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考研数学线性代数讲义

第一讲基本概念

线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式

完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则

第三讲矩阵

乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组

线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组

解的性质解的情况的判别基础解系和通解

第六讲特征向量与特征值相似与对角化

特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化

第七讲二次型

二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵

附录二向量空间及其子空间

附录三两个线性方程组的解集的关系

附录四06,07年考题

第一讲基本概念

1．线性方程组的基本概念

线性方程组的一般形式为:

a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1,

a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2,

…………

a m1x1+a m2x2+…+a mn x n=

b m,

其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.

线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i替代时都成为等式.

线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.

对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.

b1=b2=…=b m=0的线性方程组称为齐次线性方程组.

n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).

把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.

2.矩阵和向量

(1)基本概念

矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.

由m?n个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m?n 型矩阵.例如

2 -1 0 1 1

1 1 1 0 2

2 5 4 -2 9

3 3 3 -1 8

是一个4?5矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵

a11 a12… a1n a11 a12… a1n b1

A= a21 a22… a2n 和(A|β)= a21 a22… a2n b2

…………………

a m1 a m2… a mn a m1 a m2… a mn

b m

为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.

一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.

元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.

两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.

由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.

书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,? ,a n的向量可表示成

(a1,a2,? ,a n)或 a2 ,

┆

a n

请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1?n矩阵,右边是n?1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)

一个m?n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为α1, α2,? ,αn时(它们都是表示为列的形式!)可记A=(α1, α2,? ,αn).

矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量α和β相等(记作α=β),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.

(2) 线性运算和转置

线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.

加(减)法:两个m?n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m?n矩阵,记作

A+B (A-B),法则为对应元素相加(减).

数乘: 一个m?n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m?n的矩阵,记作c A,法则为A 的每个元素乘c.

这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:

①加法交换律:A+B=B+A.

②加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).

③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A.

④数乘结合律: c(d)A=(cd)A.

⑤ c A=0? c=0 或A=0.

转置:把一个m?n的矩阵A行和列互换,得到的n?m的矩阵称为A的转置,记作A T(或A').

有以下规律:

① (A T)T=A.

② (A+B)T=A T+B T.

③ (c A)T=c A T.

转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当α是列向量时, α T表示行向量, 当α是行向量时,α T表示列向量.

向量组的线性组合:设α1, α2,…,αs是一组n维向量, c1,c2,…,c s是一组数,则称

c1α1+c2α2+…+c sαs

为α1, α2,…,αs的(以c1,c2,…,c s为系数的)线性组合.

n维向量组的线性组合也是n维向量.

(3) n阶矩阵与几个特殊矩阵

行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.

把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)

下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.

对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.

单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).

数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.

上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.

下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.

对称矩阵:满足A T=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.

(反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)

3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵

矩阵有以下三种初等行变换:

①交换两行的位置.

②用一个非0的常数乘某一行的各元素.

③把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)

类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.

阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:

①如果它有零行,则都出现在下面.

②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.

把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.

简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:

③台角位置的元素为1.

④并且其正上方的元素都为0.

每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.

请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.

2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.

4. 线性方程组的矩阵消元法

线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).

线性方程组的同解变换有三种:

①交换两个方程的上下位置.

②用一个非0的常数乘某个方程.

③把某个方程的倍数加到另一个方程上.

以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.

线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法.

对非齐次线性方程组步骤如下:

(1)写出方程组的增广矩阵(A|β),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|γ).

(2)用(B|γ)判别解的情况:

如果最下面的非零行为(0,0, ?,0|d),则无解,否则有解.

有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r

(推论:当方程的个数m

(3)有唯一解时求解的初等变换法:

去掉(B|γ)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|γ0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|η),则η就是解.

对齐次线性方程组:

(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.

(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r

讨论题

1.设A是n阶矩阵,则

(A) A是上三角矩阵?A是阶梯形矩阵.

(B) A是上三角矩阵?A是阶梯形矩阵.

(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.

2.下列命题中哪几个成立?

(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.

(2) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.

(3) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.

(4) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.

(5) 如果 A 是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.

第二讲行列式

一.概念复习 1. 形式和意义

形式:用n 2

个数排列成的一个n 行n 列的表格,两边界以竖线,就成为一个n 阶行列式: a 11 a 12 … a 1n

a 21 a 22 … a 2n

… … … . a n1 a n2 … a nn

如果行列式的列向量组为α1, α2, … ,αn ,则此行列式可表示为|α1, α2, … ,αn |.

意义:是一个算式,把这n 2

个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.

请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.

当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)

每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作|A |.

行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.

