其中C 是由初始条件决定的常数。

二、二阶（平面）方程的平衡点和稳定性方程的一般形式可用两个一阶方程表示为 112212 () (,)()(,) dx t f x x dt dx t g x x dt ?=??? ?=?? （6）右端不显含t ，代数方程组 1212 (,)0 (,)0f x x g x x =?? =? （7）的实根0012 (,)x x 称为方程（6）的平衡点。记为00 012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足 101lim ()t x t x →∞ = 20 2lim ()t x t x →∞ = （8）则称平衡点00 012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐近稳定）。为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程 11112 22122 () ()dx t a x b x dt dx t a x b x dt ?=+??? ?=+?? （9）系数矩阵记作 1 12 2a b A a b ??=???? 并假定A 的行列式det 0A ≠ 于是原点0(0,0)P 是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程 det()0A I λ-= 的根λ（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式： 2120()det p q p a b q A λλ?++=? =-+??=? （10）将特征根记作12,λλ，则

实验十系统能控性与能观性分析

实验十系统能控性与能观性分析一、实验目的 1. 通过本实验加深对系统状态的能控性和能观性的理解； 2. 验证实验结果所得系统能控能观的条件与由它们的判据求得的结果完全一致。二、实验设备同实验一。三、实验内容 1. 线性系统能控性实验; 2. 线性系统能观性实验。四、实验原理系统的能控性是指输入信号u 对各状态变量x 的控制能力。如果对于系统任意的初始状态，可以找到一个容许的输入量，在有限的时间内把系统所有的状态变量转移到状态空间的坐标原点。则称系统是能控的。系统的能观性是指由系统的输出量确定系统所有初始状态的能力。如果在有限的时间内，根据系统的输出能唯一地确定系统的初始状态，则称系统能观。对于图10-1所示的电路系统，设i L 和u c 分别为系统的两个状态变量，如果电桥中 4 32 1R R R R ≠，则输入电压u 能控制i L 和u c 状态变量的变化，此时，状态是能控的；状态变量 i L 与u c 有耦合关系，输出u c 中含有i L 的信息，因此对u c 的检测能确定i L 。即系统能观的。反之，当 4 32 1R R ＝ R R 时，电桥中的c 点和d 点的电位始终相等， u c 不受输入u 的控制， u 只能改变i L 的大小，故系统不能控；由于输出u c 和状态变量i L 没有耦合关系，故u c 的检测不能确定i L ，即系统不能观。 1.1 当 4 32 1R R R R ≠时 u L u i R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C R R R R R R R R L u i C L C L ? ??? ? ??+? ??? ???????? ??+++-+- +- ? ?+- +- +++- =???? ??01)11(1)( 1 ) ( 1)( 14321434 3212 14 342 124 3432 121 (10-1) y=u c =[0 1] ??? ? ? ??c L u i (10-2) 由上式可简写为 bu Ax x += cx y = 式中???? ??=C L u i x ???? ?? ? +++- +-+- ? ?+-+-++ +-=)11( 1)( 1 )( 1)( 1 432 1434 3212 14 342 124 343212 1R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C R R R R R R R R L A

