专题：将军饮马问题

专题：将军饮马问题

一、主要内容

（1）将军饮马问题的概念。

（2）将军饮马问题在坐标系、一次函数、三角形、正方形中的应用。

（3）将军饮马问题与勾股定理。

二、重点掌握将军饮马问题的概念和解题思路，能解决将军饮马问题和一次函数、坐标系、几何图形和勾股定理等的综合习题。

三、课前复习

轴对称的性质与作法；一次函数的性质；勾股定理的性质；三角形、矩形、正方形的性质；三角形的三边关系、平移的性质。

四、课题精讲

例2: 已知A(2,3)、B(3,2)，M是x轴上的一个动点，N是y轴上的一个动点，求AN+NM+BM 的最小值，并求出此时M、N的坐标。

思路：作对称

①两段折线→ 作一次对称→ 转化折线三段折线→ 作两次对称→ 转化折线

②连线段→ 最小值

例3: 已知A(-3,4)、B(-2,-5)、M(0,m)、N(0,m+1)，求BM+MN+AN的最小值，并求此时对应的m的值。

例4: 已知A(4,1)、B(-3,-2)，试在x轴上找一点C，是|AC-BC|最大，求出点C的坐标和这个最大值。

将军饮马问题解题思路的归纳

学习了几个常见的例子，我们再来整理一下思路。

B

M A D B Q C ?首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点，即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的点。

1. 怎么对称，作谁的对称？

简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或者说只有定点才可以去作对称的。（不确定的点作对称式没有意义的）那么作谁的对称点？首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，而不是一个点。那么是哪一条线？一般而言都是动点所在直线。

2. 对称完以后和谁连接？

一句话：和另外一个顶点相连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念：

定点的对称点也是一个定点。

3. 所求点怎么确定？

首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们所画

直线和已知直线的交点。

4. 将军饮马一定是求最短距离吗？

肯定不是。或者说求最短距离是将军饮马中的最简单一类题目。根据将军饮

马的基本模型可以拓展出很多题型。根本原因是因为在作轴对称过程中不但

是作了点的对称，还作了边长和角度的对称！或者说边长和角度的对称才是

最关键。

(三)将军饮马与勾股定理

例5: 如图，将军的军营在A 处，与河岸的距离OA=4km ，将军的家在B 处。且QA=7km ，QB=8km ，他下班回家的路上先把马牵到小河边去饮水，然后再回到家中，求他下班回家要走的最短路程。

例6: 如图，∠POQ = 20°，A 为OQ 上的点，B 为OP 上的点,且OA=1，OB=2，在OB 上取点A 1 ，在OQ 上取点A 2 ,求AA 1 + A 1A 2 + A 2B 的最小值。

例7: ∠AOB = 45°，P 是∠AOB 内一点，PO = 10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值。

(四)三角形、正方形中的将军饮马问题

例8: 如图，在等边△ABC 中，AB=6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE=2，求EM+EC 的最小值。

例9: 如图，在锐角△ABC 中，AB=42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是__________。

例10: 如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上,且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为_________。

O 河岸 ?A Q B O A A 2 Q A 1 B P A C D A D B C ?

例11: 在边长为2

cm

的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为_______cm。

例12: 一次函数y = kx + b的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)．

(1)求该函数的解析式；

(2)O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，

P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求

取得最小值时P点坐标．

例13: 如图，在坐标系x O y中，有一条河，

河岸分别为x轴和直线MN，直线MN与

y轴的交点为A(0,2)，P、Q两地位于河的

两岸，且P(0,5)、Q(5,-1)。现在需要在河上

架一座桥(桥必须垂直于河岸)，来沟通P、Q

两地，求桥的端点B、C的坐标，使得从P地

到Q地的路程最短。

总结：将军饮马问题= 轴对称问题= 最短距离问题(轴对称是工具,最短距离是题眼)。所谓轴对称是工具,即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼,也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现“线段a+b的最小值”这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。

能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转化的数学思想.

