倍长中线法(含答案)

专题2：倍长中线法

【典例引领】

例题：（2014黑龙江龙东地区）已知ΔABC 中，M 为BC 的中点，直线m 绕点A 旋转，过B 、M 、C 分别作BD ⊥m 于E ，CF ⊥m 于F 。

（1）当直线m 经过B 点时，如图1，易证EM=12CF 。（不需证明）

（2）当直线m 不经过B 点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD 、ME 、CF 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明。

【强化训练】

1、（2017黑龙江龙东地区）已知：ΔAOB 和ΔCOD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD ，BC ，点H 为BC 中点，连接OH 。

（1）如图1所示，易证OH=

21AD 且OH ⊥AD （不需证明）

（2）将ΔCOD绕点O旋转到图2，图3所示位置是，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论。

2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．

（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；

（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由

（3）若|CF﹣AE|=2，EF=2√3，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．

3.已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点

A、C向直线BD作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点。

（1）当点P与点O重合时，如图1，易证OE=OF（不需证明）

（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明。

4．如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．

（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；

（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；

（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．

专题2：倍长中线法

【典例引领】

例题：（2014黑龙江龙东地区）已知ΔABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于E，CF⊥m于F。

CF。（不需证明）

（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=1

2

（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明。

【答案】（2）证明见解析

【分析】图2，连接DM并延长交FC的延长线于K ，可证△DBM≌△KCM，再利用三角形中位线即可得出结论。图3同图2证明相同。

(BD+CF)

【解答】（2）图2的结论为:ME=1

2

(CF-BD)

图3的结论为: ME=1

2

图2的结论证明如下：连接DM并延长交FC的延长线于K

又∵BD⊥m,CF⊥m

∴BD ∥CF ∴∠DBM=∠KCM

又∵∠DMB=∠CMK BM=MC

∴△DBM ≌△KCM ∴DB=CK DM=MK

由易证知:EM=12FK ∴ME=12(CF+CK)=1

2(CF+DB)

图3的结论证明如下：连接DM 并延长交FC 于K

又∵BD ⊥m,CF ⊥m ∴BD ∥CF ∴∠MBD=∠KCM

又∵∠DMB=∠CMK BM=MC

∴△DBM ≌△KCM ∴DB=CK DM=MK

由易证知:EM=12FK ∴ME=12(CF-CK)= 1

2(CF-DB)

【强化训练】

1、（2017黑龙江龙东地区）已知：ΔAOB 和ΔCOD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD ，BC ，点H 为BC 中点，连接OH 。

（3）如图1所示，易证OH=2

1AD 且OH ⊥AD （不需证明） （4）将ΔCOD 绕点O 旋转到图2，图3所示位置是，线段OH 与AD 又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论。

【答案】（2）证明见解析

【分析】（1）只要证明△AOD ≌△BOC ，即可解决问题；

①如图2中，结论：OH=2

1AD ，OH ⊥AD ．延长OH 到E ，使得HE=OH ，连接BE ， 由△BEO ≌△ODA 即可解决问题；

②如图3中，结论不变．延长OH 到E ，使得HE=OH ，连接BE ，延长EO 交AD 于G ．由△BEO ≌△ODA 即可解决问题；

【解答】（1）证明：如图1中，

∵△OAB 与△OCD 为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，

∴OC=OD ，OA=OB ，∵在△AOD 与△BOC 中，，

∴△AOD ≌△BOC （SAS ），∴∠ADO=∠BCO ，∠OAD=∠OBC ，

∵点H 为线段BC 的中点，∴OH=HB ，

∴∠OBH=∠HOB=∠OAD ，又因为∠OAD+∠ADO=90°，

所以∠ADO+∠BOH=90°所以OH ⊥AD

（2）解：①结论：OH=AD ，OH ⊥AD ，如图2中，延长OH 到E ，使得HE=OH ，连接BE ，

易证△BEO ≌△ODA ∴OE=AD ∴OH=OE=AD

由△BEO ≌△ODA ，知∠EOB=∠DAO ∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，∴OH ⊥AD ．

②如图3中，结论不变．延长OH 到E ，使得HE=OH ，连接BE ，延长EO 交AD 于G ．

易证△BEO ≌△ODA ∴OE=AD ∴OH=OE=AD

由△BEO ≌△ODA ，知∠EOB=∠DAO ∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°，∴∠AGO=90°∴OH ⊥AD ．

2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．

（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；

（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由

（3）若|CF﹣AE|=2，EF=2√3，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．

【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为√6?√2或2√3

.

3

【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；

（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；

（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.

