100个著名初等数学问题

100个著名初等数学问题

第01题阿基米德分牛问题Archimedes' Problema Bovinum

太阳神有一牛群,由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成.

在公牛中,白牛数多于棕牛数,多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3;黑牛数多于棕牛数,多出之数相当于花牛数的1/4+1/5;花牛数多于棕牛数,多出之数相当于白

牛数的1/6+1/7.

在母牛中,白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4;黑牛数是全体花牛数1/4+1/5;花

牛数是全体棕牛数的1/5+1 /6;棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7.

问这牛群是怎样组成的?

第02题德·梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac

一位商人有一个40磅的砝码,由于跌落在地而碎成4块.后来,称得每块碎片

的重量都是整磅数,而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.

问这4块砝码碎片各重多少?

第03题牛顿的草地与母牛问题Newton's Problem of the Fields and Cows

a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了;

a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了;

a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了;

求出从a到c"9个数量之间的关系?

第04题贝韦克的七个7的问题Berwick's Problem of the Seven Sevens

在下面除法例题中,被除数被除数除尽:

* * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * *

* * * * * *

* * * * * 7 *

* * * * * * *

* 7 * * * *

* 7 * * * *

* * * * * * *

* * * * 7 * *

* * * * * *

* * * * * *

用星号(*)标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了,那些不见了的是些什么数字呢?

第05题柯克曼的女学生问题Kirkman's Schoolgirl Problem

某寄宿学校有十五名女生,她们经常每天三人一行地散步,问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步,并恰好每周一次?

第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters 求n个元素的排列,要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置.

第07题欧拉关于多边形的剖分问题Euler's Problem of Polygon Division

可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形(平面凸多边形)剖分成三角形?

第08题鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas' Problem of the Married Couples

n对夫妇围圆桌而坐,其座次是两个妇人之间坐一个男人,而没有一个男人和

自己的妻子并坐,问有多少种坐法?

第09题卡亚姆的二项展开式Omar Khayyam's Binomial Expansion

当n是任意正整数时,求以a和b的幂表示的二项式a+b的n次幂.

第10题柯西的平均值定理Cauchy's Mean Theorem

求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值.

第11题伯努利幂之和的问题Bernoulli's Power Sum Problem

确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+np.

第12题欧拉数The Euler Number

求函数φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1当x无限增大时的极限值.

第13题牛顿指数级数Newton's Exponential Series

将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数.

第14题麦凯特尔对数级数Nicolaus Mercator's Logarithmic Series

不用对数表,计算一个给定数的对数.

第15题牛顿正弦及余弦级数Newton's Sine and Cosine Series

不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数.

第16题正割与正切级数的安德烈推导法Andre's Derivation of the Secant and Tangent Series 在n个数1,2,3,…,n的一个排列c1,c2,…,cn中,如果没有一个元素ci的值介于两个邻近的值ci -1和ci+1之间,则称c1,c2,…,cn

为1,2,3,…,n的一个屈折排列.

试利用屈折排列推导正割与正切的级数.

第17题格雷戈里的反正切级数Gregory's Arc Tangent Series

已知三条边,不用查表求三角形的各角.

第18题德布封的针问题Buffon's Needle Problem

在台面上画出一组间距为d的平行线,把长度为l(小于d)的一根针任意投掷

在台面上,问针触及两平行线之一的概率如何?

第19题费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem

每个可表示为4n+1形式的素数,只能用一种两数平方和的形式来表示.

第20题费马方程The Fermat Equation

求方程x2-dy2=1的整数解,其中d为非二次正整数.

第21题费马-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem

证明两个立方数的和不可能为一立方数.

第22题二次互反律The Quadratic Reciprocity Law

(欧拉-勒让德-高斯定理)奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式

(p/q)·(q/p)=(-1)[(p-1)/2]·[(q-1)/2].

第23题高斯的代数基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Algebra

每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根.

第24题斯图谟的根的个数问题Sturm's Problem of the Number of Roots

求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数.

第25题阿贝尔不可能性定理Abel's Impossibility Theorem

高于四次的方程一般不可能有代数解法.

第26题赫米特-林德曼超越性定理The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem

系数A不等于零,指数α为互不相等的代数数的表达式

A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不可能等于零.

第27题欧拉直线Euler's Straight Line

在所有三角形中,外接圆的圆心,各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上,而且三点的分隔为:各高线的交点(垂心)至各中线的交点(重心)的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离.

第28题费尔巴哈圆The Feuerbach Circle

三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上.

第29题卡斯蒂朗问题Castillon's Problem

将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆.

第30题马尔法蒂问题Malfatti's Problem

在一个已知三角形内画三个圆,每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切.

第31题蒙日问题Monge's Problem

画一个圆,使其与三已知圆正交.

第32题阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius.

画一个与三个已知圆相切的圆.

第33题马索若尼圆规问题Macheroni's Compass Problem.

证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出.

第34题斯坦纳直尺问题Steiner's Straight-edge Problem

证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图,如果在平面内给出一个定圆,只用直尺便可作出.

第35题德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem

画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边.

第36题三等分一个角Trisection of an Angle

把一个角分成三个相等的角.

第37题正十七边形The Regular Heptadecagon

画一正十七边形.

第38题阿基米德π值确定法Archimedes' Determination of the Number

Pi

设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为av和bv,便依次得到多边形周长

的阿基米德数列:a0,b0,a 1,b1,a2,b2,…其中av+1是av、bv的调和中项,bv+1是bv、av+1的等比中项. 假如已知初始两项,利用这个规则便能计算出数列的所有项. 这个方法叫作阿基米德算法.

第39题富斯弦切四边形问题Fuss' Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral

找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系.(注:一个双心或

弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形)

第40题测量附题Annex to a Survey

利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置.

第41题阿尔哈森弹子问题Alhazen's Billiard Problem

在一个已知圆内,作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形.

第42题由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii

已知两个共轭半径的大小和位置,作椭圆.

第43题在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram,

在规定的平行四边形内作一内切椭圆,它与该平行四边形切于一边界点.

第44题由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents

已知抛物线的四条切线,作抛物线.

第45题由四点作抛物线A Parabola from Four Points.

过四个已知点作抛物线.

第46题由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points.

已知直角(等轴)双曲线上四点,作出这条双曲线.

第47题范·施古登轨迹题Van Schooten's Locus Problem

平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动,第三个顶点的轨迹是什么?

第48题卡丹旋轮问题Cardan's Spur Wheel Problem.

一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时,这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么?

第49题牛顿椭圆问题Newton's Ellipse Problem.

确定内切于一个已知(凸)四边形的所有椭圆的中心的轨迹.

第50题彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem

确定内接于直角(等边)双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹.

