大二线性代数复习资料2
09级《线性代数》（A ）阶段练习题（二）
一、填空题
1.矩阵11313134,1598A --??
?
=-- ? ?--??
则()R A =2.
解:113111311131313404670467,()2159804670000A R A ------?????? ? ? ?
=-----= ? ? ? ? ? ?----?????? .
2.设12243,311A t
B -?? ?
= ? ?-??
为三阶非零矩阵，且AB O =,则3t =-. 解:A 定非可逆阵,因此1
2
2
437210,331
1
A t
t t -==+=?=--.
3.若四阶矩阵A 的秩()2,R A =则*()0R A =.（见证明题5）
4.已知向量组1234,,,αααα线性无关，1123224,k βαααβαα=++=+,
323442342,2k k βαααβααα=++=-+,则当k =2时，1234,,,ββββ线性相关.
解:
()()()123412341234100012,,,,,,,,,1020
1
11k k K k ββββαααααααα??
? ?
== ?
- ???
，
若矩阵K 非奇，则1234,,,ββββ线性无关.而
1000
212022(2)0,2102
111
0111
k k
k k
K k k k k =
=-=-=?=-.
5.若向量组123,,ααα线性无关，则向量组12323323,2,αααααα+++线性 无关.
解:
123233123100(23,2,)(,,)210323ααααααααα??
?
+++= ? ???
而100
21010,321K ==≠K 为非奇矩阵，故向量组123233
23,2,αααααα+++线性无关.
6.若向量组1234,,,αααα线性无关，向量组12233441
,,,αααααααα++++线性相关.
解:
()()1223344112341
0011100,,,,,,0110001
1αααααααααααα?? ? ?++++= ? ???
, 其中1001
1001101
100
1100111100110
0110010
01
1
K =
=-=-=,故向量组12233441,,,αααααααα++++线性相关.
7.向量组123(1,1,0),(2,0,1),(2,5,),T
T T t ααα==
=
当3
2
t =-
时3α可由12,αα线性表示.
解: 12,αα线性无关，只有当向量组123,,ααα线性相关时3α可由12
,αα线性表示.此时
123122
3,,1052520,2
01
t t t
ααα==--==-
. 8.线性方程组1342
3424603690x x x x x x -+=??+-=?的基础解系为122323,1001ξξ-???? ? ?- ? ?== ? ? ? ?????. 解：对方程组的系数阵进行初等变换
2046102303690123--????
? ?--????
原方程组与1342342323x x x x x x =-??=-+?同解，令34x x ?? ???取10?? ???和01??
???
，可得方程组的基础解
析()()122210,3301T T
ξξ=-=-.
9.四元方程组Ax b =中()3R A =，123,,ααα是它的三个解.其中
123(2,0,3,2),23(5,8,8,4)T T ααα=+=,则方程组Ax b =的通解为5280
7362c -????
? ? ? ?+ ? ?- ? ?-????
.
解:()3R A =，0Ax =存在基础解系(只有一个线性无关的解向量).
231231(235)2352350A A A A b b b αααααα+-=+-=+-=
231510580823581574106ααα-?????? ? ? ? ? ? ?+-=-=
? ? ?- ? ? ?-??????
是0Ax =的基础解系. Ax b =的通解为52807362c -???? ? ? ? ?+ ? ?- ? ?-????
. 10.向量空间22{(0,,,)|,,}T n n V x x x x x R ==∈ 的维数是1n -. 二、选择题
1.下列矩阵中（C ）是初等矩阵.
101001100110()020;()014;()014;()011001100001001A B C D ???????? ? ? ? ?-- ? ? ? ? ? ? ? ?????????
.
2.设0,0,1,2,3,4,i i a b i ≠≠=矩阵
11
121314212223243132333441
42
43
44a b a b a b a b a b a b a b a b A a b a b a b a b a b a b a b a b ??
? ?
= ? ???
，则矩阵A
的秩()R A =（A ）.
()1;
()2;
()3;
()4A B C D .
事实上()12123
434,()1a a A b b b b R A a a ??
? ?== ? ???
.
3.向量组1234,,,αααα线性无关，以下(D )组向量线性无关.
1223344112233441(),,,;(),,,;A B αααααααααααααααα++++---- 1223344112233441(),,,;(),,,C D αααααααααααααααα++--+++-.
