(完整版)对勾函数详细分析
对勾函数的性质及应用
、 对勾函数 y ax b (a 0,b 0) 的图像与性 x
质：
1. 定义域： ( ,0) (0, )
2. 值域： ( , 2 ab] [2 ab, )
原点呈中心对称，即 f(x) f( x) 0
即 f (x) 在 x= b
时，取最小值 2 ab a
、 对勾函数的变形形式
2. 值域： ( , 2 ab] [2 ab, )
3.
奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 对勾”的形状，且函数图像关
于
4.
图像在一、三象限 , 当 x 0 时， y ax
b
2 ab (当且仅当 x b
取等号)， 由奇函数性质知：当
x <0 时， f (x) 在 x= b
时，取最大值 2 ab a 5.
单调性：增区间为(
,
b
) ,a
, 减区间是( 0 ，
类型一：函数 y ax b (a 0,b x 质
1. 定义域： ( ,0) (0, )
0)的图像与性
3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状
4. 图像在二、四象限, 当x<0时，
f （x）在x= b时，取最小值 2
ab；当x 0时，a
f（x）在x= b时，取最大值 2 ab
a
5. 单调性：增
区间为（0，b），（b,0 ）减区间是（b, a a a,
b a)
类型二：斜勾函数y ax b（ab 0）x
① a 0,b 0 作图如下
1. 定义域：（ ,0）（0, ）
2. 值域：R
3. 奇偶性：奇函数
4. 图像在二、四象限，无
最大值也无最小值.
5. 单调性：增区间为（- ，0），（0，+ ）
② a 0,b 0 作图如下：
1. 定义域：( ,0) (0, )
2. 值域：R
3. 奇偶性：奇函数
4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值
5. 单调性：减区间为（- ，0），（0，+ ）
2
此类函数可变形为 f(x) ax c
b ，可由对勾函数 y ax
c 上下平移得到 x x
2
练习 1.函数 f(x) x x 1 的对称中心为
x
类型四： 函数 f (x) x a (a 0,k 0)
xk
此类函数可变形为 f (x) (x k a ) k ，则 f ( x)可由对勾函数 y x a 左右平移， x k x 上
下平移得到
练习 1. 作函数 f(x) x 1 与 f(x) x 3 x 的草图
x 2 x 2
2. 求函数 f (x) x 1 在 (2, )上的最低点坐标
2x 4 3. 求函数 f(x) x x 的单调区间及对称中心
x1
a. 若 a 0 ，图像如下：
1．定义域：( , ) 2. 值域：[ a 2 b ,a 2 b ]
3. 奇偶性：奇函数 .
4. 图像在一、三象限 . 当 x 0时， f (x) 在x b 时， 取最
大值 a ，当 x<0 时， f(x)在 x= b 时，取最小值 a
2 b 2 b
5. 单调性：减区间为( b, )，( , b )；增区间是 [ b, b]
类型三
函数 f(x)
ax 2 bx c
(ac 0)
x
类 型 五 ： 函数 a
f(x) 2 xb
x
( )
ax
f (x)
2
x
a b x
x
b (a 0,b 0) 。此类 函数定义域为
R ， 且可变形 为
练习 1.函数f(x) x2 1的在区间2,上的值域为
b. 若 a 0，作出函数图像：
1．定义域：( , ) 2. 值域[ a 1 ,a 1 ] 3. 奇偶性：奇函数
2 b 2 b
4. 图像在一、三象限.
当x 0 时，f (x) 在x b时，取最小值a，
2b
当x<0 时，f (x) 在x= b 时，取最大值a
2b
5. 单调
增区间为( b, )，( , b )；减区间是[ b, b]
性：
练习 1.如 a 1 22x x 1,2 ，则的取值范围是
x4
2
类型六：函数f(x) ax2 bx c(a 0) . 可变形为xm
2
f(x) a(x m)2 s(x m) t a(x m) t s(at 0)，
x m x m
则f(x) 可由对勾函数y ax t左右平移，上下平移得到
x
2
练习 1.函数f(x) x x 1由对勾函数y x 1向 (填“左”、“右”)平x 1 x
移 单位，向 (填“上”、“下”)平移
单位 .
