全国名校高中数学优质学案五大考点经典讲解汇编

全国名校高中数学优质学案五大考点经典讲解汇编

常考点1 最值问题的5大解法

方法1 函数法

(1)利用已知函数性质求最值

根据已知的函数解析式,直接利用基本初等函数的性质(单调性、奇偶性等)是函数法的主要类型之一.

典例1 函数y=cos 2x+2cos x的最小值是.

答案-3

2

解析y=cos 2x+2cos x=2cos2x+2cos x-1

=2cos x+1

22

-3

2

≥-3

2

,

当且仅当cos x=-1

2时,函数取得最小值-3

2

.

(2)构建函数模型求最值

很多最值问题需要先建立函数模型,然后利用函数性质求解.建立函数模型的关键是找到一个变量,利用该变量表示求解目标,变量可以是实数,也可以是角度(弧度制实际上也可以看作一个实数),还可以是变量不等式等,建立函数模型需要注意建立的函数模型的定义域.

典例2 在△ABC中,点D满足BD=3

4

BC,当点E在线段AD上移动时,若AE=λAB+μAC,则

t=(λ-1)2+μ2的最小值是( )

A.310

10B.82

4

C.9

10

D.41

8

答案 C

解析设AE=x AD(0≤x≤1),

因为AD=AB+BD=AB+3

4BC=AB+3

4

(AC-AB)=1

4

AB+3

4

AC,所以AE=1

4

x AB+3

4

x AC,

又AE=λAB+μAC,且AB,AC不共线,所以λ=1

4x,μ=3

4

x,

所以t=(λ-1)2+μ2=1

4x-1

2

+3

4

x

2

=1

8

(5x2-4x+8),在x=2

5

时取得最小值9

10

.故选C.

点评已知E点在线段AD上移动,利用共线向量定理设出变量x,建立求解目标关于x的函数关系后利用函数性质求解.

方法2 不等式法

(1)利用基本不等式求最值

基本不等式是求最值的常用方法之一,使用基本不等式时要注意:①基本不等式的使用条件和等号是否能够成立;②变换已知不等式使之符合使用基本不等式的条件.

典例3 已知圆O的半径为1,HM,HN为该圆的两条切线,M,N为两切点,那么HM·HN的最小值

为.

答案22-3

解析连接OH,OM,ON,设∠OHM=∠OHN=θ,0<θ<π

2,则|HM|=|HN|=1

tanθ

,

所以HM·HN=|HM|·|HN|·cos 2θ

=cos2θtanθ=co s

2θcos2θ

sinθ

=

1+cos2θ

2

·cos2θ

1-cos2θ

=co s 22θ+cos2θ

1-cos2θ=(1-cos2θ)

2+3(cos2θ-1)+2

1-cos2θ

=(1-cos 2θ)+2

1-cos2θ

-3≥22-3,

当且仅当1-cos 2θ=2

1-cos2θ

,即cos 2θ=1-2时等号成立.

(2)建立求解目标的不等式求最值

把求解目标归入一个不等式,通过解不等式得出目标的最值,是求最值的常用方法之一.

典例4 已知圆C1:x2+2cx+y2=0,圆C2:x2-2cx+y2=0,椭圆C:x 2

a +y

2

b

=1(a>b>0),c>0,且c2=a2-b2.若圆C1,C2

都在椭圆内,则椭圆离心率的最大值为.

答案1

2

解析由题意得2c≤a,

c2

a2

+c2

b2

≤1,可得

e≤1

2

,

e4-3e2+1≥0,

结合e∈(0,1),可得0

2

.∴e的最大值为1

2

.

方法3 导数法

(1)直接使用导数求最值

三次函数、指数、对数与其他函数综合的函数,求最值时要利用导数法.基本步骤:确定单调性和极值,结合已知区间和区间的端点值确定最值.

典例5 已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f '(n)的最小值是.

思路点拨分别求出f(m), f '(n)的最小值相加即可.

答案-13

解析 f '(x)=-3x2+2ax,

根据已知得f '(2)=0,得a=3,

所以f '(x)=-3x2+6x,令f '(x)=0,得x=0或x=2,

当x<0时, f '(x)<0, f(x)单调递减,

当00, f(x)单调递增,

当x>2时, f '(x)<0, f(x)单调递减,

所以f(m)在[-1,1]上的最小值为f(0)=-4,

又f '(n)=-3n2+6n在[-1,1]上单调递增,

所以f '(n)的最小值为f '(-1)=-9.

故[f(m)+f '(n)]min=f(m)min+f '(n)min=-4-9=-13.

(2)构造函数利用导数求最值

不等式恒成立问题的一个基本处理方法是转化为函数最值问题,需要通过构造函数求函数最值,而求函数最值时导数方法是最有效的.注意使用导数求函数最值的基本步骤.

典例6 已知函数f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3.若存在x∈1

e

,e(e是自然对数的底数,e=2.718 28…)使不等式2f(x)≥g(x)成立,求实数a的最大值.

解析由题意知2xln x≥-x2+ax-3,x∈1

e ,e,即a≤2ln x+x+3

x

,x∈1

e

,e.

令h(x)=2ln x+x+3

x ,x∈1

e

,e,则h'(x)=2

x

+1-3

x2

=(x+3)(x-1)

x2

,当x∈1

e

,1时,h'(x)<0,此时h(x)单调递

减;

当x∈(1,e]时,h'(x)>0,此时h(x)单调递增.

所以h(x)max=max ?1

e

,h(e),

因为存在x∈1

e

,e,使2f(x)≥g(x)成立,

所以a≤h(x)max,又h1

e =-2+1

e

+3e,h(e)=2+e+3

e

,

所以h1

e -h(e)=-4+2e-2

e

>0,

故h1

e >h(e),所以a≤1

e

+3e-2.

即a的最大值为1

e

+3e-2.

点评2f(x)≥g(x)可变形为a≤2ln x+x+3

x ,由题意可知,a小于或等于h(x)=2ln x+x+3

x

的最大值,

从而将问题转化为求函数h(x)=2ln x+x+3

x ,x∈1

e

,e的最大值问题.

方法4 数形结合法

(1)曲线上的点与直线上点的距离的最值

求与直线不相交的曲线上的点与该直线上的点的距离的最值的最直观方法就是“平行切线法”(数形结合思想的具体体现).

典例7 设点P在曲线y=x2+1(x≥0)上,点Q在曲线y=x-1(x≥1)上,则|PQ|的最小值为( )

A.2

2B.32

4

C.2

D.32

2

答案 B

解析在同一坐标系中分别画出两个函数的图象(图略),可知两个函数的图象关于直线y=x对称.

考虑函数y=x2+1(x≥0)图象上某点处斜率为1的切线的切点坐标,由y'=2x=1,得x=1

2,进而y=5

4

,即函

数y=x2+1(x≥0)图象上在点1

2,5

4

处的切线斜率等于1,该点到直线x-y=0的距离为

3

4

2

=32

8

,这个距离

的二倍即为所求的最小值,即|PQ|的最小值为32

4

.故选B.

(2)根据求解目标的几何意义求最值

把求解目标的代数表达式赋予几何意义,就可以把代数问题转化为几何问题、函数问题.常见的目标函数的几何意义有:两点连线的斜率、两点间的距离等.

典例8 (1)(2016山东,4,5分)若变量x,y满足x+y≤2,

2x-3y≤9,

x≥0,

则x2+y2的最大值是( )

A.4

B.9

C.10

D.12

(2)已知实数a,b,c,d满足a-2e a

b =1-c

d-1

=1,其中e是自然对数的底数,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为( )

A.4

B.8

C.12

D.18

思路点拨(1)点(x,y)为平面区域内的动点,x2+y2的几何意义是动点到坐标原点的距离的平方.

(2)将(a,b),(c,d)看作点的坐标,则这两个点各自在一条曲线与一条直线上,(a-c)2+(b-d)2的几何意义是曲线上的点与直线上的点的距离的平方.

答案(1)C (2)B

解析(1)作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(包括边界),

x2+y2表示平面区域内的点与原点的距离的平方,由图易知平面区域内的点A(3,-1)与原点的距离最大,所以x2+y2的最大值是10,故选C.

