线性代数复习资料
线性代数
一、单选题
1、
下列命题中正确的是
A:对任意可以相乘的两矩阵A和B都满足AB=BA B:n维单位向量组是线性相关的
C:两个非零矩阵的乘积不可能是零矩阵D:相似矩阵有相同的行列式
参考答案：D
2、
以下说法正确的是
A:单个向量必是线性相关的B:单个向量必是线性无关的
C:零向量线性相关，而一个非零向量是线性无关的D:以上说法都不对
参考答案：C
3、
已知四阶矩阵A的秩为4，则A是
A:降秩矩阵B:满秩矩阵
C:不可逆矩阵D:奇异矩阵
参考答案：B
4、
下列命题中错误的是
A:只含有一个零向量的向量组线性相关B:由3个2维向量组成的向量组线性相关C:若一个非零向量组成的向量组线性相关D:两个成比例的向量组成的向量组线性相关
参考答案：C
20、
A:4B:8
C:1D:2
参考答案：B
21、
A:1B:2
C:4D:5
参考答案：D
22、
参考答案：C 24、
A:1B:2
C:4D:5
参考答案：C
25、
A:方程组无解B:方程组只有零解
C:方程组有唯一解D:方程组必有非零解
参考答案：D
26、
A:1B:2
C:3D:6
参考答案：C
27、
A:-1B:0
C:1D:2
参考答案：A
28、
A:0B:1
C:2D:3
参考答案：A
29、
参考答案：D 30、
参考答案：B
31、
参考答案：A 32、
A:0B:1
C:2D:3
参考答案：D
33、
参考答案：B 34、
A:-1B:1
C:2D:0
参考答案：C
35、
A:1B:2
C:3D:-2
参考答案：B 36、
A:1B:-2
C:3D:-6
参考答案：D 37、
A:-6B:6
C:24D:3
参考答案：B 38、
A:10B:5
C:2D:3
参考答案：A 39、
参考答案：C
40、
参考答案：A
41、
参考答案：C 42、
参考答案：C
43、
A:3B:2
C:1D:0
参考答案：B
44、
A:-2B:2
C:-1D:1
参考答案：C
46、
参考答案：A 47、
参考答案：B
48、
参考答案：D 63、
参考答案：A 64、
下列命题中正确的是
参考答案：D
67、
A:1B:2
C:3D:5
参考答案：B
68、
A:-1B:0
C:1D:2
参考答案：A
69、
A:4B:3
C:1D:2
参考答案：D
70、
A:1B:2
C:4D:5
参考答案：B
71、
参考答案：C 72、
参考答案：A
73、
参考答案：A
74、
参考答案：D 75、
对于齐次线性方程组，以下说法正确的是
参考答案：D
76、
A:6B:5
C:3D:1
参考答案：A
77、
A:1B:2
C:3D:-2
参考答案：B
78、
A:3B:2
C:1D:0
参考答案：D
79、
参考答案：A 80、
A:0B:1
C:2D:3
参考答案：C
81、
已知三阶矩阵A的秩为3，则A是
A:降秩矩阵B:奇异矩阵
C:不可逆矩阵D:满秩矩阵
参考答案：D
82、
参考答案：B 83、
A:-2B:2
C:-1D:1
参考答案：A
84、
A:1B:2
C:3D:6
参考答案：D
85、
A:-6B:6
C:54D:3
参考答案：B
86、
A:2B:4
C:8D:-8
参考答案：C
87、
参考答案：A 88、
参考答案：C
89、
参考答案：D
90、
下列矩阵中是对称矩阵的是
参考答案：A 91、
A:0B:1
C:2D:3
参考答案：C
92、
设矩阵A的特征值为1，则3A的特征值为
A:1B:2
C:-3D:3
参考答案：D
93、
n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是
A:矩阵A有n个互不相同的特征向量B:矩阵A有n个互不相同的特征值C:矩阵A有n个线性无关的特征向量D:矩阵A有n个线性相关的特征向量
参考答案：C
94、
参考答案：B 95、
