线性代数知识点
线性代数（经管类）考点逐个击破
第一章 行列式
（一）行列式的定义
行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.
1．二阶行列式
由4个数)2,1,(=j i a ij 得到下列式子：
11122122
a a a a 称为一个二阶行列式，其运算规
则为
2112221122
211211a a a a a a a a -=
2．三阶行列式
由9个数)3,2,1,(=j i a ij 得到下列式子：33
323123222113
1211a a a a a a a a a
称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.
3．余子式及代数余子式
设有三阶行列式 33
323123222113
12113a a a a a a a a a D =
对任何一个元素ij a ，我们划去它所在的第i 行及第j 列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素ij a 的余子式，记成ij M
例如 33
32232211a a a a M =
，33
32131221a a a a M =
，23
22131231a a a a M =
再记 ij j
i ij M A +-=)1( ，称ij A 为元素ij a 的代数余子式.
例如 1111M A =，2121M A -=，3131M A = 那么 ，三阶行列式3D 定义为
我们把它称为3D 按第一列的展开式，经常简写成
∑∑=+=-==3
1
11131
113)1(i i i i i i i M a A a D
4．n 阶行列式
一阶行列式 11111a a D ==
n 阶行列式 1121211111212222111211n n nn
n n n n
n A a A a A a a a a a a a a a a D +++==
ΛΛΛΛΛΛΛ
其中(,1,2,,)ij A i j n =L 为元素ij a 的代数余子式.
5．特殊行列式
上三角行列式
11
121222112200
0n
n
nn nn
a a a a a a a a a =L L L L L L L L
下三角行列式
1122
112212
000
nn n n nn a a a a a a a a a =L L L L L L L L 21 对角行列式
11
2211220
00
00nn nn
a a a a a a =L
L L L L L L L
（二）行列式的性质
性质1 行列式和它的转置行列式相等，即T
D D =
31
312121111133
323123222113
12113A a A a A a a a a a a a a a a D ++==
性质2 用数k 乘行列式D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD ，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.
性质3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号.
推论1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.
推论2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零. 性质4 行列式可以按行（列）拆开.
性质5 把行列式D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D. 定理1（行列式展开定理）
n 阶行列式n
ij a D =等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的
乘积的和，即),,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i ΛΛ=+++= 或),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j ΛΛ=+++=
前一式称为D 按第i 行的展开式，后一式称为D 按第j 列的展开式.
本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值. 定理2 n 阶行列式n
ij a D =的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数
余子式的乘积之和等于零.即)(02211k i A a A a A a kn in k i k i ≠=+++Λ 或)(02211s j A a A a A a ns nj s j s j ≠=+++Λ
（三）行列式的计算
行列式的计算主要采用以下两种基本方法：
（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时
要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k 时，必须在新的行列式前面乘上k.
（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它
的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：
例1 计算行列式 5
2072325121314124-=
D
解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是112=a ，利用这个
元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.
421412141
562
31212115062150
52321050
3(2)1725
025********
3122511
081
375
7375
D -+?=---+-?+?=行行按第二列展开行行7 列列按第二行展开
例2 计算行列式 a
b b b b a b b b
b a b b
b b a D =
4
解：方法1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为
文字可能取0值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为
b a 3+（我们把它称为行和相同行列式）
，我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子b a 3+，再将后三行都减去第一行：
3131(3)31311000
(3)
000000a b b b a b b b b b
b b b a b b a b a b b a b b a b b b a b a b b a b b a b b b b a a b b b a b b a
b b b a b a b a b a b
++=
=+++-=+--
3))(3(b a b a -+=
方法2 观察到这个行列式每一行元素中有多个b ，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与4D 有相同值的五阶行列式：
11234541101000010000100001000b b b b b b
b b a
b b b
a b b b a b b a b b D b a b b a b b b a b
b b a b a b b b b
a
b b b a a b
?-+--=
==------行（），，，行 这样得到一个“箭形”行列式，如果b a =，则原行列式的值为零，故不妨假设b a ≠，即0≠-b a ，把后四列的
b
a -1
倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化为零.
