数学运算题型汇总与解析(中)

数学运算题型详讲（中）

10.自然数的性质

自然数的性质问题包含的范围较广，自然数的整除问题、奇偶性问题、余数问题、最小公倍数问题、最大公约数问题、自然数大小比较问题等都属于自然数的性质问题。

【例题1】（2010年浙江省第77题）有一个自然数“x”，除以3的余数是2，除以4的余数是3，问“x”除以12的余数是多少（）

A．1 B．5 C．9 D．11

【例题解析】本题给出数字较小，采用特值法往往可以迅速解题，可以快速看出自然数11符合条件，11除以12商为0余数为11。

正确答案为D。

【例题2】一类自然数，它们各数位上的和为2012，那么这类自然数中最小的一个的前两位是：

A.11

B.12

C.10

D.59

【例题解析】欲使这个自然数最小，就应该使这个自然数的位数最少，也就是使各个位包含的9最多，由于2012除以9商223余5，所以这个数的后223位均为9，将余数5放至数字的第一位才能使该自然数最小，故此数的前两位为59。故应选择D选项。

【例题3】已知A，B，C，D和A+C，B+C，B+D，D+A分别表示1至8这八个自然数，且互不相等。如果A是A，B，C，D这四个数中最大的一个数，那么A是（）

A. 4

B. 5

C.6

D. 8

【例题解析】A比B、C、D大显然A最小为4，又由于A+B、D+A≤8，且每个数互不相等所以A最大是6，C、D为1、2，B为3，符合题意。

故应选择C选项。

【例题4】有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直到不能再写为止，如257，1459等等，这类数中最大的自然数是（）。

A. 202246

B. 112358

C.10112359

D. 10112358

【例题解析】由于公务员考试一直延用选择题形式，所以很多题目用“答案选项验算法”是最为快捷的方法，而且为了提高，速度与准确性，“答案选项验算法”也往往是最佳捷径。

用此方法，从最大项开始验算，很容易发现C不合题意，D最大

答案为D

【例题5】(2008国考55题)小华在练习自然数求和。从1开始。数着数着他发现自己重复数了一个数，在这种情况下他将所得的全部数求平均，结果为7.4.请问他重复数的那个数是？

A.2

B.6

C.8

D.10

【例题解析】假设小华一共数了m个数字，重复数字为x

则可列出2

m (m+1) +x=7.4(m+1)。 整理得2x=(m+1)(14.8-m),

因为m 与x 都是整数，所以14.8-m 所得小数部分为8，

因此m+1应该是5的整数倍，

可知m=4或m=9或m=14

由于x ≤m ，故m=4、x=27(舍)；m=9、x=29(舍)；m=14,x=6为所求解。

故应选择B 选项。

【例题6】已知A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 、K 代表十个互不相同的大于0的自然数，要使下列等式成立，A 最小是（）。

B+C=A D+E=B E+F=C G+H=D H+I=E I+K=F

A.8

B. 9

C.19

D. 21

【例题解析】A=B+C 且B=E+D ，C=E+F 所以A=D+2E+F=G+H+2H+2I+I+K=G+3H+3I+K

令H 、I=1、2最小的，而E=H+I+3，又由于F=I+K ，D=G+H ，且字母间又

互不相等，这样K 、G 最小为4、6，所以A 最小为4+6+3×2+3×1=19

故应选择C 选项。

【例题7】某校人数是一个三位数，平均每个班级34人，若将全校人数的百位数与十位数对调，则全校人数比实际少180人，那么该校人数最多可以有（ ）个班。

A. 10

B. 19

C.26

D. 29

【例题解析】设百位数为a ，十位数为b ，则有a ×100+b ×10-（b ×100+10×a ）=180。解得：a-b=2，这样，这个三位数就要使百位上的数比十位上的数大2，且是34的倍数，将4个答案选项分别乘以34，只有19×34=646满足百位数比十位数大2。

故应选择C 选项。

【例题8】把一张纸剪成6块，从所得的纸片中取出若干块 ，每块各剪成6块；再从所有的纸片中取出若干块，每块各剪成6块……如此进行下去，到剪完某一次后停止。所得的纸片总数可能是2011，2012，2013，2014这四个数中的（ ）。

A.2011

B.2012

C.2013

D.2014

【例题解析】这道题貌似很难，但实际上我们只要认真分析其规律，很容易做出解答，这样的题目是国内外招聘考试中最常采用的。

设第一次拿出a 1片剪，第二次拿a 2片剪，。。。。第n 次拿a n 片剪

人数为一个三位数的某校，每班34人。 百位和十位上数字对换后。 比实际人数少的180人。

则有第二次剪完后有6-a1+6a1=6+5a1片

第三次剪完后有6+5a1-a2+6a2=6+5(a1+a2)