【解答】（1）如图1中，延长EO交CF于K，

∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，

∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，

∵△EFK是直角三角形，∴OF=1

EK=OE；

2

（2）如图2中，延长EO交CF于K，

∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，

∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，

∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，

∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，

∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；

（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，

∵|CF﹣AE|=2，EF=2√3，AE=CK，∴FK=2，

，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，

在Rt△EFK中，tan∠FEK=√3

3

EK=2，

∴EK=2FK=4，OF=1

2

∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，

在Rt△PHF中，PH=1

PF=1，HF=√3，OH=2﹣√3，

2

∴OP=√12+(2?√3)2=√6?√2.

如图4中，点P 在线段OC 上，当PO=PF 时，∠POF=∠PFO=30°，

∴∠BOP=90°，

∴OP=√3

3OE=2√33

， 综上所述：OP 的长为√6?√2或

2√33. 3.已知：点P 是平行四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A 、C 重合），分别过点

A 、C 向直线BD 作垂线，垂足分别为点E 、F ，点O 为AC 的中点。

（3）当点P 与点O 重合时，如图1，易证OE=OF （不需证明）

（4）直线BP 绕点B 逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF 、AE 、OE 之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明。

【答案】（2）图2中的结论为：CF=OE+AE ，图3中的结论为：CF=OE ﹣AE ，证明见解析

【分析】（1）由△AOE ≌△COF 即可得出结论．

（2）图2中的结论为：CF=OE+AE ，延长EO 交CF 于点G ，只要证明△EOA ≌△GOC ，△OFG 是等边三角形，即可解决问题．

图3中的结论为：CF=OE ﹣AE ，延长EO 交FC 的延长线于点G ，证明方法类似．

【解答】（1）∵AE ⊥PB ，CF ⊥BP ， ∴∠AEO=∠CFO=90°，

在△AEO和△CFO中，

∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．

（5）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE﹣AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，

∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，

∴∠EAO=∠GCO，在△EOA和△GOC中，

∴△EOA≌△GOC，∴EO=GO，AE=CG，

在RT△EFG中，∵EO=OG，∴OE=OF=GO，∵∠OFE=30°，

∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=GF，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG+CG，∴CF=OE+AE．

选图3的结论证明如下：

延长EO交FC的延长线于点G，

∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠AEO=∠G，

在△AOE和△COG中，

∴△AOE≌△COG，∴OE=OG，AE=CG，

在RT△EFG中，∵OE=OG，∴OE=OF=OG，∵∠OFE=30°，

∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，

∴OF=FG，∵OE=OF，∴OE=FG，

∵CF=FG﹣CG，∴OE=OF．

4．如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．

（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；

（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；

（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．

【答案】（1）CM=EM，CM⊥EM，理由见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析；（3）（1）中的结论成立，理由见解析.

【分析】（1）延长EM交AD于H，证明△FME≌△AMH，得到HM=EM，根据等腰直角三角形的性质可得结论；

（2）根据正方形的性质得到点A、E、C在同一条直线上，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明即可；

