直线与圆位置关系知识点与经典例题

直线与圆位置关系

一．课标要求

1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；

3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

二．知识框架

相离 几何法

弦长 直线与圆的位置关系

相交 代数法

切割线定理

相切

直线与圆 代数法

求切线的方法

几何法

圆的切线方程

过圆上一点的切线方程

圆的切线方程 切点弦 过圆外一点的切线方程 方程

三．直线与圆的位置关系及其判定方法

1.利用圆心0),(=++C By Ax b a O 到直线的距离22B A C

Bb Aa d +++=与半径r 的大小来判

定。

（1）?

（2）?=r d 直线与圆相切

（3）?>r d 直线与圆相离

2.联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过解的个数来判定。

（1）有两个公共解（交点），即?>?0直线与圆相交

（2）有且仅有一个解（交点），也称之为有两个相同实根，即0=??直线与圆相切

（3）无解（交点），即?

3.等价关系

相交0>??

相切0=??=?r d

相离0?r d

练习

（位置关系）1.已知动直线5:+=kx y l 和圆1)1(:2

2=+-y x C ，试问k 为何值时，直线与圆相切、相离、相交？

（位置关系）2.已知点),(b a M 在圆1:2

2=+y x O 外，则直线1=+by ax 与圆O 的位置关系是（）

A.相切

B.相交

C.相离

D.不确定

（最值问题）3.已知实数x 、y 满足方程0142

2=+-+x y x ， （1）求x

y 的最大值和最小值； （2）求y x -的最大值和最小值；

（3）求22y x +的最大值和最小值。

〖分析〗考查与圆有关的最值问题，解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解，运用数形结合的方法，直观的理解。①转化为求斜率的最值；②转化为求直线b x y +=截距的最大值；③转化为求与原点的距离的最值问题。

（位置关系）4.设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则n m +的取值范围是（）

（位置关系）5.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线 1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是

6．直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角是 ( C )

A 、6

π B 、4π C 、3π D 、2π （位置关系）7．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是

（ ）

A ．2

B ．21+

C ．2

21+ D ．221+ （最值问题）8.设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线05=--y x 的最大距离为______.

9．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆

C 的方程为（ ）

A ．03222=--+x y x

B ．042

2=++x y x

C ．03222=-++x y x

D ．042

2=-+x y x 10.若曲线21x y -=与直线b x y +=始终有两个交点，则b 的取值范围是__________. （对称问题）11.圆4)1()3(:2

21=++-y x C 关于直线0=-y x 对称的圆2C 的方程为:( )

A. 4)1()3(22=-++y x

B. 4)3()1(2

2=-++y x C. 4)3()1(22=++-y x D. 4)1()3(2

2=++-y x

12. 直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于N M ,两点，若≥||MN

则k 的取值范围是( )

A ．3[,0]4-

B ．[

C ．[

D ．2[,0]3- 13.圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4 (m ∈R)．

(1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒相交于两点；

(2)求⊙C 与直线l 相交弦长的最小值．

[解析] (1)将方程(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4，变形为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0. 直线l 恒过两直线2x ＋y －7＝0和x ＋y －4＝0的交点，

由???

2x ＋y －7＝0x ＋y －4＝0

得交点M (3,1)． 又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，∴点M (3,1)在圆C 内，∴直线l 与圆C 恒有两个交点．

(2)由圆的性质可知，当l ⊥CM 时，弦长最短． 又|CM |＝(3－1)2

＋(1－2)2＝5， ∴弦长为l ＝2r 2－|CM |2

＝225－5＝4 5.

四．计算直线被圆所截得的弦长的方法

1.几何法：运用弦心距、半径、半弦长构成的?Rt 计算，即2

22d r AB -= 2.代数法：运用根与系数关系（韦达定理），即

[]

B A B A B A x x x x k x x k AB 4)()1(1222-++=-+=

（注：①当直线AB 斜率不存在时，请自行探索与总结； ②弦中点坐标为

）（2

,2B A B A y y x x ++，求解弦中点轨迹方程。） 练习

1.直线32+=x y 被圆0862

2=--+y x y x 所截得的弦长等于（） 2.过点)1,2(的直线中被圆0422

2=+-+y x y x 截得的弦长最大的直线方程 是( )

A.053=--y x

B. 073=-+y x

C. 053=-+y x

D. 053=+-y x

3.已知圆C 过点)0,1(，且圆心在x 轴的正半轴上，直线1:-=x y l 被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线方程为（）

4.直线x －2y －3＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2

＝9交于E 、F 两点，则△ECF 的面积为( ) A.32 B.34 C ．2 5 D.355

5.已知圆4)4()3(:2

2=-+-y x C 和直线034:=+--k y kx l （1)求证:不论k 取什么值,直线和圆总相交;

(2)求k 取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.

