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人口发展分析

中国人口发展趋势分析

素园

[摘要]:中国是一个人口大国,人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据相关数据,运用合适的数学建模方法,对我国人口做出分析和预测是一个重要问题。

对于问题一,主要采用的是对所给的数据运用MTALAB进行线性拟合的方法和SPSS 进行线性回归分析,得出相应的数学模型。

对于我国人口出生性别比变化趋势的分析,结合已知1994—2005年的出生性别比数据(见附录8.1),以1994年的数据为基数,经过多次逐步拟合进行预测近几年(2006—2010)的变化趋势,最终选择了2次拟合;针对我国人口老龄化在近几年(2006—2010)变化趋势的分析,通过查阅《中国人口统计年鉴》和附件3中的数据对我国65岁以上人口比例通过加权平均值法得到“我国城乡人口数量与比率表”(见附录8.2),提取表中的老龄化系数和年份进行多元线性回归分析,最终选择了一元回归对其变化趋势进行预测;对于近几年(2006—2010)的城镇化的变化趋势,先将2001—2005 年的城镇化计算出来,得到2001—2005城镇化表(见附录8.3),再通过城镇化和年份进行多元线性回归分析,最终选择了一元回归分析对其变化趋势进行预测。最后得到三者在2006—2010的变化趋势(见表一)。

对于问题二,从中国的实际情况和人口增长的特点出发,要解决对2010年至2050年每隔十年我国的中国人口的性别构成、老龄化程度和城镇化水平发展趋势预测。先采用了经典的动态离散模型对我国人口在2010年至2050年每隔十年人口数量进行预测,其间在对生育率和死亡率采用的是时间序列中的最小平方法拟合出生率和死亡率曲线,得到相应的模型。根据得到的模型对2010年至2050年出生率和死亡率预测,最后得到男女性别比及城乡人口比重(见表二)和人口老龄化程度预测分析(见表三)。

关键词:人口发展趋势分析线性拟合动态离散模型预测

一问题的重述

中国是一个人口大国,人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据,运用数学建模的方法,对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。

关于中国人口问题已有多方面的研究,建立了一些数学模型,例如:关于人口总体数量的拟合和预报,有指数增长模型和阻滞增长模型等;关于按年龄分组的人口数量的拟合和预报,有宋健、于景元的偏微分方程模型,以及相应的用于计算的差分方程组模型,相关知识在清华大学应用数学系姜启源教授编著的《数学模型》(高等教育出版社)一书中有详细记载,该书已经出版过三版,其中以第二版对人口模型的记载最为详尽。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点,例如,出生人口性别比持续升高、老龄化进程加速,以及乡村人口城镇化等因素,这些都影响着中国人口的增长。国家人口计生委2007年初在中国人口网发布的《国家人口发展战略研究报告》(附件1、附件2) 对有关问题做出了详细分析。在国家统计局的网站上可以查阅到1996年至2006年的年度人口数据资料(http://www.wendangku.net/doc/c851c1818762caaedd33d4e4.html/tjsj/ndsj/),以及2005年全国1%人口抽样调查数据(http://www.wendangku.net/doc/c851c1818762caaedd33d4e4.html/tjsj/ndsj/renkou/2005/renkou.htm)。2007年全国大学生数学建模竞赛A题“中国人口增长预测”也提供了2001年至2005年全国人口按年龄、性别、城乡的人口抽样数据(不一定是1%人口抽样数据)(附件3)。

问题一:搜索相关文献和数据,用数学模型方法分析近年来中国人口在出生性别比、老龄化和城镇化三个方面的变化趋势;

问题二:从中国的实际情况和人口增长的特点出发,应用已有的数学模型,或自己建立数学模型,对于中国人口的性别构成、老龄化程度和城镇化水平,从2010年至2050年每隔十年的发展趋势做出预测。

二符号说明

2.1问题一的符号说明:

1 i=1,2,3:分别代表市,镇,乡;

2

Y:i的人口出生性别比(i=1,2,3);

i

3

a:i的人口出生性别比的二元线性回归二次项系数(i=1,2,3);

i

4

b:i的人口出生性别比的二元线性回归一次项系数(i=1,2,3);

i

5

c:i的人口出生性别比的二元线性回归常数(i=1,2,3);

i

6 L:老龄化系数;

7 l:老龄化对应的一元线性回归系数;

8 d:老龄化对应的一元线性回归常数;

9 H :城镇化;

10 e :城镇化对应的一元线性回归常数;

11 h :城镇化对应的一元线性回归系数;

12 x :年份的编号; 2.1问题二的符号说明: 1. ()x t t 表示时刻人口总数 2.i t d 表示t 时刻k 岁i 人口的死亡率,12i i ==表示男表示女