（3）根据题意画出完整的图形，根据平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质证明即可．

【解答】（1）如图1，结论：CM=EM，CM⊥EM．

理由：∵AD∥EF，AD∥BC，

∴BC∥EF，

∴∠EFM=∠HBM，

在△FME和△BMH中，

{

∠EFM＝∠MBH

FM＝BM

∠FME＝∠BMH

，，

∴△FME≌△BMH，

∴HM=EM，EF=BH，

∵CD=BC，

∴CE=CH，∵∠HCE=90°，HM=EM，

∴CM=ME，CM⊥EM．

（2）如图2，连接AE，

∵四边形ABCD和四边形EDGF是正方形，

∴∠FDE=45°，∠CBD=45°，

∴点B、E、D在同一条直线上，

∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M为BF的中点，

∴CM=1

2

BF，EM=1

2

BF，

∴CM=ME，

∵∠EFD=45°，

∴∠EFC=135°，

∵CM=FM=ME，

∴∠MCF=∠MFC，∠MFE=∠MEF，

∴∠MCF+∠MEF=135°，

∴∠CME=360°-135°-135°=90°，

∴CM⊥ME．

（3）如图3，连接CF，MG，作MN⊥CD于N，

在△EDM和△GDM中，

{

DE＝DG

∠MDE＝∠MDG

DM＝DM

，

∴△EDM≌△GDM，

∴ME=MG，∠MED=∠MGD，

∵M为BF的中点，FG∥MN∥BC，

∴GN=NC，又MN⊥CD，

∴MC=MG，

∴MD=ME，∠MCG=∠MGC，∵∠MGC+∠MGD=180°，

∴∠MCG+∠MED=180°，

∴∠CME+∠CDE=180°，

∵∠CDE=90°，

∴∠CME=90°，

∴（1）中的结论成立．

全等三角形之倍长中线法资料讲解

课题：《全等三角形之巧添辅助线——倍长中线法》 【方法精讲】常用辅助线添加方法一一倍长中线 △ ABC中，AD是BC边中线方式1 :直接倍长延长AD至U E， 例2: ABC中，AD是BAC的平分线，且BD=CD，求证AB=AC 方法1:作DE丄AB于E,作DF 丄AC于F,证明二次全等 方法2 :辅助线同上，利用面积 方法3 :倍长中线AD E 方式2 :间接倍长 作CF丄AD于F,作BE丄AD的延长线于E延长MD到 C 【经典例题】 例1 :△ ABC中，AB=5, AC=3求中线AD的取值范围. 提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边 N,使DN=MD连接CN C 例3:已知在△ ABC中，AB=AC , D在AB 上, E在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF=EF ,求证：BD=CE 方法1 :过D作DG // AE交BC于G,证明△ DGF^A CEF 使DE=AD，连接BE

方法2:过E 作EG // AB 交BC 的延长线于 G ,证明△ EFG^A DFB 方法3:过D 作DG 丄BC 于G,过E 作EHL BC 的延长线于 H,证明A BDG^A ECH 例4:已知在△ ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ,延长BE 交AC 于F ,求证：AF=EF 例5:已知：如图，在 ABC 中，AB 求证：AE 平分 BAC 方法1倍长AE 至G ,连结DG 方法2:倍长FE 至H ，连结CH 例 6:已知 CD=AB ，/ BDA= / BAD , AE 是厶 ABD 的中线，求证：/ C=Z BAE 提示：倍长 AE 至F ,连结DF,证明A ABE^A FDE ( SAS ,进而证明A ADF ^A ADC( SAS A 提示：倍长 AD 至G ,连接BG ,证明A BDG^A CDA 三角形BEG 是等腰三角形 AC , D E 在 BC 上,且 DE=EC 过 D 作 DF // BA 交 AE 于点 F , DF=AC. 第1题图

数学倍长中线法

数学倍长中线法集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]

倍长中线法 1.如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G 、F 分别为AD ，BC 边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF 的长 2.如图，CB 、CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC=AB ．求证：①CE=2CD ．②CB 平分∠DCE ． 3.如图已知△ABC，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF ＝2AD. 4.如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE ＝AC ，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：∠AEF=∠EAF 5..如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG=CF ，求证：AD 为△ABC 的角平分线. 6..如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE. 7.：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 9.在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 10.已知：如图，ABC 中，C=90，CMAB 于M ，AT 平分BAC 交CM 于D ，交 BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE. 12. 13.四边形ABCD 是矩形，将ABE 沿着直线AE 翻折，点A 落在点F 处，直线AF 与直线CD 交于点G, 如图1，若E 为BC 的中点，请探究线段AB 、AG 、DG 之间的关系 F E C A B D E A B C

初中数学全等专题倍长中线法(含答案)

初中数学全等专题倍长中线法(含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初中数学全等专题倍长中线法 1.如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( ) A.2＜AB＜12 B.4＜AB＜12 C.9＜AB＜19 D.10＜AB＜19 答案：C 解题思路：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，可先证明△ABD≌△ECD，则AB=CE，在△ACE中，根据三角形的三边关系，得AE-AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19.则9＜AB＜19.故选C. 2.如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确 的是（） A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 答案：A 解题思路：①正确，延长CD至点F，使得DF=CD，连接AF，可先证明△ADF≌△BDC，再证明△ACF≌△BEC，由这两个三角形全等可以得知②、④正确。由 △ACF≌△BEC，得∠ACD=∠E,若要∠ACD=∠BCE，则需∠E＝∠BCE，则需BC=BE，显然不成立，故③选项错误 3.如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE，延长DE到点F使得EF=DE，连接BF，则下列说法正确的是（） ①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB=BF ④△ABE为等腰三角形 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 答案：A 解题思路：可以先证明△BEF≌△CED，可以得到②正确，进而得到∠F=∠D，BF∥CD，①正确，又∵∠BAE=∠CDE=∠F，∴AB=BF，③正确。④不正确。 4.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为（） 2

最新倍长中线法(经典例题)