6.若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上相异两点P 、Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为

( )A ．1 B ．－1 C.12

D ．2 7.已知过点()3,3M --的直线l 与圆224210x y y ++-=相交于,A B 两点，

（1）若弦AB 的长为l 的方程；

（2）设弦AB 的中点为P ，求动点P 的轨迹方程．

解：（1）若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为3x =-，此时有2

4120y y +-=，弦()||||268A B AB y y =-=--=，所以不合题意．

故设直线l 的方程为()33y k x +=+，即330kx y k -+-=．

将圆的方程写成标准式得()2

2225x y ++=，所以圆心()0,2-，半径5r =． 圆心()0,2-到直线l 的距离

d =

角形，所以()22231251k k -+=+，即()2

30k +=，所以3k =-． 所求直线l 的方程为3120x y ++=．

（2）设(),P x y ，圆心()10,2O -，连接1O P ，则1O P ⊥AB ．当0x ≠且3x ≠-时，

11O P AB k k ?=-，又(3)(3)

AB MP y k k x --==--， 则有()()()23103y y x x ----?=----，化简得22355222x y ????+++= ? ??

???．．．．．．（1） 当0x =或3x =-时，P 点的坐标为()()()()0,2,0,3,3,2,3,3------都是方程（1）

的解，所以弦AB 中点P 的轨迹方程为22

355222x y ????+++= ? ??

???． 8.已知圆0622=+-++m y x y x 和直线032=-+y x 相交于Q P ,两点,O 为原点,且OQ OP ⊥,求实数m 的取值.

五．已知切点，求切线方程

1.经过圆222r y x =+上一点）（00,y x P 的切线方程为200r y y x x =+

2.经过圆2

22)()(r b y a x =-+-上一点）（00,y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--

3.经过圆02

2=++++F Ey Dx y x 上一点),(00y x P 的切线方程为02

20000=++++++F y y E x x D

y y x x 练习 1.经过圆上一点)8,4(--P 作圆9)8()7(22++++y x 的切线方程为（）

2.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）

A ．023=-+

y x B ．043=-+y x C ．043=+-y x D ．023=+-y x

六．切点未知，过园外一点，求切线方程

1.k 不存在，验证是否成立；

2.k 存在，设点斜式，用圆到直线的距离r d =，即 )(00x x k y y -=-

1)

(200+---=k x a k y b r

练习

1.求过)5,3(A 且与圆0744:2

2=+--+y x y x C 相切的直线方程。

七．切线长

若圆2

22)()(:r b y a x C =-+-，则过圆外一点),(00y x P 的切线长22020)()(r b y a x d --+-=

练习

1.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（ B ）

(A) 5 (B) 3 (C)

10 (D) 5 2.自直线y=x 上点向圆x 2+y 2-6x+7=0引切线，则切线长的最小值为

八．切点弦方程

过圆2

22)()(:r b y a x C =-+-外一点),(00y x P 作圆C 的两条切线方程，切点分别为B A ,,

则切点弦AB 所在直线方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+-- 1．过点C (6，－8)作圆x 2＋y 2

＝25的切线于切点A 、B ，那么C 到两切点A 、B 连线的距离为

( )

A ．15

B ．1 C.152 D ．5

九．切割线定理

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即 PD PC PT ?=2

练习

1.自动点P 引圆102

2=+y x 的两条切线PB PA ,，直线PB PA ,的斜率分别为21,k k 。

（1）若12121-=++k k k k ，求动点P 的轨迹方程；

（2）若点P 在直线m y x =+上，且PB PA ⊥，求实数m 的取值范围。 〖解析〗

（1）由题意设),(00y x P 在园外，切线101),(:2000

0=+--=-k y kx x x k y y l ，

0102)10(2

000220=-+--∴y k y x k x

由12121-=++k k k k 得点P 的轨迹方程为052=±+y x 。

（2）),(00y x P 在直线m y x =+上，m y x =+∴00

又PB PA ⊥，11010,1202

21-=---=∴x y k k ，即202020=+y x ，将m y x =+代入化简得 02022202

0=-+-m mx x

又0≥? ，102102-≤≤∴m

又102020>+y x 恒成立，522-<>∴m m 或 [](]

102,5252,102?--∴的取值范围是m

初三数学圆的知识点总结及经典例题详解

1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 直线与圆的位置关系 1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5．垂直于半径的直线必为圆的切线. 6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7．垂直于半径的直线是圆的切线. 8．圆的切线垂直于过切点的半径. 圆与圆的位置关系 1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5．相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1．正六边形的中心角为60°. 2．矩形是正多边形. 3．正多边形都是轴对称图形. 4．正多边形都是中心对称图形.