课后巩固习题

1、已知A(-1,4)，B(1,1)，在x轴上找一点C，使AC+BC最小。则C点的坐标是________，AC+BC的最小值是_______。

2、∠AOB = 45°，点P在∠AOB内，且OP = 3，点M,N分别为射线OA，OB上的动点，则△PMN的周长的最小值为________。

3、如图，∠AOB = 40°，点P，Q都在∠AOB内，

∠AOP = ∠BOQ = 10°，且OP = OQ = 6，作点P

关于OA的对称点P1 ，作点Q关于OB的对称点

Q1 ,则P1Q1 = _________。

4、∠AOB = 60°，点P，Q都在∠AOB内，∠AOP = ∠BOQ = 15°，且OP = 8，OQ = 6。在射线OA、OB上分别存在点M，N，是PM+MN+NQ的值最小，则最小值是___________。

5、如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN 的值最小，则这个最小值是多少？

6、如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为_______。

M A N

P

?

y

x

O

Q

?

A

O B

P

Q

7、如图，若四边形 ABCD 是菱形， AB=10cm ，∠ABC=45°，E 为边 BC 上的一个动点，P 为 BD 上的一个动点，求 PC+PE 的最小值.

8、如图，在锐角△ABC 中，AB = 4，∠BAC = 45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D 。M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，作出满足BM + MN 最小时的M 、N 所在的位置，并求这个最

小值。

9、如图，一次函数x y 21=与反比例函数x

k y =交于点 A ，AM ⊥x 轴于点 M ，三角形OAM 的面积为1。(1)求k 的值；(2) 点 B 为双曲线上不与 A 重合的一点，且 B(1，n )，在 x 轴上求一点 P ，使 PA+PB 最小。

A C

B D

将军饮马问题讲定稿版

将军饮马问题讲 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

将军饮马问题 类型一、基本模式 类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题） 2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB 上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P 和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短． 【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短． 3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短? 4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小 5已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON于点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（） A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24 6. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等.

7、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数. 8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为______. 练习 1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P 在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由． 2、如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓 库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？ 3、已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使得|| -最小． AM BM 4、如图，正方形ABCD中，8 AB=，M是DC上的一点，且2 DM=，N是AC上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值． 5、如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。 6、如图，直角坐标系中有两点A、B,在坐标轴上找两点C、D,使得四边形ABCD的周长最小。

将军饮马问题教学文案

将军饮马问题

第一讲将军饮马问题 学习要点与方法点拨 一、主要内容（1）将军饮马问题的概念。 （2）将军饮马问题在坐标系、一次函数、三角形、正方形中的应用。 （3）将军饮马问题与勾股定理。 二、本章重点掌握将军饮马问题的概念和解题思路，能解决将军饮马问题和一次 函数、坐标系、几何图形和勾股定理等的综合习题。 课前预习 轴对称的性质与作法；一次函数的性质；勾股定理的性质；三角形、矩形、正方形的性质；三角形的三边关系、平移的性质。 模块精讲 一、将军饮马问题的概念和基本思路 起源：古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题： 如图，有一位将军从位于A点的军营，返回位于B点的家中，途中需要到达一条小河MN边，让马去河里喝水。那么，该如何选择路径，才能使将军回家的过程 中，走过的路程最短？ 精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题。 A

初一看，这个问题好像没有什么思路，那我们先把问题的概念转换一下。这个问 题中A点和B点在河MN的同一侧，那么，如果A点和B点在河MN的不同侧呢？ 那我们再回到最开始时的问题，是不是有了启发呢？ 例1，如图，一匹马从S点出发，先去河OP边喝水，再去草地OQ吃草，然后再回 到S点。该如何选择线路，使得经过的总路程最短？ 草地 O M 例1图例2图 二、将军饮马与坐标系 例2，已知A(2,3)、B(3,2)，M是x轴上的一个动点，N是y轴上的一个动点， 求AN+NM+BM的最小值，并求出此时M、N的坐标。 ①两段折线→作一次对称→转化折线

将军饮马问题讲义

将军饮马问题 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:"白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河." 诗中隐含着一个有趣的数学问题? 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营. 请问怎样走才能使总的路程最短？ 这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走 才能使路程最短？从此，这个被称为”将军饮马”的问题广泛流传? 将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。所谓 轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段a+b这样的条件或者问题。一旦出现可以 快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。 5?如图，点A是/ MON 外的一点，在射线ON上作点P, 使PA与 点P到射线0M的距离之和最小

