将军饮马问题的11个模型及例题
将军饮马问题
问题概述
路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题
方法原理
1.两点之间，线段最短；
2. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3. 中垂线上的点到线段两端点的距离相等；
4. 垂线段最短 .
基本模型
1.
已知：如图，定点A、 B 分布在定直线l 两侧；
要求：在直线l 上找一点 P，使 PA+PB的值最小
解：连接AB 交直线 l 于点 P，点 P 即为所求 ,
PA+PB的最小值即为线段AB的长度
理由：在l 上任取异于点P 的一点 P′，连接 AP′、 BP′，
在△ ABP’中， AP′+BP′>AB，即 AP′+BP′>AP+BP
∴ P 为直线 AB与直线 l 的交点时， PA+PB最小 .
2.
已知：如图，定点 A 和定点 B 在定直线l 的同侧
要求：在直线l 上找一点 P，使得 PA+PB值最小（或△ ABP的周长最小）
解：作点 A关于直线l 的对称点A′，连接 A′B 交 l 于 P，
点 P 即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线l 为线段 AA′的中垂线，
由中垂线的性质得：PA=PA′，要使 PA+PB最小，则
需 PA′+PB值最小，从而转化为模型 1.
3.
已知：如图，定点A、 B 分布在定直线l 的同侧（ A、B 两
点到 l 的距离不相等）
要求：在直线l 上找一点P，使︱ PA-PB︱的值最大
解：连接 BA并延长，交直线 l 于点 P，点 P 即为所求；理由：
此时︱ PA-PB︱ =AB，在 l 上任取异于点 P 的一点 P′，
连接 AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱ P′A-P′B︱
4.已知：如图，定点 A、 B分布在定直线 l 的两侧（ A、B 两 点到 l 的距离不相等） 要求：在直线 l 上找一点 P，使︱ PA-PB︱的值最大 解：作点 B 关于直线 l的对称点 B′，连接 B′A 并延长交 于点 P，点 P 即为所求； 理由：根据对称的性质知l 为线段 BB′的中垂线，由中垂 线的性质得： PB=PB′，要使︱ PA-PB︱最大，则需 ︱ PA-PB′︱值最大，从而转化为模型 3. 典型例题 1-1 如图，直线y= x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于点A和点 B，点 C、 D 分 别为线段AB、OB的中点，点 P 为 OA上一动点，当 PC+PD最小时， 点P 的坐标为 _________，此时 PC+PD的最小值为 _________. 【分析】符合基本模型 2 的特征，作点 D 关于 x 轴的对称点D' ，连 接CD'交x 轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为 △BAO的中位线， OP为△ CDD'的中位线，易求 OP长，从而 求出 P 点坐标； PC+PD的最小值即 CD'长，可用勾股定理 （或两点之间的距离公式，实质相同）计算. 【解答】连接 CD，作点 D 关于 x 轴的对称点D′，连接CD′交 x 轴 于点 P，此时 PC+PD值最小．令y= x+4 中 x=0，则 y=4， ∴点 B 坐标（ 0， 4）；令 y= x+4 中 y=0，则 x+4=0，解得： x=﹣6，∴点 A 的坐标 为（﹣ 6， 0）．∵点 C、 D 分别为线段AB、 OB 的中点，∴ CD为△ BAO的中位线， ∴CD∥ x 轴，且 CD=12 AO=3， ∵点 D′和点 D 关于 x 轴对称，∴ O为 DD′的中点， D′（ 0， -1 ），∴ OP为△ CDD′的中位线，∴OP=12 CD=32， ∴点 P 的坐标为（﹣，0）．在Rt△ CDD′中， CD′ =CD 2 D D 2=3242=5，即PC+PD的最小值为5. 【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C、点 P 坐标；若题型变 化， C、 D不是 AB 和 OB中点时，则先求直线 CD′的解析 式，再求其与 x 轴的交点 P 的坐标 . 典型例题 1-2 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为（ 0， 1），点 B 的坐标为（，﹣ 2），点 P 在直线 y=﹣ x 上运动，当 |PA﹣ PB| 最 大时点 P 的坐标为 _________， |PA ﹣ PB|的最大值是 _________. 【分析】符合基本模型 4 的特征，作 A 关于直线y=﹣ x 对称点 C， 连接 BC，可得直线 BC的方程；求得 BC与直线 y=﹣ x 的交 点 P 的坐标；此时 |PA ﹣ PB|=|PC ﹣ PB|=BC 取得最大值， 再用两点之间的距离公式求此最大值. 【解答】作 A 关于直线y=﹣ x 对称点 C，易得 C 的坐标为（﹣ 1， 0）；连接 BC，可得直线BC 的方程为 y=﹣54 x﹣54，与直线 y= ﹣ x联立解得交点坐标P 为（ 4，﹣ 4）；此时 |PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC取得最大值，最大值BC= (231)2( 2)2= 241； 【小结】“两点一线”大多考查基本模型 2 和 4，需作一次对称点，连线得交点 . 变式训练 1-1 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（ 5， 0）， OB=4 ，点 P是对角线OB上的一个动点，D（ 0，1），当 CP+DP最短 时，点 P 的坐标为（） A．（0，0）B．（1，）C．（，） D ．（，） 变式训练 1-2 如图，菱形ABCD中，对角线AC和 BD交于点 O， AC=2， BD=2 ,E 为 AB的中点， P 为对角线 AC上一动点，则 PE+PB的最 小值为 __________. 变式训练 1-3 如图，已知直线y= x+1 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，抛物线 y= x2+bx+c 与直线交于A、 E 两点，与 x 轴交于 B、 C两点，且 B 点坐标为（ 1， 0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M，使 |AM﹣ MC|的值最大，求出点 M的坐标 . 