随机微分方程及其受噪声干扰的影响

随机微分方程及其受噪声干扰的影响在现实生活中，有时会发生一些突然地变化，比如建筑工程，生物工程，经济，人口等系统。在事物发展过程中，有一些是事物内在，或者环境发生变化时，产生的不确定性，称为随机系统。随着社会的不断发展，往往由于一些不确定的噪声因素，会发现一些确定性的脉冲微分方程不足以严格的描述某个模型，从而引入了具有不确定性的随机微分方程。它在科学领域和工业发展上起到很重要的角色，因为它更加能够准确的阐述现实生活中的突变和随机因素。因为噪声的随机性和不确定性，难以表达出随机微分方程的解，研究随机微分方程精确解和数值解的性质就被凸显出来。在随机微分系统中，噪声和概率分布联系起来，从而产生许多意义下的收敛性和稳定性。现讨论噪声干扰对随机微分方程的一方面的影响：能够抑制微分方程的指数增长，使它变为多项式增长。 1、随机微分方程发展 1997 年，毛学荣提出随机微分方程 d x (t ) =f (x (t ),t )d t +g (x (t ),t )d B (t ) 漂移项和扩散项满足全局李普希兹条件和线性增长条件条件时，随机微分方程应用Euler-Maruyama 是收敛的。Saito 和Mitsui 在1996 年考虑了带有多维噪音的随机微分方程均方稳定性，随着进一步的研究，在2000 年Higham 提出了如果漂移项的增长超过这个范围时，A-Stability 是可以保持的。2000 年Bucwark 等人研究随机延迟微分方程的方法的收敛性。在2002年Higham 等人进一步研究提出减弱了条件，把全局Lipschitz 改为局部Lipschitz ，同时方程解的p 阶矩有界，证明了非线性随机微分方程应用Euler-Type 方法的强收敛性。在2003年Higham 和Mao 等人研究了随机微分方程数值解的收敛条件和稳定性条件的关系，并且给出了非线性随机微分方程应用Backward-Euler 方法均方指数稳定的充分条件。同年Mao 中证明随机延迟微分方程应用于Euler-Maruyama 方法是收敛的。Higham 等研究了带有泊松跳的随机微分方程，通过泰勒法则给出了更弱的条件，使其应用Euler-Maruyama 方法收敛。2009年Mao Wei 构造了一种特殊的划分，采用方法证明了数值解的相容性和收敛性。2012年Song Minghui 和Yu Hui 进一步研究带有泊松跳的随机延迟微分方程，并在不满足全局Lipschitz 时，也证明了收敛性。对于一个常微分方程系统 ()((),)dx t f x t t dt = 它的解可能是稳定的，也有可能不是稳定的。噪声干扰可以使一个不稳定的系统变得稳定，也可以使一个稳定的系统变得更加稳定。对系统（1.1）加入一个干扰后，转化为随机微分方程系统 ()((),)((),)(t)dx t f x t t dt g x t t dB =+ 当上述随机微分方程系统的系数满足李普希茨条件和线性增长条件时，介绍它的一些增长性变化。 2、基本记号与概念定义 2.1 设(Ω,F ,P)是一个概率空间，如果满足 (i) 由F 的子集构成的σ域； (ii) 当∞<<≤s t 0时，F F F s t ??；

4微分方程的解及解的稳定性

第四讲微分方程解的稳定性上一讲，我们利用最大值原理讨论了新古典经济增长模型，得到了两个方程，一个是状态变量的转移方程，另一个是欧拉方程。这两个方程构成了包含状态变量和控制变量的二元一次方程组。 []δα--=-) ()()()()(1 t k t c t k t k t k []δραα--=-1 )() ()(t k t c t c 这个方程组是一个非线性微分方程组，一般情况下，非线性方程组不存在解析解，即方程组的解不能用初等函数来表示。因此，他们的性质需要借助其他方法来了解。微分方程：变量为导数的方程叫做微分方程。常微分方程：只有一个自变量的微分方程叫做常微分方程。偏微分方程：有两个或两个以上自变量的方程叫做偏微分方程。微分方程的阶：微分方程中变量的导数最高阶叫做方程的阶。线性方程：方程的形式是线性的。例如，方程0)()()()(321=+++t x t y a t y a t y a 是一个二阶线性常微分方程。又如，索洛－斯旺模型的基本方程是一个非线性方程： ())()()(t k t k s t k ?-=δα 再如，拉姆齐模型的动态是下列微分方程组的解： []δα--=-) ()()()()(1 t k t c t k t k t k []δραα--=-1 )() ()(t k t c t c 一、一阶微分方程一阶微分方程可以用下面的方程表示 ),(y x f dx dy = (1.1) 其中，函数R R R f →?:是连续可微函数。最简单的微分方程是

