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重庆市外国语学校2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析

重庆外国语学校2019-2020学年(下)高2022届期末考试

数学试题

一?选择题

1.已知等差数列{}n a 满足364,2a a ==-，则{}n a 的公差是（） A. 1 B. 1-

C. 2

D. 2-

【答案】D 【解析】【分析】

根据等差数列的通项公式即可求解.

【详解】因为等差数列{}n a 满足364,2a a ==-，所以633a a d =+，即243d -=+，解得2d =-，故选：D

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于容易题.

2.已知直线20ax y a ++=与直线10x ay a ++-=垂直，则实数a 的值是（） A. 0 B. 1-

C. 1

D. ±1

【答案】A 【解析】【分析】

由题意结合直线垂直的性质可得0a a +=，即可得解.

【详解】因为直线20ax y a ++=与直线10x ay a ++-=垂直，所以0a a +=即0a =，所以实数a 的值是0. 故选：A.

【点睛】本题考查了直线垂直的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

3.过点(32)-，且与22

194

x y +=有相同焦点的椭圆的方程是（）

A. 2211510x y +=

B. 22

1225100x y +=

C. 2211015

x y +=

D. 22

1100225

x y +=

【答案】A 【解析】

试题分析：椭圆22

194

x y +=，

∴焦点坐标为：0），（0），

∵椭圆的焦点与椭圆22

194

x y +=有相同焦点

设椭圆的方程为：22

22+x y a b

=1，

∴椭圆的半焦距a 2-b 2=5 结合

294

+1a b

=，解得：a 2=15，b 2=10 ∴椭圆的标准方程为22

11510

x y +=，故选A ．

考点：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质．点评：常见题型，围绕a,b,c 布列方程组．

4.已知单调递减的等比数列{}n a 满足142318,32a a a a +==，则5a =（） A. 32 B. 16

C. 2

D. 1

【答案】D 【解析】【分析】

根据等比数列的性质可得23a a =14a a ，联立方程即可求出1416,2a a ==，求出公比即可求解. 【详解】递减的等比数列{}n a 中，由3232a a =可得，

1432a a =,

又1418a a +=，等比数列单调递减，解得1416,2a a ==，所以3

4118

a q a =

=，故12

q =

，所以541

a a =?=，故选：D

【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列的性质，属于中档题. 5.已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，30,45A B ==，则

b =（）

【答案】B 【解析】【分析】

利用正弦定理直接求解即可. 【详解】由正弦定理知，

sin sin a b A B

即

sin sin 30sin sin 452

a A

b B ?===

?，故选：B

【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于容易题.

6.已知定点()00,P x y 在单位圆221x y +=内部，则直线001x x y y +=与圆221x y +=的位置

关系是（） A. 相交 B. 相切

C. 相离

D. 无法确定

【答案】C 【解析】【分析】

根据点在圆的内部可得22

001x y +<，再利用圆心到直线的距离与半径关系判断即可.

【详解】

()00,p x y 在圆221x y +=的内部

001x y ∴+<

因

圆心为(0,0)，半径为r ，

所以圆心到直线的距离1d r =

∴直线与圆相离，

故选：C

【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，点到直线的距离，属于中档题.

7.已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足222b c a bc +=-，则A =（） A.

π B.

π C.

π D.

π 【答案】C 【解析】【分析】

利用余弦定理求A 的值. 【详解】

222b c a bc +=-，222b c a bc -∴+=-，

∴2221cos 222

b c a bc A bc bc +--===-，

0A π<<，∴23

A π

，故选：C.

【点睛】本题考查余弦定理的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题.

8.过点()1,2M 作直线16y x m =-+与椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>相交于,A B 两点，若M

是线段AB 的中点，则该椭圆的离心率是（）

1112

【答案】B 【解析】【分析】

设()11,A x y ，()22,B x y ，由直线的斜率公式、中点坐标公式及点差法可得221

b a =，再由椭

圆离心率公式即可得解.

【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，

由直线AB 的斜率为1

-可得

y y x x ，由线段AB 的中点为()1,2M 可得

x x +=，1222y y +=，

由点,A B 在椭圆上可得22

112

222

2222

x y a b

x y a b ?+=????+=??，作差得22221212220x x y y a b --+=，所以

()()()()121212122

0x x x x y y y y a b +-+-+=，即()()12122

240x x y y a b --+=，

所以()2

12212213

y y b a x x -=-

=-，

所以该椭圆的离心率c e a ===故选：B.