拓展模型 1.已知：如图， A 为锐角∠ MON外一定点； 要求：在射线OM上找一点 P，在射线 ON上找一点 Q，使 AP+PQ的值最小 . 解：过点 A 作 AQ⊥ ON于点 Q， AQ与 OM相交于点 P，此 时， AP+PQ最小； 理由： AP+PQ≧ AQ，当且仅当A、 P、 Q三点共线时， AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段最短，当 AQ⊥ ON时， AQ最小 . 2.已知：如图， A 为锐角∠ MON内一定点； 要求：在射线OM上找一点 P，在射线 ON上找一点 Q，使 AP+PQ的值最小 . 解：作点 A 关于 OM的对称点A′，过点A′作 AQ⊥ ON 于点 Q， A′ Q交 OM于点 P，此时 AP+PQ最小； 理由：由轴对称的性质知AP=A′ P，要使 AP+PQ最小， 只需 A′ P+PQ最小，从而转化为拓展模型1 3.已知：如图， A 为锐角∠ MON内一定点； 要求：在射线OM上找一点 P，在射线 ON上找一点 Q，使 △ APQ的周长最小 解：分别作 A 点关于直线 OM的对称点 A1, 关于 ON的对 称点 A2，连接 A 1A2交 OM于点 P，交 ON于点 Q，点 P 和点 Q即为所求，此时△APQ周长最小，最小值 即为线段 A1A2的长度； 理由：由轴对称的性质知AP=AP， AQ=AQ，△ APQ的周 12 长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当 A1、 P、 Q、 A2四 点共线时，其值最小 . 4.已知：如图， A、 B 为锐角∠ MON内两个定点； 要求：在OM上找一点 P，在 ON上找一点Q，使四边形 APQB的周长最小 解：作点 A 关于直线OM的对称点A′，作点 B 关于直线 ON的对称点B′，连接 A′B′交 OM于 P，交 ON于 Q， 则点 P、点 Q即为所求，此时四边形APQB周长的 最小值即为线段AB和 A′B′的长度之和； 理由： AB 长为定值，由基本模型将PA转化为 PA′,将 QB转化为 QB′，当 A′、 P、Q、 B′四点共线时， PA′+PQ+ QB′的值最小，即PA+PQ+ QB 的值最小 . 5. 搭桥模型已知：如图，直线m∥ n,A、B分别为m上方和n下方的定 点，（直线 AB 不与 m垂直） 要求：在 m、n 之间求作垂线段PQ，使得 AP+PQ+BQ最小 . 分析： PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使 P、 Q“接头”，转化为基本模型 解：如图，将点 A 沿着平行于PQ的方向，向下平移至 点 A′，使得AA′ =PQ，连接 A′ B 交直线 n 于点 Q，过点 Q作 PQ⊥n，交直线m于点 P，线段 PQ即 为所求，此时AP+PQ+BQ最小 . 理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′ =PA， 当 B、 Q、 A′三点共线时，QA′ +BQ最小，即 AP+BQ最小， PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小 . 6.已知：如图，定点A、 B 分布于直线l 两侧，长度为a (a为定值 ) 的线段 PQ在 l 上移动（ P 在 Q左边） 要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小 分析： PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移， 使 P、Q“接头”，转化为基本模型 解：将点 A 沿着平行于l 的方向，向右移至A′，使 AA′=PQ=a,连接 A′B 交直线 l 于点 Q，在 l 上截取 PQ=a（ P 在 Q左边），则线段PQ即为所求，此时 AP+PQ+QB的最小值为A′B+PQ，即 A′B+a 理由：易知四边形APQA′为平行四边形，则PA=QA′， 当 A′、 Q、 B 三点共线时， QA′+QB最小，即PA+QB 最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小 . 7.已知：如图，定点A、 B 分布于直线l 的同侧，长度a (a 为定值 ) 的线段 PQ在 l 上移动（ P 在 Q左边） 要求：确定PQ的位置，使得四边形 APQB周长最小 分析： AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小，通过作A 点 关于 l 的对称点，转化为上述模型3 解：作 A 点关于 l 的对称点A′，将点 A′沿着平行于l 的方向，向右移至A′′，使 A′A′′=PQ=a，连接 A′B 交 l 于 Q，在 l 上截取 QP=a（ P 在 Q左边），线段 PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为 A′B+AB+PQ，即 A′′B+AB+a 典型例题 2-1 如图，在矩形 ABCD中，AB=10，BC=5，若点 M、N 分别是线段AC、 AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为． 【分析】符合拓展模型 2 的特征，作点 B 关于 AC的对称点E，再过 点 E 作 AB的垂线段，该垂线段的长即BM+MN的最小值，借 助等面积法和相似可求其长度. 【解答】作点 B 关于 AC的对称点E，再过点 E 作 EN⊥ AB 于 N，则 BM+MN=EM+MN，其最小值即EN长；∵ AB=10， BC=5， ∴ AC=AB2BC2=55， 等面积法求得AC边上的高为10 5 =25，∴BE=45，5 5 易知△ ABC∽△ ENB，∴，代入数据解得EN=8． 即BM+MN的最小值为 8． 【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作 定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称 点易解 . 典型例题 2-2 如图，∠ AOB=60°，点 P 是∠ AOB内的定点且 OP=，点M、N分别 是射线 OA、OB上异于点O的动点，则△ PMN周长的最小值是（） A．B．C．6D．