44100004000
1()(3)()00000
0b b b b b a b a b b a b a b a b a b a b a b a b
3
+--??=
-=+-=+- ?-??
--
例3 三阶范德蒙德行列式 ))()((1
11
2313122
3
2
2
2
1
321
3x x x x x x x x x x x x V ---==
（四）克拉默法则
定理1（克拉默法则）设含有n 个方程的n 元线性方程组为
1111221121122222
1122,,n n n n n n nn n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??
??+++=?L L L L L L L L L L L L L 如果其系数行列式0≠=n
ij
a D ，则方程组必有唯一解：n j D
D x j j ,,2,1,Λ==
其中j D 是把D 中第j 列换成常数项n b b b ,,,21Λ后得到的行列式. 把这个法则应用于齐次线性方程组，则有
定理2 设有含n 个方程的n 元齐次线性方程组
1111221211222211220,0,0
n n n n
n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=??
??+++=?L L L L L L L L L L L L L 如果其系数行列式0≠D ，则该方程组只有零解：021====n x x x Λ
换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有0=D ，在教材第二章中，将要证明，
n 个方程的n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.
第二章 矩阵
（一）矩阵的定义
1．矩阵的概念
由n m ?个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ΛΛ==排成的一个m 行n 列的数表
??????
? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛ
ΛΛΛ212222111211 称为一个m 行n 列矩阵或n m ?矩阵
当n m =时，称()
n
n ij
a A ?=为n 阶矩阵或n 阶方阵
元素全为零的矩阵称为零矩阵，用n m O ?或O 表示
2．3个常用的特殊方阵：
①n 阶对角矩阵是指形如 ?
?????? ?
?=nn a a a A ΛΛ
ΛΛΛ00000022
11的矩阵 ②n 阶单位方阵是指形如 ????
??
?
??=100010001ΛΛΛΛΛn E 的矩阵
③n 阶三角矩阵是指形如 ?
???
??? ????????? ?
?nn n n nn n n a a a a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ
ΛΛΛ2122211122211211000,000的矩阵
3．矩阵与行列式的差异
矩阵仅是一个数表，而n 阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“*”与矩阵记号“()*”
也不同，不能用错.
（二）矩阵的运算
1．矩阵的同型与相等
设有矩阵n m ij a A ?=)(，λ?=k ij b B )(，若k m =，λ=n ，则说A 与B 是同型矩阵.若A 与B 同型,且对应元素相等，即ij ij b a =，则称矩阵A 与B 相等，记为B A =
因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.
2．矩阵的加、减法
设n m ij a A ?=)(，n m ij b B ?=)(是两个同型矩阵则规定
n m ij ij b a B A ?+=+)( n m ij ij b a B A ?-=-)(
注意：只有A 与B 为同型矩阵，它们才可以相加或相减.
由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律.
3．数乘运算
设n m ij a A ?=)(，k 为任一个数，则规定n m ij ka kA ?=)(
故数k 与矩阵A 的乘积就是A 中所有元素都乘以k ，要注意数k 与行列式D 的乘
积，只是用k 乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.
矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.
4．乘法运算
设k m ij a A ?=)(，n k ij b B ?=)(，则规定n m ij c AB ?=)(
其中kj ik j i j i ij b a b a b a c +++=Λ2211 ),,2,1;,,2,1(n j m i ΛΛ==
由此定义可知，只有当左矩阵A 的列数与右矩阵B 的行数相等时，AB 才有意义，而且矩阵AB 的行数为A 的行数，AB 的列数为B 的列数，而矩阵AB 中的元素是由左矩阵A 中某一行元素与右矩阵B 中某一列元素对应相乘再相加而得到.
故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地： ①不满足交换律，即BA AB ≠
②在0=AB 时，不能推出0=A 或0=B ，因而也不满足消去律.
特别，若矩阵A 与B 满足BA AB =，则称A 与B 可交换，此时A 与B 必为同阶方
阵.
矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律.