6..如图，点A是/ MON 内的一点，在射线 常见问题 首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点，即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的点。 1. 怎么对称，作谁的对称？。简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或 者说只有定点才可以去作对称的。(不确定的点作对称式没有意义的)那么作谁的对称点 首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，而不是一个点。那么是哪一条线？一般而言都是 动点所在直线。 2. 对称完以后和谁连接？ 一句话：和另外一个定点相连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。例如模型二和模型三。 3. 所求点怎么确定？ 首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线 的交点。 下面我们来看看将军饮马与二次函数结合的问题： 1.如图，抛物线y=ax+bx+c 经过A( 1，0)、B(4，0)、C(0，3)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAOC勺周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由. 11 C V L 【分析】(1)设交点式为y=a (x- 1) (x- 4),然后把C点坐标代入求出a亠，于是得到抛 4 物线解析式为y=—x2-——x+3; 4 4 (2)先确定抛物线的对称轴为直线x&，连结BC交直线x一于点P,如图，利用对称性 得到PA=PB所以PA+PC=PC+PB=BC艮据两点之间线段最短得到PC+PA最短，于是可判断此时四边形PAOC勺周长最小，然后计算出BC=5,再计算OC+OA+B即可.

轴对称与将军饮马问题(基础篇)专题练习(解析版)

轴对称与将军饮马问题（基础篇）专题练习 一、两定点一动点 1、答案：D 分析： 解答：∵点B和B’关于直线l对称，且点C在l上， ∴CB=CB’， 又∵AB’交l于C，且两条直线相交只有一个交点， ∴CB’+CA最短，即CA+CB的值最小，将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边． 2、答案：B 分析： 解答：MN是正方形ABCD的一条对称轴， ∴PD=AP， 当PC+PD最小时，即点P位于AC与MN的交线上， 此时∠PCD=45°． 3、答案：C 分析： 解答：当PC+PE最小时，P在BE与AD的交点位置， 如图， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∵D、E分别是边BC，AC的中点， ∴P为等边△ABC的重心， ∴BE⊥AC， ∴∠PCE=1 2 ∠ACB= 1 2 ×60°=30°， ∴∠CPE=90°-∠PCE=90°-30°=60°，

选C． 4、答案：作图见解答． 分析： 解答：如图所示： 5、答案：作图见解答． 分析： 解答：所作图形如图所示： 6、答案：（1）画图见解答．（2）画图见解答． （3）P（0，4）． 分析： 解答：（1）

（2） （3）过点A作AM⊥x轴于M， ∵A（2，6）， ∴M（2，0），AM=6， 又∵B（4，0）， ∴点B关于y轴的对称点B’（-4，0）， ∴B’M=6=AM， ∴△AB’M为等腰直角三角形， ∴∠P’BO=45°， ∴△P’BO也为等腰直角三角形， ∴B’O=PO=4， ∴P（0，4）． 7、答案：（1）画图见解答． （2）画图见解答． 分析： 解答：（1）关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标相反． （2）作C关于y轴的对称点C1，连接C1B，交y轴于点P．连接PB，PC，此时△PBC周

初中数学将军饮马问题的六种常见题型汇总

第 6 页 共 10 页 初中数学将军饮马问题的六种常见模型 将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1. 如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 3.如图，点P 是∠ MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使△P AB 的周长最小 4.如图，点P ， Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形P AQB 的 周长最小。 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小

第 6 页 共 10 页 6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小 二、常见题目 【1】、三角形 1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，AE =2，求EM +EC 的最小值 解： ∵点C 关于直线AD 的对称点是点B ， ∴连接BE ，交AD 于点M ，则ME +MD 最小， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ， 则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1， BH =22BC CH -=2263-=33 在直角△BHE 中，BE =22BH EH - =22(33)1+=27 2．如图，在锐角△ABC 中，AB =42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点， 则BM +MN 的最小值是____． 解：作点B 关于AD 的对称点B '，过点B '作B 'E ⊥AB 于点E ，交AD 于点F ，则线段B 'E 长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt △AEB '中，根据勾股定理得到，B 'E = 4

