最新Matlab求解微分方程(组)及偏微分方程(组)

最新Matlab 求解微分方程(组)及偏微分方程(组) 理论介绍：Matlab 求解微分方程（组）命令

求解实例：Matlab 求解微分方程（组）实例

实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法.

一．相关函数、命令及简介

1.在Matlab 中，用大写字母D 表示导数，Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，D2y 表示y 关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve 用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为：

X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…)

函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解.

注意，系统缺省的自变量为t

2.函数dsolve 求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB 具有丰富的函数，我们将其统称为solver ，其一般格式为：

[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)

说明：(1)solver 为命令ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 、ode23t 、ode23tb 、ode15i 之一.

(2)odefun 是显示微分方程'(,)y f t y =在积分区间tspan 0[,]f t t =上从0t 到f t 用初始条件0y 求解.

(3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点012,,,

,f t t t t 上的解，则令

tspan 012[,,,]f t t t t =(要求是单调的). (4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器solver ，对于不同的ODE 问题，采用不同的solver.

表1 Matlab中文本文件读写函数

说明：ode23、ode45是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶微分方程（组）的初值问题的解的Matlab常用程序，其中：

ode23采用龙格-库塔2阶算法，用3阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度.

ode45则采用龙格-库塔4阶算法，用5阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度.

3．在matlab命令窗口、程序或函数中创建局部函数时，可用内联函数inline，inline函数形式相当于编写M函数文件，但不需编写M-文件就可以描述出某种数学关系.调用inline函数，只能由一个matlab表达式组成，并且只能返回一个变量，不允许[u,v]这种向量形式.因而，任何要求逻辑运算或乘法运算以求得最终结果的场合，都不能应用inline函数，inline函数的一般形式为：

FunctionName=inline(‘函数内容’, ‘所有自变量列表’)

例如：（求解F(x)=x^2*cos(a*x)-b ,a,b是标量；x是向量）在命令窗口输入:

Fofx=inline(‘x .^2*cos(a*x)-b’ , ‘x’,’a’,’b’);

g= Fofx([pi/3 pi/3.5],4,1)

系统输出为：g=-1.5483 -1.7259

注意：由于使用内联对象函数inline 不需要另外建立m 文件，所有使用比较方便，另外在使用ode45函数的时候，定义函数往往需要编辑一个m 文件来单独定义，这样不便于管理文件，这里可以使用inline 来定义函数.

二．实例介绍

1.几个可以直接用Matlab 求微分方程精确解的实例

例1 求解微分方程2'2x y xy xe -+=

程序：syms x y; y=dsolve(‘Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)’,’x ’)

例 2 求微分方程'0x xy y e +-=在初始条件(1)2y e =下的特解并画出解函数的图形.

程序：syms x y; y=dsolve(‘x*Dy+y-exp(1)=0’,’y(1)=2*exp(1)’,’x ’);ezplot(y)

例 3 求解微分方程组530t dx x y e dt dy x y dt

?++=????--=??在初始条件00|1,|0t t x y ====下的特解

并画出解函数的图形.

程序：syms x y t

[x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t')

simple(x);

simple(y)

ezplot(x,y,[0,1.3]);axis auto

2.用ode23、ode45等求解非刚性标准形式的一阶微分方程（组）的初值问题的数值解（近似解）

例 4 求解微分方程初值问题2222(0)1dy y x x dx y ?=-++???=?

的数值解，求解范围为区

间[0,0.5].

程序：fun=inline('-2*y+2*x^2+2*x','x','y');

[x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1);

plot(x,y,'o-')

例 5 求解微分方程22'2(1)0,(0)1,(0)0d y dy y y y y dt dt

μ--+===的解，并画出解的图形.

分析：这是一个二阶非线性方程，我们可以通过变换，将二阶方程化为一阶方程组求解.令12,,7dy x y x dt μ==

=，则 编写M-文件vdp.m

function fy=vdp(t,x)

fy=[x(2);7*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)];

end

在Matlab 命令窗口编写程序

y0=[1;0]

[t,x]=ode45(@vdp,[0,40],y0);或[t,x]=ode45('vdp',[0,40],y0);

y=x(:,1);dy=x(:,2);

plot(t,y,t,dy)

练习与思考：M-文件vdp.m 改写成inline 函数程序？

3.用Euler 折线法求解

Euler 折线法求解的基本思想是将微分方程初值问题

化成一个代数(差分)方程，主要步骤是用差商()()y x h y x h +-替代微商dy dx ，于是 记1,(),k k k k x x h y y x +=+=从而1(),k k y y x h +=+于是

例 6 用Euler 折线法求解微分方程初值问题

的数值解（步长h 取0.4），求解范围为区间[0,2].

分析：本问题的差分方程为

程序：>> clear

>> f=sym('y+2*x/y^2');

>> a=0;

>> b=2;

>> h=0.4;

>> n=(b-a)/h+1;

>> x=0;

>> y=1;

>> szj=[x,y];%数值解

>> for i=1:n-1

y=y+h*subs(f,{'x','y'},{x,y});%subs，替换函数

x=x+h;

szj=[szj;x,y];

end

>>szj

>> plot(szj(:,1),szj(:,2))

说明：替换函数subs例如：输入subs(a+b,a,4) 意思就是把a用4替换掉，返回4+b，也可以替换多个变量，例如：subs(cos(a)+sin(b),{a,b},[sym('alpha'),2])分别用字符alpha替换a和2替换b，返回cos(alpha)+sin(2)

特别说明：本问题可进一步利用四阶Runge-Kutta法求解，Euler折线法实际上就是一阶Runge-Kutta法，Runge-Kutta法的迭代公式为

相应的Matlab程序为：>> clear

>> f=sym('y+2*x/y^2');

>> a=0;

>> b=2;

>> h=0.4;

>> n=(b-a)/h+1;

>> x=0;

>> y=1;

>> szj=[x,y];%数值解

>> for i=1:n-1

l1=subs(f, {'x','y'},{x,y});替换函数

l2=subs(f, {'x','y'},{x+h/2,y+l1*h/2});

l3=subs(f, {'x','y'},{x+h/2,y+l2*h/2});

l4=subs(f, {'x','y'},{x+h,y+l3*h});

y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;

x=x+h;

szj=[szj;x,y];

end

>>szj

>> plot(szj(:,1),szj(:,2))

练习与思考：(1)ode45求解问题并比较差异.