【点睛】本题考查了直线与椭圆的综合应用、点差法的应用及椭圆离心率的求解，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题. 9.已知正实数,x y 满足2x y +=，则

x y

+的最小值是（） A.

C. 3

D. 【答案】A

【解析】【分析】

由题意结合基本不等式可得

123122x y +≥+?. 【详解】因为正实数,x y 满足2x y +=，

所以()1211212313

322222

y x x y x y x y x y ????+=?++=++≥+?=+ ? ?????

当且仅当2

2y x =即2x =，4y =-.

所以12x y +的最小值是3

故选：A.

【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 10.已知非直角ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足

()

4,cos sin 0a c b C C a ==-=，则b =（）

【答案】B 【解析】【分析】

先利用正弦定理把()cos sin 0b C C a +-=中的边统一成角，化简求出角B ，再利用余弦定理可求出b .

【详解】解：因为(

)

cos sin 0b C C a +-=，

所以由正弦定理得，()

sin cos sin sin 0B C B C A C +-=, 因为 A B C π++=，所以()A B C π=-+，

所以sin sin[()]sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=-+=+=+,

sin cos sin 0B C B C C -=，

因为sin 0C ≠

cos B B -=，

所以ππ5π

sin 6666

B B π??

-=-<-< ?

?，所以6

B π

或26

3B π

π-

，解得2B π=（舍去），或56

B π

=，

由余弦定理得，2222cos 16324(31b a c ac B =+-=+-?=，所以

b = 故选：B

【点睛】此题考查了正弦定理和余弦定理，三角函数恒等变换公式，考查了计算能力，属于中档题.

11.已知12,F F 分别是椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左右焦点，过1F 的直线与椭圆交于,P Q

两点，2PQ PF ⊥，且234PF PQ =，则1

PF QF =（） A.

2 B.

D. 3

【答案】D 【解析】【分析】

由题意设()23,0x PF x =>，由平面几何的知识可得4PQ x =、25QF x =，由椭圆的定义可得3a x =，再由椭圆的定义可得1QF x =、13PF x =，即可得解. 【详解】由题意画出图形，如图：

设()23,0x PF x =>，则4PQ x =，由2PQ PF ⊥可得2222

5QF PF PQ x =

+=，

所以121222412a PF PF QF QF PQ PF QF x =+++=++=，所以3a x =，所以122a F x Q QF =-=，1223a x PF PF =-=，

所以

1133PF x

QF x

==. 故选：D.

【点睛】本题考查了椭圆定义的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于基础题. 12.在平行四边形ABCD 中，11,B C 分别是边,BC CD 中点，22,B C 分别是线段11,BB CC 中点，…,n n B C 分别是线段()

11,,2n n BB CC n N n --∈≥中点，设数列{}{},n n b c 满足：向量

n n n n B C b AB c AC →→→

=+，则下列命题正确的是（）

①{}n b 为常数列，{}n c 为递增数列；

②{}n n b c +为等比数列，其前n 项和为1

12n

-； ③{}n n b c ?为等比数列，其前n 项和为1

n n -+-；

④若平行四边形ABCD 菱形，23

BAD ∠=，设n n n a B C →

=，则数列{}n a 不单调.

A. ①④

B. ②④

C. ③④

D. ①

【答案】D

【解析】【分析】

根据向量的加法、减法运算可归纳出n n

B C →

，得到数列{}n b 、{}n c 的通项公式

1,12n n n

b c =-=-

，根据通项公式可逐项判断，即可得出结论. 【详解】在平行四边形ABCD 中，11,B C 分别是边,BC CD 中点，22,B C 分别是线段11,BB CC 中点，…,n n B C 分别是线段(

)

11,,2n n BB CC n N n --∈≥中点，

可得112B C BC →

→=,234B C BC →→=,378

B C BC →→

=，?，

即有212n n n

B C BC →

→

-=，

112CC AB →

→=-，214CC AB →→=-，318CC AB →→=-，?

，

即有12n n CC AB →→

=-，

所以

2112111122222n n n n n n n n n n n BC AB A B C B C CC C AB AB AB AC →

→

→→→→→→→

→

--=????-=--=-+- ? ?????+=

11,12

n n n b c ∴=-=-

，所以{}n b 为常数列，{}n c 为递增数列正确，故①正确；

111122n n n n

b c +=-+-

=-， ∴数列{}n n b c +为等比数列，前n 项和为11112211212

n n ??