1001100110011100
1100
1100
0,0,
0,011001100110001100110011
---===---
10011100
11201100
11
-=+=.因此应选()D . 4.向量组123,,ααα线性无关，112223331,,t βααβααβλαα=-=-=-也线性无关，则,t λ满足()B .
();();()1;()2A t B t C t D t λλλλ=≠==≠.
事实上12312310(,,)(,,)11001t βββαααλ-??
?
=- ? ?-??
,而10110001t t λλ--=-≠-，
即t λ≠.故应选()B .
5.矩阵12324369Q t ??
?
= ? ???
,P 为三阶非零矩阵且PQ O =,则有()C .
()6()1;()6()2A t R P B t R P ====时,时,； ()6()1;
()6()2C t R P D t R P ≠=≠=时,时,.
将矩阵P 按列分块为12312
3(,,),24
,369P p p p Q t P O ??
?==≠ ? ???
.当6t =时()1R Q =，()R P 可以是1，也可以是2.()()A B 、
断言()1()2R P R P ==或并无依据.当6t ≠时，()2R Q =.Q 的诸列均为0Px =的解，其一、三列线性无关，即
0Px =有两个线性无关的非零解，当有()1R P ≤；又因P O ≠,又有()1R P ≥,
因此必有()1R P =.选()C .
6.齐次线性方程组0Ax =(A 为m n ?矩阵)仅有零解的充分必要条件是
()B .
();();A A B A 的列向量组线性相关的列向量组线性无关 ();
()C A D A 的行向量组线性相关的行向量组线性无关.
事实上()()()A C D 、
、可能无解. 7.齐次线性方程组1234123
123412420
2024220330
x x x x x x x x x x x x x x -++=??--=??-+--=??-+=?的基础解系中有( )线性无
关的解向量.
();();();()A B C D 一个两个三个四个.
1211121121100332,4,()22422000033010000n R A --????
? ?---- ? ?== ? ?--- ? ?-???? ,因此基础解系中有两个线性无关的解向量，选()B .
8.设有线性方程组(1)Ax b =和对应的齐次线性方程组0(2)Ax =则必有
()B .
()(1);()(1);A B 若有无穷多解则(2)仅有零解若仅有唯一解则(2)仅有零解
()(2);()(2)C D 若有非零解则(1)有无穷多解若仅有零解则(1)有唯一解. 9.已知n 元线性方程组Ax b =,系数阵的秩()2R A n =-,123,,ααα是方程组线性无关的解，则方程组的通解为()D .(12,c c 为任意常数)
11222111132233()()();()()()A c c B c c αααααααααα-+++-+++；
12323221232213()()();()()()C c c D c c αααααααααα-+++-+-+. 10.由3R 的基123,,ξξξ到基11232123323,2,αξξξαξξξαξξ=-+=++=-的过渡矩阵为()D .
111101111110()011;()113;()112;()111132112011121A B C D --????????
? ? ? ?--- ? ? ? ? ? ? ? ?-----????????
. 三、计算题
1.矩阵218
37230
753258010320A ??
?--
?
= ?
-
???
,求矩阵A 的秩，写出A 的一个最高阶非零
子式.
解:
2183710
3202307501
21732580
03635103
2002
420A ????
?
?
---
? ?
= ? ?----
?
?
--???? 103201
0320012170
1210(*)0000160
00010
00140
00
0???? ?
?-- ? ?
? ? ?
?????
由(*)知()3R A =.A 的1,2,4行1,2,5列所在的三阶子式2
1
7
235160100
--=≠.
2.给定向量组:123(1,2,3,1),(3,1,2,4),(1,2,1,3),T T T ααα==--=-
45(2,3,1,5),(2,1,5,4)T αα=-=.
(1)求向量组12345,,,,ααααα的秩，并判断该向量组的线性相关性； (2)求该向量组的一个最大无关组,并把其余向量用最大无关组线性表示. 解:
1234513122131222123
107473(,,,,)321150747114354074
72ααααα----????
?
?
---
? ?
= ? ?--
?
?
--????
51
3
1201
10131227
40747340
1100110(*)77
000020
0001000010
00050
000000000?
?--?? ?--??
?
?
?
?----
? ?-- ? ? ? ?
?
? ? ?
??? ?????
由(*)知12345(,,,,)3R ααααα=,向量组线性相关.125,,ααα是向量组的
一个最大无关组，且有：31241254
;77
αααααα=-=-.