1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2．已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 3．已知：如图，⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 4．已知：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则下列结论中正确的是 . A.∠A+∠C=180° B.∠A+∠C=90° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠B=90 5．半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离为 . A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° 7．已知：如图，⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . ° ° ° 8. 已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° ° 9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O 的半径为 cm. .4 C D. 10 10. 已知：如图，⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . ° ° ° ° 12．在半径为5cm 的圆中,有一条弦长为6cm,则圆心到此弦的距离为 . A. 3cm B. 4 cm C.5 cm D.6 cm 点、直线和圆的位置关系 1．已知⊙O 的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O 的距离为10㎝,那么这条直线和这个圆的位置关系为 . A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离 2．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交 3．已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定 4．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . 个 个 个 D.不能确定 5．一个圆的周长为a cm,面积为a cm 2，如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 不能确定 6．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系? D B C A O ? ? C B A O ? B O C A D ? B O C A D ? B O C A D ? C B A O

(完整版)初中数学圆--经典练习题(含答案)

圆的相关练习题 1、已知：弦AB 把圆周分成1：5的两部分，这弦AB 所对应的圆心角的度数为 。 2、如图：在⊙O 中，∠AOB 的度数为1200，则的长是圆周的 。 3、已知：⊙O 中的半径为4cm ，弦AB 所对的劣弧为圆的3 1，则弦AB 的长为 cm ，AB 的弦心距为 cm 。 4、如图，在⊙O 中，AB ∥CD ，的度数为450，则∠COD 的度数为 。 5、如图，在三角形ABC 中，∠A=700，⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则 ∠BOC=（ ）。 A ．140° B ．135° C ．130° D ．125° （第2题图） （第4题图） （第5题图） 6、下列语句中，正确的有（ ） (1)相等的圆心角所对的弧相等； (2)平分弦的直径垂直于弦； (3)长度相等的两条弧是等弧； (4) 圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 7、已知：在直径是10的⊙O 中， 的度数是60°，求弦AB 的弦心距。 8、已知：如图，⊙O 中，AB 是直径，CO ⊥AB ，D 是CO 的中点，DE ∥AB ， 求证：

600 9. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？ 10. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （） （A ）ο15 （B ）ο30 （C ）ο45 （D ）ο60 2.（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1 寸，AB ＝10寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为 10厘米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ο 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ）

(完整版)直线与圆知识归纳

直线与圆 ◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角 规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率：)2 (tan π α≠ =a k ，R k ∈ 斜率公式：经过两点),(111y x P ，),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为1 21 22 1x x y y k P P --= 3.直线方程的几种形式 能力提升 斜率应用 例1.已知函数)1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ，则 c c f b b f a a f ) (,)(,)(的大小关系

例2.已知实数y x ,满足)11(222 ≤≤-+-=x x x y ，试求2 3 ++x y 的最大值和最小值 两直线位置关系 两条直线的位置关系 设两直线的方程分别为： 222111:b x k y l +=或0 :22221111=++C y B x A l ；当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们 相交，交点坐标为方程组???+=+=2211b x k y b x k y 或???=++=++00 222 111C y B x A C y B x A 直线间的夹角： ①若θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ； ②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ； ③当0121=+k k 或02121=+B B A A o 直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α：) 2 (π θθα≤ =

直线与圆(典型例题和练习题)

直线与圆 1.本单元知识点 本单元的学习重点包括：直线的斜率、直线的方程、直线与直线的位置关系，圆的方程、圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，直线与圆的距离问题，其中直线与圆的位置关系是高考热点. 2.典型例题选讲 例1. 过点M （0,1）作直线，使它被两直线082:,0103:21=-+=+-y x l y x l 所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线的方程. 说明：直线方程有三种基本形式：点斜式、两点式、一般式，求直线方程时应根据题目条件灵活选择，并注意不同形式的适用范围. 如采用点斜式，需要注意讨论斜率不存在的情况. 例2.已知圆0822:221=-+++y x y x C 与圆024102:222=-+-+y x y x C 交于A,B 两点. （1）求直线AB 的方程； （2）求过A 、B 两点且面积最小的圆的方程. 说明：应用两圆相减求两圆公共弦的方法，可避免通过求两个交点再求公共弦方程. 另外，在求解与圆有关的问题时，应注意多利用圆的相关几何性质，这样利于简化解题步骤.

例3.若过点A （4,0）的直线l 与曲线1)2(22=+-y x 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围. （一题多解） 说明：直线与圆的位置关系问题，可以从几何和代数两方面入手. 相切问题应抓住角度问题求斜率；相交问题应抓住半径r 、弦心距d 、半弦长2 l 构造的直角三角形使问题简化. 例4.设定点M （－3,4），动点N 在圆422=+y x 上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹. 说明：轨迹方程在必修2第122页有例题，求动点的轨迹方程要特别注意考虑轨迹与方程间的等价性，有时求得方程后还要添上或去掉某些点.