(2)利用Matlab 求微分方程(4)(3)''20y y y -+=的解.

(3)求解微分方程''2',2(1)0,030,(0)1,(0)0y y y y x y y --+=≤≤==的特解.

(4)利用Matlab 求微分方程初值问题2''''00(1)2,|1,|3x x x y xy y y ==+===的解. 提醒：尽可能多的考虑解法

三．微分方程转换为一阶显式微分方程组

Matlab 微分方程解算器只能求解标准形式的一阶显式微分方程（组）问题，因此在使用ODE 解算器之前，我们需要做的第一步，也是最重要的一步就是借助状态变量将微分方程（组）化成Matlab 可接受的标准形式.当然，如果ODEs 由一个或多个高阶微分方程给出，则我们应先将它变换成一阶显式常微分方程组.下面我们以两个高阶微分方程组构成的ODEs 为例介绍如何将它变换成一个一阶显式微分方程组.

Step 1 将微分方程的最高阶变量移到等式左边，其它移到右边，并按阶次从低到高排列.形式为：

Step 2 为每一阶微分式选择状态变量，最高阶除外

注意：ODEs 中所有是因变量的最高阶次之和就是需要的状态变量的个数，最高阶的微分式不需要给它状态变量.

Step 3 根据选用的状态变量，写出所有状态变量的一阶微分表达式

练习与思考：(1)求解微分方程组 其中

2r =1r =*1,μμ=-1/82.45,μ=(0) 1.2,x =

(2)求解隐式微分方程组

提示：使用符号计算函数solve 求'''',x y ，然后利用求解微分方程的方法

四．偏微分方程解法

Matlab 提供了两种方法解决PDE 问题，一是使用pdepe 函数，它可以求解一般的PDEs,具有较大的通用性，但只支持命令形式调用；二是使用PDE 工具箱，可以求解特殊PDE 问题，PDEtoll 有较大的局限性，比如只能求解二阶PDE 问题，并且不能解决片微分方程组，但是它提供了GUI 界面，从复杂的编程中解脱出来，同时还可以通过File —>Save As 直接生成M 代码.

1.一般偏微分方程（组）的求解

(1)Matlab 提供的pdepe 函数，可以直接求解一般偏微分方程（组），它的调用格式为：sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t)

@pdefun 是PDE 的问题描述函数，它必须换成标准形式：

这样，PDE 就可以编写入口函数：[c,f,s]=pdefun(x,t,u,du)，m,x,t 对应于式中相关参数，du 是u 的一阶导数，由给定的输入变量可表示出c,f,s 这三个函数.

@pdebc 是PDE 的边界条件描述函数，它必须化为形式：

于是边值条件可以编写函数描述为：[pa,qa,pb,qb]=pdebc(x,t,u,du),其中a 表示下边界，b 表示上边界.

@pdeic 是PDE 的初值条件，必须化为形式：00(,)u x t u =，故可以使用函数描述为：u0=pdeic(x)

sol 是一个三维数组，sol(:,:,i)表示i u 的解，换句话说，k u 对应x(i)和t(j)时的解为sol(i,j,k)，通过sol ，我们可以使用pdeval 函数直接计算某个点的函数值.

(2)实例说明

求解偏微分

其中， 5.7311.46()x x F x e e -=-且满足初始条件12(,0)1,(,0)0u x u x ==及边界条件1(0,)0,u t x ?=?221(0,)0,(1,)1,(1,)0u u t u t t x

?===? 解：(1)对照给出的偏微分方程和pdepe 函数求解的标准形式，原方程改写为 可见1121220.024()10,,,()10.17u F u u x m c f s F u u u x ?????--?????====??????-????????????

%目标PDE 函数

function [c,f,s]=pdefun(x,t,u,du)

c=[1;1];

f=[0.024*du(1);0.17*du(2)];

temp=u(1)-u(2);

s=[-1;1].*(exp(5.73*temp)-exp(-11.46*temp))

end

(2)边界条件改写为：

下边界2010.*00f u ??????+=????????????上边界1110.*000u f -??????+=????????????

%边界条件函数

function [pa,qa,pb,qb]=pdebc(xa,ua,xb,ub,t)

pa=[0;ua(2)];

qa=[1;0];

pb=[ub(1)-1;0];

qb=[0;1];

end

(3)初值条件改写为：1210u u ????=??????

?? %初值条件函数

function u0=pdeic(x)

u0=[1;0];

end

(4)编写主调函数

clc

x=0:0.05:1;

t=0:0.05:2;

m=0;

sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t);

subplot(2,1,1) surf(x,t,sol(:,:,1))

subplot(2,1,2) surf(x,t,sol(:,:,2))

练习与思考： This example illustrates the straightforward formulation, computation, and plotting of the solution of a single PDE.