5．方阵的乘幂与多项式方阵
设A 为n 阶方阵，则规定m A AA A =L 14243m 个
特别E A =0
又若1
110()m m m m f x a x a x a x a --=++++L ，则规定
1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++L
称)(A f 为A 的方阵多项式，它也是一个n 阶方阵
6．矩阵的转置
设A 为一个n m ?矩阵，把A 中行与列互换，得到一个m n ?矩阵，称为A 的转
置矩阵，记为T
A ，转置运算满足以下运算律：
A A T =T )(，T T T
B A B A +=+)(，T T kA kA =)(，T T T A B AB =)(
由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义
设A 为一个n 阶方阵，若A 满足A A T
=，则称A 为对称矩阵，若A 满足A A T
-=，
则称A 为反对称矩阵.
7．方阵的行列式
矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n 阶方阵，有方阵的行列式的概念. 设)(ij a A =为一个n 阶方阵，则由A 中元素构成一个n 阶行列式n
ij a ，称为方阵
A 的行列式，记为A
方阵的行列式具有下列性质：设A ，B 为n 阶方阵，k 为数，则
①A A T =； ②A k kA n
=
③B A AB ?=
（三）方阵的逆矩阵
1．可逆矩阵的概念与性质
设A 为一个n 阶方阵，若存在另一个n 阶方阵B ，使满足E BA AB ==，则把B
称为A 的逆矩阵，且说A 为一个可逆矩阵，意指A 是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A 的逆矩阵B 记为1-A ，从而A 与1
-A 首先必可交换，且乘积为单位方阵E.
逆矩阵具有以下性质：设A ，B 为同阶可逆矩阵，0≠k 为常数，则
①1
-A 是可逆矩阵，且A A =--1
1)
(；
②AB 是可逆矩阵，且111
)(---=A B AB ；
③kA 是可逆矩阵，且11
1)
(--=
A k
kA ④T
A 是可逆矩阵，且T T
A A )()
(11
--=
⑤可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即
设P 为可逆矩阵，则B A PB PA =?= B A BP AP =?=
2．伴随矩阵
设)(ij a A =为一个n 阶方阵，ij A 为A 的行列式n
ij a A =中元素ij a 的代数余子式，
则矩阵?
?????? ??nn n
n n n A A A A A A A A A ΛΛ
ΛΛΛΛ212221212111称为A 的伴随矩阵，记为*A （务必注意*
A 中元素排列的特点）
伴随矩阵必满足
E A A A AA ==**
1
*-=n A
A （n 为A 的阶数）
3．n 阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法
定理：n 阶方阵A 可逆?0≠A ，且*
1
1A A
A
=
- 推论：设A ，B 均为n 阶方阵，且满足E AB =，则A ，B 都可逆，且B A =-1
，
A B =-1
例1 设???
?
??=d c b a A （1）求A 的伴随矩阵*
A
（2）a ，b ，c ，d 满足什么条件时，A 可逆？此时求1
-A
解：（1）对二阶方阵A ，求*A 的口诀为“主交换，次变号”即???
?
?
?--=a c
b d A * （2）由b
c a
d d
c b a A -==
，故当0≠-bc ad 时，即0≠A ，A 为可逆
矩阵
此时???
?
??---==
-a c b d bc ad A A A 11*1 （四）分块矩阵
1． 分块矩阵的概念与运算
对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横
线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵.
在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵A 的列分块方式与右矩阵B 的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时A 的各子块分别左乘B 的对应的子块.
2．准对角矩阵的逆矩阵
形如 ??????
? ??r A A A O
21的分块矩阵称为准对角矩阵，其中r A A A ,,,21Λ均为方阵空白处都是零块.
若r A A A ,,,21Λ都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且
?
?
???
?
?
??=??????
? ??----112
111
21r r A A A A A A O O
（五）矩阵的初等变换与初等方阵
1． 初等变换
对一个矩阵A 施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为初等变换，
（1）交换A 的某两行（列）；
（2）用一个非零数k 乘A 的某一行（列）；
（3）把A 中某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上.