-- ?

????=-- ???-

，故②错误； 1

n n n b c =

?-，显然不是等比数列，故③错误；

设菱形边长为a ，

n n n a B C →

===

令11(0,]22

n t =

∈为减函数，则2

1y t t =-+在1(0,]2

t ∈上为减函数，

又1

t =

为减函数，

所以n a =.

故选：D

【点睛】本题考查数列与向量的综合问题的解法，注意运用向量的加减和数乘运算，考查数列的单调性和最值，以及转化思想和化简运算能力，属于难题. 二?填空题

13.1和4的等比中项是 . 【答案】2± 【解析】

试题分析：设1和4的等比中项是a ，则2

144,2a a =?==±. 考点：等比中项的性质.

14.已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，13,3

b c C ===

，则a =__________.

【答案】5 【解析】【分析】

由题意结合余弦定理可得29241

63a a +-=，解方程即可得解.

【详解】由余弦定理得2221cos 23a b c C ab +-==即29241

a a +-=，

解得5a =或3a =-（舍去），所以5a =.

故答案为：5.

【点睛】本题考查了余弦定理解三角形的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 15.已知数列{}n a 满足递推公式1121,1n n a a a +=+=.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则

n a =__________，471

n n

n n S a +--+的最小值是__________.

【答案】 (1). 21n -； (2). 174

【解析】【分析】

由题意可得()1121n n a a ++=+，由等比数列的性质可得21n

n a =-；利用分组求和法可得

2n n S n +=--，进而可得

479

2212

n n n n n n S a +--=+-+，再由对勾函数的性质即可得解. 【详解】因为121n n a a +=+，所以()1121n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是首项为112a +=，公比为2的等比数列，

所以12n

n a +=，所以21n n a =-；

所以()23121222222212

n n n n

S n n n +-=+++???+-=-=---，

所以()1

427472222921n n n n

n n n

n n n S a n ++--+--==+-+--，

由对勾函数的性质可得，当1n =时，22n =，999

2222222

n +-=+-=；当2n ≥时，24n ≥，所以9

222n

y =+

-单调递增，当2n =时，9917922422442

n +-=+-=

<；所以471n n n n S a +--+的最小值是17

故答案为：21n -；

. 【点睛】本题考查了构造新数列求数列的通项公式、等比数列的应用，考查了分组求和法求

数列前n 项和的应用及对勾函数的应用，属于中档题.

16.已知点M 在直线3230x y +-=上，若在圆2

:1O x y +=上存在点N ，使得

30OMN ∠=，点M 的横坐标的取值范围是__________.

【答案】[1,2] 【解析】【分析】

根据圆的切线的性质,可知当过M 点作圆的切线，切线与OM 所成角是圆上的点与OM 所成角的最大值，所以只需此角大于等于30即可，转化为||2OM 即可，建立不等式求解即可得出结论.

【详解】设00(,)M x y ，过M 作

O 切线交圆于P ，如图，

根据圆的切线性质，有∠OMN ≦∠OMP . 如果∠OMP ≥30° 则

O 上存在一点N 使得∠OMN =30°

∴若圆O 上存在点N ，使∠OMN =30°，则∠OMR ≥30°

||1OP =,

||2OM ∴,

又()2

22222

000000||3241212OM x y x x x x =+=+-=-+ 200412124x x ∴-+≤，

解得：012x ≤≤，故答案为：[1,2]

【点睛】本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质,以及一元二次不等式的解法,综合考察了学生的转化能力，计算能力，属于中档题. 三?解答题

17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，728S =，且248,,a a a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式n a ；（2）若{}n a 的公差不为0，求数列11n n a a +??

???

的前n 项和n T .

【答案】（1）n a n =或4n a =；（2）1

n n T n =+. 【解析】【分析】

（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等比数列的性质可得2

428a a a =?，再由等差数列通项

公式及前n 项和公式列方程即可得1a 、d ，由等差数列的通项公式即可得解；

（2）由题意1111

n n a a n n +=-+，由裂项相消法即可得解. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由248,,a a a 成等比数列可得2

428a a a =?，

则()()()7

1211176728237S a d a d a d a d ??

=+=???+=++?