)(x f dx dy = (1.2) 它的解可表示为不定积分： ?+=c dx x f y )( (1.3) 其中，?dx x f x F )()(＝表示任意一个被被积函数，c 为任意常数。当然，我们也可以确定任意一个被积函数，例如，令??x dt t f dx x f x F 0)()()(＝＝, 则(2.2)的不定积分可表示为 ?+x c dt t f y 0)(＝这时，不定积分仍然代表无穷多条曲线，如果给出初始条件0)0(y y =, 则，上面微分方程的解就是 ?+x y dt t f y 00)(＝ (1.4) 二、常见的一阶微分方程解法 1．一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式为 )()(x g y x p dx dy =+ (2.1) 边界条件（即初始条件）0)0(y y =。为求解线性微分方程，在方程的两边同乘以?x dt t p 0)(ex p , 则方程的左边为 dx dt t p y d y dt t p x p dt t p dx dy x x x ??? ???= ?+???0 00)(exp )(exp )()(exp 所以 ??? ??=??? ?????x x dt t p x g dx dt t p y d 00)(exp )()(exp (2.2) 方程(2.2)的解为 ?? ????+? ?? ????? ??-=???c dt t p x g dt t p y x x x 000)(exp )()(exp (2.3) 2. 可分离变量的微分方程

常微分方程平衡点及稳定性研究38112

摘要本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。所以我们讨论了通过Liapunov稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型 ()()()() () .1 1N t N t r t N t cN t ττ -- = -- 的平衡点1 x=的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。关键词：自治系统平衡点稳定性全局吸引性

Abstract In this paper,we gived the conceptions of differential equation stability. Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium 1 x=of the following delay single population model ()()()() () .1 1N t N t r t N t cN t ττ -- = -- is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature. Key Words:autonomous system;equilibrium point;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivity

系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置

实验报告课程自动控制原理实验日期 12 月26 日专业班级姓名学号实验名称系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置评分批阅教师签字一、实验目的加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念，掌握状态反馈极点配置方法，掌握如何使用MATLAB 进行以下分析和实现。 1、系统的能观测性、能控性分析； 2、系统的最小实现； 3、进行状态反馈系统的极点配置； 4、研究不同配置对系统动态特性的影响。二、实验内容 1.能控性、能观测性及系统实现（a ）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。 gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, mineral ；（b ）已知连续系统的传递函数模型，18 2710)(23++++= s s s a s s G ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；

（c ）已知系统矩阵为??????????--=2101013333.06667.10666.6A ，?? ??? ?????=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性；（d ）求系统18 27101 )(2 3++++=s s s s s G 的最小实现。 2.实验内容原系统如图1-2所示。图中，X 1和X 2是可以测量的状态变量。图1-2 系统结构图试设计状态反馈矩阵

,使系统加入状态反馈后其动态性能指标满足给定的要求: (1) 已知：K=10，T=1秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为： σ%≤20%，ts≤1秒。 (2) 已知：K=1，T=0.05秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为： σ%≤5%，ts≤0.5秒。状态反馈后的系统，如图1-3所示：

能控性和能观性

第五章能控性和能观性 5－1 离散时间系统的可控性定义设单输入n阶线性定常离散系统状态方程为： ……………………………………………………………（5－1）其中 X(k)__n维状态向量； u(k) __1维输入向量； G__n×n系统矩阵； h__n×1输入矩阵；如果存在有限步的控制信号序列u(k)，u(k+1)，…，u(N-1)，使得系统第k步上的状态X(k) 能在第N步到达零状态，即X(N)＝0，其中N是大于k的有限正整数，那么就说系统第k步上的状态X(k)是能控的；如果第k步上的所有状态都能控，则称系统（5－1）在第k步上是完全能控的。进一步，如果系统的每一步都是可控的，那么称系统（5－1）完全可控，或称系统为能控系统。定理1单输入n阶离散系统（5－1）能控的充要条件是，能控判别阵：的秩等于n，即：