2. 定义(完全展开式)

2阶和3阶行列式的计算公式: a 11 a 12

a 21 a 22 = a 11a 22-a 12a 21 . a 11 a 12 a 13

a 21 a 22 a 23 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31- a 11a 23a 32-a 12a 21a 33. a 31 a 32 a 33

一般地,一个n 阶行列式 a 11 a 12 … a 1n

a 21 a 22 … a 2n

… … … a n1 a n2 … a nn

的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一般形式为:

n nj j j a a a 2121,

这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项.

所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定τ(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n 的逆序数(意义见下面),则项n nj j j a a a 2121所乘的是.)

1()

(21n j j j τ-

全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.

逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:

023********, τ(436512)=3+2+3+2+0+0=10.

至此我们可以写出n 阶行列式的值: a 11 a 12 … a 1n

a 21 a 22 … a 2n =.)1(21212121)(n n n

nj j j j j j j j j a a a τ-∑

… … … a n1 a n2 … a nn

这里∑

j j j 21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式.

用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.

2. 化零降阶法

把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij 的余

子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+j

M ij 为元素a ij 的代数余子式.

定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.

命题第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.

化零降阶法用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.

化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握.

3.其它性质

行列式还有以下性质:

① 把行列式转置值不变,即|A T

|=|A | . ② 某一行(列)的公因子可提出.

于是, |c A |=c n

|A |.

③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量α=β+γ ,则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量α换为β或γ 所得到的行列式.例如

|α,β1+β2,γ |=|α,β1,γ |+|α,β2,γ |.

④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.

⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0. ⑥ 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0. ⑦ 如果A 与B 都是方阵(不必同阶),则 A * = A O =|A ||B |. O B * B

范德蒙行列式：形如

1 1 1 … 1 a 1 a

2 a

3 … a n

a 12 a 22 a 32 … a n 2

… … … …

a 1n-i a 2n-i a 3n-i … a n n-i

的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于 ).(i j j

i a a -∏<

因此范德蒙行列式不等于0? a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.

对于元素有规律的行列式(包括n 阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.

4.克莱姆法则

克莱姆法则应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n 阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为

(D 1/D, D 2/D,?,D n /D), 这里D 是系数行列式的值, D i 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.

说明与改进:

按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.

实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A |β)作初等行变换,使得A 变为单位矩阵: (A |β)→(E |η), η就是解.

用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A |≠0.

二. 典型例题

1.利用性质计算元素有规律的行列式

例1 ① 2 a a a a ② 1+x 1 1 1 ③ 1+a 1 1 1 a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2

a a 2 a a . 1 1 1+x 1 . 3 3 3+a 3 .

a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+a

a a a a 2 例2 1 2 3 4 5

2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 . 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4

例3 1+x 1 1 1 1 1 1+x 2 1 1 . 1 1 1+x 3 1

1 1 1 1+x 4

例4 a 0 b c 0 a c b . b c a 0 c b 0 a

例5 1-a a 0 0 0 -1 1-a a 0 0

0 -1 1-a a 0 . (96四) 0 0 -1 1-a a

0 0 0 -1 1-a

2. 测试概念与性质的题

例6 x 3

-3 1 -3 2x+2

多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数.

X+3 -1 3 3x 2

-2

9 x 3

6 -6

例7 求 x-3 a -1 4

f(x)= 5 x-8 0 –2 的x 4和x 3

的系数.

0 b x+1 1 2 2 1 x

例8 设4阶矩阵A =(α, γ1, γ2 ,γ3),B =(β, γ1, γ2 ,γ3),|A | =2, |B |=3 ,求|A +B | . 例9 a b c d

已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z. 1 -z x+3 y y-2 x+1 0 z+3

例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01) 2 2 2 2 0 -7 0 0 5 3 -2 2

3.几个n 阶行列式

两类爪形行列式及其值:

例11 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a n b 1 c 2 0 … 0 0 证明 0 b 2 c 3 0 0 =

1111

(1)

i i i i n i b b a c c --+=-∑ .

… … … …

0 0 0 … b n-1 c n

提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出). 例12 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a n

b 1

c 1 0 … 0 0

证明 b 2 0 c 2 … 0 0 =0

n n

i i i i n i i a c c c

a b c c -+==-∑∏ .

… … … … b n 0 0 … 0 c n

提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出). 另一个常见的n 阶行列式:

例13 证明

a+b b 0 … 0 0 a a+b b … 0 0

… … … … = 11

n n n

n i i

i a b a b a b ++-=-=-∑(当a ≠b 时).

0 0 0 … a+b b

0 0 0 a a+b

提示:把第j 列(行)的(-1)j-1

倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开.

4.关于克莱姆法则的题例14

设有方程组

x 1+x 2+x 3=a+b+c,

ax 1+bx 2+cx 3=a 2+b 2+c 2

bcx 1+acx 2+abx 3=3abc.

(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c 两两不等. (2)在此情况求解.

参考答案

例1 ①(2+4a)(2-a)4.② x 3(x+4). ③ a 3

(a+10). 例2 1875.

