2014年高考一轮复习数学教案：9.13 立体几何的综合问题

9.13
立体几何的综合问题
●知识梳理 1.线与线、线与面、面与面间的平行、垂直关系. 2.空间角与空间距离. 3.柱、锥、球的面积与体积. 4.平面图形的翻折，空间向量的应用. ●点击双基 1.若 Rt△ABC 的斜边 BC 在平面α 内，顶点 A 在α 外，则△ABC 在α 上的射影是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.一条线段或一钝角三角形 解析：当平面 ABC⊥α 时，为一条线段，结合选择肢，知选 D. 答案：D 2.长方体 AC1 的长、宽、高分别为 3、2、1，从 A 到 C1 沿长方体的表面的最短距离为
D1 A1 D A 2 1 3 B B1 C C1
A.1+ 3
B.2+ 10
C.3 2
D.2 3
解析：求表面上最短距离常把图形展成平面图形. 答案：C 3.设长方体的对角线长为 4， 过每个顶点的三条棱中总有两条棱与对角线的夹角为 60°， 则长方体的体积是 A.27 2 B.8 2 C.8 3 D.16
解析：先求出长方体的两条棱长为 2、2，设第三条棱长为 x，由 22+22+x2=42 ? x=2 2 ， ∴V=2×2×2 2 =8 2 . 答案：B 4.棱长为 a 的正方体的各个顶点都在一个球面上，则这个球的体积是_____________. 解析：易知球的直径 2R= 3 a.所以 R= 答案：
3 4π 3 3π 3 a.所以 V= R= a. 2 2 3
3π 3 a 2 5.已知△ABC 的顶点坐标为 A（1，1，1） 、B（2，2，2） 、C（3，2，4） ，则△ABC 的 面积是_____________.
解析： AB =（1，1，1） AC =（2，1，3） ， ，cos〈 AB ， AC 〉=
6 3 ? 14
=
42 ，∴ 7

sinA=
7 1 1 .∴S ?ABC = | AB || AC |sinA= 7 2 2 6 答案： 2 ●典例剖析
3 · 14 ·
7 = 7
6 . 2
【例 1】 在直角坐标系 O—xyz 中， OA =（0，1，0） AB =（1，0，0） OC =（2，0， ， ， 0） OS =（0，0，1）. ， （1）求 SC 与 OB 的夹角α 的大小； （2）设 n=（1，p，q） ，且 n⊥平面 SBC，求 n； （3）求 OA 与平面 SBC 的夹角； （4）求点 O 到平面 SBC 的距离； （5）求异面直线 SC 与 OB 间的距离. 解： （1）如图， SC = OC － OS =（2，0，－1） OB = OA + AB =（1，1，0） ， ，则 | SC |= 2 2 ? 0 2 ? (?1) 2 = 5 ，| OB |= 12 ? 12 ? 0 2 = 2 .
z S
A O B C x y
cosα =cos〈 SC ， OB 〉=
SC ? OB | SC || OB |
=
2?0?0 5? 2
=
10 10 ，α =arccos . 5 5
n· SC =0，
（2）∵n⊥平面 SBC，∴n⊥ SC 且 n⊥ BC ，即 n· BC =0. ∵ SC =（2，0，－1） BC = OC － OB =（1，－1，0） ， ， ∴ 2－q=0， p=1， ∴ 即 n= （1， 2） 1， . 1－p=0. q=2，
（3） 与平面 SBC 所成的角θ 和 OA 与平面 SBC 的法线所夹角互余， OA 故可先求 OA 与 n 所成的角.
OA =（0，1，0） OA |=1，|n|= 12 ? 12 ? 2 2 = 6 . ，|
∴cos〈 OA ，n〉=
OA ? n
|OA||n | 1 ? 6
=
1
=
6 ， 6

即〈 OA ，n〉=arccos
6 6 π .∴θ = －arccos . 6 6 2
（4）点 O 到平面 SBC 的距离即为 OC 在 n 上的投影的绝对值， ∴d=| OC ·
2 n |= = |n | 6
6 . 3
（5） OC 在异面直线 SC、OB 的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的 距离，故先求与 SC、OB 均垂直的向量 m. 设 m=（x，y，1） ，m⊥ SC 且 m⊥ OB ， 则 m· SC =0，且 m· OB =0. 2x－1=0， ∴ x+y=0， 即 x=
1 ， 2 1 y=－ . 2
2 6
=
∴m=（
m 1 1 ，－ ，1） ，d′=| OC · |= |m | 2 2
6 . 3
特别提示
借助于平面的法向量，可以求斜线与平面所成的角，求点到平面的距离，类似地可以求 异面直线间的距离.本题选题的目的是复习如何求平面的法向量，以及如何由法向量求角、 求距离. 【例 2】 如图，已知一个等腰三角形 ABC 的顶角 B=120°，过 AC 的一个平面α 与顶 点 B 的距离为 1，根据已知条件，你能求出 AB 在平面α 上的射影 AB1 的长吗?如果不能，那 么需要增加什么条件，可以使 AB1=2?
B ? B1 C A
解：在条件“等腰△ABC 的顶角 B=120°”下，△ABC 是不能唯一确定的，这样线段 AB1 也是不能确定的，需要增加下列条件之一，可使 AB1=2： ①CB1=2；②CB= 5 或 AB= 5 ；③直线 AB 与平面α 所成的角∠BAB1=arcsin ④∠ABB1=arctan2；⑤∠B1AC=arccos
5 ； 5
15 7 ；⑥∠AB1C=π －arccos ；⑦AC= 15 ；⑧B1 4 8 5 1 到 AC 的距离为 ；⑨B 到 AC 的距离为 ；⑩二面角 B—AC—B1 为 arctan2 等等. 2 2 思考讨论
本题是一个开放型题目，做这类题的思维是逆向的，即若 AB1=2，那么能够推出什么结 果，再回过来考虑根据这一结果能否推出 AB1=2. 【例 3】 （2004 年春季北京）如图，四棱锥 S—ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，

SD 垂直于底面 ABCD，SB= 3 ，
S
M
D
C
A
B
（1）求证：BC⊥SC； （2）求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小； （3）设棱 SA 的中点为 M，求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小. 剖析：本题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力. （1）证法一：∵底面 ABCD 是正方形， ∴BC⊥DC.∵SD⊥底面 ABCD， ∴DC 是 SC 在平面 ABCD 上的射影. 由三垂线定理得 BC⊥SC. 证法二：∵底面 ABCD 是正方形， ∴BC⊥DC.∵SD⊥底面 ABCD， ∴SD⊥BC.又 DC∩SD=D， ∴BC⊥平面 SDC.∴BC⊥SC. （2）解法一：∵SD⊥底面 ABCD，且 ABCD 为正方形，
S A1 M D A B C B1 C1
∴可以把四棱锥 S—ABCD 补形为长方体 A1B1C1S—ABCD，如上图，面 ASD 与面 BSC 所成的二面角就是面 ADSA1 与面 BCSA1 所成的二面角，∵SC⊥BC，BC∥A1S，∴SC⊥A1S. 又 SD⊥A1S，∴∠CSD 为所求二面角的平面角. 在 Rt△SCB 中，由勾股定理得 SC= 2 ， 在 Rt△SDC 中，由勾股定理得 SD=1. ∴∠CSD=45°， 即面 ASD 与面 BSC 所成的二面角为 45°. 解法二：如下图，过点 S 作直线 l∥AD，
l S
M D A B C
∴l 在面 ASD 上. ∵底面 ABCD 为正方形，∴l∥AD∥BC.