3.已知123(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1)T T T a ααα===-+，
4(1,2,4,8),(1,1,3,5),T T a b αβ=+=+
(1)当,a b 为何值时,β不能表示为1234,,,αααα的线性组合；
(2)当,a b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一线性表达式，写出该表达式. 解:设1234(,,,),A αααα=
1
1111111110
11210
1121()232430
1213
518502252A a b a b a a β????
? ?
--
? ?
= ? ?
+++ ? ?
+-+????
1021001121001210
001
2a b a -?? ?- ?
?
++ ?+??
(*) (1)当1,0a b =-≠时，()23(,)R A R A β=≠=,方程组Ax β=无解.故β不
能表示为1234,,,αααα的线性组合.
(2)当1a ≠-时，()4(,)R A R A β==,方程组Ax β=有唯一解.由Cramer 法则可得：12341,,,0111
b a b b x x x x a a a ++=-
===+++.此时β有1234,,,αααα的唯一线性表达式：
1231111
b a b b a a a βααα++=-
+++++. 4.设22139528A -??= ?-??
,求一个42?矩阵B ，使AB O =，且()2R B =.
解:设1
12122(2,1,1,3),(9,5,2,8),,,T T T T A αααββα??=-=-= ???
均为方程组
0Ax =的解.
2213221313249528132408511A ----??????= ? ? ?----??????
111324108851151101018
888?
?---
?? ? ? ? ?
-- ?
?-- ??
??
? (*) 与(*)对应的方程组为134
234118851188x x x x x x
?
=-????=+??，令34x x ?? ???取10?? ???和01?? ???，得到方程组的基
础解系1215111
(,,1,0),(,,0,1)8888
T T ββ==-,显然12,ββ线性无关,令
1212(,),()(,)2B R B R ββββ===,且有AB O =.
5.向量组12,,,s ααα 线性无关,1122231,,,,s s βααβααβαα=+=+=+ 试讨论向量组12,,,s βββ 的线性相关性.
解:设有数12,,,s k k k 使得11220s s k k k βββ+++= ,即有：
111221()()()0s s s s k k k k k k ααα-++++++= .
由于12,,,s ααα 线性无关,故必有
111000
s s
s k k k k k k +=??+=??
??+=? (*) 方程组(*)的系数行列式
11001
1100
2,1(1)01100,0001
s s D s +?==+-=??
当为奇数
当为偶数.
当s 为奇数时，20D =≠,方程组(*)只有零解，12,,,s k k k 必全为零,向量组12,,,s βββ 的线性无关；当s 为偶数时，0D =,方程组(*)有非零解，即存在不全为零的数12,,,s k k k 使11220s s k k k βββ+++= ,向量组
12,,,s βββ 线性相关.
6.用基础解系表示方程组123412341
2342320
3542087630
x x x x x x x x x x x x --+=??
++-=??++-=?的通解.
解:对方程组的系数阵施行初等行变换
232123211
8633542186301914787630191470000A -----?????? ? ? ?=---- ? ? ? ? ? ?--??????
2110
1863191914714
7
0101(*)191919
1900000000?
?-
?-??
? ? ? ?-- ? ? ? ??? ? ??
?
（*）所对应的方程组为134234211919
1471919x x x x x x ?=-+????=-+??与原方程组同解.令
341001x x ?????? ? ? ?????
??取和,得到基础解系：12
2417(,,1,0),(,,0,1)19191919T
T ξξ=--=.原方
程组的通解为：112212(,x c c c c ξξ=+为任意实数).
7.用对应的齐次方程组的基础解析表示方程组123412341
234221
245224
x x x x x x x x x x x x +-+=??
+++=??---+=-?的
通解.
解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换
152311152311(,)5361102841456242160142728A b ----????
? ?
=---- ? ? ? ?---????
9110115231172
1
111
012012(*)7272
000000000
0??-
?--?? ?
?
? ?---- ? ?
? ??
? ? ???
由(*)知()(,)2R A R A b ==，方程组有解.
(*)所对应的方程组为134********
112
72x x x x x x ?=-++????=--??,令340,0x x ????= ? ?????得到方程组的特解
*(1,2,0,0)T η=-.原方程组所对应的齐次方程组与1342349172
1172x x x x x x ?
=-+???
?=-??同解.令341001x x ??????
? ? ?????
??取和，得到对应齐次方程组的基础解系: 129111(,,1,0),(,,0,1)7722
T T ξξ=-=-
原方程组的通解为：
*112212(,x c c c c ηξξ=++为任意实数). 8.给定线性方程组
12341234
23412343225212633111544
x x x x x x x x x x x x a x x x x +--=??-++=-??