第51题作为包络的抛物线A Parabola as Envelope

从角的顶点,在角的一条边上连续n次截取任意线段e,在另一条边上连续n

次截取线段f,并将线段的端点注以数字,从顶点开始,分别为0,1,2,…,n和n,n-1,…,2,1,0.

求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线.

第52题星形线The Astroid

直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动,求这条直线的包络.

第53题斯坦纳的三点内摆线Steiner's Three-pointed Hypocycloid

确定一个三角形的华莱士(Wallace)线的包络.

第54题一个四边形的最接近圆的外接椭圆The Most Nearly Circular Ellipse Circumscribing a Qua drilateral

一个已知四边形的所有外接椭圆中,哪一个与圆的偏差最小?

第55题圆锥曲线的曲率The Curvature of Conic Sections

确定一个圆锥曲线的曲率.

第56题阿基米德对抛物线面积的推算Archimedes' Squaring of a Parabola

确定包含在抛物线内的面积.

第57题推算双曲线的面积Squaring a Hyperbola

确定双曲线被截得的部分所含的面积.

第58题求抛物线的长Rectification of a Parabola

确定抛物线弧的长度.

第59题笛沙格同调定理(同调三角形定理)Desargues' Homology Theorem (Theorem of Homologous Triangles)

如果两个三角形的对应顶点连线通过一点,则这两个三角形的对应边交点位于一条直线上.

反之,如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上,则这两个三角形的对应

顶点连线通过一点.

第60题斯坦纳的二重元素作图法Steiner's Double Element Construction

由三对对应元素所给定的重迭射影形,作出它的二重元素.

第61题帕斯卡六边形定理Pascal's Hexagon Theorem

求证内接于圆锥曲线的六边形中,三双对边的交点在一直线上.

第62题布里昂匈六线形定理Brianchon's Hexagram Theorem

求证外切于圆锥曲线的六线形中,三条对顶线通过一点.

第63题笛沙格对合定理Desargues' Involution Theorem

一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶. 一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶.

*一个完全四点形(四线形)实际上含有四点(线)1,2,3,4和它们的六条连线交点23,14,31,24,1 2,34;其中23与14、31与24、12与34称为对边(对顶点).

第64题由五个元素得到的圆锥曲线A Conic Section from Five Elements

求作一个圆锥曲线,它的五个元素——点和切线——是已知的.

第65题一条圆锥曲线和一条直线A Conic Section and a Straight Line

一条已知直线与一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线相交,求作它们的交点.

第66题一条圆锥曲线和一定点A Conic Section and a Point

已知一点及一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线,作出从该点列到该曲线的切线.

第67题斯坦纳的用平面分割空间Steiner's Division of Space by Planes

n个平面最多可将整个空间分割成多少份?

第68题欧拉四面体问题Euler's Tetrahedron Problem

以六条棱表示四面体的体积.

第69题偏斜直线之间的最短距离The Shortest Distance Between Skew Lines

计算两条已知偏斜直线之间的角和距离.

第70题四面体的外接球The Sphere Circumscribing a Tetrahedron

确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径.

第71题五种正则体The Five Regular Solids

将一个球面分成全等的球面正多边形.

第72题正方形作为四边形的一个映象The Square as an Image of a Quadrilateral

证明每个四边形都可以看作是一个正方形的透视映象.

第73题波尔凯-许瓦尔兹定理The Pohlke-Schwartz Theorem

一个平面上不全在同一条直线上的四个任意点,可认为是与一个已知四面体相似的四面体的各隅角的斜映射.

第74题高斯轴测法基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Axonometry

正轴测法的高斯基本定理:如果在一个三面角的正投影中,把映象平面作为复平面,三面角顶点的投影作为零点,边的各端点的投影作为平面的复数,那么这些数的平方和等于零.

第75题希帕查斯球极平面射影Hipparchus' Stereographic Projection

试举出一种把地球上的圆转换为地图上圆的保形地图射影法.

第76题麦卡托投影The Mercator Projection

画一个保形地理地图,其坐标方格是由直角方格组成的.

第77题航海斜驶线问题The Problem of the Loxodrome

确定地球表面两点间斜驶线的经度.

第78题海上船位置的确定Determining the Position of a Ship at Sea

利用天文经线推算法确定船在海上的位置.

第79题高斯双高度问题Gauss' Two-Altitude Problem

根据已知两星球的高度以确定时间及位置.

第80题高斯三高度问题Gauss' Three-Altitude Problem

从在已知三星球获得同高度瞬间的时间间隔,确定观察瞬间,观察点的纬度及星球的高度.

第81题刻卜勒方程The Kepler Equation

根据行星的平均近点角,计算偏心及真近点角.

第82题星落Star Setting

对给定地点和日期,计算一已知星落的时间和方位角.

第83题日晷问题The Problem of the Sundial

制作一个日晷.

第84题日影曲线The Shadow Curve

当直杆置于纬度φ的地点及该日太阳的赤纬有δ值时,确定在一天过程中由杆的一点投影所描绘的曲线.

第85题日食和月食Solar and Lunar Eclipses

如果对于充分接近日食时间的两个瞬间太阳和月亮的赤经、赤纬以及其半径均为已知,确定日食的开始和结束,以及太阳表面被隐蔽部分的最大值.

第86题恒星及会合运转周期Sidereal and Synodic Revolution Periods

确定已知恒星运转周期的两共面旋转射线的会合运转周期.

第87题行星的顺向和逆向运动Progressive and Retrograde Motion of Planets

行星什么时候从顺向转为逆向运动(或反过来,从逆向转为顺向运动)?

第88题兰伯特慧星问题Lambert's Comet Prolem

借助焦半径及连接弧端点的弦,来表示慧星描绘抛物线轨道的一段弧所需的时间.

第89题与欧拉数有关的斯坦纳问题Steiner's Problem Concerning the Euler Number

如果x为正变数,x取何值时,x的x次方根为最大?

第90题法格乃诺关于高的基点的问题Fagnano's Altitude Base Point Problem

在已知锐角三角形中,作周长最小的内接三角形.

第91题费马对托里拆利提出的问题Fermat's Problem for Torricelli

试求一点,使它到已知三角形的三个顶点距离之和为最小.

第92题逆风变换航向Tacking Under a Headwind

帆船如何能顶着北风以最快的速度向正北航行?

