三角形全等(双垂直型)

三角形全等—垂直型

1.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC上的中线，过C作CF⊥AE，

垂足为F点，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D点．

⑴求证：AE=CD；

⑵若AB=2

2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

⑴证明：△BDF是等腰直角三角形．

⑵猜想线段AD与CF之间的关系并证明．

3.直线CD经过∠BCA顶点C，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．

⑴若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请填空：

①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则EF |BE-AF|

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，

使①中的结论仍然成立，并证明．

⑵如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条

4.如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE ，GC ．

⑵将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使点E 落在BC 边上，如图2，连接 AE 和GC ．你认为⑴中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

5.如图1，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、

C 分别在DG 和DE 上，连接AE ，BG ．

⑵将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），

①判断⑴中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；

②若BC=DE=4，当AE 取最大值时，请画出正方形DEFG 旋转后的图形，并且求AF 的值．

C B A

6.已知如图1，点P 是正方形ABCD 的BC 边上一动点，AP 交对角线BD 于点E ，过点B 作BQ ⊥AP 于G 点，交对角线AC 于F ，交边CD 于Q 点．

⑴小聪在研究图形时发现，当P 点在运动时，总有BP 与CQ 相等，你知道其中的理由吗？

⑵小明在研究过程中连接PF ，提出猜想：在点P 运动过程中，是否存在∠APB=∠CPF ？若存在，点P 应满足何条件并说明理由；若不存在，为什么？

7.如图，在四边形OGPH 中，OG=OH ，∠GOP=∠GPH=90°，

若OP=2，则四边形OGPH 的面积等于

8.已知：四边形ABCD 是正方形，点E 在CD 边上，点F 在AD 边上，且AF=DE ． ⑴如图1，判断AE 与BF 有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明； ⑵如图2，对角线AC 与BD 交于点O ．BD ，AC 分别与AE ，BF 交于点G ，点H ．

．

H

P

G 0

初中数学三角形全等常用几何模型及构造方法大全(初二)

初二数学三角形全等 常用几何模型及构造方法大全 掌握它轻松搞定全等题！ 全等是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握~ 全等变换类型： （一）平移全等：平行等线段（平行四边形） （二）对称全等模型：角平分线或垂直或半角 1：角平分线模型； 2：对称半角模型； （三）旋转全等模型：相邻等线段绕公共顶点旋转 1. 旋转半角模型 2. 自旋转模型 3. 共旋转模型 4. 中点旋转

如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE 分析：将△ACE平移使EC与BD重合。B\D，上方交点，左右两个三角形，两边和大于第三边！

1：角平分线模型： 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 2：对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、45+ 22.5°、对称（翻折）15°+30°直角三角形对称（翻折）30+60+90直角三角形对称（翻折） 翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

1. 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 2. 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 3. 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等（共顶点） 4. 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题（专题七） 1、旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 2、自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称

全等三角形的经典模型(一)

作弊？ 漫画释义 三角形9级 全等三角形的经典模型（二） 三角形8级 全等三角形的经典模型（一） 三角形7级 倍长中线与截长补短 满分晋级 3 全等三角形的 经典模型（一）

D C B A 45°45° C B A 等腰直角三角形数学模型思路： ⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545??°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4. 图1 图2 图3 图4 思路导航 知识互联网 题型一：等腰直角三角形模型

A B C O M N A B C O M N 【例1】 已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点， ⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要 求证明） ⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明． 【解析】 ⑴OA =OB =OC ⑵连接OA , ∵OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM ∴△ANO ≌△CMO ∴ON =OM ∴∠=∠NOA MOC ∴90∠+∠=∠+∠=?NOA BON MOC BON ∴90∠=?NOM ∴△OMN 是等腰直角三角形 ⑶△ONM 依然为等腰直角三角形， 证明：∵∠BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ∴∠BAO =∠OAC =∠ABC =∠ACB =45°， ∴AO =BO =OC ， ∵在△ANO 和△CMO 中， AN CM BAO C AO CO =?? ∠=∠??=? ∴△ANO ≌△CMO （SAS ） ∴ON =OM ，∠AON =∠COM ， 又∵∠COM -∠AOM =90°， ∴△OMN 为等腰直角三角形． 【例2】 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如 图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的 中点M ，连接ME ，MC ．试判断EMC △的形状，并说明理由． 【解析】EMC △是等腰直角三角形． 典题精练 A B C O M N M E D C B A