圆的基本性质练习题一

圆的基本性质练习 一、看准了再选 1．.如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC的度数是（） A.110° B.70° C.55° D.125° 2．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G且EF⊥CD，若∠EOD=40°,则∠DCF等于（） A.80° B. 50° C.40° D. 20° 3.直线ａ上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线ａ与⊙O的位置关系是（） Ａ、相离Ｂ、相切Ｃ、相切或相交Ｄ、相交 4.在⊙O中，弦AB垂直并且平分一条半径，则劣弧AB的度数等于（） A.30° B.120° C.150° D.60° 5．如图，⊙O的半径OA=3，以点A为圆心，OA的长为半径画弧交⊙O于B，C?则BC=（）． A．32 B．33 C． 3 2 3 D ． 33 2 6．．如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）． A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠1 7．．如图，已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O?与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的圆O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是（） A．02 8．如图，AB、AC与⊙O相切于点B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（） O C F G D E A P B C O

A ．65° B ．115° C ．65°或115° D ．130°或50° 9如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB 、BC 、OP ，则与∠PAB 相等 的角有（ ）个。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 10．边长分别为3，4，5的三角形的内切圆半径与外接圆的半径之比为（ ）． A ．1：5 B ．2：5 C ．3：5 D ．4：5 11．如图所示，圆弧形桥拱的跨度AB=12m ，拱高CD=4m ，则拱桥的直径为（ ）． A ．6.5m B ．9m C ．13m D ．15m 二．想好了再规范的写画 12．如图所示，线段AD 过圆心O 交⊙O 于D ，C 两点，∠EOD=78°，AE 交⊙O 于B ，? 且AB=OC ，求∠A 的度数． O E D C B A 13．如图AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AB 于O ，交AC 于D ，OD=2，∠A=30°,求CD 。 14．如图，已知在Rt △ABC 中，AC=12，BC=9，D 是AB 上一点，以O 为圆心，BD 为直径的⊙O 切AC 于E ，求AD 的长。 15．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AB=AC ， D ， E 在⊙O 上，说明BD=DE C E A D O B · B A C D O

圆周运动典型例题学生版(含答案)

圆周运动专题总结 知识点一、匀速圆周运动 1、定义：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的 相等，这种运动就叫做匀速周圆运 动。 2、运动性质：匀速圆周运动是 运动，而不是匀加速运动。因为线速度方向时刻在变化，向 心加速度方向，时刻沿半径指向圆心，时刻变化 3、特征：匀速圆周运动中，角速度ω、周期T 、转速n 、速率、动能都是恒定不变的；而线速度 v 、加速度a 、合外力、动量是不断变化的。 4、受力提特点： 。 随堂练习题 1.关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ） A ．匀速圆周运动是匀速运动 B ．匀速圆周运动是匀变速曲线运动 C ．物体做匀速圆周运动是变加速曲线运动 D ．做匀速圆周运动的物体必处于平衡状态 2.关于向心力的说法正确的是（ ） A ．物体由于作圆周运动而产生一个向心力 B ．向心力不改变做匀速圆周运动物体的速度大小 C ．做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受合外力 D ．做匀速圆周运动的物体的向心力是个恒力 3.在光滑的水平桌面上一根细绳拉着一个小球在作匀速圆周运动，关于该运动下列物理量中 不变的是（A ）速度 （B ）动能 （C ）加速度 （D ）向心力 知识点二、描述圆周运动的物理量 ⒈线速度 ⑴物理意义：线速度用来描述物体在圆弧上运动的快慢程度。 ⑵定义：圆周运动的物体通过的弧长l ?与所用时间t ?的比值，描述圆周运动的“线速度”， 其本质就是“瞬时速度”。 ⑶方向：沿圆周上该点的 方向 ⑷大小：=v = ⒉角速度 ⑴物理意义：角速度反映了物体绕圆心转动的快慢。 ⑵定义：做圆周运动的物体，围绕圆心转过的角度θ?与所用时间t ?的比值 ⑶大小：=ω = ，单位： （s rad ） ⒊线速度与角速度关系： ⒋周期和转速： ⑴物理意义：都是用来描述圆周运动转动快慢的。 ⑵周期T ：表示的是物体沿圆周运动一周所需要的时间，单位是秒；转速n （也叫频率f ）： 表示的是物体在单位时间内转过的圈数。n 的单位是 （s r ）或 （m in r ）f 的单位：

有关直线与圆的几个典型例题

有关直线与圆的几个典型例题 本节内容在高考题中通常是通过选择题、填空题进行考查，在解 答题中往往是出现在第(1)小题中，考查的热点是求直线的方程， 两直线平行、垂直的关系，关于直线的对称问题，直线与圆的位置关 系及圆与圆的位置关系等。要熟练掌握求直线方程的方法，注意根据 已知条件灵活选择方程形式；在解决圆的有关问题时，要注意圆的儿 何性质的应用。 例1：在A ABC 中，已知顶点A(3,-l),过点B 的内角平分线所在 直线的方程为x-4y+10=0,过点C 的中线所在直线的方程为 6x+10y-59=0,求顶点B 的坐标及BC 边的方程。 A + 3 J -1 解：设B 点坐标为(x,y),则AB 的中点E 的坐标为(丁'丁)， 因 E 在直线 6x+10y-59=0±, 乳 + 3 ??? 6 ? 2 +10 ? 2 -59=0,整理得 3x+5y-55=Oo 乂过点B 的内角平分线所在直线方程为x-4y+10=0o 戸+ "-55 = 0, |x = 10, 解方程组仍10丸得卜" ???B 点坐标为(10,5)。 6 设BC 边所在直线斜率为k, AB 边所在直线斜率k AB = 7，角B 平 _1 分线的斜率为忆。 例2：已知过点A(1J),且斜率为的直线/与x,y 轴分别 交于P 、Q 点，过P 、Q 作直线2x+y=0的垂线，垂足分别为R, S, 2 - 9 - = k ???BC 边所在直线方程为2x+9y-65=0o 评注：本题是关于求直线方程的例 题。 6 一 7 6 一 7