2
2.已知 x 1 ，求函数 f(x) x 2
7x 10的最小值； x1
2
3.已知 x 1 ，求函数 f(x) x 2
9x 9的最大值
x1
函数 f(x) 2
x m
(a 0)
ax 2
bx c
练习 1.求函数 f(x) 2x 1 在区间 (1, )上的最大值；若区间改为 [4,
x 2
x 2
最大值为
2
2.求函数 f(x) x 2 2x 3在区间 [0, )上的最大值
x 2
x 2
类型八： 函数 f(x) x b . 此类函数可变形为标准形式： xa
x a b a b a f(x) x a (b a 0)
x a x a
练习 1.求函数 f(x) x 3
的最小值；
x1
2．求函数 f(x) x 5 的值域；
x1
3.求函数 f(x) x
x 3
2的值域
2
类型九： 函数 f(x) x 2
b (a 0)。此类函数可变形为标准形式：
2
xa
22
( x a) b a 2 b a f(x) 2 x a 2 (b a o)
x 2 a x 2 a
2
练习 1. 求函数 f (x) x 5 的最小值；
x 2 4
2. 求函数 f(x) x
2x 2 17
1的值域
类型七：
) 则 f(x) 的
1
2
x
yx
1x
x
2
1. 均值不等式
x 1 2 ，当且仅当 x 1，即x 1的时候不等式取到“=”。 当x 1 x
2. 法
1 yx
x
yx 1 0
找到使 y 2时，存在相应的 x 即可。通过观察当
3. 单调性定义
当 x 1取到最小值， y min
4. 复合函数的单调性
若 y 的最小值存在，则
y 2 4 0 必需存在，即 2或 y 2（舍）
设
0 x 1 x 2
f x 1 f x 2 x 1 x 2
1 1 1 x 1 x
2 1
x 1 x 2
x 1x 2
x 1 x
x 1x 2 1
x 1x 2
当对于任意的 x 1,x 2 ，只有 x
1,x 2 0,1 时， f x 1 f x 2 0， 此时 f x 单调递增； 当对于任意的 x 1,x 2 ，只有
x 1,x 2
1, 时，
f x 1 f x 2
，
此时 f x 单调递减。
三、 关于求函数 y x
x 0 最小值的十种解法
的时候， y min
1 的时候， y min 2
tx
1在0, 单调递增，y t2 2 在,0 单调递减；在0, 单调递增
又x0,1 t ,0 x 1,t 0,原函数在0,1 上单调递减；
在1,上单调递增
即当
x1取到最小值，y min f 12 5. 求一阶导
6. 三角代换
令x tan ，0,
2，则
1
x
2x
cot
y x 1 tan
x cot
2
sin2
0,2
0,
当4 即2 2时，sin2 max 1，y min 2 ，显然此时x 1 7. 向量
1
x,
x ,b
1,1
ab a bcos
根据图象， a 为起点在原点，终点在0 图象上的一个向
量，
a cos 的
1 ' 1
y x y 1 2 xx
y' 0 ，函数单调递增。
当x 0,1 时，0，函数单调递减；当x 1, 时，
当x 1 取到最小值，y
min
x
几何意义为a在b 上的投
影，
显然当 a b 时， a cos 取得最小值。此时，x 1，y min 2 2 2 8．图象
相减
1，即y 表示函数y x 和y 1两者之间的距离xx
求y min ，即为求两曲线竖直距离的最
小值
平移直线y x ，显然当y x与y1相切时，两曲线竖直距离最小。
x
y 1关于直线y x 轴对称，若y x 与y 1在x
xx
性，在0 x 1处也必有一个交点，即此时y x与y 1处有一交点，根据对称
1相交。显然不是距离
x
最小的情
况
所以，切点一定为1, 1 点。此时，x 1，y min 2
9. 平面几
何
依据直角三角形射影定理，设AE x,EB 1，
则
x
1
AB AD x
x
显然，x 1为菱形的一条边，只用当AD AB，即AD为直线x
AB和CD之间的距离时，x 1取得最小值。即四边形ABCD
为
x
矩形
1
此时，x 1，即x 1 ，y min 2
x
x
10. 对应法则
设 f x min
2 2
1 xx
2 x 2
x 0,
x 2
0,
，对应法则也相
同
f x 2 min
min
2
xx
x 1
2 2
x
左边的最小值
右边的最小值 t 2 t 2 t
1
(
舍)或 t 2
当x
x 2，即x 1时取到最小
值，
且 y min 2 对勾函数练习：
1．若 x>1. 求 y x x 1 1的最小值. 11. 若t 2t 9
t 22 在t
t 2
0,2 上恒成
立，
则 a 的取值范围是
2. 若 x>1. 求y
x 2x 2
的最小值 12. x1
求函数 f x x
x 126x
1 x 1
的
最值。
3. 若 x>1. 求y
2
x x 1
的最小值 13. x1
当x (0，1)时，求 f(x)
x 2 的值域
4x 1
4. 若 x>0. 求y
3x 2 的最小值 14. x
2
1 求f(x) x 2
x 2 1
的值域 x 2
x 3
5. 已知函
数
2x a (x [1, ))
1) 求 a 1时，求 f ( x)的最小值
2
(2) 若对任意 x ∈[1,+ ∞],f(x)>0 恒成立,求 a 范围
6. : 方程 sin 2x － asinx+4=0 在[ 0 , 2 ] 内有解 ，则 a 的取值范围是
最大值为
8.函数 y 2 3x 4的最大值为
x
10. 函数 y
92 4sin 2 x
的最小值是
sin x
7. 函数 y x
10
2 x 7 的最小值为 x
；函数 y x 10 2 x 7 的
x
9、若 4 x 1 ，则 y
2
x 2x 2
的最值是
2x 2
对勾函数的几点分析
对勾函数的几点分析 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。也被形象称为“耐克函数” 奇偶性与单调性 当x>0时，f(x)= x b ax + 有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），即当a b x =的时候 奇函数。 令a b k = ，那么： 增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}； 减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0
基本不等式—最值—对勾函数耐克函数(学案 附答案)
基本不等式——形式一：a b +≥(a>0,b>0) ____a b +（ ） ——形式二： 2 a b +≥ (a__0,b__0) __ (a >0,b >0) 2 a b + ——形式三：2 2a b ab +?? ≤ ??? （ ） (a>0,b>0)2 a b +≤ 2 a b +？ 用分析法证明：要证 2 a b + （1） 只要证 a b +≥ （2） 要证（2），只要证____0a b +-≥ （3） 要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4） 显然（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立. 探究3：使用基本不等式的三个条件：一正二定三相等 思考：（1）已知y=x+x 1 ( x>0 ) ，求y 的范围. （2）已知y=x+x 1 ( x≠0 ) ，求y 的范围.
