常见傅里叶变换对照表
常见傅里叶变换对照表
一、傅里叶变换简介
1.1 什么是傅里叶变换
傅里叶变换是一种将函数从时域（时间域）转换到频域（频率域）的数学技术。它可以将一个信号表示成若干不同频率的正弦波的叠加，从而揭示信号的频谱特征。傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域广泛应用。
1.2 傅里叶级数与傅里叶变换的区别
傅里叶级数只适用于周期信号，它将周期信号分解为一系列正弦和余弦函数的叠加。而傅里叶变换则适用于非周期信号，它将非周期信号分解为连续的频谱成分。
1.3 傅里叶变换的基本公式
傅里叶变换的基本公式如下：
∞
(t)⋅e−jωt dt
F(ω)=∫f
−∞
其中，F(ω)表示信号f(t)在频率ω处的复幅，j为虚数单位。
二、时域与频域的对应关系
2.1 时域和频域的意义
时域表示信号随时间变化的情况，主要包括信号的幅度、相位等信息；频域则表示信号在不同频率上的成分及其对应的幅度、相位等信息。
2.2 原始信号与频域成分的对应关系
原始信号在频域中可表示为若干个频率分量的叠加，傅里叶变换将原始信号转换为频域成分，每个频域成分对应一个复数值，表示该频率上的幅度和相位。
2.3 时域与频域之间的转换
时域信号可以通过傅里叶变换转换为频域信号，频域信号可以通过傅里叶逆变换还原回时域信号，二者之间存在一一对应的关系。
三、常见傅里叶变换对照表
3.1 常见信号及其频域表示
下表列举了一些常见信号的时域表示和频域表示。
信号名称时域表示频域表示
单频正弦信
号
Asin(ω0t+ϕ)Aδ(ω−ω0)+Aδ(ω+ω0)
周期方波信号B0,B1,...,B n B0δ(ω)
+B1δ(ω−ω0)+...+B nδ(ω−nω0)
高斯脉冲信号f(t)=
1
√2πσ
−
t2
2σ2F(w)=e−
σ2w2
2
矩形脉冲信号f(t)
={1,当−
T
2
T 2 0,其他情况 F(w)=T⋅sinc( T 2 w) 3.2 常见运算及其在频域中的对应关系 下表列举了一些常见运算及其在频域中的对应关系。 运算时域表示频域表示 时域平移f(t−t0)e−jωt0F(ω) 时域缩放f(at)1 |a|F( ω a ) 时域卷积(f∗g)(t)=∫f ∞ −∞(t−τ)g(τ)dτ F(ω)G(ω) 频域平移e jω0t f(t)F(ω−ω0)频域缩放f(t a )aF(ω)频域卷积(f∗g)(t)=ℱ−1{F(ω)G(ω)}F(ω)G(ω) 四、总结 本文介绍了傅里叶变换的基本概念及其在时域和频域之间的关系。通过常见傅里叶变换对照表，我们可以更方便地理解信号在时域和频域之间的转换规律，以及不同运算在频域中的对应关系。对傅里叶变换有一个清晰的认识，有助于我们在信号处理、图像处理等领域中应用傅里叶变换进行频谱分析、滤波等操作。希望本文能为读者对傅里叶变换的理解提供帮助。 时域信号 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 | 线性 2时域平移 3频域平移, 变换2的频域对应 \ 4 如果值较大，则会收缩 到原点附近，而会扩 散并变得扁平. 当| a | 趋向无 穷时，成为Delta函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过 交换时域变量和频域变量 得到. 6 / 傅里叶变换的微分性质 7变换6的频域对应 8 表示和的卷积—这 就是卷积定理 - 9 矩形脉冲和归一化的sinc函数 10变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 11- tri是三角形函数 12变换12的频域对应 13高斯函数exp( ? αt2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当Re(α) > 0时，这是可积的。 ￥14 15 16》 a>0 18δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换 【 19 变换23的频域对应20由变换3和24得到. 21` 由变换1和25得到，应用了欧拉公 式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 22由变换1和25得到 23这里, n是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。 / 24此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的. 25变换29的推广. 17变换本身就是一个公式 26【 变换29的频域对应. 27此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换根据变换1和31得到. 28u(t)是单位阶跃函数，且a > 0. 34狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变. 