3 【分析】符合拓展模型 3 的特征；作P 点分别关于OA、OB的对称点C、 D，连接 CD分别交 OA、 OB 于M、 N，此时△PMN周长最小，其值 为 CD长；根据对称性连接OC、OD， 分析条件知△OCD是顶角 为 120°的等腰三角形，作底边上高，易求底边CD. 【解答】作 P 点分别关于OA、 OB的对称点C、 D，连接 CD分别交 OA、 OB于 M、 N，如图，则MP=MC，NP=ND， OP=OD=OC= ，∠ BOP=∠ BOD，∠ AOP=∠ AOC， ∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠ BOP+∠ BOD+∠AOP+∠ AOC=2∠ AOB=120°，∴此时△ PMN周长最小，作 OH⊥CD于 H， 则 CH=DH，∵∠ OCH=30°，∴ OH= OC=， CH= OH= ，∴ CD=2CH=3． 即△ PMN周长的最小值是3； 故选： D． 【小结】根据对称的性质，发现△OCD是顶角为 120°的 等腰三角形，是解题的关键，也是难点. 典型例题 2-3 如图，已知平行四边形ABCO，以点 O为原点， OC所在的直线 为x 轴，建立直角坐标系， AB 交 y 轴于点 D， AD=2， OC=6， ∠ A=60°，线段 EF 所在的直线为 OD的垂直平分线，点 P 为 线段 EF 上的动点， PM⊥ x 轴于点 M点，点 E 与 E′关于 x 轴对 称，连接 BP、 E′ M． （1）请直接写出点 A 坐标为，点B坐标为； （2）当 BP+PM+ME′的长度最小时，请求出点P 的坐标 . 【分析】（ 1）解直角三角形求出OD， BD的长即可解决； （2）符合“搭桥模型” 的特征；首先证明四边形 OPME′是平行四边形，可得 OP=EM，PM是 定值， PB+ME′=OP+PB的值最小时， BP+PM+ME′的长度最小，此时 P 点为 直线OB 与EF 的交点，结合OB的解析式可 得 P 点坐标； 【解答】（ 1）在 Rt △ ADO中，∵∠ A=60°， AD=2， ∴ OD=2?tan60 ° =2，∴ A（﹣2，2）， ∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6， DB=6 2=4 B 42 （2）如图，连接 OP．∵ EF 垂直平分线段 OD，PM⊥ OC， ∴∠ PEO=∠ EOM=∠ PMO=90°，∴四边形 OMPE是矩 形，∴ PM=OE= ，∵ OE=OE′，∴ PM=OE′， PM∥ OE′，∴四边形 OPME′是平行四边形 , ∴OP=EM，∵ PM是定值，∴ PB+ME′ =OP+PB的值最小时， BP+PM+ME′的长度最小， ∴当 O、 P、 B 共线时， BP+PM+ME′的长度最小，∵直线OB的解析式为y=x， ∴ P（2，）． 【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边形）的方法，转化为基本模型. 典型例题 2-4 如图所示，在平面直角坐标系中， Rt △ AOB的顶点坐标分别为 A（﹣ 2， 0），O（ 0， 0）， B（ 0，4），把△ AOB绕点 O 按顺时针方向旋转 90°，得到△ COD． （1）求 C、 D 两点的坐标； （2）求经过 A、 B、D 三点的抛物线的解析式； （3）在（ 2）中抛物线的对称轴上取两点E、 F（点 E 在点 F 的上方），且 EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出 E、 F 两点的坐标． 【分析】符合拓展模型7 的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、 F 点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出E、F 坐标 . 【解答】（ 1）由旋转的性质可知：OC=OA=2， OD=OB=4,∴ C点的坐 标是（ 0， 2），D点的坐标是（4，0）， （2）设所求抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c， 4a-2b+c=0 由题意，得16a+4b+c=0 c=4 解得 a=-，b=1，c=4， ∴所求抛物线的解析式为y=-2； （3）只需 AF+CE最短，抛物线y=-2的对称轴为x=1， 将点 A 向上平移至A1（﹣ 2， 1），则 AF=A1E，作 A1关于对称轴x=1 的对称点 A2（ 4， 1），连接 A2C，A2C与对称轴交于点E，E 为所求，可求得A2C 的解析式为 y=-，当x=1时，y=，∴点E的坐标为(1,) ，点 F 的坐标为 (1,) ． 【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”；其中，作对称和平移的顺序可互换. 变式训练 2-1 几何模型： 条件：如图1， A， B 是直线 l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点P，使 PA+PB的值最小． 方法：作点 A 关于直线l 的对称点A’，连接 A’ B 交 l 于点 P，即为所求 . （不必证明） 模型应用： （ 1）如图 2，已知平面直角坐标系中两定点A（ 0，﹣ 1）和 B（ 2，﹣ 1）， P 为 x 轴上一动点，则当PA+PB的值最小是点P 的横坐标是，此时PA+PB=．（2）如图 3，正方形 ABCD的边长为 4， E 为 AB的中点， P 是 AC上一动点，连接 BD，由正方形对称性可知， B 与 D 关于直线 AC对称．连接 ED交 AC于 P，则 PB+PE的最小值是． （ 3）如图 4，在菱形ABCD中， AB=10，∠ DAB=60°， P 是对角线AC上一动点， E， F 分别 是线段AB 和BC上的动点， 则 PE+PF的最小值是． （ 4）如图 5，在菱形ABCD中， AB=6，∠ B=60°，点AG， AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是G是边 ． CD边的中点， 点 E． F 分别是 变式训练 2-2 如图，矩形 ABCD中， AD=15， AB=10， E 为 AB边上一点，且DE=2AE，连接 CE与对角线 BD交于 F；若 P、 Q分别为 AB 边 和BC边上的动点，连接 EP、 PQ和 QF；则四边形 EPQF周长的最小值是 ___________. 变式训练 2-3 如图，已知直线 l∥ l， l 、l 2之间的距离为8，点 P 到直线 l的 1211 距 离为 6，点 Q到直线 l 2的距离为 4， PQ=4 ，在直线 l 1上有一动点 A， 直线l 2上有一动点B，满足AB⊥l 2，且PA+AB+BQ最小，此时 PA+BQ= ． 