方差分析与回归分析
第八章 方差分析与回归分析
一、教材说明
本章内容包括：方差分析,多重比较,方差齐性检验,一元线性回归,一元非线性回归.主要讲述方差分析和一元线性回归两节内容.
1、教学目的与教学要求
(1)了解方差分析的统计模型，掌握平方和的分解，熟悉检验方法和参数估计，会解决简单的实际问题.
（2）了解效应差的置信区间的求法，了解多重比较问题，掌握重复数相等与不相等场合的方法，会解决简单的实际问题.
（3）熟练掌握Hartley 检验，Bartlett 检验以及修正的Bartlett 检验三种检验方法，会解决简单的实际问题.
（4）理解变量间的两类关系，认识一元线性和非线性回归模型，熟悉回归系数的估计方法，熟练掌握回归方程的显著性检验.能用R 软件来进行回归分析，会解决简单的实际问题.
2、本章的重点与难点
本章的重点是平方和的分解，检验方法和参数估计、重复数相等与不相等场合的方法、检验方法的掌握，回归系数的估计方法，回归方程的显著性检验，难点是检验方法和参数估计，重复数相等与不相等场合的方法. 实际问题的检验，回归方程的显著性检验.
二、教学内容
本章共分方差分析,多重比较,方差齐性检验,一元线性回归,一元非线性回归等5节来讲述本章的基本内容.
§8.1 方差分析
教学目的：了解方差分析的统计模型，掌握平方和的分解，熟悉检验方法和参数估计,会
解决简单的实际问题.
教学重点：平方和的分解，检验方法和参数估计 教学难点：检验方法和参数估计
教学内容：
本节包括方差分析问题的提出,单因子方差分析的统计模型,平方和分解,检验方法,参数估计,重复数不等情形.
8.1.1 问题的提出
在实际工作中经常会遇到多个总体均值的比较问题，处理这类问题通常采用方差分析方法.
例8.1.1
8.1.2 单因子方差分析的统计模型
在例8.1.1中，我们只考察一个因子，称为单因子试验.记因子为A ，设其有r 个水平，记为1r A ,
,A ，在每一水平下考察的指标可看做一个总体，故有r 个总体，假定
（1）每一总体均为正态总体，记为2
i i N(,)μσ，i 1,2,,r =；
（2）各总体方差相同，即2
2
2212r σσσσ==
==
（3）每一总体中抽取的样本相互独立，即诸数据ij y 都相互独立 在这三个基本假定下，要检验的假设是
012112::,,,r
r H H μμμμμμ===?
?不全相等 （8.1.1）
如果0H 成立，因子A 的r 个水平均值相同，称因子A 的r 个水平间没有显著差异，简称因子A 不显著；反之，若0H 不成立，因子A 的r 个水平均值不全相同，称因子A 的r 个水平间有显著差异，简称因子A 显著.
在每一水平下各作m 次独立重复试验，若记第i 个水平下第j 次重复的实验结果为ij y ，得到r m ?个实验结果：ij y ,=1,2,
,=1,2,,.i r j m
在水平A i 下的实验结果ij y 与该水平下的均值i μ的差距ij ij =y -i εμ称为随机误差.于是有
ij ij y =+i εμ， （8.1.2）
该式称为实验结果ij y 的数据结构式.
把三个假定用于数据结构式就得到单因子方差分析的统计模型：
ij ij 2
ij y =+,=1,2,,=1,2,,;
(0,)
i i r j m N εμεσ?????诸相互独立，且都服从 （8.1.3） 称诸i μ的平均1=1
11=(+
+)=r
r i i r r μμμμ∑为总均值，第i 水平下均值i μ与总均值的差
=-i i a μμ称为因子A 的第i 水平的主效应，简称为A i 的主效应.则有=1
=0,=+.r
i i i i a a μμ∑
统计模型（8.1.3）可改写为
ij ij =1
2ij
y =+a +,=1,2,,=1,2,,;=0;(0,)i r i i i r j m a N μεεσ???
????∑诸相互独立，且都服从 假设（8.1.1）可改写为
012112:=0
:,,,0r r H a a a H a a a ===?
?不全为.
8.1.3 平方和分解
一 实验数据
在单因子方差分析中可将实验数据列成如下表格形式
因子水平 试验数据 和 平均
1A 11y 12y 1m y 1T 1y
2A 21y 22y 2m y 2T 2
y
r A r1y r2y rm y r T y
r
合计 T y 二 组内偏差与组间偏差
ij ij y -=(y -)+(-)i i y y y y ，记=1i =1i =1=1111=,==m r r m
i i j i i j j j
m r n εεεεε∑∑∑∑，ij y -i y 称为组内偏
差，-i y y 称为组间偏差.
三 偏差平方和及其自由度 在统计学中，把k 个数据1,
,k y y 分别对其均值1=(++)/k y y y k 的偏差平方和
2=1
=(-)k
i i Q y y ∑称为k 个数据的偏差平方和，简称平方和.
由于
=1
(-)=0k
i
i y y ∑，说明在Q 中独立的偏差只有-1k 个，称为该平方和的自由度，记为
f ，=-1.Q f k
四 总平方和分解公式
各ij y 间总的差异大小可用总偏差平方和T S 表示为
211
(),=-1r m
T ij T i j S y y f n ===-∑∑. （8.1.3）
仅由随机误差引起的数据间差异可用组内偏差平方和，也称误差偏差平方和，记为e S ，
211
(),=r(m-1)=n-r.r m
e ij e i i j S y y
f ===-∑∑ （8.1.4）
由效应不同引起的数据差异可用组间偏差平方和表示，也称为因子A 的偏差平方和，
记为A S ，21
(),=-1.r
A A i
i S m
y
y f r ==-∑ （8.1.5）
定理8.1.1 在上述符号下，总平方和T S 可分解为因子平方和.A S 与误差平方和e S 之和，其自由度也有相应分解公式：S =,=+.T A e T A e S S f f f + （8.1.6）
称为总平方和分解式.
8．1.4 检验方法
为了度量一组数据的离散程度，称/Q MS Q f =为均方和.
由均方和的概念，得到/A A A MS S f =，/e e e MS S f =，用/A e F MS MS =作为检验的统计量，为给出检验拒绝域，需要如下定理：
定理8.1.2 在单因子方差分析模型及前述符号下，有
（1）
22
~-),e
s n r χσ
（从而2()=(-)e E S n r σ
(2) 2
2=1
()=(-1)+r
A i i E S r m
a
σ∑,若0H 成立，则有
22
~(1)A
S r χσ
-
（3）A S 与e S 相互独立. 由定理8.1.2知/(,)A e
A e F MS MS F f f = ，从而可得检验的拒绝域为
1{(,)}A e W F F f f α-=≥.
将上述结果列成表格，称为方差分析表
来源 平方和 自由度 均方和 F 比
因子 A S 1A f r =- /A A A MS S f = /A e F MS MS = 误差 e S -e f n r = /e e e MS S f = 总和 T S 1T f n =-
若1(,)A e F F f f α->，则可以认为因子A 显著，即诸正态均值间有显著差异；
若1<(,)A e F F f f α-，则说明因子
A 不显著，即保留原假设0H . 常用偏差平方和的计算公式：
2
2
11
r
m
T ij i j T S y n ===-∑∑
2
211r A i i T S T m n ==-
∑
e T A S S S =-
例8.1.2
8.1.5 参数估计
在检验结果为显著时，可进一步求出总均值μ，各主效应i a 和误差方差2
σ的估计. 一 点估计
总均值μ的估计为?y μ
=； 各水平均值i μ的估计?,1,2,,i i y i r μ
==； 主效应i a 的估计?,1,2,,i i a
y y i r =-=
误差方差2
σ的估计2?/e e e MS S f σ
== 二 置信区间
由定理8.1.2知 2
2
2
~N(,/m),
~),e
i i e s y μσχσ
（f 且两者独立，~t ),i i e f （由
此给出A i 的水平均值i μ的1α-的置信区间是1/2?()i e y t f ασ
-±. 例8.1.3
单因子试验的数据分析可以知道如下三个结果 因子A 是否显著 试验误差方差2
σ的估计
诸水平均值i μ的点估计与区间估计（此项在因子A 不显著时无需进行）
8.1.6 重复数不等情形
1. 数据
设因子A 有r 个水平1r A ,,A ，并且第r 个水平i A 下重复进行i m 次试验，可得如下
数据：
因子水平 重复数 试验数据 和 平均
1A 1m 11y 12y 11m y 1T 1y
2A 2m 21y 22y 22m y 2T 2
y
r A r m r1y r2y r rm y r T r
y
合计 n
T
y
2. 基本假定、平方和分解、方差分析和判断准则都和前面一样，只是因子A 的平方和
A S 的计算公式略有不同：记1
r
i i n m ==∑，则
22
1r
i A i i
T T S m n ==-
∑ 3. 数据结构式及参数估计式基本同前，需要注意下面两点：
（1）总均值1
1r
i i i m n μμ==∑；
（2）主效应约束条件为1
0r
i i
i m a
==∑
类似于8.1.8 有
ij ij =1
2ij
y =+a +,=1,2,,=1,2,,;=0;
(0,)i r i i i i r j m m a N μεεσ???