常见傅里叶变换对照表 常见傅里叶变换对照表 傅里叶变换是一种将信号从一个域（时间域或空间域）转换到另一个 域（频率域或波数域）的方法，它在各个领域中都有广泛应用。下面 是一份常见傅里叶变换对照表，供大家参考。 一、离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT） 离散时间傅里叶变换是一种将离散时间域信号转换为频率域信号的方法。它在数字信号处理、通信等领域广泛应用。DFT可以通过FFT （快速傅里叶变换）算法高效地实现。 二、快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT） 快速傅里叶变换是一种将信号从时间域转换到频率域的算法。它是 DFT的一种优化，能够在O(n log n)的时间复杂度内完成。FFT在图像 处理、语音信号处理、音频信号处理等领域都有广泛应用。 三、离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，DCT） 离散余弦变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，它在数字信号 压缩、音频信号处理、图像处理等领域中广泛应用。DCT与DFT相比，具有更好的压缩性能，因此在多媒体领域中更常用。 四、小波变换（Wavelet Transform） 小波变换是一种将信号分解成多个不同频率的小波形式的方法。它在 信号处理、压缩、去噪、模式识别等领域中被广泛用于分析。 五、海森矩阵变换（Haar Transform） 海森矩阵变换是小波变换的一种变体，它将输入信号分解成长度为2 的小块，并对每个小块进行平均和差分运算。海森矩阵变换在压缩、 减少存储需求等方面有应用。 综上所述，傅里叶变换及其衍生算法在数字信号处理、音频信号处理、图像处理、通信等领域中有广泛的应用。不同的变换方法适用于不同 的信号处理任务，因此了解不同的变换方法及其应用场景是十分必要的。 弧频率表示的时域信号注释傅里叶变换 线性1 时域平移2 频域平移3 , 变换2的频域对应 会收缩值较大，则如果 4 会扩而到原点附近，a趋向 | | . 散并变得扁平当无穷时，成为函数。 Delta 通过傅里叶变换的二元性性质。 5 交换时域变量和频域变量 . 得到 6 傅里叶变换的微分性质 变换7 6的频域对应 表示和的卷积—这 8就卷积定 9 矩形脉冲和归一化的sinc函数 变换10的频域对应。矩形函数是理 想的低通滤波器，sinc函数是这类10 滤波器对反因果冲击的响应。 tri是三角形函数 11 12 变换12的频域对应 2t) ?α的傅里叶变 exp( 高斯函数 换是他本身. 只有当 Re(α) 13 > 0时，这是可积的。 14 15 a>0 16 17 变换本身就是一个公式 δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克18 δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换 19 变换23的频域对应 20 由变换3和24得到. 由变换1和25得到，应用了欧拉公 21 iat?iat eeat) / 2. 式: cos() = ( + 22 由变换1和25得到 n)(n(ω) . δ这里, 自然数是一个n阶微分。函数分布的是狄拉克δ 这个变换是根据变换23 7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。 此处sgn(ω)为符号函数；注意此变 24 换与变换7和24是一致的. 25 变换29的推广. 26 变换29的频域对应. ut)是单位阶跃函数此处(; 此变换 27 根据变换1和31得到. uta > 0. ，且()是单位阶跃函数28 狄拉克梳状函数——有助于解释或34 理解从连续到离散时间的转变. 时域信号弧频率表示的 注释傅里叶变换 1 线性 2 时域平移 3 频域平移,变换2 的频域对应 如果值较大，则会收缩到原 4 点附近，而会扩散并变得 扁平.当| a | 趋向无穷时，成为 Delta 函数。 傅里叶变换的二元性性质。通过交换5 时域变量和频域变量得到. 6 傅里叶变换的微分性质 7 变换 6 的频域对应 9 矩形脉表冲示和归一和化的的卷sin 积c 函—数这就 8 是卷积定理 变换 10 的频域对应。矩形函数是理 10 想的低通滤波器， sinc 函数是这类滤 波器对反因果冲击的响应。 1 tri 是三角形函数 12 变换 12 的频域对应 高斯函数 exp( - αt 2) 的傅里叶变 13 换是他本身 . 只有当 Re( α) > 0 时， 这是可积的。 14 15 16 a>0 17 变换本身就是一个公式 δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布.这18 个变换展示了狄拉克δ函数的重要 性：该函数是常函数的傅立叶变换 19 变换23 的频域对应 20 由变换3 和24 得到. 由变换 1 和25 得到，应用了欧拉公21 式: cos( at) = ( e iat + e - iat ) / 2. 