第四次剪完后有6+5(a1+a2)-a3+6a3=6+5(a1+a2+a3)

所以最后有6+5(a1+a2+……+a n)片

也就是说该数减去6之后是5的倍数。

答案为A

【思路点拨】本题目为本类型重点部分，考生应重点掌握。

11.整除问题

很多问题，实际上都可以用整除的方法求解，整除问题往往与余数问题、分解因数问题有着密切的联系。可以说是对同一问题，不同角度的思考方法。

作答整除问题，应注意以下几点：

1.熟记能被基本数字（2/3/5）整除的数字规律。

掌握能被数字（4/8/9）整除的数字规律：

一个数当且仅当末两位能被4整除，这个数才能被4整除；

一个数当且仅当末三位能被8整除，这个数才能被8整除；

一个数当且仅当各位数字和能被9整除，这个数才能被9整除。

了解能被数字（7/11/13）整除的数字的共同规律：

当且仅当末三位与其余数字的差能被7/11/13整除，这个数才能被7/11/13整除。（如数字122135，末三位数字为135，其余数字为122，

135-122=13，故122135能被13整除。）

2.对于“见面”问题，要弄清“隔几天一见”与“几天一见”的区别。若是N

天一见，则M天中可以相见M÷N次，若是隔N天一见，则M天中只能相见M÷（N+1）次，也就是说“隔N天一见”相当于“N+1天一见”。

3.结合数字的奇偶性、余数，运用代入、特值、估算等方法也是解决整数问题

的重要方法。

如某个三位数的数值是其各位数字之和的23倍。则这个三位数为

A．702 B．306 C．207 D．203

由备选项易知每个数字的各位数字之和都小于10，所以我们所求的数肯定不大于230，只能从C、D中来选，验证可知C正确，故应选择C选项。

【例1】（08河北省第59题）某人有350万元遗产，在临终前，他给怀孕的妻子写下这样的一份遗嘱：如果生下来是个男孩，就把遗产的三分之二给儿子，妻子拿三分之一；如果生下来是个女孩，就把遗产的三分之一给女儿，三分之二给妻子。结果他的妻子生了双胞胎(一男一女)，按遗嘱的要求，妻子可以得到多少万元?()

A. 90

B. 100

C. 120

D. 150

【例题解析】通过题目可知，妻子拿的遗产是儿子拿的遗产的1/2，是女儿拿的遗

产的2倍

假设女儿拿的遗产为x,可得妻子拿的遗产为2x,儿子拿的遗产为4x

所以7x=350

即x=50

答案为B

【例2】（2010年江苏省第31题）从1开始，自然数中，第100个不能被3整除 的数是（）

A ．152

B ．149

C ．142

D ．123

【例题解析】从1开始每三个数都会有一个数能被3整除，即3、6、9……

也即是说每个能被3整除的数的前两个是不能被3整除的，那么第100个不能被3整除的数，肯定在第50个能被3整除的数前，第50个能被3整除的为150，所以第100个不能被3整除的为149

答案为B

【例3】（2008云南省第6题）1～200这200个自然数中，能被4或能被6整除的数有多少个？( )

A.65

B.66

C.67

D.68

【例题解析】

方法一：

1～100中能被4整除的共有50个，能被6整除的共有33个；但是我们要看到，能被12整除的数能同时被4和6整除，也就是说这些数都被我们多算了一次。能被12整除的共有16个，那么能被4或6整除的共有50+33-16=67

方法二：

实际上在1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12中，能被4或能被6整除的数有4个，而之后每12个如如此循环一次，共16遍零3个，共计67个。

能被4 整除 的数 50个

能被6

整除

的数

33个 能同时被4和6整除的数16个

答案为C

【例题4】共有12盏灯编号为1、2、3……，其中第2、3、7、11号是亮的，其余是关着的。从2011年5月1日开始每天拉一盏灯的灯绳(依次)。一年后，亮着的电灯有多少盏？

A、4

B、6

C、8

D、12

【例题解析】一盏灯被开关偶数次后会与原状态相同，一盏灯被开关奇数次后会与原状态相反。由于2012年是闰年，所以，一共将开关366次，366除以12，商是30余6，也就是说前6盏灯将被开关31次，后6盏将被开关30次。前6盏灯将与原来状态相反，后6盏将与原来相同。所以前6盏中1、4、5、6、是亮的，后6盏中7、11是亮的。

答案为B

【例题5】(2006年山东A卷第8题)有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是：（）

A.216

B.108

C.314

D.348

【例题解析】此题的关键在于大家应该注意到，A除以B，商是5余5，就说明A=5B+5，也就是说，A应是5的倍数，同理，A也应该是6、7的倍数，这样A要满足同时能被5、6、7整除，A也应该是5、6、7的最小公倍数210的倍数。而题目A、B、C、D的和不超过400，这样就可求出A、B、C、D分别为210、41、34、29。

答案为C

【例6】（2010年国考第48题）某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。两教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。两教室当月共举办该培训27次，每次培训均座无虚席，当月培训1290人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训?

