学生的组合数学作业
习题二 2.1证明：
（1）假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]。 (2) 分两种情况继续讨论：假设有1人谁都不认识. (3) 假设至少有两人谁都不认识.
2.2 任意整数除以10的余数有10种情况,现在有11个整数,至少两个数余数相同，则差能被10整除。
2.3 坐标为分4种情况，即（偶，偶）、（偶，奇）、（奇，奇）、（奇，偶）. 2.6 设
5
个数为
125,,,
a a a 且
mod3(1,2,5),
i i a r i
显然
2,i r 现将0、1、2看做3个盒子，将125,,r r r 看做5个物体，则有三
种情况讨论：
（1）若有两个盒子是空的，即只有一个非空。5个余数是相同的，任选3个。
（2）只有一个是空的，即有两个非空。5个数分成两个盒子，一定有3个在一个盒子。 （3）三个盒子都不空。分别从每个盒子中选一个，将它们对应的ai 相加，其和必被3整除。 2.7 解一共有9个连续的三天，它们的总数3*1800，推论： 3*1800/9=600 2.8(2.9) 同书
2.10 共50*2=100天，最多99。
2.11将S 划分为{1,3,5}，{7,9,11}……,{ 595,597,599}共100组. 2.12设70个数为
1270,,;a a a 1
2
70
4,4,
4;a a a
12
70
9,9,
9.a a a 取值范围209，共210个数。
2.13 清华大学出版社（第3版），问题简化1到16的16个数任意分成3个部分，其中必
有一个部分中的一个元素是两个元素之差。
解：反证法：1到16的16个数任意分成3个部分P1,P2,P3无一满足所求，必有一部分
至少有 6个元素。
（1） 不妨设6个元素a1 ｛a1,a2,a3,a4,a5,a6｝（根据假设，A 中不存在一个元素是两个元素之差）。 令 b1=a2-a1, b2=a3-a1, b3=a4-a1, b4=a5-a1, b5=a6-a1. 则B=｛b1,b2,b3,b4,b5｝, b1,b2,b3,b4,b5都不属于P1，则属于P2或P3。 （2）类似上述，不妨设B 中至少有3个元素，令c1 P3。 （3）根据假设，P3中不存在一个元素是两个元素之差，所以d2-d1=e 不属于P3(根 据假设)，同（2）可以证明但也不属于P2和P1。则矛盾（哪个部分都不属于）。 15/7 2.14 任何有理数均可写成m/n 的形式，若m/n 为正数，即余数为0，则命题成立； 若为分数，令 ,r m p n n 其中0 001;r n p 为整数.则有 0001 11 101011,(01),1010 r r r r p r n n n n n 1112 22 101011,(01), 1010 r r r r p r n n n n n 则 m n 在十进制中可写成如下形式 120 21,(01)10101010k k k k k p r p p m p r n n n 由于 1,k r n 故除法进行充分多步以后，所产生的余数k r 必会与前面 某一步的除法余数相同，设(),j k r r j k 且12 1,, j j k r r r 均与 k r 不同，由 上面所进行的除法容易看出 1 12 22,,,,j k j k k k j p p p p p p 且2,k k j r r 出现第三 次循环，如此循环下去. 2.15 反证法.设 12 21,21, ,21n 所有数均不能被n 整除，因为不能被n 整 除的余数最多为1,2,3 ,1,n 而1221,21,,21n 共 有 n 个数，故必存在 12mod mod , a n a n 令 1 2 12 21,21(). 0(mod ),i j a a i j a a n 即 21(21)2 22(2 1),i j i j i j i 由于2j 是偶数，所以 2 1|j i n ， 矛盾. 2.16 10 解：将1～91个数分为9组，即 {1} {2,3} {4,5,6} {7,8,9,10} {11,12,13,14,15,16} {17,18,19,20,21,22,23,24,25} {26,27,…,39} {40,41,…,60} {61,62,…,91} 2.17 24=4×6, 4的余数有4个，6的余数有6个. 解：先在7个数中找出两个数同余于6，再在剩下的5个当中有两个数同余于4. 2.18 7，77，777，77… 7 若除以N ，其中有余数为0，则得证； 否则余数共有N-1个，则必有两个余数相同，它们相减 7..700..0 必被N 整除。 21.证明：对于17位学者中的任意一名，至少与6位其它学者讨论同一问题A. 1.若这6位学者中任意两位讨论题A ，则得证。 2.否则这6位学者只能讨论题B 或题C ，而6位学者讨论两道题目，则至少有3位学者相互讨论同一题目。某个制造天平铁盘的工厂，由于设备与技术的原因，只能将生产的盘子的重量控制在m 克到(m +0.l)克之间( 是己知常数)，现在需要制成重量相差不超过0.005克的两个铁盘来配制一架天平。则该工厂至少要生产（ 21 ）个铁盘，才能保证得到一对符合要求的铁盘。 习题三 3.1 5105!5!C ??. 3.2 4 10 P 3 99P ? 3.3 (1)66618126C C C ??种. (2) 66618126 3! C C C ??种. 3.4 （1）5458 87P P P . (剩下7个座，剩下5个人)； （2）一排8人，二排6人： 36 588!;C P ?? 一排7人，二排7人：2 77 5 88;C P P ?? 一排6人，二排8人：1 6 588!.C P ?? 3.5 5 2221!P ? 3.6 6!5!.? 3.7 15人圆排列14！； A 与 B 相邻有 214! 213!;14 ?=? A 与C 相邻有214!213!;14?=? A 与B 、C 同时相邻有 213! 212!;13 ?=? 则A 不与B 、C 相邻的坐法共 14!413!212!.-?+? 3.8 M 的11排列=[M -{a}]的11排列+[M -{b}]的11排列+[M -{c}]的11排列27720 （容斥，生成函数） 3.9 680 3.10 2380 C(N-r+1,r) 3.11 -240;0 3.12 70 3.13 15120 3.14 等式右边：a 1,a 2,…,a n+k+1取必须含k 元子集数，等式左边： 第1类：n k k +?? ??? 表示不含a1的k 元子集数。 第2类：11n k k +-?? ?-?? 表示含a1，不含a2的k 元子集数。 