多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验.

第二章多兀正态总体均值向量和协差阵的假设检验

什么是假设检验及基本思想、计算步骤，在初等数理统计中都已做过介绍。多元分析也涉及这方面

内容，在后面介绍的常用各种统计方法，有时要对总体的均值向量和协差阵做检验，比如，对两个总体做判别分析时，事先就需要对两个总体的均值向量做检验，看看是否在统计上有显著差异，否则做判别分析就毫无意义。

本章类似一元统计分析中的各种均值和方差的检验相应给出多元统计分析中的各种均值向量和协

差阵的检验。不论做上述任何检验，其基本步骤均可归纳为四步：第一步，提出待检验的假设H0和H1。

第二步，给出检验的统计量及它服从的分布。第三步，给定检验水平a，查统计量的分布表，确定临界

值匕，从而得到否定域。第四步根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设检验做出决策(拒绝或接受) 。由于各种检验的计算步骤类似，关键在于对不同的检验给出不同

的统计量，而有关统计量的给出大多用似然比方法得到。本章只侧重于解释选取统计量的合理性，而不

给出推导过程，最后给出几个实例。同时为了说明统计量的分布，自然地给出HotellingT 2分布和Wilks

分布的定义，它们分别是一元统计中t分布和F分布的推广。

§ 3.1均值向量的检验

为了对多元正态总体均值向量作检验，首先需要给出Hotelli ngT2分布的定义。

1 HotellingT2分布

定义设X?N p(~[),S?W p( n, Z)且X与S相互独立，n _p，则称统计量T2二nXS’X的分布

为非中心Hotelli ngT 2分布，记为T2~T2(p ,n』)。当—0时，称T2服从(中心)Hotelli ngT 2分布,

记为T 2( p, n)，由于这一统计量的分布首先由Harold Hotelling提出来的，故称为HotellingT 2分布，值得指出的是，我国著名统计学家许宝马录先生在1938年用不同方法也导出T2分布的密度函数，因表达式

很复杂，故略去。

在一元统计中，若X i, ,X n来自总体NC<2)的样本，则统计量：

t*(X-4)?t(n—1)分布

其中

2 1 " 2 :?2(X i -X)

n -1 7

显然，

『=n(X J)? *収」)(；?2)"X」)

与上边给出的T2统计量形式类似，且X -^~ N 0,—I n

可见，T2分布是一元统计中t分布的推广。

基本性质:

在一元统计中，若统计量t~t( n-1)分布，则t2~F(1, n-1)分布，即把t分布的统计量转化为F统计量来处理，在多元统计分析中T2统计量也具有类似的性质。

定理若X ~ N p(0, Z),S~W p( n,R且X与S相互独立，令T2二nXS^X，则

n _ p 1 2

T 2 ?F(p, n_p 1) np

这个性质在后面经常用到。 2均值向量的检验 设 p 元正态总

1

n

X （1）,X （2）,…，X （n ）,X X

（i ）,S =7 （X （i ）—X ）（X （i ）—X ） o

n y

（1）[已知时均值向量的检验

H 。： “

为已知向量）

检验统计量：

T 。2

二n （X - ％） E 」（X -?二。）?2

（p ）（在 H o 成立时）

给出检验水平a ,查2分布表使P T O 2 . ■ J-a ，可确定出临界值 爲，再用样本值计算出T o 2，若 T 02「a ，则否定H o ,否则H o 相容。

这里要对统计量的选取作两点解释，一是说明它为什么取为这种形式。二是说明它为什么服从 2（p ）分布。

一元统计中，当C 2已知时，作均值检验所取的统计量为：

X - ''-o

U

o

?N （0,1）

CT

.n

显然，

2

n （

X - o ）

2 1

U

厂

n （X 7。）（二）（X 7。）

cr

与上边给出的检验统计量T o 2形式相同。另外根据二次型分布定理：若X ?N p （0,1）,则

XE 4X ~X 2（p ）。显然，T o 2 =n （X - ％）

- ％）二

.n （X n （X - ％）

邱扩丫。其中，Y = n （X -^）~ Np （0, Z ），因此,T 。2 二 n （X - ％） 丁1 （应 - ％）?2（p ）。

（2）三未知时均值向量的检验

H o —°

比：―°

检验统计量：

° 9 p 片2?F （p, n-p ）（在Ho 成立时）

（n -1）p

其中 T 2 =（n-1）1 n （X -%）'S 「. n （X

给定检验水平a ,查F 分布表，使p” n _p T 2〉F a ] = a ，可确定出临界值 F a ，再用样本值计算

Jn -1）p J

出T 2，若n _p T 2 F a ，则否定H 。，否则H 。相容。

（n -1）p

a o

o

这里需要解释的是，当匕未知时，自然想到要用样本协差阵 —S 去代替Z,因（n-1） S -1是匕'的 n —1 无偏估计量，而样本离差阵

n

_

_

S 7 （X （a ）-X ）（X （a ）-力?W p （n — 1上）

x ■

NpQD ， 从总体中抽取容量为 n 的样本

n

?、n( N 」o )?N p (O,1)

.T^(n -1)1. n (乂 — ％) S 「n(X - %) L T 2(P,n 一 p)

再根据Hotelling T 2分布性质，所以

(n -1) 一 p ? 1〒2

T ?F(p, n-p) (n -1)p

3协差阵相等时，两个正态总体均值向量的检验 设

X (a) =(X a 「X a2,…，X ap ) ~ N p (叫，口 Y (a) =(Y a1,Y 32^',Y ap ) ~N pG^2^):

_ 1 n - 1

且两组样本相互独立， X 二丄7 X (j ),Y=丄7 Y (i)。

n y m^

(1)有共同已知协差阵时

H o :叫二?二2

检验统计量：

T o 2

二巴工以 -丫)、J (Y -Y) ~

2

(p) (在 H o 成立时)

n +m 八

给出检验水平a ,查x 2(p)分布表使PT 2 ? 'a l a ，可确定出临界值，a ，再用样本值计算出 T 2， 若T 02「a ，则否定H 。，否则H 0相容。

在一元统计中作均值相等检验所给出的统计量：

X -Y

?N(0,1)

c 2 c 2

n m

显然,

(在H 。成立时)

其中:

S

S 2

n

__ ______________ _

__ ____ _________

S 1「(X (a )-X)(X (a )-X), X =収1,^2, ,X p )

a ±

—2 U 2

(X -Y) U -

2

2 a cr ——+——

n m

后(")2

nm —

— 2」——

(X -Y)(

) (X -Y)?