∴l 在面 BSC 上. ∴l 为面 ASD 与面 BSC 的交线. ∵SD⊥AD，BC⊥SC，∴l⊥SD，l⊥SC. ∴∠CSD 为面 ASD 与面 BSC 所成二面角的平面角. （以下同解法一）. （3）解法一：如上图，∵SD=AD=1，∠SDA=90°， ∴△SDA 是等腰直角三角形. 又 M 是斜边 SA 的中点， ∴DM⊥SA. ∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D， ∴BA⊥面 ASD，SA 是 SB 在面 ASD 上的射影. 由三垂线定理得 DM⊥SB. ∴异面直线 DM 与 SB 所成的角为 90°. 解法二：如下图，取 AB 的中点 P，连结 MP、DP.
S
M D C P B
A
在△ABS 中，由中位线定理得 PM∥BS. ∴DM 与 SB 所成的角即为∠DMP. 又 PM2=
3 5 2 ，DP2= ，DM2= . 4 4 4
∴DP2=PM2+DM2.∴∠DMP=90°. ∴异面直线 DM 与 SB 所成的角为 90°. ●闯关训练 夯实基础 1.下图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C 是展开图上的三点，则在正 方体盒子中，∠ABC 的值为
B
C
A
A.180° B.120° C.60° D.45° 答案：C 2.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M、N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点，那么直 线 AM 与 CN 所成的角为
D1 A1 M B1 N D A B C C1

A.arccos
3 2
B.arccos
10 10
C.arccos
3 5
D.arccos
2 5
解法一：∵ AM = AA1 + A1 M ， CN = CB + BN ， ∴ AM · CN =（ AA1 + A1 M ）（ CB + BN ）= AA1 · BN = · 而| AM |=
1 . 2
1? 1 = 4
5 .同理， 2
( AA1 ? A1 M ) ? ( AA1 ? A1 M ) = | AA1 | 2 ? | A1 M | 2 =
| CN |=
5 . 2
1 2 2 如令α 为所求之角，则 cosα = = 2 = ，∴α =arccos .应选 D. 5 | AM | | CN | 5 5 4
AM ? CN
解法二： 建立如图所示的空间直角坐标系， D 点视作原点 O， 把 分别以 DA 、DC 、DD1 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，则 A（1，0，0） 、M（1， ，1） 、C（0，1，0） 、N（1， 1，
1 2
1 ）. 2
z D1 A1 M B1 N D A x C B y C1
1 1 ，1） CN =（1，0， ）. ， 2 2 1 1 1 故 AM · CN =0×1+ ×0+1× = ， 2 2 2
∴ AM =（0，
5 1 | AM |= 0 2 ? ( ) 2 ? 12 = ， 2 2 5 1 | CN |= 12 ? 0 2 ? ( ) 2 = . 2 2
∴cosα =
AM ? CN | AM | | CN |
=
1 2 5 5 ? 2 2
=
2 . 5
∴α =arccos 答案：D
2 . 5

3.图甲是一个正三棱柱形的容器，高为 2a，内装水若干.现将容器放倒，把一个侧面作 为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为_____________.
C1 A1 B1 E C C A B B B1 A F E1 C1 A1 F1
甲
F1 A1
C1 B1
乙
E1
F A E
C B
丙
解析：设正三棱柱的底面积为 S，将图乙竖起得图丙，则 V 水=V 柱－V AEF? A1E1F1 =S·2a －（
1 3 3 3 S） ·2a= aS.设图甲中水面的高度为 x，则 S·x= aS，得 x= a. 4 2 2 2 3a 答案： 2
4.在三棱锥 P—ABC 中，底面是边长为 2 cm 的正三角形，PA=PB=3 cm，转动点 P 时， 三棱锥的最大体积为. 解析：点 P 到面 ABC 距离最大时体积最大，此时面 PAB⊥面 ABC，高 PD=2 2 .
P
A D B
C
3 2 6 1 × ×4×2 2 = . 4 3 3 2 6 答案： cm3 3
V= 5.把长、宽各为 4、3 的长方形 ABCD，沿对角线 AC 折成直二面角，求顶点 B 和顶点 D 的距离. 解：如图，作 BE⊥AC 于 E，
B
A
E D
C

∵二面角 B—AC—D 为直二面角，BE⊥AC， ∴BE⊥平面 ADC，DE ? 平面 ADC，BE⊥DE.
9 12 ，AE= ，在△ADE 中，DE2=AE2＋AD2－2AD·AE· 5 5 9 4 193 81 cos∠EAD= ＋16－2· ·4· = . 5 5 25 25 337 在 Rt△BDE 中，BD=BE2＋ED2= . 5
在 Rt△ABC 中，可得 BE= 培养能力 6.已知正方形 ABCD 的边长为 1，分别取边 BC、CD 的中点 E、F，连结 AE、EF、AF， 以 AE、EF、FA 为折痕，折叠使点 B、C、D 重合于一点 P. （1）求证：AP⊥EF； （2）求证：平面 APE⊥平面 APF； （3）求异面直线 PA 和 EF 的距离. （1）证明：如下图，∵∠APE=∠APF=90°，PE∩PF=P，∴PA⊥平面 PEF. ∵EF ? 平面 PEF，∴PA⊥EF.
P A D
F
A G E
F
B
E
C
（2）证明：∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，∴PE⊥平面 APF.又 PE ? 平面 PAE， ∴平面 APE⊥平面 APF. （3）解：在面 PEF 中，作 PG⊥EF，垂足为 G，∵AP 与面 PEF 垂直，PG ? 平面 PEF， ∴AP⊥PG， PG⊥EF， 是 AP 与 EF 的公垂线.在等腰 Rt△PEF 中， PG PE=PF=
1 ， 2
∠EPF=90°，∴PG=EG=
2 . 4
7.（文）如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是一直角梯形，∠BAD=90°，AD ∥BC，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥底面 ABCD，PD 与底面成 30°角.
z P E
A B x C
D
y
（1）若 AE⊥PD，E 为垂足，求证：BE⊥PD； （2）求异面直线 AE 与 CD 所成的角. （1）证明：以 A 为原点，AB、AD、AP 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则 A（0，0，0） ，B（a，0，0） ，D（0，2a，0） ，P（0，0，
3 a） AB · PD =（a，0，0）（0， ， · 3