This equation holds on an interval 01x ≤≤ for times 0t ≥. The PDE satisfies the initial condition (,0)sin u x x π= and boundary conditions

2.PDEtool 求解偏微分方程

(1)PDEtool （GUI ）求解偏微分方程的一般步骤

在Matlab 命令窗口输入pdetool ，回车，PDE 工具箱的图形用户界面(GUI)系统就启动了.从定义一个偏微分方程问题到完成解偏微分方程的定解，整个过程大致可以分为六个阶段

Step 1 “Draw 模式”绘制平面有界区域Ω，通过公式把Matlab 系统提供的实体模型：矩形、圆、椭圆和多边形，组合起来，生成需要的平面区域.

Step 2 “Boundary 模式”定义边界，声明不同边界段的边界条件.

Step 3 “PDE 模式”定义偏微分方程，确定方程类型和方程系数c,a,f,d ，根据具体情况，还可以在不同子区域声明不同系数.

Step 4 “Mesh 模式”网格化区域Ω，可以控制自动生成网格的参数，对生成的网格进行多次细化，使网格分割更细更合理.

Step 5 “Solve 模式”解偏微分方程，对于椭圆型方程可以激活并控制非线性自适应解题器来处理非线性方程；对于抛物线型方程和双曲型方程，设置初始边界条件后可以求出给定时刻t 的解；对于特征值问题，可以求出给定区间上的特征值.求解完成后，可以返回到Step 4，对网格进一步细化，进行再次求解.

Step 6 “View 模式”计算结果的可视化，可以通过设置系统提供的对话框，显示所求的解的表面图、网格图、等高线图和箭头梯形图.对于抛物线型和双曲线型问题的解还可以进行动画演示.

(2)实例说明用法

求解一个正方形区域上的特征值问题：

正方形区域为：11,1 1.x x -≤≤-≤≤

(1)使用PDE 工具箱打开GUI 求解方程

(2)进入Draw 模式，绘制一个矩形，然后双击矩形，在弹出的对话框中设置

Left=-1,Bottom=-1,Width=2,Height=2,确认并关闭对话框

(3)进入Boundary模式，边界条件采用Dirichlet条件的默认值

(4)进入PDE模式，单击工具栏PDE按钮，在弹出的对话框中方程类型选择Eigenmodes,参数设置c=1,a=-1/2,d=1,确认后关闭对话框

(5)单击工具栏的 按钮，对正方形区域进行初始网格剖分，然后再对网格进一步细化剖分一次

(6)点开solve菜单，单击Parameters选项，在弹出的对话框中设置特征值区域为[-20,20]

(7)单击Plot菜单的Parameters项，在弹出的对话框中选中Color、Height(3-D plot)和show mesh项，然后单击Done确认

(8)单击工具栏的“=”按钮，开始求解

(完整版)偏微分方程的MATLAB解法

引言 偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。 偏微分方程 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。

一、MATLAB方法简介及应用 1.1 MATLAB简介 MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 1.2 Matlab主要功能 数值分析 数值和符号计算 工程与科学绘图 控制系统的设计与仿真 数字图像处理 数字信号处理 通讯系统设计与仿真 财务与金融工程 1.3 优势特点 1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来； 2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化； 3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握； 4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，

Matlab求解微分方程组及偏微分方程组

第四讲 Matlab 求解微分方程（组） 理论介绍：Matlab 求解微分方程（组）命令 求解实例：Matlab 求解微分方程（组）实例 实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法. 一．相关函数、命令及简介 1.在Matlab 中，用大写字母D 表示导数，Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，D2y 表示y 关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve 用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为： X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解. 注意，系统缺省的自变量为t 2.函数dsolve 求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB 具有丰富的函数，我们将其统称为solver ，其一般格式为： [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) 说明：(1)solver 为命令ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 、ode23t 、ode23tb 、ode15i 之一. (2)odefun 是显示微分方程'(,)y f t y =在积分区间tspan 0[,]f t t =上从0t 到f t 用初始条件0y 求解. (3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点012,,,,f t t t t 上的解，则令 tspan 012[,,, ]f t t t t =(要求是单调的). (4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器solver ，对于不同的ODE 问题，采用不同的solver.

Matlab求解微分方程(组)及偏微分方程(组)

第四讲Matlab求解微分方程(组) 理论介绍:Matlab求解微分方程(组)命令 求解实例:Matlab求解微分方程(组)实例 实际应用问题通过数学建模所归纳得到得方程,绝大多数都就是微分方程,真正能得到代数方程得机会很少、另一方面,能够求解得微分方程也就是十分有限得,特别就是高阶方程与偏微分方程(组)、这就要求我们必须研究微分方程(组)得解法:解析解法与数值解法、 一.相关函数、命令及简介 1、在Matlab中,用大写字母D表示导数,Dy表示y关于自变量得一阶导数,D2y 表示y关于自变量得二阶导数,依此类推、函数dsolve用来解决常微分方程(组)得求解问题,调用格式为: X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组,如果没有初始条件,则求出通解,如果有初始条件,则求出特解、 注意,系统缺省得自变量为t 2、函数dsolve求解得就是常微分方程得精确解法,也称为常微分方程得符号解、但就是,有大量得常微分方程虽然从理论上讲,其解就是存在得,但我们却无法求出其解析解,此时,我们需要寻求方程得数值解,在求常微分方程数值解方 面,MATLAB具有丰富得函数,我们将其统称为solver,其一般格式为: [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) 说明:(1)solver为命令ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb、ode15i之一、 (2)odefun就是显示微分方程在积分区间tspan上从到用初始条件求解、 (3)如果要获得微分方程问题在其她指定时间点上得解,则令tspan(要求就是单调得)、 (4)因为没有一种算法可以有效得解决所有得ODE问题,为此,Matlab提供了多种求解器solver,对于不同得ODE问题,采用不同得solver、 表1 Matlab中文本文件读写函数