例题拓展 【例1 】已知0x >，则x x 4 32+ +的最小值是________。 【 例2 】下列不等式一定成立的是 （ ） A ．xy y x 2≥+ B ．21 ≥+x x C ．xy y x 222≥+ D ． xy xy y x 1 2≥ + 【 例3 】下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ） 基础回顾 1、对于____ _ ,a b ,有22____2a b ab +,当且仅当____ _ 时，等号成立.
2、基本不等式：对于____ _ ,a b ,则2 a b +___ _时，不等式取等号. 注意：使用基本不等式时，应具备三个条件：____ _ ____ _ 【例1 】（1）已知x >0，且y = x ＋ 81 x ，x =_________时，y 取最小值 （2）已知0x >，则x x 4 32+ +的最小值是________。 （3）y x x =++23 122 的最小值是 （4）a+b=2，则3a +3b 的最小值是______________ （5）a+2b=4，则3a +9b 的最小值是______________ 【 例2】设x ，y 为正数， 求14 ()()x y x y ++的最小值 【例4 】若0,0,x y >>且 21 1x y +=，则2x y +的最小值为________
2021届浙江省温州市高三上学期11月高考适应性测试(一模)数学试题教师解析版
2021届浙江省温州市高三上学期11月高考适应性测试（一模）数学 试题 一、单选题 1．已知集合{} 15A x x =<<，{} 03B y y =<<，则A B =（） A ．? B ．{} 13x x << C ．{} 05x x << D ．{} 05x x << 答案：B 利用交集的定义可求得集合A B . 解： {}15A x x =<<，{}03B y y =<<，因此，{}13A B x x ?=<<. 故选：B. 2．已知z 为复数，若()1i i z ?+=(i 是虚数单位)，则z = A ．1 B C ． 12 D ． 2 答案：D 先根据复数除法求出复数z ，结合复数模长的求解方法可得模长. 解：因为(1)z i i +=，所以i i(1i)1i 11i 1i (1i)(1i)222z -+====++-+，所以||2 z ==，故选D. 点评：本题主要考查复数的除法及模长，复数模长的求解一般是先化简复数为z a bi =+形式，结 合模长公式z = . 3．设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若4228S S =+，则d =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B 由4228S S =+，直接利用等差数列的前n 项和公式求解. 解：因为4228S S =+， 所以 () ()14124282 a a a a +=++，
所以()()11112328a a d a a d ++=+++， 即48d =， 解得2d =， 故选：B. 4．若实数x ，y 满足约束条件0320x y x x y -≥?? ≤??+-≥? ，则2x y -的最小值为（） A ．.1 B ．1- C ．3 D ．3- 答案：D 根据实数x ，y 满足约束条件0320x y x x y -≥?? ≤??+-≥? ，画出可行域，记目标函数2z x y =-，平移直线 12 2 z y x = -，当直线在y 轴上的截距最大时z 有最小值求解. 解：实数x ，y 满足约束条件0 320x y x x y -≥?? ≤??+-≥? 的可行域如图所示： 记目标函数2z x y =-，平移直线122 z y x =-，当直线经过点(3,3)A 时在y 轴上的截距最大，此时对应的z 具有最小值， 最小值为3233z =-?=-， 故选：D. 5．已知0a >，0b >则“1a b +=”是“22 1 2 a b +≥ ”的（）
最新对勾函数详细分析【精选】整理版
对勾函数的性质及应用 一.对勾函数的图像与性质： 1.定义域：（-∞，0）∪（0，+∞） 2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即 4.图像在一、三象限, 当时，2√ab（当且仅当取等号），即在x= 时，取最小值 由奇函数性质知：当x<0时，在x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（），（）,减区间是（0，），（,0） 1、对勾函数的变形形式 类型一：函数的图像与性质 1.定义域： 2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状. 4.图像在二、四象限, 当x<0时，在x=时，取 最小值；当时，在x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（0，），（,0）减区间是（），（）, 类型二：斜勾函数 ①作图如下 1.定义域： 2.值域：R 3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.