2a，－
3 a）=0，又 AE · PD =0， 3
∴ PD ⊥ AB ， PD ⊥ AE .∴PD⊥BE. （2）解：∵PA⊥面 ABCD，PD 与底面成 30°角，∴∠PDA=30°. 过 E 作 EF⊥AD，垂足为 F，则 AE=a，∠EAF=60°，AF= ∴E（0，
3 1 a，EF= a， 2 2
3 1 a， a）. 2 2 3 1 于是 AE =（0， a， a）.又 C（a，a，0） ，D（0，2a，0） ，∴CD=（－a，a，0）. 2 2
1 2 a 2 cos〈 AE ， CD 〉= = 2 = ， | AE | | CD | a ? 2 a 4
AE ? CD
2 . 4 （理）四棱锥 P—ABCD 中，PC⊥平面 ABCD，PC=2，在四边形 ABCD 中，∠B=∠C=90°， CD∥AB，AB=4，CD=1，点 M 在 PB 上，且 MB=3PM，PB 与平面 ABC 成 30°角， （1）求证：CM∥面 PAD； （2）求证：面 PAB⊥面 PAD； （3）求点 C 到平面 PAD 的距离. 分析： 本题主要考查空间直角坐标系的概念、 空间点和向量的坐标表示以及用向量法证 明平行关系，同时考查向量研究空间图形的数学思想方法. 如下图，建立空间直角坐标系 O—xyz，C 为坐标原点 O，突破点在于求出相关的向量 所对应的坐标. （1）证明：如图，建立空间直角坐标系.
∴异面直线 AE 与 CD 所成的角是 arccos
z P M D B C (O )
E x A y
∵PC⊥平面 ABCD， ∴∠PBC 为 PB 与平面 ABC 所成的角，即∠PBC=30°. ∵|PC|=2，∴|BC|=2 3 ，|PB|=4. 得 D（1，0，0） 、B（0，2 3 ，0） 、A（4，2 3 ，0） 、P（0，0，2）. ∵|MB|=3|PM|， ∴|PM|=1，M（0，
3 3 ， ） ， 2 2 3 3 CM =（0， ， ） DP =（－1，0，2） DA =（3，2 3 ，0）. ， ， 2 2

设 CM =x DP +y DA （x、y∈R） ，
3 3 3 1 ， ）=x（－1，0，2）+y（3，2 3 ，0） ? x= 且 y= ， 2 2 4 4 3 1 DP + DA . ∴ CM = 4 4
则（0， ∴ CM 、 DP 、 DA 共面.又∵C ?平面 PAD，故 CM∥平面 PAD. （2）证明：过 B 作 BE⊥PA，E 为垂足. ∵|PB|=|AB|=4，∴E 为 PA 的中点. ∴E（2， 3 ，1） BE =（2，－ 3 ，1）. ， 又∵ BE · DA =（2，－ 3 ，1）（3，2 3 ，0）=0， · ∴ BE ⊥ DA ，即 BE⊥DA. 而 BE⊥PA，∴BE⊥面 PAD. ∵BE ? 面 PAB，∴面 PAB⊥面 PAD. （3）解：由 BE⊥面 PAD 知，平面 PAD 的单位向量 n0= ∴CD=（1，0，0）的点 C 到平面 PAD 的距离 d=|n0· CD |=|
BE
=
1
（2，－ 3 ，1）.
| BE | 2 2
1 2 2
（2，－ 3 ，1）（1，0，0）|= ·
2 . 2
探究创新 8.（2003 年北京宣武区二模题）如图，AB 为圆柱 OO1 的母线，BD 为圆柱 OO1 下底面 直径，AB=BD=2，点 C 为下底面圆周⊙O 上的一点，CD=1.
A O
1
B
O C
D
（1）求三棱锥 C—ABD 的体积； （2）求面 BAD 与面 CAD 所成二面角的大小； （3）求 BC 与 AD 所成角的大小. 分析：本题主要考查直线、平面的位置关系，考查圆柱的有关概念，考查直线、平面所 成角的概念及求法，考查空间想象能力和推理能力. 解： （1）∵AB 为圆柱 OO1 的母线，∴AB⊥下底面. ∴AB 为棱锥 A—BCD 的高.而点 C 在⊙O 上，∴△BCD 为直角三角形，∠BCD=90°. ∵BD=2，CD=1，∴BC= 3 .

∴V 三棱锥 C—ABD=V 三棱锥 A—BCD=
3 1 1 × ×1× 3 ×2= . 3 3 2
（2）过 B 作 BE⊥AD，垂足为 E，过点 B 作 BF⊥AC，垂足为点 F，连结 EF.由 BD 为 底面圆的直径，得 BC⊥CD. ∵AB⊥平面 BCD，BC⊥CD，
A O E F B O C D
1
∴AC⊥CD. 而 AC∩BC=C， ∴CD⊥平面 ABC. 而 CD ? 平面 ADC， ∴平面 ABC⊥平面 ADC，且它们的交线为 AC. ∵BF ? 平面 ABC，BF⊥AC，垂足为点 F， ∴BF⊥平面 ACD. 而 BE⊥AD，AD ? 平面 ACD， ∴EF⊥AD.平面 ABD∩平面 ACD=AD， ∴∠BEF 是面 ABD 与面 ACD 所成的二面角的平面角. 由 BE=
2 21 1 AD= 2 ，AC= 7 ，AB=2，可求出 BF= . 7 2
2 21 42 BF ∴sin∠BEF= = 7 = . 7 BE 2
∵∠BEF 为锐角，∴∠BEF=arcsin 故所求二面角的大小为 arcsin
42 . 7
42 . 7 （3）过点 D 在下底面作 DG∥BC 交⊙O 于点 G，则∠GDA 为 BC 与 AD 所成的角.连 结 BG、AG，由 BD 是⊙O 的直径，得 GD⊥BG，则 AG⊥DG，BC=GD.
A O
1
G B O C D
∴cos∠GDA=
6 3 GD = = . AD 2 2 4