……………………………………（5－2）【证】：因为系统为一线性系统，不妨设系统从任一初态X(0)开始，在第n步转移到零状态，即X(n)=0。根据离散状态方程的解： ……………………………………………………（5－3）因为X(n)＝0，所以：写成矢量形式： …………………………………（5－4）从线性代数知识可知，上式中对于任意的初始状态X(0)，要求都存在一组控制序列u(0)，u(1)，…，u(n-1)的充要条件是阶系数矩阵满秩，即

【例5－1】设离散系统状态方程为：判断系统的可控性。解： M是一方阵，其行列式为：所以系统能控判别阵满秩，系统可控。定理2考虑多输入离散系统情况，假如线性定常离散系统状态方程为： ………………………………………………………（5－5）其中X为阶矢量，U为阶矢量，G为阶矩阵，H为n×r阶能控矩阵。那么离散系统（5－5）能控的充要条件是：能控判别阵的秩等于n。（证略）。

(整理)控制系统的能控性和能观测性

第三章控制系统的能控性和能观测性 3-1能控性及其判据一：能控性概念定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t 0)，如果在t 1> t 0的有限时间区间[t 0,t 1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t 1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。二：线性定常系统能控性判据设系统动态方程为： x 2不能控 y 2则系统不能控，若2121,C C R R ==?? ?+=+=Du Cx y Bu Ax x

设初始时刻为t 0=0，对于任意的初始状态x(t 0)，有：根据系统能控性定义，令x(t f )=0，得：即：由凯莱-哈密尔顿定理：令上式变为：对于任意x(0),上式有解的充分必要条件是Q C 满秩。判据1：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是： ?-+=f t f f f d Bu t x t t x 0)()()0()()(τττφφ??---=--=-f f t f f t f f d Bu t t d Bu t t x 0 1)()()()()()()0(τ ττφφτττφφ?--=f t d Bu x 0)()()0(τττφ∑-=-==-1 )()(n k k k A A e τατφτ ∑??∑-=-=-=-=1 01 )()()()()0(n k t k k t n k k k f f d u B A d Bu A x τ τταττταk t k u d u f =? )()(ττταU Q u u u u B A B A AB B Bu A x c k n n k k k -=???? ? ?? ?????????-=-=--=∑ 321121 ],,,[)0(

实验三利用Matlab分析能控性和能观性

实验三利用Matlab分析能控性和能观性实验目的：熟练掌握利用Matlab中相关函数分析系统能控能观性、求取两种标准型、系统的结构分解的方法。实验内容： 1、能控性与能观性分析中常用的有关Matlab函数有： Size(a,b) 获取矩阵的行和列的数目 Ctrb(a,b) 求取系统能控性判别矩阵 Obsv(a,c) 求取能观性判别矩阵 Rank(t) 求取矩阵的秩 Inv(t) 求矩阵的逆 [abar,bbar,cbar,t,k]=ctrbf(a,b,c) 对系统按能控性分解，t为变换阵，k为各子系统的秩[abar,bbar,cbar,t,k]=obsvf(a,b,c) 对系统按能观性分解 2、利用Matlab判定系统能控性和能观性 A、求取判别矩阵的秩，而判别矩阵可用两种方法得到： M=ctrb(a,b) 或者M=[b,a*b,a^2*b,……] B、将系统变换为对角线型或者约当标准型，根据结果直接判断。化为标准型可以使用第一次实验中介绍的ss2ss、canon等函数。 3、化为能控标准型和能观标准型如：>> a=[1 0 1;0 1 0;1 0 0]; >> b=[0 1 1]'; >> c=[1 1 0]; >> m=ctrb(a,b) m = 0 1 1 1 1 1 1 0 1 >> n=length(a);tc1=eye(n);tc2=eye(n); >> tc1(:,1)=m(:,3) tc1 = 1 0 0 1 1 0 1 0 1 >> tc1(:,2)=m(:,2) tc1 = 1 1 0 1 1 0 1 0 1