。。。。。 第 k 类：k 元子集中含12,,k a a a 但不含1k a 的子集有 n 个. （2）111112n k n r n r n r n r n r k r r r r r ++++++-+-????????????=+=++ ? ? ? ? ? ?---???????????? 3.15 3.16 终点（24，11） 3.17 终点(10,7) 3.18 2221n n n -?? ?-??=38382().1920????- ? ????? 3.19 301; 1624 3.20 （1）先把n 个元素分成3个不同组。每个元素有3种选择，则共有3n 种. 除去全在一组中的3种； 除去只在两组中，即 种； 又因为是无序，故再除以3！，则 (n-m,0) 3(22)2n ?? - ??? （2）证明：S(n,n-2)是将n 个元素分成(n-2)组，无序且每组非空，则剩下2个元素，有两种 情况： 只分配给一组， C （n ，3）种； 平均分配给两组，每组都有两个元素，即先从n 个元素中选出4个，再将这4个分成两组， 3.21 (1) 解：总数把 21n +个相同的小球放到 3个不同的盒子里，有 (21)3123 21 2n n n ++-+???? = ? ?+???? 种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有1n +个 座位。这相当于将n+1个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的 (21)(1)n n n +-+=个座位任意分到3排中，这样的摆法共有23 n n +??? ??? 种 方案，所以：23213. 2 2 2n n n +++?????? -?= ? ? ??????? (2) 解：所有排法为222n +?? ??? 种，若存在两排 i j k x x x +≤，又有 2i j k x x x n ++=，则存在22k n x ≤，即有一排k x n ≥，将n 个座位 分给其中一排，再把剩下的 n 个座位分给3排为232n +?? ? ???，但会出现一种重复，即 123,,x x x 种有2个为n ，一个为0，导致上式232n +?? ? ??? 的重复计数，11333*(22) 21(,3)(31)2.3!2n n n n S n --??--- ???==+-442342!n n ???? ??? ??????= ??? 重复计数次数为332??= ???次，故222133.222n n n ++-?????? -?+= ? ? ? ?????? 3.22 证明：将n 元集合作无序k 分划，则有S(n,k);而每个划分块对应到k 元集合的一个元素，因 此这种对应又有k!种(相当于k 个元素的全排列)，由此可得，这种满射的个数为k!S(n,k). 3.23 3.24 1 322 n n n n ---? 3.25 26 分成最多4堆（24，5）： （1） 一堆：1 （2） 二堆：B （24-2*4，2）=8 （3） 三堆：B （24-3*4，3）=12 [（m*m+3）/12] （4） 四堆：B （24-4*4，4）=B(8,4)=5 K=1,K=2;b(8-K-3(K-1),3)=1,4 习题四 4.1 364 4.2 926 4.3 65℅=123| |A A A ?? 4.4 100名大学生中每人至少有一种兴趣， 看电影与球赛=26（容斥原理）， 52-30=22） 12321223123|||||||||| A A A A A A A A A A A ??=-?-?+??=22 4.5 : 8=S-12*6+6*C(6,2)-4*C(6,3)+3*C(6,4)-2*C(6,5)+1=36 4.6 50 4.7 175 总数： 4101||286,10W +-??== ??? 4.8 {7a,7b,7c}的15组合数相等=28; {8a,8b,8c,8d}的16组合数相等为489 4.9 考虑到n 个数的全排列中的半错位（n-k 个位置不动，其他k 个位置错排） 4.10 D10*D10 4.11 4.13 325127 1.x x x +++ 4.14 ①若未规 定不同车型必须涂不同颜色，则：涂装方案 43334432;????= ②若不同车型必须涂不同颜色，则： 禁区的棋盘多项式为： 234518222511x x x x x +++++ 5!84!223!252!111!120.∴-?+?-?+?-= 习题五 5.1 21(1)x +; 22(12)x x -+; 265(1)x x --; 3(3)(1)x x x --; 11(1)n x +-; 3 4 (1) x x - 5.2 ()e x -; 112x -; 1x e x - 5.3 23,1 9,1 k k k a k ??≠=?=? 5.4解：设从100个48(1)x x ++中选出的481x x 、、个数分别为123,,x x x ，则 有，即 234820 ()x x +=* (*)式的非负整数解只可能是(1,2) (3,1) (5,0),故系数为 513121001009910099C C C C C +?+?= 91457520. 5.5 25 2 3 4 5 63 73 2()().(2)k k x x x x x x x x x k +??+++++=- ??? ∑ 或令 1,(1,2,3) i i y x i =-=则 1236,(05) i y y y y ++=≤≤，即求 {5,5,5}a b c ???的6-组合数 5.6 54+36=90设三位数为 123 x x x ，数字和是10的倍数只能是 12310x x x ++=或 123120,(19)x x x x ++=≤≤（其他x2,x3:0---9） 列生成函数： 2 10929229 1(1)(1)()11x x x x x x x x x x x ??--++++++ +=? ?--?? 10291011202630 3 02(1)(1)(22)(1)k k x x x x x x x x x k x ∞=+??=--?=--++-? ?-?? ∑5.7 列 指 数 型 生 成 函 数 ： 2 423422 2 22 21 2! 4! 2! 3! 24 (1)(1)() ()x x x x x x x x x e e e e e -++++ + + + + += = 1 1 4 2 n n --+ 5.8 指 数型生成函 数为 ： 23423 231! 2! 3! 4! 1! 2! 3!1! 