+--=+??--++=-?, 当a 为何值时方程组有解? 在有解的情况下,求其全部解.
解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换
3112
21521115211016755(,)2633101675311154
4016755A b a a ----???? ? ?----
? ?= ? ?--+--+ ? ?
-----???? 39
91015
21116
16160167557
5501(*)161616000020000200
00000000a a ?
?-
-
?
--?? ?
?
-- ?
?-
- ?
?
- ?
?- ??? ??
?
当2a =时，()(,)2R A R A b ==,方程组有解.(*)对应的方程组为
134234399161616
755161616x x x x x x ?
=++???
?=++??
令340,0x x ????= ? ???
??得到方程组的特解*95
(,,0,0)1616T η=.与原方程组对应的齐次方
程组与134
234391616751616x x x x x x ?
=+????=+??
同解，令341001x x ?????? ? ? ???????取和，得到对应齐次方程组的基
础解系:
123795
(
,,1,0),(,,0,1)16161616
T T ξξ== 原方程组的通解为：
*112212(,x c c c c ηξξ=++为任意实数).
9.当,a b 取何值时，线性方程组12341234
1234234231
363315351012x x x x x x x x x x ax x x x x x b
+++=??+++=??--+=??--+=?无解，有唯一解，
有无穷多解? 在方程组有无穷多解时，用对应的齐次方程组的基础解系表示方程组的通解.
解: 对方程组的增广矩阵施行初等行变换
11
23111231136
1302422(,)31153046601510
12
061291A b a a b b ????
?
?-
? ?
= ? ?-----
?
?-----????
11
2311
004
0012110
1211(*)04660
0022406
12910
003
1a a b b ????
? ?--
? ?
? ?----+
? ?----????
当2a ≠时，()(,)R A R A b =，无论b 取何值，方程组有唯一解. 当2,1a b =≠时
1
004001211(*)000120
00
01b ??
?
-
?
= ?
?
-??
此时()34(,)R A R A b =≠=,方程组无解.
当2,1a b ==时，
10040100080121101203(*)00012000120
000
000000-????
? ?
- ? ?
= ? ?
? ?
????
()(,)34R A R A b ==<,方程组有无穷多解.此时原方程组与1234
8322x x x x =-??
=-??=?同解,令
30x =,得到方程组的特解：*(8,3,0,2)T η=-.与原方程组对应的齐次方程组与
1234
20x x x x =??=-??=?同解，令31x =，可得基础解系：(0,2,1,0)T
ξ=-. 方程组的通解为：*(x c c ηξ=+为任意实数). 10.已知3R 的两个基为
1231231111231,0,02,3,4111143αααβββ???????????? ? ? ? ? ? ?====== ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-????????????
及，
求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵P .
解:设123123(,,),(,,),A B αααβββ==,A B 的列向量组是两个基,因此矩阵
,A B 均为可逆矩阵.设123123(,,)(,,)P βββααα=,过渡矩阵1P A B -=.
11112311112
3(,)10023401
1111111143020020A B ????
?
?
=--- ? ? ? ?--????
10023
4100234011111010010002202001101???? ? ?---- ? ? ? ?----????
因此从基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵234010101P ??
?
=- ? ?--??
.
四、证明题
1.设A 为列满秩矩阵，AB C =,证明线性方程0Bx =与0Cx =同解.
证:若ξ是0Bx =的解,当有0B ξ=,于是()00C A B
A ξξ===.这说明0Bx =的解必为0Cx =的解；若η是0Cx =的解，()0,A
B
C ηη==矩阵A 列满
秩，由(77P 定理4的逆否命题)方程组0Ay =只有零解，即0,B y η==说明
0Cx =的解也是0Bx =的解，因此线性方程组0Bx =与0Cx =同解.
2.设A 为m n ?矩阵，证明方程m AX E =有解的充分必要条件是()R A m =.
证:由于(,)
m R A E m
=,根据77P 定理6方程m
A X E =有解
()(,)m
R A R A E m ?==. 3.设12,,,n ααα 是一组n 维向量，已知n 维单位坐标向量12,,,n e e e 能由它们线性表示，证明12,,,n ααα 线性无关.
