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单纯形法原理以及步骤

单纯形法步骤例题详解

单纯形法演算 j c 2 1 B C X B b 1x 2x 3x 4x 5x 0 3x 15 0 5 1 0 0 无穷 0 4x 24 6 2 0 1 0 4 0 5x 5 1 1 0 0 1 5 j j z c -（检验数） 2 1 首先列出表格，先确定正检验数最大值所在列为主列，然后用b 除以主列上对应的同行数字。除出来所得值最小的那一行为主行，根据主行和主列可以确定主元（交点）。接着把主元化为1并把X4换成X1. ??? ??? ?≥=++=++=+++++=0,,524261550002max 5152 14213 25 4321x x x x x x x x x x x x x x x z ??????? ≥≤+≤+≤+=0 ,5 24261552max 21212122 1x x x x x x x x x z

j c 2 1 B C X B b 1x 2x 3x 4x 5x 0 3x 15 0 5 1 0 0 2 1x 4 1 2/6 0 1/6 0 0 5x 5 1 1 0 0 1 j j z c - 2 1 这时进行初等行列变换，把主列换单位向量，主元为1。也就是X5所在行减去X1所在行。并且重新计算检验数。 j c 2 1 B C X B b 1x 2x 3x 4x 5x 0 3x 15 0 5 1 0 0 2 1x 4 1 2/6 0 1/6 0 0 5x 5-4 1-1=0 1-2/6 =4/6 0-1/6=-1/6 1 j j z c - 2-2*1-0*0-0*1=0 1-0*5-2*2/6-0*4/6=1/3 0-0*0-2*1/6-0*-1/6=-1/3 再次确定主元。为4/6。然后把X5换成X2。并且把主元化成1。

单纯形法基本原理

工程优化设计中单纯形法的基本原理张云龙（大连海洋大学土木工程学院辽宁大连116023) 摘要：从实例出发提出线性规划的数学模型，给出图解法的基本原理，进而重点讲述它的标准解法——单纯形法。在此基础上进一步讨论单纯形法的推广，即大M法和两相法。关键词：线性规划图解法单纯形法大M法 THE BASIC PRINCIPLES OF SIMPLEX METHOD TO THE ENGINEERING OPTIMIZE DESIGN ZHANG Y un-long (Dalian Ocean University, College of Civil Engineering, Liaoning, Dalian 16023) Abstract: From the instance of the starting linear programming mathematical model of the basic principles of the graphic method, and then focus on the standard solution - simplex method. To promote further discussion on this basis, the simplex method, that is, the big M method and two-phase method. Key W ords: Linear programming；Graphic method；Simplex Method; Big M Method 1引言在工程优化设计问题中，当约束集由一组线性函数所确定时，其最优化问题的求解已有比较系统的技巧。如果连目标函数也是线性的，也即线性规划问题，则是目前对规划问题研究最透彻最完善的一类问题，而且有比较成熟的解法。线性规划在工程实例中的应用已相当广泛。虽然大多数设计问题是非线性的，但对线性规划的研究仍然占据突出地位。其原因是：有一部分实际问题，诸如运输问题，分配问题等，确实可以用线性规划问题来求解。尤为重要的是，对于几乎所有规划问题的讨论都与线性规划有关，有时用线性逼近法去直接求解非线性问题；有时则利用线性规划，作为求解在最优化过程中所提出的那些子问题的一个工具，例如，可用来求解可行方向法中的方向寻求问题等错误！未找到引用源。。因此，深刻理解线性规划问题及其标准解法——单纯形法，显得尤为关键。 2线性规划问题 2.1数学模型线性规划主要解决：如何利用现有的资源，使得预期目标达到最优。例如，美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。已知各制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试工序及每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况，如表1-1所示。问该公司应制造两种家电各多少件，使获取的利润最大？表1-1 工时及利润简表