注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“→”连接前后矩阵.
初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.
2．初等方阵
由单位方阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.
由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为ij P ，)(k D i 和
)(k T ij ，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵.
3．初等变换与初等方阵的关系
设A 为任一个矩阵，当在A 的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对A 作同类型的初等行变换；在A 的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对A 作同类型的初等列变换.
4．矩阵的等价与等价标准形
若矩阵A 经过若干次初等变换变为B ，则称A 与B 等价，记为B A ?
对任一个n m ?矩阵A ，必与分块矩阵???
?
??O O O E r 等价，称这个分块矩阵为A 的等价
标准形.即对任一个n m ?矩阵A ，必存在n 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使得
???
?
??=O O O E PAQ r
5．用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵
设A 为任一个n 阶可逆矩阵，构造n n 2?矩阵（A ，E ） 然后 ),(),(1
-→A E E A
注意：这里的初等变换必须是初等行变换.
例2 求???
?
?
??----=421412311A 的逆矩阵
解：
()()()122113211311213322113100113
100(,)2140
10012
21012400101110110111010
0421012
21001
0412001311001311A E ?-+?+?+?-+?-+?+--????
?
?
=-→-- ? ? ? ?---?
??
?
---????
?
?
→--→- ? ? ? ?--????
行行行行行行行行行行
行行
则 ????
?
??----=-1132141241
A
例3 求解矩阵方程
????
? ??=????? ??----213411421412311X
解：令???
?
?
??=????? ??----=213411,421412311B A ，则矩阵方程为B AX =，这里A 即为例2中矩
阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘1
-A ，得
???
?
? ??=????? ??????? ??----==-2052032134111132141241B A X
也能用初等行变换法，不用求出1
A -，而直接求
B A 1
-
),(201005201003001214213441211311),(1B A E B A -=???
?
?
??→????? ??----=
则 ????
? ??==-2052031
B A X
（六）矩阵的秩
1． 秩的定义
设A 为n m ?矩阵，把A 中非零子式的最高阶数称为A 的秩，记为秩)(A 或)(A r 零矩阵的秩为0，因而{}n m A ,m in )(0≤≤秩，对n 阶方阵A ，若秩n A =)(，称A 为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.
2． 秩的求法
由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.
对任一个矩阵A ，只要用初等行变换把A 化成阶梯形矩阵T ，则秩(A)=秩(T)=T 中非零行的行数.
3．与满秩矩阵等价的条件
n 阶方阵A 满秩?A 可逆，即存在B ，使E BA AB ==
?A 非奇异，即0≠A
?A 的等价标准形为E
?A 可以表示为有限个初等方阵的乘积
?齐次线性方程组0=AX 只有零解
?对任意非零列向量b ，非齐次线性方程组b AX =有唯一解 ?A 的行（列）向量组线性无关 ?A 的行（列）向量组为n
R 的一个基
?任意n 维行（列）向量均可以表示为A 的行（列）向量组 的线性组合，且表示法唯一.
（七）线性方程组的消元法.
对任一个线性方程组???????=+++=+++=+++m
n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛ22112
222212*********
可以表示成矩阵形式b AX =，其中n m ij a A ?=)(为系数矩阵，T
m b b b b ),,,(21Λ=为
常数列矩阵，T
n x x x X ),,,(21Λ=为未知元列矩阵.
从而线性方程组b AX =与增广矩阵),(b A A =一一对应.
对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解.
第三章 向量空间
（一）n 维向量的定义与向量组的线性组合
1． n 维向量的定义与向量的线性运算
由n 个数组成的一个有序数组称为一个n 维向量，若用一行表示，称为n 维行向量，即n ?1矩阵，若用一列表示，称为n 维列向量，即1?n 矩阵
与矩阵线性运算类似，有向量的线性运算及运算律.
2．向量的线性组合
设m ααα,,,21Λ是一组n 维向量，m k k k ,,,21Λ是一组常数，则称
m m k k k ααα+++Λ2211
为m ααα,,,21Λ的一个线性组合，常数m k k k ,,,21Λ称为组合系数.