13.4 将军饮马——最短路径问题教学设计

13.4 将军饮马——最短路径问题教学设计 一、教学内容解析 为了解决生产，经营中省时省力省钱而希望寻求最佳的解决方案而产生了最短路径问题. 初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，为理论基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 本节内容是在学生学习平移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.从中，让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题，分析问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间，数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深对所学数学内容的理解，它既是轴对称、平移知识运用的延续，又能培养学生自行探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用。 基于以上分析，本节课的教学重点确定为： [教学重点] 利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 二、教学目标解析 新课程标准明确要求，数学学习不仅要让学生获得必要的数学知识、技能，还要包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面得到发展.因此，确定教学目标如下：[教学目标] 能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感. [目标解析] 达线目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转化的数学思想. 三、学生学情诊断 八年级的学生直接经验少，理解能力差，抽象思维水平较低，处于直觉经验型思维向逻辑思维的过渡阶段，辩证思维还只是处在萌芽和初始的状态上. 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手.

将军饮马问题(讲)

类型一、基本模式 类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题） 2、如图所示，如果将军从马棚 上的某一位置 Q ,然后立即返回校场 Q ）,使得总路程 MP +PQ + QN 最短. OB 上的某一位置 Q .请为将军设计一条路线 （即选择点P 和Q ）,使得总路程 MP +PQ 最短. 3、将军要检阅一队士兵，要求 （如图所示）：队伍长为a ,沿河0B 排开（从点P 到点Q ）;将 军从马棚M 出发到达队头P,从P 至Q 检阅队伍后再赶到校场 N .请问：在什么位置列队（即 将军饮马问题 fl M 出发，先赶到河 0A 上的某一位置 P ,再马上赶到河 0B N .请为将军重新设计一条路线 （即选择点P 和 【变式】如图所示，将军希望从马棚 M 出发, 先赶到河OA 上的某一位置P ,再马上赶到河 A OA 边的距离之和最小 P 到

练习 1、已知点A 在直线 直线I 上运动时，点 请说明理由. I 外，点P 为直线I 上的一个动点，探究是否存在一个定点 B ，当点P 在 P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点 B ;若不存在， 5已知/ MON 内有一点P , P 关于OM , ON 的对称点分别是 百和均,分别交OM, ON 于点A 、B,已知耳时=15,则^ PAB 的周长为（ 6. 已知/ AOB ,试在/ AOB 内确定一点 P ,如图，使 P 到OA 、OB 的距离相等，并且到 N 两点的距离也相等. 7、已知/ MON = 40°, P 为/ MON 内一定点，OM 上有一点 A , ON 上有一点B ,当△ PAB 的周长取最 小值时， A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24 求/ APB 的度数 . 8.如图，在四边形 ABCD 中，/ A = 90°, AD = 4,连接 BD , BD 丄 CD,/ ADB =/ C 若 P 是 BC 边上一动点，则 DP 长的最小值为

八上专题复习将军饮马

八（上）数学专题复习______将军饮马问题 傅苏球 2013年12 月25日 一、任务一-------------阅读理解 1、问题提出 1111、一 一， 早在古罗 马时代， 传说亚历 山大城有 一位精通 数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马 将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解 的问题:将军每天从军营B出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的A地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它． 2、解决办法

如图所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上， 取A关于河岸的对称点A'，连结A'B，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B， 所走的路程就是最短的．如果将军在河边的另外任一点 C'饮马，所走的路程就是AC'+C'B，但是， AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB．可见，在C点外任何 一点C'饮马，所走的路程都要远一些． 这有几点需要说明的：（1）由作法可知，河流l相当于线段 AA'的中垂线，所以AD=A'D,AC=A'C。（2）由上一条知：将军 走的路程就是AC+BC，就等于A'C+BC，而两点确定一线，所 以C点为最优。 思考:解题思路是 _______________________________________________ 3、将军饮马问题的应用 如图，有A、B两个村庄，他们想在河流l的边上建立一个水泵站， 已知每米的管道费用是100元，A到河流的距离AD是1km，B到河流 的距离BE是3km，DE长3km。请问这个水泵站应该建立在哪里使得 费用最少，为多少？ 解：如图所作，C点为水泵站的位置。 依题意，得：所铺设的水管长度就是AC+BC，即：A'C+BC=A'B的长度。 因为EF=A'D=AD=1km, 所以BF=BE+EF=4km 又A'F=DE=3km 在Rt△A'BF中，A'B2=A'F2+BF2 所以：解得：A'B=5km 所以总费用为：5×1000×100=500000（元） 二、任务二-----------将军饮马问题在几何中的应用 1、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．