2!3! {}(1)(1)(1)x x x x x x x x x x e k G b =+ + + + + + ++ ++ 所求的是5 5! x 的系数5b ，故有5 220b =. 5.9 23246848(1)(1)(1) +++?++++?++x x x x x x x x x 中 展开式有多少项(除1外)， 1516171819322,+++++x x x x x 19 5.13 解：22 0()525,2!!∞==+=?+?∑k x e k x x G x x e k 5,2.7,2 k k a k =≠??==? 5.14 求不定方程+++=123422431x x x x 的非负整数解的个数. 解：（1）由题意可知1234031,0,15,07,≤≤≤≤≤≤x x x x 相应的生成函数为： 231243024828(1)(1)(1)++++?++++?++++x x x x x x x x x 234567893031(1223344551616)=++++++++++ +++ x x x x x x x x x x x 2 4 6 8 10 2830(1223388),?++++++ +++ x x x x x x x 则31 x 的系数818273746566115116444,=?+?+?+?+?+?++?+?= 原方程非负整数解个数为444. （2）x1是奇数。 324248()(1)(1)x x x x x x ++?+++?+++ 23412344 3 5 7 40(1)(1)(1)(1)3(33)3k k x x x x x x k x x x x x ---=--=+-+??=+++ ??? ∑ 原来书：在102和106之间有多少个整数，其各位数之和等于5？246 解：x1+x2+….+x6=5, C(6+5-1,5) x5+x6=5, C(2+5-1,5) 考试题：求用1，2，3，4，5五种数字组成的满足下列条件的n 位数个数：1不在第一位，2不在第二位并且1出现奇数次。 答：A 表示1出现偶数次，B 表示1在第一位，C 表示2在第二位，则 1||5,||||5,n n S B C -=== 用生成函数求|A|: ()242411 (1+++ )(1+)=[(5)(3)],53||, 2!4! 2!2!2n n n x x x x x e x e x A n +++=的系数为 同理可知， ()11 1||53,2n n A B --= -() 111||53,2n n A C --=+ 2||5,n B C -= ()221 ||53,2n n A B C --=- 由容斥原理得： ||||(||||||)(||||||)||A B C S A B C A B A C B C A B C =-++-++- 11222111 (53)255553222n n n n n n n -----=--?++-+ = 22 8543.n n --?-? 第六章 6.1 2111 ()().623 f n n n n =+ + 6.2 ① ()64103.n n f n =-?+?③28718 ()222(1).27362427 n n n n f n n n =+--- ④ ()321.n f n n =?+- 6.3 ①()122102313.n n f n n n =-?+?++②1 ()113173412.n n f n n n -=-?+?++ ③1 ()4 32.n n f n -=-?④ ()32--2.n f n n =? 6.5 (1) ()1.2 n n f n +=+ ()(1),(2) (1)2=-+≥?∴?=? f n f n n n f 思考题：f （n ）=2f （n-1）+2n-1 6.6 ()(1)(2),(2) (1)2(2)3=-+-≥?∴?==? ，f n f n f n n f f 6.7设t 时刻反应堆中α粒子数为)(t f ，β粒子数为)(t g t 11 ()(1),(2)()3(1)2(1)(0)1,(0)0()3(2)2(1),(2)(0)0,(1)3 33 ()3(1)443333 ()3(1)(1)4444 t t t t t f t g t n g t f t g t f g g t g t g t n g g g t f t --=-≥?? =-+-??==? =-+-≥?? ==?∴=?-?-∴=?-?-=+?- 6.8 f(n)=2f(n-1)-f(n-2) 6.9 证明[1]：设V 是2n +条边的凸多边形的一个顶点，将其编号为2,n +并将其余顶点按逆时 针顺序依次编号1,2, , 1.n +考虑顶点2n +到顶点1(1,2,,1)k k n +=-的对角 线，这条对角线将凸多边形分成1A 和2A 两部分. 从1A 部分的顶点(不包括2n +和 1k +)到2A 中的顶点(不包括2n +和1k +)之间的对角线条数为(),k n k -它们将顶 点2n +与顶点1k +之间的对角线分成()1k n k -+段，且每一段均把原来的区域一分为二，则有：1 1 () (1)1[()1]n k h n h n k n k -==-++-+∑ 1(1).(1)3n h n n n +?? -++≥ ??? 证明[2]:(1)h n -表示1n +条边的凸多边形被其对角线划分所得的区域.设1n +边形的顶点 序列为121,, ,,n A A A +从1n +边形到2n +边形，不妨取1,(1),i i A A i n +≤≤去掉边 1,,i i A A +增加一点,A 连接1,,i i A A AA +则构成2n +边形，A 与其他1n -个顶点相连， 其中A 与相邻的两顶点1,i i A A +多分割出n 个区域，由于没有三条对角线在凸多边形内有公共点，故在1n +边形中每3个点围成的区域被过A 点的对角线多分割出一个区域， 共多出13n +?? ??? 个区域. 1()(1).3n h n h n n +?? ∴=-++ ??? 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The essay introduces some basic theories of electromagnetic field numerical analysis. And basing on MATLAB PDE tool, the electromagnetic field boundary value problem has been solved. Furthermore, the results show that it is easier, more prompt and more convenient to figure it out with the software, MATALAB. Keywords: MATLAB, Electromagnetic Field Numerical Analysis, boundary value problem 作业习题答案 习题二 2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。 