若一个向量β可以表示成
m m k k k αααβ+++=Λ2211
则称β是m ααα,,,21Λ的线性组合，或称β可用m ααα,,,21Λ线性表出.
3．矩阵的行、列向量组
设A 为一个n m ?矩阵，若把A 按列分块，可得一个m 维列向量组称之为A 的
列向量组.
若把A 按行分块，可得一个n 维行向量组称之为A 的行向量组.
4．线性表示的判断及表出系数的求法.
向量β能用m ααα,,,21Λ线性表出的充要条件是线性方程组
βααα=+++m m x x x Λ2211有解，且每一个解就是一个组合系数.
例1 问T )5,1,1(-=β能否表示成，T )3,2,1(1=αT
)4,1,0(2=α，T )6,3,2(3=α的线
性组合？
解：设线性方程组为 βααα=++332211x x x
对方程组的增广矩阵作初等行变换：
???
?
? ??-→????? ??-==110020101001564313121201),,,(),(321βαααβA
则方程组有唯一解1,2,1321-===x x x
所以β可以唯一地表示成321,,ααα的线性组合，且3212αααβ-+=
（二）向量组的线性相关与线性无关
1． 线性相关性概念
设m ααα,,,21Λ是m 个n 维向量，如果存在m 个不全为零的数m k k k ,,,21Λ，使
得
02211=+++m m k k k αααΛ，则称向量组m ααα,,,21Λ线性相关，称m k k k ,,,21Λ为
相关系数.否则，称向量m ααα,,,21Λ线性无关.
由定义可知，m ααα,,,21Λ线性无关就是指向量等式
02211=+++m m k k k αααΛ当且仅当021====m k k k Λ时成立.
特别 单个向量α线性相关?0=α；
单个向量α线性无关?0≠α
2．求相关系数的方法
设m ααα,,,21Λ为m 个n 维列向量，则m ααα,,,21Λ线性相关?m 元齐次线性方程组02211=+++m m x x x αααΛ有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数?矩阵),,,(21m A αααΛ=的秩小于m
例2 设向量组123(2,1,7),(1,4,11),(3,6,3)T T T
ααα=-==-，试讨论其线性相关性.
解：考虑方程组0332211=++αααx x x
其系数矩阵 ???
?
? ??-→????? ??--==0001102013117641312),,(321αααA
于是，秩32)(<=A ，所以向量组线性相关，与方程组同解的方程组为
??
?=-=+00
232
31x x x x 令13=x ，得一个非零解为1,1,2321==-=x x x 则02321=++-ααα
3．线性相关性的若干基本定理
定理1 n 维向量组m ααα,,,21Λ线性相关?至少有一个向量是其余向量的线性组合.即m ααα,,,21Λ线性无关?任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.
定理2 如果向量组m ααα,,,21Λ线性无关，又m αααβ,,,,21Λ线性相关，则β可以用m ααα,,,21Λ线性表出，且表示法是唯一的.
定理3 若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分
必无关.
定理4 无关组的接长向量组必无关.
（三）向量组的极大无关组和向量组的秩
1．向量组等价的概念
若向量组S 可以由向量组R 线性表出，向量组R 也可以由向量组S 线性表出，则称这两个向量组等价.
2．向量组的极大无关组
设T 为一个向量组，若存在T 的一个部分组S ，它是线性无关的，且T 中任一个向量都能由S 线性表示，则称部分向量组S 为T 的一个极大无关组.
显然，线性无关向量组的极大无关组就是其本身.
对于线性相关的向量组，一般地，它的极大无关组不是唯一的，但有以下性质： 定理1 向量组T 与它的任一个极大无关组等价，因而T 的任意两个极大无关组等
价.
定理2 向量组T 的任意两个极大无关组所含向量的个数相同.
3．向量组的秩与矩阵的秩的关系
把向量组T 的任意一个极大无关组中的所含向量的个数称为向量组T 的秩.