变式训练 2-4 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC的边 OA在 y 轴的正半轴上，OC在x 轴的正半轴上，OA=AB=2， OC=3，过点 B 作 BD⊥ BC，交 OA于点 D．将∠ DBC绕点 B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E和 F． （1）求经过A、 B、C 三点的抛物线的解析式； （2）当 BE经过（ 1）中抛物线的顶点时，求CF的长； （3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点 Q 在点 P 的上方），且 PQ=1，要使四边形 BCPQ 的周长最小，求出 P、 Q两点的坐标． 中考真题 1. 要在街道旁建奶站，向居民区A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B 到它的 距离之和最短？小聪以街道为x 轴，建立了如图所示的平面直角坐标系， A 点坐标为（0，3）， B 点坐标为（ 6， 5），则 A、 B 两点到奶站距离之和的最小值是． 2.如图，矩形 ABOC的顶点 A 的坐标为（﹣ 4， 5）， D是 OB的中点， E 是 OC上的一点，当△ ADE的周长最小时，点 E 的坐标是（） A．（ 0，）B．（ 0，）C．（ 0， 2）D．（ 0，） 3. 如图，在矩形ABCD中， AB=5， AD=3，动 点 P 满足S△PAB=1 S 矩形ABCD，则点P 到A、 B 两点距 3 离之和PA+PB的最小值为（） A．B．C． 5D． 4. 已知抛物线y=x2+1 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为 （ ， 3）， P 是抛物线y=x2+1 上一个动点，则△ PMF周长的最小值是（） A．3B．4C． 5D．6 5.如图，点 A（ a，3），B（b，1）都在双曲线 y= 上，点 C，D，分别是 x 轴，y 轴上的动点， 则四边形ABCD周长的最小值为（） A．B．C． D ． 6.如图，在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， AC=3， BC=4，D、E 分别是 AB、BC边上的动点，则 AE+DE 的最小值为（） A．B．C．5D． 7. 如图， Rt△ ABC中， ∠ BAC=90°， AB=3， AC=6，点D， E 分别是边BC， AC 上的动点，则 DA+DE的最小值为． 8.如图，等腰△ ABC的底边 BC=20，面积为 120，点 F 在边 BC上，且 BF=3FC，EG是腰 AC的 垂直平分线，若点 D 在EG上运动，则 △ CDF周长的最小值为． 9. 如图，菱形ABCD的边长为6，∠ ABC=120°， M 是 上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（BC边的一个三等分点， ） P 是对角线AC A．B．C．D． 10.如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=6， BC=8， AD平分∠ CAB交 BC于 D 点， E， F 分 别是 AD， AC上的动点，则 CE+EF的最小值为 （） A．B．C．D．6 11.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y=（ x＞0）的图象与边长是 6 的正方形 OABC 的两边 AB，BC分别相交于 M，N 两点．△ OMN的面积 为10．若动点 P 在 x 轴上，则 PM+PN 的最小值是（） A． 6B． 10C．2D．2 12. 如图，△ ABC中， AC=BC=2，AB=1，将它沿 AB翻折得到△ ABD，则四边形 ADBC 的形状是形，P、E、F分别为线段AB、AD、 DB 上的任意点，则PE+PF 的最小值是． 13. 如图，已知抛物线y= x2+bx+c 与直线 y= x+3 交于 A，B 两点，交x 轴于 C、 D 两点， 连接 AC、 BC，已知 A（ 0，3）， C（﹣ 3， 0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴 l 上找一点 M，使 |MB﹣ MD|的值最大，并求出这个最大 值； （3）点 P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点 P 作 PQ⊥ PA 交 y 轴 于点 Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说 明理由． 14. 如图，在四边形ABCD中，∠ B=∠ C=90°， AB＞ CD， AD=AB+CD． （1）用尺规作∠ ADC的平分线 DE，交 BC于点 E，连接 AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（ 1）的条件下， ①证明： AE⊥ DE； ②若 CD=2， AB=4，点 M，N 分别是 AE， AB 上的动点，求B M+MN的最小值． 15. 如图，抛物线y=ax2+bx+c （ a≠ 0）经过点A（﹣ 1， 0），B（ 3， 0）， C（ 0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）连接 AC、 BC，N 为抛物线上的点且在第四象限，当（3）在（ 2）问的条件下，过点 C 作直线 l ∥ x 轴，动点 S△NBC=S△ABC时，求 N点的坐标；P（ m，3）在直线 l 上，动点 Q（ m， 0）在 x 轴上，连接 PM、PQ、NQ，当 m为何值时， PM+PQ+QN的和最小，并求出 PM+PQ+QN 和的最小值． 16. 如图，直线 y=5x+5 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点C，过 A， C 两点的二次函数 2 y=ax +4x+c 的图象交 x 轴于另一点 B． （1）求二次函数的表达式； （2）连接 BC，点 N是线段 BC上的动点，作 ND⊥ x 轴交二次函数的图象于点D，求线段 ND 长度的最大值； （3）若点 H为二次函数 y=ax2+4x+c 图象的顶点，点M（ 4，m）是该二次函数图象上一点，在 x 轴、 y 轴上分别找点F， E，使四边形 HEFM的周长最小，求出点 F，E 的坐标． 