第93题蜂巢(雷阿乌姆尔问题)The Honeybee Cell (Problem by Reaumur)

数学分析教学与三种基本数学能力的培养

第26卷第6期大 学 数 学V ol.26, .6 2010年12月COLLEGE M AT H EM AT ICS Dec.2010数学分析教学与三种基本数学能力的培养 钱晓元 (大连理工大学数学科学学院,大连116024) [摘 要]基本的专业数学能力可分为三个方面:数学发现能力,数学论证能力和数学表达能力.本文结合数学分析课程的教学实践,阐述通过具体教学环节,贯彻培养三种能力的有效途径和方法. [关键词]教学;数学分析;数学能力 [中图分类号]G642.0 [文献标识码]C [文章编号]1672 1454(2010)06 0203 04 1 引 言 数学类专业教育主要有两大目标,一是掌握数学知识,二是培养数学能力.由于当今知识内容的爆炸性增长,知识更新周期的加快,以及现代社会的学习型特点和创新性要求,对数学能力的重视程度则日益提高,成为数学专业教育的主导价值. 数学能力是一个笼统的概念,目前还没有公认的严格定义.就教育方面而言,数学能力,就是运用数学基本理论和方法解决数学及其应用中遇到的实际问题的能力.这种能力的培养,从初等教育甚至学前教育已经开始,但是作为大学数学类专业教育的目标,在质和量方面必然有更高的层次和追求.具体地说,就是在掌握数学科学遵循的游戏规则基础上,从事包括数学的研究、应用和教学在内的各种专业数学工作的能力. 我们认为,基本的专业数学能力可以分为以下三个方面:数学发现能力,数学论证能力和数学表达能力.数学发现能力,指的是发现未知数学事实和联系,包括理解和模仿前人发现的能力.数学论证能力,是运用逻辑演绎方法证明数学命题的能力.而数学表达能力,是用合乎数学通用规范的学术语言,准确、清晰、简洁地陈述有关数学发现和论证内容的能力.显然,要有效地解决数学及其应用问题,必须同时具备这三种能力并加以综合运用,缺一不可.从另一个角度来看,一个合格的数学类专业毕业生,其专业训练带来的技能优势,主要就体现在这三个方面. 数学分析是数学类专业最重要的一门基础课,数学类专业开设的多数专业课程都可以看成数学分析的后续课.在数学分析的教学中,系统地培养数学发现、论证和表达能力,是理所当然的.本文将就这一课题,结合数学分析课程的教学实践,阐述通过具体教学环节,贯彻培养三种能力的有效途径和方法. 2 数学分析教学与数学发现能力的培养 数学科学具备特有的思维模式,它以形式逻辑为基础,以演绎推理为手段,建立了坚固宏伟的知识体系.数学分析以实数理论奠基,首先建立严格的极限理论,次第展开微分、积分、无穷级数等内容.数学以逻辑演绎为基础的特性得到充分的体现,而数学定理基于直观、经验和数值实验的发现过程,反倒容易被忽略.数学学科的一些重大的发展,一些重要的数学思想、概念、方法及理论的提出和形成,却并 [收稿日期]2008 01 11 [基金项目]大连理工大学教改基金

高等数学中常用的初等数学知识(第一章)

第一章 函数、极限与连续 第一节 函数及其特性 （一）集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。 我们通常用大字拉丁字母A 、B 、C 、……表示集合，用小写拉丁字母a 、b 、c ……表示集合中的元素。 如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作：a ∈A ，否则就说a 不属于A ，记作：a ?A 。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作 N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z 。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q 。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R 。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合中元素的个数 有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 （二）常量与变量 ⑴、变量的定义：我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。 ⑵、变量的表示：如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。 区间的名称 区间的满足的不等式 区间的记号 区间在数轴上的表示。 闭区间 a ≤x ≤b [a ，b] 开区间 a ＜x ＜b （a ，b ） 半开区间 a ＜x ≤b 或a ≤x ＜b （a ，b]或[a ，b ） 以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间： [a ，+∞)：表示不小于a 的实数的全体，也可记为：a ≤x ＜+∞； (-∞，b)：表示小于b 的实数的全体，也可记为：-∞＜x ＜b ； (-∞，+∞)：表示全体实数，也可记为：-∞＜x ＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。 ⑶、邻域：00000{}(, (,) )-----x x x x x U x x δδδδδ=-<-+=一维 以为中心，以为半径的邻域 0000000{}(, )(, )------x 0(,)x x x x x x x U x δδδδδ=-<=-?+<以为中心，以为半径的空心邻域 00(),()U x U x -----0x 的某个邻域、某个空心邻域

数学分析学年论文

学年论文 题目： 学生： 学号： 院（系）： 专业： 指导教师： 2011 年月日

浅谈微积分以及如何学好数学分析 什么是微积分？它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念 如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。 微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。 微积分的基本原理告诉我们求导和积分是互逆的运算，微积分的精髓告诉我们我们之所以可以解决很多非线性问题，本质的原因在于我们化曲为直了，现实生活中我们会遇到很多非线性问题，那么解决这样的问题有没有统一的方法呢？经过研究思考和总结，我认为，微积分的基本方法在于：先微分，后积分。 定理：如果函数F(x)是连续函数，则f(x)在区间[a,b]上的一个原函数.牛顿--莱布尼兹公式公式进一步揭示了定积分与原函数(不定积分）之间的联系。它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一个原函数在[a,b]上的增量。因此它就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。通常也把牛顿--莱布尼兹公式称作微积分基本公式 微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。 要学好微积分，我觉得应该注意以下3个方面： 1、基本概念 常常是这样,理解概念比理解定理更困难,而且更基本.概念不清前进.理解概念要从两个方面入手.一是概念的内涵,一是概念的外延.概念的内涵就是概念的基本属性.概念的外延就是概念所概括的一切对象.微积分的基本概念有五个:函数,极限,导数,微分和定积分. 函数概念讲的是两个实数集合间的对应关系.首先使用函数一词的是莱布尼兹,在1692年的论文中他第一次提出函数这一概念.随着数学的发展,函数的定义不断改进和明确.最先将函数概念公式化的是约翰.伯努利,他在1718年说:"一个变量的函数是指由这个变量和常量以任意一种方式组成的一种量."欧拉将伯努利的思想进一步解析化.在《无限小分析引论》(1748)中,他将函数定义为"变量的函数是一个由该变量与一些常数以任意方式组成的解析表达式.并明确宣布:"数学分析是关于函数的科学."微积分被视为建立的微分基础上的函数论.欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位.在这一定义的基础上,函数概念本身大大丰富了.欧拉还明确区分了代数函数与超越函数.他把超越函数看成是用无穷多次算术运算得到的表达式,即用无穷级数表示的函数.第一个给出函数一般定义的是