n m

p =1时的情况，不难看出这里给出的检验统计量是一元情况的推

2

(1)

此式恰为上边统计量当

(2)有共同的未知协差阵 Z 0时

H o ：丄1 = "2

H 1 ：丄1「I *2

检验统计量：

(n m -2) - p 1 十 2 F T ?F(p,n m _p T) (n m _2) p

T 2

(X-Y /S 4V + 一」n + n m 一 - -(X -Y) m

m

S 2 八(Y (a) -Y)(Y (a )-Y) , Y =&1,Y 2,…,Y)'

a 4

给定检验水平：?，查F 分布表使P 「F Fa ：— ?，可确定出F a ，再用样本值计算出

F ，若

则否定H o ,否则H o 相容。

1 1

当两个总体的协差阵未知时，自然想到用每个总体的样本协差阵

—S,和 —S 2去代替, n _1 m _1

n __ _____________

so （X （a ）-X ）（X （：.）—X ）?W p （n 一仁）

a 4 m

_

_

S 2 八（Y （a ）-Y ）（Y （

.） -Y ） ~W p （m-1^）

a 3

从而S = S !亠S 2?W p （n 亠m - 2,三） 所以

下述假设检验统计量的选取和前边统计量的选取思路是一样的，以下只提出待检验的假设，然后给 出统计量及其分布，为节省篇幅，不做重复的解释。

4协差阵不等时，两个正态总体均值向量的检验 设

X

（a ） ~ （X al ，X a2， ，X ap ） ~ N p C-1

）

:

- !， ，n

Y (a)=亿1亿2,…，Y ap )?N p 上 2)

： = 1，…，m

且两组样本相互独立， 11 . 0, 12 .0

H o :叫=）2

H 1 "2

分两种情况 （1） n = m 令

Z （i ）=X （i ）-Y （i ） i =1^ ,n

-1 n —-

Z Z （i ）=X -Y

n i =1 n

_ _

s 八（z （j ）-Z ）（z （j ）-Z ）'

j 壬

n __ _ __ _

八?（X （j ）-Y （i ）-X Y ）（X （j^Y （0 - X Y ） j 丘

检验统计量： F =

（n _

p ）n

Z ，s4z ~ F （p,n - p ） （在 H 0成立时）

p （2） n 严m,不妨假设n ：m

令

（n m - 2） - p 1

（n m -2）

T 2 ?F （p, n m_p_1）

— ------------ —

Z

Z (i )=X -Y

n

i 丄

n

s 八(z (i )—Z )(z (i )-Z)-

i 4

检验统计量:

F = 5

P )n

z 'S d Z ~ F(p,n - p) P

5多个正态总体均值向量的检验(多元方差分析)

多元方差分析是一元方差分析的推广。为此先复习一下一元方差分析，之后为了对多个正态总体均 值向量作检验，自然地先给出

Wilks 分布的定义。

(1)复习一元方差分析(单因素方差分析) 设k 个正态总体分别为 N (叫，匚2),…，N(」k ，；「2)，从k 个总体取n i 个独立样本如下：

(1) (1) (1)

X

1

, X

2 ,

)X n1

检验统计量:

SSA k -1

F ' ~F(k-1 ,n-k)(在 H o 成立时)

SSE n — k

其中

k

---

--- 9

SSA-7 n i (X i -X)……组间平方和

i 二 km

_

SSE 、(Xf -X i )2

……组内平方和

i 4 j =1 k W

_

SST 二二(Xj -X)2……总平方和

i 1 jW

n i

、、X (i)

j 1

-1 k n i

X 二 一7 X (i)

n = n^i 亠亠 n k

n

i d j

给定检验水平〉，查F 分布表使p 、F ■ F ^

■ ?，可确定出临界值 R.,再用样本值计算出

若F F a 则否定H o ,否则H o 相容。

(2) Wilks 分布

在一元统计中，方差是刻划随机变量分散程度的一个重要特征，而方差概念在多变量情况下变为协

n

-

:n 1 n xz J

(X (i )-X )- J-(Y (i) —送 丫(j))

V |

\ m

n

j￡

-X)-

；-(Y (i ^-Z Y (j ))

m n j 4

(k) 1

X (k) ■…X (k) ，X 2

，，

n i F 值,

1 m

一 7 丫(j)

「(X (i )

H °」1

=% H 1 :至少存在i = j 使叫=

差阵。如何用一个数量指标来反映协差阵所体现的分散程度呢？有的用行列式，有的用迹等方法，目前 使用最多的是行列式。

定义1若X ?N p （7二），则称协差阵的行列式为X 的广义方差。称

n _

_

中 S 八（X （a ） -X ）（X （a ）—X ）。

a 4

定义2若A 1 ~W p （山，匕）,m_p,A 2?W p （门2,匕）,匕.0,且A 1和A ?相互独立，则称，-计州］人 A ?

为Wilks 统计量，上的分布称为 Wilks 分布，简记为 上?上（p,n 「n 2），其中n 1, n 2为自由度。

在实际应用中，经常把 上统计量化为T 2统计量进而化为 F 统计量，利用F 统计量来解决多元统计 分析中有关检验问题。当

n 2 =1时，用n 代替m ，可得到它们之间的关系式如下：

/

八

1

上（P, n,1）=

1 2 1 T 2（p ,n ） n

T 2 =门丄(p,n,1)

A(p, n,1)

由前边定理知

n - p 1

2

T ~F(p, n-p 1) np

所以

gj 上严呼?F(p,n_p1)

p 上(P, n,1)

n 2

=2时有如下关系:

n - p 1 -(p, n,2)

----------- ~ F(2p,2(n- p)) 、(P, n,2)

p=1时有:

p=2时有:

以上几个关系式说明对一些特殊的 计量或F 统计量来近似表示，后面给出。

（3）多个正态总体均值向量检验（多元方差分析）

设有k 个p 元正态总体NpC',］）,…，Np （%=），从每个总体抽取独立样品个数分别为 n i , “2,…，n k ,门！

“k^n ，每个样品观测 p 个指标得观测数据如下：

1 为样本广义方差。其

n

n n 2

1

?FD

上(1, n i ,n 2)

n 2

_1 1 -.上2,比小2 ~F （2n 2,2g -1））

厶 2,n 1,n 2

上统计量可以化为 F 统计量，而当n 2 2,p 2时，可用

2

统

第一个总体:

(1) '11 (1) 、21

Y ⑴ ?…

入12 Y ⑴ ■…

X22

v

⑴n X1 p

v

⑴

X2p

X

X 21

)

s

(1)

F 1

v (1) ■…

入

q 2

v (1)

入

nR

x ni

乂 (1) ,X i2 ■… Y ⑴\ ,,X ip )

,

i =1, ,n 1

此处 X i (1^(X (11)

给定检验水平:,查Wilks 分布表，确定临界值，然后作出统计判断。当手头没有 可用如下 2

分布或F 分布来近似。

设一 l~_'；(p, n,m)

V - -(n

m - ( p m 1)； 2) In 上

第二个总体:

Xi (i 2)

乂 (2) 入21

⑵

入12 ⑵

入22

(2) 入1 p

(2) x

2 p

(2) T

1 (2) 2

此处X (2)

Y (2)

X i

n 2

x n?