使用单纯形法解线性规划问题

使用单纯形法解线性规划问题要求：目标函数为：123min 3z x x x =-- 约束条件为： 123123 1312321142321,,0 x x x x x x x x x x x -+≤??-++≥?? -+=??≥? 用单纯形法列表求解，写出计算过程。解： 1）将线性规划问题标准化如下：目标函数为：123max max()3f z x x x =-=-++ s.t.： 123412356 1371234567211 42321,,,,,,0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=??-++-+=??-++=??≥? 2）找出初始基变量，为x 4、x 6、x 7，做出单纯形表如下：表一：最初的单纯形表变量基变量 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b i x 4 1 -2 1 1 0 0 0 11 x 6 -4 1 2 0 -1 1 0 3 x 7 -2 0 1 0 0 0 1 1 -f -3 1 1 3）换入变量有两种取法，第一种取为x 2，相应的换出变量为x 6，进行第一次迭代。迭代后新的单纯形表为：表二：第一种换入换出变量取法迭代后的单纯形表变量基变量 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b i x 4 -7 5 1 -2 2 3

x2-4120-1103 x7-20100011 -f10-101-10-3 由于x1和x5对应的系数不是0就是负数，所以此时用单纯形法得不到最优解。表一中也可以把换入变量取为x3，相应的换出变量为x7，进行一次迭代后的单纯形表为：表三：第二种换入换出变量取法迭代后的单纯形表变量基变量x1x2x3x4x5x6x7 b i x43-20100-110 x60100-11-21 x3-20100011 -f-110000-1-1 4）表三中，取换入变量为x2，换出变量为x6，进行第二次迭代。之后的单纯形表为：表四：第二次迭代后的单纯形表变量基变量x1x2x3x4x5x6x7 b i x43001-22-512 x20100-11-21 x3-20100011 -f-10001-11-2 5）表四中，取换入变量为x7，换出变量为x3，进行第三次迭代。之后的单纯形表为：表五：第三次迭代后的单纯形表变量基变量x1x2x3x4x5x6x7 b i x4-7051-22017 x2-4120-1103 x7-20100011 -f10-101-10-3可以看出，此时x1，x5对应的系数全部非零即负，故迭代结束，没有最优解。结论：综上所述，本线性规划问题，使用单纯形法得不到最优解。

单纯形法求解线性规划的步骤

单纯形法求解线性规划的步骤 1>初始化将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都是非负的(否则无解),接下来的m列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示 2>最优化测试如果目标行的所有单元格都是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为0 3>确定输入变量从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列 4>确定分离变量对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量和主元行 5>建立下一张表格将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格和新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0).把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步为求简单在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式: 1:指定行和列,由用户自行输入每一个元素SimpleMatrix(introw=0,int col=0); 2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化和处理(本程序所用的实例用的是这种方法) 程序中主要的函数以及说明 ~SimpleMatrix(); 销毁动态分配的数组.用于很难预先估计矩阵的行和列,所以在程序中才了动态的内存分配.需要重载析构函数 bool Is_objectLine_All_Positive(); //判断目标行是否全部为非负数,最后一列不作考虑这个函数用来判断是否已经存在最优解 bool Is_MainCol_All_Negative(int col);//判断主元列是否全部为负数或零这个函数用来判断线性规划是否是无解的 bool Is_column_all_Positive(int col); //判断col列中是否全部为正(不包括目标行)

(完整word版)单纯形法的解题步骤

三、单纯形法的解题步骤第一步：作单纯形表. ）（1）把原线性规划问题化为标准形式；）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵；）（3）目标函数非基化；）（4）作初始单纯形表. 第二步：最优解的判定. (1) 若所有检验数都是非正数，即，则此时线性规划问题已取得最优解. (2) 若存在某个检验数是正数，即，而所对应的列向量无正分量，则线性规划问题无最优解. 如果以上两条都不满足，则进行下一步. 第三步：换基迭代. ，并确定所在列的非基变量为进基变量. （1）找到最大正检验数，设为（2）对最大正检验数所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号. 主元是最大正检验数所在列，用常数项与进基变量所对应的列向量中正分量的比值最小者；替换出基变量，从而得到新的基变量.也就是主元所在（3）换基：用进基变量（4）利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表；（5）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止. 例3 求.