(2)由a-2e a

b =1-c

d-1

=1,得b=a-2e a,d=-c+2.(a-c)2+(b-d)2的几何意义是曲线y=x-2e x上的点(a,b)与直线

y=-x+2上的点(c,d)的距离的平方.对y=x-2e x求导,得y'=1-2e x,令1-2e x=-1,解得x=0,故曲线

y=x-2e x在x=0处的切线的斜率等于-1,此时切点坐标为(0,-2),该点到直线y=-x+2的距离即为曲线

y=x-2e x与直线y=-x+2上点距离的最小值,此时的最小距离为

2

=22,故所求的最小值为(22)2=8. 方法5 构造法

(1)构造函数求最值

对任意实数a,b,当b≠0时,一定存在实数λ,使得a=λb,用它可以把某些以比值形式出现的二元不等式转化为一元不等式.

典例9 若不等式x2+2xy≤a(x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数a的最小值为( )

A.2

B.2+1

2C.3

2

D.5+1

2

思路点拨分离参数后转化为函数的最值问题,对含变量x,y的表达式构造函数,求函数最值. 答案 D

解析 不等式x 2

+2xy≤a(x 2

+y 2

)对于一切正数x,y 恒成立等价于a≥x 2+2xy

x 2+y 2恒成立,即

a≥ x 2+2xy

x 2+y 2

max

.

令y=tx,则x 2+2xy x 2+y 2=1+2t

1+t 2. 令m=1+2t(m>1),则t=m -1

2

, 则1+2t 1+t =

4m

4+(m -1)

2

=

4m

m -2m+5=

4

m +5m

-2

.

4

m +5-2

≤

2 5-2

=

1+ 5

2, 故a≥

1+ 5

2

.故a 的最小值为

1+ 5

2

,选D.

(2)构造模型求最值

根据求解目标的特点,通过联想已知知识构造恰当的模型(如正方形、正方体、函数、数列等)求解最值.

典例10 函数y= x 2-2x +2+ x 2-6x +13的最小值为 .

思路点拨 联想两点间的距离公式,构造平面直角坐标系中的一个图形模型,根据几何意义求解. 答案 13

解析 将函数化为y= (x -1)2

+(0-1)2

+ (x -3)2

+(0-2)2

,则问题可以转化为在x 轴上找一点,使它到A(1,1),B(3,2)两点距离之和最小的几何模型问题.

将点A(1,1)关于x 轴对称,得A'(1,-1),连接A'B 交x 轴于点P,则线段A'B 的长就是所求的最小值,即|A'B|= (1-3)2

+(-1-2)2= 13.故填 13.

常考点2 范围问题的6大解题妙招

方法1 构建函数模型法

选定一个变量建立求解目标的函数关系式,利用函数的性质得出其取值范围,这是求范围问题最为基本、应用最为广泛的方法.

典例1 (1)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为F1,F2,两条曲线在第一象限的交点记为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1e2的取值范围是( )

A.0,1

5B.1

5

,3

5

C.1

3,+∞ D.1

5

,+∞

(2)在锐角△ABC中,AC=6,B=2A,则BC的取值范围是.

思路点拨(1)椭圆和双曲线的公共元素为半焦距c,以其为变量建立求解目标的函数关系式,然后求解;(2)求出角A的取值范围,以其为变量表示出BC,利用三角函数性质得出其范围.

答案(1)C (2)(23,32)

解析(1)根据已知可知|PF 2|=2c,在椭圆中,根据定义知2c+10=2a1,所以a1=c+5,则离心率e1=c

c+5

,

在双曲线中,根据定义知10-2c=2a2,所以a2=5-c,则离心率e2=c

5-c

.由于P,F1,F2三点构成三角形,所以

2c+2c>10,即c>5

2,根据10-2c=2a2>0可得0

2

c2

-1<3,

所以e1e2=c 2

25-c2=125

2-1

>1

3

.故选C.

(2)根据正弦定理,得AC

sin B =BC

sin A

,又B=2A,

所以6

sin2A =BC

sin A

,所以BC=3

cos A

.

由于△ABC为锐角三角形,所以B=2A<π

2,即A<π

4

,

又A+B=3A>π

2,所以A>π

6

,所以π

6

4

,

所以2

2

2

,所以23

3

<1

cos A

<2,

所以23<3

cos A

<32,即BC的取值范围为(23,32).

方法2 分离参数法

在方程有解、不等式恒成立等问题中求参数取值范围时,如果参数能够分离出来,即方程或不等式的一端为参数,另一端为某个变量的代数式,则只要研究其相应函数的性质即可根据问题的具体设问得出参数的取值范围.

典例2 已知f(x)=(-x 2+x-1)e x ,g(x)=1

3x 3+12

x 2+m,若y=f(x)与y=g(x)的图象有三个不同的交点,求实数m 的取值范围.

思路点拨 函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,即方程f(x)=g(x)有三个不同的实根,分离参数之后,即可将所求解的问题转化为直线y=-m 与某函数图象的交点问题,从而进行求解. 解析 函数y=f(x)与y=g(x)的图象有三个不同的交点等价于方程f(x)=g(x)有三个不同的实根,即-m=(x 2-x+1)e x +13x 3+12x 2有三个不同的实根,亦即直线y=-m 与函数h(x)=(x 2-x+1)e x +13x 3+12

x 2的图象有三个不同的交点.

对h(x)=(x 2

-x+1)e x

+1

3x 3

+1

2x 2求导,得h'(x)=x(x+1)(e x

+1),则函数h(x)在(-∞,-1]上单调递增,在(-1,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增. 所以h(x)极大值=h(-1)=3e +16

,h(x)极小值=h(0)=1, 结合图象知1<-m<3e +16,解得-3e -16

e -1

6,-1 .

典例3 已知函数f(x)=1

2x 2

+aln x(a∈R).当x>1时, f(x)>ln x 恒成立,求实数a 的取值范围. 思路点拨 分离参数后,转化为求函数的最值问题. 解析 依题意知f(x)-ln x>0,即1

2x 2

+aln x-ln x>0,

∴(a -1)ln x>-12x 2,∵x>1,∴ln x>0,∴a -1>-1

2

x 2ln x

, ∴a -1>

-12

x 2ln x

max

.

令g(x)=-12

x 2

ln x ,则g'(x)=

-x ln x +12x (ln x )

2

,

令g'(x)=0,解得x=e 12

,

当1

2时,g'(x)>0,g(x)在(1,e 1

2)上单调递增; 当x>e 1时,g'(x)<0,g(x)在(e 1,+∞)上单调递减. ∴g(x)max =g(e 1)=-e,

∴a -1>-e,即a>1-e,即a 的取值范围是(1-e,+∞).

方法3 参数与变量整体处理法

当参数与变量交织在一起,分离参数不方便时,把参数视为常数,构成一个含参数的函数、不等式、方程等,根据问题的实际情况从整体上得出参数满足的条件,得出其取值范围.

典例4 已知函数f(x)=x+3a 2

x

-2aln x在区间(1,2)内是增函数,则实数a的取值范围是. 思路点拨由题意知f '(x)≥0在(1,2)上恒成立,化为一元二次不等式在(1,2)上恒成立,结合函数图象分类讨论其成立时a的取值范围.

答案-1,1

3

解析 f '(x)=1-3a 2

x2-2a

x

=x

2-2ax-3a2

x2

.

函数f(x)在区间(1,2)内是增函数等价于f '(x)≥0在(1,2)上恒成立,即x2-2ax-3a2≥0在(1,2)上恒成立.

令g(x)=x2-2ax-3a2.当a≤1时,g(x)在(1,2)上单调递增,只要g(1)=1-2a-3a2≥0,解得-1≤a≤1

3

; 当1

当a≥2时,g(x)在(1,2)上单调递减,只要g(2)=4-4a-3a2≥0,即3a2+4a-4≤0,解得-2≤a≤2

3

,与a≥2矛盾.

综上可知,函数f(x)在区间(1,2)内是增函数时,a的取值范围是-1,1

3

.

方法4 数形结合法

(1)直接使用数形结合法

数形结合法是广泛使用的一种数学方法.在求参数范围问题中,使用数形结合的思想就是通过图形位置的变化找到满足题意的参数所需要的条件,进而得出参数的取值范围.

典例5 已知函数f(x)=x2+3,x≥0,

1+4x cos(2π-πx),x<0,

g(x)=kx+1(x∈R),若函数y=f(x)-g(x)在

x∈[-2,3]内有4个零点,则实数k的取值范围是( )

A.22,11

3

B.(22,+∞)

C.22,11

3

D.(23,4]

思路点拨已知函数的零点个数求参数的取值范围,主要考查数形结合思想和分类讨论思想.本题先考虑x=0时的情形,再考虑x≠0时的情形:把函数有四个零点转化为方程有四个实根,化简,构造两个新函数,它们的图象有四个交点,画图得结论.