∴∠GDA=arccos
6 . 4 6 . 4
∴所求 BC 与 AD 所成的角的大小为 arccos
●思悟小结 1.利用向量解立体几何问题，要仔细分析问题特点，把已知条件用向量表示，把一些待 求的量用基向量或其他向量表示， 将几何的位置关系的证明问题或数量关系的运算问题转化 为典型的向量运算，以算代证，以值定形.这种方法可减少复杂的空间结构分析，使得思路 简捷、方法清晰、运算直接，能迅速准确地解决问题. 2.线线垂直、 两异面直线的夹角、 两点间的距离等问题的解决往往借助于向量坐标.正方 体、长方体、底面有一角为直角的直棱柱、底面为菱形的直四棱柱、四棱锥等凡能出现三条 两两垂直直线的图形，常常考虑空间直角坐标系. 3.在综合问题中，首先要注意是否构建直角坐标系，能较易建立直角坐标系的，尽量建 立直角坐标系.其次要注意向量运算与基本性质相结合的论述，这是今后的方向，可以“形 到形” ，可以“数到形” ，注意数形结合，向量方法与传统方法各有千秋，相得益彰. 必须熟练掌握向量的基本知识和技能，尤其提出如下几点： （1）怎样选择应用基底（不设直角坐标系）和建立直角坐标系及坐标系建立技巧； （2）法向量的应用对处理角和距离的重要性； （3）怎样用向量解决立体几何中的几大常见题型； （4）准确判断是否选用向量处理问题，明确向量解题的缺点； （5）空间向量是怎样由平面向量拓展而来的. ●教师下载中心 教学点睛 要给学生归纳、总结，使学生系统地掌握线线、线面、面面的位置关系，特别是平行与 垂直的判定与性质，通过对照，深刻理解异面直线所成的角、斜线与平面所成的角、二面角 的平面角，理解点到面的距离、异面直线的距离.通过解题总结证明立体几何问题的常见方 法，注意培养学生的空间想象能力. 拓展题例 【例 1】 已知直线 a∥α ，且 a 与α 间的距离为 d，a 在α 内的射影为 a′，l 为平面α 内与 a′平行的任一直线，则 a 与 l 之间的距离的取值范围是 A.［d，+∞） B.（d，+∞） C.（0，d］ D.{d} 解析：如图，在 a 上任取一点 P 作 PO⊥a′，垂足为 O，过 O 作 OA⊥l，垂足为 A， 连结 PA.则 PA⊥l，PA⊥a，故 PA 就是 a 与 l 之间的距离.在 Rt△POA 中，PA>PO=d，选 B.
P a
O ? A l
a'
答案：B 【例 2】 如图，已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值 为 a，最小值为 b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是__________.

b 2r
a
解析：两个相同的几何体 倒立一个，对应合缝，恰好形成一个圆柱体. 答案：
1 π r2（a+b） 2
【例 3】 （2003 年北京西城区一模题）如图，正三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长均为 2，P 是侧棱 AA1 上任意一点.
C1 A1 B1
C A B
（1）求证：B1P 不可能与平面 ACC1A1 垂直； （2）当 BC1⊥B1P 时，求线段 AP 的长； （3）在（2）的条件下，求二面角 C—B1P—C1 的大小. （1）证明：连结 B1P，假设 B1P⊥平面 ACC1A1，则 B1P⊥A1C1. 由于三棱柱 ABC—A1B1C1 为正三棱柱，
C1 A1 D P C A B O E B1
∴AA1⊥A1C1. ∴A1C1⊥侧面 ABB1A1. ∴A1C1⊥A1B1， 即∠B1A1C1=90°. 这与△A1B1C1 是等边三角形矛盾. ∴B1P 不可能与平面 ACC1A1 垂直. （2）解：取 A1B1 的中点 D，连结 C1D、BD、BC1， 则 C1D⊥A1B1，又∵AA1⊥平面 A1B1C1， ∴AA1⊥C1D.∴C1D⊥平面 ABB1A1. ∴BD 是 BC1 在平面 ABB1A1 上的射影. ∵BC1⊥B1P，∴BD⊥B1P.∴∠B1BD=90°－∠BB1P=∠A1B1P. 又 A1B1=B1B=2，∴△BB1D≌△B1A1P，A1P=B1D=1.∴AP=1. （3）解：连结 B1C，交 BC1 于点 O，则 BC1⊥B1C.又 BC1⊥B1P，∴BC1⊥平面 B1CP. 过 O 在平面 CPB1 上作 OE⊥B1P，交 B1P 于点 E，连结 C1E，则 B1P⊥C1E， ∴∠OEC1 是二面角 C—B1P—C1 的平面角. 由于 CP=B1P= 5 ，O 为 B1C 的中点，连结 OP，

∴PO⊥B1C，OP·OB1=OE·B1P.∴OE= ∴∠OEC1=arctan
OC1 30 15 .∴tan∠OEC1= = . 5 3 OE
15 . 3
15 . 3
故二面角 C—B1P—C1 的大小为 arctan

高考数学一轮复习立体几何知识点

2019年高考数学一轮复习立体几何知识点数学上，立体几何是3维欧氏空间的几何的传统名称，查字典数学网小编整理了2019年高考数学一轮复习立体几何知识点，希望对考生复习有帮助。 1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。 能够用斜二测法作图。 2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念； 会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。 3.直线与平面 ①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。 ②直线与平面平行的判断方法及性质，判定定理是证明平行问题的依据。 ③直线与平面垂直的证明方法有哪些? ④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是 ⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线. 4.平面与平面

(1)位置关系：平行、相交，(垂直是相交的一种特殊情况) (2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。 (3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。 (4)两平面间的距离问题点到面的距离问题 (5)二面角。二面角的平面交的作法及求法： ①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形； 要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。 这个工作可让学生分组负责收集整理，登在小黑板上，每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面，引导学生关注社会，热爱生活，所以内容要尽量广泛一些，可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去，除假期外，一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了

近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总

高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.