(2)

X

n 2p

二(X i12)

X (2)

(2)、

I - 1

第k 个总体:

X (1

k)

丫 (k) 入21

a

v (k)

(k)

入12

(k) 1 (k) 2

此处 X i (k) =(X i (1k),X i^/-,X iP k)), 全部样品的总均值向量:

各总体样品的均值向量:

(a)

X

1 p

1 n a

n a

z

X i (a)

此处

xn?

V (k)

△

一 1 k na

_

_

_

(a)

(a)

(a)

j(X 1 ,X

2，…

,X p ),

a =1, ,k

4 n a —(a)

1

「 X j i 叫

类似一元方差分析办法，将诸平方和变成了离差阵有:

k

(a)

(a)

A 八 n a (X -X) (X -X) ...........................

a 1 k n a

(a)

(a)

(a)

(a)

E 八、? (X (

-X 丿)(X () -X (丿)……

a =1 i =1

k na —(a)

—

—(a)

一

T 、(X i - X) (X i -X)

a =1 i =1

这里T=A+E 欲检验假设

n a X i(a)

j =1,…,p

组间离差阵

组内离差阵

： J

1

用似然比原则构成的检验统计量为:

H 1:至少存在i = j,使

J j

E

声 ~A (P ，n —k ，k T )

Wilks 分布表时

(k) 入22

(k)

(k) X

1p (k) X

2p

一般总体均值的假设检验.

§7.4 一般总体均值的假设检验 一、一般总体均值的大样本假设检验 1． 一个总体均值的大样本假设检验 设样本12(,,,)n X X X 取自非正态总体X ，记总体均值μ=)(X E 。样本均值及样本方差分别为11n i i X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑。 如果我们要做双侧检验：0100::μμμμ≠?=H H ，在大样本情况（样本容量30≥n ）下可选 n S X Z /0 μ-=为检验统计量，由中心极限定理知，它在0H 成立时近 似服从)1,0(N 。检验的P 值近似为|))(|1(2)| |(20O O z z Z P Φ-==≥μμ，其中检验统计量Z 的观测值为 n s x z O /0 μ-=。 例7.4.1 一种机床加工的零件尺寸绝对平均误差为1.35mm 。生产厂家现采用一种新的 机床进行加工以期降低误差。为检验新机床加工的零件平均误差与旧机床相比是否有显著降低，从某天生产的零件中随机抽取50个进行检验。50个零件尺寸的绝对误差数据（mm ）如下所示： 1.26 1.19 1.31 0.97 1.81 1.13 0.96 1.06 1.00 0.94 0.98 1.10 1.12 1.03 1.16 1.12 1.12 0.95 1.02 1.13 1.23 0.74 1.50 0.50 0.59 0.99 1.45 1.24 1.01 2.03 1.98 1.97 0.91 1.22 1.06 1.11 1.54 1.08 1.10 1.64 1.70 2.37 1.38 1.60 1.26 1.17 1.12 1.23 0.82 0.86 利用这些数据，检验新机床加工的零件尺寸的平均误差是否显著降低？（0.01α=） 解：这里研究者所关心的是新机床加工的零件尺寸的平均误差与旧机床相比是否有显著降低，也就是新机床加工的零件尺寸的误差的数学期望μ=)(X E 是否小于1.35，因此属于单左侧检验。提出的假设如下： 0: 1.35H μ≥?1: 1.35H μ< 现在50=n ，检验统计量可选为 )1,0(~/35.135.1N n S X Z =-=μ； 由数据得：215.1=x ，366.0=s ，故检验统计量Z 的观测值为608.250 /366.035 .1215.1-≈-≈O z ，所以检验的P 值近似为 0046.0)608.2()35.1608.2(=-Φ≈=-≤μZ P 。 因为01.0

spss教程第二章均值比较检验与方差分析要点

第二章均值比较检验与方差分析 在经济社会问题的研究过程中，常常需要比较现象之间的某些指标有无显著差异，特别当考察的样本容量n比较大时，由随机变量的中心极限定理知，样本均值近似地服从正态分布。所以，均值的比较检验主要研究关于正态总体的均值有关的假设是否成立的问题。 ◆本章主要内容： 1、单个总体均值的 t 检验（One-Sample T Test）； 2、两个独立总体样本均值的 t 检验（Independent-Sample T Test）； 3、两个有联系总体均值均值的 t 检验（Paired-Sample T Test）； 4、单因素方差分析（One-Way ANOVA）； 5、双因素方差分析（General Linear Model Univariate）。 ◆假设条件：研究的数据服从正态分布或近似地服从正态分布。 在Analyze菜单中，均值比较检验可以从菜单Compare Means，和General Linear Model得出。如图2.1所示。 图2.1 均值的比较菜单选择项 §2.1 单个总体的t 检验（One-Sample T Test）分析 单个总体的 t 检验分析也称为单一样本的 t 检验分析，也就是检验单个变量的均值是否与假定的均数之间存在差异。如将单个变量的样本均值与假定的常数相比较，通过检验得出预先的假设是否正确的结论。

例1：根据2002年我国不同行业的工资水平（数据库SY-2），检验国有企业的职工平均年工资收入是否等于10000元，假设数据近似地服从正态分布。 首先建立假设：H0：国有企业工资为10000元； H1：国有企业职工工资不等于10000元 打开数据库SY-2，检验过程的操作按照下列步骤： 1、单击Analyze →Compare Means →One-Sample T Test，打开One-Sample T Test 主对话框，如图2.2所示。 图2.2 一个样本的t检验的主对话框 2、从左边框中选中需要检验的变量（国有单位）进入检验框中。 3、在Test Value框中键入原假设的均值数10000。 4、单击Options按钮，得到Options对话框（如图2.3），选项分别是置信度（默认项是95％）和缺失值的处理方式。选择后默认值后返回主对话框。 图2.3 一个样本t检验的Options对话框 5、单击OK，得输出结果。如表2.1所示。 表2.1（a）.数据的基本统计描述 One-Sample Statistics