MatlabPDE工具箱有限元法求解偏微分方程

在科学技术各领域中，有很多问题都可以归结为偏微分方程问题。在物理专业的力学、热学、电学、光学、近代物理课程中都可遇见偏微分方程。 偏微分方程，再加上边界条件、初始条件构成的数学模型，只有在很特殊情况下才可求得解析解。随着计算机技术的发展，采用数值计算方法，可以得到其数值解。 偏微分方程基本形式 而以上的偏微分方程都能利用PDE工具箱求解。 PDE工具箱 PDE工具箱的使用步骤体现了有限元法求解问题的基本思路，包括如下基本步骤： 1) 建立几何模型 2) 定义边界条件 3) 定义PDE类型和PDE系数 4) 三角形网格划分

5) 有限元求解 6) 解的图形表达 以上步骤充分体现在PDE工具箱的菜单栏和工具栏顺序上，如下 具体实现如下。 打开工具箱 输入pdetool可以打开偏微分方程求解工具箱，如下 首先需要选择应用模式，工具箱根据实际问题的不同提供了很多应用模式，用户可以基于适

当的模式进行建模和分析。 在Options菜单的Application菜单项下可以做选择，如下 或者直接在工具栏上选择，如下 列表框中各应用模式的意义为： ① Generic Scalar：一般标量模式（为默认选项）。 ② Generic System：一般系统模式。 ③ Structural Mech.，Plane Stress：结构力学平面应力。

④ Structural Mech.，Plane Strain：结构力学平面应变。 ⑤ Electrostatics：静电学。 ⑥ Magnetostatics：电磁学。 ⑦ Ac Power Electromagnetics：交流电电磁学。 ⑧ Conductive Media DC：直流导电介质。 ⑨ Heat Tranfer：热传导。 ⑩ Diffusion：扩散。 可以根据自己的具体问题做相应的选择，这里要求解偏微分方程，故使用默认值。此外，对于其他具体的工程应用模式，此工具箱已经发展到了Comsol Multiphysics软件，它提供了更强大的建模、求解功能。 另外，可以在菜单Options下做一些全局的设置，如下 l Grid：显示网格 l Grid Spacing…：控制网格的显示位置 l Snap：建模时捕捉网格节点，建模时可以打开 l Axes Limits…：设置坐标系范围 l Axes Equal：同Matlab的命令axes equal命令

用MATLAB解常微分方程

实验四 求微分方程的解 一、问题背景与实验目的 实际应用问题通过数学建模所归纳而得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少．另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）．这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法，既要研究微分方程（组）的解析解法（精确解），更要研究微分方程（组）的数值解法（近似解）． 对微分方程（组）的解析解法(精确解)，Matlab 有专门的函数可以用，本实验将作一定的介绍． 本实验将主要研究微分方程(组)的数值解法（近似解），重点介绍 Euler 折线法． 二、相关函数（命令）及简介 1．dsolve ('equ1','equ2',…)：Matlab 求微分方程的解析解．equ1、equ2、…为方程（或条件）．写方程（或条件）时用 Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，用用 D2y 表示 y 关于自变量的二阶导数，依此类推． 2．simplify(s )：对表达式 s 使用 maple 的化简规则进行化简． 例如： syms x simplify(sin(x)^2 + cos(x)^2) ans=1 3．[r,how]=simple(s)：由于 Matlab 提供了多种化简规则，simple 命令就是对表达式 s 用各种规则进行化简，然后用 r 返回最简形式，how 返回形成这种形式所用的规则． 例如： syms x [r,how]=simple(cos(x)^2-sin(x)^2) r = cos(2*x) how = combine 4．[T,Y] = solver(odefun,tspan,y 0) 求微分方程的数值解． 说明： (1) 其中的 solver 为命令 ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 、ode23t 、ode23tb 之一． (2) odefun 是显式常微分方程：?????==0 0)() ,(y t y y t f dt dy (3) 在积分区间 tspan =],[0f t t 上，从0t 到f t ，用初始条件0y 求解．

有限差分法求解偏微分方程MATLAB

南京理工大学 课程考核论文 课程名称：高等数值分析 论文题目：有限差分法求解偏微分方程姓名：罗晨 学号： 成绩： 有限差分法求解偏微分方程

一、主要内容 1.有限差分法求解偏微分方程，偏微分方程如一般形式的一维抛物线型方程： 22(,)()u u f x t t x αα??-=??其中为常数 具体求解的偏微分方程如下： 22001 (,0)sin()(0,)(1,)00 u u x t x u x x u t u t t π???-=≤≤?????? =??? ==≥??? 2.推导五种差分格式、截断误差并分析其稳定性； 3.编写MATLAB 程序实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析； 4.结论及完成本次实验报告的感想。 二、推导几种差分格式的过程： 有限差分法（finite-difference methods ）是一种数值方法通过有限个微分方程近似求导从而寻求微分方程的近似解。有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。 推导差分方程的过程中需要用到的泰勒展开公式如下： ()2100000000()()()()()()()......()(()) 1!2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n +'''=+-+-++-+- (2-1) 求解区域的网格划分步长参数如下：

Matlab求解微分方程(组)及偏微分方程(组)