求四边形PRSQ 的面积的最小值。 丄 解:设直线1的方程为y-l=-m(x-l),则P 、Q 的坐标分别为(1 +也,0), (0,1 +m) o 1 m +1 m +1 /? PR 所在直线方程为y=2（x ?m ）,即x ?2y ?朋=0 丄 QS 所在直线方程为 y= 2 x+m+1,即 x-2y+2(m+l)=0。 | 2加十2十1十丄| 3十2眈十丄 m = m m +1 乂IPRI=怎,IQSI=品, ???四边形PRSQ 的面积为 (2 + -+m + 1) 3+2忍十丄2(购+丄尸十9⑻+丄)+ 10 . 〔。 〔 S=- ? ———?— =——世 ------------ 世—丄［(时丄)+分-丄, 2 75 10 5 4 80 丄 *.* m>0,?*. m+m $2, ?°?、勺 m=l 时，Smin=3.6。 故四边形PRSQ 面积的最小值为3.6o 评注：本题是关于直线的平行、垂直问题的例题 例3：根据下列条件求圆的方程： (1) 圆心在直线/］： 5x-3y=O 上，并且圆与直线伍：x-6y-10=0 相切于点P(4,?l)； (2) 圆过点P(-2,4), Q(3,-l),并且在x 轴上截得的弦长等于6； (3) 圆心在曲线y 2=-18x ±,并且既与y 轴相切乂与圆 (x+2)2+(y- 3)2=l 外切。 解：(1)设圆心为C(3t,5t), 主十1 . 1 T PR//QS, |RS| = 75

中考数学-圆的基本性质和计算经典练习题

8错误！未指定书签。?如图，方格纸中4个小正方形的边长均为 1, 则图中阴影部分三个小 扇形的面积和为 （结果保留n ） 中考数学 圆的基本性质和计算经典练习题 一、填空题 1错误！未指定书签。?如图，在O O 中，已知 OAC 20 ° , OA // CD ,则 AOD ? 圆心，C 是AB 上一点，0C 丄AB ，垂足为D , AB 300m, CD 50m,则这段弯路 的半径是 m 3错误！未指定书签。?如图，AB 为O O 的直径，点 C , D 在O O 上, BAC 50°，则 ADC 4错误！未指定书签。?如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为 1的O O 的圆 心O 在格点上，则/ AED 的正切值等于 5错误!未指定书签。. 若O 为ABC 的外 心 D C, I ■ ■ BOC 60 ,则 BAC 6错误！未指定书签。? 使吨AB, PC 切 C 如图，AB 为半圆 半圆O 于点C, O 的直径，延长AB 到点P, 点D 是 A C 上和点C 不重 合 的一点，贝y D 的度数为 7错误！未指定书签。 .如图, 在 Rt A ABC 中, BAC 90o , BC 6，点D 为BC 中点, 将厶ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转120° 得到△ ABD ，则点 D 在旋转过程中所经过 的路程为 ?（结果保留 ） 晶，点O 是这段弧的 第1题 2错误!未指定书签。

9错误！未指定书签。?矩形ABCD 勺边 AB=8, AD=6，现将矩形 ABCD 放在直线l 上且沿着I 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始 的 位置 A 1 B 1 C 1 D 1时（如图所示），则顶点A 所经过的路线长是 __________ . 二、选择题 10错误！未指定书签。?如图，O O 内切于 △ ABC ,切点分别为D , E , F .已 知 B 50° , C 60° ,连结 C,则AB 的长为 O 的位置关系是 为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目， 她打算剪去部分扇形纸片后， 利用剩下的 纸片制作成一个底面半径为 10cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片 的圆心角为（ ）. A 9° B 、18° C 63° D 72 三、解答题 第10题 第11题 12题 第13题 11错误！未指定书签。 .如图，两个同心圆的半径分别为 3cm 和 5cm, 弦AB 与小圆相切于点 40cm Ax -A 1 1 x V 1 OE, OF , DE , DF ，那么 EDF 等于 ( ) A. 40° B. 55° C. 65 D. 70° A. 4cm .5cm C. 6cm .8cm 12错误！未指定书签。 ?如图，在直角坐标系中，O O 的半径为 1，则直线 A.相离 E.相交 C.相切 D. 以上三种情形都有 可能 13错误！未指定书签。 ?现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为 40cm 小红同学