????∑诸相互独立，且都服从 4 各平方和的计算
记1,=i
m i i ij i j i T T y y m ==∑，=11
,=i
m r ij i j T
T y y n ==∑∑
则2
2
11
,=-1,i
m r
T ij T i j T S y f n n ===-∑∑
22
1,=-1,r
i A A i i
T T S f r m n ==-∑
,=-e T A e S S S f n r =-.
例8.1.4 略
§8.2 多重比较
教学目的：了解效应差的置信区间的求法，了解多重比较问题，掌握重复数相等与不
相等场合的方法，能用R 软件来进行多重比较，会解决简单的实际问题。
教学重点：重复数相等与不相等场合的方法. 教学难点：重复数相等与不相等场合的方法.
教学内容:本节内容包括效应差的置信区间,多重比较问题,重复数相等场合的T 法,重复数不等场合的S 法.
8.2.1 效应差的置信区间
如果方差分析的结果因子A 显著,则认为因子A 的r 个水平的效应不全相同,但就指定的一对水平i A 和j A ,可通过求-i j μμ的区间估计来进行比较,方法如下:
由于 211-~(-,(+))i j i j i j
y y N m m μμσ??,又由定理8.1.2知22~()e e S
f χσ,且两者独
立,故
(-)-(-)()e y y t f μμ,由此给出-i j μμ的置信水平为1-α的置信区间
为
^^
1-1-22
[-(),-()i j e i j e y y t f y y t f αα????, (8.2.1)
2
^=e e
S f σ是2σ的无偏估计. 例8.2.1略
注 (8.2.1)给出的置信区间与第六章中两样本的t 区间基本一致,区别在于这里2
σ的估计使用了全部样本而不仅仅是i A ,j A 两个水平下的观测值.
8.2.2 多重比较问题
对每一组(,)i j (8.2.1)给出的区间置信水平都是1-α,但对于多个这样的区间,要求其同时成立,其联合置信水平就不再是1-α.例如,设1,
,k E E 是k 个随机事件,且有
(E )=1-,=1,,
i P i k α,则其同时发生的概率=1
(E )=1-k n i i P α,即它们同时发生的概率可能比
1-α小很多,为了解决这个问题,常采用多重比较法.
在方差分析中,如果经过 检验拒绝原假设,表明因子A 是显著的,即r 个水平对应的水平均值不全相等,此时,我们还需要进一步确认哪些水平均值间确有差异, 哪些水平均值间无显著差异.
在(>2)r r 个水平均值中同时比较任意两个水平均值间有无明显差异的问题称为多重比较,多重比较即要以显著水平α同时检验如下(-1)/2r r 个假设:
0:=,1 关于假设(8.2.2)的拒绝域应有如下形式: 1<= {-}i j ij i j r W y y c ??≤≤≥ 诸临界值应在(8.2.2)成立时由(W)=P α确定.下面介绍重复数相等和不等时临界值确定的方法. 8.2.3重复数相等场合的T 法 在重复数相等时,由对称性可要求诸ij c 相等,记为c , 记2 ^= e e S f σ,则由条件可得 ^ -~()i i e y t f μσ?,于是当(8.2.2)成立时 , 1===r μ μμ,故有 ^ ^ ^ (-) (-) (W)=P(max -min j i i i i j y y c P μμσσ σ??≥ ,这里 ^ ^ (-) (-) q(r,f )=max -min j i i i e i j y y μμσσ??一般称为t 化极差统计量, q(r,f )e 的分布可由随机模 拟方法得到, q(r,f )e 的1-α分位数1-q (r,f)α 可查表. 重复数相同时的多重比较步骤如下:对给定的显著性水平α,差多重比较的分位数 1-q (r,f)α表,计算^ 1-c=q (r,f)ασ,比较诸-i j y y ??与c 的大小,若-i j y y c ??≥则认为水平 i A ,j A ,有显著差异,反之则认为i A ,j A ,间明显差别.这一方法称为T 法. 例8.2.2 略 8.2.4 重复数不等场合的S 法 在重复数不等时,仍沿用上面的记号,有 (-)-(-)()e y y t f μμ, 在假设(8.2.2)成立时, 1===r μμμ, 于是有-~()ij e y y t t f 或2(-))ij e y y F f 要求=ij c 于是有2^ 1<(W)=P(max F ()i j r ij c P σ ≤≤≥ 由(W)=P α推出2 ^1-()=(-1)(-1,)e c r F r f ασ , 即ij c 例8.2.3 略 §8.3 方差齐性检验 教学目的：熟练掌握Hartley 检验，Bartlett 检验以及修正的Bartlett 检验三种检验方 法，会解决简单的实际问题。 教学重点：检验方法的掌握 教学难点：实际问题的检验 教学内容:本节内容包括Hartley 检验，Bartlett 检验,修正的Bartlett 检验. 在单因子试验中r 个水平的指标可以用r 个正态分布2(,),=1,,i i N i r μσ来表示.在 进行方差分析时要求r 个方差相等,称为方差齐性. 所谓方差齐性检验是对如下一对假设做出检验: 22220121:===:.r i H vsH σσσσ诸不全相等 (8.3.1) 下面分别介绍几个常用的检验: (1) Hartley 检验,仅适用于样本量相等的场合; (2) Bartlett 检验,可用于样本量相等或不等的场合,但每个样本量不得低于5; (3) 修正的Bartlett 检验,在样本量较小或较大,相等或不等场合均可使用. 8.3.1 Hartley 检验 在各水平下试验重复次数相等时,即1= =m =m r m , Hartley 检验提出检验方差相等的检验统计量2221222212max{,,,} =min{,,,} r r s s s H s s s ,在诸方差相等条件下,可通,过随机模拟 法获得 H 分布的分位数,该分布依赖于水平数r 和样本方差的自由度=-1f m ,故可记该分布为,)H （r f . 对给定的显著性水平α,检验0H 的拒绝域为1-={H (r,f)}W H α≥,1-(r,f)H α为H 的 1-α分位数. 例8.3.1 利用Hartley 检验法 8.3.2 Bartlett 检验 在单因子方差分析中有r 个样本,设第i 个样本方差为: 2 j=11=(-)=,=1,2,,-1j m i i ij i i i Q s y y i r m f ? ∑, 误差均方和=1 1=r e i i e MS Q f ∑,12 122 2 12=[(s )(s )(s )] e r f f f f e r GMS ,则e e GMS MS ≤,故 可得检验(8.3.1)的拒绝域为={ln(MS /GMS )>d}e e W ,可以证明,在大样本场合, ln(MS /GMS )e e 的某个函数近似服从自由度为-1r 的2χ分布.故取 2 =1111B=ln(MS /GMS )(-1),C=1+[-] 3(-1)r e e e i i e f r C r f f χ∑,选取 2=1 1 B=[f lnMS -ln ]r e e i i i f s C ∑作为检验统计量,可得显著性水平α下的检验拒绝域为 21-={B (r-1)}W αχ≥. 例8.3.2 应用Bartlett 检验法. 8.3.3 修正的Bartlett 检验 针对样本量低于5时不能使用Bartlett 检验的缺点,提出修正的Bartlett 检验统计量 '21B = (-) f BC f A BC ,其中B C ，如前所示, 21222+1 =-1,=,= (-1)2-+2/f r f r f A C C f ,在原假设成立的条件下, ' B 的近似分布是12(,)F f f ,对给定的显著性水平α,检验(8.3.1)的拒绝域为'1-12={B (f ,f )} W F α≥. 例8.3.3 利用修正的Bartlett 检验法 § 8.4 一元线性回归 教学目的：理解变量间的两类关系，认识一元线性和非线性回归模型，熟悉回归系数的估 计方法，熟练掌握回归方程的显著性检验，会解决简单的实际问题. 教学重点：回归系数的估计方法，回归方程的显著性检验. 教学难点：回归方程的显著性检验. 教学内容：本节内容包括：变量间的两类关系，一元线性回归模型，回归系数的最小二乘 估计，回归方程的显著性检验，估计与预测. 