例3 x 1x 2x 3x 4+x 2x 3x 4+x 1x 3x 4+x 1x 2x 4+x 1x 2x 3. 例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).

例5 1-a+a 2-a 3+a 4-a 5

. 例6 9,-6 例7 1,-10. 例8 40.

例9 x=0,y=3,z=-1. 例10 -28.

例14 x 1=a,x 2=b,x 3=c..

第三讲矩阵

一．概念复习

1. 矩阵乘法的定义和性质

定义2.1 当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.

设 a11 a12... a1n b11 b12... b1s c11 c12 (1)

A= a21 a22... a2n B= b21 b22... b2s C=AB=c21 c22 (2)

………………………

a m1 a m2… a mn ,

b n1 b n2… b ns ,

c m1 c m2… c ms ,

则

c ij=a i1b1j+a i2b2j+…+a in b nj.

矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:

①矩阵乘法有条件.

②矩阵乘法无交换律.

③矩阵乘法无消去律,即一般地

由AB=0推不出A=0或B=0.

由AB=AC和A≠0推不出B=C.(无左消去律)

由BA=CA和A≠0推不出B=C. (无右消去律)

请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.

矩阵乘法适合以下法则:

①加乘分配律 A(B+C)= AB+AC,(A+B)C=AC+BC.

②数乘性质 (c A)B=c(AB).

③结合律 (AB)C= A(BC).

④ (AB)T=B T A T.

2. n阶矩阵的方幂和多项式

任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.并且有行列式性质:

|AB|=|A||B|.

如果AB=BA,则说A和B可交换.

方幂设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积.规定A 0=E.

显然A的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:

①A k A h= A k+h.

② (A k)h= A kh.

但是一般地(AB)k和A k B k不一定相等!

n阶矩阵的多项式

设f(x)=a m x m+a m-1x m-1+…+a1x+a0,对n阶矩阵A规定

f(A)=a m A m+a m-1A m-1+…+ a1A+a0E.

称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E.

乘法公式一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n阶矩

阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如

当A 和B 可交换时,有:

(A ±B )2=A 2±2AB +B 2

;

A 2-

B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ).

二项展开式成立: B A

C B A -

=∑=+1

)

(等等.

前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.

同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解.

3. 分块法则

矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A 和B ,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A 的纵向切割和B 的横向切割一致!),再用它们来作乘法.

(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则

A 11 A 12

B 11 B 12 = A 11B 11+A 12B 21 A 11B 12+A 12B 22 A 21 A 22 B 21 B 22 A 21B 11+A 22B 21 A 21B 12+A 22B 22 要求A ij 的列数B jk 和的行数相等. 准对角矩阵的乘法: 形如

A 1 0 ... 0 A = 0 A 2 0

… … … 0 0 … A n

的矩阵称为准对角矩阵,其中A 1,A 2,…,A k 都是方阵.

两个准对角矩阵

A 1 0 ... 0 B 1 0 0

A = 0 A 2 ... 0 , B = 0 B 2 ... 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 ... A k 0 0 ... B k 即A i 和B i , A 1B 1 0 0

AB = 0 A 2B 2 … 0 . … … …

0 0 … A k B k

(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A 是m ?n 矩阵B 是n ?s 矩阵. A 的列向量组为α1,α2,…,αn ,B 的列向量组为β1, β2,…,βs , AB 的列向量组为γ1, γ2,…,γs ,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):

① AB 的每个列向量为:γi =A βi ,i=1,2,…,s. 即A (β1, β2,…,βs )= (A β1,A β2,…,A βs ).

② β=(b 1,b 2,…,b n )T

,则A β= b 1α1+b 2α2+…+b n αn .

应用这两个性质可以得到:如果βi=(b1i,b2i,…,b ni)T,则

γi=AβI=b1iα1+b2iα2+…+b niαn.

即:乘积矩阵AB的第i个列向量γi是A的列向量组α1, α2,…,αn的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量βi的各分量.

类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.

以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.

(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.

(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:

用对角矩阵Λ从左侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵Λ从右侧乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.

数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.

两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.

(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.

例如设A=(α,β,γ), C=(α+2β-γ,3α-β+γ,α+2γ),令

1 3 1

B= 2 -1 0 ,则C=AB.

-1 1 2

(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用

对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.

有三类初等矩阵:

E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.

E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也就是把E的对角线上的第i 个元素改为c.

E(i,j(c))(i≠j):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也就是把E的(i,j)位的元素改为c.

命题对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.

4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)

(1) 矩阵方程

矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:

(I) AX=B.(II) XA=B.

这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)

当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s列,设 B=(β1, β2,…,βs),则 X也应该有s列,记X=(X1,X2,…,X s),则有AX i=βi,i=1,2,…,s,这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯一解.

这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得

(I)的解法:

将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B变为解X.