A.8

B.10

C.12

D.15

【例题解析】

方法一：

通过题目条件易知，甲教室可容纳5×10=50人，乙教室可容纳5×9=45人，两教室可容纳人数差值为5人。假设27次培训均在乙教室举行，则培训人数应为45×

27=1215人，与实际培训人数差值为1290-1215=75人，总培训人数的差值除以单次培训人数的差值=甲教室的使用次数，即75÷5=15，故应选择D选项。

方法二：

由题目条件，设甲教室使用x次，乙教室使用y次，

列二元一次方程组50x+45y=1290

x+y=27

联立两方程，解得x=15，y=12，故甲教室使用15次，故应选择D选项。

方法三：

由题目条件易知甲教室可容纳5×10=50人，乙教室可容纳5×9=45人。由于参与培训总人数为1290人，可知乙教室的使用次数应为偶数次。观察选项，只有D选项15人满足使乙教室的使用次数为偶，（27-15=12），故应选择D选项。

【例题7】三位采购员定期去某商店,小王每隔9天去一次,大刘每隔11天去一次,老杨每隔7天去一次,三人星期二第一次在商店相会,下次相会是星期几?

A.星期一

B. 星期二

C.星期三

D.星期四

【例题解析】此题如果不注意审题，很可能误以为求出9、11、7的最小公倍数即可。题目中有一点非常容易被大家忽略，就是三人都是每隔几天再去。隔9天再去，就是10

????=，120天除以7余天之后了。所以，应该求10、12、8的最小公倍数25232120

1

答案为C

【重点提示】考生要区分“几天一见”和“隔几天一见”的区别。

【例题8】已知2012被一些自然数去除，得到的余数都是10。这些自然数共有（）个。

Ａ.9 Ｂ.10 Ｃ.11 Ｄ.12

【例题解析】这道题的关键在能够对余数的定义深入理解。2012被一些自然数去除，余数是10。那么，这些自然数就应该可以被2002整除，且大于10。

2002分解因数为2×7×11×13，那么2002就可以被2、7、11、13、14、22、26、77、91、143整除，其中有11—143，8个数大于10，再加上2002本身，一共是9个自然数满足题意

答案为A。

【重点提示】利用“减余”的方法，将余数问题化为整数问题。

12.余数问题

余数问题可以看作整除问题的一类变式，寻求满足条件的数字实际上等同于解决满足各种限制条件的整除问题，此类问题对大家的要求主要是能够迅速做出准确判断。

解答余数问题，需要注意以下几点：

1.余数问题

要熟练掌握余数问题的基本公式：被除数=除数×商+余数

余数问题中余数永远小于除数

只要将余数问题中的余数用加减法处理掉，一切余数问题就成为了整除问题。

2.方阵问题

N排N列的方阵共有N2人；

N排N列的方阵，最外层有4N-4人；

方阵中相邻的两圈人数，外圈人数比内圈多8人。

此外，在很多方阵问题中，最后一排不一定排满，可能为不大于每排人数的任意一个数。

3.多个数字的余数问题

同时满足被A整除余X，被B整除余Y……的数可以表示为nk+m，其中k为A、B的最小公倍数，m为同时满足被A整除余X，被B整除余Y……的最小的整数。

如11是被3整除余2，被5整除余1的数字中的最小的数字，则15n+11也一定满足相同条件。

解决此类问题通常从满足某一条件的最小的自然数入手，同时，代入试算法也是解答此类问题的一种重要解题方法和验算方法。

【例题1】有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1。问这个数除以12余数是几？（）

A.4

B.5

C.6

D.7

【例题解析】依照题干条件，可以取得满足此条件的最小整数解为5，5除以12余5。故应选择B选项。

这里请注意一个问题，3和4的最小公倍数是12，那么每个数除以3余数、除以4余数情况，每12个数就是一次循环。也即是说，任意一个数加上n倍的12，其除以3余数、除以4余数情况，都是一样的。

【例题2】（2010年黑龙江省第44题）一个小于100的整数与5的差是4的倍数，与5的和是7的倍数，这个数最大是多少?( )