倍长中线法 知识网络详解： 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角） 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC中 方式1：延长AD到 E，AD是BC边中线 使DE=AD， 连接BE 方式2：间接倍长 作CF⊥AD于F，延长MD到N， 作BE⊥AD的延长线于使DN=MD， 连接BE 连接CN 经典例题讲解： 例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围

例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 过D 作DG//AC 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ B A B F D E C

例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE 自检自测： 1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE. 2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论. A B F E A B C

初中数学全等专题倍长中线法(含答案)

初中数学全等专题倍长中线法 1.如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( ) A.2＜AB＜12 B.4＜AB＜12 C.9＜AB＜19 D.10＜AB＜19 答案：C 解题思路：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，可先证明△ABD≌△ECD，则AB=CE，在△ACE中，根据三角形的三边关系，得AE-AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19.则9＜AB＜19.故选C. 2.如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（） A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 答案：A 解题思路：①正确，延长CD至点F，使得DF=CD，连接AF，可先证明△ADF≌△BDC，再证明△ACF≌△BEC，由这两个三角形全等可以得知②、④正确。由△ACF≌△BEC，得∠ACD=∠E,若要∠ACD=∠BCE，则需∠E＝∠BCE，则需BC=BE，显然不成立，故③选项错误 3.如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE，延长DE到点F使得EF=DE，连接BF，则下列说法正确的是（） ①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB=BF ④△ABE为等腰三角形 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 答案：A 解题思路：可以先证明△BEF≌△CED，可以得到②正确，进而得到∠F=∠D，BF∥CD，①正确，又∵∠BAE=∠CDE=∠F，∴AB=BF，③正确。④不正确。 4.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为（）

倍长中线巧解题汇总

倍长中线巧解题 山东 邹殿敏 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．下面举例说明． 一、证明线段不等 例1 如图1，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．求证：AB +AC ＞2AD ． 分析：延长AD 至点E ，使DE =AD ，连接CE ． 易证△ABD ≌△ECD ．所以AB =EC ． 在△ACE AB 二、证明线段相等 例2 如图2，在△ABC 中，AB ＞AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ．求证：BF =CG ． 分析：可以把FE 看作△FBC 的一条中线． 延长FE 至点H ，使EH =FE ，连接CH ． 则△CEH ≌△BEF ．所以CH =BF ，∠H =∠1 ． 因为EG //AD ，所以∠1=∠2，∠3=∠G ． 又因为∠2=∠3，所以∠1=∠G ．所以∠H =∠G ． 由此得CH =CG ．所以BF =CG ． 三、求线段的长 例3 如图3，△ABC 中，∠A =90°，D 为斜边BC 的中点，E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF ，若BE =3，CF =4，试求EF 的长． 分析：可以把ED 看作△EBC 的一条中线． 延长ED 至点G ，使DG =ED ，连接CG ，FG ． 则△CDG ≌△BDE ．所以CG =BE =3，∠2=∠B ． 因为∠B +∠1=90°，所以∠1+∠2=∠FCG =90°． 因为DF 垂直平分EG ，所以FG =EF ． 在Rt △FCG 中，由勾股定理得5FG ===，所以EF =5．

倍长中线法经典例题)

倍长中线法 知识网络详解： 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角） 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC 中 方式1： 延长AD 到E ， AD 是BC 边中线 使DE=AD ， 连接BE 方式2：间接倍长 作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到 N ， 作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ， 连接BE 连接CN 经典例题讲解： 例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围 D A B C E D A B C F E D C B A N D C B A M

例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ F E D A B C F E C A B D A B F D E C

1初中数学《几何辅助线秘籍》中点模型的构造1(倍长中线法;构造中位线法)资料

精品文档 学生姓名上课时间 学生年级 辅导老师 学校 科目 教学重点教学目标中点模型的构造（倍长中线法；构造中位线法；构造斜边中线法）系统有序掌握几何求证思路，掌握何时该用何种方法做辅助线 开场：1.行礼；2.晨读；3.检查作业；4.填写表格 新课导入知识点归纳 1.已知任意三角形（或者其他图形）一边上的中点，可以考虑：倍长中线法（构造全等三角形）； 2.已知任意三角形两边的中点，可以考虑：连接两中点形成中位线； 3.已知直角三角形斜边中点，可以考虑：构造斜边中线； 4.已知等腰三角形底边中点，可以考虑：连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质. 做辅助线思路一：倍长中线法 经典例题1：如图所示，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，求BC边上的中线AD的取值范围. 【课堂训练】 1.如图，已知CB、CD分别是钝△角AEC和锐角△ABC的中线，且AC＝AB，给出下列结论： ①AE＝2AC；②CE＝2CD；③∠ACD＝∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（） A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 新 课 内 容 第1题图第2题图 2.如图，在正方形A BCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若A G＝1， BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3.如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（） ①BD＝DE＝EC；②AB＋AE＞2AD；③AD＋AC＞2AE；④AB＋AC＞AD＋AE。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