5.单调性：增区间为（-，0），（0，+）. ②作图如下： 1.定义域： 2.值域：R 3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：减区间为（-，0），（0，+）. 类型三：函数。 此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到 练习1.函数的对称中心为 类型四：函数 此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习 1.作函数与的草图 2.求函数在上的最低点坐标 3. 求函数的单调区间及对称中心 类型五：函数。此类函数定义域为，且可变形为 a.若，图像如下： 1．定义域： 2. 值域： 3.奇偶性：奇函数. 4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最大值，当x<0时，在x=时，取最小值 5. 单调性：减区间为（），（）；增区间是
对勾函数求最值
对勾函数年级：高二科目：数学时间：9/6/2009 16:25:27 新5961438 请问对勾函数的最值如何求。 答：同学，你好，现提供以下资料供你参考： 函数的单调性． 显然此函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），用描点法可作出此函数的图象为： 从图象上可看出，函数在（0，）上单调递减，在[，＋∞）上单调递增，在（－∞，－]上单调递增，在[－，0）上单调递减． 我们可用单调性的定义验证它的单调性（证明略）． 很容易看出f(x)是一个奇函数，所以它的图象是关于原点对称的，我们只需记住它在（0，]、[，＋ ∞）上的单调性就可以了，而且我们用这个函数解题时，通常只用这两个区间上函数的单调性． 特殊地，当k=1时，，它在（0，1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增． 一般地，对于函数，我们也可把它转化为的形式，即为， 此时，f(x)在上单调递减，在上单调递增． 说明：因课本并没有介绍此函数的单调性，所以在利用它时应在答题中将它的单调性证一遍 例：甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元． （1）把全部运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 解：（1） （2）依题意知s，a，b，v都为正数，故，
当且仅当，即v=时上述等号成立． 若≤c，则当时v=时，全程运输成本y最小． 若>c，，此函数在（0，]上单调递减， 则在（0，c]上也单调递减，所以y≥，当v=c时取等号． 综上知，为使全程运输成本y最小，当≤c时行驶速度应为v=，当＞c时，行驶速度应为v=c． 同学，你好，你要记住做每件事情要有决心。决心决定一切，要努力地去做，让你每一天都充满光彩。学习更上一层楼！
对勾函数最值的十种求法
关于求函数()01>+=x x x y 最小值的十种解法 一、 均值不等式 Θ0>x ，∴21≥+=x x y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。 ∴当1=x 的时候，2min =y 二、?法 0112=+-?+=yx x x x y 若y 的最小值存在，则042≥-=?y 必需存在，即2≥y 或2-≤y （舍） 找到使2=y 时，存在相应的x 即可。 通过观察当1=x 的时候，2min =y 三、单调性定义 设210x x << ()()()??? ? ??--=-+-=-21212121211111x x x x x x x x x f x f ()2121211x x x x x x --= 当对于任意的21,x x ，只有21,x x (]1,0∈时，()()21x f x f -0>，∴此时()x f 单调递增； 当对于任意的21,x x ，只有21,x x ()+∞∈,1时，()()21x f x f -0<，∴此时()x f 单调递减。 ∴当1=x 取到最小值，()21min ==f y 四、复合函数的单调性 2112 +??? ? ??-=+=x x x x y x x t 1 -=在()+∞,0单调递增，22+=t y 在()0,∞-单调递减；在[)+∞,0单调递增 又Θ∈x ()1,0()0,∞-∈?t ∈x [)+∞,1[)+∞∈?,0t ∴原函数在()1,0上单调递减；在[)+∞,1上单调递增 即当1=x 取到最小值，()21min ==f y
五、求一阶导 2'111x y x x y -=?+= 当()1,0∈x 时，0'
对勾函数详细分析
对勾函数的性质及应用 一.对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质： 1. 定义域：（-∞，0）∪（0，+∞） 2. 值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时，b y ax x =+ ≥2√ab （当 且仅当b x a = 取等号），即 )(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=a b -时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a b ），（a b -,0） 1、 对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(<时，)(x f 在x=a b -时，取最大 值ab 2- 5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b -,0）减区间是（∞+,a b ），（a b -∞-,）, 类型二：斜勾函数b y ax x =+)0(
最新对勾函数讲解与例题解析
对勾函数 对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图 一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： 当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号）