6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值

高三第一轮复习：《立体几何》综合检测试题

第八章《立体几何》综合检测试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（ ） A ．棱柱 B ．棱台 C ．圆柱 D ．圆台 2、一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为 ①矩形；②直角三角形；③圆；④椭圆.其中正确的是 A.① B.② C.③ D.④ 3 ．设m.n 是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面, （ ） A ．若m∥α,n∥α,则m∥n B ．若m∥α,m∥β,则α∥β C ．若m∥n,m⊥α,则n⊥α D ．若m∥α,α⊥β,则m⊥β 4．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 （ ） A ． 1 6 B ． 13 C ． 23 D ．1 2

5 ．在空间，下列命题正确的是 （ ） A ．平行直线在同一平面内的射影平行或重合 B. 垂直于同一平面的两条直线平行 C. 垂直于同一平面的两个平面平行 D. 平行于同一直线的两个平面平行 6、一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是 （ ） A ．45,8 B ．8 45, 3 C ．84(51), 3 + D ．8,8 7、如图所示，正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为2 2 ，E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成的角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 8、如图是不锈钢保温饭盒的三视图，根据图中数据（单位：cm ）， 则 该饭盒的表面积为 A ．1100π2cm B ．900π2cm C ．800π2cm D ．600π2cm 9、已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，, AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为 （ ） A ． 317 2 B ．210 C 132 D ．310 10．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( ) A 、233π B 、23π C 、736π D 、733 π

(完整版)空间向量与立体几何题型归纳

空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD （1）证明AB⊥平面VAD； （2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=， BC=1，PA=2，E为PD的中点. （1）求直线AC与PB所成角的余弦值； （2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.(易错点,建系后,关于N点的坐标的设法,也是自己的弱项)

3. 如图，在长方体ABCD ―A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ； （2）当E 为AB 的中点时，求点A 到面ECD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角 D 1―EC ―D 的大小为(易错点:在找平面DEC 的法向量的时候,本来法向量就己经存在了,就不必要再去找,但是我认为去找应该没有错吧,但法向量找出来了 ,和那个己经存在的法向量有很大的差别,而且,计算结果很得杂,到底问题出在哪里 ?) 4.如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2DC ＝2，E 为BD 1的中点，F 为AB 的中点，∠DAB ＝60°． (1)求证：EF ∥平面ADD 1A 1； (2)若2 21BB ，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值．

N：5题到11题都是运用基底思想解题 5.空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成60度角，求AD与BC所成角的大小。 6.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB=45°, ∠A1AC=60°,求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。 7.如图，60°的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内， 且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8，求CD的长 8.如图，已知空间四边形OABC中，OB=0C, ∠AOB=∠AOC=Θ，求证OA⊥BC。 9．如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE。 （1）计算DE的长； （2）求点O到平面ABC的距离。 10．如图，线段AB在平面⊥α，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD与平面α所成的角。

高三数学一轮复习 立体几何(1)教案

江苏省徐州市贾汪区建平中学高三数学一轮复习教案：立体几 何 第节 教学目标平面基本性质及公理 直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系 教学重难点 平面基本性质及公理的运用 直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判断，异面直线所成的角 教学参考教材,教参,学案，优化探究 授课方法自学引导，讲练结合教学辅助手段多媒体 专用教室 教学过程设计教学二次备课 一、主干知识梳理 1．平面的基本性质： 公理1：文字语言描述为______________________,符号语言表示为___________________； 公理2：文字语言描述为____________________,符号语言表示为___________________； 公理3： 推论1 推论2 推论3 2．空间两条直线的位置关系有________、_________、_________．

3．公理4：_______________________________；等角定理：_____________________．4．异面直线判定定理： 5.异面直线所成的角的定义： ,范围是 二、基础自测自评 1．棱柱的侧面是________形，棱锥的侧面是_________形，棱台的侧面是____________形． 2．圆柱、圆锥、圆台的轴截面形状分别是______、_______、________． 3．用符号表示“点A在直线l上，l在平面 外”为_____________________． 学生课前预习 师生共同回顾 主干知识 通过小题巩固公式的记忆及使用 4．与长方体的某一条棱平行的棱有______条，与它相交的棱有_______条，与它异面的棱有_______条． 5．与正方体的某条面对角线异面的棱有_______条． 6．三条直线两两相交，它们可以确定的平面有________个．

高考数学第一轮复习立体几何专题题库

101. C B A '''?是△ABC 在平面α上的射影，那么C B A '''∠和∠ABC 的大小关系是 ( ) (A) C B A '''∠<∠ABC (B) C B A '''∠>∠ABC (C) C B A '''∠≥∠ABC (D) 不能确定 解析：D 一个直角，当有一条直角边平行于平面时，则射影角可以等于原角大小，但一般情况不等． 102. 已知: 如图, △ABC 中, ∠ACB = 90?, CD ⊥平面α, AD , BD 和平面α所成的角分别为30?和45?, CD = h , 求: D 点到直线AB 的距离。 解析：1、先找出点D 到直线AB 的距离, 即过D 点作 DE ⊥AB , 从图形以及条件可知, 若把DE 放在△ABD 中不易求解。 2、由于CD ⊥平面α, 把DE 转化到直角三角形中求解, 从而转化为先求DE 在平面α内的射影长。 解: 连AC , BC , 过D 作DE ⊥AB , 连CE , 则DE 为D 到直线AB 的距离。 ∵CD ⊥α ∴AC , BC 分别是AD , BD 在α内的射影。 ∴∠DAC , ∠DBC 分别是AD 和BD 与平面α所成的角 ∴∠DAC = 30?, ∠DBC = 45? 在Rt △ACD 中, ∵CD = h , ∠DAC = 30? ∴AC = 3h 在Rt △BCD 中 ∵CD = h , ∠DBC = 45?

∴BC = h ∵CD ⊥α, DE ⊥AB ∴CE ⊥AB 在Rt △ACB 中 AB AC BC h =+=222 S AC BC AB CE =?=1212 · ∴CE AC BC AB h h h h =?==3232· ∴在Rt △DCE 中, DE DC CE h h h =+=+=22223272 () ∴点D 到直线AB 的距离为72 h 。 103. 已知a 、b 、c 是平面α内相交于一点O 的三条直线，而直线l 和α相交，并且和a 、b 、c 三条直线成等角． 求证：l ⊥α 证法一：分别在a 、b 、c 上取点A 、B 、C 并使AO = BO = CO ．设l 经过O ，在l 上取一点P ，在△POA 、△POB 、△POC 中， ∵ PO 公用，AO = BO = CO ，∠POA =∠POB =∠POC ， ∴ △POA ≌△POB ≌△POC ∴ PA = PB = PC ．取AB 中点D ．连结OD 、PD ，则OD ⊥AB ，PD ⊥AB ， ∵ D OD PD =I ∴ AB ⊥平面POD

立体几何知识点题型整理

立体几何总结（1）空间几何体的知识点： （2）点、直线、面的位置关系： (3)空间直角坐标系: 考点一空间几何体与三视图 1．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”． 2．画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x轴、z轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度减半． 题型一三视图的考察 1、(2009·海南、宁夏) 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积( 单位：cm2) 为（ ) A．48＋12 2 B．48＋24 2 C．36＋12 2 D．36＋24 2 2、如图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 ( ) A．6 3 B．9 3 C．12 3 D．18 3 【方法技巧】 1．求三棱锥体积时，可多角度地选择方法．如体积分割、体积差等积转化法是常用的方法．2．与三视图相结合考查面积或体积的计算时，解决时先还原几何体，计算时要结合平面图形，不要弄错相关数量． 3．求不规则几何体的体积常用分割或补形的思想将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解． 4．对于组合体的表面积要注意其衔接部分的处理.