高等数学与初等数学相关内容的比对

高等数学与初等数学相关内容的比对 高等数学与初等数学相关内容的比对作文/zuowen/经过调研了解到，2003年3月教育部颁发的《普通高级中学数学课程标准》出台之后，新出版的高中教材与以前的教材相比，一个重要的特点是新教材进一步加强了高中数学与大学数学的联系，高中教材中安排了大学数学课程里的一些基本概念、基础知识和思维方法。试图从教学内容方面解决高中数学与大学数学的衔接问题。但是，大学数学与高中数学教材内容的衔接上还存在不少问题。这些问题影响了大学数学课程的教学质量，对大学新生尽快适应大学数学学习形成了障碍。高等数学与初等数学教材内容的有效衔接亟待解决。 1 “函数与极限”的衔接 函数，是高中数学的重点内容，高考要求较高，学生掌握也比较牢固。高等数学教材中的这部分内容基本相同，但内涵更丰富，难度也提高了。 （1）函数概念：在原有内容中，增加了几个在高等数学中经常用到的实例，如取整函数、狄利克雷函数、黎曼函数、符号函数等。因此，在学习中，函数概念部分可以简略，重点学习这几个特殊函数即可。 （2）初等函数：反三角函数要求提高，新增加了“双曲函数”和“反双曲函数”等内容。反三角函数的概念在高中已学过，但高中对此内容要求较低，只要求学生会用反三角函数表示“非特殊角”即可。而高等函数中要求较高，此处在

学习中应补充有关内容：在复习概念的基础上，要求学生熟悉其图像和性质，以达到灵活应用的目的。新增加的“双曲函数”和“反双曲函数”在高等数学中经常用到，故应特别注意。代写论文 （3）函数极限：“数列极限的定义”，高中教材用的是描述性定义，而高等数学重用的是“”定义，此处是学生在高等数本文由收集整理学的学习中遇到的第一个比较难理解的概念，因此在教学中应注意加强引导，避免影响函数极限后面内容的学习。新增内容“收敛数列的性质”虽是新增内容，但比较容易理解和掌握，教学正常安排即可。“极限四则运算”处增加了“两个重要极限”，要加强有关内容的学习。 2 “导数与微分” 的衔接 高中新教材中的一元函数微积分的部分内容，是根据高等数学内容学习需要所添加，目的是加强高中数学与高等数学的联系，让中学生初步了解微积分的思想。 （1）导数的定义：高中数学和高等数学教材中，这一内容是相同的，不同的是学习要求。高中数学要求：了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的概念和导数的几何意义；理解导函数的概念。也就是说，尽管极限与导数在高中已经学过，但主要是介绍概念和求法,对概念的深入理解不作要求。到了大学，概念上似懂非懂、不会灵活

数学分析

第一讲 微积分思想的产生与发展历史 在微积分产生之前，数学发展处于初等数学时期。人类只能研究常量，而对于变量则束手无策。在几何上只能讨论三角形和圆，而对于一般曲线则无能为力。到了17世纪中叶，由于科学技术发展的需要，人们开始关注变量与一般曲线的研究。在力学上，人们关心如何根据路程函数去确定质点的瞬时速度，或者根据瞬时速度去求质点走过的路程。在几何上，人们希望找到求一般曲线的切线的方法，并计算一般曲线所围图形的面积。令人惊讶的是，不同领域的问题却归结为相同模式的数学问题：求因变量在某一时刻对自变量的变化率；因变量在一定时间过程中所积累的变化。前者导致了微分的概念；后者导致了积分的概念。两者都包含了极限与无穷小的思想。 1．极限、无穷小、微分、积分的思想在中国古代早已有之 公元前4世纪，中国古代思想家和哲学家庄子在《天下篇》中论述：“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。”其中大一和小一就是无穷大和无穷小的概念。而“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”更是道出了无限分割的极限思想。 公元3世纪，中国古代数学家刘徽首创的割圆术，即用无穷小分割求面积的方法，就是古代极限思想的深刻表现。他用圆内接正多边形的边长来逼近圆周，得到了 142704.3141024.3<<π ， 并深刻地指出：“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”

我国南北朝时期的数学家祖暅（中国古代数学家祖冲之之子）发展了刘徽的思想，在求出球的体积的同时，得到了一个重要的结论（后人称之为“祖暅原理”)：“夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异。”用现在的话来讲，一个几何体(“立积”)是由一系列很薄的小片(“基”)叠成的；若两个几何体相应的小片的截面积(“幂势”)都相同，那它们的体积(“积”)必然相等。 利用祖暅原理求球体的体积：取一个几何体为上半球体 {}；将圆柱体 {2222,x y z R z ++≤≥0222x y R +≤，0z R ≤≤}减去 （即挖去）倒立的圆锥{222x y z +≤，0z R ≤≤}视为另一个几何体。则对任意的0z R ≤≤，过(0,0,)z 点作水平截面，得到的截口面积相等， 都为，由此得到球体的体积为(22R z π?)34 3 V R π=。 2．十七世纪前微分学与积分学的发展历史 公元前5世纪，古希腊数学家安提丰（Antiphon ）创立了“穷竭法”，认为圆内接正多边形当边数不断增加，最后多边形就与圆相合。公元前2世纪，古希腊数学家阿基米德（Archimedes ）对“穷竭法”作出了巧妙的应用，他在《论抛物线求积法》中用“穷竭法”求抛物弓形的面积，他构造一系列三角形使它们的面积和不断接近抛物弓形的面积，这就是极限理论的最初形式。在《论球和柱体》一书中，阿基米德首先得到了球和球冠的表面积、球和球缺的体积的正确公式。阿基米德的著作代表了古希腊数学的顶峰。 1615年，德国数学家开普勒（J. Kepler, 1571-1630）用无穷小微元来确定曲边形的面积与体积。他把圆看作边数无限多的多边形，圆

高等数学与初等数学的联系及一些应用

高等数学与初等数学的联系及一些应用 摘要：众所周知，初等数学是高等数学的基础，高等数学是初等数学的延伸和 发展。由于现阶段数学数字化时代的发展，中学教师要是掌握一定的高等数学的知识与方法，并在教学中与初等数学的知识有机结合起来，那么将能提高学生的思维，开阔学生的思路，培养学生的数学修养并提高其解决问题的能力。因而，本文着重把高等数学与初等数学联系起来，通过几个例子来阐述高等数学在初等数学中的一些重要的应用。 关键词：高等数学；初等数学；应用 1.引言 数学是一门概括性、逻辑性很强的学科，将它从自然科学中分离出来而成为一门独立的学科与自然科学、社会科学并驾齐驱，在修完高等数学课程之后才能体会到这个主张是非常科学的。因此有人把它叫做思维的体操，也有人把它称作其他自然科学必备的基础工具。这些都是基于这种认识和理解，是有一定的道理的。 中小学的数学，即使是高中数学的教学，它所要承担的教学任务和培养的目 标只能是学会基本的运算和简单的推理，由于学生的接受能力有限，更深一层次 的研究只能在大学进行。只有通过大学高等数学各门必修课程和选修课程的学习 和理解，才能深切感受到数学这门充满生机、古老的学科的庞大的体系和深邃的 理论，才能认识到数学区别于其他学科的三种特性：抽象性、严谨性和高度的概 括性。 2.国内外研究现状 大学课程学习的思维单向性很强。大学的学习给学生的感觉是用中学知识去 学习大学课程中的内容，学生几乎感觉不到能用大学知识解决中学数学中的问题 或对解中学数学问题有什么帮助。“用”的观念淡薄了，“学”的热情自然而然的 就少了。抓住高等数学与初等数学之间的联系，加强高等数学对初等数学的指导 作用及高等数学在初等数学中的一些应用是本课题研究的重点和关键问题。中学 数学教材中的教学难点经常让新教师费劲口舌，但学生仍然晕头转向，不知其意。 比如极限定义、集合和函数等。一位新数学教师在解释从非空数集A到数集B 的映射是函数时常常讲不清楚函数的值域到底是不是B。如果他的数学分析中的 映射掌握得好，完全可以既讲得轻松而学生又听得明白。法国数学家F·克莱因 曾经说过：“教师应具备较高的数学观点，理由是，观点越高，事物就显得越简