8.4.1 变量间的两类关系 回归分析处理的是变量与变量间的关系，变量间常见的关系有确定性关系与相关关系. 变量间的相关关系不能用完全确切的函数形式表示，但在平均意义下有一定的定量关系表达式，寻找这种定量关系是回归分析的主要任务. 8.4.2 一元线性回归模型 一元回归分析是研究两个变量之间的相关关系的方法.如果两个变量之间的关系是线性的，这就是一元线性回归问题.一元线性回归问题主要分以下三个方面： （1）通过对大量试验数据的分析、处理，得到两个变量之间的经验公式即一元线性回归方程. （2）对经验公式的可信程度进行检验，判断经验公式是否可信. （3）利用已建立的经验公式，进行预测和控制. 设y 与x 间有相关关系，称x 为自变量，y 为因变量，-()=(|)= (|x)dy f x E Y x yp y ∞ ∞ ? 是 y 关于x 的理性回归函数. 进行回归分析首先是回归函数形式的选择，当只有一个变量时，可采用散点图的方法进行选择. 通过试验，可得到x 、y 的若干对实测数据，将这些数据在坐标系中描绘出来，所得到的图叫做散点图. 例8.4.1 由专业知识知道，合金的强度与合金中碳的含量有关，为了生产出强度满足用户需要的合金，在冶炼时如何控制碳的含量，如果在冶炼时得知了碳的含量，如何预测合金的强度？ 为了解决这类问题就需要知道两个变量间的关系.首先是收集数据记为 ,),=1,,i i x y i n （，将每对观察值,)i i x y （在直角坐标系中描出，得散点图，从图可看出，这 些点虽不在一条直线上，但都在一条直线附近.于是，很自然会想到用一条直线来近似地表示x 与y 之间的关系，这条直线的方程就叫做y 关于x 的经验回归函数，简称回归方程.设 这条直线的方程为^ ^ ^ 01=+y x ββ，其图形称为回归直线，给定0x 后^ ^ ^ 0010=+y x ββ称为回归值. 8.4.3 回归系数的最小二乘估计 在一次试验中，取得n 对数据,),i i x y （，其中i y 是随机变量y 对应于i x 的观察值.我们 所要求的直线应该是使所有?|-|i y y 之和最小的一条直线，其中^^^ 01=+i i y x ββ.由于绝对值在处理上比较麻烦，所以用平方和来代替，即要求^ ^ 01,ββ的值使2 011 ?(,)=()n i i i Q y y ββ=-∑最小. 利用多元函数求极值的方法求回归系数^ ^ 01,ββ，得 ^ ^01^1xy xx y x l l βββ?=-??= ?? 其中 11=n i i x x n =∑， y =11=n i i y y n =∑，222111=()=()n n xx i i i i i l x x x x n ==--∑∑∑ 2 2 211=()=()n yy i i i i l y y y y n =--∑∑∑，11 =()()=n n xy i i i i i i l x x y y x y nxy ==---∑∑ 从而得到一元线性回归方程^^^01=+y x ββ . 其中^^ 01,ββ称为参数01,ββ的最小二乘估计，上述方法叫做最小二乘估计法. 例8.4.2 下面给出最小二乘估计的性质. 定理8.4.1 在模型(8.4.5)下,有 (1) 2 2^ ^2 00111~N(,(+)),~N(,)xx xx x n l l σββσββ (2) ^^ 2 01Cov(,)=-xx x l ββσ (3)对给定的0x ,2^ ^ ^ 2 00010010(-)1=+~(+,(+))xx x x y x N x n l ββββσ 8.4.4 回归方程的显著性检验 一般的情况下，给定n 对数组，总能建立一个方程，但是这个方程不一定有意义.若回归方程中10β=，则回归方程变成0,y β=不再与x 有关，此时称回归方程不显著.原假设与备择假设为： 0111:0:0H H ββ=?≠， 为了寻求检验的统计量.我们把总体平方和分解，令^ ^ 01i i y x ββ=+称为回归值. 2 2 2 1 1 1 ()()() n n n T i i i i i i i S y y y y y y ==== -=-+-∑∑∑ 令 2 1 () ,n i i e i y y S =-=∑称为残差平方和. 2 1 () n i R i y y S =-=∑称为回归平方和.则 2 21 1 ()()=+n n T i i i e R i i S y y y y S S ===-+-∑∑. 再来分析它们的分布， ),1(~) (22 1 2 --∑=n y y n i i χσ 若能求出 2 1 2 ) (σ ∑=-n i i i y y 的自由度， 则 2 1 2 )(σ ∑=-n i y y 的自由度也就知道了. 为了求 2 1 2 )(σ ∑=-n i i i y y 的自由度，只要求出 2 1 )(i n i i y y -∑=的数学期望就可. 由于 2 ^2 2 11 1 2222112 ()=(())(())() (1)(2)n n R i i i xx i i xx xx E S E y y E y y E l n l l n βσβσβσ==-=--=-+--=-∑∑ 可知 22 ~(2)e S n χσ- 因此， 22 ~(1),R S χσ 又记为 2222 2 2 ~(1), ~(1), ~(2),e T R S S S n n χχχσσσ-- 在0H 成立的条件下，检验统计量 ~(1,2)(2) R e S F F n S n =-- 拒绝域为 1{(1,2)}F F n α-≥- 8.4.5 估计与预测 在求出随机变量y 与变量x 的一元线性回归方程，并通过相关性检验后，便能用回归方 程进行估计和预测. 对给定的0=x x ，寻求均值0010()=+E y x ββ的点估计和区间估计,这是估计问题. 对给定的0=x x ，利用区间估计的方法求出0y 一个置信区间,使0y 落在这个区间内的概率为1-α,这是预测问题. 一 0()E y 的估计 对给定的0=x x ，其对应的0y 是一个随机变量,均值为0010()= +E y x ββ,用^ ^ ^ 0100()=+E y x ββ作为0y 的估计值,记为^ 0y ,则^ 0y 是0()E y 的无偏估计. 又由于2^^^ 200010010(-)1=+~(+,(+))xx x x y x N x n l ββββσ,2 2~(2),e S n χσ-且与^ 0y 相 互独立, 故 ^ (-2)t n ,得到0()E y 的1-α置信区间 为 ^ ^ ^ 000001-2 [-,+],=(-2)y y t n αδδδσ 二 0y 的预测区间 上面讨论了0=x x 时对应的应变量的均值0()E y 的区间估计,下面讨论0y 的预测区间. 记00=E(y )+y ε,假定2 ~(0,)N εσ,设^ ^ 00[-,+],y y δδ作为0y 的取值范围.下面来确定 δ 的值 .由于 0y 与 ^ y 独立, 2 ^ 2000(-) 1y -~(0,[1++]) xx x x y N n l σ , ^ , 从 而 得 到 ^ 01-2=)=(-2)x t n αδδσ（例8.4.4 例8.4.5 第九章 方差分析与回归分析习题参考答案 1. 为研究不同品种对某种果树产量的影响，进行试验，得试验结果（产量）如下表，试分析果树品种对产量是否有显着影响. （0.05(2,9) 4.26F =，0.01(2,9) 8.02F =） 34 2 11 1310ij i j x ===∑∑ 解：r=3, 12444n n 321=++=++=n n , T=120 ,120012 1202 2===n T C 3 4 2 211 131********(1)1110110T ij T i j SS x C S n s ===-=-==-=?=∑∑或S 322.1112721200724(31)429724A i A A i SS T C S s ==-=-==-=??=∑或S 3872110=-=-=A T e SS SS SS 计算统计值722 8.53, 389 A A A e e SS f F SS f = =≈…… 方差分析表 结论:由于0.018.53(2,9)8.02, A F F ≈>=故果树品种对产量有特别显着影响. 2. ..180x = 43 2 11 2804ij i j x ===∑∑ 解：22..4,3,12,180122700l m n lm C x n ======= 43 2211 28042700104(1)119.45 104T ij T i j S x C S n s ===-=-==-=?