4.如图，在△ABC中，AB＞BC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G，求证：BF＝CG． G B A F E D C 5.如图所示，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，连接BE并延长交AC 于点F，AE＝EF，求证：AC＝BF. A E F B D C 6.如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC为直角边向外做等腰直角三角△形ABD和△ACE，F 为BC边上中点，FA的延长线交DE于点G，求证：①DE＝2AF；②FG⊥DE． D G E A B F C

全等三角形问题中常见的辅助线倍长中线法

全等三角形问题中常见的辅助线一一倍长 中线法 △ ABC中,AD是BC边中线 方式1 :直接倍长，（图1）:延长AD到E,使DE=AD连接BE 方式2 :间接倍长 1）（图2）作CF丄AD于F,作BE X AD的延长线于E,连接BE 2）（图3）延长MD到N,使DN=MD连接CD 【经典例题】 例1已知，如图△ ABC中，AB=5 AC=3 贝忡线AD的取值范围是___________ . （提示：画出图形，倍长中线AD,利用三角形两边之和大于第三边）例2 :已知在厶ABC中, AB=AC D在AB上, E在AC的延长线上, DE 交BC于F, 且DF=EF. A

例4:已知在厶ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC延 长BE交AC于F,求证：AF=EF 求证：BD=CE.（提示：方法 1 :过D作DG/ AE交BC于G 证明△ DGF^A CEF 方法2 :过E作EG// AB交BC的延长线于G,证明A EFG^A DFB 方法3 :过D作DGL BC于G,过E作EH丄BC的延长线于H,证明A BDG^A ECH 例3、如图，△ ABC中, E、F分别在AB AC上，DEL DF, D是中点，试比较BE+与EF的大小. B 变式：如图，AD为ABC的中线，DE平分BDA交AB于E, DF平分ADC交AC于 F. A求证: （提示：方法1:在DA上截取DG=BD连结EG FQ 证明A BDE^A GDE A4A DGF所以BE=EG EF CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边方法2: 倍长ED至H,连结CH FH,证明 FH=EF C D C E E CF B

倍长中线法经典例题

倍长中线法 知识网络详解： 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角） 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC 中 方式1： 延长AD 到E ， AD 是BC 边中线 使DE=AD ， 连接BE 作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 使DN=MD ， 连接BE 连接CN 经典例题讲解： 例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围 例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠ ，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证： ∠C=∠BAE 自检自测： 1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE. 2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论. 3、如图，AD 为ABC ?的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+ 4、已知：如图，?ABC 中，?C=90?，CM ?AB 于M ，AT 平分?BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE A B F D E C

倍长中线法(经典例题)

N 作 BE! AD 的延长线于 倍长中线法 知识网络详解: 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时, 常常采用“倍长中线法”添加辅助线. 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全 等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么 等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角） 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模 型的构造。 【方法精讲】常用辅助线添加方法 倍长中线 △ ABC 中 式1:延长AD 到E, B --------------- ■ ------------- C D AD 是E BC 使 DE=AD 接BE 方式2:间接倍长 A B 延长 MD 到N, C E

连接CN 经典例题讲解： 例〔：△ ABC 中，AB=5 AC=3求中线 AD 的取值范围 例2:已知在△ ABC 中，AB=AC D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F ,且 DF=EF 求证：BD=CE 例3：已知在△ ABC 中 , AD 是 BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE 二 AC 例4:已知：如图，在- ABC 中，AB = AC , D E 在 BC 上 ,且 DE 二EC 过 D 作 DF//BA 交 AE 于 点 F , DF=AC. 例 5：已知 CD=AB Z BDA M BAD AE 是A ABD 的中线，求证：/ C=Z BAE 自检自测: 1、如图，△ ABC 中 , BD=DC=AC,是 DC 的中点，求证，AD 平分/ BAE. 使 DN=M , BE 延长BE 交AC 于F ,求证：AF=EF 求证：AE 平分.BAC D E A E C C F A

倍长中线法经典例题

倍长中线法（加倍法） 知识网络详解： 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角） 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。 经典例题讲解： 例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。 例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF， 求证：BD=CE

例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例4：如图，AD 为ABC ?的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+ 例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 第 14 题图 D F C B E A B

自检自测： 1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE 。 2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论. 3、已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ F E A B C D A B F D E C