高等数学与初等数学的区别与联系

高等数学与初等数学的区别与联系 本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 高等数学与初等数学的区别与联系 摘要从产生的历史、研究对象和研究方法3个方面说明高等数学与初等数学的区别与联系，使高等数学的初学者能够在初等数学即常量数学的基础上顺利进入高等数学即变量数学的学习。 关键词高等数学；初等数学；数学史；研究对象；研究方法 中图分类号：G642 文献标识码：B 文章编号：1671-489X(2011)15-0047-02 Difference and Relation from Advanced Mathematics Comparing with Primary Mathematics//Yang Limin, Zhao Songqing Abstract This paper shows the difference and relation from advanced mathematics comparing with primary mathematics by Mathematical History, Investigative object and Investigative method. Fresher who want to study advanced mathematics need to know them. Key words advanced mathematics; primary

mathematics; mathematical history; investigative object; investigative method Author s address College of Science, China University of Petroleum, BEijing, China 102249 高等数学是理、工、经、管类各专业大学生的一门重要专业基础课，近年来有些文科专业如英语、法律也开设相应的文科高等数学课程，说明高等数学的广泛应用性得到越来越多人的认识。如何学好高等数学是人们共同关注的问题。由于高等数学与初等数学所处历史时期不同，使得它们的研究对象、研究方法有着很大的不同。这使得有些学生在开始学习高等数学时有些迷茫，不明白数学怎么突然变了样子，导致不易入门，对高等数学产生抵触情绪，学不好高等数学。注意高等数学与初等数学的区别与联系是学好高等数学的重要环节，可以让学生顺利进入高等数学的学习，为专业课程的学习打好基础。 1 初等数学与高等数学处在不同历史时期[1] 数学 本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！

数学分析对中学数学指导作用

分类号 O171 单位代码 密级学号 学生毕业论文 题目数学分析对中学数学的指导作用 作者 院 (系) 数学系 专业数学与应用数学 指导教师 答辩日期2014年5月4日

摘要 数学是研究空间形式和数量关系的科学．随着数学改革的不断进行与发展，中学数学所涉及的数学分析方面的知识在高考中所占得比例越来越大．本文通过探讨数学分析与中学数学的关系，着重论述数学分析在中学数学函数、几何、代数等方面的应用，以大量详实的习题、范例为依据，分析不同方法的解题效果，从而说明数学分析对中学数学的指导意义和作用． 关键词：数学分析；中学数学；数学思想；数学方法

ABSTRCT Mathematics is the study of space form and quantity relationship．With the ongoing development of mathematics reform，the proportion of the mathematical analysis knowledge included middle school math in the university entrance exam is becoming increasing larger．By discussing the relationship between mathematical analysis with the middle school mathematics，this thesis focuses on the application of mathematical analysis in functions，geometry ，algebra in middle school mathematics．At the same time with a large number of detailed examples，as the basis and analysis of effect of different methods of problem solving，the guiding significance and function of mathematical analysis to middle school mathematics is illustrated． Key words: Mathematical analysis; Middle school mathematics; Mathematical thinking;Mathematical methods

浅谈初等数学与高等数学的关系

浅谈初等数学与高等数学的关系 【摘要】初等数学是高等数学不可或缺的基础，高等数学是初等数学的继续和提高.高等数学解释了许多初等数学未能说清楚的问题，这对用现代数学的观点、原理和方法指导数学教学是十分有用的。 【关键词】初等数学；高等数学；关系 从数学这门学科的建立直至十七世纪这整个阶段，数学只能解释一些静止的现象和计算一些定量（例如，它只能用于计算直边所围成的面积，以及固定的高度和距离等）这个阶段被称为初等数学阶段。初等数学远远不能满足社会发展的需要，因此人们寻求新方法，解释那些运动现象（例如，变速运动的瞬时速度、任意曲边所围成的面积等）于是建立了高等数学。高等数学的出现，显示出了巨大威力，许多初等数学束手无策的问题，至此迎刃而解了。 本文介绍了初等数学与高等数学的一些相关内容及它们之间的关系。 1.初等数学简介及其研究内容 代数的最早起源可追溯到公元前1800年左右。那时代的巴比伦数学文献里已经含有二次方程和某些很特殊的三次方程。从那时直到15世纪的三千多年里，中国﹑印度﹑阿拉伯和欧洲都在不同的方面对代数学的发展作出了不同贡献。特别是中国的代数获得了比较系统的﹑高水平的发展。例如，约在公元前1世纪前后成书的《九章算术》，其中记载了“方程术”和“正负术”等重要成就。到了13世纪后，中国数学在高次方程的数值解法﹑同余式理论以及高阶等差数列等方面又再放异彩，取得令人惊异的成就。 纵观数学发展的整个历史过程，大体上经历了初等代数的形成﹑高等代数的创建以及抽象代数的产生和发展三个阶段。随着这门学科的不断发展，人们对于代数学的研究对象问题的认识也不断深化，逐步形成下面几个观点。 （1）代数学是研究方程解法和字母运算的科学 （2）代数学是研究多项式和线性代数的科学 （3）代数学是研究各种代数结构的科学 （4）代数是推动数学发展、解决科学问题的有利工具 初等数学中主要包含两部分：初等几何与初等代数。初等几何是研究空间形式的学科，而初等代数则是研究数量关系的学科。初等数学基本上是常量的数学。 1.1数的概念及其运算1.2解析式及其恒等变换1.3方程1.4不等式1.5函

高数常用初等数学基本公式 .