答案 C

解析当x=0时,显然有f(x)≠g(x),即x=0不是y=f(x)-g(x)的零点.

当x≠0时,y=f(x)-g(x)在x∈[-2,3]内的零点个数即方程f(x)=g(x)(-2≤x≤3)的实根的个数.

当0

x

;

当-2≤x<0时,有kx+1=1+4xcos πx,

即k=4cos πx.

则y=f(x)-g(x)(-2≤x≤3)的零点个数等价于函数y=k与y=x+2

x

,0

4cosπx,-2≤x<0

的图象的交点个数,

作出这两个函数的图象,如图所示,

由图知2

3

,故选C.

(2)根据几何意义构造图形

给数学表达式赋予一定的几何意义,把“式”的问题转化为“几何图形”的问题,以形助数是数形

结合法的一个重要方面.

典例6 若不等式(x-a)2+(x-ln a)2>m对任意x∈R,a∈(0,+∞)恒成立,则实数m的取值范围是( )

A.-∞,1

2B.-∞,2

2

C.(-∞,2)

D.(-∞,2)

思路点拨根据两点间的距离公式得出(x-a)2+(x-ln a)2的几何意义,然后求解.

答案 A

解析式子(x-a)2+(x-ln a)2的几何意义是直线y=x上的点(x,x)到曲线y=ln x上的点(a,ln a)

的距离的平方.y=ln x的导函数为y'=1

x ,令1

x

=1,得x=1,即曲线y=ln x上横坐标为1的点处的切线平

行于直线y=x,此时切点(1,0)到直线y=x的距离最小,最小值为2

2

,此即为曲线y=ln x上的点与直线

y=x上点的距离的最小值,所以[(x-a)2+(x-ln a)2]min=1

2

,不等式(x-a)2+(x-ln a)2>m对任意

x∈R,a∈(0,+∞)恒成立,只需m<1

2,故m的取值范围是-∞,1

2

.故选A.

方法5 转化为参数与函数值比较法

(1)参数与函数的最值比较

求不等式恒成立、等式恒成立等问题中参数范围的主要方法之一就是转化为参数与函数最值的比较,得出参数满足的不等式,求得其范围.

典例7 定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)-2,当x∈(0,2]时, f(x)=x2-x,x∈(0,1), 1

x

,x∈[1,2],

当

x∈(0,4]时,t2-7t

2

≤f(x)≤3-t恒成立,则实数t的取值范围是( )

A.[1,2]

B.2,5

2C.1,5

2

D.[2,+∞)

思路点拨由题意知t2-7

2

t≤f(x)min且f(x)max≤3-t. 答案 A

解析易知函数f(x)在(0,2]上的值域为-1

4,0∪1

2

,1.

当x∈(2,4]时, f(x)=2f(x-2)-2,其中x-2∈(0,2],

故函数f(x)在(2,4]上的值域为-5

2

,-2∪[-1,0].

综上可知,函数f(x)在(0,4]上的最小值为-5

2

,最大值为1.

不等式t2-7t

2≤f(x)≤3-t对x∈(0,4]恒成立等价于t2-7

2

t≤f(x)min且f(x)max≤3-t,

即t2-7

2t≤-5

2

且1≤3-t,

即1≤t≤5

2

且t≤2,即1≤t≤2.

故实数t的取值范围是[1,2].故选A.

(2)参数与函数值域的端点值比较

在函数、数列问题中有些函数不存在最值,该类问题中参数值就要与值域的端点值进行比较,值得注意的是“等号”能否取得.

典例8 已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-1,记数列1

a n a n+1

的前n项和为T n,若对任意的n∈N*,不等式4T n

思路点拨求出4T n的范围,解不等式即可.

答案(-∞,-1]∪[2,+∞)

解析1

a n a n+1=1

(2n-1)(2n+1)

=1

2

1

2n-1

-1

2n+1

,

所以T n=1

21-1

3

+1

3

-1

5

+…+1

2n-1

-1

2n+1

=1

2

1-1

2n+1

<1

2

,4T n<2,

由4T n

解得a≤-1或a≥2,

即所求实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[2,+∞).

(3)参数与临界值比较

已知函数零点个数求参数取值范围时,把函数分解为两个函数(其中一个不含参数,另一个含参数),利用数形结合法确定含参数的函数图象与不含参数的函数图象的位置,通过临界位置得出参数满足的条件,即可得出参数的取值范围.

典例9 设f(x)=|lg x|,若函数g(x)=f(x)-ax在区间(0,4)上有三个零点,则实数a的取值范围是( )

A.0,1

e B.lg2

2

,lge

e

C.lg2

2

,e D.0,lg2

2

思路点拨问题转化为函数y=f(x),y=ax的图象在(0,4)上有三个不同交点,作出图象,根据图象确定实数a的取值范围.

答案 B

解析在同一坐标系中分别作出函数y=f(x),y=ax的图象(如图),函数g(x)=f(x)-ax在区间(0,4)上有三个零点等价于上述两个函数的图象在区间(0,4)上有三个交点,结合函数图象可知,只要直线y=ax的斜率a介于直线OA(A(4,2lg 2))与直线OB(B为切点)之间即可.

直线OA的斜率为lg2

2,当x∈(1,4)时, f '(x)=lge

x

,设B(x0,lg x0),则直线OB的方程为y-lg x0=lge

x0

(x-x0),

该直线过坐标原点,所以0-lg x0=lge

x0

(0-x0),解得x0=e,

即直线OB的斜率为lge

e

,

所以实数a的取值范围是lg2

2,lge

e

.故选B.

方法6 不等式法

(1)利用二次函数、二次不等式

在导数中有一类问题可以化归为二次函数是否存在零点、二次不等式在某区间上恒成立等,可以利用“二次”函数问题得出参数满足的条件,求得参数的取值范围.

典例10 已知|a|=2|b|,|b|≠0,且关于x的函数f(x)=1

3x3+1

2

|a|x2+a·bx在R上有极值,则a与b的

夹角的范围为( )

A.0,π

6B.π

3

,π C.π

3

,2π

3

D.π

6

,π

思路点拨 f '(x)存在变号零点. 答案 B

解析函数f(x)=1

3x3+1

2

|a|x2+a·bx有极值的充要条件是其导数存在变号零点. f

'(x)=x2+|a|x+a·b,则Δ=|a|2-4a·b>0,设a,b的夹角为θ,则4|b|2-4×2|b|·|b|·cos θ>0,即

cos θ<1

2,由于θ∈[0,π],所以θ∈π

3

,π .故选B.

典例11 若函数f(x)=x4-ax3+x2-2有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围是. 思路点拨 f '(x)有且只有一个变号零点.

答案-42

3,42

3

解析 f '(x)=4x3-3ax2+2x=x(4x2-3ax+2),函数f(x)=x4-ax3+x2-2有且只有一个极值点的充要条件

是函数y=4x2-3ax+2不存在变号零点,即9a2-32≤0,解得-42

3≤a≤42

3

.

(2)利用基本不等式

基本不等式是求最值和范围问题最常用的工具之一,在使用时注意使用条件(一正、二定、三相等).

典例12 若a>1,设函数f(x)=a x+x-4的零点为m,g(x)=log a x+x-4的零点为n,则1

m +1

n

的取值范围是

( )

A.(3.5,+∞)

B.[1,+∞)

C.(4,+∞)

D.(4.5,+∞)

思路点拨利用指数函数与对数函数图象的特点,得出m+n=4,进行常数代换后利用基本不等式求解.

答案 B

解析直线y=x与直线y=4-x的交点坐标为(2,2),函数y=a x,y=log a x与直线y=4-x的交点关于点

(2,2)对称,所以两个函数零点之和为4,即m+n=4,所以1

m +1

n

=1

4

(m+n)·1

m

+1

n

=1

4

2+n

m

+

m n ≥1

4

×(2+2)=1,其中当a=2时可以使m=n=2,故可以取得等号,即1

m

+1

n

的取值范围是[1,+∞).故选

B.

(3)建立求解目标的不等式(组)

建立求解目标的不等式(组),通过解不等式(组)得出求解目标的取值范围是求解范围问题的一个基本方法,很多问题均可使用这个方法解决,如一元二次方程的实根问题、直线与圆锥曲线的位置关系问题等.

典例13 (1)已知实数x,y满足x≥1,

x+y≤2,

x-y≤2,

若不等式ax-y≤3恒成立,则实数a的取值范围为( )

A.(-∞,4]

B.-∞,3

2

C.3

2

,2 D.[2,4]

(2)双曲线x 2

a2-y

2

b2

=1(a>0,b>0)的右焦点为F,左顶点为A,以F为圆心,过点A的圆交双曲线的一条渐近

线于P,Q两点,若|PQ|不小于双曲线的虚轴长,则该双曲线离心率的取值范围是.