≈∑∑&&或 422 .1 12790270090(1)331090 3A i A A i S x C S m l s ==-=-==-≈??=∑或322 .1 12710.5270010.5(1)8 1.312510.5 4B j B B j S x C S l m s ==-=-==-≈?=∑或1049010.5 3.5e T A B S S S S =--=--= 计算统计值90310.52 51.43,93.56 3.56 A A B B A B e e e e S f S f F F S f S f = =≈==≈ 结论: 由以上方差分析知，进器对火箭的射程有特别显着影响；燃料对火箭的射程有显着影响. 31,58,147,112,410.5,i i i i i i x y x y x y =====（1）求需求量Y 与价格x 之间 的线性回归方程； （2）计算样本相关系数； （3）用F 检验法作线性回归关系显着性检验. ??? ? ??====56.10)9,1(,26.11)8,1(12.5)9,1(,32.5)8,1(01.001.005.005.0F F F F 解：引入记号 10, 3.1, 5.8n x y === ()()14710 3.1 5.832.8xy i i i i l x x y y x y nx y =--=-=-??=-∑∑ 2 222()11210 3.115.9xx i i l x x x nx =-=-=-?=∑∑ 22 ()(1)9 1.766715.9xx i x l x x n s =-=-≈?≈∑或 2 222()410.510 5.874.1yy i i l y y y ny =-=-=-?=∑∑ 22()(1)98.233374.1yy i y l y y n s =-=-≈?≈∑或 ?(1) b Q 32.8??2.06, 5.8 2.06 3.112.1915.9xy xx l a y bx l -==≈-=-≈+?≈ ∴需求量Y 与价格x 之间的线性回归方程为 ?y ??12.19 2.06a bx x =+≈- 第九章 回归分析 教学要求 1．一元线性回归及线性相关显著性的检验法，利用线性回归方程进行预测。 2．可线性化的非线性回归问题及简单的多元线性回归。 ? 本章重点：理解线性模型，回归模型的概念，掌握线性模型中参数估计的最小二乘法估计法。 ? 教学手段：讲练结合 ? 课时分配：6课时 §9.1 一元线性回归 回归分析是研究变量之间相关关系的一种统计推断法。 例如，人的血压y 与年龄x 有关，这里x 是一个普通变量，y 是随机变量。Y 与x 之间的相依关系f(x)受随机误差ε的干扰使之不能完全确定，故可设有： ε+=)(x f y （9.1） 式中f(x)称作回归函数，ε为随机误差或随机干扰，它是一个分布与x 无关的随机变量，我们常假定它是均值为0的正态变量。为估计未知的回归函数f(x)，我们通过n 次独立观测，得x 与y 的n 对实测数据(x i ,y i )i=1,……,n ，对f(x)作估计。 实际中常遇到的是多个自变量的情形。 例如 在考察某化学反应时，发现反应速度y 与催化剂用量x 1,反应温度x 2,所加压力x 3等等多种因素有关。这里x 1,x 2,……都是可控制的普通变量，y 是随机变量，y 与诸x i 间的依存关系受随机干扰和随机误差的影响，使之不能完全确定，故可假设有： ε+=),,,(21k x x x f y Λ (9.2) 这里ε是不可观察的随机误差，它是分布与x 1,……,x k 无关的随机变量，一般设其均值为0，这里的多元函数f(x 1,……,x k )称为回归函数，为了估计未知的回归函数，同样可作n 次独立观察，基于观测值去估计f(x 1,……,x k )。 以下的讨论中我们总称自变量x 1,x 2,……,x k 为控制变量，y 为响应变量，不难想象，如对回归函数f(x 1,……,x k )的形式不作任何假设，问题过于一般，将难以处理，所以本章将主要讨论y 和控制变量x 1,x 2,……,x k 呈现线性相关关系的情形，即假定 f(x 1,……,x k )=b 0+b 1x 1+……+b k x k 。 并称由它确定的模型 (9.1) (k=1)及(9.2)为线性回归模型，对于线性回归模型，估计回归函数f(x 1,……,x k )就转化为估计系数b 0、b i (i=1,……,k) 。 当线性回归模型只有一个控制变量时，称为一元线性回归模型，有多个控制变量时称为多元线性回归模型，本着由浅入深的原则，我们重点讨论一元的，在此基础上简单介绍多元的。 §9.1.1 一元线性回归 一、一元线性回归的数学模型 一、方差分析和回归分析的区别与联系？（以双变量为例） 联系： 1、概念上的相似性 回归分析是为了分析变量间的因果关系，研究自变量X取不同值时，因变量平均值丫的变化。运用回归分析方法，可以从变量的总偏差平方和中分解出已被自变量解释掉的误差（解释掉误差）和未被解释掉的误差（剩余误差）； 方差分析是为了分析或检验总体间的均值是否有所不同。通过对样本中自变量X取不同值时 所对应的因变量丫均值的比较，推论到总体变量间是否存在关系。运用方差分析，也可以从变量的总离差平方和中分解出已被自变量解释掉的误差和未被自变量解释掉的误差。因此两种分析在概念上所具有的相似性是显而易见的。 2、统计分析步骤的相似性 回归分析在确定自变量X是否为因变量丫的影响因素时，从分析步骤上先对X和丫进行相关分析，然后建立变量间的回归模型。最后再进行参数的统计显着性检验或对回归模型的统计显着性进行检验。 方差分析在确定X是否是丫的影响因素时，是先从样本所的数据的分析入手，然后考察数据模型，最后对样本均值是否相等进行显着性检验。二者在分析步骤上也具有相似性。 3、假设条件具有一定的相似性 回归分析有五个基本假定，分别是：自变量可以是随机变量也可以是非随机变量；X与丫之 间存在的非确定性的相关关系，要求丫的所有子总体，其方差都相等；子总体均值在一条直线上；随机变量丫是统计独立的，即丫1的数值不影响丫2的数值，各丫值之间都没有关系；丫值的每一个子总体都满足正态分布。 方差分析的基本假定有：等方差性（总体中自变量的每一取值所对应因变量丫的分布都具有 相同方差）；丫的分布为正态分布。 二者在假设条件上存在着相同。 4、在总离差平方和中的分解形式和逻辑上的相似性 回归分析中，TSS=RSS+RS,S而在方差分析中，TSS=RSS+BS二者均是以已解释掉的误差与未被解释掉的误差之和为总离差平方和。 5、确定影响因素上的相似性 为简化分析起见，我们假设只有一个自变量X影响因变量丫。在回归分析中，要确定X是否是丫的影响因素，就要看当X已知时，对丫的总偏差有无影响。如果X不是影响丫的因素，等同于只 知变数丫的数据列一样,此时用丫去估计每个丫的值,所犯的错误（即偏差）为最小。如果因素X 是影响丫的因素，那么当已知X值后 6、在统计显着性检验上具有相似性 回归分析的总显着性检验，是一种用R2测量回归的全部解释功效的检验。检验RSSR*（N-2） /RS,S 方差分析的显着性检验是一种根据样本数据提取信息所进行的显着性检验。它也是通过F 检 验进行的。 区别： 1、研究变量的分析点不同 回归分析法既研究变量丫又研究变量X并在此基础上集中研究变量丫与X的函数关系，得到的是在不独立的情况下自变量与因变量之间的更加精确的回归函数式,也即判断相关关系的类 型，因此需建立模型并估计参数。方差分析法集中研究变量丫的值及其变差而变量X值仅用 来把丫值划分为子群或组，得到的是自变量（因素）对总量Y是否具有显着影响的整体判断，因 项目八假设检验、回归分析与方差分析 实验3 方差分析 实验目的学习利用Mathematica求单因素方差分析的方法. 基本命令 1.调用线性回归软件包的命令< 中,向量Y是因变量,也称作响应变量.矩阵X称作设计矩阵, ?是参数向量??是误差向量? ????????DesignedRegress也是作一元和多元线性回归的命令, 它的应用范围更广些. 其格式与命令Regress的格式略有不同: DesignedRegress[设计矩阵X,因变量Y的值集合, RegressionReport ->{选项1, 选项2, 选项3,…}] RegressionReport(回归报告)可以包含:ParameterCITable(参数?