初中数学三角形全等—倍长中线法模型专题分类练习大全(含答案)

初中数学三角形全等—倍长中线法模型专题分类练习大全 基础模型:△ABC 中, AD 是BC 边中线 思路1：延长AD 到E，使DE=AD，连接BE 思路2：间接倍长,延长MD 到N，使DN=MD，连接CN 思路3, 作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E 1．如图，在△AB C 中，AC=5，中线AD=7，则AB 边的取值范围是（） A．1＜AB＜29 B．4＜AB＜24 C．5＜AB＜19 D．9＜AB＜19 2．如图，△AB C 中，AB=AC，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F，且DF=EF，求证：BD=CE． 3．如图，在△AB C 中，AD 为中线，求证：AB+AC＞2AD．

4．小明遇到这样一个问题，如图1，△AB C 中，AB=7，AC=5，点D 为BC 的中点，求AD 的取值范围． 小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD 到E，使DE=AD，连接BE，构造△B ED≌△C AD，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：（1）小明证明△B ED≌△C AD用到的判定定理是：（用字母表示） （2）AD的取值范围是 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G、F 分别为AD，BC 边上的点，若AG=2，BF=4，∠GEF=90°，求GF 的长． 5．已知：在△AB C 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC，延长BE 交AC 于F，求证：AF=EF． 6．已知：如图，△AB C（AB≠AC）中，D、E 在BC 上，且DE=EC，过D 作DF∥BA交AE 于点F，DF=AC．求证：AE 平分∠BA C． 7-10,换汤不换药(多题一解) 7．如图，D 是△AB C 的BC 边上一点且CD=AB，∠B D A=∠BAD，AE是△AB D 的中线．

初中数学全等专题 倍长中线法(含答案)

初中数学全等专题倍长中线法1.如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( ) A.2＜AB＜12 B.4＜AB＜12 C.9＜AB＜19 D.10＜AB＜19 答案：C 解题思路：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，可先证明△ABD≌△ECD，则AB=CE，在△ACE 中，根据三角形的三边关系，得AE-AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19.则9＜AB＜19.故选C. 2.如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=2AC； ②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（） A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 答案：A 解题思路：①正确，延长CD至点F，使得DF=CD，连接AF，可先证明△ADF≌△BDC，再证明 △ACF≌△BEC，由这两个三角形全等可以得知②、④正确。由△ACF≌△BEC，得∠ACD=∠E, 若要∠ACD=∠BCE，则需∠E＝∠BCE，则需BC=BE，显然不成立，故③选项错误 3.如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE，延长DE到点F使得EF=DE，连接BF，则下列说法正 确的是（） ①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB=BF ④△ABE为等腰三角形 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 答案：A 解题思路：可以先证明△BEF≌△CED，可以得到②正确，进而得到∠F=∠D，BF∥CD，①正确， 又∵∠BAE=∠CDE=∠F，∴AB=BF，③正确。④不正确。 4.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2， ∠GEF=90°，则GF的长为（） A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解题思路：延长FE交DA的延长线于点M，则可证△AEM≌△BEF，再证明△GEM≌△GEF，可 以得到GF=GM=GA+BF=3，答案选C 5.如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（） ①BD=DE=EC ②AB+AE＞ 2AD ③AD+AC＞2AE ④AB+AC＞AD+AE A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：D

倍长中线法专题练习

倍长中线法专题练习 例题：如图1，在ABC ?中，CD 为AB 边上的中线. 求证：CD BC AC 2>+ 证明：如图2，延长CD 至E ，使CD DE =，连接AE 易证ADE ?≌BDC ? ∴BC AE = 在CAE ?中 CE AE AC >+ 即CD BC AC 2>+ 注：见中点构造全等三角形应根据具体的条件进行选择，切记不要一味模仿. 1：⑴如图，等腰直角ABD ?与等腰直角BEF ?具有公共的顶点B ，且点B 、F 、D 在同一条直线上，点P 为DF 的中点，连接PA 、PF . 猜想线段PA 、PF 的关系并加以证明. 2：如图，两个等腰直角ABC ?与DEB ?，点E 、B 、C 在同一条直线上，P 为EC 中点. 探究PD 与PA 的关系. 变式一：将图（6）中的三角形BOD 绕O 顺时针旋转，其它条件不变，判断并证明MA 与MB 的关系。 M O D C B A