17. 如图 1，已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴从左至右交于A， B 两点，与 y 轴交于点C． （1）若抛物线过点 T（ 1，﹣），求抛物线的解析式； （2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以 A、B、D 三点为顶点的三角形与△ ABC相似？ 若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理由． （3）如图 2，在（ 1）的条件下，点 P 的坐标为（﹣ 1，1），点 Q（6， t ）是抛物线上的点，在 x 轴上，从左至右有M、N 两点，且 MN=2，问 MN在 x 轴上移动到何处时，四边形PQNM 的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标． 18. 如图，对称轴为直线x=2 的抛物线经过A（﹣ 1， 0）， C（ 0， 5）两点，与x 轴另一交点 为 B．已知 M（ 0， 1）， E（a， 0）， F（a+1， 0）， P 是第一象限内抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式； （2）当 a=1 时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P 的坐标； （3）若△ PCM是以点 P 为顶点的等腰三角形，求 a 为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由． 19. 探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1 （ x1， y1）， P2（ x2， y2），可通过构造直角三角形利用图1 得到结论： P1P2= 他还利用图 2 证明了线段 P1P2的中点 P（ x，y）P 的坐标 公式： x=， y=． （1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程； 运用：（ 2）①已知点M（ 2，﹣ 1）， N（﹣ 3， 5），则线段MN长度为； ②直接写出以点A（ 2，2），B（﹣ 2，0），C（ 3，﹣ 1）， D为顶点的平行四边形顶点 D 的坐标：； 拓展：（3）如图3，点P（ 2， n）在函数y=x（ x≥ 0）的图象OL x 轴正半轴夹角的平 与 E、 F，使△PEF 的周长最小，简要叙述作图 分线上，请在OL、 x 轴上分别找出点 方法，并求出周长的最小值． 20.如图，直线 y=kx+b （ k、 b 为常数）分别与 x 轴、 y 轴交于点 A（﹣ 4，0）、B（ 0，3），抛 物线 y=﹣ x2+2x+1 与 y 轴交于点 C． （1）求直线y=kx+b 的函数解析式； （2）若点 P（ x， y）是抛物线y=﹣ x2+2x+1 上的任意一点，设点P 到直线 AB 的距离为d，求 d 关于 x 的函数解析式，并求 d 取最小值时点P 的坐标； （3）若点 E 在抛物线 y= ﹣ x2 +2x+1 的对称轴上移动，点 F 在直线 AB上移动，求CE+EF的最小值． 21.如图①，在平面直角坐标系中， OA=6，以 OA为边长作等边三角形 ABC，使得 BC∥ OA，且 点B、C 落在过原点且开口向下的抛物线上． （1）求这条抛物线的解析式； （2）在图①中，假设一动点 P 从点 B 出发，沿折线 BAC的方向以每秒 2 个单位的速度运动，同时另一动点 Q从 O点出发，沿 x 轴的负半轴方向以每秒 1 个单位的速度运动，当点 P 运动到 A 点时， P、 Q都同时停止运动，在 P、Q的运动过程中，是否存在时间 t ，使得 PQ⊥ AB，若存在，求出 t 的值，若不存在，请说明理由； （3）在 BC边上取两点 E、 F，使 BE=EF=1个单位，试在 AB 边上找一点 G，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得四边形 EGHF的周长最小，并求出周长的最小值． 本人所著《初中几何模型与解题通法》已发行，可在当当、淘宝和京东搜索购买 特色： 1.由一线名师编写，更专业权威，各地历年中考压轴题几乎都能在书 中找到对应的模型和方法，甚至出现大量高度类似题。 2.包含 79 个中考热门模型，约500 道优质中考原题； 3.包含 18 个中考热门专题，每个专题包括模型介绍、方法原理、例题精 讲、变式训练和中考真题，做到理论联系实际，讲练结合。 4.例题精讲具有启发性，包括解题思路的分析，解答过程，易错点和技 巧的总结，使读者触类旁通。 将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小 4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的 周长最小。 5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小 6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小 D B C A A N 二、常见题目 Part1、三角形 1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，求EM+EC 的最小值 2．如图，在锐角△ABC 中，AB = 42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____． 3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值 M B D A D A Part2、正方形 1．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为_________。 即在直线AC 上求一点N ，使DN+MN 最小 2．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．2 6 C ．3 D ． 6 3．在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）. 4．