将军饮马(最完整讲义)

第1讲将军饮马模型 ?知识点睛 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。 一、定直线与两定点 模型作法结论 A、在直线l异侧 当两定点B 时，在直线l上找上点P，使 PA+最小. PB A、在直线l同侧 当两定点B 时，在直线l上找上点P，使 PA+最小. PB A、在直线l同侧 当两定点B 时，在直线l上找上点P，使 PA-最大. PB A、在直线l异侧 当两定点B 时，在直线l上找上点P，使 PA-最大. PB A、在直线l同侧 当两定点B 时，在直线l上找上点P，使 PA-最小. PB

二、角到定点 模型 作法 结论 点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得 PCD ?周长最小. 点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得 MN PN +最小. 点Q P 、在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得四边形PMNQ 周长最小. 点M 在AOB ∠的外部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小. 点M 在AOB ∠的内部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.

点Q P 、分别在AOB ∠的边 OB OA 、是，在OA 上找一点 M ，在OB 上找一点N ,使得 MQ MN PN ++最小. 二、两定点一定长 模型 作法 结论 如图在直线l 上找上两点N M 、（M 在左），使NB MN AM ++最小,且d MN =. 如图，21//l l ，21l l 、之间的距离为 d ，在21l l 、上分别找N M 、两 点 ， 使 1 l MN ⊥，且 NB MN AM ++最小.

将军饮马问题

将军饮马问题 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题 1.两点之间，线段最短； 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4.垂线段最短. 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′， 在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则 需PA′+PB值最小，从而转化为模型1.

3. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两 点到l的距离不相等） 要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大 解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求； 理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P′， 连接AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱

(完整版)将军饮马问题

将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。

4.如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形PAQB 的周长最小。 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小。 6. 如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小。

二、常见题目 Part1、三角形 1．如图，在等边△ABC 中，AB=6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE=2，求EM+EC 的最小值。 2．如图，在锐角△ABC 中，AB=42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 ____。 3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值。

Part2、正方形 1．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，丐DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小。 2．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）A．23 B．26 C．3 D．6 3．在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）。

将军饮马问题讲

4. 如图，点 边的距离之和最小 类型一、基本模式 类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题） 2、如图所示，如果将军从马棚 M 出发，先赶到河 OA 上的某一位置 P ，再马上赶到河 OB 上 的某一位置 Q ，然后立即返回校场 N ．请为将军重新设计一条路线 （即选择点 P 和 Q ）， 使得总路程 MP ＋ PQ ＋QN 最短． 3、将军要检阅一队士兵，要求 （如图所示 ） ：队伍长为 a ，沿河 OB 排开（从点 P 到点 Q ）；将 军从马棚 M 出发到达队头 P ，从 P 至 Q 检阅队伍后再赶到校场 N ．请问：在什么位置列队 （即 选择点 P 和 Q ），可以使得将军走的总路程 MP ＋PQ ＋ QN 最短? 将军饮马问题 变式】如图所示，将军希望从马棚 OB 上的某一位置 Q ．请为将军设计一条路线 MP ＋PQ 最短． ，再马上赶到河 P 到

5 已知∠ MON内有一点 P，P 关于 OM，ON的对称点分别是和，分别交 OM, ON于点 A、B，已知＝ 15，则△ PAB 的周长为( ) A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24 6. 已知∠ AOB，试在∠ AOB内确定一点 P，如图，使 P 到 OA、OB的距离相等，并且到 M、N 两点的距离也相等 . 7、已知∠ MON＝ 40 ， P为∠ MON内一定点， OM上有一点 A，ON上有一点 B，当△ PAB的周 边上一动点，则 DP长的最小值为 练习 1、已知点A在直线l 外，点P为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，长取最小值时，求∠APB的度数 . 8. 如图，在四边形ABCD中，∠ A＝ 90°， ADB＝∠ C.若 P 是