思路点拨(1)只要ax-y在不等式组表示的平面区域的顶点处的取值不大于3即可;(2)建立关于双曲线离心率的不等式求解即可.

答案(1)B (2)(1,3]

解析(1)不等式组x≥1,

x+y≤2,

x-y≤2

表示的是平面直角坐标系中以点(1,1),(1,-1),(2,0)为顶点的三

角形及其内部,由题意知,只要ax-y在上述三点处均不大于3即可,所以实数a满足不等式组

a-1≤3, a+1≤3, 2a≤3,解得a≤3

2

,

即实数a的取值范围为-∞,3

2

.故选B.

(2)设F(c,0),则圆心坐标为(c,0),因为圆F过点A,所以半径为a+c,取双曲线的一条渐近线方程

bx+ay=0,则圆心到该直线的距离d=

b2+a2

=b,

则|PQ|=2(a+c)2-b2≥2b,

故(a+c)2≥2b2,

即c2-2ac-3a2≤0,

即e2-2e-3≤0,

解得-1≤e≤3,

又e>1,所以所求的双曲线的离心率的取值范围是(1,3].

常考点3 数列问题的5大常用技巧

方法1 整体利用数列的性质

等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量,解题中可以不必求出每个量,从整体上使用公式.

典例1 (1)等比数列{a n}中,已知a1+a3=8,a5+a7=4,则a9+a11+a13+a15的值为( )

A.1

B.2

C.3

D.5

(2)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S6>S7>S5,则满足S k S k+1<0的正整数k= .

思路点拨(1)可直接把a 1+a3看作一个整体,利用等比数列的性质求解公比,然后代入即可;也可直接将已知转化为首项和公比所满足的方程,求出公比后再求和.(2)利用等差数列的前n项和的性质. 答案(1)C (2)12

解析(1)解法一:因为{a n}为等比数列,所以a5+a7是a1+a3与a9+a11的等比中项,所以

(a5+a7)2=(a1+a3)(a9+a11),

故

a 9+a 11=(a 5+a 7

)

2

a 1+a 3

=428

=2.

同理,a 9+a 11是a 5+a 7与a 13+a 15的等比中项, 所以(a 9+a 11)2=(a 5+a 7)(a 13+a 15), 故

a 13+a 15=(a 9+a 11)

2

a

5+a 7

=22

4=1.

所以a 9+a 11+a 13+a 15=2+1=3.

解法二:设等比数列{a n }的公比为q, 则a 5=a 1q 4

,a 7=a 3q 4

, 所以q 4=a 5+a 7a 1

+a 3

=48=1

2.

又a 9+a 11=a 1q 8+a 3q 8=(a 1+a 3)q 8=8× 12

2=2, a 13+a 15=a 1q 12

+a 3q 12

=(a 1+a 3)q

12

=8× 12

3

=1,

所以a 9+a 11+a 13+a 15=2+1=3. (2)依题意得a 6=S 6-S 5>0, a 7=S 7-S 6<0, a 6+a 7=S 7-S 5>0, 则S 11=11(a 1+a 11)

2

=11a 6>0, S 12=12(a 1+a 12)2=12(a 6+a 7)2>0, S 13=

13(a 1+a 13)

2

=13a 7<0, 所以S 12S 13<0,即满足S k S k+1<0的正整数k=12.

方法2 奇偶项分类

当题中涉及(-1)n 或数列的奇数项和偶数项具有不同的规律时,按照n 为奇数和偶数分别求解,最后再整合求解结果.

典例2 (1)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1·a n =2n (n∈N *),则S 2 016= . (2)若数列{a n }的通项公式为a n =22n+1

,令b n =(-1)n-1

·4(n +1)

log 2a n log 2a n +1

,则数列{b n }的前

n 项和

T n = .

思路点拨(1)由已知数列的递推关系,利用累加法求出数列的通项公式,然后利用分组求和法进行求和.(2)分n为奇数和偶数分别求和.

答案(1)3×21 008-3 (2)1

3-(-1)n1

2n+3

解析(1)由a n+1·a n=2n,得a n+1·a n+2=2n+1,

则a n+1·a n+2

a n·a n+1=2,即a n+2

a n

=2,

所以数列a1,a3,a5,…,a2k+1,…是以a1=1为首项,2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,…,a2k,…是以a2=2

为首项,2为公比的等比数列,则S2 016=(a1+a3+a5+…+a2 015)+(a2+a4+a6+…+a2 016)=1-21008

1-2+2(1-2

1008)

1-2

=3×21

008-3.

(2)由题意得b n=(-1)n-14(n+1)

log2a n log2a n+1

=(-1)n-14(n+1)

(2n+1)(2n+3)

=(-1)n-11

2n+1+1

2n+3

,

当n为偶数时,T n=1

3+1

5

-1

5

+1

7

+…+1

2n-1

+1

2n+1

-1

2n+1

+1

2n+3

=1

3

-1

2n+3

,

当n为奇数时,T n=1

3+1

5

-1

5

+1

7

+…-1

2n-1

+1

2n+1

+1

2n+1

+1

2n+3

=1

3

+1

2n+3

,

所以T n=1

3-(-1)n1

2n+3

.

方法3 分裂通项

裂项相消法是数列求和的基本方法之一,在通项为分式的情况下,注意尝试裂项,裂项的基本原则是a n=f(n)-f(n+1).

典例3 已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=3,若数列{S n+1}是公比为4的等比数列.

(1)求数列{a n}的通项公式;

(2)设b n=a n+1

(a n+1-3)·S n+1

,n∈N*,求数列{b n}的前n项和T n.

思路点拨(1)先求S n,再利用a n=S n-S n-1(n≥2)求a n;(2)把通项分解为两项的差,再消项求和.

解析(1)由题意知S n+1=(S1+1)·4n-1=4n,

所以S n=4n-1,

当n≥2时,a n=S n-S n-1=3·4n-1,且a1=3满足上式,

所以数列{a n}的通项公式为a n=3·4n-1.

(2)b n=a n+1

(a n+1-3)·S n+1=4

n

(4n-1)(4n+1-1)

=1 3

1

4n-1

-1

4n+1-1

,

所以T n=b1+b2+…+b n=1

3×1

41-1

-1

42-1

+1

3

×1

42-1

-1

43-1

+…+1

3

×1

4n-1

-1

4n+1-1

=1 3

1

4-1

-1

4-1

=1

9

-1

3(4-1)

.

方法4 构造新数列

当出现a n=a n-1+m(n≥2)时,构造等差数列;

当出现a n=xa n-1+y(n≥2)时,构造等比数列.

典例4 (1)设数列{a n}满足a1=2,a n+1-4a n=3×2n+1,求数列{a n}的通项公式.

(2)已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=a n

a n+3

(n∈N*),求数列{a n}的通项公式.

思路点拨(1)(2)构造新数列求解即可.

解析(1)由a n+1-4a n=3×2n+1得,a n+1

2n+1-2a n

2n

=3,设b n=a n

2n

,则b n+1=2b n+3,设b n+1+t=2(b n+t),所以2t-t=3,

解得t=3,所以b n+1+3=2(b n+3),所以b n+1+3

b n+3=2,又b1+3=a1

2

+3=1+3=4,所以数列{b n+3}是以4为首项,2为

公比的等比数列,所以b n+3=4×2n-1=2n+1,所以b n=2n+1-3,所以a n=b n·2n=(2n+1-3)×2n=22n+1-3×2n.

(2)因为a n+1=a n

a n+3(n∈N*),所以1

a n+1

=3

a n

+1,设1

a n+1

+t=31

a n

+t,所以3t-t=1,解得t=1

2

,所以

1 a n+1+1

2

=31

a n

+1

2

,又1

a1

+1

2

=1+1

2

=3

2

,所以数列1

a n

+1

2

是以3

2

为首项,3为公比的等比数列,所以

1 a n +1

2

=3

2

×3n-1=3

n

2

,所以a n=2

3-1

.

方法5 归纳推理——周期性

解数列问题时要注意归纳推理的应用,通过数列前面若干项满足的规律推出其一般性规律.

典例5 在数列{a n}中,已知a1=1,a n+1+(-1)n a n=cos[(n+1)π],记S n为数列{a n}的前n项和,则S2

015= .

思路点拨根据递推式计算数列的前面若干项,发现规律,然后求S 2 015的值.