如图，四边形ABCD 是正方形， AB = 10cm ，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PE 的最小值； 初中数学解题模型专题讲解 专题10 “将军饮马”模型详解与拓展 平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有：① 线段公理：两点之间，线段最短. 并由此得到三角形三边关系； ② 垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短. 在一些“线段和最值”的问题中，通过翻折运动，把一些线段进行转化即可应用 ①、② 的基本图形，并求得最值，这类问题一般被称之为“将军饮马”问题。 问题提出： 唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交 河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题． 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马后再到B 点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 模型提炼： 模型模型【【1】一定直线、异侧两定点 直线l 和l 的异侧两点A、B，在直线l 上求作一点P，使PA+PB 最小 解答：根据“两点之间，线段距离最短”，所以联结AB 交直线l 于点P，点P 即为所求点 模型模型【【2】一定直线、同侧两定点 直线l 和l 的同侧两点A、B，在直线l 上求作一点P，使PA+PB 最小 解答： 第一步：画点A 关于直线l 的对称点A'（根据“翻折运 动”的相关性质，点A、A'到对称轴上任意点距离相等， 如图所示，AP=A'P，即把一定直线同侧两定点问题转化为 一定直线异侧两定点问题） 第二步：联结A'B 交直线l 于点Q，根据“两点之间，线段距离最短”，此时“A'Q+QB”最短即“AQ+QB”最短 模型模型【【3】一定直线、一定点一动点 已知直线l 和定点A，在直线k 上找一点B （点A、B 在直线l 同侧）， 在直线l 上找点P，使得AP+PB 最小 解答： 第一步：画点A 关于直线l 的对称点A' 第二步：过点A'做A'B⊥k 于点B 且交直线l 于点P，根据“从直线 外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短”，可知A'P+PB 最小即AP+PB 最小 将军饮马模型(终稿) 将军饮马模型 一、背景知识： 【传说】 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今． 【问题原型】将军饮马造桥选址费马点 【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短； 三角形两边三边关系；轴对称；平移； 【解题思路】找对称点，实现折转直 二、将军饮马问题常见模型 1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小 例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小. 作法：连接AB，与直线l的交点Q， Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处， PA+PB最小，且最小值等于AB. 原理：两点之间线段最短。 证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦) 例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小. 关键：找对称点 作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC. 原理：两点之间，线段最短 证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦) 2.两动一定型 例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短． 作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM 交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求． 原理：两点之间，线段最短 第 1 页 共 10 页 将军饮马的六种常见模型 将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 3.如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使△P AB 的周长最小 4.如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形P AQB 的 周长最小。 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小 6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小 二、常见题目 Part1、三角形 1．如图，在等边△ABC中，AB= 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE=2，求EM+EC 的最小值 解：∵点C关于直线AD的对称点是点B， ∴连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小， 过点B作BH⊥AC于点H， 则EH = AH–AE = 3–2 = 1， BH = 22 BC CH -=22 63 -=33 在直角△BHE中，BE = 22 BH EH - =22 (33)1 +=27 2．如图，在锐角△ABC中，AB =42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____． 解：作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 4 第 2 页共10 页 将军饮马模型 将军饮马模型 一、背景知识： 【传说】 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营 A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营 B 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“ 将军饮马”的问题便流传至今． 