证明： 假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n 个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。 2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 证明： 方法一： 有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为 奇数+奇数 = 偶数 ； 偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。 方法二： 对于平面上的任意整数坐标的点而言，其坐标值对2取模后的可能取值只有4种情况，即：(0,0) ,(0,1) ,(1,0), (1,1)，根据鸽巢原理5个点中必有2个点的坐标对2取模后是相同类型的，那么这两点的连线中点也必为整数。 2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？ 证明： 根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。 2.9将一个矩形分成(m +1)行112m m +?? + ??? 列的网格每个格子涂1种颜色，有m 种颜色可以选择，证明：无论怎么涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。 证明： （1）对每一列而言，有（m+1）行，m 种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。 （2）每列中两个单元格的不同位置组合有12m +?? ??? 种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有 12m m +?? ??? 种情况 （3）现在有112m m +?? + ??? 列，根据鸽巢原理，必有两列相同。证明结论成立。 2.11证明：从S={1,3,5,…,599}这300个奇数中任意选取101个数，在所选出的数中一定存在2个数，它们之间最多差4。 证明： 热传导方程及MATLAB 在其的应用 摘要：数学物理方程主要是偏微分方程，热传导方程是最为典型的数学物理方程之一。为了对热传导方程有个清晰地理解，论文重新阐述了热传导方程的推导。同时，求解热传导方程的方法也有很多种，但所得的结果往往是一个复杂的积分或级数，不能直观地表达出其物理意义，为了使这些公式中的物理图像展现出来，论文对MATLAB 在其的应用作了些浅略的探讨。 关键字：数学物理方程 热传导方程 数学物理方程是指在物理学、力学、程 2 2 2 2 2 22 2 2 ( ) u u u u t x y z a ????= + + ????、热传导方程 u t ?= ?斯方程 2 2 2 2 2 2 0u u u x y z ???+ + =???是最为典型的三个方程。 在参考相关文献的基础上，本论文主要对热传导方程及MATLAB 在其的应用做一个简要的介绍。 物体温度分布不均匀，物体内部必然会产生热应力，热应力过于集中，物体就会产生裂变，从而破坏物体原有的形状和结构，工程技术中称此现象为热裂。在建造大坝时，混凝土释放的水化热使大坝的温度分布极不均匀；在浇铸铸件过程中，散热条件不同，会导致铸件各点间温度变化的梯度过大……。此外，还有好多可以产生热裂的现象。为有效防止热裂，就必须清楚物体各点的温度分布情况。[1] 一、热传导方程的导出 物理方程是实际上是寻求不同定解问题的解，而定解问题有定解条件和泛定方程组成。不同的物理问题可能得到同一类方程，但因定 解条件不同，因而就可能得到不同的定界问题。 （一）热传导方程泛定方程的推导 在三维空间中，考虑一均匀、各向同性的物体，物体内部由于温度分布不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象称为热传导。 构建物体热传导物理模型时，我们必须基于两个方面。一是能量守恒定律：物体内部的热量增加等于通过物体的边界流入的热量与物体内部的热源所产生的热量的总和，即： 2 1 Q Q Q Q -= +入 内 其中(1,2)i i Q =表示在i t 时刻物体内部的热量，Q 入表示在12t t ????，时刻内通过边界流入物体的热量，Q 内表示在12t t ????，时刻内物体内部热源产生的热量。 二是热传导傅里叶定理：考察某物体G 的热传导问题时，以函数 ( u x (,,,)x y z 处及t 时刻的温度。在物体内任意 沿法向n 方向，物体在无穷小时段d t 内，流过 d t 、热量通过的面积ds 及温度沿 (,,)u dQ k x y z dsdt n ?=-? 其中，(,,)k x y z 称为物体在(,,)x y z 处的热传导系数，它应该取正值； u n ?? 称为温度的法向导数，它表示温度沿法向n 的方向的变化率；等式中 的负号表示热量是由高温向低温流动，而温度梯度gradu n ? 是由低温 2017秋17春组合数学17春在线作业1 一、单选题（共10 道试题，共40 分。） 1. A. - B. - C. - D. - 正确答案： 2. A. - B. - C. - D. - 正确答案： 3. A. - B. - C. - D. - 正确答案： 4. A. - B. - C. - D. - 正确答案： 5. A. - B. - C. - D. - 正确答案： 6. A. - B. - C. - D. - 正确答案： 7. A. - B. - C. - D. - 正确答案： 8. A. - B. - C. - D. - 正确答案： 9. A. - B. - C. - D. - 正确答案： 10. A. - B. - C. - D. - 正确答案： 组合数学17春在线作业1 二、判断题（共30 道试题，共60 分。） 1. A. 错误 B. 正确 正确答案： 2. A. 错误 B. 正确 正确答案： 3. A. 错误 B. 正确 正确答案： 4. A. 错误 B. 正确 正确答案： 5. A. 