答案-1 006

解析由a 1=1,a n+1+(-1)n a n=cos[(n+1)π],得a2=a1+cos 2π=1+1=2,a3=-a2+cos

3π=-2-1=-3,a4=a3+cos 4π=-3+1=-2,a5=-a4+cos 5π=2-1=1,……

由此可知,数列{a n}是以4为周期的周期数列,且a1+a2+a3+a4=-2,所以S2 015=503(a1+a2+a3+a4)+a2 013+a2 014+a2 015=503×(-2)+a1+a2+a3=-1 006.

常考点4 立体几何问题的3大妙解

方法1 模型法

(1)模型法判断空间位置关系

在进行空间线面位置关系的分析判断时,借助几何体模型能起到非常直观的作用,提高解题的准确率.

典例1 已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题为真命题的序号是( )

①若l?α,m?α,l∥β,m∥β,则α∥β;

②若l?α,l∥β,α∩β=m,则l∥m;

③若l∥α,α∥β,则l∥β;

④若l⊥α,l∥m,α∥β,则m⊥β.

A.①④

B.①③

C.②④

D.②③

思路点拨长方体中存在各种平行、垂直关系,以长方体为模型,结合选项,考虑线面位置的各种可能,作出判断.

答案 C

解析命题①,如图(1),显然不正确,排除选项A,B,根据选项C,D可知②一定正确,对于命题③,如图(2),有直线l在平面β内的可能,所以命题③不正确.综上可知,选C.

(2)模型法还原几何体

空间几何体均可以看作一个更大范围的几何体的一个部分,根据题目的实际情况,判断其可能是哪个几何体的一个部分,利用该几何体为模型,可以较为方便地判断出三视图表示的空间几何体.

典例2 (1)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.1

6B.1

3

C.1

2

D.2

3

(2)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的四个面中最大的面积是( )

A.2

B.22

C.3

D.23

思路点拨(1)(2)根据三视图可以判断该空间几何体都是正方体的一部分,先画出正方体,再根据三视图确定空间几何体.

答案(1)A (2)D

解析(1)该三棱锥的直观图如图,其体积为正方体体积的1

6,即三棱锥的体积为1

6

×1×1×1=1

6

.故选

A.

(2)如图,所求最大面积为△ABC的面积,为3

4

×(2)2=2.故选D.

方法2 割补法

全国名校高考数学优质试题汇编(附详解)专题三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质 A组基础题组 1.y=|cos x|的一个单调增区间是( ) A.- B.[0,π] C. D. 2.下列函数中,周期为π的奇函数为( ) A.y=sin xcos x B.y=sin2x C.y=tan 2x D.y=sin 2x+cos 2x 3.已知函数f(x)=sin-1(ω>0)的最小正周期为,则f(x)的图象的一条对称轴的方程是( ) A.x= B.x= C.x= D.x= 4.(2018江西宜春中学与新余一中联考)设函数 f(x)=sin-cos的图象关于原点对称,则角 θ=( ) A.- B. C.- D. 5.(2017河北石家庄教学质量检测(二))已知函数f(x)=sin, f '(x)是f(x)的导函数,则函数y=2f(x)+f '(x)的一个单调递减区间是( ) A. B.- C.- D.- 6.函数y=3-2cos的最大值为,此时x= . 7.比较大小:sin-sin-. 8.已知函数f(x)=cos,其中x∈∈且,若f(x)的值域是--,则m的最大值是.

9.已知函数y=cos. (1)求函数的最小正周期; (2)求函数图象的对称轴及对称中心. 10.已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+2cos2x-2. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.

B组提升 题组 1.(2017湖北武汉武昌调研考试)若f(x)=cos 2x+acos在上是增函数,则实数a的取值范围为( ) A.[-2 +∞) B.(-2 +∞) C.(-∞ -4) D.(-∞ -4] 2.已知函数f(x)=2sin ωx在-上的最小值为-2,则ω的取值范围是( ) A.-∞ -∪[6 +∞) B.-∞ -∪∞ C.(-∞ -2]∪[6 +∞) D.(-∞ -2]∪∞ 3.(2017安徽合肥第二次教学质量检测)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程; (2)讨论函数f(x)在上的单调性.

第六届全国高中数学优质课观摩学习心得

第六届全国高中数学优质课观摩学习心得 2012年11月16日-19日,我有幸参加了"第六届青年杯"数学教师优质课评比"观摩活动”这次观摩活动中我共听了16节课,上课教师课题自备,包括《抛物线及其标准方程》，《平面与平面平行的判定》，《循环结构（二）》，《有趣的杨辉三角》，《平面几何中的向量方法》，《二分法与方程的解》，《二项式定理》，《算法的概念》，《导数的概念》，有些内容是两个老师同上，也就是同课异构，每节课都很有特色，听完课后，听有经验的专家点评，并向专家请教了许多问题，回来后结合自己的教学工作，思考实践，真正感受到这次观摩活动对提高自己的教育教学水平，有很大的帮助，使我受益匪浅，感受深刻; 一．学生教师双主体的地位改变 这次观摩活动中，每节课中学生的主体地位，教师的主导地位，得到较充分的体现，教师关注学生的学习过程，给学生提供“做”数学的学习机会，使学生有充分的时间去探究，交流，让学生在学习中去体验和经历数学。在实践过程中也注重培养学生的理性思维，真正教会学生怎样去解决一个新的问题。如《有趣的杨辉三角》这节课中，表现最为突出的是广西钦州灵山中学的赵金成老师，她的课堂气氛活跃，教学环节过度自然流畅，课堂上老师提出的问题大多数是由学生独立思考或相互探讨完成的，当然这与老师的引导和点播是分不开的。本节课赵老师运用小组合作学习方式，教学活动从学生的认知结构出发，通过四个问题设计 问题1：计算()n b a+ 通过填表你发现什么规律？问题2：观察“杨辉三角”你能得到哪些数字规律？（学生填到课前发的习题纸上）问题3.请与同组的同学交流你的想法，并试着证明你的猜想。问题4.请各小组派带代表发表你们的看法？让学生独立思考寻找杨辉三角中蕴含的数字规律，再通过小组全班的探讨交流证明发现的二项式系数的性质，注重运用了转化和化归的数学思想，把观察到的规律证明化归为组合数性质的应用，将合情推理和演绎推理有机结合，体现了真正的探究-猜想-证明的科学思维方法。学生有充分的思考探究与交流的时空，经历规律的发展过程，小组合作学习的成效明显。 二．语言简单明确，评价趋于多样化 这次参赛的各位老师语言精练，不管是老师的引导语还是提问语或评价语都十分的准确到

高中数学等比数列前n项和优质课比赛教案设计

等比数列的前n项和 一、教材分析 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（必修5）》（北师大版）第一章第三节第一课时。从在教材中的地位与作用来：看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 二、学情分析 从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。 三、设计思想 本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，深入探讨。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。设计思路如下： 四、教学目标 1、掌握等比数列的前n项和公式，能用等比数列的前n项和公式解决相关问题。 2、通过等比数列的前n项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。 3、通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发展数学的理性思维。

五、教学重点与难点 重点：掌握等比数列的前n 项和公式，能用等比数列的前n 项和公式解决相关问题。 难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。 六、教学过程 （一）复习回顾 1、（提问）等比数列的定义？通项公式？性质？ 2、（提问）等差数列前n 项和公式是什么？ （二）创设问题情景 引例：“一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意，哪知富人一口答 应了下来,但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多1万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难。”请在座的同学思考讨论一下,穷人能否向富人借钱? [设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中来！启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。] 学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出： 穷人30天借到的钱：4652 30)301(3021'30=?+=+++= S （万元） 穷人需要还的钱：=++++=292302221 S ? [直觉先行,思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!] 教师紧接着把如何求=++++=292302221 S ？的问题让学生探究： 292302221++++= S ①若用公比2乘以上面等式的两边，得到 302923022222++++= S ② 若②式减去①式，可以消去相同的项，得到： 1073741823123030=-=S (分) ≈1073(万元) ＞ 465（万元） 答案:穷人不能向富人借钱 （三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。

全国名校高三数学经典压轴题100例(人教版附详解)

好题速递1 1．已知P 是ABC ?内任一点,且满足AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ． 解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++u u u r u u u r u u u r u u u r ,由系数和1x y x y x y +=++,知点Q 在线段 BC 上．从而1AP x y AQ +=>?? +