的置信区间表???? ?PredictedResponse (因变量的预测值), MeanPredictionCITable(均值的预测区间), FitResiduals(拟合的残差), SummaryReport(总结性报告)等, 但不含BestFit. 实验准备—将方差分析问题纳入线性回归问题 在线性回归中, 把总的平方和分解为回归平方和与误差平方和之和, 并在输出中给出了方差分析表. 而在方差分析问题 中, 也把总的平方和分解为模型平方和与误差平方和之和, 其方法与线性回归中的方法相同. 因此只要把方差分析问题转化为线性模型的问题, 就可以利用线性回归中的设计回归命令DesignedRegress 做方差分析. 单因素试验方差分析的模型是 ?? ? ??==+=. ,,2,1;,,2,1,),,0(~,2s j n i N Y j ij ij ij j ij ΛΛ独立各εσεεμ (3.1) 上式也可改写成 ?? ? ??===+-+==+=.,,2,1;,,2,1,),,0(~; ,,3,2,)(, ,,2,1,2111111s j n i N s j Y n i Y j ij ij ij j ij i i ΛΛΛΛ独立各εσεεμμμεμ (3.2) 给定具体数据后, 还可(2.2)式写成线性模型的形式: 一元线性回归分析及方差分析与显著性检验 某位移传感器的位移x 与输出电压y 的一组观测值如下：（单位略） 设x 无误差，求y 对x 的线性关系式，并进行方差分析与显著性检验。 （附：F 0。10(1，4)=4.54，F 0。05(1，4)=7.71，F 0。01(1，4)=21.2） 回归分析是研究变量之间相关关系的一种统计推断法。 一． 一元线性回归的数学模型 在一元线性回归中，有两个变量，其中 x 是可观测、可控制的普通变量，常称它为自变量或控制变量，y 为随机变量，常称其为因变量或响应变量。通过散点图或计算相关系数判定y 与x 之间存在着显著的线性相关关系，即y 与x 之间存在如下关系： y =a +b ?x +ε (1) 通常认为ε~N (0,δ2)且假设δ2与x 无关。将观测数据(x i ,y i ) (i=1，……，n)代入(1)再注意样本为简单随机样本得： {y i =a +b ?x i +εi ε1?εn 独立同分布N (0,σ2) (2) 称(1)或(2)(又称为数据结构式)所确定的模型为一元(正态)线性回归模型。 对其进行统计分析称为一元线性回归分析。 模型(2)中 EY= a +b ?x ，若记 y=E(Y),则 y=a+bx,就是所谓的一元线性回归方程，其图象就是回归直线，b 为回归系数，a 称为回归常数，有时也通称 a 、b 为回归系数。 设得到的回归方程 bx b y +=0? 残差方程为N t bx b y y y v t t t i ,,2,1,?0Λ=--=-= 根据最小二乘原理可求得回归系数b 0和b 。 对照第五章最小二乘法的矩阵形式，令 ?????? ? ??=??? ? ??=??? ???? ??=??????? ??=N N N v v v V b b b x x x X y y y Y M M M M 2102121?111 则误差方程的矩阵形式为 V b X Y =-? 对照X A L V ?-=，设测得值 t y 的精度相等，则有 《统计学》实验五 一、实验名称：方差分析 二、实验日期： 2010年12月3日 三、实验地点：经济管理系实验室 四、实验目的和要求 目的：培养学生利用EXCEL进行数据处理的能力，熟练掌握利用EXCEL 进行方差分析，对方差分析结果进行分析 要求：就本专业相关问题收集一定数量的数据，用EXCEL进行方差分析 五、实验仪器、设备和材料：个人电脑（人/台），EXCEL 软件 六、实验过程 （一）问题与数据 消费者与产品生产者、销售者或服务的提供者之间经常发生纠纷。当分生纠纷后，消费者常常会向消费者协会投诉。为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的企业作为样本。其中零售业抽取7家、旅游业抽取6家、航空公司抽取5家、家电制造业抽取5家。具体数据如下： 取显著性水平α=0.05，检验行业不同是否会导致消费者投诉的显著性差异？（二）实验步骤 1、进行假设 2、将数据拷贝到EXCEL表格中 3、选择“工具——数据分析——单因素方差分析”，得到如下结果： （三）实验结果分析：由以上结果可知：F>F crit=3.4066或P-value=0.0387657<0.05,拒绝原假设，表明行业对消费者投诉有着显著差异。 实验心得体会 在这学习之前我们只学习了简单的方差计算，现在运用计算机进行方差分析，可以做出更多的比较。通过使用计算机可以很快的计算出组间和组内的各种数值，便于我们进行比较分析。 《统计学》实验六 一、实验名称：相关分析与回归分析 二、实验日期： 2010年12月3日 三、实验地点：经济管理系实验室 四、实验目的和要求 目的：培养学生利用EXCEL进行数据处理的能力，熟练掌握EXCEL绘制散点图，计算相关系数，拟合线性回归方程，拟合简单的非线性回归方程，利用回归方程进行预测。 要求：就本专业相关问题收集一定数量的数据，用EXCEL进行相关回归分析（计算相关系数，一元线性回归分析，一元线性回归预测） 五、实验仪器、设备和材料：个人电脑（人/台），EXCEL 软件 六、实验过程 （一）问题与数据 10个学生每天用于学习英语的时间和期末考试的成绩的数据如下表所示。要求， (1)绘制学习英语的时间和期末考试的成绩的散点图，判断2者之间的关系 形态 (2)计算学习英语的时间和期末考试的成绩的线性相关系数 （3）用学习英语的时间作自变量，期末考试成绩作因变量，求出估计的回归方程。 （4）求每天学习英语的时间为150分钟时，销售额95%的置信区间和预测区间。 学生时间（分钟）成绩（分） A 120 85 B 60 65 C 100 76 D 70 71 E 80 74 F 60 65 G 30 54 H 40 60 I 50 62 第章方差分析与回归分 析习题答案 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT 第九章 方差分析与回归分析习题参考答案 1. 为研究不同品种对某种果树产量的影响，进行试验，得试验结果（产量）如下表，试分析果树品种对产量是否有显着影响. （0.05(2,9) 4.26F =，0.01(2,9)8.02F =） 解：r=3, 12444n n 321=++=++=n n , T=120 ,120012 1202 2===n T C 计算统计值?722 8.53, 389 A A A e e SS f F SS f = =≈…… 方差分析表 结论:由于0.018.53(2,9)8.02, A F F ≈>=故果树品种对产量有特别显着影响. 2. 2700= 10.52 3.56 =≈结论: 由以上方差分析知，进器对火箭的射程有特别显着影响；燃料对火箭的射程有显着影响. 3．为了研究某商品的需求量Y 与价格x 之间的关系，收集到下列10对数据： 31 ,58,147,112,410.5,i i i i i i x y x y x y =====（1）求 需求量Y 与价格x 之间的线性回归方程； （2）计算样本相关系数； （3）用F 检验法作线性回归关系显着性检验. 解：引入记号 10, 3.1, 5.8n x y === ∴需求量Y 与价格x 之间的线性回归方程为 （2）样本相关系数 32.8 0.955634.3248l r -== ≈≈- 在0H 成立的条件下，取统计量(2)~(1,2)R e n S F F n S -= - 计算统计值 2 2(32.8)15.967.66, 74.167.66 6.44 R xy xx e yy R S l l S l S ==-≈=-≈-= 故需求量Y 与价格x 之间的线性回归关系特别显着. 4. 随机调查10个城市居民的家庭平均收入(x)与电器用电支出(y)情况得数据（单位：千元）如下: (1) 求电器用电支出y 与家庭平均收入x 之间的线性回归方程； (2) 计算样本相关系数； (3) 作线性回归关系显着性检验; (4) 若线性回归关系显着,求x =25时, y 的置信度为的预测区间. 