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： 当x>0时， 。 当x<0时，。 即对勾函数的定点坐标： (三) 对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四) 对勾函数的单调性 (五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab ，两边同时加上2ab ，整理得到（a+b)^2≥4ab ，同时开根号，就得到了均值定理的公式：a+b ≥2sqrt(ab ）。把ax+b/x 套用这个公式，得到ax+b/x ≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab ），这里有个规定：当且仅当ax=b/x 时取到最小值，解出x=sqrt(b/a ），对应的f(x)=2sqrt(ab ）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab ），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。 三、关于求函数()01>+=x x x y 最小值的解法 1. 均值不等式 Θ0>x ，∴21≥+ =x x y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。∴当1=x 的时候，2min =y 2. ?法 0112=+-?+=yx x x x y y X O y=ax
分压电路的动态分析
分压电路的动态分析 分压电路是高中阶段学生必须掌握的一种电路，对分压电路的动态分析也就显得很重要了，因此有必要进行详细地讨论。 图1所示的是分压电路的电路图，其中滑动变阻器的总阻值为R，设滑片左边的部分电阻为x，则滑片右边的部分电阻为，负载电阻为。 首先，我们讨论外电阻随x的变化而变化的规律。由串并联电路知识知： 上式中括号内是数学中提到的“对勾函数”，令 则有： 当且仅当时，等号成立，此时有：。因此： 当时，为增函数； 当时，为减函数。 函数图象如图2所示。 在我们要讨论的物理问题中，。因此，y为增函数，为减函数。我们把这作 为一个非常重要的结论。 结论一：当x增大时，分压电路的外电阻将减小。 由闭合电路欧姆定律可知，干路中的电流将增大。在电路中和x是并联关系，因此它们的电流是按电阻的反比来分配的。负载上的电流 x增大的结果是使上式中的分子I增大，同时使上式中的分母减小，我们将得到 结论二：当x增大时，流过负载的电流增大。 由于负载是定值电阻，由、可知： 结论三：当x增大时，负载两端的电压增大。 结论四：当x增大时，负载消耗的电功率增大。 另外：由P=EI、可知： 结论五：当x增大时，电源提供的电功率和电源内阻上消耗的电功率都将增大。 由和结论一可知： 结论六：当x增大时，电源的效率降低。 总之，我们可以说，当x增大时，负载上的电流、电压、电功率都是增大的，电源提供的总功率也增大，但电源的效率下降了。下面的一道习题作为练习： 练习题：电路如图所示，定值电阻、，电源电动势为E=6V，内阻为，滑动变阻器总阻值为，当滑动触头P从最左端向右滑动过程中，则下更判断错误的是（） A．电源消耗的功率一直减小 B．消耗的功率一直减小 C．消耗的功率一直减小 D．电源内阻r消耗的功率先减小后增大 参考答案：D [参考文献]
对勾函数详细分析.doc
对勾函数的性质及应用 一 . 对勾函数的图像与性质： 1.定义域：（ - ∞， 0）∪（0，+∞） 2.值域： (- ∞,- √ab]U[ √ab,+ ∞) 3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即 2√ab （当且仅当取等号），即在x=时，取最小值4. 图像在一、三象限 , 当时， 由奇函数性质知：当x<0 时，在 x=时，取最大值 5. 单调性：增区间为（），（）, 减区间是（ 0，），（ ,0 ） 1、对勾函数的变形形式 类型一：函数的图像与性质 1.定义域： 2.值域： (- ∞,- √ab]U[ √ab,+ ∞) 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状. 4. 图像在二、四象限 , 当 x<0 时，在 x= 时，取最小值；当时，在x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（ 0，），（ ,0 ）减区间是（），（） , 类型二：斜勾函数 ①作图如下 1.定义域： 2. 值域： R 3. 奇偶性：奇函数 4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：增区间为（ - ，0），（ 0， +） . ②作图如下： 1. 定义域： 2. 值域： R 3. 奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.
5.单调性：减区间为（ - ，0），（ 0， +） . 类型三：函数。 此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到 练习 1. 函数的对称中心为 类型四：函数 此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到 练习 1. 作函数与的草图 2.求函数在上的最低点坐标 3.求函数的单调区间及对称中心 类型五：函数。此类函数定义域为，且可变形为 a. 若，图像如下： 1．定义域： 2.值域： 3.奇偶性：奇函数. 4. 图像在一、三象限. 当时，在时，取最大值，当x<0 时，在x=时，取最小值 5.单调性：减区间为（），（）；增区间是 练习 1. 函数的在区间上的值域为 b.若，作出函数图像： 1．定义域： 2.值域： 3.奇偶性：奇函数. 4.图像在一、三象限. 当时，在时，取最小值， 当 x<0 时，在 x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（），（）；减区间是 练习 1. 如，则的取值范围是 类型六：函数 . 可变形为，
19.百师联盟2021届高三一轮复习联考(一)理数全国卷III试题【解析版】