(A|B)→(E|X)

(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T=B T.再用解(I)的方法求出X T,转置得X..

(A T|B T)→(E|X T)

矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.

(2) 可逆矩阵的定义与意义

定义设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.

此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.

如果A可逆,则A在乘法中有消去律:

AB=0?B=0；AB=AC?B=C.(左消去律)；BA=0?B=0；BA=CA?B=C. (右消去律)

如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):

AB=C?B=A-1C. BA=C?B=CA-1.

由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:

(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.

这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).

(3) 矩阵可逆性的判别与性质

定理 n阶矩阵A可逆?|A|≠0.

证明“?”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|≠0. (并且|A-1|=|A|-1.) “?”因为|A|≠0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E, CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.

推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=E?BA=E.

于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.

可逆矩阵有以下性质:

①如果A可逆,则

A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.

A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.

当c≠0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.

对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k.

(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)

②如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)

初等矩阵都是可逆矩阵,并且

E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c))-1=E(i(c-1)), E(i,j(c))-1= E(i,j(-c)).

(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵

①计算逆矩阵的初等变换法

当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换求A-1:

(A|E)→(E|A-1)

这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.

②伴随矩阵

若A是n阶矩阵,记A ij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为 A11 A21… A n1

A*= A12 A22… A n2 =(A ij)T.

………

A1n A2n… A mn

请注意,规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆,但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系.

基本公式: AA*=A*A=|A|E.

于是对于可逆矩阵A,有

A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.

因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.

和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵

a b * d -b

c d = -c a ,

因此当ad-bc≠0时,

a b -1 d -b

c d = -c a (ad-bc) .

伴随矩阵的其它性质:

①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.

② |A*|=|A|n-1.

③ (A T)*=(A*)T.

④ (c A)*=c n-1A*.

⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.

⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A； n=2时,(A*)*=A.

二典型例题

1.计算题

例1 α=(1,-2,3) T,β=(1,-1/2,1/3)T, A=αβ T,求A6.

讨论:(1)一般地,如果n阶矩阵A=αβ T,则A k=(βTα)k-1A=(tr(A ))k-1A .

(2)乘法结合律的应用:遇到形如βTα的地方可把它当作数处理.

① 1 -1 1

ααT= -1 1 -1 ，求αTα.（2003一）

1 -1 1

考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)

收集自网络，不以任何盈利为目的。欢迎考研的同学，下载学习。线性代数讲义目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四06,07年考题第一讲基本概念 1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为: a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1, a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2, ………… a m1x1+a m2x2+…+a mn x n= b m, 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b1=b2=…=b m=0的线性方程组称为齐次线性方程组. n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).

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线性代数公式大全——最新修订 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；

考研数学线性代数讲义

1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E. 2.若涉及到A.B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 3.若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。 4.若要证明一组向量a1，a2，…，as线性无关，先考虑用定义再说。 5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 7.若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。 8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 2010考研基础班线性代数主讲：尤承业第一讲基本概念线性代数的主要的基本内容：线性方程组矩阵向量行列式等一．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为: 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n个数 C,2C, …, n C构成,它满足:当每个方程中 1 的未知数1x都用1C替代时都成为等式. 对线性方程组讨论的主要问题两个:

(1)判断解的情况. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。 (2)求解,特别是在有无穷多解时求通解. 齐次线性方程组: 021====n b b b 的线性方程组.0,0,…,0 总是齐次线性方程组的解,称为零解. 因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 二.矩阵和向量 1.基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展. 矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m 行n 列的表格称为m ?n 矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i 行j 列的元素称为(i,j)位元素. 5401 23-是一个2?3矩阵. 对于上面的线性方程组,称矩阵 mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211=和m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211)(=β

考研线性代数知识点全面总结资料

《线性代数》复习提纲第一章、行列式 1．行列式的定义：用2n 个元素ij a 组成的记号称为n 阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； ?行列式值为0的几种情况： Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。 3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。 n 阶行列式也可定义：n q q q n a a a ?=∑21t 2 1 1-D ）（，t 为n q q q ?21的逆序数 4.行列式性质： 1、行列式与其转置行列式相等。 2、互换行列式两行或两列，行列式变号。若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。 3、行列式某行（列）乘数k,等于k 乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面。 4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。 5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。 6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。（按行、列展开法则） 7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0. 5.克拉默法则：：若线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程有且仅有唯一解D D D D x D D n =?== n 2211x ,x ，，。