变式二：将图（6）中三角形改作一般直角三角形，即△AOC 与△BOD ， ∠CAO=∠DBO=90°，且∠AOC=∠BOD ，C 、O 、D 共线，M 为CD 中点，判断并MA 与MB 关系。 3：如图等腰直角三角形ABC ，D 是BC 上一动点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， P 是BC 中点。求证：PE=PF ，PE ⊥PF 。 变式（一）两个等腰直角三角形有公共顶点D ，P 为BC 中。 求证：PE=PF ，PE ⊥PF 。 4：如图，线段AB ，点P 在AB 的下方， ⑴若PB PA =，在的AB 上方作AP A A ⊥'，且AP A A ='，作PB B B ⊥'，且PB B B ='，连接B A ''，取B A ''的中点O ，连接AOB ?，试判断AOB ?的形状并证明。 ⑵若PA 与PB 不相等，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？给出证明。 M O D C B A P C F D E B A C P D E B A

倍长中线最全总结 例题+练习(附答案)

倍长中线 知识导航 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。 倍长中线：延长三角形中线，是得延长后的线段是原中线的2倍。目的是为构造一对8字型全等三角形（SAS ），从而实现边角的转移。 易错点睛 倍长中线的目的在于转移边角，需要注意的是要注意延长哪一条线段或者类中线；倍长之后， 需要考虑连接哪一条线段从而构造全等，实现所需的线段进行转移。 D A B C

模块一 有关倍长中线的全等模型 【范例】 （2014秋?江汉区校级月考）如图，在ABC ?中，AD 为中线，求证：2AB AC AD +>． 【分析】 延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ???，再根据三角形的三边关系可得 2AB AC AD +>。 【解答】 证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =， D 为BC 的中点， DB CD ∴=， 在ADC ?和EDB ?中AD DE ADC BDE DB CD =?? ∠=∠??=? ， ()ADC EDB SAS ∴???， BE AC ∴=， 在ABE ?中，AB BE AE +>， 2AB AC AD ∴+>； B B

【核心考点1】倍长中线 1．（2016秋?五莲县期中）如图，ABC ?中，D 为BC 的中点． （1）求证：2AB AC AD +>； （2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围． 【分析】 （1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB ???，再根据三角形的三边关 系可得2AB AC AD +>； （2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三 边可得53253AD -<<+，再计算即可． 【解答】 （1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =， D 为BC 的中点， DB CD ∴=， 在ADC ?和EDB ?中AD DE ADC BDE DB CD =?? ∠=∠??=? ， ()ADC EDB SAS ∴???， BE AC ∴=， 在ABE ?中，AB BE AE +>， 2AB AC AD ∴+>； （2）5AB =，3AC =， 53253AD ∴-<<+， 14AD ∴<<． A B C

数学倍长中线法

倍长中线法 1. 如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF的长 2.如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE． 3.如图已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF＝2AD.

4.如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE ＝AC ，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：∠AEF=∠EAF 5..如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG=CF ，求证：AD 为△ABC 的角平分线. 6..如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE. 7.：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ， 求证：BD=CE F E C A B D

9.在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 10.已知：如图， ABC 中， C=90 ，CM AB 于M ，AT 平分 BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE. F E A B C D D A B C M T E 第 1 题图 A B F D E C

倍长中线法(经典例题)

知识网络详解： 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角） 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC中 方式1：延长AD到E， AD是BC边中线使DE=AD， 连接BE 方式2：间接倍长 作CF⊥AD于F，延长MD到N， 作BE⊥AD的延长线于使DN=MD， 连接连接CN 经典例题讲解： 例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围 例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE

例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE B A B F D E C

自检自测： 1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE. 2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论. 3、如图，AD为ABC ?的中线，DE平分BDA ∠交AB于E，DF平分ADC ∠交AC于F. 求证：EF CF BE> + E A B C

倍长中线法 经典例题

倍长中线法知识网络详解： 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角） 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。 【方法精讲】 △ABC中方式1 AD是BC 连接BE 方式2：间接倍长 作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于E使DN=MD，

连接BE 连接CN 经典例题讲解： 例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围 例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在 BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 自检自测： 1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE. 2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论. 3、如图，AD 为ABC ?的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F.求证：EF CF BE >+ A B F D E C

倍长中线法(含答案)

专题2：倍长中线法 【典例引领】 例题：（2014黑龙江龙东地区）已知ΔABC 中，M 为BC 的中点，直线m 绕点A 旋转，过B 、M 、C 分别作BD ⊥m 于E ，CF ⊥m 于F 。 （1）当直线m 经过B 点时，如图1，易证EM=12CF 。（不需证明） （2）当直线m 不经过B 点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD 、ME 、CF 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明。 【强化训练】 1、（2017黑龙江龙东地区）已知：ΔAOB 和ΔCOD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD ，BC ，点H 为BC 中点，连接OH 。 （1）如图1所示，易证OH= 21AD 且OH ⊥AD （不需证明）