题型二 平面图的直观图（斜二测面法） 1、如图所示的直观图，其平面图形的面积为 （ ） A ．3 B.32 2 C ．6 D ．3 2 2、如图所示为一平面图形的直观图，则这个平面图形可能是 （ ） 答案 ：C 题型四 其他类型：展开、投影、截面、旋转体等 1 、面积为3的等边三角形绕其一边中线旋转所得圆锥的侧面积是________． 答案 ：2π 2、 如图，长方体ABCD －A1B1C1D1 中，交于顶点A 的三条棱长分别为AD ＝3 ，AA1 ＝4 ，AB ＝5 ，则从A 点沿表面到 C1 的最短距离为 ( ) A ．5 2 B.74 C ．4 5 D ．310 考点三 球与空间几何体的“切”“接”问题 1．长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径． 2．正方体的内切球其棱长为球的直径． 3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线． 4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 若正四面体的棱长为 a a R a a 12 6 ,46 ,36的半径为 正四面的内切球 径正四面体的外接球的半则正四面体的高为= （熟悉常见的补体，特殊的几何体如正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱,注意如何确定球心的位置） 1.已知三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球的半径为（ ）A.3 B.6 C.36 D.9 2、在三棱锥BCD A -中，5,6======BC AD BD AC CD AB ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A.π102 B. π54 C. π21 D. π43 变式：在三棱锥BCD A -中，5,4,6======BC AD BD AC CD AB ，则该三棱锥的外接球的表面积为————（π2 77 ） 2、棱长为2的正四面体（四个面均为正三角形）外接球的表面积是（ ） A π3 B π3 C π33 D π2 3 3、在三棱柱C B A ABC '''-中，已知ABC A A 平面⊥'，2='==A A AC AB ，32=BC ，且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的表面积为__________.

2019届高考数学一轮复习第七章立体几何第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图课时作业20180

第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图 课时作业 A组——基础对点练 1.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体 是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的正视图、侧视图、俯 视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)( ) A．①②⑥B．①②③ C．④⑤⑥D．③④⑤ 解析：正视图应为边长为3和4的长方形，且正视图中右上到左下的对角线应为实线，故正视图为①；侧视图应为边长为4和5的长方形，且侧视图中左上到右下的对角线应为实线，故侧视图为②；俯视图应为边长为3和5的长方形，且俯视图中左上到右下的对角线应为实线，故俯视图为③，故选B. 答案：B 2．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为( ) A．8 B．4 3 C．4 2 D．4 解析：由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，高为4，底面是一个边长为2的正三角形．因此，侧视图是一个长为4，宽为3的矩形，其面积S＝3×4＝4 3. 答案：B 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为( )

A ．3 3 B ．2 6 C.21 D ．2 5 解析：由三视图得，该几何体是四棱锥P -ABCD ，如图所示，ABCD 为矩形，AB ＝2，BC ＝3，平面PAD ⊥平面ABCD ，过点P 作PE ⊥AD ，则PE ＝4，DE ＝2，所以CE ＝22，所以最长的棱 PC ＝PE 2＋CE 2＝26，故选B. 答案：B 4．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A ．12＋4 2 B ．18＋8 2 C ．28 D ．20＋8 2 解析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为S ＝2×1 2 ×2×2＋4×2×2＋22×4＝20＋82，故选D. 答案：D 5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )

高考立体几何题型与方法全归纳文科

2019高考立体几何题型与方法全归纳文科 配套练习 1、四棱锥中,⊥底面,,, . (Ⅰ)求证:⊥平面； (Ⅱ)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积。 【答案】 (Ⅰ)证明:因为BC=CD ，即BCD ?为等腰三角形，又ACD ACB ∠=∠,故AC BD ⊥. 因为⊥PA 底面ABCD ，所以BD PA ⊥,从而BD 与平面PAC 内两条相交直线AC PA ,都垂直， 故⊥平面。 (Ⅱ)解：33 2sin 2221sin 21=??=∠??=?πBCD CD BC S BCD . 由⊥PA 底面ABCD 知23233 131=??=??=?-PA S V BCD BDC P . 由,7FC PF =得三棱锥BDC F -的高为PA 8 1, 故：4 132813318131=???=??=?-PA S V BCD BDC F 4 7412=-=-=---BCD F BCD P BDF P V V V 2、如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PAD ?为等腰三角形，90APD ?∠=，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，且1,2AB AD ==，,E F 分别为PC 和BD 的中点． （Ⅰ）证明：EF P 平面PAD ； （Ⅱ）证明：平面PDC ⊥平面PAD ；

（Ⅲ）求四棱锥P ABCD -的体积． 【答案】 （Ⅰ）证明：如图，连结AC ． ∵四边形ABCD 为矩形且F 是BD 的中点．∴F 也是AC 的中点． 又E 是PC 的中点，EF AP P ∵EF ?平面PAD ，PA ?平面PAD ，所以EF P 平面PAD ； （Ⅱ）证明：∵平面PAD ⊥ 平面ABCD ，CD AD ⊥，平面PAD I 平面ABCD AD =， 所以平面CD ⊥ 平面PAD ，又PA ?平面PAD ，所以PA CD ⊥ 又PA PD ⊥，,PD CD 是相交直线，所以PA ⊥面PCD 又PA ?平面PAD ，平面PDC ⊥平面PAD ； （Ⅲ）取AD 中点为O ．连结PO ,PAD ?为等腰直角三角形，所以PO AD ⊥， 因为面PAD ⊥面ABCD 且面PAD I 面ABCD AD =， 所以，PO ⊥面ABCD ， 即PO 为四棱锥P ABCD -的高． 由2AD =得1PO =．又1AB =． ∴四棱锥P ABCD -的体积1233 V PO AB AD =??= 考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积. 3、如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，CD PA ⊥， DB ADC ∠平分，E PC 为的中点，45DAC ∠=o ，AC = O