22 由变换1 和25 得到 这里, n 是一个自然数. δ(n)(ω) 是 狄拉克δ 函数分布的n 阶微分。这23 个变换是根据变换7 和24 得到的。 将此变换与 1 结合使用，我们可以变 换所有多项式。 此处sgn( ω)为符号函数；注意此变24 换与变换7 和24 是一致的. 25 变换29 的推广. 26 变换29 的频域对应. 此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换根27 据变换 1 和31 得到. 28 u(t)是单位阶跃函数，且 a > 0. 狄拉克梳状函数——有助于解释或34 理解从连续到离散时间的转变. 之邯 郸勺丸创作时间：二O二一年七月二十九日 时域信号 弧频率暗示的傅里叶变换注释 1线性 2时域平移 3频域平移, 变换2的频域对应 4如果值较大, 则会收缩到原点邻近,而 会扩散并变得扁平. 当| a | 趋向无穷时,成为Delta函数. 5傅里叶变换的二元性性质.通过交换时域变量 和频域变量得到. 6傅里叶变换的微分性质 7变换6的频域对应 8 暗示和 的卷积—这就是卷积定理 9矩形脉冲和归一化的sinc函数 10变换10的频域对应.矩形函数是理想的低通滤波器,sinc 函数是这类滤波器对反因果冲击的响应. 11tri是三角形函数12变换12的频域对应 13高斯函数exp( −αt2) 的傅里叶变换是他自己. 只有当Re(α) > 0时,这是可积的. 14 15 18δ(ω) 代表狄拉克δ函数散布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换 19变换23的频域对应20由变换3和24得到. 21由变换1和25得到,应用了欧拉公式: cos(at) = (eiat + e−iat) / 2. 22由变换1和25得到 23这里, n是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数散布的n阶微分.这个变换是按照变换7和24得到的.将此变换与1结合使用,我们可以变换所有多项式. 16a>0 17变换自己就是一个公式 24此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的. 25变换29的推广. 26变换29的频域对应. 27此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换按照变换1和31得到. 28u(t)是单位阶跃函数,且a > 0. 34狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变. 时间：二O二一年七月二十九日 时域旌旗灯号 【1 】弧频率暗示的 傅里叶变换 注释 1线性 2时域平移 3频域平移, 变换2的频域对应 4 假如值较大,则会压缩到原点邻 近,而会集中并变得扁平. 当 | a | 趋势无限时,成为Delta函数. 5傅里叶变换的二元性性质.经由过程交流时域变量和频域变量得到. 6傅里叶变换的微分性质7变换6的频域对应 8 暗示和的卷积—这就是卷 积定理 9矩形脉冲和归一化的sinc函数 10变换10的频域对应.矩形函数是幻想的低通滤波器,sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应. 11tri 是三角形函数12变换12的频域对应 13高斯函数exp( − αt2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当Re(α) > 0时,这是可积的. 14 15 16a>0 18δ(ω) 代表狄拉克δ函数散布. 这个变换展现了狄拉克δ函数的主要性：该函数是常函数的傅立叶变换 19变换23的频域对应20由变换3和24得到. 21由变换1和25得到,运用了欧拉公式: cos(at) = (eiat + e−iat) / 2. 22由变换1和25得到 23这里, n 是一个天然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数散布的n阶微分.这个变换是依据变换7和24得到的.将此变换与1联合运用,我们可以变换所有多项式. 24此处sgn(ω)为符号函数;留意此变换与变换7和24是一致的. 25变换29的推广. 17变换本身就是一个公式 26变换29的频域对应. 27此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换依据变换1和31得到. 28u(t)是单位阶跃函数,且a > 0. 34狄拉克梳状函数——有助于说明或懂得从持续到离散时光的改变.常用傅里叶变换表
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常用傅里叶变换表
常用傅里叶变换表(0111014026)
常用傅立叶变换表
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