，解得111a d =??=?或140a d =??=?，

所以n a n =或4n a =；（2）若{}

n a 公差不为0，则n a n =，所以()1111111

n n a a n n n n +==-++，所以111111

111122334111n n T n n n n ????????=-+-+-+???+-=-

= ? ? ? ?+++????????

. 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的综合应用，考查了裂项相消法求数列前n 项和的应用，属于基础题.

18.已知圆C 经过点()1,4P 和点()5,0Q 且圆心在直线1x y +=上.

（1）求圆C 的标准方程；

（2）若过点()1,4-的直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且120ACB ∠=?，求直线l 的方程.

【答案】（1）2

(1)16x y -+=；（2）1x =-或34130x y +-=..

【解析】【分析】

（1）求得线段PQ 的垂直平分线方程，联立方程组，求得圆心C ，根据4CQ =，求得圆的半径，即可求得圆C 的方程；

（2）根据题意，得到圆心到直线l 的距离为2d =，①当直线l 的斜率不存在时，直线方程为

1x =-，符合题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为40kx y k -++=，根据点

到直线的距离公式，列出方程，求得k ，进而得出直线的方程. 【详解】（1）设PQ 的中点为00(,)C x y ，因为点()1,4P 和点()5,0Q ，所以0

01540

3,222

y ++=

===，即()3,2C ，又由40

115

PQ k -=

=--，所以PQ 的垂直平分线的斜率为1k =，所以线段PQ 的垂直平分线方程为10x y --=，

联立方程组10

x y x y +-=??--=?，解得1,0x y ==，即圆心坐标(1,0)C ，

又由4CQ =，即圆的半径为4r =，所以圆C 的方程为2

(1)16x y -+=.

（2）过点()1,4-的直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且120ACB ∠=?，所以圆心到直线l 的距离为2d =，

①当直线l 的斜率不存在时，此时直线方程为1x =-，则圆心到直线l 的距离为2d =，符合题意；

②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为4(1)y k x -=+，即40kx y k -++=，

则圆心到直线的距离为2d =

=，解得34k =-，

此时直线l 的方程为34130x y +-=，

综上可得，直线l 的方程为1x =-或34130x y +-=.

【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.

19.如图，在ABC 中，点D 为边BC 上一点满足,AD AC BAD C ⊥∠=，且1

sin 7

C =

（1）求sin B 的值；

（2）求BD

的值. 【答案】（1）47

；（2）147.

【解析】【分析】

（1）由平面几何的知识结合诱导公式可得sin cos2B C =，再由余弦的二倍角公式即可得解；（2）设(),0AD x x =>，则7CD x =，由正弦定理可得747

BD =，即可得解. 【详解】（1）因为1

sin 7

C =

，AD AC ⊥，BAD C ∠=，所以()2sin sin sin cos 212sin 2B ADC BAD C C C C π??

=∠-∠=--==-

???

247

14949

=；（2）设(),0AD x x =>，则7CD x =，

所以在ABD △中，由正弦定理可得4947sin sin 4749

BD AD x x

BAD B ===

∠，

所以747

BD =，所以71477

BD DC x

x ==. 【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用及正弦定理解三角形的应用，考查了转化化归思想与运算求解能力，属于基础题.

20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n S a =-.

（1）求{}n a 的通项公式n a ；（2）设()()*

n n

b n N a λ-=-

∈，则是否存在实数λ使得数列{}n

b 为递增数列？若存在，

求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）13n n

a =；（2）存在，4

13λ-<<. 【解析】【分析】

（1）由题意结合数列n a 与n S 的关系可得11

n n a a -=

，再由等比数列的性质即可得解；（2）由题意结合数列的单调性可得当2n ≥时，10n n b b ->-恒成立，即

()

()1

341133n n n

λλ--??

--->-? ?

?恒成立，按照n 为偶数、n 为奇数分类讨论即可得解.

【详解】（1）当1n =时，111221a S a =-=，解得11

a =

；当2n ≥时，()()11122211n n n n n n n a S S a a a a ---=--=---=，即11

n n a a -=，所以数列{}n a 是首项为13，公比为1

的等比数列，所以1

n n a =

；（2）由题意()()14413n n

n n n n

b a λλ-=-=-

-?，

若数列{}n b 为递增数列，

则当2n ≥时，()()

114134

130n

n n

n n n n b b λλ----??-=--?---?>?

，

即()()1

134

33110n n

n n λλ---???+--?

?->?