将军饮马问题例题及应用

射频神经疼痛治疗仪 页脚内容1 将军饮马问题例题及应用 一， 简介 唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一 个有 趣的数学问题． 诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马后，再到B 点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：“将军每天从军营A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B 地开会，应该怎样走才能使路程最短？” 从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传． 二，例题 1， 基本类型问题 问题：有一位将军骑着马要从A 地走到B 地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？ 解答：作B 点与河面的对称点B ′，连接AB ′，可得到马喝水的地方C ，如图所示，由对称的性质可知AB ′=AC+BC ，根据两点之间线段最短的性质可知，C 点即为所求． 2， 与其他类型问题相结合 问题：某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得P A +PB 的值最小．解法：作 点A 关于直线l 的对称点A ′，连接A ′B ，则A ′B 与直线l 的交点即为P ，且PA +PB 的最小值为A ′B ．请利用上述模型解决问题 如图1，等腰直角三角形A B C 的直角边长为2，E 是斜边A B 的中点，P 是A C 边上的一动点， 则P B+P E 的最小值为（ ）； 解答：作点B 关于A C 的对称点B ′，连接B ′E 交A C 于P ， 此时PB+P E 的值最小．连接A B ′． A B ′=A B=√A C 2+BC 2=√22+22=2√2 A B=√2∵∠ B ′A C=∠BA C=45°∴∠B ′A B=90°∴PB+PE 的最小值 =B ′E=√B ′A 2+A E 2=√(2√2)2+(√2)2=√10

《将军饮马问题》教案 (2)

《将军饮马问题》教案 一、问题背景： 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题。 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走使总的路程最短？ B·营地 A·山峰 河流 这个问题在古罗马时代就有了，传说在亚历山大城有位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，以为罗马将军专程拜访他，向他请教一个百思不其解的问题。 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河边同侧的B 营地开会，应怎样走使路程最短？这个问题很简单，海伦略加思索就解决了 二、引用“饮马问题”： 将军饮马问题，应用拓展到人教版八年级上册轴对称性质当中一实际应用问题： 如图所示，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ B·镇 A·镇 L 三、教学方法的探究：

当教师在组织教学活动中，平铺直叙得讲，学生不易理解。“将军饮马”问题，在学生理解方面，存在两大难点，一是如何利用轴对称的性质作出使得线路最短的点。二是说明最短的理由，如何设计探究活动组织有意义的方法和策略，成为了突出重点、突破难点，化难为易的关键，可采用镜面反射的原理创设探究活动，使问题简单化，学生易于理解和掌握。 设想把河流看作诗一面平面镜，村庄A、B看作诗甲、乙两人，这样设计： 甲、乙两人分别位于镜面的同侧A、B两点，甲、乙通过镜面分别看到自己的影子A′、B′。如图，连接AB′，AB′与L交于C，甲、乙通过镜面都能看到对方的影子。连接A′C与BC，探究： B A L C C′ A′ B′ （1）、AC与A′C，B′C与BC上存在什么关系，说明理由。 （2）、AC+B′C与AC+BC存在大小关系如何，说明理由。 （3）、平面镜L有异于C点的另外一点C′，连接AC′、BC′、B′C′，AC′+BC′与AC′+B′C′是否相等？AC′+BC′与AC+BC是否相等？不相等大小关系如何？说明理由。 这样设计探究活动，能充分体现轴对称性质，使复杂问题简单化，难点分解，由浅入深，通过实际生活中的镜面反射原理使得问题通俗化、趣味化，能调动学生学习的兴趣，易于学生掌握和理解。 四、妙用饮马问题： 利用轴对称思想，将该问题转化为“两点间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题。饮马问题可归结为“求定直线上一动点与直线外两点的距离之和的最小值”问