错误 B. 正确 正确答案： 6. A. 错误 B. 正确 正确答案： 7. A. 错误 B. 正确 正确答案： 8. A. 错误 B. 正确 正确答案： 9. A. 错误 B. 正确 正确答案： 10. A. 错误 B. 正确 正确答案： 11. A. 错误 B. 正确 正确答案： 12. A. 错误 B. 正确 正确答案： 13. A. 错误 B. 正确 正确答案： 14. A. 错误 B. 正确 正确答案： 15. A. 错误 B. 正确 正确答案： 16. A. 错误 B. 正确 正确答案： 17. A. 错误 B. 正确 正确答案： 18. A. 错误 B. 正确 正确答案： 19. A. 错误 B. 正确 正确答案： 20. A. 错误 B. 正确 正确答案： 21. A. 错误 B. 正确 正确答案： 22. A. 错误 B. 正确 正确答案： 23. A. 错误 B. 正确 正确答案：24. 组合数学课后标准答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。 任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。2.3证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。 一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果？证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。 《应用数学----试验设计与分析》 一、本课程的主要学习内容有哪些？谈谈学习本课程后的体会及建议。 第一章：误差理论和测量结果表达。主要讲述了误差的分类及其相互转化；准确度、精密度和精确度；有效数字与数字的修约；随机误差的统计特性；正态分布与几种重要的非正态分布；样本异常值的判断和处理；测量结果的区间估计。所谓的误差理论就是科学地、准确地对测量结果进行评价的理论。若所进行的测量具有一定的精度，则要根据测量误差的需要来确定如何安排测量、需要进行几次测量、对测得值应如何进行处理、用什么形式给出测量结果的最佳表达方式等。第二章：统计推断和显著性检验。在自然科学、社会科学、工程技术等领域中，人们经常要收集数据、积累资料，然后进行整理、计算和分析。要想得到随机变量的分布函数、均值、方差等，总是要根据实验所获得的资料来对数字特征进行估计。这种估计方法的拟定便是统计推断的重要问题之一。统计推断的基本内同，概括起来说，包括统计观察或实验方案的拟定，对观察资料的分析以及对分布函数、均值和方差等等的估计。更详细一说，也就是：未知分布函数的估计问题、未知分布参数的估计问题、统计假设检验问题。这一章课程的主要介绍总体方差的假设验证方法，从数理统计的基本概念、假设检验的基本思路和方法、总体均值的显著性检验、总体方差的统计检验进行讨论。 第三章：方差分析。方差分析就是将不同因素、不同水平组合下的实验数据作为不同形体的样本数据，进行统计分析，找出对试验指标影响大的因素及其形象程度。本课程内容从单因素实验的方差分析以及双因素试验的方差分析进行介绍说明。 第四章：回归分析与曲线拟合。变量之间的各种关系是客观世界中普遍存在的关系，这些关系大致分两类：一类是确定关系，另一类是相关关系。回归分析就是研究相关关系的一种数学工具。从线性回归、非线性回归、曲线拟合三个方面展开讨论。 第五章：因子设计。因子设计首先引入了因子设计的概念。介绍了2k因子设计、 大学几乎所有学科的课本答案 ！ 任明嘉的日志 经济金融 [PDF格式]《会计学原理》同步练习题答案 [Word格式]《成本会计》习题及答案（自学推荐，23页） [Word格式]《成本会计》配套习题集参考答案 [Word格式]《实用成本会计》习题答案 [Word格式]《会计电算化》教材习题答案（09年） [JPG格式]会计从业《基础会计》课后答案 [Word格式]《现代西方经济学（微观经济学）》笔记与课后习题详解（第3版，宋承先）[Word格式]《宏观经济学》习题答案（第七版，多恩布什） [Word格式]《国际贸易》课后习题答案（海闻P.林德特王新奎） [PDF格式]《西方经济学》习题答案（第三版，高鸿业）可直接打印 [Word格式]《金融工程》课后题答案（郑振龙版） [Word格式]《宏观经济学》课后答案（布兰查德版） [JPG格式]《投资学》课后习题答案（英文版，牛逼版） [PDF格式]《投资学》课后习题答案（博迪，第四版） [Word格式]《微观经济学》课后答案（高鸿业版） [Word格式]《公司理财》课后答案（英文版，第六版） [Word格式]《国际经济学》教师手册及课后习题答案（克鲁格曼，第六版） [Word格式]《金融市场学》课后习题答案（张亦春，郑振龙，第二版）[PDF格式]《金融市场学》电子书（张亦春，郑振龙，第二版） [Word格式]《微观经济学》课后答案（平狄克版） [Word格式]《中级财务会计》习题答案（第二版，刘永泽） [PDF格式]《国际经济学》习题答案（萨尔瓦多，英文版） [JPG格式]《宏观经济学》课后答案（曼昆，中文版） [PDF格式]《宏观经济学》答案（曼昆，第五版，英文版）pdf格式 [Word格式]《技术经济学概论》（第二版）习题答案 [Word格式]曼昆《经济学原理》课后习题解答 [PDF格式]西方经济学（高鸿业版）教材详细答案 [Word格式]完整的英文原版曼昆宏观、微观经济学答案 [Word格式]《金融市场学》课后答案（郑振龙版） 化学物理 [Word格式]《固体物理》习题解答（方俊鑫版） [Word格式]《简明结构化学》课后习题答案（第三版，夏少武） [Word格式]《生物化学》复习资料大全（3套试卷及答案+各章习题集）[PDF格式]《光学教程》习题答案（第四版，姚启钧原著） [Word格式]《流体力学》实验分析答案（浙工大版） [Word格式]《高分子化学》课后习题答案（第四版，潘祖仁主编） 作业1 1.设想一个监狱有64个囚室组成，这些囚室排列得象一张8X8的棋盘。所有相邻的囚室 之间都有门相通。一个被囚在某个角上囚室中的犯人被告知，如果他能够恰好通过每个囚室一次而到达对角位置上的囚室，他就将被释放。问：该犯人能否得到自由？ 2.构造一个6阶幻方。 3.证明3阶幻方必然在中心位置有一个5。试推导：恰好存在8个3阶幻方。 4.各堆大小分别为22，19，14和11的4-堆Nim取子游戏是平衡的还是非平衡的？游戏 人I的第一次取子方式是从大小为19的堆中取走6枚硬币，游戏人II的第一次取子方式是什么？ 5.