A．85 B．89 C．97 D．93

【例题解析】这道题可用代入试算法，因为要找最大的数，所以可从选项中从大往小试算，97+5=102，无法被7整除，排除C项。93+5=98，可以被7整除；93-5=88，可以被4整除，所以答案为D项。

【例题3】（08广西第11题）参加阅兵式的官兵排成一个方阵，最外层的人数是80人，问这个方阵共有官兵多少人( )

A．441 B.400 C.361 D.386

【例题解析】在N排方阵中，最外排一定有4N-4个人，（4N-4表示最外排每边人数×4-每顶点重复计算的四个人）。则有4N-4=80，解得N=21

21排的方阵，共有212=441人。

故应选择A选项。

【例题4】（09四川省公考第13题）学校给一批新入校的同学分宿舍，若每个房间住7人，则6人没有床位，若每个房间住8人，则空出3个房间，新同学人数是（） A．188 B．194 C．206 D．216

【例题解析】设共有x个房间那么可以得出：

7x+6=8(x-3)

所以x=30也即新同学人数为216人

答案为D

【例题5】 (2006年国家考试一卷第50题) 一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有（）。

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【例题解析】9×5×4=180,即满足条件的三位数每增加或减少180，同样满足条件，从100到999这900个三位数中，符合条件的应该为900/180=5个，为187，367，547，727，907。

答案选A

【重点提示】每隔这三个数的最小公倍数，都会有一个满足条件的数

【例题6】（2005浙江第13题）自然数P满足下列条件：P除以10的余数为9，P 除以9的余数为8，P除以8的余数为7。如果：100

A、不存在

B、1个

C、2个

D、3个

【例题解析】与上题解法类似，5×9×8=360,从100到1000内符合条件的有两个,为359、719

答案选C

【例题7】（2010广东省第8题）有一些信件，把它们平均分成三份后还剩2封，将其中两份平均三等分还多出2封，问这些信件至少有多少封（）

A．20 B．26 C．23 D．29

【例题解析】设这些信共有x封，最后毎份为a封

则[2（x-2）/3-2]/3=a

所以x=(9a+10)/2 （其中a、x均为正整数）

要想使x最小且为整数，那么a只能取偶数

a=2,x=14；a=4,x=23

答案为C

【例题8】韩信点兵：汉高祖刘邦曾问大将韩信：我有一个小小的问题向将军请教，“每三人站成一排。”队站好后，小队长进来报告：“最后一排只有二人。”“刘邦又传令：“每五人站成一排。”小队长报告：“最后一排只有三人。”刘邦再传令：“每七人站成一排。”小队长报告：“最后一排只有二人。”刘邦转脸问韩信：“敢问将军，这队士兵有多少人？”

A.20

B.23

C.31

D.32

【例题解析】第一次和第三次最后都剩下两人，说明这队士兵的人数同时为3和7的整数倍余2，即可设该小队人数为21a+2，同时根据每5个人站一排最后一排有三个人又可设该小队人数为5b+3，21a+2=5b+3即21a=5b+1因为a，b都是整数。解得a=1,b=4,士兵人数为23人。

答案为B

【例题9】（2011国考第80题）一个班的学生排队，如果排成3人一排的队列，则比2人一排的队列少8排；如果排成4人一排的队列，则比3人一排的队列少5排，这个班的学生如果按5人一排来排队的话，队列有多少排？

A.9

B.10

C.11

D.12

【例题解析】

方法一：

设2人一排时有X排，最后一排少a人，a可以是1或者0，

则3人一排时有X-8排，最后一排少b人，b可以是1、2、0，

4人一排时有X-8-5排，最后一排少c人，c可以是1、2、3、0.

则有：2X-a=3(X-8)-b=4(X-13)-c 整理消掉X得：2b=4+a+c

b只能是1、2、0，4+a+c肯定大于等于4，b只能等于2，a、c只能等于0.

所以2人一排的队列有26排，共计52人，5人一排来排队的话，队列有11排。

答案为C

方法二：

由于“排成3人一排的队列，比2人一排的队列少8排”则8排会减少15人或16人或17人。若减少15人，则总人数有可能为15排45人或者16排47人两种情况”；若减少16人，则总人数有可能为16排48人和17排50人两种情况；若减少17人，则总人数只有18排52人一种情况。

将上述几种可能的人数分别被4整除，可知几种情况下，站满的排数分别为11,11,12,12,13，实际排数分别为12,12,12,13,13，只有最后一种情况符合条件，所以一共是52人，5人一排的话，一共11排。