参考答案：A
100、
已知五阶矩阵A的秩为5，则A是
A:满秩矩阵B:奇异矩阵
C:不可逆矩阵D:降秩矩阵
参考答案：A
113、
A:1B:2
C:3D:5
参考答案：C
114、
参考答案：A 115、
参考答案：B
117、
A:解向量B:基础解系
C:通解D:A的行向量
参考答案：A
118、
A:1B:2
C:3D:5
参考答案：C
119、
A:-1B:0
C:1D:2
参考答案：A
120、
A:4B:6
C:1D:2
参考答案：B
121、
参考答案：B
122、
参考答案：A
123、
参考答案：C 124、
A:1B:2
C:3D:4
参考答案：C
125、
A:0B:2
C:1D:3
参考答案：C
126、
参考答案：B 127、
A:3B:2
C:1D:0
参考答案：C
128、
A:0B:1
C:2D:3
参考答案：A
129、
A:1B:2
C:3D:4
参考答案：C
130、
A:6B:5
C:3D:2
参考答案：A
131、
参考答案：B 132、
参考答案：A 133、
参考答案：B 134、
A:1B:2
C:3D:4
参考答案：A
135、
A:-2B:2
C:-1D:1
参考答案：C
136、
A:1B:2
C:3D:0
参考答案：D
137、
A:0B:0.3
C:0.4D:0.5
参考答案：B
138、
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，
线性代数B复习资料
一 一、选择题 1.下列4个矩阵中是行最简形的矩阵有【 】 101100101101(1)000(2)001(3)011(4)012010000000001--???????? ???????????????? ???????????????? （A ）(1)、(2)；（B ）（2）、（3）； （C ）（3）、（4）；（D ）（2）、（3）、（4）. 2.设A 是m n ?矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =的导出方程组，则下列4个命题不正确的有【 】 （1）若有唯一解，则仅有零解。 （2）若有非零解，则有无穷多解。 （3）若无解，则仅有零解。 （4）若有无穷多解，则有非零解； （A ）（1）、（3）； （B ）（1）、（4） ；（C ）（2）、（3） ；（D ）（2）、（4）. 3.设1212101 0,,,24000021B C P A ?? ?? ?? ?? ===???????? -???????? =，则变A 为C 的初等变换过程2121121210(2)(2)240000r r c c ??????+-+-???????????? 可用矩阵乘法表示为【 】 （A ）PAP BP C == ; （B ）T T T P AP BP C == ; （C ）T T PAP BP C == ; （D ）T P AP BP C ==. 4.设,,A B C 矩阵均为3阶可逆矩阵，则下列6个等式中成立的有【 】 111(1)()(); (2)()(3)()T T T AB C A BC AB A B AB B A ---=== (4)(5)(6)(2)2T A A AB A B A A =-=?-=- （A ）(1)、(3)、(5) ；（B ）（2）、（3）、（6）；（C ）（4）（5）（6）；（D ）（2）、（4）、（6）. 5.设[]1,0,2T ξ=是线性方程组0Ax =的解，则下列4个矩阵中，A 有可能是【 】 [] 011102201(1) 2,1,1;(2) ;(3); (4)422.011010011?? --???? ??---?????? -???? ???? （A ）（1）、（2） ； （B ）（1）、（3）； （C ）（2）、（3）； （D ）（2）、（4）.