一局游戏在两个游戏人之间如下交替进行：游戏从一空堆开始。当轮到一个游戏人时， 他可以往该堆中加进1，2，3或4枚硬币。往堆中加进第100枚硬币的游戏人为得胜者。 确定在这局游戏中是游戏人I还是游戏人II能够确保获胜。获胜的策略是什么？ 作业2 1．证明：有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的。 2．一个学生有37天用来准备考试。根据过去经验，她知道她需要不超过60小时的学习时间。她还希望每天至少学习1小时。证明，无论她如何安排学习时间（假设每天的学习时间都是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13个小时。3．证明，从边长为2的正方形中任选5个点，它们当中存在2个点，这2点的距离至多为根号2。 4．有一个100人的聚会。每个人都有偶数个（可能是0个）熟人。证明，在这次聚会上存在3个人有相同个数的熟人。 5．确定一副牌中（52张）下列类型的一手牌（5张）的数目。 (1)full house（3张一样大小的牌及2张相同点数的另外的牌） (2)顺牌（5张点数相连的牌） (3)同花（5张一样花色的牌） (4)同花顺（5张点数相连的同样花色的牌） (5)恰好两个对 (6)恰好一个对 6．15人围坐一个圆桌。如果B拒绝挨着A坐，有多少种围坐方式？如果B只拒绝坐在A 的右侧，又有多少种围坐方式？ 7．给定8个车，其中5个红车，3个蓝车。 (1)将8个车放在8X8棋盘上，使没有两个车可以互相攻击的摆放方法有多少？ (2)将8个车放在12X12棋盘上，使没有两个车可以互相攻击的摆放方法有多少？ 作业3 1.有20根完全相同的棍列成一行，占据20个位置。要从中选出6根。 (1)有多少种选择？ (2)如果所选出的棍中没有两根是相连的，那么又有多少种选择？ (3)如果在每一对所选的棍之间必须至少有两根棍，有多少种选择？ 2.将10罐橘子汁、1罐柠檬汁和1罐酸橙汁分发给4位学生，并要求每位学生至少得到一 组合数学 例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。问共有多少种不同的安全状态? 解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。 用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。这种对应显然是一对一的。因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。 例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。证明n 偶数。 证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。 例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。 证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。 例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k 工程数学作业（一）答案（满分100分） 第2章 矩阵 （一）单项选择题（每小题2分，共20分） ⒈设 a a a b b b c c c 1 231 2312 32=，则a a a a b a b a b c c c 123 112233123 232323---= （D ）． A. 4 B. －4 C. 6 D. －6 ⒉若 0010000 2001 1a a =，则a = （A ）． A. 12 B. －1 C. - 12 D. 1 ⒊乘积矩阵1124103521-??? ???-???? ? ?中元素c 23=（C ）． A. 1 B. 7 C. 10 D. 8 ⒋设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B ）． A. AB A B +=+---111 B. ()A B B A --=1 1 C. () A B A B +=+---1 11 D. ()A B AB ---=111 ⒌设A B ,均为n 阶方阵，k >0且k ≠1，则下列等式正确的是（D ）． A. A B A B +=+ B. A B n A B = C. k A kA = D. -=-k A k A n () ⒍下列结论正确的是（ A ）． A. 若 A 是正交矩阵，则A -1也是正交矩阵 B. 若A B ,均为n 阶对称矩阵，则A B 也是对称矩阵 C. 若A B ,均为n 阶非零矩阵，则A B 也是非零矩阵 D. 若A B ,均为n 阶非零矩阵，则A B ≠0 ⒎矩阵1 32 5??? ? ??的伴随矩阵为（ C ）． A. 132 5--??? ??? B. --???? ??1325 C. 532 1--??? ??? D. --????? ?5321 ⒏方阵A 可逆的充分必要条件是（B ）． A.A ≠0 B.A ≠0 C. A *≠0 D. A *>0 ⒐设 A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则()A C B '=- 1（D ）． A. ()' ---B AC 1 11 B. ' --B CA 11 C. AC B ---'111 () D. ( )B C A ---'111 光信息科学与技术专业本科生培养方案Undergraduate Program for Specialty in Optical Information Science and Technology 一、培养目标 Ⅰ、Educational Objectives 培养德、智、体全面发展，既具有系统、扎实的物理学及光信息科学的理论基础，又在以光波为载波的信息获取、传递、处理及应用等方面具有较宽广的专业知识、较强的英语语言能力、计算机应用能力和实践动手能力，良好的人文素质和创新精神的高级研究型、应用型人才。毕业生能在光信息技术产业、科研部门、高等院校及相关领域从事研究、设计及开发等工作。 