百师联盟2021届高三一轮复习联考（一）理数全国卷III 试 题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设2 122z i ?? =- ? ??? ，其中i 是虚数单位，则 z ＝（ ） A ． 12 B ．2 C ．1 D 【答案】C 【分析】 先根据完全平方公式和复数的运算计算出z ，再根据复数的模的求法解出即可. 【详解】 解：因为2 1122z i ?=-=-???? ， 所以1z ==. 故选：C . 【点睛】 本题考查复数的运算和复数的模的求法，属于基础题. 2．已如集合{} 0A x x =≥，集合( ){ }2 ln 2B x y x x ==+-，则A B =（ ） A ．()1,+∞ B ．()2,1- C ．[)0,1 D ．()2,-+∞ 【答案】A 【分析】 求出集合B ，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】 解：集合{}{ 2 202B x x x x x =+->=<-或}1x >， 所以()1,A B =+∞， 故选：A. 【点睛】 本题考查了集合的基本运算、对数型复合函数的定义域，考查了基本运算能力，属于基
础题. 3．已知向量(),1a x =-，()2,4b =-，若a b ⊥，=+c a b ，则a 在c 上的投影为（ ） A ．1 B ．±1 C D ． 【答案】A 【分析】 先由题意，根据向量数量积的坐标表示，求出2x =-，再由向量投影的计算公式，即可得出结果. 【详解】 因为a b ⊥，(),1a x =-，()2,4b =-， 所以240a b x ?=--=，解得2x =-， 所以()2,1a =--，()4,3c a b =+=-， 所以a 在c 上的投影为(14a c c ?= =-. 故选：A . 【点睛】 本题主要考查求向量在另一个向量上的投影，熟记向量数量积的坐标表示，以及向量数量积的几何意义即可，属于基础题型. 4．方程( )4 4 22 4x y x y +=+所表示曲线的大致形状为（ ） A ． B ．
对勾函数最值的十种求法
关于求函数y = x ? 1 x . 0最小值的十种解法 x 一、 均值不等式 1 1 x 0, . y=x ?一_2，当且仅当x ，即x=1的时候不等式取到“=”。 x x 当X =1的时候，y min =2 二、 厶法 1 2 y=x — : x -yx1=0 x 若y 的最小值存在，则 厶=y 2 -4亠0必需存在，即y 亠2或y _ -2 （舍） 找到使y =2时，存在相应的x 即可。 通过观察当x =1的时候，y min =2 三、单调性定义 设 0 ：：： X 1 ：：： x ? 1 1 i f （X 1 ）—f （X 2 ）=人—X 2 十一—一 =（X 1 —X 2 ）1 X 1 X 2 V X 1X 2 丿 当对于任意的X 1,X 2，只有X 1,X 2三〔0,1时，f X 1 - f X 2 2 0, ?此时f x 单调递增; 当对于任意的x 1,x 2，只有X —X 2三［时，f x 1 - f x 2 ：：： 0，?此时f x 单调递减。 当X - 1取到最小值，y min = f 1 =2 四、复合函数的单调性 t = Jx ——2在（0,母）单调递增，y =t 2 +2在（—°°,0）单调递减；在 0,畑）单调递增 x 又 x 三〔0,1 二 t '：L ~0 x 1, ? ：： = t 0,:: -原函数在 0,1上单调递减；在1, 上单调递增 即当X =1取到最小值，丫皿山二f 1 =2 二 X 1 -X 2 3 X 1X 2 y =x 1 2 x
五、求一阶导 1 ' 1 y = X — ： y =1 2 X X 当 10,1时，y' :：: 0，函数单调递减；当 X ，1, 时，y' .0,函数单调递增。 当X =1取到最小值，y min = f 1 =2 六、二角代换 厂兀） 1 a € 0, — 1,则一 =COta I 2丿X 广IT ） a s 0, — in 2a E （0,兀） I 2丿 八、图象相减 1 1 ，即y 表示函数y = x 和y 两者之间的距离 X X 求y min ，即为求两曲线竖直距离的最小值 1 平移直线y = x ，显然当y = x 与y 相切时，两曲线竖直距离最小。 x 令 x = ta n ：, 1 =X tan 二 cot: 2 sin ： n Ji .当一4，即2二时, si n2 max =1 , y min 二2，显然此时x = 1 七、 向量
2019-2020学年四川省遂宁市数学高二第二学期期末检测试题含解析
2019-2020学年四川省遂宁市数学高二第二学期期末检测试题 一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设0,0a b >>33a b 与的等比中项，则11 a b +的最小值为（ ） A ．8 B ． 1 4 C ．1 D ．4 【答案】D 【解析】 33a b 与的等比中项，∴3=3a ?3b =3a +b ，∴a +b=1． a ＞2，b ＞2． ∴ 11a b +=()11a b a b ??++ ???=224b a a b ++≥+=．当且仅当a=b=12时取等号． 故选D ． 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 2．在复平面内，复数()13z i i =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 对复数z 进行整理化简，从得到其在复平面所对应的点，得到答案. 【详解】 复数()133z i i i =+=-+， 所以复数z 在复平面对应的点的坐标为()3,1-， 位于第二象限. 故选：B. 【点睛】 本题考查复数的乘法运算，考查复数在复平面对应点所在象限，属于简单题. 3．若()10 1d a x x = +?，10 cos d b x x =?，1 e d x c x =?，则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．b a c << D ．c a b <<
对勾函数详细分析报告.docx