恒成立，

所以()

()1

341133n n n

λλ--??--->-? ?

?对于任意的2n ≥恒成立，

当n 为偶数时，1

4433n λ-??->-? ???，

当2n =时，1

433n -??-? ???

取最大值21

3443-??-= ???

-?，所以44λ->-，1λ<；

当n 为奇数时，1

4433n λ-??>-? ???，

当3n =时，1

433n -??-? ???

取最大值31

416

333

-??-?=-

???

，所以1643λ>-，43λ>-；综上，4

λ-

<<. 【点睛】本题考查了数列n a 与n S 的关系的应用、等比数列性质的应用，考查了数列单调性的应用及运算求解能力，属于中档题.

21.已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其面积为15

c R ?，其中R 为

ABC 的外接圆半径.

（1）求sin sin A B ?的值；

（2）若7

cos cos ,10

A B c ?==，求ABC 的周长.

【答案】（1）1

（2【解析】【分析】

（1）由正弦定理及三角形面积即可求解；

（2）由三角恒等变换可求出cos ,sin C C ，由正弦定理可求R ，由余弦定理可求+a b ，即可求解. 【详解】（1）1

sin 2

ABC

S ab C =

，又

2sin c

R C

=, sin 2c

C R ∴=，

225ABC ab c cR

S R ∴=?=，

245R ab ∴=，

又

2sin sin a b

R A B

==， 252sin 2sin 4R A R B R ∴??=， 1sin sin 5

A B ∴?=

（2）由（1）知，

711cos()cos cos sin sin 1052

A B A B A B +=-=-=， 1

cos cos(())2

C A B π∴=-+=-，

0C π<<

C π∴=

，

sin C ∴=

R ∴=

445

R ab ∴==，

2222cos c a b ab C ∴=+-，

即222a b ab c ++=,

22()19a b c ab ∴+=+=，

a b ∴+=

l a b c ∴=++=

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角恒等变换，属于中档题.

22.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>，其短轴长为2，右焦点

为

)

，动点M 在椭圆C 上，点T 满足2MT MO =-，设点T 的轨迹为曲线C '.

（1）求椭圆C

方程和曲线C '的方程；

（2）过点M 的直线()0y kx m m =+≠交C '于,P Q ，求PQT △面积的最大值.

【答案】（1）椭圆C 的方程为：22

x y +=；曲线C '的方程为221369x y +

=；（2）18. 【解析】【分析】

（1）根据题意得：1b =

，c =

，进而用222a b c =+求得a 即可得椭圆C 的方程；设

00(,)M x y ，(),T x y 通过已知条件得到22

0014x y +=与0033x x y y ?=???

?=??

，消去00,x y 即可得到曲线C '的方程.

（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，由()0y kx m m =+≠与22

1369

x y +=联立解方程得到

()2

21484360k x

kmx m +++-=，通过韦达定理得到12x x +与12x x ?，通过判别式得到

0914m k

<<+，通过弦长公式求得PQ ，通过点到直线的距离公式求得高d ，即可表示PQT △的面积，通过函数的换元法与函数的单调性求得面积的最大值即可.

【详解】解：（1）由题知：1b =

，c =

，所以2

2222

14a b c =+=+

=，

所以椭圆C

的

方程为：2

214

x y +=.

设00(,)M x y ，(),T x y ，

因为2MT MO =-，所以000022x x x y y y -=??-=?，所以003

3x x y y ?=????=??.

又因为动点M 在椭圆C 上，所以2

20014

x y +=，

所以2

23143x y ??

???

??+= ???，化简得：221369x y +=，所以曲线C '的方程为22

1369

x y +=.

（2）因为点00(,)M x y 的过直线()0y kx m m =+≠，所以()000y kx m m =+≠. 设()()1122,,,P x y Q x y ，

由()2201369

y kx m m x y ?=+≠??+

=??消去y ，并整理得：()2221484360k x kmx m +++-=.

因为直线()0y kx m m =+≠交C '于,P Q ，所以>0?，所以()(

)()2

84144360km k

-?+?->，

化简得：2

9(14)k m +>，所以2

0914m k <<+.

所以2121222

8436

,1414km m x x x x k k

-+=-?=++. 由（1）知：00(,)M x y 时，()003,3T x y

PQ =

点()003,3T x y 到直线()0y kx m m =

+≠的距离：

d =

，

所以1122

PQT

PQ d =

??=

22m =?