>> tc1(:,3)=m(:,1) tc1 = 1 1 0 1 1 1 1 0 1 >> qc=rank(m) qc = 3 >> den=poly(a) den = 1.0000 - 2.0000 0.0000 1.0000 >> tc2(2,1)=den(2) tc2 = 1 0 0 -2 1 0 0 0 1 >> tc2(3,2)=den(2);tc2(3,1)=den(3) tc2 = 1.0000 0 0 -2.0000 1.0000 0 0.0000 -2.0000 1.0000 >> tc3=tc1*tc2;tc4=inv(tc3); >> a1=tc4*a*tc3 a1 = -0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0 1.0000 -1.0000 0.0000 2.0000 >> b1=tc4*b b1 = 0.0000 1.0000 >> c1=c*tc3 c1 = -2.0000 0 1.0000 参照该例，掌握其他标准型的求解办法。 4、系统的结构分解 A 、找到变换矩阵c R 或者o R ，利用线性变换进行结构分解。

常微分方程解

第四章常微分方程数值解 [课时安排]6学时 [教学课型]理论课 [教学目的和要求] 了解常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念，如单步法和多步法，显式和隐式，方法的阶数，整体截断误差和局部截断误差的区别和关系等；掌握一阶常微分方程初值问题的一些常用的数值计算方法，例如欧拉（Euler）方法、改进的欧拉方法、龙贝－库塔（Runge-Kutta）方法、阿达姆斯（Adams）方法等，要注意各方法的特点及有关的理论分析；掌握构造常微分方程数值解的数值积分的构造方法和泰勒展开的构造方法的基本思想，并能具体应用它们导出一些常用的数值计算公式及评估截断误差；熟练掌握龙格－库塔（Ｒ－Ｋ）方法的基本思想，公式的推导，Ｒ－Ｋ公式中系数的确定，特别是能应用“标准四阶Ｒ－Ｋ公式”解题；掌握数值方法的收敛性和稳定性的概念，并能确定给定方法的绝对稳定性区域。 [教学重点与难点] 重点：欧拉方法，改进的欧拉方法，龙贝－库塔方法。难点：R—K方法，预估-校正公式。 [教学内容与过程] 4.1 引言本章讨论常微分方程初值问题 (4.1.1) 的数值解法，这也是科学与工程计算经常遇到的问题，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法.通常我们假定(4.1.1)中 f(x,y)对y满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使对，有 (4.1.2) 则初值问题(4.1.1)的解存在唯一. 假定(4.1.1)的精确解为，求它的数值解就是要在区间上的一组离散点上求的近似.通常取，h称为步长，求(4.1.1)的数值解是按节点的顺序逐步

推进求得.首先，要对方程做离散逼近，求出数值解的公式，再研究公式的局部截断误差，计算稳定性以及数值解的收敛性与整体误差等问题. 4.2 简单的单步法及基本概念 4.2.1 Euler法、后退Euler法与梯形法求初值问题(4.1.1)的一种最简单方法是将节点的导数用差商代替，于是(4.1.1)的方程可近似写成 (4.2.1) 从出发，由(4.2.1)求得再将代入(4.2.1)右端，得到的近似，一般写成 (4.2.2) 称为解初值问题的Euler法. Euler法的几何意义如图4-1所示.初值问题(4.1.1)的解曲线y=y(x)过点，从出发，以为斜率作一段直线，与直线交点于，显然有，再从出发，以为斜率作直线推进到上一点，其余类推，这样得到解曲线的一条近似曲线，它就是折线.