（2）将ΔCOD绕点O旋转到图2，图3所示位置是，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论。 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF． （1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=2√3，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．

3.已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点 A、C向直线BD作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点。 （1）当点P与点O重合时，如图1，易证OE=OF（不需证明） （2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明。

倍长中线巧解题

倍长中线法 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．下面举例说明． 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC中 方法：延长AD到E， AD是BC边中线使DE=AD， 连接BE 思考：倍长中线后，能推出什么结论？ 例1. 如图：AD为△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD 例2.△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围 A B C D E 1 5 图

A B C D E F M 例3. CB ，CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC=AB ．求证：CE=2CD 。 例4.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC ，M 是CD 的中点，求证：AM 、BM 分别平分∠DAB 和∠CBA 。 例5.（提高题）如图5-2， 已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直 角边各向外作等腰直角三角形，求证EF=2AD 例6.（提高题）在正方形ABCD 中,点E 、F 分别为BC 和AB 的中点求证：AM=AD A B C D E F 25 图

在RT △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上的一点，连接BO ，交AD 于F ，CE ⊥OB 交BC 边于点E 。（1）求证：△ABF ∽△COE （2）若O 是AC 边中点，2AC AB =，如图，求 O F O E 的值。 （3）当O 是AC 边中点，AC n AB =，请直接写出 O F O E 的值。 C C O 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC 中 方式1： 延长AD 到E ， AD 是BC 边中线 使DE=AD ， 连接BE 方式2：间接倍长 作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接BE 连接CD 【经典例题】 例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围 提示：画出图形，倍长中线AD ，利用三角形两边之和大于第三边

初中数学全等专题倍长中线法(含答案)

第 1 页 共 1 页 初中数学全等专题倍长中线法 1.如图，在△ABC 中，AC=5，中线AD=7，则AB 边的取值范围是( ) A.2＜AB ＜12 B.4＜AB ＜12 C.9＜AB ＜19 D.10＜AB ＜19 答案：C 解题思路：延长AD 至E ，使DE=AD ，连接CE ，可先证明△ABD ≌△ECD ，则AB=CE ，在△ACE 中，根据三角形的三边关系，得AE-AC ＜CE ＜AE+AC ，即9＜CE ＜19.则9＜AB ＜19.故选C. 2.如图，已知CB 、CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC=AB ，给出下列结论：①AE=2AC ；②CE=2CD ；③∠ACD=∠BCE ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是（） A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 答案：A 解题思路：①正确，延长CD 至点F ，使得DF=CD ，连接AF ，可先证明△ADF ≌△BDC ，再证明△ACF ≌△BEC ，由这两个三角形全等可以得知②、④正确。由△ACF ≌△BEC ，得∠ACD=∠E,若要∠ACD=∠BCE ，则需∠E ＝∠BCE ，则需BC=BE ，显然不成立，故③选项错误 3.如图，点E 是BC 的中点，∠BAE=∠CDE ，延长DE 到点F 使得EF=DE ，连接BF ，则下列说法正确的是（） ①BF ∥CD ②△BFE ≌△CDE ③AB=BF ④△ABE 为等腰三角形 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 答案：A 解题思路：可以先证明△BEF ≌△CED ，可以得到②正确，进而得到∠F=∠D ，BF ∥CD ，①正确，又∵∠BAE=∠CDE=∠F ，∴AB=BF ，③正确。④不正确。 4.如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G 、F 分别为AD ，BC 边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF 的长为（） A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解题思路：延长FE 交DA 的延长线于点M ，则可证△AEM ≌△BEF ，再证明△GEM ≌△GEF ，可以得到 GF=GM=GA+BF=3，答案选C 5.如图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，则下列说法正确的有（） ①BD=DE=EC ②AB+AE ＞2AD ③AD+AC ＞2AE ④AB+AC ＞AD+AE A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：D 解题思路：点D 、E 为边BC 的三等分点，∴BD=DE=CE 延长AD 至点M ，AE 至点N ，使得DM=AD ，EN=AE ，连接EM 、CN ，则可证明△ABD ≌△MED ，进而可得AB+AE ＞2AD ，再证明△ADE ≌△NCE ，进而可得AD+AC ＞2AE ，将两式相加可得到AB+AE+AD+AC ＞2AD+2AE,即AB+AC ＞AD+AE.∴①②③④均正确。