解（1）化标准型：令，引进松弛变量，其标准型为求（2）作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中的系数构成单位矩阵，故取为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）.表 6.8

（3）最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为目标函数取得最优值. 原线性规划问题的最优解为：.目标函数的最优值为14，即. 例4 用单纯形方法解线性规划问题. 求. 解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵（1、2行，3、4列构成），取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出，, 代入目标函数 , 经整理后，目标函数非基化了. 作单纯形表，并进行换基迭代（见表6.9）. 最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变出基，非基变量进基. 换，基变量

单纯形法求解原理过程

单纯形法需要解决的问题：如何确定初始基本可行解；如何由一个基本可行解迭代出另一个基本可行解，同时使目标函数获得较大的下降；如何判断一个基本可行解是否为最优解。 min f(X)=-60x1-120x2 s.t. 9x1+4x2+x3=360 3x1+10x2+x4=300 4x1+5x2+x5=200 x i≥0 (i=1,2,3,4,5) (1) 初始基本可行解的求法。当用添加松弛变量的方法把不等式约束换成等式约束时，我们往往会发现这些松弛变量就可以作为初始基本可行解中的一部分基本变量。例如：x1-x2+x3≤5 x1+2x2+x3≤10 x i≥0 引入松弛变量x4，x5后，可将前两个不等式约束换成标准形式 x1-x2+x3+x4=5 x1+2x2+x3+x5=10 x i≥0 (i=1,2,3,4,5) 令x1=x2=x3=0，则可立即得到一组基本可行解 x1=x2=x3=0，x4=5，x5=10 同理在该实例中，从约束方程式的系数矩阵中可以看出其中有个标准基，即与B对应的变量x3，x4，x5为基本变量，所以可将约束方程写成 X3=360-9x1-4x2 x4=300-3x1-10x2 x5=200-4x1-5x2 若令非基变量x1=x2=0，则可得到一个初始基本可行解X0 X0=[0,0,360,300,200] T 判别初始基本可行解是否是最优解。此时可将上式代入到目标函数中，得：

F(X)=-60x1-120x2 对应的函数值为f(X0)=0。由于上式中x1,x2系数为负，因而f(X0)=0不是最小值。因此所得的解不是最优解。 (2) 从初始基本可行解X0迭代出另一个基本可行解X1，并判断X1是否为最优解。从一个基本可行解迭代出另一个基本可行解可分为两步进行：第一步，从原来的非基变量中选一个（称为进基变量）使其成为基本变量；第二步，从原来的基本变量中选一个（称为离基变量）使其成为新的非基变量。选择进基和离基变量的原则是使目标函数值得到最快的下降和使所有的基本变量值必须是非负。在目标函数表达式中，非基变量x1,x2的系数是负值可知，若x1,x2不取零而取正值时，则目标函数还可以下降。因此，只要目标函数式中还存在负系数的非基变量，就表明目标函数还有下降的可能。也就还需要将非基本变量和基本变量进行对换。一般选择目标函数式中系数最小的（即绝对值最大的负系数）非基变量x2换入基本变量，然后从x3，x4，x5中换出一个基本变量，并保证经变换后得到的基本变量均为非负。当x1=0，约束表达式为： X3=360-4x2≥0 x4=300-10x2≥0 x5=200-5x2≥0 从上式中可以看出，只有选择 x2=min{}=30 才能使上式成立。由于当x2=30时，原基本变量x4=0，其余x3和x5都满足非负要求。因此，可以将x2，x4互换。于是原约束方程式可得到：4x2+x3=360-9x1 10x2 =300-3x1-x4 5x2+x5=200-4x1 用消元法将上式中x2的系数列向量变[4,10,5]T换成标准基向量[0,1,0]T。其具体运算过程如下： -*4/10 : x3=240-78x1/10+4 x4/10 /10 : x2 =30-3x1/10-x4/10

单纯形法步骤

单纯形法步骤： 1. 给定初始点 )0(x 初始单纯形边长 a ， α ，收缩系数 β ，延伸系数 γ 以及精度要求 ε。 2. 作出初始单纯形图 3. 找出坏点 )(h x 、好点 )(e x 计算中心点 )1(+n x 及反射点 )2(+n x 和各点上的目标函数值 4. 比较反射点和除了坏点上的函数值， 5. ⑴. 如果反射点上的函数值比好点差，但比坏点外的其他顶点函数值好，认为反射成功，将反射点代替坏点构成新的单纯形，转7 ⑵. 如果反射点上的函数比好点还要好，说明反射点很好，可以沿此方向作延伸尝试，如果延伸点上的函数值比好点还好，则将延伸点取代坏点，形成新单纯形，转7。反之，延伸点上函数值不如好点，说明延伸失败，但反射还是成功的，所以仍可用反射点代替坏点，然后转7 5. 如果反射点连坏点都不如，说明反射失败，那么作收缩，找出收缩点的函数值，并转 6.；如果反射点仅比坏点好，则将反射点取代坏点，然后收缩，转下一步6。 6. 如果收缩点上函数比坏点还差，说明收缩也失败，作缩小运算，形成缩小后的单纯形转7；反之（即收缩点上的函数值比坏点好），说明收缩成功，用收缩点代替坏点，形成新的单纯形转。转下一步7。 7. 检查是否满足精度要求 ()(1)max (()i n f x f x ε+-≤ 如满足，停止迭代，否则转3，继续迭代。 %三个考察点，最优，次差，最差 best = vx(: , 1) ; fbest = vf(1) ;