3.()t b k 表示t 时刻k 岁妇女年生育率

4.()t n k 表示t 时刻k 岁男所占的百分比

5.()t w k 表示t 时刻k 岁女所占的百分比

6.()i t p k 表示t 时刻k 岁i 人口的成活率

7.()i t s k 表示t 时刻k 岁i 人口总数

8.()i t M k 表示t 时刻k 岁i 人口的转移矩阵

三 模型假设

1 近几年来社会发展稳定,不会发生重大自然灾害和战争。

2 不考虑近年来移民对总人口的影响。 3近几年为2006—2010年。

4由于2003年发生非典,2003年妇女生育率数据与上下两年出入太大,故忽略。

四 问题分析

根据题意将本文问题归类为预测问题。

对于问题1,在附件三中,对已给出的1994—2005 年的城、镇、乡出生性别比的数据进行编号(如:1994编为1,后面的年份类推,以下各问对年份也是这样处理)处理后,进行线性分析、数据拟合,建立适当的数学模型来对2006—2010的出生性别比的变化趋势进行预测,经过多次逐步拟合最终决定对出生性别比进行二次拟合;通过查阅《中国人口统计年鉴》和附件3中的2001—2005数据,对我国65岁以上人口比例通过加权平均值法得出相关数据,提取表中的

老龄化系数和年份运用spss 进行多元线性回归分析,最终选择了一元回归对其变化趋势进行预测;对于近几年(2006—2010)的城镇化的变化趋势,先将2001—2005 年的城镇化计算出来,再通过城镇化和年份进行运用spss 多元线性回归分析,最终选择了一元回归分析对其变化趋势进行预测。

对于问题2,关于人口预测模型:1指数增长模型,在短期的人口进行预测,其预测出的数据误差较小,但是在对中长期的人口进行预测,误差较大;2 阻滞增长模型,要确定环境最大容量k 的取值,而k 的取值争议较大,不好确定;3动态离散模型,考虑了人口年龄、不同年龄的生育率、死亡率对人口预测的影响。结合题中附件所给数据,选择了动态离散模型解决该问。

五 模型的建立与求解

5.1问题1的模型建立与求解 5.1.1数据的图表处理:

将1994—2005的出生性别比数据用MTALAB 进行一次、二次、三次拟合(程序见附录8.5),以城市出生性别比为例:得到三个图形(见附录7.4),通过比较,最终选择二次拟合;查阅《中国人口统计年鉴》和附件3中的2001—2005数据,对我国65岁以上人口比例通过加权平均值法得出相关数据,得到“我国城乡人口数量与比率表”(见附录8.2);经查阅:城镇化=城镇人口数/城、镇、乡的总人数,根据附件3的城、镇、乡的人数计算出2001—2005的城镇化,得到“2001—2005城镇化表”(见附录8.3)。

5.1.2模型一的建立:

通过拟合的图形,建立出i 的人口出生性别比(i =1,2,3)的模型:

2i i i i Y a x b x c =++………………………………………………………(1); 建立出老龄化的模型:

L lx d =+……………………………………………………………………(2); 建立出城镇化的模型:

H hx e =+……………………………………………………………………(3)。 5.1.3模型一的求解:

由已知附件表中关于1994—2005 的出生性别比的数据,运用MTALAB 对上述模型(1)求解(程序见附录8.5)得:

城市出生性别比函数:210.1275 1.5526115.0139Y x x =-+, 城镇出生性别比函数:220.1508 1.8750121.9432Y x x =-+, 乡村出生性别比函数:230.03810.9475115.5173Y x x =-++;

由附录中的“我国城乡人口数量与比率表”,提取年份和老龄化系数运用 spss 进行线性回归分析得到:

Coefficients(a)

人口发展分析

故模型(2)为: 老龄化函数:7.0690.387L x =+;

由附录中的“2001—2005城镇化表” 提取年份和老龄化系数运用 spss 进行线性回归分析得到:

Coefficients(a)

人口发展分析

a.Dependent Variable:百分比

故模型(3)为:

城镇化函数:35.283 1.781H x =+。

带入相关数据得到:

(表一)2006—2010出生性别比、老龄化、城镇化变化趋势

人口发展分析

5.2.1相关公式的给出与模型的建立:

根据当前的生育率和存活率可以完全确定了下一年人口的演变状态。 k 岁的男女人口年死亡率和k 岁妇女的年生育率计算公式如下:

i

t

d =

,12t k i i i k i ==第时刻的那一年内岁人口的死亡人数

表示男,表示女该年度岁的人口总数

第t 时刻的k 岁妇女的生育率:

()t t k b k =

第时刻的那一年内岁妇女生育婴儿总数

该年度k 岁人口总量

第t 时刻的k 岁男所占的百分比:

()t n k =

一年内t 岁男总数该年度t 岁人口总量

(t=1,2,…90+);

第t 时刻的k 岁女所占的百分比:

()t w k =

一年内t 岁女总数该年度t 岁人口总量

(t=1,2,…90+);

()()1t t n k w k +=(t=1,2,…90+)