解：引入记号 10,27, 1.9n x y === ∴电器用电支出y 与家庭平均收入x 之间的线性回归方程为 （2）样本相关系数 0.9845l r == ≈ 在0H 成立的条件下，取统计量(2)~(1,2)R n S F F n S -= -e 计算统计值 2 243.6354 5.37, 5.54 5.370.17 xy xx yy s l l s l s ==≈=-≈-=R e R 故家庭电器用电支出y 与家庭平均收入x 之间的线性回归关系特别显着. 相关系数检验法 0 1:0;:0H R H R =≠ 故家庭电器用电支出y 与家庭平均收入x 之间的线性回归关系特别显着. (4) 因为0x x =处,0y 的置信度为1α-的预测区间为 方差分析与回归分析 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 第八章 方差分析与回归分析 §1 单因素试验的方差分析 试验指标：研究对象的某种特征。 例 各人的收入。 因素：与试验指标相关的条件。 例 各人的学历，专业，工作经历等与工资有关的特征。 因素水平：因素所在的状态 例 学历是因素，而高中，大学，研究生等，就是学历因素水平；数学，物理等就是专业的水平。 问题：各因素水平对试验指标有无显着的差异 单因素试验方差分析模型 假设 1）影响试验指标的因素只有一个，为A ，其水平有r 个：1,,r A A ； 2）每个水平i A 下，试验指标是一个总体i X 。各个总体的抽样过程是独立的。 3）2~(,)i i i X N μσ，且22i j σσ=。 问题：分析水平对指标的影响是否相同 1）对每个总体抽样得到样本{,1}ij i X j n ≤≤，由其检验假设： 原假设0:i j H μμ=，,i j ?；备选假设：1:i j H μμ≠，,i j ?； 2）如果拒绝原假设，则对未知参数21,,,r μμσ进行参数估计。 注 1）接受假设即认为：各个水平之间没有显着差异，反之则有显着差异。 2）在水平只有两个时，问题就是双正态总体的均值假设检验问题和参数估计问题。 检验方法 数据结构式：ij i ij i ij X μεμδε=+=++，偏差2~(0,)ij N εσ是相互独立的， 11r i i i n n μμ==∑。不难验证，1 0r i k δ==∑。 各类样本均值 水平i A 的样本均值：1 1i n i ij j i X X n == ∑； 水平总样本均值：11111i n r r ij i i i j i X X n X n n =====∑∑∑，1 r i i n n ==∑； 偏差平方和与效应 方差分析和回归分析的区 别与联系 Prepared on 22 November 2020 一、方差分析和回归分析的区别与联系（以双变量为例） 联系： 1、概念上的相似性 回归分析是为了分析变量间的因果关系，研究自变量X取不同值时，因变量平均值Y的变化。运用回归分析方法，可以从变量的总偏差平方和中分解出已被自变量解释掉的误差（解释掉误差）和未被解释掉的误差（剩余误差）； 方差分析是为了分析或检验总体间的均值是否有所不同。通过对样本中自变量X取不同值时所对应的因变量Y均值的比较，推论到总体变量间是否存在关系。运用方差分析，也可以从变量的总离差平方和中分解出已被自变量解释掉的误差和未被自变量解释掉的误差。因此两种分析在概念上所具有的相似性是显而易见的。 2、统计分析步骤的相似性 回归分析在确定自变量X是否为因变量Y的影响因素时，从分析步骤上先对X 和Y进行相关分析，然后建立变量间的回归模型。最后再进行参数的统计显着性检验或对回归模型的统计显着性进行检验。 方差分析在确定X是否是Y的影响因素时，是先从样本所的数据的分析入手，然后考察数据模型，最后对样本均值是否相等进行显着性检验。二者在分析步骤上也具有相似性。 3、假设条件具有一定的相似性 回归分析有五个基本假定，分别是：自变量可以是随机变量也可以是非随机变量；X与Y之间存在的非确定性的相关关系，要求Y的所有子总体，其方差都相等；子总体均值在一条直线上；随机变量Y i是统计独立的，即Y1的数值不 影响Y2的数值，各Y值之间都没有关系；Y值的每一个子总体都满足正态分布。 方差分析的基本假定有：等方差性（总体中自变量的每一取值所对应因变量Y i 的分布都具有相同方差）；Y i的分布为正态分布。 二者在假设条件上存在着相同。 4、在总离差平方和中的分解形式和逻辑上的相似性 回归分析中，TSS=RSS+RSSR，而在方差分析中，TSS=RSS+BSS。二者均是以已解释掉的误差与未被解释掉的误差之和为总离差平方和。 5、确定影响因素上的相似性 为简化分析起见,我们假设只有一个自变量X影响因变量Y。在回归分析中,要确定X是否是Y的影响因素,就要看当X已知时,对Y的总偏差有无影响。如果X不是影响Y的因素,等同于只知变数Y的数据列一样,此时用Y去估计每个丫的值,所犯的错误(即偏差)为最小。如果因素X是影响Y的因素,那么当已知X 值后 6、在统计显着性检验上具有相似性 回归分析的总显着性检验,是一种用R2测量回归的全部解释功效的检验。检验RSSR*(N-2)/RSS， 方差分析的显着性检验是一种根据样本数据提取信息所进行的显着性检验。它也是通过F检验进行的。 区别： 1、研究变量的分析点不同 第八章 方差分析与回归分析 一、教材说明 本章内容包括：方差分析,多重比较,方差齐性检验,一元线性回归,一元非线性回归.主要讲述方差分析和一元线性回归两节内容. 1、教学目的与教学要求 (1)了解方差分析的统计模型，掌握平方和的分解，熟悉检验方法和参数估计，会解决简单的实际问题. （2）了解效应差的置信区间的求法，了解多重比较问题，掌握重复数相等与不相等场合的方法，会解决简单的实际问题. （3）熟练掌握Hartley 检验，Bartlett 检验以及修正的Bartlett 检验三种检验方法，会解决简单的实际问题. （4）理解变量间的两类关系，认识一元线性和非线性回归模型，熟悉回归系数的估计方法，熟练掌握回归方程的显著性检验.能用R 软件来进行回归分析，会解决简单的实际问题. 2、本章的重点与难点 本章的重点是平方和的分解，检验方法和参数估计、重复数相等与不相等场合的方法、检验方法的掌握，回归系数的估计方法，回归方程的显著性检验，难点是检验方法和参数估计，重复数相等与不相等场合的方法. 实际问题的检验，回归方程的显著性检验. 二、教学内容 本章共分方差分析,多重比较,方差齐性检验,一元线性回归,一元非线性回归等5节来讲述本章的基本内容. § 方差分析 教学目的：了解方差分析的统计模型，掌握平方和的分解，熟悉检验方法和参数估计,会 解决简单的实际问题. 教学重点：平方和的分解，检验方法和参数估计 教学难点：检验方法和参数估计 教学内容： 本节包括方差分析问题的提出,单因子方差分析的统计模型,平方和分解,检验方法,参数估计,重复数不等情形. 问题的提出 在实际工作中经常会遇到多个总体均值的比较问题，处理这类问题通常采用方差分析方法. 例 单因子方差分析的统计模型 在例中，我们只考察一个因子，称为单因子试验.记因子为A ，设其有r 个水平，记为 1r A , ,A ，在每一水平下考察的指标可看做一个总体，故有r 个总体，假定 （1）每一总体均为正态总体，记为2 i i N(,)μσ，i 1,2,,r =； （2）各总体方差相同，即22 2212r σσσσ== == 方差分析及回归分析 Revised as of 23 November 2020 第九章 回归分析 教学要求 1．一元线性回归及线性相关显着性的检验法，利用线性回归方程进行预测。 2．可线性化的非线性回归问题及简单的多元线性回归。 ?本章重点：理解线性模型，回归模型的概念，掌握线性模型中参数估计的最小二乘法估计法。 ?教学手段：讲练结合 ?课时分配：6课时 § 一元线性回归 回归分析是研究变量之间相关关系的一种统计推断法。 例如，人的血压y 与年龄x 有关，这里x 是一个普通变量，y 是随机变量。Y 与x 之间的相依关系f(x)受随机误差ε的干扰使之不能完全确定，故可设有： ε+=)(x f y （） 式中f(x)称作回归函数，ε为随机误差或随机干扰，它是一个分布与x 无关的随机变量，我们常假定它是均值为0的正态变量。为估计未知的回归函数f(x)，我们通过n 次独立观测，得x 与y 的n 对实测数据(x i ,y i )i=1,……,n ，对f(x)作估计。 实际中常遇到的是多个自变量的情形。 例如 在考察某化学反应时，发现反应速度y 与催化剂用量x 1,反应温度x 2,所加压力x 3等等多种因素有关。