线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A
线性代数B复习题
线性代数B 复习资料 (一)单项选择题 1．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2 ，则下列各式中可能不成立的是（ A ） (A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1-=A BAB (D)E BA =2 )( 2．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ C ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ D ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定 4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A) 行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展， 它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做 练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联 系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的 概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。 线性代数 一. 单项选择题 1。设A 、B 均为n 阶方阵，则下列结论正确的是 . （a)若A 和B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵 （b ）若A ≠0且B ≠0,则AB ≠0 (c)若AB 是奇异矩阵，则A 和B 都是奇异矩阵 (d ）若AB 是可逆矩阵,则A 和B 都是可逆矩阵 2. 设A 、B 是两个n 阶可逆方阵，则()1-?? ????'AB 等于（ ） （a ）()1-'A ()1-'B (b ） ()1-'B ()1-'A （c ）() '-1B )(1'-A （d ）() ' -1B ()1-'A 3.n m ?型线性方程组AX=b,当r(A ）=m 时，则方程组 。 （a ） 可能无解 (b)有唯一解 (c)有无穷多解 （d ）有解 4.矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 。 (a ）A 可逆 (b)A 有n 个特征值 (c) A 的特征多项式无重根 （d) A 有n 个线性无关特征向量 5。A 为n 阶方阵,若02 =A ，则以下说法正确的是 。 (a ） A 可逆 (b ） A 合同于单位矩阵 (c ） A =0 (d ） 0=AX 有无穷多解 6．设A ,B ，C 都是n 阶矩阵，且满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位矩阵， 则必有（ ） （A ）ACB E = (B)CBA E = (C ）BAC E = (D ） BCA E = 7．若233 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=------=33 32 3131 2322 212113 1211111434343a a a a a a a a a a a a D ( ） （A ）6- （B ）6 （C ）24 （D ）24- 二、填空题 1.A 为n 阶矩阵，|A ｜=3,则|AA '｜= ，｜ 1 2A A -* -|= . 2．设???? ??????=300120211A ,则A 的伴随矩阵=*A ； 3．设A ＝? ? ?? ??--1112，则1 -A ＝ 。 线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D ' 3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩 线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关 于 副 对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式： 证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式； 3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系： 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则， 其中 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立. 第十章线性代数简介 本章知识结构导图 数学家的故事: 阿瑟·凯利简介 (Richmond)，卒于剑桥。17岁时考入剑桥大学的三一学院，毕业后留校讲授数学，几年 内发表论文数十篇。1846年转攻法律学，三年后成为律师，工作卓有成效。任职期间， 他仍业余研究数学，并结识数学家西尔维斯特(Sylvester)。1863年应邀返回剑桥大学 任数学教授。他得到牛津大学、都伯林大学和莱顿大学的名誉学位。1859年当选为伦敦 皇家学会会员。 凯利和西尔维斯特同是不变量理论的奠基人。在布尔1841年的工作的影响下，他首 创代数不变式的符号表示法，给代数形式以几何解释，然后再用代数观点去研究几何学。他第一次引入n 维空间概念，详细讨论了四维空间的性质，为复数理论提供佐证，并为射影几何开辟了道路。他还首先引 入矩阵概念以化简记号，规定了矩阵的符号及名称，讨论矩阵性质，被公认为矩阵论的奠基人。他开始将 矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利 认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式 的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的 研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。 凯利还提出了凯利-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿 证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius）于1898年 给出的。 本章小结 本章主要掌握行列式、矩阵的概念及运算，逆矩阵、矩阵方程、线性方程组的求解。 一、行列式的定义与性质 1. 一阶行列式：1111a a =；二阶行列式： 1112 112212212122 a a a a a a a a =-； 三阶行列式： 111213 22 23212321222122 2311121311111212131332 3331333132313233 111213111112121313111112121313 (1)(1)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a M a M a M a a a a a a a a a a M a M a M a A a A a A +++=-+=-+=-+-+-=++；其中ij M 为 余子式，ij A 为代数余子式。 2. 性质： (1)任何行列式与它的转置行列式相等,即 D =D T 。 (2)互换行列式的两行（列），行列式变号。 (3)如果行列式有两行（列）相同，则行列式为0。 (4)行列式某一行(列)的各元素乘以同一个数,等于这个数乘以该行列式。 (5)若行列式有两行(列)的元素对应成比例，则行列式为0。 (6)如果某一行(列)元素都是两个数之和，则此行列式就等于两个行列式的和。 (7)行列式的任一行(列)的所有元素乘以同一个数，再加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变。 (8)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。 (9)行列式中的任一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0。 3. 计算方法： (1)二阶、三阶行列式可以根据定义直接计算； (2)选择0元素较多的行（列），按该行（列）展开计算； (3)利用行列式的性质，把某行（列）化为只有一个非零元素，按该行（列）展开计算； (4)利用行列式的性质，化为三角形行列式再进行计算。 二、矩阵及其运算 1. 同型矩阵的线性运算规律：+=+A B B A ；()()++=++A B C A B C ；+=A O A ；()+-=A A O ；()k l k l +=+A A A ；()k k k +=+A B A B ，0,0k l ≠≠。 2. 矩阵乘法的运算规律： ()() =AB C A BC ； ()()=+=+A B +C AB AC,B +C A BA CA ； ()() λλλ=AB A B =A B ； =AE EA=A 。 注意：(1) AB ，只有当A 的列数等于B 的行数时，该乘积才有意义；(2)矩阵乘法不满足交换律；(3)矩阵乘法不满足消去律。 3. 矩阵转置运算规律：()T T =A A ；()T T T =+A+B A B ；()T T λλ=A A ；()T T T =AB B A 。 三、逆矩阵 1. 定义：若AB=E ，则A 、B 互为逆矩阵，记1-=A B ，1-=B A 。 自考高数线性代数笔记 第一章行列式 1.1行列式的定义 （一）一阶、二阶、三阶行列式的定义 （1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。 注意：在线性代数中，符号不是绝对值。 例如，且； （2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为： 所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减 次对角线的乘积） 例如 （3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为 例如=0 三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆 方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。 例如： （1） =1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0 （2） （3） （2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如 例1a为何值时， [答疑编号10010101：针对该题提问] 解因为 所以8-3a=0，时 例2当x取何值时， [答疑编号10010102：针对该题提问] 解：. 解得0 线性代数考试题库及答案 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数10 3 23211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 40 3 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 复习重点： 第一部分 行列式 1． 排列的逆序数（P .5例4；P .26第2、4题） 2． 行列式按行（列）展开法则（P .21例13；P .28第9题） 3． 行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题） 第二部分 矩阵 1． 矩阵的运算性质 2． 矩阵求逆及矩阵方程的求解（P .56第17、18题；P .78第5题） 3． 伴随阵的性质（P .41例9；P .56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P .116） 4． 矩阵的秩的性质（P .69至71；P .100例13、14、15） 第三部分 线性方程组 1． 线性方程组的解的判定（P .71定理3；P.77定理4、5、6、7），带参数的方程组的解的 判定（P.75例13；P .80第16、17、18题） 2． 齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） 3． 非齐次线性方程组的解的结构（通解） 第四部分 向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换） 1．向量组的线性表示 2．向量组的线性相关性 3．向量组的秩 第五部分 方阵的特征值及特征向量 1．施密特正交化过程 2．特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10；P.135第7至13题） 3．矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P .135第15、16、19、23题） 要注意的知识点： 线性代数 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； 线性代数知识点总结 第二章 矩阵及其运算 第一节 矩阵 定义 由m n ?个数() 1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==L L 排成的m 行n 列的数表 11 12 1212221 2n n m m mn a a a a a a a a a L L M M M L 称为m 行n 列矩阵。简称m n ?矩阵，记作111212122 211 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L L L L L L ，简记为() ()m n ij ij m n A A a a ??===，,m n A ?这个数称为的元素简称为元。 说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。 扩展 几种特殊的矩阵： 方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。 记作：A n 。 行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。 同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。 相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。 单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可 表示为E )（课本P29—P31） 注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。 第二节 矩阵的运算 矩阵的加法 设有两个m n ?矩阵() () ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +， 规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++?? ? +++ ? += ? ? +++?? L L L L L L L 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33） 矩阵加法的运算规律 ()1A B B A +=+； ()()()2A B C A B C ++=++ 线性代数复习题 一、判断题 (正确在括号里打√，错误打×) 1. 