第2章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验

第一章 多元正态分布的参数估计 一、填空题 1.设X 、Y 为两个随机向量，对一切的u 、v ，有 ，则称X 与Y 相互独立。 2.多元分析处理的数据一般都属于 数据。 3．多元正态向量()' =p X X X ,,1 的协方差阵∑是 ，则X 的各分量是相互独立的随机变量。 4．一个p 元函数() p x x x f ,,,21 能作为p R 中某个随机向量的密度函数的主要条件是 和 。 5．若p 个随机变量1X ，2X ， ，p X 的联合分布等于 ，则称1X ， 2X ， ，p X 是相互独立的。 6.多元正态分布的任何边缘分布为 。 7.若()∑,~μp N X ，A 为p s ?阶常数阵，d 为s 维常数向量，则 ~d AX + 。 8.多元正态向量X 的任何一个分量子集的分布称为X 的 。 9.多元样本中，不同样品的观测值之间一定是 。 10.多元正态总体均值向量和协差阵的极大似然估计量分别是 。 11.多元正态总体均值向量μ和协差阵∑的估计量X 、S n 1 1 -具有 、 和 。 12．设X 和S 分别是多元正态总体()∑,μp N 的样本均值向量和离差阵，则 ~X ，X 和S 。 13.若()()∑,~μαp N X ，n ,,2,1 =α且相互独立，则样本离差阵 ()()()()∑=' --=n X X X X S 1~ααα 。 14．若()∑,~i p i n W S ，k i ,,1 =，且相互独立，则~21k S S S S +++= 。 二、判断题 1.多元分布函数()x F 是单调不减函数，而且是右连续的。 2.设X 是p 维随机向量，则X 服从多元正态分布的充要条件是：它的任何组合 ()p R X ∈'αα都是一元正态分布。 3.μ是一个P 维的均值向量，当A 、B 为常数矩阵时，具有如下性质： （1）E （AX ）=AE （X ） （2）E （AXB ）=AE （X ）B 4．若P 个随机变量X 1，…X P 的联合分布等于各自边缘分布的乘积，则称X 1，… X P 是相互独立的。 5．一般情况下，对任何随机向量()'=X X X p ,,1 ，协差阵∑是对称阵，也 是正定阵。 6．多元正态向量( )' =X X X p ,,1 的任意线性变换仍然服从多元正态分布。 7．多元正态分布的任何边缘分布为正态分布，反之一样。 8．多元样本中，不同样品之间的观测值一定是相互独立的。 9．多元正态总体参数均值μ的估计量X 具有无偏性、有效性和一致性。 10． S n 1 是∑的无偏估计。 11.Wishart 分布是2 χ分布在p 维正态情况下的推广。

总体均值的假设检验

总体均值的假设检验 一、正态总体均值的检验 设n X X X ，， ， 21为总体),(２ N 的一个容量为n 的样本． 1．方差2 已知， 的检验——u 检验法． 当2 02 已知时， 假设检验问题：0100 ：；：H H ． 选择检验统计量n X U /00 ，当0H 成立时，)1,0(~N U ． 给定显著性水平 ，由标准正态分布分位点的定义, 有 }|{|2/u U P ， 故拒绝域}{}{}|{|2/2/2/ u U u U u U W ， 这种利用服从正态分布的检验统计量的检验方法称为u 检验法． 有时我们只关心总体的均值是否增大（或减小）．比如，经过工艺改革后，产品的质量（如材料的强度）比以前是否提高，此时我们要研究的是新工艺下总体的均值 是小于等于原来的均值0 ，还是大于0 ， 即检验假设 0100 ：；：H H ． 可以证明，在显著性水平 下，上述假设检验问题和 检验假设0100 ：；：H H 有相同的拒绝域， 因此，遇到形如00 ：H 的检验问题，可归结为后一个假设检验问题讨论． 类似地，形如0100 ：；：H H 的检验问题， 可归结为检验假设 0100 ：；：H H ． 这都是单边检验问题．给定显著性水平 ，求得的临界值点是上 分位点或上 1分位点．

例1 某厂生产的某种钢索的断裂强度X 服从),(２ N ，其中 40 (kg/cm 2)，现从这批钢索中抽取容量为9的样本，测得断裂强度的平均值 x 较以往正常生产的 大20(kg/cm 2 )，设总体方差不变，问在1.00 下，能否 认为这批钢索质量有显著提高？ 解 依题意，检验假设0100 ：；：H H ， 由于40 已知，选择检验统计量n X U /0 因为0H 中的 全部都比1H 中的 要小，从直观上看，当0H 成立时，X 的取值 x 不应比 大很多，若偏差0 x 过大，则拒绝0H 而接受1H ． 因为 0100 ：；：H H 的拒绝域为}{ u U W ， 故在显著性水平1.00 下原假设的拒绝域为 }{}{0n u X u U W ． 本题中，9 n ，40 ，200 x ，33.201.0 u ， 计算U 的值33.25.1/0 n x u 因此在显著性水平1.00 下不能拒绝0H ，即认为这批钢索质量没有显著提高． 2．方差2 未知， 的检验——t 检验法． 检验假设0100 ：；：H H ． 因为2 未知，而样本方差2S 是总体方差2 的无偏估计量，用S 代替 ． 选择检验统计量 n S X T /0 ， 当0H 成立时，)1(~ n t T ．给定显著性水平 ，由t 分布分位点的定义， 有 )}1(|{|2/n t T P ，

正态总体均值及方差的假设检验表

正态总体均值及方差的假设检验表： 单正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平α) 1 a n ～N (0,1)2 01 a S n ～t 2 2 02 1 0n i n i a ～ 2或 2 21 2 n 2 2n 2 21 n 20 ～ 22 21 1 2 n 2 21n 21 1 n

2 212 12 n n ～N (0,1) 2 1 2 11W S n n ～ 2 , 22 1122 122 n S n S n n 22 22 21112 2 1 2 1i i n i i a a n ～12,F n n 2 或 2 2 221 n S n ～21,1n 1 2或 2

Z =ξ-η～N (a 1-a 2，21σ+2 2σ)，Z i =ξi -ηi . 2 21 2 Z n ) 2 1 S n ～ 2

单正态总体均值及方差的区间估计(置信度1-α) 已知 1 a n ～N (0,1)0 1 1 , n n u u n n 1 a S n ～t , 1 1 t t n n 2 02 1 n i n i a ～ 001 122, 12 2 i i i i n n a a 20 ～ 21 ,12 2 n