常用的初等数学基本公式 乘法及因式分解 3223333)(b ab b a a b a ±+±=± ))((2233b ab a b a b a +±=± ))((122321-----+++++-=-n n n n n n n b ab b a b a a b a b a +-+ +=+--221! 2)1()(b a n n b na a b a n n n n []n k k n b b a k k n n n ++---+- ! )1()1( 2(1)(1)[(1)](1)12!!n k n n n n n n k x nx x x x k --???--+=+++???++???+ 级数公式 （1） 等差级数 设1a 为首项，d 为公差，n 为项数，n a 为第n 项数，n s 为前n 项和，则 d n a a n )1(1-+= d n n na n a a s n n 2 )1(211-+=?+= （2）等比数列 设1a 为首项，q 为公比，n 为项数，n a 为第n 项数，n s 为前n 项和，则 11-=n n q a a q q a q q a a s n n n --=--=1)1(111 三角公式 （1）基本公式1cos sin 22=+αα ；αα22sec tan 1=+ ； αα22csc cot 1=+ 1csc sin =?αα ；1s e c c o s =?αα ；1cot tan =?αα； αααcos sin tan = ； α ααsin cos cot = 。 （2）和差角公式 y x y x y x sin cos cos sin )sin(+=+ y x y x y x sin sin cos cos )cos(-=+

数学分析心得体会

数学分析心得体会 数学分析在培养具有良好素养的数学及其应用方面起着特别重 要的作用，因此作为数学专业的你一定要好好学习数学分析。接下来就跟小编一起去了解一下关于数学分析心得体会吧! 数学分析心得体会篇1 从近代微积分思想的产生、发展到形成比较系统、成熟的“数学分析”课程大约用了 300 年的时间，经过几代杰出数学家的不懈努力，已经形成了严格的理论基础和逻辑体系。回顾数学分析的历史，有以下几个过程。从资料上得知，过去该课程一般分两步：初等微积分与高等微积分。初等微积分主要讲授初等微积分的运算与应用，高等微积分才开始涉及到严格的数学理论，如实数理论、极限、连续等。上世纪 50 年代以来学习苏联教材，从而出现了所谓的“大头分析”体系，即用较大的篇幅讲述极限理论，然后把微积分、级数等看成不同类型的极限。这说明了只要真正掌握了极限理论，整个数学分析学起来就快了，而且理论水平比较高。在我国，人们改造“大头分析”的试验不断，大体上都是把极限分成几步完成。我们的做法是：期望在“初高等微积分”和“大头分析”之间，走出一条循序渐进的道路，而整个体系在逻辑上又是完整的。这样我们既能掌握严格的分析理论，又能比较容易、快速的接受理论。 我们都知道，数学对于理学，工学研究是相当重要。在中国科技大学计算机应用硕士培养方案中，必修课：组合数学、算法设计与分析，高级计算机网络、高级数据库系统，人工智能高级教程现代

计算机控制理论与技术。山西大学通信与信息系统硕士培养方案中，专业基础课：(1)矩阵理论(2)随机过程(3)信息论与编码(4)现代数字信号处理 (5)通信网络管理：其中有运筹学内容，属于数学。(6)模糊逻辑与神经网络是研究非线性的数学。大连理工大学微电子和固体电子硕士培养方案中，必修课：工程数学，专业基础课：物理、半导体发光材料、半导体激光器件物理西北大学经管学院金融硕士培养方案中，学位课：中级微观经济学(数学) 中级宏观经济学中国市场经济研究经济分析方法(数学) 经济理论与实践前沿金融理论与实践必须使用数学的研究专业有：理工科几乎所有专业，分子生物学，统计专业，(理论、微观)经济学，逻辑学而这些数学的基础课就有一门叫做数学分析的课程!数学是所有学科的基础，可以说自然学科中的所有的重大发现和成就都离不开数学的贡献，而数学分析是数学中的基础!基础中的基础! 正因为如此，我深刻地认识到基础的重要性。经过本学期，我已学习了极限理论，单变量微积分等知识，其中极限续论是理论要求最高的，积分学是计算要求最高的部分。两者均是我学习中的困难。在本书中，以有界数集的确界定理作为出发点，不加证明地承认该定理，利用它证明了单调有界数列的极限存在定理，然后逐步展开证明了其他几个基本定理。定理虽易记诵，但对于理解的要求甚高，举例来说，在课后习题中有这样一题，证明单调有界函数存在左右极限。这题着实将我难住许久许久，尽管该题在数学分析中只是初级的难度，但初

初等数学与高等数学

初等数学与高等数学 初等数学是常量的、静态的数学，它只能解决和解释常量的几何问题和物理问题，比如规则图形的长度、面积和体积，匀速直线运动，常力沿直线的作功，质点间的吸引力等； 高等数学是变量的、动态的数学，它解释和解决那些变化的几何问题和物理过程，特别是描述一些物体的渐近行为和瞬时物理量等，比如不规则图形的长度、面积和体积，一般运动问题，变力沿曲线作功，一般物体间的吸引力等。 （高等）数学教与学 数学教育本质上是一种素质教育。学习数学的目的，不仅仅在于学到一些数学的概念、公式和结论，更重要的是要了解数学的思想方法和精神实质，真正掌握数学这门学科的精髓。只有这样，所学的数学知识才不至沦为一堆僵死的教条，变得似乎毫无用处，相反，能做到触类旁通，在现实世界中提出的种种问题面前显示出无穷无尽的威力，终生受用不尽。如何教好或学好数学，特别是高等数学？ 一．理解概念数学，特别是现代形态的数学，是一种很空洞抽象的东西。从形式上看，数学是由无物质内容的形式符号按一定的“游戏规则”所组成的推演系统，她远离人的直接经验，具有一定的超现实性。完全纯粹的数学，对于常人来说，无疑是一部“天书”。为了理解数学中的每一个概念，读懂“天书”中的每一个词，我们必须坚持语言文字、数学公式、图形列表、数值计算和物理实例四

方面并重，力求通过不同侧面来理解数学概念、思想和方法。 二．演算解题高等数学，单靠教师把课讲好是远远不够的。只有调动学生学习的积极性和主动性，促使他们自觉地接受经常、充分而又严格的数学训练，才能使他们真正走近数学，取得切身的体会，从而加深对数学的理解。在认真复习的基础上做好习题，是和课堂教学联系最直接与紧密，同时也最利于经常实施和长期坚持的一项重要的数学训练。多讲不如多练，对数学这样一门注重思考的学科，情况更是如此。只有通过严格的训练，使学生手脑并用，才能启迪心智，推动思维，使认识不断深入。由于解题在训练数学思维方面的极端重要性，更需要对学生的解题进行必要的指引。当然这里的演算解题不仅仅局限于带带公式，套套定理，算算极限、导数或积分，更包括解答一些基本的数学证明问题。学习高等数学，不仅要求学生掌握高等数学中的一些基本概念、基本性质和基本方法；更重要的是掌握高等数学的知识体系、知识框架，期望学生通过学习高等数学，提高抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和运用所学只是分析问题和解决问题的能力。 三．逻辑结构在现代数学中，符号演算在课程中常占着较大的比例，比如微积分中的极限演算，导数和各种积分演算等。而事实上，符号演算仅仅是数学中的形式部分，也是比较简单的部分；数学中的逻辑结构才是它的理性思辨的精髓所在，它虽然不同于物质的物理结构，但是它们所产生神妙的结构性功能，却是可以类比的。比如一种机械在装配前，只是一堆死的零部件，若加以精密的装配，就是赋予