第四讲 Matlab 求解微分方程（组） 理论介绍：Matlab 求解微分方程（组）命令 求解实例：Matlab 求解微分方程（组）实例 实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法. 一．相关函数、命令及简介 1.在Matlab 中，用大写字母D 表示导数，Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，D2y 表示y 关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve 用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为： X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解. 注意，系统缺省的自变量为t 2.函数dsolve 求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB 具有丰富的函数，我们将其统称为solver ，其一般格式为： [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) 说明：(1)solver 为命令ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 、ode23t 、ode23tb 、ode15i 之一. (2)odefun 是显示微分方程'(,)y f t y =在积分区间tspan 0[,]f t t =上从0t 到f t 用初始条件0y 求解. (3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点012,,, ,f t t t t 上的解，则令 tspan 012[,,,]f t t t t =(要求是单调的). (4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE 问题，为此，Matlab 提供

《偏微分方程概述及运用matlab求解偏微分方程常见问题》要点

北京航空航天大学 偏微分方程概述及运用matlab求解微分方 程求解常见问题 姓名徐敏 学号57000211 班级380911班 2011年6月

偏微分方程概述及运用matlab求解偏微分 方程常见问题 徐敏 摘要偏微分方程简介，matlab偏微分方程工具箱应用简介，用这个工具箱解方程的过程是：确定待解的偏微分方程；确定边界条件；确定方程所在域的几何形状；划分有限元；解方程 关键词MATLAB 偏微分方程程序 如果一个微分方程中出现的未知函数只含有一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程：如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 一，偏微分方程概述 偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程。早在微积分理论刚形成后不久，人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显示了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。逐渐地，以物

理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促进着许多相关数学分支(如泛函分析、微分几何、计算数学等)的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。 在国外，对偏微分方程的应用发展是相当重视的。很多大学和研究单位都有应用偏微分方程的研究集体，并得到国家工业、科学部门及军方、航空航天等方面的大力资助。比如在国际上有重大影响的美国的Courant研究所、法国的信息与自动化国立研究所等都集中了相当多的偏微分方程的研究人员，并把数学模型、数学方法、应用软件及实际应用融为一体，在解决实际课题、推动学科发展及加速培养人才等方面都起了很大的作用。 在我国，偏微分方程的研究起步较晚。但解放后，在党和国家的大力号召和积极支持下，我国偏微分方程的研究工作发展比较迅速，涌现出一批在这一领域中做出杰出工作的数学家，如谷超豪院士、李大潜院士等，并在一些研究方向上达到了国际先进水平。但总体来说，偏微分方程的研究队伍的组织和水平、研究工作的广度和深度与世界先进水平相比还有很大的差距。因此，我们必须继续努力，大力加强应用偏微分方程的研究，逐步缩小与世界先进水平的差距 二，偏微分方程的内容

Matlab解微分方程(ODE+PDE)

常微分方程： 1 ODE解算器简介(ode**) 2 微分方程转换 3 刚性/非刚性问题(Stiff/Nonstiff) 4 隐式微分方程(IDE) 5 微分代数方程(DAE) 6 延迟微分方程(DDE) 7 边值问题(BVP) 偏微分方程(PDEs)Matlab解法 偏微分方程： 1 一般偏微分方程组(PDEs)的命令行求解 2 特殊偏微分方程(PDEs)的PDEtool求解 3 陆君安《偏微分方程的MATLAB解法 先来认识下常微分方程(ODE)初值问题解算器(solver) [T,Y,TE,YE,IE] = odesolver(odefun,tspan,y0,options) sxint = deval(sol,xint) Matlab中提供了以下解算器： 输入参数： odefun：微分方程的Matlab语言描述函数，必须是函数句柄或者字符串，必须写成Matlab

规范格式(也就是一阶显示微分方程组)，这个具体在后面讲解 tspan=[t0 tf]或者[t0,t1,…tf]：微分变量的范围，两者都是根据t0和tf的值自动选择步长，只是前者返回所有计算点的微分值，而后者只返回指定的点的微分值，一定要注意对于后者tspan必须严格单调，还有就是两者数据存储时使用的内存不同(明显前者多)，其它没有任何本质的区别 y0=[y(0),y’(0),y’’(0)…]：微分方程初值，依次输入所有状态变量的初值，什么是状态变量在后面有介绍 options：微分优化参数，是一个结构体，使用odeset可以设置具体参数，详细内容查看帮助 输出参数： T：时间列向量，也就是ode**计算微分方程的值的点 Y：二维数组，第i列表示第i个状态变量的值，行数与T一致 在求解ODE时，我们还会用到deval()函数，deval的作用就是通过结构体solution计算t 对应x值，和polyval之类的很相似！ 参数格式如下： sol：就是上次调用ode**函数得道的结构体解 xint：需要计算的点，可以是标量或者向量，但是必须在tspan范围内 该函数的好处就是如果我想知道t=t0时的y值，不需要重新使用ode计算，而直接使用上次计算的得道solution就可以 [教程] 微分方程转换为一阶显示微分方程组方法 好，上面我们把Matlab中的常微分方程(ODE)的解算器讲解的差不多了，下面我们就具体开始介绍如何使用上面的知识吧！ 现实总是残酷的，要得到就必须先付出，不可能所有的ODE一拿来就可以直接使用，因此，在使用ODE解算器之前，我们需要做的第一步，也是最重要的一步，借助状态变量将微分