2个正态总体均值差及方差比的区间估计(置信度1-α) 12 212 12 a n n ～N (0,1) 2212 12 u n n 112 11W a S n n 22 n t 1 22 12 11W n n t S n n )2 a ξ-12 ,1 ,2 2 n n A F A 2 112 222 2 11n S n S ～ 2 2 21112W n S n S n n 212 1212 2 2 1 n i i n i i n a A n a ，2 122 2 21111n n S B n n S ． （注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）

第三节-两正态总体的假设检验

第三节 两个正态总体的假设检验 上一节介绍了单个正态总体的数学期望与方差的检验问题，在实际工作中还常碰到两个正态总体的比较问题. 1.两正态总体数学期望假设检验 （1） 方差已知，关于数学期望的假设检验（Z 检验法） 设X ~N (μ1,σ12），Y ~N （μ2，σ22），且X ，Y 相互独立，σ12与σ22 已知，要检验的是 H 0：μ1=μ2；H 1：μ1≠μ2.(双边检验) 怎样寻找检验用的统计量呢从总体X 与Y 中分别抽取容量为n 1，n 2的样本X 1，X 2，…， 1n X 及Y 1，Y 2，…，2n Y ，由于 2111~,X N n σμ?? ??? ，2222~,Y N n σμ?? ???， E （X -Y ）=E （X ）-E （Y ）=μ1-μ2， D （X -Y ）=D （X ）+D （Y ）= 22 121 2 n n σσ+， 故随机变量X -Y 也服从正态分布，即 X -Y ~N (μ1-μ2， 22 121 2 n n σσ+). 从而 X Y ~N （0，1）. 于是我们按如下步骤判断. （a ） 选取统计量 Z X Y ， （） 当H 0为真时，Z ~N （0，1）. （b ） 对于给定的显著性水平α，查标准正态分布表求z α/2使 P {｜Z ｜＞z α/2}=α，或P {Z ≤z α/2}=1-α/2. （） （c ） 由两个样本观察值计算Z 的观察值z 0： z 0 x y . （d ） 作出判断： 若｜z 0｜＞z α/2，则拒绝假设H 0，接受H 1； 若｜z 0｜≤z α/2，则与H 0相容，可以接受H 0. 例8.7 A ，B 两台车床加工同一种轴，现在要测量轴的椭圆度.设A 车床加工的轴的椭

第三节 双正态总体的假设检验

第三节 双正态总体的假设检验 上节中我们讨论单正态总体的参数假设检验，基于同样的思想，本节将考虑双正态总体的参数假设检验. 与单正态总体的参数假设检验不同的是，这里所关心的不是逐一对每个参数的值作假设检验，而是着重考虑两个总体之间的差异，即两个总体的均值或方差是否相等. 设 X ~),(211σμN , Y ~),(2 22σμN ,1 ,,,21n X X X 为取自总体),(211σμN 的一个样本, 2 ,,,21n Y Y Y 为取自总体),(2 22σμN 的一个样本, 并且两个样本相互独立, 记X 与Y 分别为样 本1,,,21n X X X 与2,,,21n Y Y Y 的均值, 21S 与22S 分别为1,,,21n X X X 与2,,,21n Y Y Y 的方差. 内容分布图示 ★ 双正态总体均值差的假设检验（1） ★ 例1 ★ 例2 ★ 双正态总体均值差的假设检验（2） ★ 例3 ★ 例4 ★ 双正态总体均值差的假设检验（3） ★ 例5 ★ 双正态总体方差相等的假设检验 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题7-3 ★ 返回 内容要点： 态总体均值差的假设检验 1．方差2 221,σσ已知情形 1) 检验假设 .:,:02110210μμμμμμ≠-=-H H 其中0μ为已知常数. 由第五章第三节知, 当0H 为真时, ),1,0(~//2 2 2 1210 N n n Y X U σσμ+--= 故选取U 作为检验统计量. 记其观察值为u . 称相应的检验法为u 检验法. 由于X 与Y 是1μ与2μ的无偏估计量, 当0H 成立时, ||u 不应太大, 当1H 成立时, ||u 有偏大的趋势, 故拒绝域形式为 k n n Y X u ≥+--= 2 2 2 1210 //||σσμ (k 待定). 对于给定的显著性水平α,查标准正态分布表得2/αu k =, 使 αα=≥}|{|2/u U P , 由此即得拒绝域为 ,//||2/2 2 2 1210 ασσμu n n Y X u ≥+--= 根据一次抽样后得到的样本观察值1,,,21n x x x 和2,,,21n y y y 计算出U 的观察值u , 若2/||αu u ≥,则拒绝原假设0H ,当00=μ时即认为总体均值1μ与2μ有显著差异;若2/||αu u <,则 接受原假设0H , 当00=μ时即认为总体均值1μ与2μ无显著差异. 类似地，对单侧检验有： 2)右侧检验：检验假设.:,:02110210μμμμμμ>-≤-H H 其中0μ为已知常数. 得拒绝域为

spss第五章,两总体均值比较

第5章两总体均值比较 Means：两个总体均值的比较 One samples T Test：单样本T检验 Independent –Samples T Test：独立样本T检验 Paried-Samples T Test：配对样本T检验 One –Way ANOV A：单因素方差分析 5.1单样本T检验 单样本检验是检验样本均值与已知总体均值是否存在差异。统计的前提是样本总体服从正态分布。 spss将自动计算t值（自己理解意思） 例5.1 分析某班级学生高考数学成绩与全国的平均成绩70分之间

是否存在显著性差异。数据如下：85 74 86 95 86 82 75 78 88 86 98 56 64 63 80 ----Analyze----Computer Means----One Sample T Test 红色部分填（输入已知的总体均数------此题在Tset Value中写70） -------点击options后出现如下： exclude case analysis by analysis：带有缺失值的观测值（当它与分析有关时才被剔除，它为默认状态） exclude cases listwise：表示剔除带有缺失值的所有观测值 -------设置置信度，默认95%。------continue -------回到前一个对话框------单击“OK” 结果如表5.1 5.2 独立样本T检验（使用表5.2）

----Analyze----Computer Means----Indenpendent Sample T Test ------如下图选择数据 ------单击“define groups”---并在“Groups 1“中输入“1”在“Groups 2“中输入“2”