答案为C

13.平面图形

平面图形问题是公务员考试数学运算部分一种常见题型，主要考察大家几何思维能力和巧解几何问题的能力，考察范围涵盖面积、周长、角度等内容，考察涉及范围较广但题目难度不大，考生只要仔细阅读题目，通过一些常用的辅助解题手段，运用积累的几何知识大多可以应对平面图形类题目。

（1）面积问题

○

1用比例法解决面积问题 比例法是解决面积问题最简单、最基本的方法，要求大家观察图形、找准比例关系即可轻松解决。

【例题1】（2010年9.18联考第44题）长方形ABCD

的面积是72平方厘米，E 、F 分别是CD 、BC 的中点，三

角形AEF 的面积是（）平方厘米。

A.24

B.27

C.36

D.40

【例题解析】△BAF 面积=4

1×长方形ABCD 面积 △ADE 面积=4

1×长方形ABCD 面积 △FEC 面积=8

1×长方形ABCD 面积 △AEF 面积=（1-41-41-81）×长方形ABCD 面积=8

3长方形ABCD 面积 解答平面图形问题的常用技巧：

一、平面图形的面积问题

1.比例法求面积：所谓用比例法求面积，就是利用图形间边长的比例关系求解相关面积大小的方法。考生要特别注意三角形、梯形面积与相关矩形、四边形面积间的比例关系；结合相似三角形、同底等高三角形等相关概念，建立图形间面积关系的联系。

2.割补法求面积：遇到不规则图形时，首先考虑能否采用先分割再拼补的方法，将不规则图形转化为规则图形；其次考虑能否利用辅助线将不规则图形分割为几个规则图形。割补法是解决不规则图形面积问题时最常用的方法，是最应优先考虑的方法。

3.等底法求面积：运用图形间的同底关系，实现面积相同部分的相互转化。尤其对于求解三角形、梯形面积问题时，等底法都是一种很简便的方法。

二、平面图形的其他问题

1.掌握三角形的性质，即三角形中任意两边之和必须大于第三边，任意两边之差必须小于第三边。

2.运用相关方法解答有关角度问题也是平面图形部分最常考察的题型，对于多边形的内角和问题，考生要牢记N 边形的内角和为（N-2）180°。

如图，△ABC 与△BCD 为同底等高的三角

形，则两三角形的面积相等。

故△AEF 面积=72×8

3=27平方厘米 故应选择B 选项。

【例题2】（2005年山东一卷第4题）下图中的大正方形ABCD 的面积是1平方厘米，其它点都是它所在边的中点。那么，阴影三角形的面积是多少平方厘米？ A.285 B.347 C.323 D.38

5 【例题解析】由于各个点都是中点，所以最内的正四边形的

面积是

214cm ，而Δ1是最内正四边形的18

，Δ2、Δ3是最内四边形的14，则阴影部分是11111324484432-?-??= 答案为C

【例题3】（2007年浙江第18题）如图所示，梯形ABCD ，

AD ∥BC ，DE ⊥BC ，现在假设AD 、BC 的长度都减少10%，DE 的

长度增加10%，则新梯形的面积与原梯形的面积相比，会怎样

变化？

A 、不变

B 、减少1%

C 、增加10%

D 、减少10%

【例题解析】由于AD 、BC 长度都减少10%，故(AD+BC)÷2的长度也减少了10%。 原梯形ABCD 面积=(AD+BC)÷2×DE

变化后梯形ABCD 面积=90%(AD+BC)÷2×110%DE

=99%(AD+BC)÷2×DE

=99%原梯形ABCD 面积

梯形面积减少了1%，故应选择B 选项。

【例题4】（2010年浙江省第86题）如图所示，△

ABC 是直角形，四边形IBFD 和四边形HFGE 都是正方形，

已知AI=1cm ，IB ＝4cm ，问正方形HFGE 的面积是多少

（ ）

A.4

B.7.84

C.9

D.10.24

【例题解析】∵四边形IBFD 为正方形，∴ID=IB=4

∵△AID ∽△ABC ∴

BC AB ID AI ==4

1 ∴BC=20cm 设EG=FG=x ∵△EGC ∽△ABC ∴BC AB x x =--420=41 解得x=3.2cm 故正方形HFGE 的面积=3.22

=10.24。

故应选择D 选项。

【例题5】一个长方形被4条线段分成四个长方形，四个面积分别是12平方米、36平方米、24平方米、48平方米。求阴影部分面积为（ ）平方米。

A. 3

B. 4

C.5

D.6

【例题解析】上面两个长方形的底边比是3：1， 也就是说右上长方形的底边是大长方形的

34， 同理右下长方形的底边是大长方形的23

， 阴影三角形的底边就是大长方形的3214312

-=， 而两个三角形的高的和与大长方形相等 所以两个三角形的面积和是大长方形的

11112224?= 大长方形的面积是12+48+36+24=120

阴影面积为120×

24

1=5平方米 故应选择C 选项

○

2用割补法解决面积问题 割补法是解决面积问题时很常用的方法，利用割补法解题，通常能达到简便计算、巧妙解题的效果。

【例题1】求图中阴影部分的面积是多少?