【问题原型】将军饮马造桥选址费马点 【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短； 三角形两边三边关系；轴对称；平移； 【解题思路】找对称点，实现折转直 二、将军饮马问题常见模型 1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小 例1：在定直线l上找一个动点 P，使动点 P 到两个定点 A 与 B 的距离之和最小，即 PA+PB 最小 . 作法：连接 AB ，与直线l 的交点Q， Q 即为所要寻找的点，即当动点P 跑到了点 Q 处， PA+PB 最小，且最小值等于AB. 原理：两点之间线段最短。 证明：连接 AB ，与直线l 的交点Q，P为直线 l 上任意一点， 在⊿ PAB 中，由三角形三边关系可知：AP+PB ≧ AB( 当且仅当 PQ 重合时取﹦ ) 例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB 的和最小 . 关键：找对称点 作法：作定点 B 关于定直线l的对称点 C，连接 AC ，与直线 l 的交点 Q 即为所要寻找的点，即 当动点 P 跑到了点 Q 处， PA+PB 和最小，且最小值等于 AC. 原理：两点之间，线段最短 证明：连接 AC ，与直线l 的交点Q，P为直线 l 上任意一点， 在⊿ PAC 中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧ AC( 当且仅当 PQ 重合时取﹦ ) 2.两动一定型 例3：在∠ MON 的内部有一点 A ，在 OM 上找一点 B ，在 ON 上找一点 C，使得△ BAC 周长最短． 作法：作点 A 关于 OM 的对称点 A’，作点 A 关于 ON 的对称点 A’’，连接 A’ A ’’，与 OM 交于点 B，与 ON 交于点 C，连接 AB ， AC ，△ ABC 即为所求． 原理：两点之间，线段最短 将军饮马问题 问题概述 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题 方法原理 1.两点之间，线段最短； 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4.垂线段最短. 基本模型 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′， 在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则 需PA′+PB值最小，从而转化为模型1. 3. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两 点到l的距离不相等） 要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大 解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求； 理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P′， 连接AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱ 将军饮马的六种常见模型 将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。 2.如图，直线l和l同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。 3.如图，点P是∠MON内一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△P AB的周长最小 4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形P AQB的周长最小。 5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小 6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小 二、常见题目 Part 1、三角形 1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，AE =2，求EM +EC 的最小值 解： ∵点C 关于直线AD 的对称点是点B ， ∴连接BE ，交AD 于点M ，则ME +MD 最小， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ， 则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1， BH =22BC CH -=2263-=33 在直角△BHE 中，BE =22BH EH - =22(33)1+=27 2．如图，在锐角△ABC 中，AB =42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点， 则BM +MN 的最小值是____． 解：作点B 关于AD 的对称点B '，过点B '作B 'E ⊥AB 于点E ，交AD 于点F ，则线段B 'E 长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt △AEB '中，根据勾股定理得到，B 'E = 4 将军饮马模型 一、背景知识： 【传说】 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今． 【问题原型】将军饮马造桥选址费马点 【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短； 三角形两边三边关系；轴对称；平移； 【解题思路】找对称点，实现折转直 二、将军饮马问题常见模型 1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小 例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB 最小. 作法：连接AB，与直线l的交点Q， Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处， PA+PB最小，且最小值等于AB. 