全国高中数学说课大赛获奖优秀说课稿汇编

全国高中数学说课大赛获奖优秀说课稿汇编 一、教学理念 教师的教学方案必须建立在学生的基础之上。新课程标准指出，“数学课程不仅要考虑教学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发……数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有知识经验基础之上。” 笔者认为教学中成功的关健在于： 教师的“教”立足于学生的“学”。 1、从学生的思维实际出发，激发探索知识的愿望，不同发展阶段的学生在认知水平、认知风格和发展趋势上存在差异，处于同一阶段的不同学生在认知水平、认知风格和发展趋势上也存在着差异。人的智力结构是多元的，有的人善于形象思维，有的人长于计算，有的人擅长逻辑思维，这就是学生的实际。教学要越贴近学生的实际，就越需要学生自己来探索知识，包括发现问题，分析、解决问题。在引导学生感受算理与算法的过程中，放手让学生尝试，让学生主动、积极地参与新知识的形成过程中，并适时调动学生大胆说出自己的方法，然后让学生自己去比较方法的正确与否，简单与否。这样学生对算理与算法用自己的思维方式，既明于心又说于口。 2、遇到课堂中学生分析问题或解决问题出现错误，特别是一些受思维定势影响的“规律性错误”比如学生在处理商的小数点时受到小数加减法的影响。教师针对这种情况，是批评、简单否定还是鼓励大胆发言、各抒己见，然后让学生发现错误，验证错误？当然应该是鼓励学生大胆地发表自己的意见、看法、想法。学生对自己的方法等于进行了一次自我否定。这样对教学知识的理解就比较深刻，既知其然，又知其所以然。而且学生通过对自己提出的问题，分析或解决的问题提出质疑，自我否定，有利于学生促进反思能力与自我监控能力。 数学教学活动应该是一个从具体问题中抽象出数学问题，并用多种数学语言分析它，用数学方法解决它，从中获得相关的知识与方法，形成良好的思维习惯和应用数学的意识，感受教学创造的乐趣，增进学生学习数学的信心，获

全国重点名校高考数学复习优质100专题汇编 数列中的不等关系

第55炼 数列中的不等关系 一、基础知识： 1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点 2、如何判断数列的单调性： （1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n 的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于n N * ∈ ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为()0,+∞ 的函数，得到函数的单调性后再结合n N * ∈得到数列的单调性 （2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列） 3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的 {}{},n n a b 是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知 识来进行处理。比如：含n 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n 项和 n S 也可看做数列{}12:,, ,n n S S S S 等等。 4、对于某数列的前n 项和{}12:,, ,n n S S S S ，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发， 用函数的观点解决。也可以考虑相邻项比较。在相邻项比较的过程中可发现：1n n n a S S -=-，所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定。进而把问题转化成为判断n a 的符号问题 二、典型例题 例1：已知数列{}1,1n a a =，前n 项和n S 满足()130n n nS n S +-+= （1）求{}n a 的通项公式 （2）设2n n n n c a λ?? =- ??? ，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围 解：（1）()113 30n n n n S n nS n S S n +++-+=? =

最新高中数学优秀说课稿

精品文档 高中数学优秀说课稿等差数列 等差数列（第一课时）的内容。3.2本节课讲述的是人教版高一数学（上）§一、教材分析 1、教材的地位和作用： 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 2、教学目标 根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标 a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。 b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 3、教学重点和难点 根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为: ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对“数学建模”的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点 二、教法分析 针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。 三、 四、学法指导在引导分析 精品文档． 精品文档 留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。 四、教学程序 本节课的教学过程由（一）复习引入（二）新课探究（三）应用举例（四）反馈练习（五）归纳小结（六）布置作业，

高中数学《指数函数(一)》优质课比赛教案设计

指数函数（一） 教学目标： 知识与技能： 理解指数函数的概念和意义，掌握指数函数的图像和性质，并能自觉、灵活地应用其性质（单调性、底数变化图像的变化规律、中介值）比较大小。 过程与方法： (1). 体会从特殊到一般再到特殊的研究问题的方法，培养学生 观察、猜想、归纳、概括的能力。 (2). 从数和形两方面理解指数函数的性质，体会数形结合、分 类讨论的数学思想方法，提高思维的灵活性，培养学生直 观、严谨的思维品质。 情感、态度与价值观： (1). 体验从特殊到一般再到特殊的学习规律，认识事物之间的 普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题，激 发学生自主探究的精神，在探究过程中体验合作学习的乐 趣。 (2). 让学生在数形结合中感悟数学的统一美、和谐美，进一步 培养学生的学习兴趣。 教学重点：指数函数的图像和性质。 教学难点：指数函数的底数a对图像的影响。

教学过程： （一）、概念引入： 1. 某种细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个，以此类推，一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是什么？ 2．一种放射性物质不断变化为其它物质，每经过一年剩余质量约是原来的12 ，设该物质的初始质量为1，经过x 年后的剩余质量为y ，你能写出,x y 之间的函数关系式吗？ 1. 2()x y x N +=∈ 2. 1()()2x y x N +=∈ 上述两个函数都是正整数指数函数，但在实际问题中指数不一定都是正整数，比如在实例（2）中，我们除了关心1年、2年、3年后该物质的剩余量外，还想知道3个月、一年半后该物质的剩余量，这就需要对正整数指数函数的定义域进行扩充，结合指数概念的的扩充，我们也可以将正整数指数函数的定义域扩充至全体实数，这样就得到了一个新的函数——指数函数。 一般地，函数(01x y a a a =>≠且）叫做指数函数，其中x R ∈。 结合指数的运算，引导学生分析为什么规定01a a >≠且，加深学生对概念的理解。 你能举出指数函数的例子吗？ 练习1：判断下列函数是否为指数函数。 （1）3x y -= （2）2y x = （3）23x y += （4）(2)x y =-

全国名校高考数学优质小题训练汇编(附详解)六

中学理科数学小题训练六 一、选择题： 1．设集合A={x|x 2 ﹣x ﹣6＜0，x ∈R}，B={y|y=|x|﹣3，x ∈A}，则A ∩B 等于（ ） A ．{x|0＜x ＜3} B ．{x|﹣1＜x ＜0} C ．{x|﹣2＜x ＜0} D ．{x|﹣3＜x ＜3} 2．命题p ：?x0∈R ，不等式01cos 0 0<-+x e x 成立，则p 的否定为（ ） A ．?x0∈R ，不等式01cos 0 0≥-+x e x 成立 B ．?x ∈R ，不等式0 1cos <-+x e x 成立 C ．?x ∈R ，不等式01cos ≥-+x e x 成立 D ．?x ∈R ，不等式01cos >-+x e x 成立 3．在复平面内复数的模为 ，则复数z ﹣bi 在复平面上对应 的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为（ ）

A．1998立方尺 B．2012立方尺 C．2112立方尺 D．2324立方尺 5．cos54°+cos66°﹣cos6°=（） A．0 B． C． D．1 6．已知双曲线=1（a＞b＞0）与两条平行直线l1：y=x+a与l2：y=x﹣a相交所得的平行四边形的面积为6b2．则双曲线的离心率是（） A． B． C． D．2 7．如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB=4，AB∥CD， ∠BAD=45°，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点， 若在方向上的投影为，则= （） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图所示，函数离y轴 最近的零点与最大值均在抛物线上，则f （x）=（） A．B． C．D．

中学数学优质课评选规划方案.doc

中学数学优质课评选方案 根据《 2015—— 2016 学年“研训赛”工作方案》要求，拟于2016 年3 月举行中学数学优质课评选及观摩活动。现将有关事宜通知如下： 一、活动目的 重在参与，重在过程，重在交流，重在研究。通过中学数学优质课评选与观 摩活动，交流课堂教学经验，研讨提高中学数学课堂教学质量的方法，推动广大数学教师的专业化发展。 二、活动时间、地点 本次活动时间拟定于2016 年 3 月，具体时间、地点另行通知。 三、评选的有关事宜及要求 1.参评教师条件。参与2015——2016年研训赛活动的中学数学学科在职专 任教师，各乡镇中心校和县直学校在本单位上学年三轮赛课评选出的优质课教 师。 2.选拔推荐。本次活动由乡镇中心校、县直各学校负责，公开、公正、 公平，逐级选拔，择优推荐。 3.课题选择。在《函数》中任选一个课时，具体课题及教材版本选择由作 课教师自定。 4.评选项目及程序。本次评选活动分为录像课评审和现场作课两个阶段： （ 1）录像课评审。由评委对选手提交的录像课提前进行评审，确定一等奖；（2）现场作课：录像课被评为一等奖的选手进入本阶段，内容包括：作课（ 40 分钟）、“教学设计说明与反思”（5 分钟，可采用课件展示说明）。 5.评奖办法。本次活动设一、二等奖，由教研室组织专家组评审确定奖 次。 6.材料报交。 (1)优质课教师评价表。本次活动的所有参评教师均需填写《2015—— 2016 学年中学数学优质课教师评价表》（见附件 1）。纸质加盖公章。 (2) 教学视频。一等奖候选教师须提供本节课完整的教学视频，时间40 分钟。视频要保证正常播放（教学视频中直接注明课题、作课人及单位，拷贝U 盘），播放流畅，图像、声音清晰，全面反映教师和学生的活动。 (3)教学设计和教学设计说明纸质和电子稿各一份(电子稿，word，A4) 。其中，教学设计主要包括：教学内容分析；教学目标设置；学生学情分析；④教学策略分析；⑤教学过程。教学设计说明大约 2000 字左右，大致包括以下