. . . . 对勾函数的性质及应用 一 .对勾函数 y ax b (a 0, b 0) 的图像与性质 ： x 1. 定义域 ：（ -∞， 0） ∪（ 0 ，+ ∞） 2. 值域 ：(- ∞,- √ab]U[ √ab,+ ∞) 3. 奇偶性 ：奇函数 ，函数图像整体呈两个 “对勾 ”的形状 ，且函数图像关于原点呈中心 对称 ，即 f (x) f ( x) 4. 图像在一 、三象限 , 当 x 0 时， y ax b 2√ab （ 当且仅当 x b 取等号 ）， 即 f ( x) 在 x a x= b 时，取最小值 2 ab a 由奇函数性质知 ：当 x<0 时， f ( x) 在 x= b 时，取最大值 2 ab a 5. 单调性 ：增区间为 （ b , ），（ , b ） ,减区间是 （ 0 ， b ），（ b ,0） a a a a 1 、 对勾函数的变形形式 类型一 ：函数 y ax b (a 0, b 0) 的图像与性质 x 1.定义域 ： ( ,0) (0, ) 2.值域 ： (-∞,- √ab]U[ √ab,+ ∞) 3.奇偶性 ：奇函数 ，函数图像整体呈两个 “对勾 ”的形状 . 4.图像在二 、四象限 , 当 x<0 时， f ( x) 在 x= b 时，取 a 最小值 2 ab ；当 x 0 时， f ( x) 在 x= b 时，取最大值 2 ab a 5.单调性 ：增区间为 （ 0 ， b ），（ b ,0）减区间是 （ b , ），（ , b ）, a a a a
.... 类型二：斜勾函数y ax b (ab 0) x ① a 0, b0 作图如下 1.定义域：(,0)(0,) 2.值域：R 3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值 . 5.单调性：增区间为（ -，0 ），（ 0 ， +）. ② a 0, b0 作图如下： 1.定义域：(,0)(0,) 2.值域：R 3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值 . 5.单调性：减区间为（ -，0 ），（ 0 ， +）. 2c (ac 类型三：函数 f ( x)ax bx0) 。 x 此类函数可变形为 f ( x)ax c b，可由对勾函数 y ax c上下平移得到 x x 练习 1.函数f ( x)x 2 x 1 的对称中心为x 类型四：函数 f () x a( a 0, k 0) x x k a ) a 左右平移，上下平移得 此类函数可变形为 f (x)(x k x k ，则 f ( x)可由对勾函数 y x k x 到 练习 1.作函数f ( x)x1与 f ( x)x3 x2x x 的草图 2 2.求函数f ( x) x1在 ( 2,) 上的最低点坐标 2x4 3. 求函数f (x)x x x的单调区间及对称中心1
专题对勾函数
基本不 等式与对勾函数 一、 对勾函数b y ax x =+ )0,0(>>b a 的图像与性质 性质： 1. 定义 域： ),0()0,(+∞?-∞ 2. 值域：),2()2,(+∞?--∞ab ab 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称， 即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限 当0x >时，由基本不等式知 b y ax x =+ ≥ab 2（当且仅当b x a = 即)(x f 在x= a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=a b - 时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（ ∞+,a b ），（a b -∞-,） 减区间是（0， a b ），（a b -,0） 一、 对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(<
此函数与对勾函数x b x a y ) ()(-+ -=关于原点对称，故函数图像为 性质： 类型二：斜勾函数b y ax x =+ )0(
(完整版)对勾函数详细分析
对勾函数的性质及应用 一、对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质： 1. 定义域：),0()0,(+∞?-∞ 2. 值域：),2[]2,(+∞?--∞ab ab 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状， 且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时，b y ax x =+ ≥ab 2（当且仅当b x a ，即)(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=a b -时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a b ），（a b -,0） 二、对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(<时，)(x f 在x=a b -时，取最大值ab 2- 5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b -,0）减区间是（∞+,a b ），（a b -∞-,）, 类型二：斜勾函数b y ax x =+)0(
2013高一秋季第3讲函数的单调性与奇偶性一尖子班删解析
第3讲函数的单调性 与奇偶性（一） 满分晋级级函数13 函数的奇偶性 12级函数（二）与对称性函数的单调性与奇偶性（一）级函数11函数概念的深入理解 新课标剖析 当前函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查5～10