考研线性代数知识点全面汇总

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2020考研数学复习指导

2020考研数学复习指导教材是同济五版线性代数，1-5章：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型。数三不考向量组的线性相关性中的向量空间，线性方程组跟空间解析几何结合的问题; 概率与数理统计的内容包括：1、概率论的基本概念2、随机变量及其分布3、多维随机变量及其分布4、随机变量的数字特征5、大数定律及中心极限定理6、样本及抽样分布7、参数估计，其中数三的同学不考参数估计中的区间估计。 3.对应考试的专业数学一是报考理工科的学生考，考试内容包括高等数学，线性代数和概率论与数理统计，考试的内容是最多的。数学二是报考农学的学生考，考试内容只有高等数学和线性代数，但是高等数学中删去的较多，是考试内容最少的数学三是报考经济学的学生考，考试内容是高等数学，线性代数和概率统计。高数部分中，主要重视微积分的考察，概率统计中没有假设检验和置信区间。 4.难度上的区别数学一最大，数学三最小。数学一的难度主要体现在内容多，给考生的复习加大了难度;而数学二由于内容较少，试题的灵活性也

相对较大。但总的来说，数一数二和数三区别不大，在都考的部分，要求是差不多的，考试中三张试卷中完全相同的试题也占到了很大比重。二、数学该如何复习 1.首先就要明确高频的考题高频的考题其实就是命题的重点，一般的情况下，这样的命题是要年年进行考查的。 ?微积分 (1)幂指函数这样的未定式的极限，是重点考查的内容。 (2)利用定积分的定义，像中值定理来进行极限的计算，这样的内容虽然它未必是高频的考题，但也要重视。 (3)一元函数的微分学，求导运算它是微积分的基础，也是考查的重点内容。在函数的求导问题当中，数一、数二由参数方程所确定的函数的导数，分段函数的可导性，都是高频的考题。 (4)幂指函数的求导、复合函数的求导，它也会偶尔进行考查。 (5)一元函数微分学的应用，每年是必考的内容，研究函数的性态，函数单调性、极值、最值和凹凸性，极值和最值的问题，就是绝对高频的考点，几乎年年都要进行考查。 (6)对于凹凸性这样的问题，也不能忽视。比如说利用单调性、凹凸性、极值和最值来证明不等式，要掌握这类问题的常规的解题模式和方法。 (7)一元函数积分学，高频内容就是积分上限函数。要重点掌握

考研数学1——线性代数

第一章行列式（正方形） ............................................................................................................. 2 第二章矩阵（长方形、正方形） ...............................................................................................3 第三章向量组（长方形、正方形） ..............................................................................................6 第四章向量空间R N ...................................................................................................................... 7 第五章齐次方程组和非齐次方程组（长方形、正方形） .............................................................. 8 第六章关于秩的等式和不等式的总结 r(A) . (9) 第七章特征值（正方形） 1 1 1 A ()||n n n i ij i i i i tr A a A ξλξλ λ====?? →==??→=∑∑∏ (9) 第八章相似（正方形） ?方阵相似特征值完全相同 .................................................... 10 第九章二次型化标准型、规范型（正方形） ........................................................................... 11 第十章正定（正方形）T D A D D =存在可逆矩阵，使 (12)

考研数学线性代数知识点梳理

从近几年的真题来看，数学线性代数出题没有过多的变化，2014年的考研[微博]学子们，如何做到在千军万马中胜出，需要我们提前准备，更要做到心中有数，下面跨考教育[微博]数学教研室张老师就考研中线性代数部分的复习重点在考前再给大家梳理一遍。一、行列式与矩阵第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于相关性质，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、运算性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。二、向量与线性方程组向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组(一般式) 还具有两种形式：(1)矩阵形式，(2)向量形式。 1)齐次线性方程组与线性相关、无关的联系齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立；印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解；②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立；但向量部分中判断向量组是否线性相关无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。

2019考研数学知识点总结

2019考研数学三知识点总结考研数学复习一定要打好基础，对于重要知识点一定要强化练习，深刻巩固。整合了考研数学三在高数、线性代数及概率各部分的核心知识点、考察题型及重要度。 2019考研数学三考前必看核心知识点科目大纲章节知识点题型高等数学函数、极限、连续等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限函数连续的概念、函数间断点的类型判断函数连续性与间断点的类型一元函数微分学导数的定义、可导与连续之间的关系按定义求一点处的导数，可导与连续的关系函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用一元函数积分学积分上限的函数及其导数变限积分求导问题定积分的应用用定积分计算几何量多元函数微积分学隐函数、偏导数、全微分的存在性以及它们之间的因果关系函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系二重积分的概念、性质及计算二重积分的计算及应用无穷级数级数的基本性质及收敛的必要条件，正项级数的比较判别法、比值判别法和根式判别法，交错级数的莱布尼茨判别法数项级数敛散性的判别常微分方程一阶线性微分方程、齐次方程，微分方程的简单应用用微分方程解决一些应用问题线性行列式行列式的运算计算抽象矩阵的行列式