soso = vx(: , n) ; fsoso = vf(n) ; worst = vx(: , n+1) ; fworst = vf(n+1) ; center = sum(vx(: , 1:n) , 2) ./ n ; r = 2 * center - worst ;%反射点 fr = feval(fun , r) ; if fr < fbest %比最好的结果还好，说明方向正确，考察扩展点，以期望更多的下降 e = 2 * r - center ; %扩展点 fe = feval(fun , e) ; if fe < fr %在扩展点和反射点中选择较优者去替换最差点 vx(: , n+1) = e ; f(: , n+1) = fe ; else vx(: , n+1) = r ; vf(: , n+1) = fr ; end else if fr < fsoso %比次差结果好，能够改进 vx(: , n+1) = r ; vf(: , n+1) = fr ; else %比次差结果坏，当压缩点无法得到更优值的时候，考虑收缩 shrink = 0 ; if fr < fworst %由于r点更优所以向r点的方向找压缩点 c = ( r + center ) ./ 2 ; fc = feval(fun , c) ; if fc < fr %确定从r压缩向c可以改进 vx(: , n+1) = c ; vf(: , n+1) = fc ; else %否则的话，准备进行收缩

图解法和单纯形法求解线性规划问题

图解法和单纯形法求解以下线性规划问题 1.1 图解法解线性规划问题只含两个变量的线性规划问题，可以通过在平面上作图的方法求解，步骤如下： (1)以变量x1为横坐标轴，x2为纵坐标轴，适当选取单位坐标长度建立平面坐标直角坐标系。由变量的非负性约束性可知，满足该约束条件的解均在第一象限内。 (2)图示约束条件，找出可行域（所有约束条件共同构成的图形）。 (3)画出目标函数等值线，并确定函数增大（或减小）的方向。 (4)可行域中使目标函数达到最优的点即为最优解。然而，由于图解法不适用于求解大规模的线性规划问题，其实用意义不大。 1.2 单纯形法解线性规划问题它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。 1.3 线性规划问题的标准化使用单纯形法求解线性规划时，首先要化问题为标准形式

使用单纯形法解线性规划问题

使用单纯形法解线性规划问题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

使用单纯形法解线性规划问题要求：目标函数为：123min 3z x x x =-- 约束条件为： 123123 1312321142321,,0 x x x x x x x x x x x -+≤??-++≥?? -+=??≥? 用单纯形法列表求解，写出计算过程。解： 1）将线性规划问题标准化如下：目标函数为：123max max()3f z x x x =-=-++ .： 1234123561371234567211 42321,,,,,,0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=??-++-+=??-++=??≥? 2）找出初始基变量，为x 4、x 6、x 7，做出单纯形表如下：表一：最初的单纯形表 3）换入变量有两种取法，第一种取为x 2，相应的换出变量为x 6，进行第一次迭代。迭代后新的单纯形表为：表二：第一种换入换出变量取法迭代后的单纯形表

由于x1和x5对应的系数不是0就是负数，所以此时用单纯形法得不到最优解。表一中也可以把换入变量取为x3，相应的换出变量为x7，进行一次迭代后的单纯形表为：表三：第二种换入换出变量取法迭代后的单纯形表 4）表三中，取换入变量为x2，换出变量为x6，进行第二次迭代。之后的单纯形表为：表四：第二次迭代后的单纯形表 5）表四中，取换入变量为x7，换出变量为x3，进行第三次迭代。之后的单纯形表为：表五：第三次迭代后的单纯形表