This program provides students with the comprehensive background knowledge in physics and optical information science, also thorough abilities in information retrieving, transferring, processing and application. The courses encourage good English performance, attainment in humanities and art, ability to problem solving and initiative. Students may further their career on research, design and development in optical information technology industry, research sectors, colleges and various fields. 二、业务素质培养要求 Ⅱ、Professional Skills Profile 毕业生应获得以下几方面的知识和能力： 1．具有扎实的数学和物理学基础； 2．掌握光信息科学、电子学、计算机科学的基本理论和方法； 3．具有研究光信息科学及其相关领域理论问题和解决实际问题的能力； 4．了解光信息科学的发展动态； 5．具有较强的英语语言应用能力； 6．掌握文献检索、资料查询的方法和撰写科学论文的能力； 7．具有较好的人文社科知识和较高的人文素质，以及较强的协调、组织能力； 8．具有较强的创新精神和团队合作精神； 9．了解体育运动的基本知识，初步掌握锻炼身体的基本技能，养成科学锻炼身体的习惯，身体健康，达到大学生体育合格标准。 Students are expected to gain the following knowledge and skills： 1．Sound grounding in both mathematics and physics； 2．Principles of optical information science, electronics and computer science； 3．Research and problem solving skills in optical information science and its relating area； 4．Skills to understand the development and trend in optical information science； 5．Skills to use English language； 李凡长版-组合数学课后习题答案-习题3 第三章递推关系 1.在平面上画n条无限直线,每对直线都在不同的点相交,它们构成的无限 区域数记为f(n),求f(n)满足的递推关系. 解： f(n)=f(n-1)+2 f(1)=2,f(2)=4 解得f(n)=2n. 2.n位三进制数中,没有1出现在任何2的右边的序列的数目记为f(n),求 f(n)满足的递推关系. 解：设a n-1a n-2 …a 1 是满足条件的n-1位三进制数序列，则它的个数可以用f(n-1) 表示。 a n 可以有两种情况： 1）不管上述序列中是否有2，因为a n 的位置在最左边，因此0 和1均可选； 2）当上述序列中没有1时，2可选； 故满足条件的序列数为 f(n)=2f(n-1)+2n-1 n 1, f(1)=3 解得f(n)=2n-1(2+n). 3.n位四进制数中,2和3出现偶数次的序列的数目记为f(n),求f(n)满足 的递推关系. 解：设h(n)表示2出现偶数次的序列的数目，g(n)表示有偶数个2奇数个3的序列的数目，由对称性它同时还可以表示奇数个2偶数个3的序列的数目。 则有 h(n)=3h(n-1)+4n-1-h(n-1),h(1)=3 （1） f(n)=h(n)-g(n),f(n)=2f(n-1)+2g(n-1) （2） 将（1）得到的h(n)=(2n+4n)/2代入（2），可得 n+4n)/2-2f(n), 4.求满足相邻位不同为0的n位二进制序列中0的个数f(n). 解：这种序列有两种情况： 1)最后一位为0，这种情况有f(n-3)个； 2)最后一位为1，这种情况有2f(n-2)个； 所以 f(1)=2,f(2)=3,f(3)=5. 5.求n位0,1序列中“00”只在最后两位才出现的序列数f(n). 解：最后两位是“00”的序列共有2n-2个。 f(n)包含了在最后两位第一次出现“00”的序列数，同时排除了在n-1位第一次出现“00”的可能； f(n-1)表示在第n-1位第一次出现“00”的序列数，同时同时排除了在n-2位第一次出现“00”的可能； 依此类推，有 17 《数控技术》课程大作业 院（系）机电工程学院 专 业机械制造及其自动化 姓 名 学 号 班 号 完成日 期 哈尔滨工业大学机电工程学院 第一作业：加工中心零件加工编程 一、目的和要求 本作业通过给定一台数控机床具体技术参数和零件加工工艺卡，使学生对数控机床具体参数、加工能力和加工工艺流程有直观了解和认识。同时，锻炼学生解决实际加工问题的能力。 1．了解加工中心的具体技术参数，加工范围和加工能力； 2．了解实际加工中，从零件图纸分析到制定零件加工工艺过程； 3．按照加工工艺编写指定的工序的零件数控加工程序。 二、数控机床设备 （1）机床结构 主要由床身、铣头、横进给、升降台、冷却、润滑及电气等部分组成。XKJ325-1数控铣床配用GSK928型数控系统，对主轴和工作台纵横向进行控制，用户按照加工零件的尺寸及工艺要求，先编成零件的加工程控，最后完成各种几何形状的加工。 （2）机床的用途和加工特点 本机床适用于多品种中、小批量生产的零件，对各种复杂曲线的凸轮、孔、样板弧形糟等零件的加工效能尤为显著；该机床高速性能好，工作稳定可靠，定位精度和重复精度较高，不需要模具就能确保零件的加工精度，减少辅助时间，提高劳动生产率。 （3）加工中心的主要技术参数 数控机床的技术参数，反映了机床的性能及加工范围。 进给切削进行速度mm/min 1-4000 快速移动速度m/min 15/10 刀库刀库容量把20(24) 刀具尺寸/重量mm/kg ?80×300/8 换刀时间s 气液动7S凸轮3S 加工能力钻孔能力mm ?32 镗孔能力mm ?80 攻丝能力mm M24 铣削能力Cm3/min 100 位置精度定位精度mm ±0.005 重复定位精度mm ±0.003 其它气源气压L/min,b ay 250 5-7 机床重量(净重/毛重) T 7.5/8.5 机床外型尺寸mm 2756×2696×3000 包装箱尺寸mm 3840×2545×3080 三、加工工艺制订 （一）加工零件 加工图1零件，材料HT200，毛坯尺寸长*宽*高为170×110×50mm，试分析该零件的数控铣削加工工艺、如零件图分析、装夹方案、加工顺序、刀具卡、工艺卡等，编写加工程序和主要操作步骤。 