多元统计分析实验指导书——实验一-均值向量和协方差阵检验word版本

实验一SPSS软件的基本操作与均值向量和协方差阵的检验 【实验目的】 通过本次实验，了解SPSS的基本特征、结构、运行模式、主要窗口等，了解如何录入数据和建立数据文件，掌握基本的数据文件编辑与修改方法,对SPSS有一个浅层次的综合认识。同时能够掌握对均值向量和协方差阵进行检验。 【实验性质】 必修，基础层次 【实验仪器及软件】 计算机及SPSS软件 【实验内容】 1.操作SPSS的基本方法(打开、保存、编辑数据文件) 2.问卷编码 3.录入数据并练习数据相关操作 4.对均值向量和协方差阵进行检验，并给出分析结论。 【实验学时】 4学时 【实验方法与步骤】 1.开机 2.找到SPSS的快捷按纽或在程序中找到SPSS，打开SPSS 3.认识SPSS数据编辑窗、结果输出窗、帮助窗口、图表编辑窗、语句编辑窗 4.对一份给出的问卷进行编码和变量定义 5.按要求录入数据 6.练习基本的数据修改编辑方法 7.检验多元总体的均值向量和协方差阵 8.保存数据文件 9.关闭SPSS，关机。 【实验注意事项】

1.实验中不轻易改动SPSS的参数设置，以免引起系统运行问题。 2.遇到各种难以处理的问题，请询问指导教师。 3.为保证计算机的安全，上机过程中非经指导教师和实验室管理人员同意，禁 止使用移动存储器。 4.每次上机，个人应按规定要求使用同一计算机，如因故障需更换，应报指导 教师或实验室管理人员同意。 5.上机时间，禁止使用计算机从事与课程无关的工作。 【上机作业】 1.定义变量：试录入以下数据文件，并按要求进行变量定义。 表1 要求： 1）变量名同表格名，以“（）”内的内容作为变量标签。对性别（Sex）设值标签“男=0；女=1”。 2）正确设定变量类型。其中学号设为数值型；日期型统一用“mm/dd/yyyy“型号；生活费

2正态总体参数假设检验

7.2 正态总体参数假设检验 教学目的：理解和掌握单个以及两个正态总体均值的假设检验的方法与思想，掌握正态总体方差检验的方法，能用R软件来完成这些检验。 教学重点：检验方法的掌握，检验方法思想的理解。 教学难点：检验方法的掌握。 在实际问题中，有关方差的检验问题也是常遇到的，如上节介绍的u检验和t检验中均与方差有密切的联系。因此，讨论方差的检验问题尤为重要。 7.2.1 检验 设总体未知，x1，…，nx为取自X的样本，欲检验假设 其中为已知数。 自然想到，看的无偏估计s2有多大，当H0为真时，s2应在周围波动，如果很大或很小，则应否定H0，因此构造检验统计量。对于给定的显著水平α，可查（n-1）表可得分位数 ∴拒绝域W为。 若统计量落在拒绝域W内，则拒绝，接受。 若统计量落在接受域内，则接受，拒绝 例7-6 设某厂生产铜线的折断力，现从一批产品中抽查10根测其折断力后经计算得样本均值=575.2，样本方差s2=68.16。试问能否认为这批铜线折断力的方差仍为82（公斤）（取α=0.05）？ 解按题意，欲检验假设 （1）， （2）引进统计量 （3）根据α=0.05，查（n-1）=（9）表得临界值

于是得拒绝域 （4）。 （5）计算 由于不在拒绝域W内，故不拒绝，即可认为该批铜线折断力的方差与82（公斤）无显著差异。 7.2.2 F检验 前面介绍的用t检验法检验两个独立正态总体的均值是否相等时，曾假定它们的方差是相等的。一般说来，两个正态总体方差是未知的，那么，如何来检验两独立正态总体方差是否相等呢？为此介绍F检验法。 设有两正态总体和分别是取 自X和Y的样本且相互独立。欲检验统计假设。 由于是的无偏估计，是的无偏估计，当为真时，自然想到和应该差 不多，其比值不会太大或大小，现在关键在于统计量服从什么分布。由§6.3节定理6-4推论我们知道，当为真时，这样，取F为检验统计量，对给定的水平α，查附表5，确定临界值使 。 即得拒绝域。 若由样本观测值算得F值，当F∈W时，拒绝，即认为两总体方差有显著差异。否则认为与相容，即两总体方差无显著差异。 例7-7 设甲、乙两台机床加工同一种轴，从这两台机床加工的轴中分别抽取若干根，测得直径数据如下 假定各台机床加工轴的直径X，Y分别服从正态分布，试比较甲、乙两台机

§8.2总体均值的假设检验

§8.2总体均值的假设检验 一、正态总体均值的检验 设n X X X ，，， 21为总体),(２σμN 的一个容量为n 的样本． 1．方差2σ已知，μ的检验——u 检验法． 当2 02σσ=已知时， 假设检验问题：0100μμμμ≠=：；：H H ． 选择检验统计量n X U /00 σμ-= ，当0H 成立时，)1,0(~N U ． 给定显著性水平α，由标准正态分布分位点的定义, 有αα=>}|{|2/u U P ， 故拒绝域}{}{}|{|2/2/2/αααu U u U u U W >-<=>= ， 这种利用服从正态分布的检验统计量的检验方法称为u 检验法． 有时我们只关心总体的均值是否增大（或减小）．比如，经过工艺改革后，产品的质量（如材料的强度）比以前是否提高，此时我们要研究的是新工艺下总体的均值μ是小于等于原来的均值0μ，还是大于0μ， 即检验假设 0100μμμμ>≤：；：H H ． 可以证明，在显著性水平α下，上述假设检验问题和 检验假设0100μμμμ>=：；：H H 有相同的拒绝域， 因此，遇到形如00μμ≤：H 的检验问题，可归结为后一个假设检验问题讨论． 类似地，形如0100μμμμ<≥：；：H H 的检验问题， 可归结为检验假设 0100μμμμ<=：；：H H ． 这都是单边检验问题．给定显著性水平α，求得的临界值点是上α分位点或上α-1分位点． 例1 某厂生产的某种钢索的断裂强度X 服从),(２σμN ，其中40=σ(kg/cm 2)，现从这批钢索中抽取容量为9的样本，测得断裂强度的平均值x 较以往正常生产的μ大20(kg/cm 2)，设总体方差不变，问在1.00=α下，能否认为这批钢索质量有显著提高？

均值向量和协方差阵的检验

实验课程名称多元统计分析 实验项目名称均值向量和协方差阵的检验 年级 09级 专业统计 学生姓名周江 学号 0907010251 理学院 实验时间：2011年10 月4 日