常微分方程稳定性理论

§6.4 李雅普诺夫第二方法上一节我们介绍了稳定性概念,但是据此来判明系统解的稳定性,其应用范围是极其有限的. 李雅普诺夫创立了处理稳定性问题的两种方法:第一方法要利用微分方程的级数解,在他之后没有得到大的发展;第二方法是在不求方程解的情况下,借助一个所谓的李雅普诺夫函数)(x V 和通过微分方程所计算出来的导数 dt x dV ) (的符号性质,就能直接推断出解的稳定性,因此又称为直接法.本节主要介绍李雅普诺夫第二方法. 为了便于理解,我们只考虑自治系统 )(x F dt dx =n R x ∈ (6.11) 假设T n x F x F x F ))(,),(()(1 =在{} K x R x G n ≤∈=上连续,满足局部利普希茨条件,且 O O F =)(. 为介绍李雅普诺夫基本定理,先引入李雅普诺夫函数概念. 定义6.3 若函数 R G x V →:)( 满足0)(=O V ,)(x V 和 i x V ??),,2,1(n i =都连续,且若存在K H ≤<0,使在{} H x x D ≤=上)0(0)(≤≥x V ,则称)(x V 是常正(负)的;若在D 上除O x ≠外总有 )0(0)(<>x V ,则称)(x V 是正(负)定的;既不是常正又不是常负的函数称为变号函数. 通常我们称函数)(x V 为李雅普诺夫函数.易知: 函数2 22 1x x V +=在),(21x x 平面上为正定的; 函数 )(2 22 1x x V +-=在),(21x x 平面上为负定的; 函数222 1x x V -=在),(21x x 平面上为变号函数;

函数 2 1x V =在),(21x x 平面上为常正函数. 李雅普诺夫函数有明显的几何意义. 首先看正定函数),(21x x V V =. 在三维空间),,(21V x x 中, ),(21x x V V =是一个位于坐标面21Ox x 即0=V 上方的曲面.它与坐标面21Ox x 只在一个点,即原点)0,0,0(O 接触(图6-1(a)).如果用水平面 C V =(正常数)与),(21x x V V =相交,并将截口垂直投影到21Ox x 平面上,就得到一组一个套一个的闭曲线族C x x V =),(21 (图6-1(b)),由于),(21x x V V =连续可微,且 0)0,0(=V ,故在021==x x 的充分小的邻域中, ),(21x x V 可以任意小.即在这些邻域中存在C 值可任意小的闭曲线C V =. 对于负定函数),(21x x V V =可作类似的几何解释,只是曲面),(21x x V V =将在坐标面21Ox x 的下方. 对于变号函数),(21x x V V =,自然应对应于这样的曲面,在原点O 的任意邻域,它既有在21Ox x 平面上方的点,又有在其下方的点. 定理6.1 对系统(6.11),若在区域D 上存在李雅普诺夫函数)(x V 满足 (1) 正定; (2) )(1 ) 11.5(x F x V dt dV i n i i ∑ =??=常负, (a) (b)

线性控制系统的能控性和能观性

第三章线性控制系统的能控性和能观性注明：*为选做题 3-1 判别下列系统的能控性与能观性。系统中a,b,c,d 的取值对能控性与能观性是否有关，若有关其取值条件如何？（1）系统如图所示。题3-1（1）图系统模拟结构图（2）系统如图所示。题3-1（2）图系统模拟结构图（3）系统如下式： 1122331122311021010000200000x x x a u x x b x x y c d x y x ?????-?????? ? ??? ? ?=-+ ??? ? ? ??? ? ?-?????? ??? ?????? ?= ? ? ????? ??? 3-2* 时不变系统：

311113111111x x u y x ? -????=+ ? ?-??????= ?-?? 试用两种方法判别其能控性与能观性。 3-3 确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数,i i αβ。（1）0∑()1201,,1101A b C αα????===- ? ????? （2） ()230021103,,001014A b C ββ???? ? ?=-== ? ? ? ?-???? 3-4* 线形系统的传递函数为： ()()32102718 y s s a u s s s s +=+++ （1）试确定a 的取值，使系统为不能控或不能观的。（2）在上述a 的取值下，求使系统为能控状态空间表达式。（3）在上述a 的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。 3-5* 试证明对于单输入的离散时间定常系统(,)T G h =∑，只要它是完全能控的，那么对于任意给定的非零初始状态0x ，都可以在不超过n 个采样周期的时间内，转移到状态空间的原点。 3-6 已知系统的微分方程为： 61166y y y y u ?????? +++= 试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。 3-7 已知能控系统的状态方程A,b 阵为： 121,341A b -????== ? ????? 试将该状态方程变换为能控标准型。 3-8已知能观系统的状态方程A,b ，C 阵为： ()112,,11111A b C -????===- ? ????? 试将该状态空间表达式变换为能观标准型。 3-9 已知系统的传递函数为： 2268()43 s s W s s s ++=++