A.8

B.9

C.10

D.无法计算

【例题解析】如右图，大家很容易发现图形1与图形2是

全等的，图形3与图形4是全等的，将阴影部分进行割补，所

以阴影部分面积是2×4=8，故应选择A 选项。

【例题2】如图，大正方形的一个顶点A 落在小正

方

形的中心点，已知大、小正方形的边长分别是19厘米和

10厘米，求重叠部分的面积。

A ．20平方厘米

B ．25平方厘米

C ．27平方厘米

D ．30厘平方米

【例题解析】如右图所示，连接小正方形的中心点与

右边的两个顶点，我们会发现Δ1与Δ2是全等三角形。所以大、小正方形的重叠部分的面积就是小正方形面积的

14

。故应选择B 选项。

【例题3】求图中两个阴影部分面积的差。

A.3л

B.3

C.4л

D.4л-8 【例题解析】通过观察可以发现，

14圆的面积减去长方形的面积就是两个阴影图形的差，

4

1π42-2×4=4π-8，故应选择D 选项。

【例题4】（2009年4月26日联考第100题）在下图中，大圆的半径是8。求阴影部分的面积是多少?

A ．120

B ．128

C ．136

D ．144

【例题解析】将原图形阴影部分按右图割补，将可得到对角线长度

为 16的正方形，将正方形外的阴影部分图形恰可割

补

到图形中心的空白处，阴影部分面积即为正方形的面

积=16×16÷2=128，故应选择B 选项。

【重要提示】正方形面积不但等于边长×边长，还等于对角线×对角线÷2。

○

3 用等底法解决面积问题 两个等高的三角形的面积比等于它们的底的比，两个三角形如果等底等高则面积相等。利用这一三角形的特性解答题目，也是一种常用方法。

【例题1】(2004年国考B 卷第41题)对右图方格板中的两

个四边形，表述正确的是( )。

A. 四边形Ⅰ的面积大于四边形Ⅱ的面积

B. 四边形Ⅰ的面积小于四边形Ⅱ的面积

C. 两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长大于Ⅱ的周长

D. 两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长小于Ⅱ的周长

【例题解析】右图的两个四边形可以看作四个底和高都是1的三角形。三角形的一个重要性质就是“等底、等高的三角形面积相等”。所以Ⅰ、Ⅱ得面积相等，周长Ⅱ>Ⅰ。故应选择D 选项。