把矩阵A 的行向量组的秩，称为A 的行秩，把A 的列向量组的秩称为A 的列秩. 定理：对任一个矩阵A ，A 的列秩=A 的行秩=秩（A ）
此定理说明，对于给定的向量组，可以按照列构造一个矩阵A ，然后用矩阵的初等行变换法来求出向量组的秩和极大无关组.
例3 求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出：
)
3,4,4,2(),3,4,1,2(),6,6,1,1(),9,2,,2,1(),7,2,1,1(54321==--=---=-=ααααα
解：把所有的行向量都转置成列向量，构造一个54?矩阵，再用初等行变换把它化成
简化阶梯形矩阵
(
)
B A T
T T T T =??
??
?
?
?
??--→???????
??------==10000
0110001010
00
001
33697446224112122111,,,,5
4321ααααα 易见B 的秩为4，A 的秩为4，从而秩{
}4,,,,54321=ααααα，而且B 中主元位于第一、二、三、五列，那么相应地5321,,,αααα为向量组的一个极大无关组，而且324ααα--=
（四）向量空间
1． 向量空间及其子空间的定义
定义1 n 维实列向量全体（或实行向量全体）构成的集合称为实n 维向量空间，
记作n
R
定义2 设V 是n 维向量构成的非空集合，若V 对于向量的线性运算封闭，则称集合V 是n
R 的子空间，也称为向量空间.
2． 向量空间的基与维数
设V 为一个向量空间，它首先是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组称为向量空间V 的一个基，把向量组的秩称为向量空间的维数.
显然，n 维向量空间n
R 的维数为n ，且n
R 中任意n 个线性无关的向量都是n
R 的
一个基.
3． 向量在某个基下的坐标
设r ααα,,,21Λ是向量空间V 的一个基，则V 中任一个向量α都可以用
r ααα,,,21Λ唯一地线性表出，由r 个表出系数组成的r 维列向量称为向量α在此基下
的坐标.
第四章 线性方程组
（一） 线性方程组关于解的结论
定理1 设b AX =为n 元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是
)(),(A r b A r =
定理2 当n 元非齐次线性方程组b AX =有解时，即r A r b A r ==)(),(时，那么
（1）b AX =有唯一解?n r =；
（2）b AX =有无穷多解?n r <.
定理3 n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充要条件是n r A r <=)( 推论1 设A 为n 阶方阵，则n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解?0=A 推论2 设A 为n m ?矩阵，且n m <，则n 元齐次线性方程组必有非零解
（二）齐次线性方程组解的性质与解空间
首先对任一个线性方程组，我们把它的任一个解用一个列向量表示，称为该方程组的解向量，也简称为方程组的解.
考虑由齐次线性方程组0=AX 的解的全体所组成的向量集合
{}0==ξξA V
显然V 是非空的，因为V 中有零向量，即零解，而且容易证明V 对向量的加法运算及
数乘运算封闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是V 成为n 维列向量空间n
R 的一个子空间，我们称V 为方程组0=AX 的解空间
（三）齐次线性方程组的基础解系与通解
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，
线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A
线性代数必考知识点归纳
线性代数必考的知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解；
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '
3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩
线性代数总结归纳
行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展， 它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做 练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联 系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的 概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。
线性代数知识点归纳
线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关 于 副 对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1
⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆
线性代数知识点归纳,超详细
线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式： 证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；
3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系： 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则， 其中 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.