这里x 1,x 2,……都是可控制的普通变量，y 是随机变量，y 与诸x i 间的依存关系受随机干扰和随机误差的影响，使之不能完全确定，故可假设有： ε+=),,,(21k x x x f y 这里ε是不可观察的随机误差，它是分布与x 1,……,x k 无关的随机变量，一般设其均值为0，这里的多元函数f(x 1,……,x k )称为回归函数，为了估计未知的回归函数，同样可作n 次独立观察，基于观测值去估计f(x 1,……,x k )。 以下的讨论中我们总称自变量x 1,x 2,……,x k 为控制变量，y 为响应变量，不难想象，如对回归函数f(x 1,……,x k )的形式不作任何假设，问题过于一般，将难以处理，所以本章将主要讨论y 和控制变量x 1,x 2,……,x k 呈现线性相关关系的情形，即假定 f(x 1,……,x k )=b 0+b 1x 1+……+b k x k 。 并称由它确定的模型 (k=1)及为线性回归模型，对于线性回归模型，估计回归函数f(x 1,……,x k )就转化为估计系数b 0、b i (i=1,……,k) 。 当线性回归模型只有一个控制变量时，称为一元线性回归模型，有多个控制变量时称为多元线性回归模型，本着由浅入深的原则，我们重点讨论一元的，在此基础上简单介绍多元的。 1 线性回归 1.1 原理分析 要研究最大积雪深度x与灌溉面积y之间的关系，测试得到近10年的数据如下表： 使用线性回归的方法可以估计x与y之间的线性关系。 线性回归方程式： 对应的估计方程式为 线性回归完成的任务是，依据观测数据集(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)使用线性拟合估计回归方程中的参数a和b。a,b都为估计结果，原方程中的真实值一般用α和β表示。 为什么要做这种拟合呢？ 答案是：为了预测。比如根据前期的股票数据拟合得到股票的变化趋势（当然股票的变化可就不是这么简单的线性关系了）。 线性回归的拟合过程使用最小二乘法， 最小二乘法的原理是：选择a,b的值，使得残差的平方和最小。 为什么是平方和最小，不是绝对值的和？答案是，绝对值也可以，但是，绝对值进行代数运算没有平方那样的方便，4次方又显得太复杂，数学中这种“转化化归”的思路表现得是那么的优美！ 残差平方和Q， 求最小，方法有很多。代数方法是求导，还有一些运筹学优化的方法（梯度下降、牛顿法），这里只需要使用求导就OK了， 为表示方便，引入一些符号， 最终估计参数a与b的结果是： 自此，针对前面的例子，只要将观测数据带入上面表达式即可计算得到拟合之后的a和b。不妨试一试？ 从线性函数的角度，b表示的拟合直线的斜率，不考虑数学的严谨性，从应用的角度，结果的b可以看成是离散点的斜率，表示变化趋势，b的绝对值越大，表示数据的变化越快。 线性回归的估计方法存在误差，误差的大小通过Q衡量。 1.2 误差分析 考虑获取观测数据的实验中存在其它的影响因素，将这些因素全部考虑到 e~N(0,δ^2)中，回归方程重写为 y = a + bx + e 由此计算估计量a与b的方差结果为， a与b的方差不仅与δ和x的波动大小有关，而且还与观察数据的个数有关。在设计观测实验时，x的取值越分散，估计ab的误差就越小，数据量越大，估计量b的效果越好。这也许能为设计实验搜集数据提供某些指导。 1.3 拟合优度检验及统计量 拟合优度检验模型对样本观测值的拟合程度，其方法是构造一个可以表征拟合程度的指标，称为统计量，统计量是样本的函数。从检验对象中计算出该统计量的数值，然后与某一标准进行比较，得出检验结论。 这是又会问了，最小二乘法不是保证了模型最好的拟合样本观测值了吗？为什么还要检验拟合程度？ 最小二乘法保证的是同一个样本集使用最小二乘法拟合程度最好，而拟合优度检验结果表示的是多个不同样本集各自进行拟合后对拟合效果的比较。比如，下面的直线方程都是使用最小二乘法拟合的结果，但二者对样本观测值的拟合程度显然不同。 为构造统计量，先定义三个表达式： 通过推倒可以发现： 试验 结果 燃料B B ! B 2 B 3 推 进 器 A A 14 13 12 39 13 A 18 16 14 48 16 A 13 12 11 36 12 A 20 18 19 57 19 65 59 56 180 16.25 14.75 14 15 F A 方差来源 平方和 自由度 4,m 3, n S A f A S e f e Im 90 3 3.5 临界值 12,C x . 51.43, F B 显著性 1802 12 S B f B S e 2700 值 10.5 2 3.5 6 1.为研究不同品种对某种果树产量的影响，进行试验，得试验结果(产量)如下表，试分析果树品种对产量是否 有显著影响 (F O .O 5(2,9) 4.26，F 0.01 (2,9) 8.02) SS A —f A 伫 8.53, SQ f e 38 9 方差来源 平方和 自由度 均方 F 值 临界值 显著性 品种A 36 误差 总计 结论：由于F A 8.53 F 0.01(2,9) 8.02, 故果树品种对产量有特别显著影响 r=3 , 品种 试验结果 行和T i X i 行均值 x A 10 7 13 10 40 10 A 12 13 15 12 52 13 A 8 4 7 9 28 7 n n i n 2 n 3 T=120 , C 计 算 4 4 4 12, T 2 1202 1200 12 2 解 计 3?为了研究某商品的需求量 Y与价格x之间的关系，收集到下列 10对数据： X 31, y 58, x i y i 147, x i112, y 410.5,( 1)求需求量Y与价格x之间的线性回归方程； (2)计算样本相关系数； (3)用F检验法作线性回归关系显著性检验 . 解：引入记号n 10, x 3.1, y 5.8 需求量Y与价格x之间的线性回归方程为 (2)样本相关系数r lxy. 32.8一32邑0.9556 亦帀J15.9 74.1 34.3248 卄(n 2)S R 在H0成立的条件下，取统计量F R ~ F(1,n 2) S e S R 唸/l xx ( 32.8)715.9 67.66, 计算统计值 S e l yy S R 74.1 67.66 6.44 故需求量Y与价格x之间的线性回归关系特别显著. (1)求电器用电支出y与家庭平均收入之间的线性回归方程； (2)计算样本相关系数； (3)作线性回归关系显著性检验； ⑷ 若线性回归关系显著，求x=25时，y的置信度为0.95的预测区间解：引入记号n 10, x 27, y 1.9 电器用电支岀y与家庭平均收入x之间的线性回归方程为 第八章方差分析与回归分析 §1单因素试验的方差分析 试验指标：研究对象的某种特征。 例各人的收入。 因素：与试验指标相关的条件。 例各人的学历，专业，工作经历等与工资有关的特征。 因素水平：因素所在的状态 例学历是因素，而高中，大学，研究生等，就是学历因素水平；数学，物理等就是专业的水平。 问题：各因素水平对试验指标有无显着的差异？ 单因素试验方差分析模型 假设 1）影响试验指标的因素只有一个，为A ，其水平有r 个：1,,r A A L ； 2）每个水平i A 下，试验指标是一个总体i X 。各个总体的抽样过程是独立的。 3）2~(,)i i i X N μσ，且22i j σσ=。 问题：分析水平对指标的影响是否相同 1）对每个总体抽样得到样本{,1}ij i X j n ≤≤，由其检验假设： 原假设0:i j H μμ=，,i j ?；备选假设：1:i j H μμ≠，,i j ?； 2）如果拒绝原假设，则对未知参数21,,,r μμσL 进行参数估计。 注 1）接受假设即认为：各个水平之间没有显着差异，反之则有显着差异。 2）在水平只有两个时，问题就是双正态总体的均值假设检验问题和参数估计问题。 检验方法 数据结构式：ij i ij i ij X μεμδε=+=++，偏差2~(0,)ij N εσ是相互独立的， 11r i i i n n μμ==∑。不难验证，1 0r i k δ==∑。 各类样本均值 水平i A 的样本均值：1 1i n i ij j i X X n == ∑g ； 水平总样本均值：11111i n r r ij i i i j i X X n X n n =====∑∑∑，1 r i i n n ==∑； ·245· 9 方差分析与回归分析 9.1 基本要求 方差分析与回归分析是数理统计中极具应用价值的统计分析方法，前者定性研究当试验条件变化时，对试验结果影响的显著性；后者则定量地建立一个随机变量与一个或多个非随机变量的相关关系。 