全国重点名校高考数学复习优质100专题汇编 等差数列性质

第49炼 等差数列性质 一、基础知识： 1、定义：数列{}n a 若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称{}n a 是等差数列，这个常数称为{}n a 的公差，通常用d 表示 2、等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-，此通项公式存在以下几种变形： （1）()n m a a n m d =+-，其中m n ≠：已知数列中的某项m a 和公差即可求出通项公式 （2）n m a a d n m -= -：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差 （3）1 1n a a n d -=+：已知首项，末项，公差即可计算出项数 3、等差中项：如果,,a b c 成等差数列，则b 称为,a c 的等差中项 （1）等差中项的性质：若b 为,a c 的等差中项，则有c b b a -=-即2b a c =+ （2）如果{}n a 为等差数列，则2,n n N *?≥∈，n a 均为11,n n a a -+的等差中项 （3）如果{}n a 为等差数列，则m n p q a a a a m n p q +=+?+=+ 注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。 比如m n p q s +=++，则m n p q s a a a a a +=++不一定成立 ② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。例如：478920a a a a +++=，可得478977777420a a a a a a a a a +++=+++==，即可得到75a =，这种做法可称为“多项合一” 4、等差数列通项公式与函数的关系： ()111n a a n d d n a d =+-=?+-，所以该通项公式可看作n a 关于n 的一次函数，从而可 通过函数的角度分析等差数列的性质。例如：0d >，{}n a 递增；0d <，{}n a 递减。 5、等差数列前n 项和公式：12 n n a a S n += ?，此公式可有以下变形： （1）由m n p q m n p q a a a a +=+?+=+可得：()12 p q n a a S n p q n += ?+=+，作用： 在求等差数列前n 项和时，不一定必须已知1,n a a ，只需已知序数和为1n +的两项即可

全国名校高考数学优质填空题120道(附详解)

高考数学基础训练题(1) 1．设集合 } 4|||{<=x x A ， } 034|{2>+-=x x x B ，则集合{ A x x ∈|且 B A x ?}= 。 2．下列说法中：(1)若22y x =，则y x =；(2)等比数列是递增数列的一个必要条件是公比大于1； (3)2≥a 的否定是；(4)若3>+b a ，则1>a 或2>b 。其中不正确的有 。 3．设集合}2|||{<-=a x x A ，}12 12|{<+-=x x x B ，且B A ?，则实数a 的取值范围 是 。 4．已知二次函数)0(3)(2≠-+=a bx ax x f 满足)4()2(f f = ，则)6(f = 。 5．计算： 31 2 1log 24lg539--??- ? ?? = 。 6．已知函数1 )(2 ++=x b ax x f 的值域是[－1,4 ]，则b a 2 的值是 。 7．若函数 3 )2(2+++=x a x y ， ] [b a x ，∈的图象关于直线1=x 对称，则 =b 。 8．函数)(x f y = 的图象与x x g )4 1 ()(=的图象关于直线 y=x 对称，那么) 2(2x x f -的单调减区 间是 。 9．函数1 )(---= a x x a x f 的反函数)(1x f -的图象的对称中心是（-1,3），则实数a = 。

10．)(x f y = 是 R 上的减函数，且)(x f y =的图象经过点A （0,1）和B （3,-1）， 则不等式 1|)1(|<+x f 的解集为 。 11．已知函数?? ?>≤+=0,l o g ,1)(2x x x x x f ，若 1 ))((0-=x f f ，则 x 的取值范围 是 . 12．已知函数),1,1(,5sin )(-∈+=x x x x f 如果,0)1()1(2<-+-a f a f 则a 的取值范围 是____。 13．关于x 的方程a a x -+= 53 5有负根，则a 的取值范围是 。 14．已知函数)(x f 满足：对任意实数21,x x ，当21x x <时，有)()(21x f x f < ，且 )()()(2121x f x f x x f ?=+写出满足上述条件的一个函数： 。 15．定义在区间)1,1(-内的函数)(x f 满足 ) 1l g ()()(2+=--x x f x f ，则 )(x f = 。 16．已知函数x x f 2log )(=，2)(y x y x F +=，，则)1),4 1((f F 等于 。 17．对任意]1,1[-∈a ，函数a x a x x f 24)4()(2-+-+=的值恒大于零，那么x 的取值范围是 。 18．若函数? ??? ??+=x x x f 24 1log ,log 3min )(，其中{}q p ,min 表示q p ,两者中的较小者， 则2)(

第八届全国高中青年数学教师优质课大赛：空间向量正交分解及其坐标表示教学设计(陈巴尔)

《空间向量的正交分解及其坐标表示》 p 浙江省温州中学陈巴尔

各位专家评委、老师们： 大家好！我是来自浙江省温州中学的数学教师陈巴尔.有机会参加本次全国青年教师课堂教学评比活动，并向全国的专家和老师们学习，我深感荣幸. 我的课题是《空间向量的正交分解及其坐标表示》，下面我就根据课程标准，结合我对教材的理解和所教学生的实际情况，从教学背景、教学目标、教学策略、教学过程、教学特点及反思五个方面对本节课作一个说明.希望各位专家评委、老师们对我的这节课例，多提宝贵意见. 一、教学背景分析 （一）教学内容解析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-1第三章《空间向量与立体几何》的3.1.4节《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于新授课. 本章知识结构 《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于空间向量及其运算部分中的第四节内容，位置处于在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，意义十分明显，就是借助空间向量基本定理的建立，从而得出空间向量坐 标的定义，从而完成从向量到坐标的转化 ．．．．．．．．．，进而为后面的立体几何问题的解决服务. 但同时，学生已经在之前的必修4中学习过平面向量的相关知识.

因此，按照教学参考的教学建议，“宜多引导学生与平面向量及其运算作类比．．，引导学生体会与平面向量及其运算有什么联系与区别，让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳．．．．．，体验数学在结．构．上的和谐性．．．与在推广过程中的问题，同时教学过程中，还应注意维度．．增加．．所带 来的影响.” “又因为教材在本章专门安排了 一个‘阅读与思考 向量概念的推广 与应用’，把二维向量，三维向量， 推广．． 为高维向量，并说明了其应用. 有条件的地区，可以引导学生学习这 个阅读材料，将空间向量的有关性质 向多维推广．．．． .” 而事实上，之前学生所学习的向 量共线定理，本质也是一样的，因此， 仔细研究教材的编写意图．．．． ，我们会发现这节课在整个高中向量课程教学中起到了一个重要的承上启下．．．． 的作用，即：完成了从必修4到选修2-1中的向量共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理对比与统一．．．．．，同时通过教材的阅读与思考．．．．．

全国名校高中数学优质试题(附详解)高一数学第一次月考试题及答案

高一数学单元测试题 一、选择题：（每小题5分，共50分） 1．如果全集U ＝{x |x 是小于9的正整数}，集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6}，则(U A ) (U B )为( ) A ．{1,2} B ．{3,4} C ．{5,6} D ．{7,8} 2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x >4}，那么集合A ∩(?U B )等于( ) A ．{x |－2≤x <4} B ．{x |x ≤3或x ≥4} C ．{x |－2≤x <－1} D ．{x |－1≤x ≤3} 3．设全集U ＝Z ，集合A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是( ) A ．{1,3,5} B ．{1,2,3,4,5} C ．{7,9} D ．{2,4} 4．下列各组函数表示同一函数的是( ) A ．f (x ) g (x )＝ 2 B ．f (x )＝1，g (x )＝x 0 C ．,0,(),0, x x f x x x ≥?=?-0时，f (x )＝x 3＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 15．某城市出租车按如下方法收费：起步价8元，可行3 k m(含3 k m)，3 k m 后到10 k m(含10 k m)每走1 k m 加价1.5元，10 k m 后每走1 k m 加价0.8元，某人坐该城市的出租车走了20 k m ，他应交费________元． 三、解答题：（共75分） 16．(10分)已知全集U ＝R ，若集合A ＝{}310x x ≤<，B ＝{x |2＜x ≤7}． (1)求A B ，A B ，(U A ) (U B )； (2)若集合C ＝{x |x ＞a }，A ?C ，求a 的取值范围．(结果用区间或集合表示)