数学分析课程教学大纲(4)

《数学分析》课程教学大纲 【课程编号】： 16114021 【英文译名】：Mathematical Analysis 【适用专业】：数学与应用数学专业本科生，信息与计算专业本科生，光信息专业本科生【学分数】： 14 【总学时】： 98+98+48=244 【实践学时】： 0 一、本课程教学目的和课程性质 数学分析是高等理工院校数学专业和对数学要求较高专业的极为重要的数学基础课之一，本课程既是进一步学习数值分析、微分方程、复变函数、微分几何、概率论、实变函数与泛函分析等后继课程的阶梯，又与中学数学中的实数系，函数方程、不等式、极值、面积、弧长等内容有密切联系。能够培养学生运用数学分析的方法去观察问题、思考问题、分析问题和解决问题的能力，为进一步学习现代数学科学和应用科学打下牢固的数学基础。 《数学分析》课程是高师和综合性大学数学类专业本、专科的一门重要基础课，是 进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变函数与泛函分析等后继课 程的阶梯，是考取数学类硕士研究生的必考基础课之一。本课程内容包括极限论、微分学、积分学、无穷级数等方面的系统知识，用现代数学工具即极限的思想与方法研究函 数的分析特性即连续性、可微性、可积性。 《数学分析》课程在大学低年级开设，它集科学性、严密性与连贯性于一体，系统性 与逻辑性强，是连接初等数学与高等数学的桥梁，也是区分初等数学与高等数学的标志。对于刚上大学的大学生来说，在从初等数学（用非极限方法研究常量数学）到高等数学（用极限方法研究变量数学）的转变过程中，本课程的学习起着关键的作用。通过本课 程的学习，学生可以对近代应用数学的发展有一个初步的了解，进而提高学习数学的兴趣，提高应用所学数学知识解决实际问题的能力与意识。通过本课程的讲授，可以引导 学生了解当前数学领域的最新发展状况，培养学生探索新知识的意识和能力。 二、本课程的基本要求 本课程分三学期讲授，第一学期讲授98学时，第二学期讲授98学时，第三学期讲授48学时，主要讲授一元微积分学、多元微积分学、级数理论与实数理论等知识结构系统。课程的目的和要求： 1.使学生正确理解数学分析的基本概念，掌握基本定理、基本原理、基本方法，掌握数学分析中的分析、推理、论证和基本应用方法，提高抽象思维和逻辑推理的专业素质，获得较熟练的演算技能、证明推导和初步应用的能力，为进一步学习其它学科（数值分析、微分方程、复变函数、微分几何、概率论、实变函数与泛函数分析等后继课程）打下基础； 2.使学生获得实数理论，极限论，一元函数微积分，无穷级数和多元函数微积分学等到方面的系统知识和体系结构，深刻认识极限的思想和方法，弄清不变与变，有限和无限，特殊与一般的内在关系；

初等数学与高等数学的定位1

【标题】?浅谈高等数学在初等数学中的应用【作者】袁英【关键词】?高等数学??初等数学??衔接??应用【指导老师】杨天标【专业】数学与应用数学【正文】 1.引言???我们知道,初等数学与高等数学之间无论在观点上还是在方法上都有着很大的区别.正是如此,有人认为:学生不需要懂得什么高等数学知识,教师只要照课本讲下去https://www.wendangku.net/doc/ce13128940.html,,我们在课堂上不能把高等数学知识传授给学生,但我们仅仅停留在课本上是不够的,有时甚至连自己对一些初等数学的问题也可能感到费解,这是因为:一方面,高等数学是初等数学的继续和提高;另一方面,初等数学里很多理论遗留问题必须在高等数学中才能得澄清.因此,高等数学在初等数学中的作用不能掉以轻心,下面谈谈一些初浅的体会. 2.初等数学与高等数学的定位一般来说，数学史学家把数学的发展分为四个阶段：萌芽时期、初等数学时期、古典高等数学时期、现代高等数学时期（或五个时期，再加上当代时期）.无论何种分发，都把第二发展时期叫做“初等数学时期”，这个时期的数学知识和经验就是“初等数学”，而把第三、第四或第三、四、五阶段叫做“高等数学时期”，这些阶段的数学知识和经验就是“高等数学”.理论意义下的初等数学和高等数学是按照恩格斯（Engles）的经典分发：所谓初等数学是指常量数学，高等数学就是指变量数学，并把笛卡尔（R.Descartes）1637年发表的解析几何看成为出现高等数学或进入高等数学时期的标志.而教育意义下的初等数学高等数学是依据教育的发展历程和教育的等级加以区分的，即视普通初等、中等教育（即中、小教育）阶段的数学主要内容为初等数学，视初等教育阶段的数学主要内容为初等数学，视高等教育的数学主要内容为高等数学?[[]1].当然，由于社会和教育的思想、方法、手段尤为其是教育内容都在不断发展，“初等数学”和“高等数学”也是一个变化的客体对象，两者没有严格的概念区别.事实上，数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力在于各部分之间的内在联系，这就需要深入研究初等数学，理清其中最基本的思想和方法，努力寻求初等数学和高等数学的结合点. 3.高等数学与初等数学的融合大学生特别是师范类大学生,一入学就发现，他们面对的问题好像同中学里学过的东西一点联系也没有,当然也很快就完全忘了中学所学的东西；但是毕业以后当了中学教师,他们突然发现,要按老师的教法来传授中学内容,由于缺乏指导,他们又很难辨明当前的中学教学内容和所学大学课程之间的联系.数学专业的大学生学到的专业知识是不少的,但许多重要高等数学对初等数学的渗透，注重用高等观点来研究初等数学，注重高等数学对初等数学的直接指导作用,总之,如果我们注重初等数学同高等数学的融合,我们就一定能克服上述弊端,就能平稳地实现中学学习---大学学习---中学教学之间的过度?[[]2]?. 3.1高等数学对初等数学的渗透随着中学数学教学的改革，已有很多高等数学的知识渗透到中学数学教学中去.近几年来，国际中学生奥林匹克数学竞赛的试题中，与初等数论有关的题目呈现增高的趋势.它牵涉到数论中整数的表示法、整除性理论与同余理论.如果我们在初等数论的教学过程中，注意把初等数论是理论同中学奥林匹克数学竞赛的内容结合起来讲，将会收到意想不到的效果. 多项式属于古典代数的范畴,这个课题的基本知识分散在中学一直到大学的课本中，如果我们在讲授多项式时，注意中学与大学间的衔接,注意它们间的关系,这将有助于提高大学生学习多项式的情趣. 渗透到中学数学教学中的内容除多项式、初等数论外，还有组合数学、不等式与向量代数等等.在讲授这些内容时，应将此内容与中学现行教材结合起来，这既能提高学生学习这些内容的情趣，又有助于实现中学学习---大学学习---中学教学间的平稳过渡?[[]3]?. 3.2高观点下的初等数学作为一名准中学数学教师，仅仅懂一点初等数学是远远不过的，他必须具备较好的数学专业知识.观点越高，事物越显得简单.例如，在实数域里不好理解的某些东西，从复数域的观点看就清楚了；在欧氏空间里某些无法解释的现象，从射影空间的观点看，就有满意的说明；中学的最值问题，用导数来理解就清楚多了. 又如，从多项式及一元有理式函数的图象表示开始，由此得出曲线与坐标轴的交点就是多项式的零点，自然而然地引导到方程的近似数值解，曲线的几何图象自然地给微商和积分这两个概念提供了直观背景，曲线的斜率引进微商，曲线与?轴围成