全等三角形常见的几何模型

1绕点型(手拉手模型) 遇600旋60°,造等边三角形 遇90°旋90°，造等腰直角遇等腰旋 顶角，造旋转全等遇中点旋1800，造中 心对称 (2)共旋转(典型的手拉手模型) 例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ (1)△ ABE ◎△ DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4)△ AGB ◎△ DFB (5)△ EGB ◎△ CFB (6)BH 平分/ AHC (7)GF // AC 变式练习2、如果两个等边三角形△ ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明: ("△ ABE ◎△ DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4) AE与DC的交点设为H,BH平分/ AHC [D山3 Vi壮-U (I) ? 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明 (1) △ ABE ◎△ DBC (2) AE=DC (3) AE与DC的夹角为60。 (4) AE与DC的交点设为H,BH 平分/ AHC (1自旋转：自旋转构造方法 ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明:

3、(1)如图1,点C是线段AB上一点，分别以AC, BC为边在AB的同侧作等边△ ACM和厶CBN ,连接AN , BM .分别取BM, AN的中点E, F,连接CE, CF, EF.观察并猜想△ CEF的形状，并说明理由. (2)若将(1)中的“以AC , BC为边作等边△ ACM和厶CBN”改为“以AC, BC为腰在AB的同侧作等腰△ ACM和△ CBN，”如图2,其他条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由. B 例4、例题讲解： 1.已知△ ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B,C重合)，以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列)，使/ DAF=60 ° ,连接CF. (1)如图1,当点D在边BC上时，求证：① BD=CF 宓AC=CF+CD. (2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、 CD之间存在的数量关系，并说明理由； ⑶如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。 2、半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起, 成对称全等。 D A D A M x N rt B D 例1、如图，正方形ABCD的边长为1, AB,AD上各存在一点P、0,若厶APQ的周长为2, A P

全等三角形证明中的基本模型

把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型 【引例】如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =． 求证：CF DE = 模块一 平移型全等 知识导航 知识互联网 夯实基础 全等中的基本模型 F E D C B A

【解析】 ∵AC CE ⊥，BD DF ⊥ ∴90ACE BDF ∠=∠=? 在Rt ACE △和Rt BDF △中 AC BD AE BF =?? =? ∴()Rt Rt HL ACE BDF △≌△ ∴CE DF =，AEC BFD ∠=∠ ∴CEF DFE ∠=∠ 在CEF △和DFE △中 CE DF CEF DFE EF FE =?? ∠=∠??=? ∴CEF DFE △≌△ ∴CF DE = 【例1】 如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF = 求证：AFC DEB △≌△ 如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由． 图1 F E D C B A 图2 F E D (C ) B A 图3 F E D C B A 常见轴对称模型 知识导航 模块二 对称型全等 能力提升

【例2】 ⑴如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 和CE 交于点O ，AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（ ） A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 ⑵如图，ABE △和ADC △是ABC △分别沿着AB ，AC 翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________． 【例3】 如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ． 求证：AM AN =． 常见旋转模型： 夯实基础 能力提升 知识导航 模块三 旋转型全等 E D N M C B A 43 2 1 E D C B A D O F E C B A

全等三角形常见的几何模型

1、绕点型（手拉手模型） （1）自旋转：?????? ?，造中心对称遇中点旋 全等遇等腰旋顶角，造旋转 ，造等腰直角 旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法00 00018090906060 （2 ）共旋转（典型的手拉手模型） 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （ 3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △ EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC

变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： (1)△ABE ≌△DBC (2)AE=DC (3)AE 与DC 的夹角为60。 （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC （1）如图1，点C 是线段 AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN ，连接AN ，BM ．分别取BM ，AN 的中点E ，F ，连接CE ，CF ，EF ．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由． （2）若将（1）中的“以AC ，BC 为边作等边△ACM 和△CBN”改为“以AC ，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△CBN ，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例4、例题讲解： 1. 已知△ ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B,C 重合），以AD 为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1) 如图1，当点D 在边BC 上时，求证：① BD=CF ? ②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系。

人教版八年级数学全等三角形的常见模型总结(精选.)