matlab偏微分方程组求解

MATLAB学习（序列1）偏微分方程组的求解 ode23 解非刚性微分方程，低精度，使用Runge-Kutta法的二三阶算法。 ode45 解非刚性微分方程，中等精度，使用Runge-Kutta法的四五阶算法。 ode113 解非刚性微分方程，变精度变阶次Adams-Bashforth-Moulton PECE算法。 ode23t 解中等刚性微分方程，使用自由内插法的梯形法则。 ode15s 解刚性微分方程，使用可变阶次的数值微分（NDFs）算法。 ode23s 解刚性微分方程，低阶方法，使用修正的Rosenbrock公式。 ode23tb 解刚性微分方程，低阶方法，使用TR-BDF2方法，即Runger-Kutta公式的第一级采用梯形法则，第二级采用Gear法。 [t，YY]=solver('F',tspan,Yo 解算ODE初值问题的最简调用格式。 solver指上面的指令。 tspan=[0,30]; ％时域t的范围 y0=[1;0]; ％y（1）y(2的初始值 [tt,yy]=ode45(@DyDt,tspan,y0; plot(tt,yy(:,1,title('x(t' function ydot=DyDt(t,y ydot=[y(2; 2*(1-y(1^2*y(2-y(1] 刚性方程：刚性是指其Jacobian矩阵的特征值相差十分悬殊。在解的性态上表现为，其中一些解变化缓慢，另一些变化快，且相差较悬殊，这类方程常常称为刚性方程，又称为Stiff方程。 刚性方程和非刚性方程对解法中步长选择的要求不同。 刚性方程一般不适合由ode45这类函数求解，而应该采用ode15s等。 如果不能分辨是否是刚性方程，先试用ode45，再用ode15s。 [t，YY，Te，Ye,Ie] = solver('F',tspan,Yo,options,p1,p2,… 解算ODE初值问题的最完整调用格式。 为了能够解出方程，要用指令odeset确定求解的条件和要求。在MATLAB中，求解方程组的指令都有默认的求解的条件和要求（由结构数组options表示），但可以用odeset修改或重新建立，也可以用odeget去获取已有的“优化选项”的信息。指令odeset和odeget用法介绍如下： 语句格式如下： options=odeset(‘name1’,value1,’name2’,value2,…

用matlab求解常微分方程

实验六 用matlab 求解常微分方程 1．微分方程的概念 未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。如果未知函数是一元函数，称为常微分方程。常微分方程的一般形式为 0),,",',,()(=n y y y y t F 如果未知函数是多元函数，成为偏微分方程。联系一些未知函数的一组微分方程组称为微分方程组。微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶解数称为微分方程的阶。若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程，一般表示为 )()(')()(1)1(1)(t b y t a y t a y t a y n n n n =++++-- 若上式中的系数n i t a i ,,2,1),( =均与t 无关，称之为常系数。 2．常微分方程的解析解 有些微分方程可直接通过积分求解.例如,一解常系数常微分方程1+=y dt dy 可化为 dt y dy =+1,两边积分可得通解为 1-=t ce y .其中c 为任意常数.有些常微分方程可用一些技巧,如分离变量法,积分因子法,常数变异法,降阶法等可化为可积分的方程而求得解析解. 线性常微分方程的解满足叠加原理,从而他们的求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方程的通解.一阶变系数线性微分方程总可用这一思路求得显式解。高阶线性常系数微分方程可用特征根法求得相应齐次微分方程的基本解，再用常数变异法求特解。 一阶常微分方程与高阶微分方程可以互化，已给一个n 阶方程 ),,",',()1()(-=n n y y y t f y 设)1(21,,',-===n n y y y y y y ，可将上式化为一阶方程组 ?????????====-),,,,(''''2113221n n n n y y y t f y y y y y y y 反过来，在许多情况下，一阶微分方程组也可化为高阶方程。所以一阶微分方程组与高阶常微分方程的理论与方法在许多方面是相通的，一阶常系数线性微分方程组也可用特征根法求解。 3．微分方程的数值解法 除常系数线性微分方程可用特征根法求解，少数特殊方程可用初等积分法求解外，大部分微分方程无限世界，应用中主要依靠数值解法。考虑一阶常微分方程初值问题 ???=<<=000)()),(,()('y t y t t t t y t f t y f

Matlab偏微分方程求解方法

Matlab 偏微分方程求解方法 目录： §1 Function Summary on page 10-87 §2 Initial Value Problems on page 10-88 §3 PDE Solver on page 10-89 §4 Integrator Options on page 10-92 §5 Examples” on page 10-93 §1 Function Summary 1.1 PDE Solver” on page 10-87 1,2 PDE Helper Functi on” on page 10-87 1.3 PDE Solver This is the MATLAB PDE solver. PDE Helper Function §2 Initial Value Problems pdepe solves systems of parabolic and elliptic PDEs in one spatial variable x and time t, of the form )x u ,u ,t ,x (s ))x u ,u ,t ,x (f x (x x t u )x u ,u ,t ,x (c m m ??+????=????- (10-2) The PDEs hold for b x a ,t t t f 0≤≤≤≤.The interval [a, b] must be finite. m

can be 0, 1, or 2, corresponding to slab, cylindrical, or spherical symmetry,respectively. If m > 0, thena ≥0 must also hold. In Equation 10-2,)x /u ,u ,t ,x (f ?? is a flux term and )x /u ,u ,t ,x (s ?? is a source term. The flux term must depend on x /u ??. The coupling of the partial derivatives with respect to time is restricted to multiplication by a diagonal matrix )x /u ,u ,t ,x (c ??. The diagonal elements of this matrix are either identically zero or positive. An element that is identically zero corresponds to an elliptic equation and otherwise to a parabolic equation. There must be at least one parabolic equation. An element of c that corresponds to a parabolic equation can vanish at isolated values of x if they are mesh points.Discontinuities in c and/or s due to material interfaces are permitted provided that a mesh point is placed at each interface. At the initial time t = t0, for all x the solution components satisfy initial conditions of the form )x (u )t ,x (u 00= (10-3) At the boundary x = a or x = b, for all t the solution components satisfy a boundary condition of the form 0)x u ,u ,t ,x (f )t ,x (q )u ,t ,x (p =??+ (10-4) q(x, t) is a diagonal matrix with elements that are either identically zero or never zero. Note that the boundary conditions are expressed in terms of the f rather than partial derivative of u with respect to x-x /u ??. Also, of