图1 加工零件图 2016 组合数学大作业题目及解答 1. 用母函数法解决下面的问题。 从n 双互相不同的鞋中取出r 只（n r ≤），要求其中没有任何两只是成对的，问共有多少种不同的取法？ 解：母函数法，由定理2.1.1得 ()()∑==+=n r r r r n n x C x x 0221G 由于每类元素最多只能出现一次，故()()n x x 21G +=中不能有2 x 项，再由同双的两只鞋子有区别，x 的系数应为2。 2.（Hanoi 塔问题）n 个圆盘按从小到大的顺序一次套在柱A 上。规定每次只能从一根柱子上搬动一个圆盘到另一根柱子上，且要求在搬动过程中不允许大盘放在小盘上，而且只有A 、 B 、 C 三根柱子可供使用。用n a 表示将n 个盘从柱A 移到柱C 上所需搬动圆盘的最少次数，试建立数列{}n a 的递推关系。 A B C 解：将n 个盘从A 转移到C 过程中，考虑到A 柱的底下的最大的盘，那么某时刻前n-1个盘一定落在B 柱上（否则不满足要求在搬动过程中不允许大盘放在小盘上），接着将最大盘从A 转移到C ，将前n-1个盘从B 再次转移到C ，假设 n a 表示将n 个盘从柱A 移到柱C 上所需 搬动圆盘的最少次数： 则易知递推关系为： ? ??=+-=11)1(**21a n s a n 公式解：12-=n n a 3. 设G ＝{全部整数}，a, b G ，定义a*b ＝a ＋b －2，则G 关于运算*构成一个群。 试证明之。 证： (1) G b a b a ∈-+=*2 ∈ (2) ()()()()()() c b a c b a c b a c b a c b a c b a **2*22222***=-+=--++=-+-+=-+= (3)单位元为2：a a a a a *222222=-+==-+=* (4)a 的逆元为 ()()()()a a a a a a a a a a *4242 244*:44-=-+-==--+=--=+- （5）满足交换律：a b a b b a b a *22*=-+=-+= 所以G 关于*构成一个群。 4. 已知n a a a ,...,21与n b b b ,...,21是n 2个正数，且1......22221=+++n a a a ， 1......22221=+++n b b b ，求证：n n b a b a b a b a ......,,332211中存在一个值一定不大于1。 解：用反证法 若n n b a b a b a b a ......,,332211中不存在一个值不大于1，,即式子的每一项都大于1 即： 1......1,1,1332211>>>>n n b a b a b a b a 即：n n b a b a b a b a >>>>...... ,,332211 即a 的每一项都比b 大 22232322222121......,,n n b a b a b a b a >>>>? 22322212232221............n n b b b b a a a a +++>++++? 与题设条件1......1......22322212232221=+++==++++n n b b b b a a a a 不符合 所以假设失败，即 n n b a b a b a b a ......,,332211中存在一个值一定不大于1 5.翻译下面一段文章。 Theorem 11.5.3 Graph isomorphism is an equivalence relation. Proof It suffices to show that graph isomorphism is reflexive, symmetric, and transitive. 汽车尾灯控制器 信安一班 1150320101-孙晨1150810613-李秋豪1152210121-路祥鹏 （按笔画顺序排列） 注：任何人可以自由的复制、修改、分发本文。但是如果您的版本中含有附录的参考图片：1.在用于非商业、非盈利、非广告性目的时需注明作者及出处“百度百科”。2.在用于商业、盈利、广告性目的时需征得作者同意，并注明作者姓名、授权范围及出处“百度百科”。GMT+8 2016-12-07 20:20 一、目录 设计要求------------------------------------------------------------- 3 工作原理，系统方框图----------------------------------------------- 3 各部分选定方案及说明----------------------------------------------- 5 总体设计图与仿真结果----------------------------------------------- 9 设计心得与总结------------------------------------------------------ 17 参考文献------------------------------------------------------------- 17 附录：总体器件表及其功能表、管脚分布----------------------------- 18 二、设计要求 设计一个汽车尾灯控制器。汽车尾部左右两侧各有3个指示灯。根据汽车运行情况，指示灯有4+2种显示模式： （1）汽车正向行驶，所有指示灯全部熄灭。 （2）汽车右转弯，右侧的三个指示灯按右循环模式顺序点亮。 （3）汽车左转弯，左侧的三个指示灯按左循环模式顺序点亮。 （4）临时刹车，左右两侧的指示灯同时处于闪烁状态。 （5）倒车状态，右侧的三个指示灯按右循环模式顺序点亮，同时左侧的三个指示灯按左循环模式顺序点亮。 （6）故障状态，所有灯全亮且不闪烁。 三、工作原理，系统方框图 大致原理：(详细介绍见第四部分) 该器件有六种状态，所以应该使用三个开关状态L1、L2、L3来表达。 对于正常行驶状态，灯全灭，即对所有的灯给低电平。 对于汽车右转弯，右侧的三个指示灯按右循环模式顺序点亮，可以采取三进制计数器（十进制改造）+三八译码器来实现，其中三进制计数器的输出作为译码器的输入，译码器的输出决定三个右侧灯的亮暗。 对于汽车左转弯，原理同汽车右转弯的实现方法。 对于临时刹车，可以使用CP信号直接决定六个灯的亮暗，达到闪烁的目的。 对于故障状态，对所有的灯置高电平。各科书的下载地址
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