代数矩阵矩阵的运算求矩阵高次幂等矩阵的初等变换、初等矩阵与初等变换有关的命题向量向量组的线性相关及无关的有关性质及判别法向量组的线性相关性线性组合与线性表示判定向量能否由向量组线性表示线性方程组齐次线性方程组的基础解系和通解的求法求齐次线性方程组的基础解系、通解矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵特征值和特征向量的性质，化为相似对角阵的方法有关实对称矩阵的问题相似变换、相似矩阵的概念及性质相似矩阵的判定及逆问题二次型二次型的概念求二次型的矩阵和秩合同变换与合同矩阵的概念判定合同矩阵概率论与数理统计随机事件和概率概率的加、减、乘公式事件概率的计算随机变量及其分布常见随机变量的分布及应用常见分布的逆问题多维随机变量及其分布两个随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布随机变量的独立性和不相关性随机变量的独立性随机变量的数字特征随机变量的数学期望、方差、标准差及其性质，常用分布的数字特征有关数学期望与方差的计算大数定律和中心极限定理大数定理用大数定理估计、计算概率数理统计的基本概念常用统计量的性质求统计量的数字特征参数估计点估计、似然估计点估计与似然估计的应用

2014汤家凤线性代数辅导讲义

文都教育2014年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义主讲：汤家凤第一讲行列式一、基本概念定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i τ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。定义3 行列式—称 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 =称为n 阶行列式，规定 n n n nj j j j j j j j j a a a D 21212121) ()1(∑-= τ 。定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 21 2222111211 = 中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。二、几个特殊的高阶行列式 1、对角行列式—形如n a a a 0 000021称为对角行列式，n n a a a a a a 2121000 00 0=。 2、上（下）三角行列式—称 nn n n a a a a a a 222112 11及 nn n n a a a a a a 2 1 22 21 110 0为上（下）三角行列式， nn nn n n a a a a a a a a a 221122211211 0=， nn nn n n a a a a a a a a a 22112 1222111 0=。

考研数学三必背知识点：线性代数

线性代数必考知识点一、行列式 1、逆序数一个排列n i i i i ,,,321若有类似21i i 时，我们称21i i 组成一个逆序。一个排列中逆序总的个数之和称为逆序数，记为)(21n i i i 2、行列式性质 (1) 行列式行列互换，其值不变，即T A A (2) 行列式两行或两列互换，其值反号。 (3) 行列式某行或某列乘以k 等于行列式乘以k 。 (4) 行列式某行货某列乘以k 加到另一行或列上，行列式值不变。 (5) 行列式两行或两列对应成比例，则行列式为零。 (6) 行列式某行或某列元素为零，则行列式为零。 (7) 上、下三角行列式其值为主对角线上元素乘积。 (8) 行列式值等于对应矩阵所有特征值的乘积，即n A 21 (9) 齐次线性方程组0 Ax 有非零解n A r A )(0 3、行列式行列展开定理 (1) 余子式ij j i ij A M )1( (2) 代数余子式ij j i ij M A )1( 4、三阶行列式展开公式 33211232231131221332211331231233221133 32 3123222113 1211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 二、矩阵 1、矩阵运算 (1) 矩阵加减法即是将对应元素进行加减。 (2) 矩阵乘法是将对应行与对应列元素相乘再相加。 (3) 矩阵除法是乘以逆矩阵。 (4) 矩阵加减法满足交换律、结合律，乘法满足结合律、分配率。 (5) n 阶方阵一般可以有1*,,, A A A A T 四大基本矩阵运算 2、矩阵的行列式 (1) A k kA A A n T , (2) A B B A BA AB 3、矩阵转置 (1) T T T T T T T T T T A B AB kA kA B A B A A A )(,)(,)(,)( (2) **11)()(,)()(T T T T A A A A