单纯形法求解线性规划的步骤

单纯形法求解线性规划的步骤 1>初始化将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都就是非负的(否则无解),接下来的m 列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示 2>最优化测试如果目标行的所有单元格都就是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为0 3>确定输入变量从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列 4>确定分离变量对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题就是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量与主元行 5>建立下一张表格将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格与新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0)、把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步为求简单在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式: 1:指定行与列,由用户自行输入每一个元素SimpleMatrix(introw=0,int col=0); 2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化与处理(本程序所用的实例用的就是这种方法) 程序中主要的函数以及说明 ~SimpleMatrix(); 销毁动态分配的数组、用于很难预先估计矩阵的行与列,所以在程序中才了动态的内存分配、需要重载析构函数bool Is_objectLine_All_Positive(); //判断目标行就是否全部为非负数,最后一列不作考虑这个函数用来判断就是否已经存在最优解 bool Is_MainCol_All_Negative(int col);//判断主元列就是否全部为负数或零这个函数用来判断线性规划就是否就是无解的 bool Is_column_all_Positive(int col); //判断col列中就是否全部为正(不包括目标行)

使用单纯形法解线性规划问题

使用单纯形法解线性规划问题要求：目标函数为：123min 3z x x x =-- 约束条件为： 123123 1312321142321,,0 x x x x x x x x x x x -+≤??-++≥?? -+=??≥? 用单纯形法列表求解，写出计算过程。解： 1）将线性规划问题标准化如下：目标函数为：123max max()3f z x x x =-=-++ s.t.： 123412356 1371234567211 42321,,,,,,0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=??-++-+=??-++=??≥? 2）找出初始基变量，为x 4、x 6、x 7，做出单纯形表如下：表一：最初的单纯形表 3）换入变量有两种取法，第一种取为x 2，相应的换出变量为x 6，进行第一次迭代。迭代后新的单纯形表为：表二：第一种换入换出变量取法迭代后的单纯形表

用单纯形法求解线性规划问题

目录一．摘要 (2) 二．实验目的 (2) 三．实验内容 (2) 四．建立数学模型 (3) 五．实验原理 (5) 六．MALTAB程序代码及注释 (7) 七．结果运行测试 (13) 八．心得与感悟 (15)

一．摘要：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法,英文缩写LP。自1946年G.B.Dantizig提出单纯形法以来，它一直是求解线性规划问题的最有效的数学方法之一。单纯形法的理论根据是：线性规划问题的可行域是 n 维向量空间Rn中的多面凸集,其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。通过引入普通单纯形法，依次迭代并判断，逐步逼近，最后得到最优解。若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解，再鉴别；若仍不是，则再转换，按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。关键字：线性规划，单纯形法，最优值，最优解二．实验目的： 1.加强学生分析问题能力，锻炼数学建模能力。 2.了解并掌握MATLAB软件中的线性规划问题的编程、求解和分析。 3.利用所学的MALTAB语言，完成对单纯形法问题的编程设计。三．实验内容：某商场决定，营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息，据统计，商场每天需要营业员如下：星期一：300，二：300；三：350，四：400，五：480，六：600；日：500；（1）商场人力资源部应如何安排每天上班的人数才能使商场总的营业员最少（2）若商场可以雇佣临时工，上班时间同正式工，若正式工每天工资80，临时工每天100，问商场是否应雇佣临时工及雇佣多少名？

单纯形法的计算方法

第4章单纯形法的计算方法单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。这就是迭代, 直到目标函数实现最大值或最小值为止。 4.1 初始基可行解的确定为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。（1）第一种情况：若线性规划问题 max z =n j j j=1c x ∑ 1,1,2,...,0,1,2,...n ij j i j j a x b i m x j n =?==???≥=?∑ 从Pj ( j = 1 , 2 , ? , n )中一般能直接观察到存在一个初始可行基 121(,,...,)n B P P P 0 0?? ?0 1 0 ?== ? ?0 0 1?? （2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。经过整理, 重新对 j x 及ij a ( i = 1 , 2 , ? , m ; j = 1 , 2 , ? , n )进行编号, 则可得下列方程组 11,1111 22,1122,1112.........,,...,0 m m n n m m n n m m m m nn n n n x a x a x b x a x a x b x a x a x b x x x +++++++++=?? +++=?? ??+++=??≥? 显然得到一个m ×m 单位矩阵

单纯形法原理

单纯形法原理及步骤单纯形法，求解线性规划问题的通用方法。单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。它的理论根据是：线性规划问题的可行域是 n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。单纯形法是从某一基可行解出发，连续地寻找相邻的基可行解，直到达到最优的迭代过程，其实质是解线性方程组。概述：根据单纯形法的原理，在线性规划问题中，决策变量（控制变量）x1，x2，…x n的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。这样，一个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解，这只在两种情况下发生，即没有可行解或各项约束条件不阻止