把三阶行列式的第一列减去第二列，同时把第二列减去第一列，这样得到的新行列式与原行列式相等，亦即 3 3333222221 1111333222111------=c a b b a c a b b a c a b b a c b a c b a c b a . ( ) 2. 若一个行列式等于零，则它必有一行（列）元素全为零，或有两行（列）完全相同，或有两行（列）元素成比例. ( ) 3. 若行列式D 中每个元素都大于零，则D > 0. ( ) 4. 设C B A ,,都是n 阶矩阵，且E ABC =，则E CAB =. ( ) 5. 若矩阵A 的秩为r ，则A 的r －1阶子式不会全为零. ( ) 6. 若矩阵A 与矩阵B 等价，则矩阵的秩R (A ) = R (B ). ( ) 7. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合. ( ) 8. 若向量组s ααα,...,,21线性相关，则1α一定可由s αα,...,2线性表示. ( ) 9. 向量组s ααα,...,,21中，若1α与s α对应分量成比例，则向量组s ααα,...,,21线性相关. ( ) 10. )3(,...,,21≥s s ααα线性无关的充要条件是：该向量组中任意两个向量都线性无关. ( ) 11. 当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时，此齐次线性方程一定有非零解. ( ) 12. 齐次线性方程组一定有解. ( ) 13. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -λ为1-A 的特征值. ( ) 14. 方程组()A λ-=E x 0的解向量都是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量. ( ) 15. n 阶方阵A 有n 个不同特征值是A 可以相似于对角矩阵的充分条件. ( ) 16. 若矩阵A 与矩阵B 相似，则R R =A B ()(). ( ) 二、单项选择题 1. 设行列式 , ,21 23 121322 21 1211n a a a a m a a a a ==则行列式 =++23 2221 131211a a a a a a ( ) n m + )A ( )( )B (n m +- m n - )C ( n m - )D ( 2. 行列式7 012156 83的元素21a 的代数余子式21A 的值为 ( ) 33 )A ( 33 )B (- 56 )C ( 56 )D (- 行列式 1．为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2．《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3．《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4．如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5．什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6．什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7．什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。数4与5，数1与2不构成逆序。 8．什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。 9．什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。 答：逆序数为奇数的排列叫奇排列；逆序数为偶数的排列叫偶排列。例如：排列45312为偶排列。 10．对换一个排列中的任意两个数，该排列的奇偶性有什么变化？【知识点】：排列的对换对排列的奇偶性的影响。 答：对换一个排列中的任意两个数，奇排列就变成偶排列，偶排列就变成奇排列。例如：偶排列45312对换4与3，则变成排列35412，它的逆序数为7，排列35412是奇排列。 11．任一个n阶排列与标准排列可以互变吗？【知识点】：n阶排列与标准排列的关系。 答：可经过一系列对换互变。且所做对换的次数与排列具有相同的奇偶性。例如：排列32541的逆序数是6，因而是偶排列，它经过2次对换：3与1对换后变为12543，再对换5 ? ∑??-= ???????= pn p p n n nn n n n n p a p a p a a a a a a a a a a D 21221121 2222111211 ) 1(逆序数 （1）行列中两个数一次对换改变奇偶性 （2）全部n （n ≥2）级排列中奇偶各占一半， 2 ! n 个；n!项相加，每项n 个数相乘 ? 行列式性质： （1）D=D T （2）某行（列）提公因数k 出来 （3）任意互换两行（列），值变号，r 行j 列 （4）两行（列）元素成比例，D=0 （5）某一行（列）全为0，D=0 （6）可拆 （7）某一行（列）×k ＋另一行（列），值不变 ? 反对称行列式：0 0?---???????--??-?=y x n c b c a n b a D =0 ? 余子式：划去a ij ，所剩M ij ；代数余子式：A ij =(-1)i+j M ij ? D=a i1A i1+a i2A i2+……+a in A in （按行展开） D=a 1j A 1j +a 2j A 2j +……+a nj A nj （按列展开） （1）各元素与其代数余子式乘积的和 （2）某一行（列）元素×另一行（列）对应代数余子式之和=0 ? 上（下）三角：n ab n b a D ?=? = ? 副对角：n ab a b n D n n ?-=? = -2 )1() 1( ? 范德蒙： 的乘积所有满足)(1)(11111 12 112 222121i j n j i i j n n n n n n x x n j i x x x x x x x x x x x -≤≤≤=-=?? ? ??????????∏≤≤≤--- ? 拉普拉斯展开式： b a b c a c b a =O = O 线性代数总结归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 行列式 1．为何要学习《线性代数》 学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2．《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3．《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4．如何学习《线性代数》 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5．什么是一个n阶全排列【 知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6．什么是标准排列【 知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7．什么是n阶全排列的逆序【 知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。数4与5，数1与2不构成逆序。 8．什么是n阶排列的逆序数【 知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。 9．什么是奇排列和偶排列【线性代数总结归纳
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