五点差分法(matlab)解椭圆型偏微分方程

用差分法解椭圆型偏微分方程 U(0,y)=si n(pi*y),U(2,y)=eA2si n( pi*y); 先自己去看一下关于五点差分法的理论书籍 Matlab 程序： unction [p e u x y k]=wudianchafenfa(h,m,n,kmax,ep) % g-s 迭代法解五点差分法问题 %kmax 为最大迭代次数 %m,n 为x,y 方向的网格数，例如(2-0 ) /0.01=200; %e 为误差，p 为精确解 syms temp ; u=zeros(n+1,m+1); x=0+(0:m)*h; y=0+(0:n)*h; for (i=1:n+1) u(i,1)=sin(pi*y(i)); u(i,m+1)=exp(1)*exp(1)*sin(pi*y(i)); end for (i=1:n) for ( j=1:m) f(i,j)=(pi*pi-1)*exp(x(j))*sin(pi*y(i)); end -(Uxx+Uyy)=(pi*pi-1)eAxsin(pi*y) 0

end t=zeros(n-1,m-1); for (k=1:kmax) for (i=2:n) for ( j=2:m) temp=h*h*f(i,j)/4+(u(i,j+1)+u(i,j-1)+u(i+1,j)+u(i- 1,j))/4; t(i,j)=(temp-u(i,j))*(temp-u(i,j)); u(i,j)=temp; end end t(i,j)=sqrt(t(i,j)); if (k>kmax) break ; end if (max(max(t))

最新Matlab求解微分方程(组)及偏微分方程(组)

最新Matlab 求解微分方程(组)及偏微分方程(组) 理论介绍：Matlab 求解微分方程（组）命令 求解实例：Matlab 求解微分方程（组）实例 实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法. 一．相关函数、命令及简介 1.在Matlab 中，用大写字母D 表示导数，Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，D2y 表示y 关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve 用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为： X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解. 注意，系统缺省的自变量为t 2.函数dsolve 求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB 具有丰富的函数，我们将其统称为solver ，其一般格式为： [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) 说明：(1)solver 为命令ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 、ode23t 、ode23tb 、ode15i 之一. (2)odefun 是显示微分方程'(,)y f t y =在积分区间tspan 0[,]f t t =上从0t 到f t 用初始条件0y 求解. (3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点012,,, ,f t t t t 上的解，则令 tspan 012[,,,]f t t t t =(要求是单调的). (4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器solver ，对于不同的ODE 问题，采用不同的solver.

matlab常微分方程和常微分方程组的求解

常微分方程和常微分方程组的求解 一、实验目的： 熟悉Matlab 软件中关于求解常微分方程和常微分方程组的各种命令，掌握利用Matlab 软件进行常微分方程和常微分方程组的求解。 二、相关知识 在MATLAB 中，由函数dsolve()解决常微分方程（组）的求解问题，其具体格式如下： X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解。 例1：求解常微分方程1dy dx x y = +的MATLAB 程序为：dsolve('Dy=1/(x+y)','x')， 注意，系统缺省的自变量为t ，因此这里要把自变量写明。 结果为：-lambertw(-C1*exp(-x-1))-x-1 其中：Y=lambertw(X)表示函数关系Y*exp(Y)=X 。 例2：求解常微分方程 2 '''0yy y -=的MATLAB 程序为：Y2=dsolve('y*D2y-Dy^2=0’,’x’) 结果为： Y2 =[ exp((x+C2)/C1)] [ C2] 我们看到有两个解，其中一个是常数。 例3：求常微分方程组253t t dx x y e dt dy x y e dt ?++=??? ?--=??通解的MATLAB 程序为： [X,Y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=exp(2*t)','t') 例4：求常微分方程组020 210cos ,224,0 t t t dx dy x t x dt dt dx dy y e y dt dt =-=?+-==??? ?++==??通解的MATLAB 程序 为：

《matlab求解偏微分方程常见问题》

偏微分方程概述及运用matlab求解偏微分 方程常见问题 徐敏 摘要偏微分方程简介，matlab偏微分方程工具箱应用简介，用这个工具箱解方程的过程是：确定待解的偏微分方程；确定边界条件；确定方程所在域的几何形状；划分有限元；解方程 关键词MATLAB 偏微分方程程序 如果一个微分方程中出现的未知函数只含有一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程：如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 一，偏微分方程概述 偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程。早在微积分理论刚形成后不久，人们就开始用偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程技术中，不断地取得了显著的成效，显示

了偏微分方程对于人类认识自然界基本规律的重要性。逐渐地，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促进着许多相关数学分支(如泛函分析、微分几何、计算数学等)的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问题的工具。偏微分方程已经成为当代数学中的一个重要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。 在国外，对偏微分方程的应用发展是相当重视的。很多大学和研究单位都有应用偏微分方程的研究集体，并得到国家工业、科学部门及军方、航空航天等方面的大力资助。比如在国际上有重大影响的美国的Courant研究所、法国的信息与自动化国立研究所等都集中了相当多的偏微分方程的研究人员，并把数学模型、数学方法、应用软件及实际应用融为一体，在解决实际课题、推动学科发展及加速培养人才等方面都起了很大的作用。 在我国，偏微分方程的研究起步较晚。但解放后，在党和国家的大力号召和积极支持下，我国偏微分方程的研究工作发展比较迅速，涌现出一批在这一领域中做出杰出工作的数学家，如谷超豪院士、李大潜院士等，并在一些研究方向上达到了国际先进水平。但总体来说，偏微分方程的研究队伍的组织和水平、研究工作的广度和深度与世界先进水平相比还有很大的差距。因此，我们必须继续努力，大力加强应用偏微分方程的研究，逐步缩小与世界先进水平的差距