2018考研数学线性代数六大考点

跨考考研线性代数在考研数学中占比22%，因此，学好线代很关键。一般，线性代数常考计算题和证明题，因此大家要把握好公式和理论重点。下面和大家分享线性代数六大考点，大家注意复习。一、行列式部分，强化概念性质，熟练行列式的求法在这里我们需要明确下面几条：行列式对应的是一个数值，是一个实数，明确这一点可以帮助我们检查一些疏漏的低级错误;行列式的计算方法中常用的是定义法，比较重要的是加边法，数学归纳法，降阶法，利用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再按行或列展开。另外范德蒙行列式也是需要掌握的;行列式的考查方式分为低阶的数字型矩阵和高阶抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等。二、矩阵部分，重视矩阵运算，掌握矩阵秩的应用通过历年真题分类统计与考点分布，矩阵部分的重点考点集中在逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程，其内容包括伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩，在课堂辅导的时候会重点强调.此外，伴随矩阵的矩阵方程以及矩阵与行列式的结合也是需要同学们熟练掌握的细节。涉及秩的应用，包含矩阵的秩与向量组的秩之间的关系，矩阵等价与向量组等价，对矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析，备考需要在理解概念的基础上，系统地进行归纳总结，并做习题加以巩固。三、向量部分，理解相关无关概念，灵活进行判定向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重，也是考研线性代数每年必出的考点。如何掌握这部分内容呢?首先在于对定义概念的理解，然后就是分析判定的重点，即：看是否存在一组全为零的或者有非零解的实数对。基础线性相关问题也会涉及类似的题型：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。四、线性方程组部分，判断解的个数，明确通解的求解思路线性方程组解的情况，主要涵盖了齐次线性方程组有非零解、非齐次线性方程组解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明以及带参数的线性方程组的解的情况。为了使考生牢固掌握线性方程组的求解问题，博研堂专家对含参数的方程通解的求解思路进行了整理，希望对考研同学有所帮助。通解的求法有两种，若为齐次线性方程组，首先求解方程组的矩阵对应的行列式的值，在特征值为零和不为零的情况下分别进行讨论，为零说明有解，带入增广矩阵化简整理;不为零则有唯一解直接求出即可。若为非齐次方程组，则按照对增广矩阵的讨论进行求解。五、矩阵的特征值与特征向量部分，理解概念方法，掌握矩阵对角化的求解矩阵的特征值、特征向量部分可划分为三给我板块：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化。相关题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、有关实对称矩阵的问题。六、二次型部分，熟悉正定矩阵的判别，了解规范性和惯性定理二次型矩阵是二次型问题的一个基础，且大部分都可以转化为它的实对称矩阵的问题来处理。另外二次型及其矩阵表示，二次型的秩和标准形等概念、二次型的规范形和惯性定理也是填空选择题中的不可或缺的部分，二次型的标准化与矩阵对角化紧密相连，要会用配方法、正交变换化二次型为标准形;掌握二次型正定性的判别方法等等。 2018考研交流总群337587371

历年考研数学线代真题1987-2016(最新最全)

历年考研数学一真题1987-2016 1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 三、(本题满分7分) (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014?? ??=?????? A 求矩阵. B 五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A )a (B )1 a (C )1n a - (D )n a 九、（本题满分8分）问,a b 为何值时,现线性方程组 123423423412340 221(3)2321 x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=++=-+--=+++=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _______. 三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是 (A )存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220s s k k k +++≠αααL (B )12,,,s αααL 中任意两个向量均线性无关 (C )12,,,s αααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D )12,,,s αααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211???? ????==-???? ????-???? B P 求5,.A A 八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x ????=??????A 与20000001y ?? ??=?? ??-??B 相似. (1)求x 与.y (2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P

考研线性代数知识点归纳

1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ：将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-；将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-；将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；

2020考研数学一高等数学和线性代数该如何复习

2020考研数学一高等数学和线性代数该如何复习来源：智阅网高等数学在数一中的考点分布相对数二、数三而言比较广，并且出题的角度和方向也比较琐屑，但是也并非无迹可寻。只要我们认真的剖析和剖析考研真题，还是可以发现一些对我们非常有价值的信息。数学在考研中的考试题型不外乎是定义题、计算题、证明题。下面具体为大家剖析高等数学中极限这个大的内容，有哪些考点。极限在数一中还是占着很大的比重，考试的只要考查方式就是求极限，还有就是一些单调有界定理的使用。我们要充分掌握求不定式极限的种种方法，比如利用极限的四则运算、利用洛必达法则等等，另外两个重要的极限也是重点内容；其次就是极限的应用，主要表现为连续，导数等等，对函数的连续性和可导性的探讨也是考试的重点，这要求我们直接从定义切入，充分理解函数连续的定义和掌握判定连续性的方法。而线性代数的复习，首先要做到基础过关。线代概念很多，重要的有代数余子式、伴随矩阵、逆矩阵、初等变换与初等矩阵、正交变换与正交矩阵、秩(矩阵、向量组、二次型)、等价(矩阵、向量组)、线性组合与线性表出、线性相关与线性无关、极大线性无关组、基础解系与通解、解的结构与解空间、特征值与特征向量、相似与相似对角化、二次型的标准形与规范形、正定、合同变换与合同矩阵。而运算法则也有很多必须掌握：行列式(数字型、字母型)的计算、求逆矩阵、求矩阵的秩、求方阵的幂、求向量组的秩与极大线性无关组、线性相关的判定或求参数、求基础解系、求非齐次线性方程组的通解、求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法)、判断与求相似对角矩阵、用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。其次，加强抽象及推理能力。

考研线性代数知识点全面总结

《线性代数》复习提纲第一章、行列式（值，不是矩阵） 1．行列式的定义：用2 n 个元素ij a 组成的记号称为n 阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n ≥3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况：上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； ? 行列式值为0的几种情况： Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。 3.概念：全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：一个排列中任意两个元素对换，改变排列的奇偶性。奇排列变为标准排列的对换次数为基数，偶排列为偶数。 n 阶行列式也可定义：n q q q n a a a ?=∑2 1t 211-D ）（，t 为n q q q ?2 1的逆序数 4.行列式性质： 1、行列式与其转置行列式相等。 2、互换行列式两行或两列，行列式变号。若有两行(列)相等或成比例，则为行列式0。