“将军饮马”模型详解与拓展

“将军饮马”模型详解与拓展 平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有：① 线段公理：两点之间，线段最短. 并由此得到三角形三边关系；② 垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短. 在一些“线段和最值”的问题中，通过翻折运动，把一些线段进行转化即可应用①、② 的基本图形，并求得最值，这类问题一般被称之为“将军饮马”问题。 问题提出： 唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题． 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿 营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 模型提炼： 模型【1】一定直线、异侧两定点 直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小 解答：根据“两点之间，线段距离最短”，所以联结AB交直 线l于点P，点P即为所求点 模型【2】一定直线、同侧两定点 直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小 解答： 第一步：画点A关于直线l的对称点A'（根据“翻折运动”的 相关性质，点A、A'到对称轴上任意点距离相等，如图所示， AP=A'P，即把一定直线同侧两定点问题转化为一定直线异侧两 定点问题） 第二步：联结A'B交直线l于点Q，根据“两点之间，线段距离 最短”，此时“A'Q+QB”最短即“AQ+QB”最短

模型【3】一定直线、一定点一动点 已知直线l和定点A，在直线k上找一点B（点A、B在直线l同侧），在直线l上找点P， 使得AP+PB最小 解答： 第一步：画点A关于直线l的对称点A' 第二步：过点A'做A'B⊥k于点B且交直线l于点P，根据“从直线 外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短”，可知A'P+PB 最小即AP+PB最小 模型【4】一定点、两定直线 点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B，使△PAB的周长最小 解答： 策略：两次翻折 第一步：分别画点P关于直线OM、ON的对称点P1、P2 第二步：联结P1P2，交OM、ON于点A、点B （根据“翻折运动”的相关性质，AP=AP1，BP=BP2；根据“两点之间， 线段距离最短”可知此时AP1+BP2+AB最短即△ABP周长最短） 拓展 如果两定点、两定直线呢？ “如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点 A，B。使四边形PAQB的周长最小” 问题升级： 问题：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，试求作△DEF的最小值

八年级数学将军饮马问题专题练习汇总(20200708010955)

八年级数学将军饮马问题专题练习汇总 1.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为_________。 2.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为________。 3.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8。点P是AB上一个动点,则PC+PD的最小值为_________。 4.如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，求EM+BM的最小值_____。 5.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______。 6.如图，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1。如果B为反比例函

数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上存在一点P，使PA+PB最小，则P点坐标为_______。 7.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm 的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜 相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm． 拓展①：一定点、一动点到直线上一动点组成的线段距离和最短问题 如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，∠BAC=60°。∠BAC的角平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 _________。 拓展②：一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题 如图，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在角的两边上有两点 Q，R（均不同于O点），则△PQR的周长的最小值为 _________。 拓展③：一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题 在BC,CD上 如图,在四边形ABCD中,∠BAD=120°， ∠B=∠D=90°， 分别找一点M,N,使△AMN的周长最小,则此时∠AMN+∠ ANM=_______°

(完整版)将军饮马问题

将军饮马问题一一线段和最短 1.如图，直线I和I的异侧两点A、B,在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。 2.如图，直线I和I的同侧两点A、B,在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。 3.如图，点P 是ZMON内的一点，分别在0M , ON上作点A, B。使△PAB的周长最小。

离之和最小 4.如图，点P, Q为/MON内的两点，分别在OM, ON上作点A, B。使四边形PAQB 的周长最小。 5.如图，点A是/MON外的一点，在射线 离之和最小。 OM上作点P , 使PA与点P到射线ON的距 6.如图，点A是/MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距

、常见题目 Parti、三角形 1.如图，在等边厶ABC中，AB=6 , AD丄BC, E是AC上的一点，M是AD上的一点, 且AE=2，求EM+EC的最小值 2 .如图，在锐角厶ABC中，AB=42 , Z BAC= 45。，启AC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，贝V BM+MN的最小值是_____ 。 3 .如图，△ ABC 中，AB=2 , Z BAC=30。，若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN 的值最小，则这个最小值

Part2、正方形1.如图，正方形ABCD的边长为8 , M在DC上，丐DM = 2 , N是AC上的一动点, DN + MN的最小值为_________ 。即在直线AC上求一点N,使DN+MN最小。 2 .如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P,使PD+ PE的和最小，则这个最小值为（） A. 23 B . 26 C . 3 D . 6