数三线性代数必考知识点
线性代数必考知识点 1、行列式 1. 行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、和的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为； 3. 代数余子式和余子式的关系： 4. 设行列式： 将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则； 将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则； 将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则； 将主副角线翻转后，所得行列式为，则； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积； ③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积； ④、和：副对角元素的乘积； ⑤、拉普拉斯展开式：、 ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式； 7. 证明的方法：
①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. 是阶可逆矩阵： （是非奇异矩阵）； （是满秩矩阵） 的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组有非零解； ，总有唯一解； 与等价； 可表示成若干个初等矩阵的乘积； 的特征值全不为0； 是正定矩阵； 的行（列）向量组是的一组基； 是中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于阶矩阵：无条件恒成立； 3. 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：
若，则： Ⅰ、； Ⅱ、； ②、；（主对角分块） ③、；（副对角分块） ④、；（拉普拉斯） ⑤、；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：； 等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵、，若； 2. 行最简形矩阵： ①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1； ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） ①、若，则可逆，且； ②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：； ③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： ①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； ②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； ③、对调两行或两列，符号，且，例如：；
线性代数必考知识点
2008年线性代数必考的知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 5. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== *** 111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆：
《线性代数》的主要知识点
《线性代数》的主要知识点 第一部分 行列式 概念： 1． n 阶行列式展开式的特点：①共有n!项，正负各半； ②每项有n 个元素相乘，且覆盖所有的行与列； ③每一项的符号为（列） 行）ττ+-() 1( 2． 元素的余子式以及代数余子式 ij j i ij M )1(A +-= 3． 行列式的性质 计算方法： 1． 对角线法则 2． 行列式的按行（列）展开 (另有异乘变零定理) 第二部分 矩阵 1． 矩阵的乘积 注意：①不满足交换率（一般情况下B A A B ≠） ②不满足消去率 （由AB=AC 不能得出B=C ） ③由AB=0不能得出A=0或B=0 ④若AB=BA ，则称A 与B 是可换矩阵 2．矩阵的转置 满足的法则：T T T B A )B A (+=+，T T T T T A B AB kA kA ==)(,)( 3．矩阵的多项式 设n n x a x a a x +++=Λ10)(?，A 为n 阶方阵，则 n n A a A a E a A +++=Λ10)(?称为A 的n 次多项式。 对与对角矩阵有关的多项式有结论如下： （1）如果 1 -Λ=P P A ，则n n A a A a E a A +++=Λ10)(? 11110---Λ++Λ+=P Pa P Pa EP Pa n n Λ= 1)(-ΛP P ?
（2）若),,(21n a a a diag Λ=Λ，则))(),(),(()(21n a a a diag ????Λ=Λ 4．逆矩阵：n 阶矩阵A,B ，若E BA AB ==，则A,B 互为逆矩阵。 n 阶矩阵A 可逆0A ≠?； n A r =?)( （或表示为n A R =)(）即A 为满秩矩阵； ?A 与E 等价； ?A 可以表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的列（行）向量组线性无关； ?A 的所有的特征值均不等于零 求法：①伴随矩阵法：*1 1 A A A ?= - ②初等变换法：()() 1,,-???→?A E E A 初等行变换或??? ? ?????→????? ??-1A E E A 初等列变换 ， E 是单位矩阵 性质：（1）矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵是唯一的 （2）设A 是n 阶矩阵，则有下列结论 ①若A 可逆，则1 -A 也可逆，且A A =--1 1)( ②若A 可逆，则T A 也可逆，且T T A A )() (11 --= ③若A 可逆，数0≠k ，则kA 可逆，且111)(--= A k kA ④若B A .为同阶矩阵且均可逆，则B A .也可逆，且111 )(---=A B AB 5．方阵A 的行列式： 满足下述运算规律（设B A ,为n 阶方阵，λ为数） ①A A T = ②A A n λλ= ③B A AB = 6．伴随矩阵：行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下的矩阵 ???? ?? ? ??=nn n n n n A A A A A A A A A A Λ M M M ΛΛ212221212111* ，称为矩阵A 的伴随矩阵（注意行与列的标记的不同） 伴随矩阵具有性质：E A A A AA ==* *
线性代数知识点归纳
线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1. 行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 1122,, 0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ?=?++=?≠?? L
③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. 11221122***0**0*00 nn nn b b A b b b b = =L M O L ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *= =* *=-1 ⑤ 关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明0A =的方法：
线性代数知识点全归纳
线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；
线性代数知识点总结汇编
《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩 （1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵 （1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）
考研线性代数知识点归纳
1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；
《线性代数》知识点 归纳整理
《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 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