证:设12(,,,)n A ααα= ,A 是n 阶方阵,12(,,,)()n R R A n ααα=≤ (*).题设12,,,n e e e 能由12,,,n ααα 线性表示，由85P 定理6又有
1212(,,,)(,,,)n n n R e e e R ααα=≤ (**)
由(*)和(**)知12(,,,)n R n ααα= ，故12,,,n ααα 线性无关. 4.设n 阶矩阵A 满足2,A A E =为n 阶单位阵，证明()()R A R A E n +-=. 证:由于()A E A E +-=,由矩阵的秩的性质6，()()()n R E R A R E A =≤+-,
而()()R E A R A E -=-，故有()()R A R A E n +-≥(*) ；另由2A A =可得()A A E O -=，根据矩阵的秩的性质8，又有()()R A R A E n +-≤(**).从(*)和
(**)知有()()R A R A E n +-=.
5.设A 为n 阶矩阵(2)n ≥，*A 为A 的伴随矩阵，证明
*,()()1,()10,()2n R A n R A R A n R A n =??
==-??≤-?
当当当.
证:若(),R A n A =满秩必非奇，*1||0,||||0,n A A A -≠=≠*A 非奇必满秩，因此*()R A n =.
若()1,||0R A n A =-=.但A 中至少有一个非零的1n -阶子式，即*A 中至少有一个非零元，因此*()1R A ≥(*).另一方面有
*||||||A A AA O A ?? ?
?== ? ?
??
由矩阵的秩的性质8，*()(),R A R A n +≤即有*()1R A ≤(**).由(*)和(**)便知必有*()1R A =.
若()1,R A n A <-中任意1n -阶子式均为零，即*A 中所有元素均为零，*A 是个零矩阵.故有*()0R A =.
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，
线性代数详细知识点
线性代数 第一章 行列式 §1 二阶和三阶行列式 一、二元一次线性方程组与二阶行列式 结论：如果112212210a a a a -≠，则二元线性方程组 1111221 2112222 a x a x b a x a x b +=??+=? 的解为 122122*********b a a b x a a a a -= -，112121 2112121 a b b a x a b b a -=-。 定义：设11122122,,,a a a a ，记11221221a a a a -为 11122122a a a a 。称1112 2122 a a a a 为二阶行列式 有了行列式的符号，二元线性方程组的求解公式可以改写为 1 122221111221 22 b a b a x a a a a = ，111 122 2111221 22 a b a b x a a a a = 二、三阶行列式与三元一次线性方程组 定义：11 121321 222331 32 33 a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++--- 定理：如果11 1213 21 22233132 33 0a a a D a a a a a a =≠，则***1 23(,,)x x x 是下面的三元线性方程组的解
111122133121122223323113223333 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++=?? ++=??++=? 当且仅当 *1x =1 12132 22233 3233 /b a a b a a D b a a ,* 2x =111132122331 3 33 /a b a a b a D a b a ,* 3 x =111212122231 32 3 /a a b a a b D a a b 其中11 1213 21 222331 32 33 a a a a a a a a a 为系数行列式。 证明：略。 性质1：行列式行列互换，其值不变。即11 121311213121 222312 223231 32 33 13 23 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a =。 性质2：行列式某两行或列互换，其值变号。例如 11121321222321222311 121331 32 33 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 推论：行列式有两行相同，其值为零。 性质3：行列式某一行的所有数乘一常数等于行列式乘该常数。例如 11121311121321222321 222331 32 33 31 32 33 a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论：行列式某一行或列的公因数可以提到行列式外面。 推论：行列式有一行全为零，其值为零。 性质4：行列式有两行成比例时，其值为零。 性质5：行列式关于它的每一行和每一列都是线性的。例如
线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A
线性代数总结归纳
行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展， 它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做 练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联 系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的 概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '
3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩
线性代数知识点归纳
线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关 于 副 对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1
⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆
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线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式： 证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；
3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系： 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则， 其中 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式
线性代数知识点全归纳
线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；
线性代数知识点总结第二章doc资料