学生实验室守则 一、按教学安排准时到实验室上实验课，不得迟到、早退和旷课。 二、进入实验室必须遵守实验室的各项规章制度，保持室内安静、整洁，不准在室内打闹、喧哗、吸烟、吃食物、随地吐痰、乱扔杂物，不准做与实验内容无关的事，非实验用品一律不准带进实验室。 三、实验前必须做好预习（或按要求写好预习报告），未做预习者不准参加实验。 四、实验必须服从教师的安排和指导，认真按规程操作，未经教师允许不得擅自动用仪器设备，特别是与本实验无关的仪器设备和设施，如擅自动用或违反操作规程造成损坏，应按规定赔偿，严重者给予纪律处分。 五、实验中要节约水、电、气及其它消耗材料。 六、细心观察、如实记录实验现象和结果，不得抄袭或随意更改原始记录和数据，不得擅离操作岗位和干扰他人实验。 七、使用易燃、易爆、腐蚀性、有毒有害物品或接触带电设备进行实验，应特别注意规范操作，注意防护；若发生意外，要保持冷静，并及时向指导教师和管理人员报告，不得自行处理。仪器设备发生故障和损坏，应立即停止实验，并主动向指导教师报告，不得自行拆卸查看和拼装。 八、实验完毕，应清理好实验仪器设备并放回原位，清扫好实验现场，经指导教师检查认可并将实验记录交指导教师检查签字后方可离去。 九、无故不参加实验者，应写出检查，提出申请并缴纳相应的实验费及材料消耗费，经批准后，方可补做。 十、自选实验，应事先预约，拟订出实验方案，经实验室主任同意后，在指导教师或实验技术人员的指导下进行。 十一、实验室内一切物品未经允许严禁带出室外，确需带出，必须经过批准并办理手续。

单个正态总体的假设检验

学号：20115034036 学年论文(本科） 学院数学与信息科学学院 专业信息与计算科学 年级 2011级 姓名姚瑞娟 论文题目单个正态总体的检验假设 指导教师韩英波职称副教授 成绩 2014年3月10日 1 / 13

目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstrac (1) Keywords (1) 前言 (1) 1 假设检验的基本步骤 (2) 1.1 建立假设 (2) 1.2 建立假设选择检验统计量,给出拒绝域形式 (2) 2 单个正态总体均值的检验 (3) 2.1 δ已知时的μ检验 (4) 2。2 δ未知时的t检验 (6) 3 单个正态总体方差的检验 (8) 参考文献 (9)

单个正态总体的假设检验 学生姓名：姚瑞娟学号:20115034036 数学与信息科学学院信息与计算科学专业 指导老师：韩英波职称:副教授 摘要：本文介绍了假设检验的基本步骤,如何建立假设检验,判断假设是否正确。此外，从2δ已知和2δ未知详细的讲述了单个正态总体μ的检验，还有单个正态总体方差的检验,及与它们相关的应用举例. 关键词：正态分布；假设检验；均值；方差;拒绝域;接受域；原假设； Hypothesis test of one normal population Abstract：It introduces the basic steps of hypothesis test in this paper，and how to build hypothesis and correct judgment test. In addition，it detailed introduces the single hypothesis test from variance is known and unknown。There is a single of normal population variance test and the related application. Keywords：normal distribution;price value；hypothesis test;variance；rejected region；receptive regions；the original hypothesis 前言 假设检验是由K。Pearson于20世纪初提出的，之后由费希尔进行了细化，并最终由奈曼和E。Pearson提出了较完整的假设检验理论.统计推断的一个重要内容就是假设检验.然而,正态分布正态分布是最重要的一种概率分布,正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moiré于1733年受次提出的,但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布,高斯这项工作对后世的影响极大他使正态分布同时有了"高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他。也是出于这一工作,高斯是一个伟大的数学家,重要的贡献不胜枚举。但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线.这传达了一种想法，在高斯的一切科这要到20世纪正态 1

第2章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验

第二章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验 一、填空题 1.在一个正态总体均值向量的假设检验中，在∑已知的情况下，构造的检验统计量为 ，服从 分布；在∑未知的情况下，构造的检验统计量为 ，服从 分布。 2.若()∑,0~p N X ，()∑,~n W S p ，且X 与S 相互独立，令X S X n T 12-'=，则 ~1 2T np p n +- 。 3.若 ()∑,~μp N X ，()∑,~n W S p ，且X 与S 相互独立，p n ≥，则称统计量X S X n T 12-'=的分布为 分布，记为 。 4．在两个正态总体均值向量的假设检验中,假定其协差阵∑相等,则在∑已知的情况下,构造的统计量为 ,服从的分布为 ；在∑未知的情况下，构造的检验统计量为 ，服从的分布为 。 二、判断题 1．设()∑,~μp N X ，()∑,~n W S p ，p n ≥，则称统计量X S X n T 12-'=的分布为非中心2HotellingT 分布，记为()μ,,~22n p T T 。 2．在协差阵∑未知的情况下对均值向量进行检验，需要用样本协差阵 S n 1 去代替∑。 3.2HotellingT 分布是一元统计分布中t 分布的推广。 4．在一个正态总体均值向量的假设检验中，在∑已知的情况下，构造的检验统计量服从2HotellingT 分布。 5．在一个正态总体均值向量的假设检验中，在∑未知的情况下，构造的检验统

计量服从2χ分布。 6．在两个正态总体均值向量的假设检验中,假定其协差阵∑相等,则在∑已知的情况下,构造的统计量服从多元正态分布。 7．在两个正态总体均值向量的假设检验中,假定其协差阵∑相等, 在∑未知的情况下，构造的检验统计量服从2 HotellingT分布。 三、简答题 1．试述多元统计分析中的各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤。 2．试述多元统计分析中2 HotellingT分布和一元统计中t分布的关系。

多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验.