微分方程在MATLAB中的实现

微分方程在MATLAB中的实现 作者：吴建宏 时间：2011.09.20 ********************************************* 作者简介： 吴建宏，男，毕业于哈尔滨工业大学（威海），现就读于同济大学，攻读汽车电子方向，有两年的MATLAB实践经验，个人喜欢建模，编程和电控方面的。真诚愿意和各位志同道合的朋友一起探讨交流，一起搭建广阔的知识平台。 *********************************************

PART ONE 微分方程简介 一、微分方程基本概念 微分方程：未知函数以及它们的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。其中，未知函数的最高阶数称为微分方程的阶。 偏微分方程：如果未知函数是多元函数，那么这个微分方程就是偏微分方程。常微分方程：如果未知函数是一元函数，那么这个微分方程就是常微分方程。 二、微分方程的解法 高等数学里讲过，微分方程的解法有分离变量法，常数变易法，特征值法……而在解决工程实际问题时候，利用MATLAB 求解微分方程的方法主要有符号解法和数值解法。其中，符号解法主要可以求解可以用特征值法求解的常系数微分方程和少数特殊的微分方程，有很大的局限性，而且运行时间较长，优点就是可以得到精确的数学表达式。大部分实际的微分方程不得不通过数值解法来求解，优点就是运行时间快，可以解决复杂的线性或者非线性微分方程。缺点就是解是近似值。 PART TWO 微分方程的符号解法（dsolve ） 微分方程的符号解法主要是函数dsolve ，这个函数用起来很简单，最重要的是要知道神马时候能够用dsolve ，神马时候不能用，当运行出错的时候，该怎么处理。接下来进入正文。 一、语法 r =dsolve('eq1,eq2,...','cond1,cond2,...','v') r =dsolve('eq1','eq2',...,'cond1','cond2',...,'v') 二、语法详解 1.eq1,eq2……用来代表看上去能够用高等数学介绍过的手段求解出来的微分方程，如果实在不太熟悉或者忘了，没关系，后面会提供出现错误时候的处理措施；v 代表自变量，默认值为时间t 。边界条件/初始值用cond1,cond2,...来表示。 2.在eq1,eq2……中，用D 来代表变量的微分，例如?y 用Dy 表示，而? ?y 用y D 2来表示。 3.初始值的边界条件用b a y =)(或者b a Dy =)(来表示。如果初始值的个数小于变量的个数，输出的结果中就会出现待定系数。 4.Dsolve 能够接受的最大输入初始条件是12个 5.如果是一个等式一个输出，输出的结果是非线性的符号表达式；如果是多个等式和多个输出，将会按照左边输出参数[y1,y2……]中的顺序输出相应的符号表达式；如果是多等式，单输出，返回一个结构体数组。 出现错误时候怎么处理？如果dsolve 不能找到有限解，它会试图去找方程的隐式解，当找到隐式解得时候，就会返回警告标志；如果既找不到有限解，也找不到隐式解，就会返回empty 的错误警告"warning Warning:explicit solution could not be found"。在这两种情况下都只能通过使用数值解法来解决。

常微分方程组的MATLAB求解方法

一、常微分方程组(ODEs) 简介 (1) 1. 简谐振动 (1) 2. 电路Vander Pol 方程 (1) 3. 生物种群的Volterra-Lotka 方程 (2) 4. 蝴蝶效应Lorenz 方程 (2) 二、MATLAB 数值求解ODEs的方法 (3) 1. 多变量常微分方程组的求解 (4) 2. 高阶常微分方程如何表示？ (4) 3. 相图和极限环怎么绘制？ (4) 个人在学习自动控制原理、现代控制理论、非线性动力学等课程时，经常遇到求解常微分方程组的问题。很多人知道MATLAB 是简便易行的一个工具，但是不会调用它自带的ode 求解器，往往还在自己编写单步欧拉法的程序，不仅求解精度差，而且程序不规范，还浪费了大量时间。以下我就工程中常见的一些非线性系统，利用MATLAB 自带的求解器，说明一下如何求解ODE 方程组、以及如何绘制相轨迹和极限环的问题。供相关专业工科大学生参考和借鉴。 一、常微分方程组(ODEs) 简介 以下列出了一些较为著名的非线性动力学系统的数学表达式，大都是由常微分方程组表达的。这种形式在工程中应用非常广泛，如力学中的非线性振动、航天领域的弹道计算、控制工程中的非线性系统等，由于自然界的大多数现象都表现出非线性，因此对于该种动力系统的研究以及微分方程的求解也具有重大的意义。以下列出一些工程应用中常见的一些由ODE 方程组所描述的动力系统。 1. 简谐振动 该式是一个2 阶非线性常微分方程。 2. 电路Vander Pol 方程

Fig 1. VanderPol 系统时域响应 3. 生物种群的 Volterra-Lotka 方程 Fig 2. Volterra-Lotka 方程时域响应（左） Fig 3 非线性动力学方程的极限环（右） 左图的捕食者 -猎物随时间变化的曲线表现出强烈的非线性，而状态变量 x 、y 的 变化却呈现出一个规则的鹅卵石状。 4. 蝴蝶效应 Lorenz 方程