新初中数学圆的经典测试题含答案

新初中数学圆的经典测试题含答案 一、选择题 1．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛只角形(图1)，它是分别以等边三角形的征个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧．三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆． 下列说法中错误的是( ) A ．勒洛三角形是轴对称图形 B ．图1中，点A 到?BC 上任意一点的距离都相等 C ．图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都相等 D ．图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等 【答案】C 【解析】 【分析】 根据轴对称形的定义，可以找到一条直线是的图像左右对着完全重合，则为轴对称图形.鲁列斯曲边三角形有三条对称轴. 鲁列斯曲边三角形可以看成是3个圆心角为60°，半径为DE 的扇形的重叠，根据其特点可以进行判断选项的正误. 【详解】 鲁列斯曲边三角形有三条对称轴，就是等边三角形的各边中线所在的直线，故正确； 点A 到?BC 上任意一点的距离都是DE ，故正确; 勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都不相等，1O 到顶点的距离是到边的中点的距离的2倍，故错误； 鲁列斯曲边三角形的周长=3×60180DE DE ππ?=? ,圆的周长=22 DE DE ππ?=? ,故说法正确. 故选C. 【点睛】 主要考察轴对称图形，弧长的求法即对于新概念的理解． 2．如图，在ABC ?中，90ABC ∠=?，6AB =，点P 是AB 边上的一个动点，以BP 为

高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题.

直线与圆的方程 、直线的方程 已知 L 上两点 P 1（ x 1,y 1） P 2（ x 2,y 2 ） 当 x 1 = x 2 时， =900 ， 不存在。当 0 时， =arctank ， <0 时， = ②任何一个关于 x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。 5、直线系：（1）共点直线系方程： p 0（x 0,y 0）为定值， k 为参数 y-y 0=k （x-x 0） 特别： y=kx+b ，表示过（ 0、 b ）的直线系（不含 y 轴） （ 2）平行直线系：① y=kx+b ，k 为定值， b 为参数。 ② AX+BY+ 入=0 表示与 Ax+By+C=0 平行的直线系 ③ BX-AY+ 入 =0 表示与 AX+BY+C 垂直的直线系 （ 3）过 L 1,L 2交点的直线系 A 1x+B 1y+C 1+入（ A 2X+B 2Y+C 2）=0（不含 L2） 6、三点共线的判定：① AB BC AC ，②K AB =K BC ， ③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。 、两直线的位置关系 k= y 2 y 1 x 2 x 1 20 2 已知 方程 说明 斜截式 K 、b Y=kx+b 不含 y 轴和行平 于 y 轴的直点斜式 P 1=(x 1,y 1) k y-y 1=k(x-x 1) 不含 y 轴和平 行 于 y 轴的直线 两点式 P 1(x 1,y 1) P 2(x 2,y 2) y y 1 x x 1 不含坐标辆和 平行于坐标轴 的直线 y 2 y 1 x 2 x 1 截距式 a 、b xy 1 ab 不含坐标轴、平 行于坐标轴和 过原点的直线 一般式 Ax+by+c=0 A 、 B 不同时为 0 3、截距（略）曲线过原点 横纵截距都为 0。 4、直线方程的几种形式 几种特殊位置的直 线 ①x 轴： y=0 ② y 轴： x=0 ③平行于 x 轴： y=b ④平行于 y 轴： x=a ⑤过原点： y=kx y 的二元一 次方程。 1、倾斜角： 0< < k 0 2 = 不存在 2 +arctank 2、斜

直线与圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．

2018中考复习-圆的基本性质练习题

1、（2017黄冈）已知：如图，在⊙O 中，0 ,70OA BC AOB ⊥∠=，则A D C ∠的度数为（ ） A ． 30° B ． 35° C. 45° D ．70° 解：∵OA ⊥BC ∴⌒BC =⌒AC ∵∠AOB=70° ∴∠ADC=∠AOB=35° 故选：B ． 2、（2017毕节）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ACD=30°，则∠BAD 为（ ） A ．30° B ．50° C ．60° D ．70° 解：连接BD ， ∵∠ACD=30°， ∴∠ABD=30°， ∵AB 为直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠BAD=90°﹣∠ABD=60°． 故选C ．

3、如图，O 为原点，点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，4），⊙D 过A 、B 、O 三点，点C 为⌒ABO 上一点（不与O 、A 两点重合），则cosC 的值为（ ） A ．43 B ．53 C ．34 D ．54 如图，连接AB ， ∵∠AOB=90°，∴AB 为圆的直径， 由圆周角定理，得∠C=∠ABO ， 在Rt △ABO 中，OA=3，OB=4，由勾股定理，得AB=5， 5 4 ． 故选D ． 4、（2016南宁）如图，点A ，B ，C ，P 在⊙O 上，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE =40°，则∠P 的度数为（ ） A ．140° B．70° C．60° D．40° 解：∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE=40°， ∴∠DOE=180°﹣40°=140°， ∴∠P=∠DOE=70°．故选B ．

