基础保分强化训练(二)
1.已知集合A =[1,+∞),B ={|x ∈R 1
2a ≤x ≤2a -1},若A ∩B ≠?,则实数a 的取值范围是( )
A .[1,+∞)
B.????
??12,1 C.????
??23,+∞ D .(1,+∞)
答案 A
解析 因为A ∩B ≠?,所以?
????
2a -1≥1,2a -1≥1
2a ,解得a ≥1,故选A.
2.若复数z =1+m i
1+i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数m 的取值范围是( )
A .(-1,1)
B .(-1,0)
C .(1,+∞)
D .(-∞,-1)
答案 A
解析 因为z =1+m i 1+i =
1+m i
1-i 1+i 1-i =1+m 2+m -12i ,在复平面内对应的点为? ??
??1+m 2,m -12,
且在第四象限,所以?????
1+m 2>0,
m -1
2<0,
解得-1 3.设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和,且S 13=13S 7,则a 7 a 4 等于( ) A .1 B .3 C .7 D .13 答案 C 解析 因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和,且S 13=13S 7,所以13 a 1+a 13 2 = 13×7a 1+a 72,即a 7=7a 4,所以a 7 a 4 =7.故选C. 4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某简单几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) A. 4π3 B.8π3 C.16π3 D.32π3 答案 A 解析 由三视图可得该几何体为半圆锥,底面半圆的半径为2,高为2,则其体积V =12×13×π×22×2 = 4π 3 ,故选A. 5.已知i 与j 为互相垂直的单位向量,a =i -2j ,b =i +λj ,且a 与b 的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是( ) A .(-∞,-2)∪? ????-2,12 B.? ?? ??12,+∞ C.? ????-2,23∪? ????23,+∞ D.? ????-∞,12 答案 A 解析 因为i 与j 为互相垂直的单位向量,所以i 2 =j 2 =1,i ·j =0.又因为a =i -2j ,b =i +λj ,且a 与b 的夹角为锐角,所以a ·b =1-2λ>0,λ<1 2.但当λ=-2时,a =b ,不满足要求,故满足条件 的实数λ的取值范围为(-∞,-2)∪? ????-2,12.故选A. 6.若函数f (x )=sin2x +cos2x ,则下列结论正确的是( ) A .函数f (x )的最小正周期为2π B .对任意的x ∈R ,都有f ? ????x -π4+f (-x )=0 C .函数f (x )在? ?? ??π2,3π4上是减函数 D .函数f (x )的图象关于直线x =-π 8对称 答案 B 解析 函数f (x )=sin2x +cos2x =2sin ? ????2x +π4,则函数f (x )的最小正周期为T =2π2=π,故A 错误; f ? ?? ?? x -π4+f (-x )=2sin ? ?? ?? 2x -π4+2sin ? ?? ?? -2x +π4 =0,故B 正确;令π2+2k π≤2x +π4 ≤2k π + 3π2(k ∈Z ),解得π8+k π≤x ≤k π+5π8(k ∈Z ),当k =0时,函数的单调递减区间为??????π8 ,5π8,故C 错误;当x =-π8时,f ? ?? ??-π8=0.故D 错误,故选B. 7.已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,B 1C ,C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°,则异面直线 B 1 C 和C 1 D 所成角的余弦值为( ) A. 64 B.14 C.26 D.36 答案 A 解析 ∵B 1C 和C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°, ∴∠B 1CB =60°,∠C 1DC =45°.由图可知,B 1C 与C 1D 所成的角,即为A 1D 与C 1D 所成的角,即∠A 1DC 1.令BC =1,则B 1B =AB =3,∴A 1D =2,A 1C 1=2,C 1D = 6.由余弦定理,得cos ∠A 1DC 1=22 + 6 2 -2 2 2×2×6 = 6 4 .故选A. 8.如图,在矩形区域ABCD 中,AB =2,AD =1,且在A ,C 两点处各有一个通信基站,假设其信号的 覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机选一地点,则该地点无信号的概率是( ) A .2-π2 B.π2-1 C .1-π4 D.π4 答案 C 解析 由条件得扇形区域ADE 和扇形区域CBF 的面积均为π 4,又矩形区域ABCD 的面积为2×1=2, 根据几何概型概率公式可得所求概率为P =2-2× π42=1-π 4,即在该矩形区域内随机选一地点,则该地 点无信号的概率是1-π 4 . 9.