2020届高三一轮复习立体几何大题

P A B C D E 1如图，在直三棱柱111ABC A B C - 中，190,30,1,o o ACB BAC BC AA ∠=∠===M 是棱1CC 的中点. (1)求证：1A B AM ⊥； (2)求直线AM 与平面11AA BB 所成角的正弦值. 2图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ?为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且 1,,AB AA E F =分别是1,CC BC 的中点 （1）求证：1B F ⊥平面AEF ； （2）求锐二面角1B AE F --的余弦值. 3四棱锥P -ABCD 中，直角梯形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，∠APD =60°，PA =CD =2PD =2AB =2，且平面PDA ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点． （Ⅰ）求证：PD ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求直线PD 与平面BDE 所成角的大小． F E C 1 B 1 A 1 C B A

E F A B C P D 4如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，⊥PA 平面ABCD ，F E ,分别是PC AB ,的 中点，12 1 == AD AB ． （1）求证：//EF 平面PAD （2）若4 π =∠PDA ，求直线AC 与平面PCD 所成角的正弦值． 5如图，在四棱柱ABCD -PGFE 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB //DC ，∠ABC ＝45o ，DC ＝1，AB ＝2，PA ＝1． (1)求PD 与BC 所成角的大小； (2)求证：BC ⊥平面PAC ； (3)求二面角A -PC -D 的大小． 6如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA C C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AA C C ， 3,5AB BC == （Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角111C A B C --的大小； （Ⅲ）若点D 是线段BC 的中点，请问在线段1AB 上是否存在点E ，使得DE ∥面11AA C C ？若 存在，请说明点E 的位置；若不存在，请说 明理由. A B C 11

全国版2017版高考数学一轮复习第七章立体几何7.1空间几何体的结构及其三视图和直观图课时提升作业理

空间几何体的结构及其三视图和直观图 (25分钟60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.下列结论正确的是( ) A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 【解析】选D.A错误,如图所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是三棱锥; B错误,如图,若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥; C错误,若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长. 2.已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示,给出下列5个图形: 其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个

【解析】选B.根据正视图与侧视图的画法知④不能作为俯视图,故选B. 【加固训练】(2016·忻州模拟)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( ) 【解析】选C.依题意,此几何体为组合体,若上下两个几何体均为圆柱,则俯视图为A; 若上边的几何体为正四棱柱,下边几何体为圆柱,则俯视图为B; 若俯视图为C,则正视图中应有实线或虚线,故该几何体的俯视图不可能是C; 当上边的几何体为底面是等腰直角三角形的直三棱柱,下面的几何体为正四棱柱时,俯视图为D. 3.(2016·衡阳模拟)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( ) 【解析】选D.如图所示,点D1的投影为C1,点D的投影为C,点A的投影为B,故选D. 【加固训练】用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是图中的( )

【全程复习方略】全国高考数学(理)一轮复习练习：7.1空间几何体的结构(含答案解析)

课时提升作业四十一 空间几何体的结构及其三视图和直观图 (25分钟60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.下列结论正确的是() A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 【解析】选D.A错误,如图所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是三棱锥; B错误,如图,若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥; C错误,若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长. 2.已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示,给出下列5个图形: 其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【解析】选B.根据正视图与侧视图的画法知④不能作为俯视图,故选B.

【加固训练】(2016·忻州模拟)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是() 【解析】选C.依题意,此几何体为组合体,若上下两个几何体均为圆柱,则俯视图为A; 若上边的几何体为正四棱柱,下边几何体为圆柱,则俯视图为B; 若俯视图为C,则正视图中应有实线或虚线,故该几何体的俯视图不可能是C; 当上边的几何体为底面是等腰直角三角形的直三棱柱,下面的几何体为正四棱柱时,俯视图为 D. 3.(2016·衡阳模拟)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为() 【解析】选D.如图所示,点D1的投影为C1,点D的投影为C,点A的投影为B,故选D. 【加固训练】用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是图中的()

空间立体几何高考知识点总结与经典题目

空间立体几何 知识点归纳： 1. 空间几何体的类型 (1)多面体：由若干个平面多边形围成的几何体，如棱柱、棱锥、棱台。 (2)旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。 如圆柱、圆锥、圆台。 2. 一些特殊的空间几何体 直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱。正棱柱：底面多边形是正多边形的直棱柱。 正棱锥：底面是正多边形且所有侧棱相等的棱锥。 正四面体：所有棱都相等的四棱锥。 3. 空间几何体的表面积公式 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 _ 2 圆柱的表面积：S =2 rl 2 r2圆锥的表面积：S =理「I ?二r 2 2 圆台的表面积：S =理rl 7 r?二RI ?二R 球的表面积：s= 4 R2 4 ?空间几何体的体积公式 1 柱体的体积：V = S底 h 锥体的体积：v = - S底h 3底 1 ---------- 、， 4 3 台体的体积：V = —( S上?S上S T S下)h 球体的体积：V R 3 '3 5.空间几何体的三视图 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。 侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。 俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。 画三视图的原则： 长对正、宽相等、高平齐。即正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，侧视图和正视图一样高。 6 .空间中点、直线、平面之间的位置关系 (1) 直线与直线的位置关系：相交；平行；异面。

（2）直线与平面的位置关系：直线与平面平行；直线与平面相交；直线在平面内。 （3）平面与平面的位置关系：平行；相交。 7. 空间中点、直线、平面的位置关系的判断 （1）线线平行的判断： ①平行公理：平行于同一直线的两直线平行。 ②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相 交，那么这条直线和交线平行。 ③面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 ④线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行。 （2）线线垂直的判断： ①线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 ②线线垂直的定义：若两直线所成角为，则两直线垂直 ③一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 （3）线面平行的判断： ①线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平 面平行。 ②面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 （4）线面垂直的判断： ①线面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这 个平面。 ②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 ③一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ④如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个 （5）面面平行的判断：

高三文科数学一轮复习之立体几何

数学讲义之立体几何【主干内容】

【题型分类】 题型一：点、直线、平面的位置关系 〖例1〗（2011四川）l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3?l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3?l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3?l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点?l 1，l 2，l 3共面 解： B. 对于A ，直线l 1与l 3可能异面；对于C ，直线l 1、l 2、l 3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线而不共面；对于D ，直线l 1、l 2、l 3相交于同一个点时不一定共面. 所以选B. 〖例2〗（2011宁波二模）已知a ，β表示两个互相垂直的平面，a ，b 表示一对异面直线，则a ⊥b 的一个充分条件是( ) A ．a ∥α，b ⊥β B ．a ∥α，b ∥β C ．a ⊥α，b ∥β D ．a ⊥α，b ⊥β 解： 〖例3〗（2011浙江）若直线l 不平行于平面a ，且l a ?，则 A ．a 内存在直线与异面 B ．a 内不存在与l 平行的直线 C ．a 内存在唯一的直线与l 平行 D ．a 内的直线与l 都相交 解：B 〖例4〗（2011杭二模）设,,a b c 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则a b ⊥的一个充分条件为（ ） A ．,a c b c ⊥⊥ B ．,,a b αβαβ⊥?? C ．,//a b αα⊥ D ．,a b αα⊥⊥ 解：C 题型二：空间几何体 〖例1〗（2011浙江卷）若某几何体的三视图如图1－1所示，则这个几何体的直观图可以是( )