3、行列式某行（列）乘数k,等于k 乘此行列式。行列式某行（列）的公因子可提到外面。 4、行列式某行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。 5、行列式某行（列）乘一个数加到另一行（列）上，行列式不变。 6、行列式等于他的任一行（列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。（按行、列展开法则） 7、行列式某一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和为0. 5.克拉默法则：：若线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程有且仅有唯一解 D D D D x D D n =?== n 2211x ,x ，，。：若线性方程组无解或有两个不同的解，则系数行列式D=0. ：若齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，则其没有非零解。：若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0。 6. 1 1 2 n r r r n r r r r ==∏O ， () 1 1 (1)2 2 1n r n n r r n r r r r -==-∏N ()n a b a b ad bc c d c d =-O N N O , 12322221231 1 11112 3 1111() n n i j n i j n n n n n x x x x x x x x x x x x x x ≥>≥----=-∏L L L M M M M L ，（两式要会计算）题型：Page21（例13）第二章、矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB ＝BA ，称A 、B 是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；范德蒙德行列

考研数学历年真题线性代数的考点总结

考研数学历年真题线性代数的考点总结考研数学历年真题线性代数的考点总结 ?线性代数章节总结第一章行列式主要方法是利用行列式的性质或者展开定理即可。而抽象型行列式的计算主要：利用行列式的性质、利用矩阵乘法、利用特征值、直接利用公式、利用单位阵进行变形、利用相似关系。06、08、10、12年、13年的填空题均是抽象型的行列式计算问题，14年选择考了一个数值型的矩阵行列式，15、16年的数一、三的填空题考查的是一个n行列式的计算，今年数一、数二、数三这块都没有涉及。第二章矩阵本章的概念和运算较多，而且结论比较多，但是主要以填空题、选择题为主，另外也会结合其他章节的知识点考大题。本章的重点较多，有矩阵的乘法、矩阵的秩、逆矩阵、伴随矩阵、初等变换以及初等矩阵等。其中06、09、11、12年均考查的是初等变换与矩阵乘法之间的相互转化，10年考查的是矩阵的秩，08年考的则是抽象矩阵求逆的问题，这几年考查的形式为小题，而13年的两道大题均考查到了本章的知识点，第一道题目涉及到矩阵的运算，第二道大题则用到了矩阵的秩的相关性质。 14的第一道大题的第二问延续了13年第一道大题的思路，考查的仍然是矩阵乘法与线性方程组结合的知识，但是除了这些还涉及到了矩阵的分块。16年只有数二了矩阵等价的判断确定参数。第三章向量

本章是线代里面的重点也是难点，抽象、概念与性质结论比较多。重要的概念有向量的线性表出、向量组等价、线性相关与线性无关、极大线性无关组等。复习的时候要注意结构和从不同角度理解。做题重心要放在问题转换上面。出题方式主要以选择与大题为主。这一章无论是大题还是小题都特别容易出考题，06年以来每年都有一道考题，不是向量组的线性表出就是向量组的线性相关性的判断，10年还考了一道向量组秩的问题，13年考查的则是向量组的等价，14年的选择题则考查了向量组的线性无关性。 15年数一第20题结合向量空间的基问题考查了向量组等价的问题。16年数数一、数三第21题与数二23题考的同样的题，第二问考向量组的线性表示的问题。第四章线性方程组主要考点有两个：一是解的判定与解的结构、二是求解方程。考察的方式还是比较固定，直接给方程讨论解的情况、解方程或者通过其他的关系转化为线性方程组、矩阵方程的形式来考。 06年以来只有11年没有出大题，其他几年的考题均是含参方程的求解或者是解的判定问题，13年考查的第一道大题考查的形式不是很明显，但也是线性方程组求解的.问题。14年的第一道大题就是线性方程组的问题，15年选择题考查了解的判定，数二、数三同一个大题里面考查了矩阵方程的问题。 16年数一第20题矩阵方程解的判断和求解，数三第20题与数二第22题直接考线性方程解的判断和求解，数一第21题第二问解矩阵方程。16年数一、数三第21题与数二第23题第二问直接考矩阵方程解求解，基本都不需要大家做转换。今年数一、数三第20题、数二第22题第二问题都考了抽象的线性方程的求解问题。第五章矩阵矩阵的特征值与特征向量，每年大题都会涉及这章的内容。考大题的时候较多。重点考查三个方面，一是特征值与特征向量的定义、性质以及求法;二是矩阵的相似对角化问题，三是实对称矩阵的性质

线性代数考研讲义完整版.

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