中考数学压轴题专题复习：将军饮马问题----两线段和最小值专题讲解训练

将军饮马问题----两线段和最小值专题讲解训练知识链接 几何中最值问题的解题思路 轴对称最值图形 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动点， 求AP+BP的最小值 A，B为定点，l为定直线，MN为直线l 上的一条动线段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线，P 为直线l上的一个动点，求 |AP-BP|的最大值 转化 作其中一个定点关于定直 线l的对称点 先平移AM或BN使M，N重合，然后 作其中一个定点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定直线 l的对称点 折叠最值图形 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 例题精讲 例、如图，直线y=kx+b交x轴于点A（-1，0），交y轴于点B（0，4），过A、B两点的抛物线交x 轴于另一点C． （1）直线的解析式为_______； （2）在该抛物线的对称轴上有一点动P，连接PA、PB，若测得PA+PB的最小值为5，求此抛物线的解析式及点P的坐标； （3）在（2）条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

题型强化 1、在平面直角坐标系中，已知 2 12 y x bx c （b 、c 为常数）的顶点为 P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的 坐标为（0，﹣1），点C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限．（1）如图，若抛物线经过 A 、 B 两点，求抛物线的解析式． （2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上并沿AC 方向滑动距离为 2时，试证明：平移后的抛物线与 直线AC 交于x 轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿 AC 方向任意滑动时，设抛物线与直线AC 的另一交点为 Q ，取BC 的中点N ，试探究 NP+BQ 是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．

初中将军饮马问题题型总结(全)

初中涉及将军饮马问题题型总结 题型一：将军饮马之单动点 1. 三角形中的将军饮马 【真题链接1.】（2017?天津） 如图，在ABC ?中，AB AC =，AD 、CE 是ABC ?的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于BP EP +最小值的是( ) A ．BC B ．CE C ．AD D ．AC 【解析】 解：如图连接PC ， AB AC =，BD CD =， AD BC ∴⊥， PB PC ∴=， PB PE PC PE ∴+=+， PE PC CE +， P ∴、C 、E 共线时，PB PE +的值最小，最小值为CE 的长度，故选：B ． B B

【真题链接2.】（2020?天津一模） 如图，ABC ?是等边三角形，2AB =，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，则PE PC +的最小值为( ) A ．1 B ．2 C D ． 【解析】 解：如图， 连接BE 交AD 于点P '， ABC ?是等边三角形，2AB =，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点， AD ∴、BE 分别是等边三角形ABC 边BC 、AC 的垂直平分线， P B P C ∴'='， P E P C P E P B BE '+'='+'=， 根据两点之间线段最短， 点P 在点P '时，PE PC +有最小值，最小值即为BE 的长． BE == 所以P E P C '+' 故选：C ． B B

【真题链接3.】（2019秋?东至县期末） 如图，在ABC ?中，AB AC =，4BC =，面积是16，AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点，若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM ?周长的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 【解析】解：连接AD ，AM ． ABC ?是等腰三角形，点D 是BC 边的中点， AD BC ∴⊥， 11 41622 ABC S BC AD AD ?∴= =??=，解得8AD =， EF 是线段AC 的垂直平分线， ∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ， MA MC ∴=， AD AM MD +， AD ∴的长为CM MD +的最小值， CDM ∴?的周长最短11 ()84821022 CM MD CD AD BC =++=+ =+?=+=． 故选：C ． A A

人教版八年级上册 13.4 将军饮马模型浅解 讲义

将军饮马问题 将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题。 将军饮马故事 “将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题” 原题：如图，一位将军，从A地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B 地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？ 模型一：一条定直线，同侧两定点 在直线l的同侧有两点,在L上求一点P，使得值最小。 一般做法：作点 A（B）关于直线的对称点，连接 A’B，A’B 与直线交点即为所求点。A’B即为最短距离。 理由：A’为 A 的对称点，所以无论 P 在直线任何位置都能得到’P。所以’。这样问题就化成了求 A’到 B 的最短距离，直接相连就可以了。 例一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离1=2千米，1=1千米，且A1B1=4千米。 （1）如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图（1）所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？ （2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图（2）所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？ 模型二：一条定直线，一定点，一动点? A ? B ? B ? A ? A’?B’ ? A’ ? B’ L L ?A ?B