【例题2】（2007年浙江第22题）如图所示，矩形

ABCD 的面积为1，E 、F 、G 、H 分别为四条边的中点，FI

的长度是IE 的两倍，问阴影部分的面积为多少？ A.31 B.41 C.165 D.247

【例题解析】连接FG 与EH ，如下图所示

∵E 、F 、G 、H 分别为各边中点，

∴△AFE ≌△FBG ≌△GCH ≌△EHD 面积均等于8

1矩形ABCD 的面积 故四边形EFGH 面积=2

1矩形ABCD 的面积=0.5

∵EF ∥GH ，∴过I 点做垂线I 交GH 于O

有IO ⊥GH 且IO ⊥EF

△IGH 的面积= GH ×IO ÷2

△IFG 的面积+△EIH 的面积=IF ×IO ÷2+IE ×IO ÷2=EF ×IO ÷2

∵EF=GH

∴△IGH 的面积=△IFG 的面积+△EIH 的面积

∴△IGH 的面积=2

1四边形EFGH 面积=0.25 ∴应选择B 选项。

【例题3】 △ABC 的面积为1个单位，延长AC 的一倍到D ，

延长CB 的二倍到E ，延长BA 的3倍到F ，连接三个点形成△DEF，

求△DEF 的面积。

A. 15

B. 16

C. 17

D. 18

【例题解析】连接辅助线BD ，ΔABC 与ΔBCD ，

等底等高，所以ABC BCD S =S ??，而ΔBCD 与ΔECD 的高

是相等的，底的比是1：3，所以S △ECD =3S △BCD =3，

连接辅助线AE ，ΔAEC 与ΔECD 等底等高。所以，

S △EAC =S △ECD =3

大家再看，AB:BF=1:4，所以S △EFB =4S △EAB =8，AF:AB=3:1，所以36AFD ABD S S ??== S △EFD =S △AFD +S △EFB + S △ECD + S △ABC =18

故应选择D 选项。

【例题4】正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 、H

分别是AD 和DC 的中点，求阴影部分的面积。

A. 14

B.16

C. 17

D. 18

【例题解析】这道题难度有些大，但是包含了很重要的

求面积技巧。ΔFHC 与ΔDHF 等底等高，S △FHC = S △DHF 。F 为对

角线BD 上的一点，E 、H 都是正方形ABCD 边上的中点，所以

ΔFED 与ΔFDH 全等，所以S △EFD = S △FDH = S △FHC =

31 S △EDC 而S △EDC =4

1S □ABCD=30cm 2

所以S △FDE =S △FDH =S △FHC =10cm 2

从BC 的中点J 做垂线交BH 于I ，从J 做垂线到EC ，

交点于K ，大家很容易证明ΔBIJ 、ΔJKC 、ΔJIK 、ΔIGK

与ΔGHC 全等。

所以S △GHC =51S △BHC =5

1×30cm 2=6cm 2 S △FGH = S △FHC -S △GHC =10-6=4cm 2

所以S FDHG =S △FDH +S △FHC =10+4=14cm 2

答案为A

（2）周长问题

★解决周长问题的关键是要准确找出所求特殊图形与题目中所给的基本图形之间的关系，找出变化规律即可解决。

【例题1】图中阴影部分为正方形，那么图中最大的长方形周长是多少厘米？

A.25

B.30

C.32

D. 35

【解析解析】设正方形的边长为a，则有长边为6+9-a，周长为2(6+9-a)+2a=30cm 故应选择B选项。

【例题2】（09云南11题）如图，它是由15个同样大

小的正方形组成。如果这个图形的面积是375平方厘米，那

么，它的周长是( )。

A．150 B．155 C．160 D．165

【例题解析】每个正方形的面积为375÷15=25平方厘米，边长为5厘米。周长为5×32=160厘米，故应现在C选项。

【例题3】 (2003年浙江一卷第19题)如图所示，以大圆的一条直径上的六个点为圆心，画出六个圆的周长紧密相连的小圆。请问，大圆的周长与大圆内部六个小圆的周长之和相比较，结果是（）

A.大圆的周长大于小圆的周长之和

B. 小圆的周长之和大于大圆的周长

C. 一样长

D.无法判断

【解析解析】公考中的图形题，关键是找出其解题思路，

思路找对，就会迎刃而解。因为圆的周长=πd，圆的周长只与直径有关。所以在大圆直径上无论取多少点为圆心，做出的小圆周长之和均等于大圆周长。故应选择C选项。

【例题4】(2004年浙江A卷第17题)右图是由9个等边三角形拼成的六边形，现已知中间最小的等边三角形的边长是a，问这个六边形的周长是多少？（）

A . 30a B. 32a C. 34a D.无法计算

【例题解析】我们设最大的正三角形边长为b

第二大的三角形边长为b-a

第三大的三角形边长为（b-a）-a

第四大的三角形的边长为2

b 六边形的周长为6a+5a+5a+4a+4a+3a+3a=30a

故应选择A 选项。

【例题5】(2003年广西考试一卷44题)如图，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成正方

形EFGH ，中间阴影为正方形。已知，甲、乙、丙、丁四个长

方形面积的和是32cm 2，四边形ABCD 的面积是20cm 2。问甲、

乙、丙、丁四个长方形周长的总和是多少?