能控性及能观测性

第三章：控制系统的能控性及能观测性(第五讲) 内容介绍：能控性和能观测性定义、判据、对偶关系、标准型、结构分解。能控性和能观测性是现代控制理论中最基本概念，是回答：“输入能否控制状态的变化”及 “状态的变化能否由输出反映出来”这样两个问题。换句话说，能控性是“能否找到一向量u(t)有效控制x(t)变化”。能观测性问题是：“能否通过输出y(t)观测到状态的变化。” 一、能控性定义及判据给出一个多变量系统（多输入、多输出）若系统G(s)在适当的控制u(t)作用下，每个状态都受影响，亦在有限的时间内能使系统G 由任意初始状态转移到零状态，或者说在有限的时间内能使系统由零状态转移到任意指定状态。这说明：输入对状态的控制能力强，反之若 G 的某一状态根本不受影响，那么在有限时间内就无法利用控制使这个状态变量发生变化。说明输入对状态控制能力差。可见：反映输入对状态控制能力的概念是能控性概念。 1．定义：若对系统，在时刻的任意状态x()都存在一个有限的时间区间（ ξ t t ,0）（0 t t ?ξ）和定义在 []ξ t ,t 0上适当的控制u(t),使在u(t)作用下x()=0。则称系统在时刻是状态能控的。如果系统在有定义的时间区域上的每一时刻都能控，称系统为完全能控。 ()x u x 01011012=??? ? ??+???? ??-=考查能控性？状态变量图（信号流图）： y 2 由于u 的作用只影响不影响，故()t x 2为不能控。某一状态不能控，则称系统不能控。 2．判据： u 1 ： y 1 ：

对线性定常系统=Ax+Bu ，若对某一时刻能控，则称系统完全能控。设： p 输出 n n A *、p n B *、n m C * 给出一定理：由=Ax+Bu 所描述的系统是状态完全能控的必要且充分条件为下列n ×np 阵的秩等于n 。 =B AB ……B A n 1 -称为能控性阵。换言之：系统的状态完全能控的必要且充分的条件是能控性阵的秩为n 。定理证明可参考书。状态完全能控称“（A ，B ）能控” 例： u x x ???? ??-+???? ??--=42314310 224310 ?? ??? ??--=A 则系统为二阶，n=2 B AB ……B A n 1 -=????? ?-AB )B (4231=??? ???---7114342 3 1 rankB AB]=2=n 4 231 ≠-有二阶子式秩的确定：最高阶不为0子式的阶次可知：系统的状态能控，称（A ，B ）能控信号流图：顺便：计算的行数小于列数的矩阵的秩时，应用下列关系较方便： rank()=rank(T c c Q Q )T c c Q Q 为方阵其秩计算较简单。利用判定能控性方法被广泛采用。新出现的PBH 秩检验法也可用于能控性判别。 =Ax+Bu y=cx

常微分方程平衡点及稳定性研究

本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。所以我们讨论了通过Liapunov稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型 ()()()() () .1 1N t N t r t N t cN t ττ -- = -- 的平衡点1 x=的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。关键词：自治系统平衡点稳定性全局吸引性 Abstract In this paper,we gived the conceptions of differential equation stability. Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium 1 x=of the following delay single population model ()()()() () .1 1N t N t r t N t cN t ττ -- = -- is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature. Key Words:autonomous system;equilibrium point;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivity