成都电子科技大学实验中学八年级数学上册第一单元《三角形》测试(包含答案解析)

一、选择题

1．如图，在ABC 中，AB 边上的高为（ ）

A ．CG

B ．BF

C ．BE

D ．AD

2．如图，下列结论中正确的是（ ）

A ．12A ∠>∠>∠

B ．12A ∠>∠>∠

C ．21A ∠>∠>∠

D ．21A ∠>∠>∠ 3．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 在AB 上，将△ABC 沿CD 折叠，点B 落在AC 边上的点B′处，若'20ADB ∠=?，则∠A 的度数为（ ）

A ．25°

B ．30°

C ．35°

D ．40° 4．已知两条线段15cm a =，8cm b =，下列线段能和a ，b 首尾相接组成三角形的是（ ）

A ．20cm

B ．7cm

C ．5cm

D ．2cm 5．若过六边形的一个顶点可以画n 条对角线，则n 的值是（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 6．如图，AD 是ABC 的外角CA

E ∠的平分线，35B ∠=?，60=?∠DAC ，则ACD

∠的度数为（ ）

A ．25?

B ．85?

C ．60?

D ．95? 7．下列长度（单位：cm ）的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．13，11，12 B ．3，2，1 C ．5，12，7 D ．5，13，5 8．如图，在ABC ?中，AD 是ABC ?的角平分线，D

E AC ⊥，若

40,60B C ??∠=∠=，则ADE ∠的度数为（ ）

A ．30?

B ．40?

C ．50?

D ．60? 9．在△ABC 中，∠A ＝x °，∠B ＝(2x ＋10)°，∠C 的外角大小(x ＋40)°，则x 的值等于（ ） A ．15

B ．20

C ．30

D ．40 10．做一个三角形的木架，以下四组木棒中，符合条件的是（ ）

A ．4cm, 5cm,9cm

B ．4cm, 5cm, 6cm

C ．5cm,12cm,6cm

D ．4cm,2cm,2cm 11．将一副三角板如图放置，使等腰直角三角板DEF 的锐角顶点D 放在另一块直角三角板（60B ∠=）的斜边AB 上，两块三角板的直角边交于点M ．如果75BD

E ∠=，那么AMD ∠的度数是（ ）

A ．75°

B ．80°

C ．85°

D ．90°

12．小红有两根长度分别为4cm 和8cm 的木棒，他想摆一个三角形，现有长度分别为3cm ，4cm ，8cm ，15cm 四根木棒，则他应选择的木棒长度为（ ）．

A ．3cm

B ．4cm

C ．8cm

D ．15cm

二、填空题

13．如图，BD 是ABC 的中线，点E 、F 分别为BD 、CE 的中点，若AEF 的面积

为23cm ，则ABC 的面积是______2cm ．

14．多边形每一个内角都等于108°，多边形一个顶点可引的对角线的条数是________条． 15．设三角形三内角的度数分别为,,x y z ???，如果其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍、那我们称数对(,)()y z y z <是x 的和谐数对，当150x =时，对应的和谐数对有一个，它为(10,20)；当66x =时，对应的和谐数对有二个，它们是__________．当对应的和谐数对(,)y z 有三个时，请写出此时x 的范围_______．

16．如图，在△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等，若∠A ＝70°，则∠BOC ＝________．

17．如图，,AE AD 分别是△ABC 的高和角平分线，且6B 3?∠=，6C 7?∠=则DAE ∠的度数为__．

18．如图，点P 是三角形三条角平分线的交点，若∠BPC=100?，则∠BAC=_________．

19．如图，在ABC ?中，4ACB A ∠=∠，点D 在边AC 上，将BDA ?沿BD 折叠，点A 落在点A '处，恰好BA AC '⊥于点E 且//BC DA '，则BDC ∠的度数为__________度．

20．把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中90C =∠，90F ∠=，30D ∠=，45A ∠=，则12∠+∠等于___________度．

三、解答题

21．已知AB ∥CD ，CF 平分∠ECD ．

（1）如图1，若∠DCF =25°，∠E =20°，求∠ABE 的度数．

（2）如图2，若∠EBF =2∠ABF ，∠CFB 的2倍与∠CEB 的补角的和为190°，求∠ABE 的度数．

22．在ABC ?中， ,AB AC CG BA =⊥交BA 的延长线于点G ，点D 是线段BC 上的一个动点．

特例研究：

()1当点D 与点B 重合时，过B 作BF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，如图①所示，通过观察﹑测量BF 与CG 的长度，得到BF CC =．请给予证明．

猜想证明：

()2当点D 由点B 向点C 移动到如图②所示的位置时，过D 作DF AC ⊥交CA 的延长线于点F ，过D 作DE BA ⊥交BA 于点E ，此时请你通过观察，测量DE DF 、与CG 的长度，猜想并写出DE DF 、与CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

拓展延伸：

()3当点D 由点B 向点C 继续移动时（不与C 重合） ，过D 作DF AC ⊥交AC 于点

F ，过D 作

DF BA ⊥交BA （或BA 的延长线）于点E ，如图③，图④所示，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立?（不用证明）

23．如图，已知在ABC 中，CE 是外角ACD ∠的平分线，BE 是ABC ∠的平分线．

（1）求证：2A E ∠=∠．

（2）若A ABC ∠=∠，求证：//AB CE ．

24．如图，在ABC 中，90ACB ∠=?，29A ∠=?，CD 是边AB 上的高，E 是边AB 延长线上一点．

求：（1）CBE ∠的度数；

（2）BCD ∠的度数．

25．如图，在ABC 中，A ACB ∠=∠，CD 为ABC 的角平分线，CE 是ABC 的高．

（1）若15DCB ∠=?，求CBD ∠的度数；

（2）若36DCE ∠=?，求ACB ∠的度数．

26．如图，四边形ABCD 中，ABC ∠和BCD ∠的平分线交于点O ．

（1）如果130A ∠=?，110D ∠=?，求BOC ∠的度数；

（2）请直接写出BOC ∠与A D ∠+∠的数量关系．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．A

解析：A

【分析】

在ABC 中，过C 点向AB 所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段是AB 上的高，由此可得答案．

【详解】

解：ABC 中，AB 边上的高为：.CG

故选：.A

【点睛】

本题考查的是三角形的高的含义，掌握钝角三角形的高是解题的关键．

2．D

解析：D

【分析】

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．

【详解】

解：∵∠2是△BCD的外角，

∴∠2>∠1，

∵∠1是△ABC的外角，

∴∠1>∠A，

∠>∠>∠．

∴21A

故选D．

【点睛】

本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．

3．C

解析：C

【分析】

利用翻折不变性，三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解决问题．

【详解】

∵∠ACB＝90°，

∴∠A＋∠B＝90°，

∵△CDB′是由△CDB翻折得到，

∴∠CB′D＝∠B，

∵∠CB′D＝∠A＋∠ADB′＝∠A＋20°，

∴∠A＋∠A＋20°＝90°，

解得∠A＝35°．

故选：C．

【点睛】

本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

4．A

解析：A

【分析】

根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．

【详解】

A、15+8=23>20，能组成三角形，符合题意；

B、7+8=15，不能组成三角形，不合题意；

C、5+8=13<15，不能组成三角形，不合题意；

D、2+8=10＜15，不能组成三角形，不合题意．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．但通常不需一一验证，其简便方法是将较短两边之和与较长边比较．

5．C

解析：C

【分析】

根据从一个n 边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3进行计算即可．

【详解】

解：6-3=3（条）．

答：从六边形的一个顶点可引出3条对角线．

故选：C ．

【点睛】

本题考查了多边形的对角线，解答此类题目可以直接记忆：一个n 边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3．

6．D

解析：D

【分析】

根据角平分线的定义可得∠DAC ＝∠DAE ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠D ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．

【详解】

解：

∵AD 是∠CAE 的平分线，60=?∠DAC ，

∴∠DAC ＝∠DAE ＝60°，

又∵35B ∠=?

由三角形的外角性质得，∠D ＝∠DAE?∠B ＝60°?35°＝25°，

∴在△ACD 中，∠ACD ＝180°?∠DAC －∠D ＝180°?60°?25°＝95°．

故选：D ．

【点睛】

本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

7．A

解析：A

【分析】

根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．

【详解】

解：根据三角形的三边关系，

A 、11+12＞13，能组成三角形，符合题意；

B 、1+2=3，不能组成三角形，不符合题意；

C 、5+7=12，不能组成三角形，不符合题意；

D 、5+5＜13，不能组成三角形，不符合题意；

故选A ．

【点睛】

此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是

否大于第三个数．

8．C

解析：C

【分析】

根据三角形内角和180?求出∠BAC ，再由AD 是ABC ?的角平分线求得∠DAC ，最后利用直角三角形的两个锐角互余求出∠ADE ，问题得到解决．

【详解】

解：∵40,60B C ??∠=∠=，

∴BAC=180B-C=80∠?-∠∠?，

∵AD 是ABC ?的角平分线， ∴1DAC=BAC=402

∠∠?， ∵DE AC ⊥，

∴90DAC=50ADE ∠=?-∠?，

故选：C ．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线定义，直角三角形的两个锐角互余，正确理解三角形中角之间的关系是解本题的关键．

9．A

解析：A

【分析】

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列出方程求解即可．

【详解】

解：∵∠C 的外角=∠A+∠B ，

∴x+40=2x+10+x ，

解得x=15．

故选：A ．

【点睛】

本题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

10．B

解析：B

【分析】

三角形的任意两边的和大于第三边，根据三角形的三边关系就可以求解．

【详解】

解：根据三角形的三边关系，知：

A 中，4+5=9，排除；

B 中，4+5＞6，满足；

C 中，5+6＜12，排除；

D 中，2+2=4，排除．

故选：B ．

【点睛】

本题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．

11．D

解析：D

【分析】

由题意得：∠A=30°，∠FDE=45°，利用平角等于180°，可得到∠ADF 的度数，在△AMD 中，利用三角形内角和为180°，可以求出∠AMD 的度数．

【详解】

解：∵∠B=60°，

∴∠A=30°，

∵∠BDE=75°，∠FDE=45°，

∴∠ADF=180°-75°-45°=60°，

∴∠AMD=180°-30°-60°=90°，

故选D ．

【点睛】

此题主要考查了三角形的内角和定理的应用，题目比较简单，关键是要注意角之间的关系．

12．C

解析：C

【分析】

设选择的木棒长为x ，根据第三边大于两边之差小于两边之和即可求出范围，再结合选项即可得出答案．

【详解】

由题意得，设选择的木棒长为x ，

则8448x -<<+，即412x <<，

∴选择木棒长度为8cm ．

故选C ．

【点睛】

本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三边关系是解题的关键．

二、填空题

13．12【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可【详解】∵F 是CE 的中点∴∵E 是BD 的中点∴∴∴△ABC 的面积=故答案

为：12【点睛】本题考查了三角形的面积主要利用了三角形的中线

解析：12

【分析】

根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．

【详解】

∵ F 是CE 的中点，23AEF S cm ?=

∴ 226ACE AEF S S cm ??== ，

∵ E 是BD 的中点，

∴ ADE ABE S S ??= ，CDE BCE S S ??= ， ∴12

ACE ABC S S ??= ， ∴△ABC 的面积=212cm ．

故答案为：12．

【点睛】

本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．

14．2【分析】多边形的每一个内角都是108°则每个外角是72°多边形的外角和是360°这个多边形的每个外角相等因而用360°除以外角的度数就得到外角的个数外角的个数就是多边形的边数再根据从n 边形的一个顶

解析：2

【分析】

多边形的每一个内角都是108°，则每个外角是72°．多边形的外角和是360°，这个多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．再根据从n 边形的一个顶点出发可引出（n?3）条对角线，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成（n?2）个三角形，依此作答．

【详解】

根据题意得：360°÷（180°?108°）＝360°÷72°＝5，

那么它的边数是五，

从它的一个顶点出发的对角线共有5?3＝2条，

故答案为：2．

【点睛】

此题考查了多边形内角与外角，根据多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法，需要熟记．另外需要记住从n 边形的一个顶点出发可引出（n?3）条对角线，把这个多边形分割成（n?2）个三角形．

15．（3876）（3381）【分析】根据和谐数对的定义求出当x=66时的两组数对；再分当时当时当时三种情况讨论从而得出结论【详解】解：当时180-66=114则114÷3=3838×2=76此时和谐数对

解析：（38，76），（33，81） 060x ?<

【分析】

根据“和谐数对”的定义求出当x=66时的两组数对；再分当060x ?<

【详解】

解：当66x =时，

180-66=114，

则114÷3=38，38×2=76，此时和谐数对为（38，76），

或66÷2=33，114-33=81，此时和谐数对为（33，81），

若对应的和谐数对(,)y z 有三个，

当060x ?<

x ?-，2(180))3

x ?-； 当60120x ?

x ?-，2(180))3x ?-， 当120180x ?

x ?-，2(180))3x ?-， ∴对应的和谐数对(,)y z 有三个时，此时x 的范围是060x ?<

故答案为：（38，76），（33，81）；060x ?<

【点睛】

本题考查三角形内角和定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．

16．125°【分析】求出O 为△ABC 的三条角平分线的交点求出

∠OBC=∠ABC ∠OCB=∠ACB 根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB 求出∠OBC+∠OCB 再根据三角形内角和定理求出∠BOC 的度数即

解析：125°

【分析】

求出O 为△ABC 的三条角平分线的交点，求出∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12

∠ACB ，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，求出∠OBC+∠OCB ，再根据三角形内角和定理求出∠BOC 的度数即可；

【详解】

∵ 在△ ABC 中，点O 是△ABC 内的一点，且点O 到△ ABC 三边距离相等，

∴ O 为△ABC 的三条角平分线的交点，

∴∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12

∠ACB ， ∵∠A=70°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，

∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=125°，

故答案为：125°．

【点睛】

本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用，能正确掌握与角平分线有关的三角形内角和问题是解题的关键；

17．20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠CAD=34°进而得出∠CAE 的度数进而得出答案【详解】解：∵且∴∵平分∴∵是的高∴∴∴∴故答案为：20°【点睛】此题考查三角形的角平分线中线

解析：20°

【分析】

根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出68BAC ?∠=，∠CAD =34°，进而得出∠CAE 的度数，进而得出答案．

【详解】

解：∵180B BAC C ?∠+∠+∠=，且6B 3?∠=，6C 7?∠=，

∴180180367668BAC B C ?????∠=-∠-∠=--=，

∵AD 平分BAC ∠， ∴11683422

CAD BAC ??∠=

∠=?=， ∵AE 是ABC ?的高， ∴90AEC ?∠=，

∴90C CAE ?∠+∠=，

∴90907614CAE C ????∠=-∠=-=，

∴341420DAE CAD CAE ???∠=∠-∠=-=，

故答案为：20°．

【点睛】

此题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理，解题关键在于掌握各性质定义．

18．【分析】先根据三角形的内角和求出∠PBC+∠PCB=故可得到∠ABC+∠ACB=即可得出答案【详解】在△BPC 中∠BPC=∴∠PBC+∠PCB=∵P 是三角形三条角平分线的交点∴∠ABC=2∠PBC ∠

解析：20?

【分析】

先根据三角形的内角和求出∠PBC+∠PCB=80?，故可得到∠ABC+∠ACB=160?，即可得出答案．

【详解】

在△BPC 中，∠BPC=100?，

∵P 是三角形三条角平分线的交点，

∴∠ABC=2∠PBC ，∠ACB=2∠PCB ，

∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=160?，

∴∠BAC=180()20ABC ACB ?-∠+∠=?，

故答案为：20?．

【点睛】

此题考查三角形的内角和定理，角平分线的有关计算，熟练应用定理解决问题是解题的关键．

19．54°【分析】根据折叠的性质及题意可在Rt △BEC 中求解∠C 及∠CBE 的度数从而计算∠ABD 的度数则∠BDC=∠A+∠ABD 即可计算出结果【详解】由题意可得：∠A=∠∠=∠CBE ∴则在Rt △BEC 中

解析：54°

【分析】

根据折叠的性质及题意，可在Rt △BEC 中求解∠C 及∠CBE 的度数，从而计算∠ABD 的度数，则∠BDC=∠A+∠ABD ，即可计算出结果．

【详解】

由题意可得：∠A=∠A '，∠A '=∠CBE ，

∴44ACB A CBE ∠=∠=∠，

则在Rt △BEC 中，∠C+∠CBE=90°，即：5∠CBE=90°，∠CBE=18°，

∴∠A=18°，∠C=72°，∠ABC=90°，

∴72ABA ABC CBE '=-=?∠∠∠，

由折叠性质可知，ABD A BD '∠=∠，

∴=36ABD A BD '∠=∠?，

∴54BDC ABD A ∠=∠+∠=?

故答案为：54°．

【点睛】

本体三角形的折叠问题，平行线的性质及三角形的外角定理，理解图形变化中的特点，准确结合题意计算是解题关键．

20．210【分析】由题意得：∠1=∠D+∠DGA ∠2=∠F+∠FHB 然后由对顶角相等的性质得∠1=∠D+CGH ∠2=∠F+∠CHG 最后由直角三角形两锐角互余的性质可以算出∠1+∠2的值【详解】解：如图给

解析：210

【分析】

由题意得：∠1=∠D+∠DGA ，∠2=∠F+∠FHB ，然后由对顶角相等的性质得∠1=∠D+CGH ，∠2=∠F+∠CHG ，最后由直角三角形两锐角互余的性质可以算出∠1+∠2的值 ．

【详解】

解：如图，给两三角板的两个交点标上G 、H 符号，

则∠1=∠D+∠DGA=∠D+CGH，∠2=∠F+∠FHB=∠F+∠CHG，

∴∠1+∠2=∠D+CGH+∠F+∠CHG

=∠D+∠F+（CGH+∠CHG）

=30°+90°+90°

=210°，

故答案为210 ．

【点睛】

本题考查直角三角形的应用，灵活运用直角三角形两锐角互余、三角形的外角性质和对顶角相等的定理求解是解题关键．

三、解答题

21．（1）∠ABE=30°；（2）∠ABE=30°

【分析】

（1）假设CE与AB相交于点G，由题意易得∠DCE=50°，则有∠CGA=∠BGE=130°，然后根据三角形内角和可求解；

（2）假设CE与AB、BF相交于点M、N，设∠ABF=x，∠DCF=∠FCE=y，则有∠EBF=2x，∠ABE=3x，∠DCE=2y，根据题意可得∠AMC=180°-2y，∠E=2y-3x，2∠CFB-∠CEB=10°，进而根据三角形内角和及角的和差关系可求解．

【详解】

解：（1）假设CE与AB相交于点G，如图所示：

∵CF平分∠DCE，∠DCF=25°，

∴∠DCE=50°，

∵AB∥DC，

∴∠DCE+∠AGC=180°，

∴∠AGC=130°，

∴∠EGB=∠AGC=130°，

∵∠E=20°，

∴∠ABE=30°；

（2）假设CE 与AB 、BF 相交于点M 、N ，如图所示：

设∠ABF=x ，∠DCF=y ，

∵∠EBF=2∠ABF ，CF 平分∠DCE ，

∴∠EBF=2x ，∠ABE=3x ，∠FCE=y ，∠DCE=2y ，

∵AB ∥DC ，

∴∠DCE+∠AMC=180°，

∴∠EMB=∠AMC=180°-2y ，

∵∠E+∠EMB+∠ABE=180°，

∴∠E=2y-3x ，

∵∠E+∠ENB+∠FBE=180°，

∴∠ENB=180°+x-2y ，

∵∠CFB+∠CNF+∠FCE=180°，

∴∠CFB=y-x ，

∵∠CFB 的2倍与∠CEB 的补角的和为190°，

∴2∠CFB-∠CEB=10°，

∴()()22310y x y x ---=?，

解得：10x =?，

∴∠ABE=30°．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键．

22．（1）证明见解析；（2）CG DE DF =+，证明见解析；（3）结论不变：CG DE DF =+

【分析】

（1）根据12ABC S AC BF =?△，12

ABC S AB CG =?△， 即可解决问题； （2）结论CG DE DF =+，利用面积法证明即可；

（3）结论不变，证明方法类似（2）．

【详解】

（1）证明：如图①中，

∵90F G ?∠=∠=， ∴12ABC S AC BF =?△，12ABC S AB CG =?△， ∴1122

AC BF AB CG ?=?， 又∵AB AC =，

∴BF AC =；

（2）解：结论CG DE DF =+，

理由：如图②中，连接AD ，

∵ABC ABD ADC S

S S =+，DE AB ⊥，DF AC ⊥，CG AB ⊥， ∴111222

AB CG AB DE AC DF ??=??+??， ∵AB AC =，

∴CG DE DF =+；

（3）结论不变：CG DE DF =+，证明如下：

如图③，连接AD ，

∵ABC ABD ADC S

S S =+，DE AB ⊥，DF AC ⊥，CG AB ⊥， ∴111222

AB CG AB DE AC DF ??=??+??，

∵AB AC =，

∴CG DE DF =+；

如图④，连接AD ，

∵ABC ABD ADC S

S S =+，DE AB ⊥，DF AC ⊥，CG AB ⊥， ∴111222

AB CG AB DE AC DF ??=??+??， ∵AB AC =，

∴CG DE DF =+．

【点睛】

本题考查三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法证明线段之间的关系．

23．（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】

（1）根据角平分线的性质和三角形的外角性质即可求证；

（2）由∠A=2∠E ，∠A=∠ABC ，∠ABC=2∠ABE 得∠ABE=∠E ，从而AB ∥CE ．

【详解】

证明：（1）∵ACD ∠是ABC 的一个外角，2∠是BCE 的一个外角，

∴ACD ABC A ∠=∠+∠，21E ∠=∠+∠，

∴A ACD ABC ∠=∠-∠，21E ∠=∠-∠．

∵CE 是外角ACD ∠的平分线，BE 是ABC ∠的平分线，

∴22ACD ∠=∠，21ABC ∠=∠，

∴2221A ∠=∠-∠

2(21)=∠-∠

2E =∠．

（2）由（1）可知2A E ∠=∠．

∵A ABC ∠=∠，2ABC ABE ∠=∠，

∴22E ABE ∠=∠，

即E ABE ∠=∠，

∴//AB CE ．

【点睛】

本题考查了三角形的综合问题，涉及平行线的判定，三角形的外角性质，角平分线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．

24．（1）119°；（2）29°．

【分析】

（1）根据外角的性质解答即可；

（2）根据90A ACD ∠+∠=?，90ACD BCD ACB ∠+∠=∠=?，从而 得到29BCD A ∠=∠=?即可．

【详解】

解：（1）∵ 90ACB ∠=?，29A ∠=?，CBE ∠是ABC 的外角，

∴ 119CBE ACB A ∠=∠+∠=?；

（2）∵ CD 是AB 边上的高，

∴ 90ADC ∠=?．

∴ 90A ACD ∠+∠=?．

∵ 90ACB ACD BCD ∠=∠+∠=?，29A ∠=?，

∴ 29BCD A ∠=∠=?．

【点睛】

本题主要考查了三角形的内角和、外角的性质以及互余的性质，解题关键是熟练运用三角形外角的性质以及互余的性质．

25．（1）120°；（2）36°．

【分析】

（1）根据角平分线的定义求出∠ACB ，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解； （2）设∠A=∠ACB=x ，根据直角三角形两锐角互余求出∠CDE ，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列方程求解即可．

【详解】

（1）∵CD 为△ABC 的角平分线，

∴∠ACB=2∠DCB=2×15°=30°，

∵∠A=∠ACB ，

∴∠CBD=180°-∠A-∠ACB=180°-30°-30°=120°；

（2）设∠A=∠ACB=x ，

∵CE 是△ABC 的高，∠DCE=36°，

∴∠CDE=90°-36°=54°，

∵CD 为△ABC 的角平分线，

∴∠ACD=12∠ACB=12

x ， 由三角形的外角性质得，∠CDE=∠A+∠ACD ， ∴1542

x x +

=?， 解得x =36°，

即∠ACB=36°．

【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

26．（1）120°；（2）1()2

BOC A D ∠=

∠+∠ 【分析】 （1）先由四边形内角和定理求出∠ABC+∠DCB=120°，再由角平分线定义得出

∠OBC+∠OCB=60°，最后根据三角形内角和定理求出∠O=120°即可；

（2）方法同（1）

【详解】

解：（1）∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，且∠A+∠D=130°+110°=240°，

∴∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D ）=360°-240°=120°，

∵OB ，OC 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，

∴∠OBC+∠OCB=

111(221)12062

20AB ABC DC C BCD B ∠+∠=?+∠?=∠=? ， ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-60°=120°； （2）1()2

BOC A D ∠=∠+∠ 证明：在四边形ABCD 中，360A B C D ∠+∠+∠+∠=?

∴360()ABC DCB A D ∠+∠=?-∠+∠

∵OB ，OC 分别是∠ABC 和∠BCD 的平分线，

∴∠OBC+∠OCB=

1111((222)180)2

ABC BCD AB D A C D CB ∠+∠=?-∠∠=+∠∠+ ∴180(1)()2

O BOC BC OCB A D ∠+∠=?-∠=∠+∠ 【点睛】 此题主要考查了四边形内角和定理，三角形的内角和定理以及角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°；一个角的角平分线把这个角分成两个大小相等的角．