人教版八年级数学全等三角形常见模型总结 要点梳理 全等三角形的判定与性质 类型一：角平分线 模型应用 1.角平分性质模型：（利用角平分线的性质） 辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC 例题解析 例：（1）如图1，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6cm ，BD=4cm ，那么点D 到直线AB 的距离是 cm. （2）如图2，已知，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP 平分∠ BAC. 图1 图2 【答案】①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ） ②21∠=∠Θ，PN PM =∴，43∠=∠Θ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,. 类型二：角平分线模型应用 2.角平分线，分两边，对称全等(截长补短构造全等)

两个图形的辅助线都是在射线OA上取点B，使OB=OA，从而使△OAC≌△OBC. 例题解析 例1：在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。 证明：如图（1）， 过O作OD∥BC交AB于D， ∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°， 又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°， ∴∠ADO=∠AQO， 又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO， ∴△ADO≌△AQO， ∴OD=OQ，AD=AQ， 又∵OD∥BP， ∴∠PBO=∠DOB， 又∵∠PBO=∠DBO， ∴∠DBO=∠DOB， ∴BD=OD， 又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°， ∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°， ∴∠BOP=∠BPO， ∴BP=OB， ∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。 解题后的思考： （1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。 （2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下： ①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。

【2020中考数学专项复习】全等三角形的常见基本模型

【中考专项复习】全等三角形的常见模型 【回归概念】 概念：经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 [1] ，而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。全等三角形是几何中全等之一。 [2] 根据全等转换，两个全等三角形经过平移、旋转、翻折后，仍旧全等。正常来说，验证两个全等三角形一般用边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、和直角三角形的斜边，直角边（HL）来判定。 规律： 全等三角形基本模型： 1.平移模型 2.对称模型 3.旋转模型 4.三垂直模型

5.一线三等角模型 【规律探寻】 构造全等三角形的一般方法 1.题目中出现角平分线 （1）通过角平分线上的某个已知点，向两边作垂线，这是利用角平分线的性质定理或者逆定理来构造的全等三角形 （2）在角平分线的某个已知点，作角平分线的垂线和两边相交，构造全等三角形。 （3）在该角的两边，距离角的顶点相等长度的位置上截取两点，分别连接这两点与角平分线上的某已知点，构造全等三角形 2.题目中出现中点或者中线（中位线） （1）倍长中线法，把中线延长至二倍位置 （2）过中点作某一条边的平行线 3.题目中出现等腰或者等边三角形 （1）找中点，倍长中线 （2）过顶点作底边的垂线 （3）过某已知点作一条边的平行线 （4）三线合一 4.题目中出现三条线段之间的关系 通常用截长补短法，在某条线段上截取一段线段，使之与特定的线段相等，或者将某条线段延长，使之与特定线段相等。这种方法，在证明多条线段的和、差、倍、分关系时，效果非常好。 5.题目中出现垂直平分线

全等三角形常见的几何模型

1、绕点型（手拉手模型） 遇 600旋 60 0，造等边三角形 遇 900旋 900，造等腰直角 （ 1）自旋转：自旋转构造方法 遇等腰旋顶角，造旋转全等 遇中点旋 1800，造中心对称 （2）共旋转（典型的手拉手模型） 例 1、在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD和△ BCE，连接 AE与 CD，证明： （ 1）△ ABE≌△ DBC D （ 2）AE=DC （ 3）AE 与 DC的夹角为 60。E （ 4）△ AGB≌△ DFB H F （ 5）△ EGB≌△ CFB G （6） BH平分∠ AHC （7）GF∥AC A B C 变式练习 1、如果两个等边三角形△ABD和△ BCE，连接 AE 与 CD，证明： （ 1）△ ABE≌△ DBC D （ 2）AE=DC C （ 3）AE 与 DC的夹角为 60。 E （ 4）AE 与 DC的交点设为 H,BH平分∠ AHC A B