初中数学圆 经典练习题(含答案)

圆的相关练习题（含答案） 1、已知：弦AB 把圆周分成1：5的两部分，这弦AB 所对应的圆心角的度数为 。 2、如图：在⊙O 中，∠AOB 的度数为1200，则 的长是圆周的 。 3、已知：⊙O 中的半径为4cm ，弦AB 所对的劣弧为圆的3 1，则弦AB 的长为 cm ， AB 的弦心距为 cm 。 4、如图，在⊙O 中，AB ∥CD ， 的度数为450，则∠COD 的度数为 。 5、如图，在三角形ABC 中，∠A=700，⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则 ∠BOC=（ ）。 A ．140° B ．135° C ．130° D ．125° （第2题图） （第4题图） （第5题图） 6、下列语句中，正确的有（ ） (1)相等的圆心角所对的弧相等； (2)平分弦的直径垂直于弦； (3)长度相等的两条弧是等弧； (4) 圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 7、已知：在直径是10的⊙O 中， 的度数是60°，求弦AB 的弦心距。 8、已知：如图，⊙O 中，AB 是直径，CO ⊥AB ，D 是CO 的中点，DE ∥AB ， 求证：

600 9. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？ 10. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。 11. 如图所示，AB 是圆O 的直径，以OA 为直径的圆C 与圆O 的弦AD 相交于点E 。你认为图中有哪些相等的线段？为什么？ 答案：1.60度 2. 3 2 3. 1 3 4 4.90度 5.D 6.A 7.2.5 8.提示：连接OE ，求出角COE 的度数为60度即可 9.略 10.100毫米 11.AC=OC ， OA=OB ， AE=ED B

(完整版)高中数学直线和圆知识点总结

直线和圆 一．直线 1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈ （1）[0,)2π θ∈时，0k ≥； （2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2πθπ∈时，0k < （4）当倾斜角从0?增加到90?时，斜率从0增加到+∞； 当倾斜角从90?增加到180? 时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式：)(00x x k y y -=- （2）斜截式：y kx b =+ （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- （4）截距式：1x y a b += （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式 （1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP = （2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++= 的距离：d = （3）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++= 的距离：d = 4．位置关系 （1）截距式：y kx b =+形式 重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠

垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程 （1）标准形式：222 ()()x a y b R -+-=（0R >） （2）一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->） （3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+??=+? （θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系 （1）点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外 （2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系： 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d = R 的大小关系 当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）；

初中直线与圆的位置关系经典练习题

圆与直线的基本性质 一、定义 [例1]在ABC Rt?中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为什么？ （1）r=2cm； （2）r=2.4cm； （3）r=3cm。 [例2]在ABC ?中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？ [变式题]已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是【】 A．相切B．相离C．相离或相切 D．相切或相交 二、性质 例1：如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于【】A．40°B．50°C．60°D．70°变式1：如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠ACP=【】 A． 30B． 45 C． 60D．67.5 例3：如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠P＝40°，则∠ACB的度数是【】 A．80° B．110° C．120° D．140° 变式2：如图，圆周角∠BAC＝55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交与点P，则∠BPC＝°． 例5：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是．

变式3：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB的长为8cm，则图中阴影部分的面积为cm2．例7：如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N． （1）求证：OM=AN； （2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．变式4：如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF 于点H，交⊙O于点C，连接BD． (1)求证：BD平分∠ABH； (2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离． 三、切线的判定定理： 例1：如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条 切线，CO平分∠ACD．（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AC=2，BC=3，求AB的长．

圆基本性质(竞赛)

1 / 3 圆的基本性质 〖知识点〗圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质 〖大纲要求〗 1． 正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系； 2． 熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。一个 圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一； 3． 熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直径是半径的2倍；直径是 最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系； 4． 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）弧上的 圆周角的2倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 5． 掌握圆内接四边形的性质定理：它沟通了圆内外图形的关系，并能应用它解决有关 问题； 6． 注意：（1）垂径定理及其推论是指：一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦” ③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制），条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；（2）有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角，想垂径定理；想到过它的端点若有切线，则与它垂直，反之，若有垂线则是切线，想到它被圆心所平分；（3）见到四个点在圆上想到有4组相等的同弧所对的圆周角，要想到应用圆内接四边形的性质。 典型例题 1．一个点到圆的最大距离为11cm ，最小距离为5cm,则圆的半径为( ) (A)16cm 或6cm, (B)3cm 或8cm (C)3cm （D ）8cm 2．P ∠与⊙O 交于A ，B ，C ，D 四点，AQ ，CQ 为圆的两条弦，弧BQ 的度数为,42? 弧QD 的度数为,38?求__________=∠+∠Q P 3．如图，⊙O 中直径AB 垂直于弦CD ，若AB=10，CD=6，则BE 的长为________[1] 4．如图，正方形CDEF 的边CD 在半圆O 的直径上，正方形的过长为1，AC=a, BC=b, 在 5)4(;1)3(;5)2(;1)1(22=+==+=-b a ab b a b a ，各式中成立的个数为_______[3] 5。如图,四过形内接于⊙O, AD 为直径, 若?=∠60CBE , 则圆心角=∠AOC ________]120[? 6．BC 为半圆O 的直径, A 、D 为半圆上的两点, AB=3, BC=2, 则∠ D=___________ ]150[?

