三次样条曲线介绍

三次样条函数

定义:函数S(x)∈C2[a,b] ，且在每个小区间[ xj,xj+1 ]上是三次多项式，其中

a =x0
若在节点x j 上给定函数值Yj= f (Xj).( j =0, 1, , n) ，并成立

S(xj ) =yj .( j= 0, 1, , n) ，则称S(x)为三次样条插值函数。

由于插值节点有n+1个，故得到n个小区间，而每个小区间上要求一个三次多项式，每个区间需要4个条件，所以要确定样条函数S，共需要4n个条件。

在插值节点上，S(xj) = f(xj),j = 0,1,2,...,n,得到n+1个条件，在j = 1,2,...,n-1,由S，S的一阶导数，S的二阶导数连续可以得到3(n-1)个条件，所以总共得到了，4n-2个条件，要确定S还需要两个条件。就是通常所说的边界条件。

边界通常有自然边界（边界点的导数为0），夹持边界（边界点导数给定），非扭结边界（使两端点的三阶导与这两端点的邻近点的三阶导相等）。一般的计算方法书上都没有说明非扭结边界的定义，但数值计算软件如Matlab都把非扭结边界条件作为默认的边界条件