变式练习 2、如果两个等边三角形△ABD 和△ BCE，连接 AE 与 CD，证明： D (1) △ ABE≌△ DBC (2)AE=DC (3)AE 与 DC的夹角为 60。 （ 4） AE与 DC的交点设为 H,BH 平分∠ AHC B A H E C （1）如图 1，点 C 是线段 AB 上一点，分别以 AC ，BC 为边在 AB 的同侧作等边△ ACM 和△ CBN ，连接 AN ，BM ．分别取BM ， AN 的中点 E， F，连接 CE， CF， EF．观察并猜想△ CEF 的形状，并说明理由． （2）若将（ 1）中的“以 AC ，BC 为边作等边△ ACM 和△ CBN”改为“以 AC ，BC 为腰在 AB 的同侧作等腰△ ACM 和△CBN ，”如图 2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例 4、例题讲解： 1.已知△ ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B,C 重合），以 AD 为边作菱形 ADEF( 按 A,D,E,F 逆时针排列），使∠ DAF=60° ,连接 CF. (1) 如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：①BD=CF ?② AC=CF+CD. (2)如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、 CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF、CD 之间存在的数量关系。

05全等三角形中的常见模型

一、常见模型 1.K 字型 2.手拉手模型 3. 4.普通旋转型 二、常见辅助线 1.角平分线相关辅助线 2. 中点相关的辅助线 三、典型例题 1.【一线三等角】 例1 （1）如图，等腰直角三角形ABC 的直角顶点在直线m 上，过点B 作BE ⊥m 于点E ，过点C 作CD ⊥m 于点D ，说明线段BE ，CD ，DE 的数量关系，并证明. （2）将（1）中等腰Rt △ABC 绕直角顶点A 旋转，使B ，C 分别位于直线m 的两侧，过点B 作BE ⊥m 于点E ，过点C 作CD ⊥m 于点D ，说明线段BE ，CD ，DE 的数量关系，并证明. E C A B D B C D B E A A E B D C A E B D C

2.【普通旋转型】 例2. 如图，正三角形ABC内有一点D，BD延长线上取一点E，使∠ABD＝∠ACE，∠BAD＝∠CAE. （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）求证：△ADE是正三角形. 【练习】1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，∠EDF＝90°. 求证：①△BDE≌△ADF； ②AE＝CF； ③△DEF是等腰直角三角形.3.【手拉手模型】 例3如图，A，B，E三点在同一直线上，△ABC，△CDE 都是等边三角形，连接AD，BE，OC. （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）求证：△CPQ是等边三角形； （3）求证：OC平分∠AOE.

【练习】1. 如图，P A＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，线段AC，BD交于点O. 求证：（1）求证：△ACP≌△BPD； （2）求证：∠APB＝∠AOB； （3）求证：OP平分∠AO D. 4.【截长补短】 例4已知：如图，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BA C.求证：AB＝AC＋C D. 【练习】1.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB＋BD。求∠ABC的度数.2. 在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足∠MAN＝45° ， 求证：MN＝BM＋DN 3. 已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，△ABC的角平分线AD，CE交于点O． （1）求∠AOC； （2）求证：AC＝AE＋CD； （3）求证：OD＝OE． A A B C D

全等三角形常见的几何模型

(手 拉 手 模 型) 遇600旋600，造等边三角形 遇900旋900，造等腰直角 遇等腰旋顶角，造旋转全等 遇中 点旋1800，造中心对称 (2)共旋转(典型的手拉手模型) 变式练习1、如果两个等边三角形△ ABD 和厶BCE 连接AE 与CD 证明: (2) AE=DC (3) AE 与DC 的夹角为60。 (4) AE 与DC 的交点设为H,BH 平分/ AHC 变式练习2、如果两个等边三角形△ ABD 和厶BCE 连接AE 与CD,证明: (1) △ ABE^A DBC (2) AE=DC (3) AE 与DC 的夹角为60。 (4) AE 与DC 的交点设为 H,BH 平分/ AHC 例1、在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形△ ABD 和厶BCE 连接 (1) △ ABE^ A DBC AE=DC (3) AE 与DC 的夹角为60 AE 与CD,证明: (4) △ AGB^A DFB (5) △ EGB^A CFB (6) BH 平分/ AHC (7) GF // AC (1)自旋转：自旋转构造方法