线性代数知识点总结 第二章 矩阵及其运算 第一节 矩阵 定义 由m n ?个数() 1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==L L 排成的m 行n 列的数表 11 12 1212221 2n n m m mn a a a a a a a a a L L M M M L 称为m 行n 列矩阵。简称m n ?矩阵，记作111212122 211 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L L L L L L ，简记为() ()m n ij ij m n A A a a ??===，,m n A ?这个数称为的元素简称为元。 说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。 扩展 几种特殊的矩阵： 方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。 记作：A n 。 行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。 同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。 相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。 单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可 表示为E )（课本P29—P31） 注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。 第二节 矩阵的运算 矩阵的加法 设有两个m n ?矩阵() () ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +， 规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++?? ? +++ ? += ? ? +++?? L L L L L L L 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33） 矩阵加法的运算规律 ()1A B B A +=+； ()()()2A B C A B C ++=++
最全线性代数公式笔记
线性代数公式必记 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；
线性代数知识点整理
? ∑??-= ???????= pn p p n n nn n n n n p a p a p a a a a a a a a a a D 21221121 2222111211 ) 1(逆序数 （1）行列中两个数一次对换改变奇偶性 （2）全部n （n ≥2）级排列中奇偶各占一半， 2 ! n 个；n!项相加，每项n 个数相乘 ? 行列式性质： （1）D=D T （2）某行（列）提公因数k 出来 （3）任意互换两行（列），值变号，r 行j 列 （4）两行（列）元素成比例，D=0 （5）某一行（列）全为0，D=0 （6）可拆 （7）某一行（列）×k ＋另一行（列），值不变 ? 反对称行列式：0 0?---???????--??-?=y x n c b c a n b a D =0 ? 余子式：划去a ij ，所剩M ij ；代数余子式：A ij =(-1)i+j M ij ? D=a i1A i1+a i2A i2+……+a in A in （按行展开） D=a 1j A 1j +a 2j A 2j +……+a nj A nj （按列展开） （1）各元素与其代数余子式乘积的和 （2）某一行（列）元素×另一行（列）对应代数余子式之和=0 ? 上（下）三角：n ab n b a D ?=? = ? 副对角：n ab a b n D n n ?-=? = -2 )1() 1( ? 范德蒙： 的乘积所有满足)(1)(11111 12 112 222121i j n j i i j n n n n n n x x n j i x x x x x x x x x x x -≤≤≤=-=?? ? ??????????∏≤≤≤--- ? 拉普拉斯展开式： b a b c a c b a =O = O
《线性代数》知识点 归纳整理
《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 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线性代数知识点总结
《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩 （1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵 （1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）
线性代数知识点总结
一、行列式 1.排列：由个不同数码1,2，……，组成的有序数组 12…… n。 2.逆序：在一个级排列 12…… n 中，如果有较大的数 t 排在较小的数 s 前面， 则称与构成一个逆序。一个级排列中逆序的总数称为它的逆序数，逆序数是奇数称为奇排列，是偶数或0称为偶排列。 3.定理1：任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。定理2：个数码（>1） 共有！个级排列，其中奇偶排列各占一半。 4.用2个元素(=1,2, ……)组成的记号 称为阶行列式，其中横排称为行，纵排称为列。称为第行第列的元素，阶行列式表示所有可能取自不同的行，不同的列的个元素乘积的代数和，一般项可以写为 其中 12…n 构成一个级排列，当 12…n 取遍所有的级排列时，则得到阶 行列式表示的代数和中所有的项。 5.主对角线：行列式中从左上角到右下角的对角线。 6.主对角线右上方元素全为0的行列式为下三角行列式，左下方元素全为0 为上三角行列式，主对角线左上方和右上方元素全为0，主对角线上元素不全为0的行列式为对角行列式，它们的值均等于主对角线上元素的乘积。 7.行列式性质1 行列式转置，值不变，即D T=D
8.性质2 交换行列式的两行（列），行列式的值变号，即D 1 =D。 9.性质3 用数乘行列式的某一行（列），等于数乘此行列式 ,即D 1 =D。10.性质4 若将行列式中某一行（列）的每一个元素写成两个数的和，则此行 列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列） 对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同，即D=D 1+D 2 11.推论：①若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式值为0。 ②若行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则此行列式值为0。 ③若行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可提到行列式外面。 ④将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数后加到另一行（列）对应位 置的元素上，行列式值不变。 12.余子式M:在阶行列式D=||中去掉元素所在的第行第列后，余 下的-1阶行列式。 13.代数余子式A：在余子式M前添加符号（-1）i+j。 14.阶行列式D=||等于它的任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式 乘积的和。 15.克莱姆法则：线性方程组当其系数行列式D≠0时，有且仅有唯一解，特殊： 齐次线性方程组当其系数行列式D≠0时，有且仅有零解，D=0时，有非零 解。 二、矩阵 1.矩阵：由m×n个数（=1，2，…,m;=1, 2, …, n）按一定次序排列成 的一个m行n列的矩形表。