目标函数的值无限增大（或向负的方向无限增大）。单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。现在一般的线性规划问题都是应用单纯形法标准软件在计算机上求解，对于具有106个决策变量和104个约束条件的线性规划问题已能在计算机上解得。求解步骤：（1）确定初始基可行解 ①从线性规划标准形的系数矩阵中能直接找出m个线性独立的单位向量； ②对约束条件全为“<=”连接的LP，化为标准形，左端添加松弛变量后即形成一个单位子矩阵； ③约束条件中含有“<=”或“=”连接的方程，在插入剩余变量后找不到单位矩阵，则必须采用

单纯形法的解题步骤

三、单纯形法的解题步骤第一步：作单纯形表. （1）（1）把原线性规划问题化为标准形式；（2）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵；（3）（3）目标函数非基化；（4）（4）作初始单纯形表. 第二步：最优解的判定. (1) 若所有检验数都是非正数，即，则此时线性规划问题已取得最优解. (2) 若存在某个检验数是正数，即，而所对应的列向量无正分量，则线性规划问题无最优解. 如果以上两条都不满足，则进行下一步. 第三步：换基迭代. （1）找到最大正检验数，设为，并确定

（2）作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中的系数构成单位矩阵，故取为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）. 表 6.8 x1 x2x3x4x5常数 x 3 x 4 x 51 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 （1）0 0 1 5 10 4 S′ 1 3 0 0 0 0 x 3 x 4 x2 1 0 1 0 0 （1）0 0 1 -2 0 1 0 0 1 5 2 4 S′ 1 0 0 0 -3 -12 x 3 x 1 x 20 0 1 -1 2 1 0 0 1 -2 0 1 0 0 1 3 2 4 S′0 0 0 -1 -1 -14

单纯形算法一般原理

单纯形算法的一般原理单纯形法的基本思路是有选择地取基本可行解，即是从可行域的一个极点出发，沿着可行域的边界移到另一个相邻的极点，要求新极点的目标函数值不比原目标函数值差。考虑到如下线性规划问题：其中Ａ一个m ×n 矩阵，且秩为m ，ｂ总可以被调整为一个m 维非负列向量，Ｃ为n 维行向量，Ｘ为n 维列向量。根据线性规划基本定理：如果可行域Ｄ={ Ｘ∈Ｒn / ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0}非空有界，则Ｄ上的最优目标函数值Ｚ=ＣＸ一定可以在Ｄ的一个顶点上达到。这个重要的定理启发了Dantzig 的单纯形法，即将寻优的目标集中在D 的各个顶点上。 Dantzig 的单纯形法把寻优的目标集中在所有基本可行解（即可行域顶点）中。其基本思路是从一个初始的基本可行解出发，寻找一条达到最优基本可行解的最佳途径。单纯形法的一般步骤如下：（1）寻找一个初始的基本可行解。（2）检查现行的基本可行解是否最优，如果为最优，则停止迭代，已找到最优解，否则转一步。（3）移至目标函数值有所改善的另一个基本可行解，然后转会到步骤（2）。求解思想如下图所示： maxZ=CX AX=b X 0??≥?

确定初始的基本可行解等价于确定初始的可行基，一旦初始的可行基确定了，那么对应的初始基本可行解也就唯一确定为了讨论方便，不妨假设在标准型线性规划中，系数矩阵Ａ中前m 个系数列向量恰好构成一个可行基，即Ａ=（ＢＮ），其中Ｂ=（Ｐ1，Ｐ2，…Ｐm ）为基变量x1，x2，…xm 的系数列向量构成的可行基，Ｎ=(Ｐm+1，Pm+2， …Pn)为非基变量xm+1，xm+2， …xn 的系数列向量构成的矩阵。那么约束方程AX=b 就可表示为：用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得：若令所有非基变量，则基变量由此可得初始的基本可行解 B B N N X AX=(BN)=BX +NX =b X ?? ???-1-1B N X =B b-B NX N X =0-1B X =B b 1B b X=0-?? ???-1-1-1B N B N N B AX=b BX +NX =b X =B b-B NX X =0,X =B b →→→