A ．32cm

B ．56cm

C ．48cm

D ．68cm

【解析解析】这一类题目只要大家认真观察，凭大家的聪

明才智找出其解题思路是不难的。

S ABCD -21（S 甲+S 乙+S 丙+S 丁）= S 阴影=20-2

32=4 S 阴影+ S 甲+S 乙+S 丙+S 丁= S EFGH =32+4=36

则□EFGH 的边长为6，周长为24，甲乙丙丁的周长和是□EFGH 的两倍。所以甲乙丙丁的周长和是24×2=48。

故应选择C 选项。

（3）其它类平面几何问题

【例题1】（09江西14题）一个等腰三角形，两边长分别为5cm ，2cm ，则周长为多少厘米？

A ．12

B ．9

C ．12或者9

D ．无法确定

【例题解析】由三角形的两边之和大于第三边可知，另一条边只能是5cm ，所以周长为12cm ，故应选择A 选项。

【例题2】（2010年江苏省第38题）若一个三角形的所有边长都是整数，其周长是偶数，且已知其中的两边长分别10和2000，则满足条件的三角形总个数是（ ）

A ．9

B ．10

C ．7

D ．8

【例题解析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可设第三边为x

x+10>2000,x-10<2000

得1990

答案为D

【重点提示】三角形中任意两边之和必须大于第三边，任意两边之差必须小于第三边。

【例题3】（08广西）有一种长方形小纸板，长为29毫米，宽为11毫米。现在用同

样大小的这种小纸板拼合成一个正方形，问最少要多少块这样的小纸板( ) A．197块 B.192块 C.319块 D.299块

【例题解析】设最少用x个，原来的小长方形面积为29×11=319

所以大的正方形面积为319x开平方，要想319x能被开出来，那么x最少为319。故应选择C选项。

【例题4】（2007年辽宁第38题）一个扇形的面积是314平方厘米，它所在的圆的面积是1256平方厘米，则此扇形的圆心角是（）。

A．180°B．60°C．240°D．90°

【例题解析】设此扇形的圆心角为x

314：1256=x：360

解得x=90

故应选择D选项。

【例题5】（08浙江第15题）如右图所示，在△ABC中，已知AB=AC，AM=AN，∠BAN=30°，问∠MNC的度数是多少？

A.15°

B.20°

C.25°

D.30°

【例题解析】AB=AC，则∠ABC=∠ACB

AM=AN，则∠AMN=∠ANM

∠ANC=∠BAN+∠ABN=30°+∠ACB

∠MNC=∠ANC-∠ANM=∠ANC-∠AMN=∠ANC-(∠MNC+∠ACB)

所以2∠MNC=30°

所以∠MNC=15°，故应选A。

【例题6】（2010国考第53题）科考队员在冰面上钻孔获取样本，测量不同孔心之间的距离，获得的部分数据分别为1米、3米、6米、12米、24米、48米。问科考队员至少钻了多少个孔？

A.4

B.5

C.6

D.7

【例题解析】由题意可知，该测量人员需测量6段距离，最多须打n+1个洞即可测出6段距离，但当各洞之间可组成一个三角形时，洞数可减少一个。任何多边形中，均不能出现一边长度大于其余各边之和的情况，依照题目中给出的各段距离可知，这6段距离无法构成三角形，故洞数不能减少，应为6+1=7个洞。故应选择D选项。

14.立体图形

立体图形问题题目往往难度较小，通常是考察考生对球、圆锥体、圆柱体、正方体之类立方体体积公式的应用。

解答立体图形问题。要求考生特别注意以下问题。

1、立体图形中的比例关系

以正方体为例，两个不同正方体，边长比为N时，其表面积比为N2，体积比为N3。要求考生能够灵活运用比例方法解题。特别提醒考生，当题目中出现

圆锥体和圆柱体时，往往会运用其体积之间的比例关系解题。

2、最短距离问题

要使沿某立方体表面移动两点距离最短，须使在其平面展开图中，使两点距离最短。要求考生建立平面图形与立体图形的联系，使平面图形知识成为解

决立体图形问题的重要辅助手段。

3、不规则立体图形的体积、表面积计算问题

在熟练掌握公式的基础上会运用割补法、同底法灵活计算立体图形的体积；

熟练运用分解法、展开法计算立体图形的表面积。

4、结合实际的表面积问题

当题目中出现计算某立体空间表面积的题目时，要求考生分辨此立体空间的“面数”，有无“缺面”问题，避免盲目按经验计算。

【例题1】(2006年山东A卷第15题)把一个长18米，宽6米，高4米的大教室，用厚度为25厘米的隔墙分为3个活动室（隔墙砌到顶），每间活动室的门窗面积都是15平方米，现在用石灰粉刷3个活动室的内墙壁和天花板，平均每平方米用石灰0.2千克，那么，一共需要石灰多少千克：（）

A.68.8

B.74.2

C.83.7

D.59.6

【例题解析】教室的周长原来为18×2+6×2=36+12=48，

隔为3个活动室后，变为48+6×4-0.25×4=71米，

则四壁面积为71×4-15×3=239米2

教室屋顶面积为18×6-0.25×6×2=105米2

共需粉刷239+105=344米2 344×0.2=68.8克

故应选择A选项。

【重点提示】解决空间的表面积问题，要求考生特别注意分辨立体空间的“缺面”现象。如此题中的立体空间内表面积只考虑天花板和四壁；再如水池大多无盖，只需计算底面和四壁面积；再如水箱的内表面积问题，则需六个面面积均计算。

【例题2】（2010年广州市第14题）用圆柱形杯子装爆米花,售价为7元一杯,每天能卖出150杯,后改用底面积相同高度相等的圆锥形杯子装,售价为3元一杯,利润提高到原来的1.5倍,问改装后每天能卖多少盒.