数学分析教学与中学教学之比较和衔接

保山师专学报2002,21(5):12~14CN53-1128/G4ISSN1008-6587 J ournal of Baoshan Teachers c Colle g e 数学分析教学与中学教学之比较和衔接 李祥杨春华 (保山师范高等专科学校,云南保山678000) 摘要:从学科结构和数学专业大一学生的知识结构出发,通过比较分析阐明在数学分析教学中应着力解决的几个问题。 关键词:数学分析;结构;比较;衔接 中图分类号:O17文献标识码:A文章编号:1008-6587(2002)05-0012-03 Com p arison&j oint Between Teachin g of Math Anal y sis&That of Math in Middle School L i Xiang Y ang Chun Hua (Baoshan T eachers'Colle g e,Y unnan678000) Abstract:Priorit y should be g iven to several p roblems in the teachin g of math anal y sis in view of disci p line and know ledge structure of first-year math majors. Key Words:math analysis;structure;comparison;joint 1问题的提出 数学分析是一个庞大的、内容广泛的知识系统,它在师专数学教育专业的课程教学及对相关后续课程的影响,充分说明了其在数学专业课程设置中的重要地位,同时教学难也是师生之共识。据问卷调查显示:76%的同学在校学习期间对数学分析课最感兴趣;89%的同学对数学分析学习投入的时间和精力最大;56%的同学认为毕业后留有印象的课是数学分析课;92%的同学认为该课程对后续课程有重要影响;而只有11%的同学将该课列为对中学数学教学作用最大的课。国家教育部从未颁布过统一的数学分析课课程标准,直至1995年调整教学计划后,我校也同其他学校一样自行编制了数学分析教考点纲要(见文1),对教学内容进行遴选、教学方式进行改革,以达到提高学生的数学素质之目的和应对专升本挑选的要求。俗话说/良好的开端是成功的一半0,作为数学分析课的任课教师应对该门课程的内容、结构和大一学生的知识结构进行分析,进而采用得当的教学方法,实现初等数学与数学分析课的顺利衔接。 2结构分析 2.1课程内容丰富、结构复杂 数学分析课程内容分四篇。第一篇:极限论(包括师专现行教材中o的第1、2、3、4章);第二篇:单变量微积分学(包括师专现行教材中的第5、6、7、8章);第三篇:级数论(包括师专现行教材中的第9、12章);第四篇:多变量微积分学(包括师专现行教材中的第10、11、13、14章)。据布尔巴基的观点:一切数学)))数论、数学分析、几何学、概率统计学等,都可以由:拓扑结构、代数结构、有序结构按一定规律构造出来。拓扑结构的基本概念是相邻、连续、和极限,代数结构的基本特征是/可逆 收稿日期:2002-09-22

高等数学在初等数学中的应用开题报告

高等数学在初等数学中的应用开题报告 开题报告 高等数学在初等数学中的应用 一、选题的背景、意义 随着新课程改革的不断进行,高等数学的知识在高考所占的比重也越来越大,所以,作为高中教师,就必须认真研究新的课程标准、新的考试大纲,认真研究、分析高中数学中的新知识??高等数学的知识方法在中学数学中的应用问题。 高等数学是在初等数学的基础上发展起来的.与初等数学有着紧密的联系。许多初等数学无法解答的问题高等数学都给出了解答.因此,帮助学生学会用高等数学的思想、方法,从不同的角度去研究初等数学的问题。这些问题可以是与中学教学内容密切相关但又未能完全解决,而应用所学高等数学知识可以解决的理论、方法问题,也可以是初等数学中己经解决,而运用高等数学的知识,从另一更高的角度重新认识初等数学中重要的概念、理论实质及其背景,还可以借助于高等数学的方法来统一处理和解决初等数学中一些或一类问题尽管这些问题可以用初等的方法来解决等等。总之,应用高等数学的方法使学生对初等数学的本质,以及与高等数学之间的内在联系,有了深刻的认识。所以本论文选题的基本内容是高等数学方法在初等数学中的应用研究,主要论述的高等数学的方法有微积分方法、导数、行列式的方法。 本论文研究了初等数学、高等数学的概念、范畴、关系,能使学生对此三个相关联的概念加以区别;同时以大量、翔实的中学数学的范例为依据,尤其是近

几年的高考试题,充分说明了高等数学方法在解决初等数学的相关问题上,具有明显的作用,并且尽可能地使用现有中学数学教材讲到的知识、方法。 本论文运用高等数学的观点地分析和处理中学数学内容的问题,主要表现为以下三个方面:一是将高等数学的思想和办法渗透到初等数学中去;二是用具体材料来说明高等数学对初等数学的指导意义:三是指出初等数学某些难以处理的问题的高等数学背景。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 一、本文研究的基本内容:本文通过对高等数学中的导数,微积分和行列式的方法在初等数学中的一些应用,来介绍一些高等数学思想以便学习者能更好地理解初等数学,这样有利于提高学生的学习兴趣,拓展学生的解题思维,放开眼界,提高解决和分析问题的能力;另一方面,利用高等数学解决初等数学问题,还可以把中学生从烦琐的题海中解放出来。 二、本文研究要解决的主要问题:通过本文能更好地应用高等数学解决初等数学的问题;领会高等数学的数学思想。 三、研究的方法与技术路线、研究难点,预期达到的目标 一、研究的方法与技术路线:先搜集和阅读大量的相关文献,了解国内外的研究现状,并对资料进行分类整理。之后,使用高等数学的导数,微积分,行列式等的方法对初等数学中的一些问题进行讨论研究。 二、研究的难点:主要在于选取的初等数学的问题以及对问题的解答能够让学习初等数学的人领会高等数学的思想,用高等数学的思想理解初等数学。 三、预期达到的目标:对初等数学的问题采用高等数学的思想方法,能让学习者用一种居高临下的眼光进行学习,能更好地理解初等数学。并且通过在学习初