1．了解单因素试验的方差分析，了解离差平方和的分解及其意义，掌握检验用统计量及假设检验的一般步骤。 2．了解双因素无重复试验的方差分析及双因素等重复试验的方差分析，了解检验用统计量及假设检验的一般步骤。 3．理解回归分析的基本概念，掌握一元线性回归方程，掌握线性相关显著性检验，会利用线性回归方程进行预测。了解一些可线性化的非线性回归问题的解决方法。 *4．了解简单的多元线性回归及显著性检验。 9.2 内容提要 9.2.1方差分析 方差分析是考察多总体均值差异的显著性，是二总体均值检验的推广。 1．单因素试验的方差分析 (1)单因素方差分析原理 单因素方差分析是指在影响指标的众多因素中仅就某个因素A 加以考察，并设A 有r 个水平：A 1、A 2、…、A r ，每个水平A i 对应的总体i X (i =1，2，…，r )均服从同方差的正态分布，即i X ~),(2σμi N 。记(i in i i X X X ,,,21 )是来自第i 个总体i X (r i ,,2,1 =)的容量 ·246 · 为n i 的样本，∑==r i i i n n 11μμ称为理论总平均(其中∑==r i i n n 1 )。 如果因素A 对试验没有显著影响，则试验的全部结果X ij 应来自同一正态总体N (2 ,σμ)。因此，从假设检验的角度看，单因素方差分析的任务就是检验r 个总体N (2 ,σμi )(i =1，2，…，r )的均值是否相等，即检验假设： 0H ：r μμμ=== 21，1H ：r μμμ,,,21 不全相等。 显然，当r =2时就是二总体的均值检验。 (2)单因素方差分析的检验统计量 离差平方和∑∑==-=r i n j ij T i X X S 112)(的分解： A e T S S S += 其中 ∑∑==-=r i n j i ij e i X X S 112 )(，称为误差平方和。 2 2 1 1 2 11 2 )()(X n X n X X n X X S i r i i r i i i r i n j i A i -=-=-=∑∑∑∑====称为因素A 的效应平方和。且 2 σe S ～)(2 r n -χ，r n S e -=2?σ 是2 σ的无偏估计量。 当H 0为真时，有检验统计量 ) /() 1/(r n S r S F e A --= ～),1(r n r F -- 因此，在检验水平为α时，若由样本观察值算得统计量) /()1/(r n S r S F e A --=之值f 有f ≥),1(r n r F --α成立，则应当拒绝 H 0，否则就接受H 0。 (3)单因素方差分析的计算 方差分析的计算是复杂而繁琐的，一般为方便起见，通常把计算和检验的主要过程列成表9-1的形式，称为单因素试验方差分析表。 习题8.1 解答 1. 设有三台机器C B A ,,制造一种产品，每台机器各观测5天，其日产量如下表所示，问机器与机器之间是否存在差别？（设各个总体服从正态分布，且方差相等，0.05α=）. 解 设321,,μμμ分别代表三台机器种配方（三个总体）的均值，因变量为日产量，因素是机器，水平3=r ，试验次数分别是5321===n n n ，15321=++=n n n n 三个总体具有相同的样本容量.根据题意建立两个假设： 0H ： 321μμμ== 1H ： 三个总体均值不全相等. 第一步，查),1(r n r F --α的临界值得89.3)12,2(05.0=F . 第二步,根据表8.4先计算样本均值和方差. 2.471=x ；4.622=x ；6.491=x ；2.4421=S ； 3.5022=S ；3.172 3=S . 因为样容量相等,所以有 0667.533 6 .494.622.471 ≈++= = ∑=r x x r i i 再计算组间均方A MS 和组内均方e MS ， A MS = 2 ] )0667.536.49()0667.537.62()0667.532.47[(51 )(22211 2 -+-+-= --∑∑==? r x x r i n j i i 8667.333≈ 同样因为样本容量相等，所以e MS = r n x x r i n j i ij i --∑∑==?11 2 )(可简化为下列的计算公式 e MS = 26667.373 3 .173.502.441 21 =++= ∑=r S r i 最后计算F 统计量的值, 958855.826667 .378667 .333≈== e A MS MS F 第三步,由于>=958855.8F 89.3)12,2(05.0=F ,落在拒绝域,不接受0H ,,即三台机器的产量有显著差异，由样本观测值可知第二台机器的日平均产量估计值为62.4台，比其它两台机器的日平均产量大. 使用EXCEL 求解如下： 样本数据文件 方差分析输出结果 2．用五种不同的施肥方案分别得到某种农作物的收获量（kg ）如下： 试在显著性水平0.05下检验五种施肥方案对农作物的收获量是否有显著影响. 设各个总体服从正态分布，且方差相等. 解 本题求解类似第一题，略 方差分析和回归分析的区别与联系 一、方差分析和回归分析的区别与联系？（以双变量为例） 联系： 1、概念上的相似性 回归分析是为了分析变量间的因果关系，研究自变量X取不同值时，因变量平均值Y的变化。运用回归分析方法，可以从变量的总偏差平方和中分解出已被自变量解释掉的误差（解释掉误差）和未被解释掉的误差（剩余误差）； 方差分析是为了分析或检验总体间的均值是否有所不同。通过对样本中自变量X取不同值时所对应的因变量Y均值的比较，推论到总体变量间是否存在关系。运用方差分析，也可以从变量的总离差平方和中分解出已被自变量解释掉的误差和未被自变量解释掉的误差。因此两种分析在概念上所具有的相似性是显而易见的。 2、统计分析步骤的相似性 回归分析在确定自变量X是否为因变量Y的影响因素时，从分析步骤上先对X 和Y进行相关分析，然后建立变量间的回归模型。最后再进行参数的统计显著性检验或对回归模型的统计显著性进行检验。 方差分析在确定X是否是Y的影响因素时，是先从样本所的数据的分析入手，然后考察数据模型，最后对样本均值是否相等进行显著性检验。二者在分析步骤上也具有相似性。 3、假设条件具有一定的相似性 回归分析有五个基本假定，分别是：自变量可以是随机变量也可以是非随机变量；X与Y之间存在的非确定性的相关关系，要求Y的所有子总体，其方差都相等；子总体均值在一条直线上；随机变量Y i是统计独立的，即Y1的数值不 影响Y2的数值，各Y值之间都没有关系；Y值的每一个子总体都满足正态分布。 方差分析的基本假定有：等方差性（总体中自变量的每一取值所对应因变量Y i 的分布都具有相同方差）；Y i的分布为正态分布。 二者在假设条件上存在着相同。 4、在总离差平方和中的分解形式和逻辑上的相似性 回归分析中，TSS=RSS+RSSR，而在方差分析中，TSS=RSS+BSS。二者均是以已解释掉的误差与未被解释掉的误差之和为总离差平方和。 5、确定影响因素上的相似性 为简化分析起见,我们假设只有一个自变量X影响因变量Y。在回归分析中,要确定X是否是Y的影响因素,就要看当X已知时,对Y的总偏差有无影响。如果X不是影响Y的因素,等同于只知变数Y的数据列一样,此时用Y去估计每个丫的值,所犯的错误(即偏差)为最小。如果因素X是影响Y的因素,那么当已知X 值后 6、在统计显著性检验上具有相似性 回归分析的总显著性检验,是一种用R2测量回归的全部解释功效的检验。检验RSSR*(N-2)/RSS， 方差分析的显著性检验是一种根据样本数据提取信息所进行的显著性检验。它也是通过F检验进行的。 区别： 1、研究变量的分析点不同第9章方差分析与回归分析习题答案
方差分析及回归分析
方差分析和回归分析的区别与联系
案例库 项目八假设检验 回归分析与方差分析
一元线性回归,方差分析,显著性分析
方差分析和相关分析与回归分析
第章方差分析与回归分析习题答案
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方差分析和回归分析的区别与联系
第八章方差分析与回归分析
方差分析及回归分析
方差分析线性回归
方差分析与回归分析习题答案
方差分析与回归分析
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题解第8章 方差分析和回归分析
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