第三章 多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验 什么是假设检验及基本思想、计算步骤，在初等数理统计中都已做过介绍。多元分析也涉及这方面内容，在后面介绍的常用各种统计方法，有时要对总体的均值向量和协差阵做检验，比如，对两个总体做判别分析时，事先就需要对两个总体的均值向量做检验，看看是否在统计上有显著差异，否则做判别分析就毫无意义。 本章类似一元统计分析中的各种均值和方差的检验相应给出多元统计分析中的各种均值向量和协差阵的检验。不论做上述任何检验，其基本步骤均可归纳为四步：第一步，提出待检验的假设0H 和1H 。第二步，给出检验的统计量及它服从的分布。第三步，给定检验水平a ，查统计量的分布表，确定临界值a λ，从而得到否定域。第四步根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设检验做出决策（拒绝或接受）。由于各种检验的计算步骤类似，关键在于对不同的检验给出不同的统计量，而有关统计量的给出大多用似然比方法得到。本章只侧重于解释选取统计量的合理性，而不给出推导过程，最后给出几个实例。同时为了说明统计量的分布，自然地给出HotellingT 2分布和Wilks 分布的定义，它们分别是一元统计中t 分布和F 分布的推广。 §3.1 均值向量的检验 为了对多元正态总体均值向量作检验，首先需要给出HotellingT 2分布的定义。 1 HotellingT 2分布 定义 设),(~),,(~∑∑n W S N X p p μ且X 与S 相互独立，p n ≥，则称统计量X S X n T 12-' =的分布为非中心HotellingT 2分布，记为),,(~22μn p T T 。当0=μ时，称2T 服从（中心）HotellingT 2分布，记为),(2n p T ，由于这一统计量的分布首先由Harold Hotelling 提出来的，故称为HotellingT 2分布，值 得指出的是，我国著名统计学家许宝马录先生在1938年用不同方法也导出T 2分布的密度函数，因表达式很复杂，故略去。 在一元统计中，若n X X ,,1Λ来自总体),(2σμN 的样本，则统计量： )1(~?) (--= n t X n t σ μ分布 其中 2 1 2 )(11?∑ =--=n i i X X n σ 显然， )()?()(?)(122 2 2 μσμσ μ-'-=-=-X X n X n t 与上边给出的T 2统计量形式类似，且??? ? ??-n N X 2,0~σμ。 可见，T 2分布是一元统计中t 分布的推广。 基本性质： 在一元统计中，若统计量)1(~-n t t 分布，则)1,1(~2-n F t 分布，即把t 分布的统计量转化为F 统计量来处理，在多元统计分析中T 2统计量也具有类似的性质。 定理 若),(~),,0(~∑∑n W S N X p p 且X 与S 相互独立，令X S X n T 12-' =，则

多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验.

第二章多兀正态总体均值向量和协差阵的假设检验 什么是假设检验及基本思想、计算步骤，在初等数理统计中都已做过介绍。多元分析也涉及这方面 内容，在后面介绍的常用各种统计方法，有时要对总体的均值向量和协差阵做检验，比如，对两个总体做判别分析时，事先就需要对两个总体的均值向量做检验，看看是否在统计上有显著差异，否则做判别分析就毫无意义。 本章类似一元统计分析中的各种均值和方差的检验相应给出多元统计分析中的各种均值向量和协 差阵的检验。不论做上述任何检验，其基本步骤均可归纳为四步：第一步，提出待检验的假设H0和H1。 第二步，给出检验的统计量及它服从的分布。第三步，给定检验水平a，查统计量的分布表，确定临界 值匕，从而得到否定域。第四步根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设检验做出决策(拒绝或接受) 。由于各种检验的计算步骤类似，关键在于对不同的检验给出不同 的统计量，而有关统计量的给出大多用似然比方法得到。本章只侧重于解释选取统计量的合理性，而不 给出推导过程，最后给出几个实例。同时为了说明统计量的分布，自然地给出HotellingT 2分布和Wilks 分布的定义，它们分别是一元统计中t分布和F分布的推广。 § 3.1均值向量的检验 为了对多元正态总体均值向量作检验，首先需要给出Hotelli ngT2分布的定义。 1 HotellingT2分布 定义设X?N p(~[),S?W p( n, Z)且X与S相互独立，n _p，则称统计量T2二nXS’X的分布 为非中心Hotelli ngT 2分布，记为T2~T2(p ,n』)。当—0时，称T2服从(中心)Hotelli ngT 2分布, 记为T 2( p, n)，由于这一统计量的分布首先由Harold Hotelling提出来的，故称为HotellingT 2分布，值得指出的是，我国著名统计学家许宝马录先生在1938年用不同方法也导出T2分布的密度函数，因表达式 很复杂，故略去。 在一元统计中，若X i, ,X n来自总体NC<2)的样本，则统计量： t*(X-4)?t(n—1)分布 其中 2 1 " 2 :?2(X i -X) n -1 7 显然， 『=n(X J)? *収」)(；?2)"X」) 与上边给出的T2统计量形式类似，且X -^~ N 0,—I n 可见，T2分布是一元统计中t分布的推广。 基本性质: 在一元统计中，若统计量t~t( n-1)分布，则t2~F(1, n-1)分布，即把t分布的统计量转化为F统计量来处理，在多元统计分析中T2统计量也具有类似的性质。 定理若X ~ N p(0, Z),S~W p( n,R且X与S相互独立，令T2二nXS^X，则

均值向量和协方差阵的检验

实验报告 实验课程名称多元统计分析 实验项目名称均值向量和协方差阵的检验 年级 09级 专业统计 学生姓名周江 学号 01 理学院 实验时间：2011年 10 月 4 日

学生实验室守则 一、按教学安排准时到实验室上实验课，不得迟到、早退和旷课。 二、进入实验室必须遵守实验室的各项规章制度，保持室内安静、整洁，不准在室内打闹、喧哗、吸烟、吃食物、随地吐痰、乱扔杂物，不准做与实验内容无关的事，非实验用品一律不准带进实验室。 三、实验前必须做好预习（或按要求写好预习报告），未做预习者不准参加实验。 四、实验必须服从教师的安排和指导，认真按规程操作，未经教师允许不得擅自动用仪器设备，特别是与本实验无关的仪器设备和设施，如擅自动用或违反操作规程造成损坏，应按规定赔偿，严重者给予纪律处分。 五、实验中要节约水、电、气及其它消耗材料。 六、细心观察、如实记录实验现象和结果，不得抄袭或随意更改原始记录和数据，不得擅离操作岗位和干扰他人实验。 七、使用易燃、易爆、腐蚀性、有毒有害物品或接触带电设备进行实验，应特别注意规范操作，注意防护；若发生意外，要保持冷静，并及时向指导教师和管理人员报告，不得自行处理。仪器设备发生故障和损坏，应立即停止实验，并主动向指导教师报告，不得自行拆卸查看和拼装。 八、实验完毕，应清理好实验仪器设备并放回原位，清扫好实验现场，经指导教师检查认可并将实验记录交指导教师检查签字后方可离去。 九、无故不参加实验者，应写出检查，提出申请并缴纳相应的实验费及材料消耗费，经批准后，方可补做。 十、自选实验，应事先预约，拟订出实验方案，经实验室主任同意后，在指导教师或实验技术人员的指导下进行。 十一、实验室内一切物品未经允许严禁带出室外，确需带出，必须经过批准并办理手续。