高中数学优质课、观摩课、示范课教学视频专辑

以下为高中数学视频专辑(专辑名称—视频个数) 浏览时请按下CTRL+点鼠标左键就可直接打开 这里只有几万视频中的一部分,更多视频请到https://www.wendangku.net/doc/cf14401413.html,浏览 2011年江苏省高中数学青年教师优秀课观摩与评比活动教学视频—13 https://www.wendangku.net/doc/cf14401413.html,/playlist_show/id_16768579.html 2010年广东高中数学优质课评比教学视频—12 https://www.wendangku.net/doc/cf14401413.html,/playlist_show/id_12065218.html 2009江苏省高中数学青年教师优质课教学视频—9 https://www.wendangku.net/doc/cf14401413.html,/playlist_show/id_11971515.html 2006江苏省高中数学青年教师优质课观摩—27 https://www.wendangku.net/doc/cf14401413.html,/playlist_show/id_11971514.html 高一数学优质课视频专辑—15 https://www.wendangku.net/doc/cf14401413.html,/playlist_show/id_16172288.html 高中数学优质课视频—26 https://www.wendangku.net/doc/cf14401413.html,/playlist_show/id_16162361.html 高中数学说课优质课观摩课集锦—6 https://www.wendangku.net/doc/cf14401413.html,/playlist_show/id_16162358.html 高一数学优质课视频专辑教学视频—11 https://www.wendangku.net/doc/cf14401413.html,/playlist_show/id_16159286.html 高二高三数学优质课视频专辑教学视频—26 https://www.wendangku.net/doc/cf14401413.html,/playlist_show/id_16159285.html 新课程高中数学优质课评比教学视频—27 https://www.wendangku.net/doc/cf14401413.html,/playlist_show/id_12065219.html 中小学数学教师基本功说课大赛决赛（重庆）--14 https://www.wendangku.net/doc/cf14401413.html,/playlist_show/id_16615550.html

全国名校高中数学优质(附详解)专题 必修5数列单元质量检测题

必修5数列单元质量检测题 （时间120分钟，满分150分） 一、选择题（每小题5分，共计60分） 1.数列252211，，，， 的一个通项公式是（ ） A. 33n a n =- B. 31n a n =- C. 31n a n =+ D. 33n a n =+ 2. 已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为（ ） A. 6 B. 3- C. 12- D. 6- 3. 2005是数列7,13,19,25,31,,中的第（ ）项. A. 332 B. 333 C. 334 D. 335 4. 在等差数列{}n a 中,若45076543=++++a a a a a ，则=+82a a （ ） A.45 B.75 C. 180 D.300 5. 一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是( ) A.－2 B.－3 C.－4 D.－5 6. 在等差数列｛a n ｝中，设公差为d ，若S 10＝4S 5，则d a 1等于( ) A. 21 B.2 C. 4 1 D.4 7. 设数列｛a n ｝和｛b n ｝都是等差数列，其中a 1＝25，b 1＝75，且a 100＋b 100＝100，则数列 ｛a n ＋b n ｝的前100项之和是( ) A.1000 B.10000 C.1100 D.11000 8.已知等差数列｛a n ｝的公差d ＝1，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 98＝137，那么a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 98的值等于( ) A.97 B.95 C.93 D.91 9.在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，q ∈R 且｜q ｜≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A.9 B.10 C.11 D.12 10. 公差不为0的等差数列｛a n ｝中，a 2、a 3、a 6依次成等比数列，则公比等于( ) A. 2 1 B. 31 C.2 D.3 11. 若数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝a n －1(a ≠0)，则这个数列的特征是( ) A.等比数列 B.等差数列 C.等比或等差数列 D.非等差数列 12. 等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 与Ｔn ，对一切自然数n ，都有n n T S =132+n n ， 则5 5b a 等于( ) A.32 B. 149 C. 3120 D. 17 11 二、填空题（每小题4分，共计16分） 13. 数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝n 2＋3n ＋1，则它的通项公式为 . 14. 已知｛n a 1 ｝是等差数列，且a 2＝2－1，a 4＝2＋1，则a 10＝ . 15. 在等比数列中，若S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝ . 16. 数列121，241，341 ，416 1，…的前n 项和为 . 三、解答题： 17.（本小题满分12分） 已知等差数列｛a n ｝中，S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，求S m ＋n . 18.（本题满分12分） 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0.求公差d 的取值范围.

高中数学优秀说课稿 等差数列之欧阳学创编

高中数学优秀说课稿等差数列 本节课讲述的是人教版高一数学（上）§3.2等差数列（第一课时）的内容。 一、教材分析 1、教材的地位和作用： 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 2、教学目标 根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标 a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想

方法并能运用。 b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 3、教学重点和难点 根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为: ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对“数学建模”的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。 二、学情分析 对于高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的

全国高中数学优质课 排列与排列数公式教学设计

《排列与排列数公式》（第1课时）教学设计 一．教学内容解析 本节课是人教版A版《数学选修2-3》第一章第2节的第一节课，排列是一类特殊而重要的计数问题，教科书从简化运算的角度提出了排列的学习任务，通过具体实例概括而得出排列的概念，应用分步计数原理得出排列数公式，对于排列，有两个想法贯穿始终，一是根据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法，就像乘法作为加法的简便运算一样；二是注意应用两个计数原理思考和解决问题。 本节课具有承上启下的地位，理解排列的概念是应用分步计数原理推导排列数公式的前提，对具体的排列问题的分析又为排列数公式提供了基础。排列数公式的推导过程是分布计数原理的一个重要应用，同时，排列数公式又是推导组合数公式的主要依据。 基于学生的认知规律，本节课只是对排列和排列数公式的初步认识，在后面知识的学习过程中，逐步加深理解和灵活运用。 本节课的教学重点是排列的概念、排列数公式，教学难点是排列的概念，排列的概念有一定的抽象性，本节课结合教科书的编排，采取了由特殊到一般的归纳思想来建构概念的理解过程，通过引导学生分析三个典型事例，从中归纳出共同特征，再进一步概括出本质特征，得出排列的定义，再跟进10个具体事例多角度加深对概念的理解，并多次强调一个排列的特点，n个不同的元素，取出m个元素，元素的顺序，奠定学生对排列定义的理解基础，为后面组合概念的提出埋下伏笔。同时通过有规律的展示分步计数原理得到的一长串排列数，为后面水到渠成得到排列数公式作好铺垫，排列数公式的简单应用体现了排列简化步骤的优点，让学生直观感受学习排列的必要。 二．教学目标设置 1.通过几个具体实例归纳概括出排列的概念，并能运用排列的判断具体的的计数问题是否为排列问题；能利用分步计数原理推导排列数公式，能简化分步计数原理解决问题的步骤。在排列数符号及其公式的产生过程中体现简化的思想。学生学习后能够对排列或非排列问题作出准确的判断，能够分析原因，能够简单应用排列数公式。 2.在教学过程中，通过排列的概念、排列数公式的得到培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力，以及解决与计数有关的问题时主动联系排列相关知识的能力，体会排列知识在实际生活中的应用，增强学生学习数学的兴趣。 3.让学生学会通过对各种事情现象、本质的分析，得出一般的规律，通过由简到繁的着色问题、由繁到简的数学符号的引入过程体会丰富的数学文化. 三．学生学情分析 学生对两个计数原理已很好的掌握，但凡计数的问题能够往分类或分步的方向进行思考，学生的层次决定了学生有较强的理解、分析、解决问题的能力，有着大量的生活中诸如设置密码、车牌号、排队、参加活动、接力赛...与计数问题有关的经验，对数学中归纳化归、有特殊到一般的思想方法比较敏感，但抽象概括的能力较弱，排列概念的得到，要独立将颜色、数字、人抽象为元素，对着色的方案抽象出顺序有一定的困难，需在独立思考加协作讨论的基础上再由老师引导突破教学难点。 四．教学策略分析 在本节课的教学过程中将数学文化和数学知识、实际生活有机的融合，让抽象的数学概念形成的过程丰富多元，避免单调枯燥。