已知F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点,P 是双曲线C 上一点,若|PF 1|+|PF 2| =6a ,且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°,则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y =0 B .x ±2y =0 C .2x ±y =0 D .x ±2y =0 答案 A 解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|,则??? ? ? |PF 1|-|PF 2|=2a ,|PF 1|+|PF 2|=6a , 所以|PF 1|=4a ,|PF 2|=2a ,且|F 1F 2|=2c ,即|PF 2|为最小边,所以∠PF 1F 2=30°,则△PF 1F 2为直角三角形,所以2c =23a ,所以b =2a ,即渐近线方程为y =±2x ,故选A. 10.若x ,y 满足???? ? x +y -3≥0,kx -y +3≥0, y ≥0, 且z =y -x 的最小值为-12,则k 的值为( ) A.12 B .-12 C.14 D .-1 4 答案 D 解析 依题意,易知k ≤-1和k ≥0不符合题意.由??? ?? kx -y +3=0,y =0 得A ? ?? ??-3k ,0,结合图形可 知,当直线z =y -x 过点A ? ?? ??-3k ,0时,z 有最小值,于是有0+3k =-12,k =-14,选D. 11.椭圆x 2 4+y 2 =1上存在两点A ,B 关于直线4x -2y -3=0对称,若O 为坐标原点,则|OA →+OB → |= ( ) A .1 B. 3 C. 5 D.7 答案 C 解析 由题意,直线AB 与直线4x -2y -3=0垂直,设直线AB 的方程为y =-1 2x +m .由 ????? y =-1 2x +m ,x 2 4+y 2=1 消去y 整理得x 2-2mx +2m 2-2=0,∵直线AB 与椭圆交于两点,∴Δ=(-2m )2 - 4(2m 2 -2)=-4m 2 +8>0,解得-2 x 1+x 2 2=m ,y 0=-12x 0+m =m 2,∴点M 的坐标为? ?? ??m ,m 2.由题意得点M 在直线4x -2y -3=0上, ∴4m -2×m 2-3=3m -3=0,解得m =1.∴x 1+x 2=2,y 1+y 2=-1 2 (x 1+x 2)+2m =1,∴OA →+OB → =(2,1), ∴|OA →+OB → |= 5.故选C. 12.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点P (-1,2),则cos2α=________. 答案 -35 解析 设点P 到原点的距离是r ,由三角函数的定义,得r =5,sin α=2r =2 5,可得cos2α=1 -2sin 2 α=1-2×? ?? ??252 =-35. 13.将1,2,3,4,…正整数按如图所示的方式排成三角形数组,则第10行左数第10个数为________. 答案 91 解析 由三角形数组可推断出,第n 行共有2n -1项,且最后一项为n 2 ,所以第10行共19项,最后一项为100,左数第10个数是91. 14.已知在△ABC 中,B =2A ,∠ACB 的平分线CD 把三角形分成△BCD 和△ACD ,且S △BCD ∶S △ACD =4∶3,则cos A =________. 答案 38 解析 在△ADC 中,由正弦定理,得AC sin ∠ADC =37AB sin ∠ACD ?AC 37AB =sin ∠ADC sin ∠ACD .同理,在△BCD 中,得 BC sin ∠BDC =47AB sin ∠BCD ?BC 47 AB =sin ∠BDC sin ∠BCD , 又sin ∠ADC =sin ∠BDC ,sin ∠ACD =sin ∠BCD ,所以AC 37AB =BC 47 AB ?AC =34BC ,由正弦定理,得sin B = 3 4sin A ,又B =2A ,即sin B =2sin A cos A ,求得cos A =3 8 . 20XX届高考文科数学---解答题专项训练 中档题满分练(一) 1.(2015·山东高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b, c.已知cos B= 3 3,sin (A+B)= 6 9,ac=23,求sin A和c的值. 2.一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率. 3.在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形. (1)若AC⊥BC,证明:直线BC⊥平面ACC1A1; (2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论. 4.(2015·湖北高考)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1) 求数列{a n},{b n}的通项公式; (2) 当d>1时,记c n=a n b n,求数列{ c n}的前n项和T n. 中档题满分练(二) 1.已知函数f (x )=2a sin ωx cos ωx +23cos 2ωx -3(a >0,ω>0)的最大值为2,且最小正周期为π. (1)求函数f (x )的解析式及其对称轴方程; (2)若f (α)=4 3,求sin ? ????4α+π6的值. 2.(2015·西安调研)对于给定数列{a n },如果存在实常数p ,q ,使得a n +1=pa n +q 对于任意n ∈N *都成立,我们称数列{a n }是“M 类数列”. (1)已知数列{b n }是“M 类数列”且b n =3n ,求它对应的实常数p ,q 的值; (2)若数列{c n }满足c 1=-1,c n -c n +1=2n (n ∈N *),求数列{c n }的通项公式,判断{c n }是否为“M 类数列”并说明理由.高考文科数学解答题专项训练(含解析)
2020高考数学专题复习----立体几何专题