第t 时刻的0岁的男婴数量

()()1

0t t s b k n k =;

这里的(),i t t d k b 在所给数据中没有直接给出,需要进行相关处理计算得出。 本文采用的是全概率公式计算如下:

112233(())(())()(())()(())()i i i i t t t t P d k P d k D P D P d k D P D P d k D P D =++

112233(())(())()(())()(())()t t t t P b k P b k B P B P b k B P B P b k B P B =++

123(),(),()P D P D P D 分别表示第

t 时刻的k 岁城、镇、乡人口的死亡率;

123(()),(()),(())i

i

i

t t t P d k D P d k D P d k D 分别表示第t 时刻的k 岁城、镇、乡i

人口的所占比例;

123(),(),(),P B P B P B 分别表示第

t 时刻的k 岁城、镇、乡妇女人口的死亡率;

123(()),(()),(())i

i

i

t t t P d k B P d k B P d k B 表示第t 时刻的k 岁城、镇、乡妇女人口

所占比例;

存活率记为:()1()i i t t p k d k =-。

本文采用时间序列中的最小平方法拟合出生率和死亡率曲线,模型如下:

应用最小平方法研究现象发展趋势,就是对原有的动态数据配合一条适当的趋势线来进行修匀。它要满足下述要求:

()c

y y

-→∑最小值

c

y 表示趋势线的估计数值;y 表示数据的实际值。

其中的直线方程一般形式为:

c y a bt

=+

a 表示截距;

b 表示斜率。

联立以下方程组

2

y na b t

ty a t b t

=+=+∑∑∑∑∑

可求得,a b 。

t 表示动态数列的时间; y

表示动态数列中的各期水平;

n 动态序列的项数。

最后得到人口预测模型为:

1()()(1,2)i

i

i

t t t s k M k s i -==

式中

(0)(1)()(90)i t i i

t t i t s s s k s ??????=

??????+??

(i =1,2,) 为第t 时刻的k 岁i 人口按年龄的列向量,i=1表示男,i =2表示女。

111

110000(15)0000(89)(90)t t t t t p M p p p ??

??????=??????+????

22

2

220000(15)0000(89)(90)t t

t t t p M p p p ??????

??=??????+????

5.2.2模型二的求解

提取附件3中的相关数据,运用上述公式进行计算,列出转移矩阵,代入人口预测模型。最后运用该动态离散模型得出男女性别比及城乡人口比重(下表二) 表二:2010—2050每隔10年男女性别比及城乡人口比重(单位:万人)

人口发展分析

2050每隔10年老龄化系数及人数表(表三)

表三2010—2050每隔10年老龄化系数及人数表(单位:万人)

人口发展分析

老龄化程度预测分析:目前,我国65岁以上人口已达到1.45亿,占总人口的10.94%;到2020年,65岁以上人口达到2.03亿,占总人口的14.81%;到2030年65岁以上人口达到2.52亿,占总人口的18.33%;到2040年65岁以上人口达到2.95亿,占总人口的;到2050年65岁以上人口达到3.27亿,占总人口的26.42%。

综上可知,我国老龄化进程加速,老年人口数量多,老龄化趋势明显。

六模型的优缺点

6.1模型优点:

1、本文的模型简单,其算法直观。

2、本文模型比较注重数据的处理,大大提高了查询效率。

3、本文模型通过大量的特征信息的提取,并结合有效的算法,进行列表,可视化较强。

6.2 模型缺点:

1在建模过程中,使用的数据只是现实数据的一种近似,因而得出的结果可能与现实情况有一定的差距。

2通过数据拟合预测,预测数据较粗糙。

七参考文献

[1] 杜志渊常用统计分析方法——SPSS应用山东人民出版社 2006;

[2]薛毅数学建模基础北京工业大学出版社 2004;

[3]董霖 MATLAB使用详解科学出版社 2008;

[4]张柏琴高孝成中国老龄化问题分析哈尔滨师范大学自然科学学报2009;

[5]赵静但琦数学建模与数学实验北京高等教育出版社 2001。

八附录

8.1 1994—2005城、镇、乡出生性别比

人口发展分析

人口发展分析

人口发展分析

8.4 拟合图形

1一次拟合图形:

人口发展分析

024681012

2二次拟合图形:

人口发展分析

024681012

3三次拟合图像

人口发展分析

024681012

8.5

拟合程序:

x=1:1:12

y=[114.52 119.92 111.68 108.81 110.68 110.27 113 109.28 111.37 126.06 114.44 113.92];

A=polyfit(x,y,2)

Z=polyval(A,x);

plot(x,y,’k+’,x,z,,’r’)%作出数据点和拟合曲线的图形

系数计算:

x=1:1:12

y=[114.52 119.92 111.68 108.81 110.68 110.27 113 109.28 111.37 126.06 114.44 113.92];

p=polyfit(x,y,2);

p=

0.1275 -1.5526 115.0139