(1) 如图1，点C 是线段AB 上一点，分别以 AC , BC 为边在AB 的同侧作等边△ ACM 和厶CBN ，连 接AN ，BM ?分别取 BM , AN 的中点E , F ,连接CE , CF , EF .观察并猜想△ CEF 的形状，并说明理 由. (2) 若将(1 )中的“以AC , BC 为边作等边△ ACM 和厶CBN 改为“以AC , BC 为腰在AB 的同侧作 等腰△ ACM 和厶CBN ，”如图2，其他条件不变，那么(1 )中的结论还成立吗？若成立，加以证明; 若不成立，请说明理由. 例4、例题讲解： 1. 已知△ ABC 为等边三角形，点 D 为直线BC 上的一动点(点 D 不与B,C 重合)，以 AD 为边作菱形 ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列)，使/ DAF=60°，连接CF. ⑴?如图1,当点 D 在边BC 上时，求证：① ？BD=CF???②AC=CF+CD. (2) 如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请 写岀AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； ？ (3) 如图3，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写岀 AC 、CF 、CD 之间存 在的数量关系。 2、 半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的 角拼接在一起，成对称全等。 例1、如图，正方形 ABCD 的边长为1, AB,AD 上各存在一点 P 、Q 若厶APQ 的周长为2,求 PCQ 的度 数。 例2、在正方形 ABCD 中，若 M 、N 分别在边 BC 、CD 上移动，且满足 MN=BM +DN ，求证：①/ MAN=45 ° ;? △ CMN 的周长=2AB :③AM 、AN 分别平分/ BMN 和/ DNM 。 例3、在正方形 ABCD 中，已知/ MAN=45，若 M N 分别在边CB DC 的延长线上移动：①试探究线段 MN BM 、DN 之间的数量关系；②求证： AB=AH. B+Z D=180°, AB=AD 若E 、F 分别在边 BC CD 且上，满足 EF=BE+DF 求 证:

全等三角形常见的几何模型

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1、绕点型（手拉手模型） （1）自旋转：?????? ?，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转 ，造等腰直角 旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法00 00018090906060 （2）共旋转（典型的手拉手模型） 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△ BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：

(1)△ABE≌△DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 （4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC （1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由． （2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例4、例题讲解： 1. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1)如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系。 2、半角模型

中考数学专题复习 全等三角形的相关模型总结

全等的相关模型总结 一、角平分线模型应用 1.角平分性质模型： 辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC （1）.例题应用： ①如图1，在中ABC ?，,cm 4,6,900==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分，那么点D 到直线AB 的距离是 cm. ②如图2，已知，21∠=∠，43∠=∠.BAC AP ∠平分求证：. 图1 图2 ①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ） (2).模型巩固： 练习一：如图3，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=CD ，BD 平分BAC ∠. .求证：?=∠+∠180C A 图3 练习二：已知如图4，四边形ABCD 中， 图4 练习三：如图5，,,900CAB AF D AB CD ACB ABC Rt ∠⊥=∠?平分，垂足为，中，交CD 于点E ，交CB 于点F. (1)求证：CE=CF. (2)将图5中的△ADE 沿AB 向右平移到'''E D A ?的位置，使点'E 落在BC 边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：'BE 于CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论. 图5 图6 练习四：如图7，90A AD BC =?，∠∥，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC ． 求证：CP 平分∠DCB ．

图7 练习五：如图8，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE=CF． 图8 练习六：如图9所示，在△ABC中，BC边的垂直平分线DF交△BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DE⊥AB于E，并且AB>AC。求证：BE－AC=AE。 练习七：如图10，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，且△DCE的面积与△DBF 的面积相等，求证：AD平分∠BAC。 2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现 辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB （1）.例题应用： ①．如图1所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。 求证： 1 () 2 BE AC AB =- 证明：延长BE交AC于点F。 F E D C B A 图9 A D E C B P 2 1 4 3

08-全等三角形经典模型及例题详解

辅助线模型 考点分析： 全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。 典型例题 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： （1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。 思路分析： 1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用

2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。 解答过程： 证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中， ∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°， ∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。 又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。 在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°， ∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。 解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。 （2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 例2：如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。 思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。 2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。 解答过程：

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(1)自旋转: 自旋转构造方法 1、绕点型(手拉手模型) 遇60°旋60°,造等边三角形 遇90°旋90°,造等腰直角 遇等腰旋顶角，造旋转全等 遇中点旋180°,造中心对称 (2)共旋转(典型的手拉手模型) 例1、在直线ABC 的同-,侧作两个等边三角形AABD 和△BCE,连接AE 与CD,证明: (1) AABE^ADBC (2) AE=DC (3) AE 与DC 的夹角为60" (4) AAGB^ADFB (5) AEGB^ACFB (6) BH 平分ZAHC (7) GF//AC 变式练习1、如果两个等边三的形Z\ABD 和ZXBCE,连接AE 与CD,证明: (1) AABE^ADBC (2) AE 二DC (3) AE 与DC 的夹角为60, (4) AE 与DC 的交点设为H, BH 平分ZAHC