分形势要求层次具体要求内容C B A 高考理解函数的单调通过已学过的函数特别是二次函数，要求单调性与最大（小）值√性、最大（小）值及其几何意义奇偶性结合具体函数，了解奇偶性的含义．√ 2009年2010年（新课标）2011年（新课标）2012年（新课标）2013年（新课标）北京高考第6题5分第3题5 分第6题5分第14题5分第5题5分解读题分14第题5 5分13第分5题第13 <教师备案> 下一讲的内容是《函数的奇偶性（二）与对称性》，对于尖子班来说只有2小时的内容，对于目标班来还有一个函数的周期性板块，总共是3小时的内容．所以这一讲尖子班与目标班区别不是很大，目标班3小时，尖子班可以作为3.5个小时的课程． 函数的单调性3.1 <教师备案> 函数的单调性问题主要集中在三个领域，其中第一与第二领域为基本问题，①告诉你函数图象或给你一些信息，你能画出函数的草图；②给你常见函数及由这些函数组成的复合函数，你可以自己得到单调性；③仅告诉你一些抽象的条件，如，)yf((x)?)f(x?y?f当时，，求证在上单调递减．给具体函数时，从①②理解，没有给0x?)f(xf(x)?0R出具体函数时从③理解． 所谓的函数的性质都是在描述当自变量变化时，函数值怎样变化． 单调性是指自变量与函数值是否往同一个方向变化，是否同时增大或同时减小； 奇偶性是指当自变量取相反数时，函数值如何变化；这就可以理解，为什么所有的奇偶性问题处理的核心都是取一对互为相反数的自变量． 暑假知识回顾 ，区间：．一般地，设函数的定义域为1DI?)(xy?fD，那么就，当时，都有增函数：如果对于上的任意两个自变量的值⑴)x?fx(f(x)x，x?xI221112上是增函数；称函数在区间)xf(I上的任意两个自变量的值如果对于减函数：，，当时，都有那么就称⑵，x)xf(x)?f(xx?xI121221上是减函数；函数
对勾函数
对勾函数 对勾函数：图像，性质，单调性 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示： https://www.wendangku.net/doc/c54921038.html,/maths352/3814527.html 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如 f(x)=ax+b/x的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。一般的函数图像形似两个中心对称的对勾，故名。当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）。同时它是奇函数，就可以推导出x<0时的性质。令k=sqrt(b/a)，那么，增区间：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0 b a b a b 对勾函数的性质及应用 一、对勾函数 y = ax + b (a > 0, b > 0) 的图像与性质： x 1. 定义域： (-∞,0) ? (0,+∞) 2. 值域： (-∞,-2 ab ] ?[2 ab ,+∞) 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形 状 ， 且 函 数 图 像 关 于 原 点 呈 中 心 对 称 ， 即 f (x ) + f (-x ) = 0 4. 图像在一、三象限, 当 x > 0 时， y = ax + ≥ 2 x （当且仅当 x = ，即 f (x ) 在 x= 时，取最小值2 由奇函数性质知：当 x<0 时， f (x ) 在 x= - 时，取最大值- 2 5. 单调性：增区间为（ + ∞ ），（ - ∞,- ）,减区间是（0， ） ，（ - ,0） 二、对勾函数的变形形式 类型一：函数 y = ax + b (a < 0, b < 0) 的图像与性质 x 1.定义域： (-∞,0) ? (0,+∞) 2.值域： (-∞,-2 ab ] ?[2 ab ,+∞) 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状. 4. 图像在二、四象限, 当 x<0 时， f (x ) 在 x= 时，取最 小值2 ；当 x > 0 时， f (x ) 在 x= - 时，取最大值- 2 5. 单调性：增区间为（0， ），（ - ,0）减区间是（ + ∞ ） ，（ - ∞,- ）, 类型二：斜勾函数 y = ax + b (ab < 0) x ① a > 0, b < 0 作图如下 1.定义域： (-∞,0) ? (0,+∞) 2. 值域：R 3. 奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值. ab b a b a ab b a ab b , a b a b a b a ab b a ab b a b a b , a 对勾函数的性质及应用 、 对勾函数 y ax b (a 0,b 0) 的图像与性 x 质： 1. 定义域： ( ,0) (0, ) 2. 值域： ( , 2 ab] [2 ab, ) 原点呈中心对称，即 f(x) f( x) 0 即 f (x) 在 x= b 时，取最小值 2 ab a 、 对勾函数的变形形式 2. 值域： ( , 2 ab] [2 ab, ) 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 对勾”的形状，且函数图像关 于 4. 图像在一、三象限 , 当 x 0 时， y ax b 2 ab (当且仅当 x b 取等号)， 由奇函数性质知：当 x <0 时， f (x) 在 x= b 时，取最大值 2 ab a 5. 单调性：增区间为( , b ) ,a , 减区间是( 0 ， 类型一：函数 y ax b (a 0,b x 质 1. 定义域： ( ,0) (0, ) 0)的图像与性 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状 4. 图像在二、四象限, 当x<0时， f （x）在x= b时，取最小值 2 ab；当x 0时，a f（x）在x= b时，取最大值 2 ab a 5. 单调性：增 区间为（0，b），（b,0 ）减区间是（b, a a a, b a) 类型二：斜勾函数y ax b（ab 0）x ① a 0,b 0 作图如下 1. 定义域：（ ,0）（0, ） 2. 值域：R 3. 奇偶性：奇函数 4. 图像在二、四象限，无 最大值也无最小值. 5. 单调性：增区间为（- ，0），（0，+ ） ② a 0,b 0 作图如下： 1. 定义域：( ,0) (0, ) 2. 值域：R 3. 奇偶性：奇函数 4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值 5. 单调性：减区间为（- ，0），（0，+ ）对勾函数详细分析(可编辑修改word版)
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