高考一轮复习立体几何+一

高考一轮复习立体几何+一 一．选择题〔共24小题〕 1．〔2014?郴州三模〕用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是〔 〕 A．B．C．D． 2．〔2014秋?城区校级期末〕如图所示，用过A1、B、C1和C1、B、D的两个截面截去正方体ABCD﹣A1B 1C1D1的两个角后得到一个新的几何体，则该几何体的正视图为〔〕 A．B．C．D． 3．〔2012?武汉模拟〕如图是一正方体被过棱的中点M、N，顶点A和N、顶点D、C1的两上截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为〔〕 A．B．C．D． 4．〔2013?鹰潭校级模拟〕已知一个三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为〔 〕

A．B．1 C．D． 5．〔2012?陕西〕将正方体〔如图1所示〕截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为〔〕 A．B．C．D． 6．〔2015?铜川模拟〕已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为〔〕 A．1 B．2 C．3 D．4 7．〔2015秋?哈尔滨校级月考〕某几何体的一条棱长为3，在该几何体的正视图中，这条棱的投影长为2的线段，在该几何体的侧视图和俯视图中，这条棱长的投影长分别是a和b的线段，则a+b的最大值为〔 〕 A．2 B．2 C．4 D．2 8．〔2015?北京〕某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为〔〕 A．1 B．C．D．2 9．已知某个几何体的三视图如图所示．根据图中标出的尺寸〔单位：cm〕．可得这个几何体的体积是cm 3． 〔〕

广东省2016届高三数学文一轮复习专题突破训练：立体几何

广东省2016届高三数学文一轮复习专题突破训练 立体几何 2016年广东省高考将采用全国卷，下面是近三年全国卷的高考试题及2015届广东省部分地区的模拟试题，供同学们在复习时参考。 一、选择、填空题 1、（2015年全国I卷）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为： “在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底 部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？” 已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米 有（） （A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛 2、（2015年全国I卷）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径 为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为+，则r=( ) 1620π （A）1（B）2（C）4（D）8 3、（2014年全国I卷）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的 事一个几何体的三视图，则这个几何体是（） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 4、（2013年全国I卷）某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的 体积为() 图1－3 A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π

5、（佛山市2015届高三二模）已知a ，b ，c 均为直线，α，β为平面，下面关于直线与平面关系的命题： （1）任意给定一条直线与一个平面α，则平面α内必存在与a 垂直的直线； （2）a ∥β，β内必存在与a 相交的直线； （3）α∥β，a ?α，b ?β，必存在与a ，b 都垂直的直线； （4）α⊥β，c αβ= ，a ?α，b ?β，若a 不垂直c ，则a 不垂直b 。 其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ． 3 D ．4 6、（广州市2015届高三一模）已知某锥体的正视图和侧视图如图2， 其体积为23 3 ，则该锥体的俯视图可以是 7、（华南师大附中2015届高三三模）某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是(***) A ．2 B ． 3 C ．7 D ．1

高考数学文一轮复习专题训练立体几何含复习资料

高三数学文一轮复习专题突破训练 立体几何 一、选择、填空题 1、（2016年全国I 卷）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是283 π，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 2、（2016年全国II 卷）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （A ）12π （B ） 32 3 π （C ）8π （D ）4π 3、（2016年全国I 卷）平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，αI 平面 ABCD m =，αI 平面11ABB A n =，则m ，n 所成角的正弦值为 （A ）3 （B ） 2 （C ） 33 （D ）13 4、（2016年全国II 卷）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体 的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 5、（2016年全国III 卷）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 α A A 1 B 1 D C 1 D 1

（A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81 6、（2016年全国III 卷）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥， 6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是 （A ）4π （B ） 92 π （C ）6π （D ） 323 π 7、（2015年全国I 卷）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 8、（2015年全国I 卷）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径 为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 1620π+，则r =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 9、（广东省2016届高三3月适应性考试）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）

立体几何常见重要题型归纳-高考立体几何题型归纳

立体几何常见重要题型归纳 阳江一中 利进健 题型一 点到面的距离 常见技巧：等体积法 例1：如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，E 1分别是棱AD ，AA 1的中点． （1）设F 是棱AB 的中点，证明：直线EE 1∥平面FCC 1； （2）证明：平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C ； （3）求点D 到平面D 1AC 的距离． 解析：（1）11//,,,//,22 CD AB CD AB AF AB CD AF CD AF ==∴= ∴ 四边形AFCD 为平行四边形 ∴//CF AD 又AD ?面11ADD A ,CF ?面11ADD A ∴//CF 面11ADD A 2分 在直四棱柱中，11//CC DD , 又AD ?面11ADD A ,CF ?面11ADD A ∴1//CC 面11ADD A 3分 又11,,CC CF C CC CF ?=?面1CC F ∴面1CC F //面11ADD A 又1EE ?面11ADD A ,1//EE ∴面1CC F 5分 （2）122 BC CD AB === ∴ 平行四边形AFCD 是菱形 DF AC ∴⊥ ,易知//BC DF AC BC ∴⊥ 7分 在直四棱柱中，1CC ⊥面ABCD ,AC ?面ABCD 1AC CC ∴⊥ 又1BC CC C ?= AC ∴⊥面11BCC B 9分 又AC ?面1D AC ∴面1D AC ⊥面11BCC B 10分 （3）易知11D D AC D ADC V V --= 11分 ∴ 设D 到面1D AC 的距离为d ，则

高三一轮复习-立体几何讲义(带答案)

个性化辅导授课教案

轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图 中长度为原来的一半. 【方法与技巧】 1．三视图的画法特征 “长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．2．求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法 (1)转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法． (2)求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．【失误与防范】 1．画三视图应注意的问题 (1)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法． (2)确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同． 2．求空间几何体的表面积应注意的问题 (1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理． (2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错. 【高频考点突破】 考点一空间几何体的结构特征[来源:Z。xx。https://www.wendangku.net/doc/ca18071597.html,] 例1、给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等． 其中正确命题的个数是() A．0B．1C．2D．3 【解析】①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图(1)所示；③不一定．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图(2)所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．