变式练习2、如果两个等边三角形AABD和ABCE,连接AE与CD,证明: (1)A ABE^ADBC ⑵AE二DC (3) AE与DC的夹角为60， (4) AE与DC的交点设为H,BH平分ZAHC (1)如图1,点C是线段AB上一点，分别以AC, BC为边在AB的同侧作等边△ ACM和Z\CBN,连接AN, BM.分别取BM, AN的中点E, F,连接CE, CF, EF.观察并猜想ACEF的形状，并说明理由. (2)若将(1)中的“以AC, BC为边作等边左ACM和左CBN”改为“以AC, BC为腰在AB的同侧作等腰△ ACM 盹CBN,”如图2,其他条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由. 例4、例题讲解： 1.已知AABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B,C重合)，以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆 时针排列)，使ZDAF=60°,连接CF. (1)如图1,当点D在边BC I：时,求证：①BD=CF,②AC=CF+CD. (2)如图2,当点D在边BC的延长线上旦其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、 CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变肘，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。

人教版八年级数学全等三角形的常见模型总结

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 人教版八年级数学全等三角形的常见模型总结 人教版八年级数学全等三角形常见模型总结要点梳理全等三角形的判定与性质判定性质备注一般三角形直角三角形边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）边边边（SSS）两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边、直角边定理（HL）对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）判定三角形全等必须有一组对应边相等模型应用 1.角平分性质模型：（利用角平分线的性质）类型一：角平分线辅助线：过点 G 作GE⊥射线 AC 例题解析例：（1）如图 1，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点 D 到直线 AB 的距离是cm.（2）如图 2，已知，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP 平分∠BAC.图1图2【答案】①2 （提示：作DE⊥AB 交 AB 于点 E）②??1 ? ?2 ，? PM ? PN ，? ?3 ? ?4 ，?PN ? PQ，?PM ? PQ,?PA平分?BAC .类型二：角平分线模型应用 2.角平分线，分两边，对称全等(截长补短构造全等)1 1/ 9

两个图形的辅助线都是在射线 OA 上取点 B，使 OB=OA，从而使△OAC≌△OBC. 例题解析例 1：在△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP 平分∠BAC 交 BC 于 P，BQ 平分∠ABC 交 AC 于 Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。 证明：如图（1），过O 作OD∥BC 交AB 于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。 解题后的思考：（1）本题也可以在 AB 上截取 AD=AQ，连 OD，构造全等三角形，即“截长法”。 （2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：①如图（2），过 O 作OD∥BC 交 AC 于 D，则△ADO≌△ABO 从而得以解决。 2

人教版八年级数学全等三角形的常见模型总结

人教版八年级数学全等三角形的常见模型总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

人教版八年级数学全等三角形常见模型总结 要点梳理 全等三角形的判定与性质 类型一：角平分线模型应用 1.角平分性质模 型：（利用角平分线的性质） 辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC 例题解析 例：（1）如图1，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠ CAB ，BC=6cm ，BD=4cm ，那么点D 到直线AB 的距离是 cm. （2）如图2，已知，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP 平分∠BAC. 图1图2 【答案】①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ） ②，，，， . 类型二：角平分线模型应用 2.角平分线，分两边，对称全等(截长补短构造全等) 21∠=∠ PN PM =∴43∠=∠ PQ PN =∴BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分, 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS ） 角边角（ASA ） 角角边（AAS ） 边边边（SSS ） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL ） 性质 对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等

两个图形的辅助线都是在射线OA上取点B，使OB=OA，从而使△OAC≌△OBC. 例题解析 例1：在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC 交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。 证明：如图（1）， 过O作OD∥BC交AB于D， ∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°， 又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°， ∴∠ADO=∠AQO， 又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO， ∴△ADO≌△AQO， ∴OD=OQ，AD=AQ， 又∵OD∥BP， ∴∠PBO=∠DOB， 又∵∠PBO=∠DBO， ∴∠DBO=∠DOB， ∴BD=OD， 又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°， ∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°， ∴∠BOP=∠BPO， ∴BP=OB， ∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。 解题后的思考： （1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。 （2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下： ①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。