备战中考数学圆的综合-经典压轴题及答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G． （1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：AG2=AF·AB； （3）若⊙O的直径为10，AC=25，AB=45，求△AFG的面积. 【答案】（1）PA与⊙O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3. 【解析】 试题分析：（1）连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，由圆周角定理，证得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切． （2）连接BG，易证得△AFG∽△AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论. （3）连接BD，由AG2=AF?AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案． 试题解析：解：（1）PA与⊙O相切．理由如下： 如答图1，连接CD， ∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°. ∴∠D+∠CAD=90°. ∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D. ∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA⊥PA. ∵点A在圆上， ∴PA与⊙O相切．

（2）证明：如答图2，连接BG ， ∵AD 为⊙O 的直径，CG ⊥AD ，∴AC AD =.∴∠AGF=∠ABG. ∵∠GAF=∠BAG ，∴△AGF ∽△ABG. ∴AG ：AB=AF ：AG. ∴AG 2=AF?AB. （3）如答图3，连接BD ， ∵AD 是直径，∴∠ABD=90°. ∵AG 2=AF?AB ，55∴5 ∵CG ⊥AD ，∴∠AEF=∠ABD=90°. ∵∠EAF=∠BAD ，∴△AEF ∽△ABD. ∴ AE AF AB AD =545=，解得：AE=2. ∴221EF AF AE = -=. ∵224EG AG AE = -=，∴413FG EG EF =-=-=. ∴1132322 AFG S FG AE ?=??=??=．

直线与圆知识点总结

直线和圆知识点总结 1、直线的倾斜角：（1 ）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 X 轴相交的直线l , 如果把X 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线I 重合时所转的最小正角记为，那么 就叫 做直线的倾斜角。当直线I 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围 0, < 2 一 过点P （ J3,1）,Q （0,m ）的直线的倾斜角的范围 [―,——],那么m 值的范围是 3 3 （答：m 2 或 m 4） 2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线 的斜率k ，即k = tan （ 丰90° ）;倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过 两点R （x 1,yJ 、卩2&2』2）的直线的斜率为 k a （1,k ），直线的方向向量与直线的斜率有何关系? 如（1）两条直线钭率相等是这两条直线平行的一 X 1 X 2 ； （ 3）直线的方向向量 x 1 x 2 （4）应用：证明三点共线： k AB k BC 。 _________ 条件（答：既不充分也不必要）； （2）实数x, y 满足3x 2y 5 0 （ 1 x 3），则上的最大值、最小值分别为 ___________ （答: x （1）点斜式：已知直线过点 （x 0,y 0）斜率为k ，则直线方程为kx b ,它不包括垂直于 x 轴的直线。（3）两点式：已知直 线经过R （X 1,yJ 、卩:化皿）两点，则直线方程为 —―丄 —―生，它不包括垂直于坐 y 2 y 1 X 2 X 1 标轴的直线。（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a,b ,则直线方程为— 1 , a b 它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5） 一般式：任何直线均可写成 Ax By C 0（A,B 不同时为0）的形式。如（1）经过点（2,1）且方向向量为v =（ — 1, . 3 ） 的直线的点斜式方程是 _____________________ （答：y 1 V3（x 2） ） ； （ 2 ）直线 （m 2）x （2 m 1）y （3m 4） 0 ,不管 m 怎样变化恒过点 _______ （答：（1, 2） ）； （3） 若曲线y a | x |与y x a （a 0）有两个公共点，则a 的取值范围是 ____________ （答: a 1） 提醒:（1）直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线， 还 有截距式呢？）； （2）直线在坐标轴上的截距可正、 可负、也可为0.直线两截距相等 直线 的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数 直线的斜率为1或直线过原点；直线 两截距绝对值相等 直线的斜率为 1或直线过原点。 如过点A （1,4），且纵横截距的绝对 值相等的直线共有―条（答：3） 4. 设直线方程的一些常用技巧 ：（1）知直线纵截距b ，常设其方 程为y kx b ； （2） 知直线横截距X 0，常设其方程为x my x °（它不适用于斜率为 0的直线）；（3）知直线过 点 （x °,y °），当斜率k 存在时，常设其方程为 y k （x x 。） y 。，当斜率k 不存在时，则其 方程 如（1）直线xcos .. 3y 2 0的倾斜角的范围是 5 （答：[。，評它，））；（2） 1） 3、直线的方程 y y 。 k （x x 0）,它不包括垂直于 x 轴的直线。（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为 b 和斜率k ，则直线方程为y