原理：两点之间线段最短。 证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦) 例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小. 关键：找对称点 作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC. 原理：两点之间，线段最短 证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点， 在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ 重合时取﹦) 2.两动一定型 例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短． 作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM 交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求． 原理：两点之间，线段最短 例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短． 作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’ B’，与OM 交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求． 原理：两点之间，线段最短 最值系列之——将军饮马 一、什么是将军饮马？ 【问题引入】 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 【问题描述】 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？ A B 将军 军营 河 【问题简化】 如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？ 【问题分析】 这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段． 【问题解决】 作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB 当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 【思路概述】 作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段． 二、将军饮马模型系列 【一定两动之点点】 在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小． B B 此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小． 【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________． P O B A M N 【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M． 中考数学：'将军饮马'所有模型及变式——终极篇 以微课堂 初中精品微课，数学奥林匹克国家一级教练执教。 一、模型展现 (1)直线型 模型1：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小． 原理：两点之间，线段最短．PA＋PB最小值即为AB长． 模型2：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小． 原理：和最小，同侧转异侧．两点之间，线段最短． 模型3：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大． 原理：两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即为AB长． 模型4：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大． 原理：差最大，异侧转同侧．两边之差小于第三边． 变式：在直线l上求作点P，使l平分∠APB，与此作法相同． 模型5：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最小． 原理：|PA－PB|最小为0，中垂线上的点到线段两端的距离相等． (2)角型 模型6：在OA，OB上求作点M，N，使△PMN周长最小． 原理：作两次对称，两点之间，线段最短． 模型7：在OA，OB上求作点M，N，使四边形PQMN周长最小． 原理：P，Q分别作对称，两点之间，线段最短． 模型8：在OA，OB上求作点M，N， (1)使PM＋MN最小． (2)使PN＋MN最小． 原理：先连哪个点，就先做关于那个点所在射线的对称点．垂线段最短． 模型9：P，Q为OA，OB的定点，在OA，OB上求作点M，N，使PN＋NM ＋MQ最小． 原理：两点之间，线段最短，PN＋NM＋MQ最小值即为P’Q’的长． (3)平移型 模型10：在直线l上求作点M，N，使MN＝a，且AM＋MN＋NB最小． 原理：将l上的MN转化到B’B．(问题情境：将军从军营A出发，去河边l饮马，饮马完在河边牵马散步a米，回军营B．可以转化为饮完马，直接去军营B，在到达之前散步．) 模型11(造桥选址)： 直线l1∥l2，在l1上求作点M，在l2上求作点N，使MN⊥l1，且AM＋MN ＋NB最小． 原理： 将MN转化为AA’．(可以理解为在A处先走过桥的路，再直达点B．) 二、典型例题 平移型“将军饮马”问题解法大全 如下图，大家都熟悉求两条线段和最短的“将军饮马”模型，就是通过对称把同侧两定点转化为异侧两定点，再利用两点之间线段最短，找到我们要得的动点，进而求出最短距离。 在直线l上找一动点P,使得PA+PB之和最短，就是我们熟知的“将军饮马”模型，即（“两定一动型”----两个定点+一个动点）。 如果本题拓展为在直线l上找两个动点P、Q（PQ两动点间距离为定值），使得AP+PQ+BQ的距离之和最短，又该如何处理呢（“两动一定型”） 法一：先对称后平移 作定点A关于动点所在直线（河）的对称点A',将点A'沿直线平移PQ的长度得A”,连接A”B,则交直线（河）于点Q,将点Q沿直.最短AP+PQ+BQ即此时P,个长度得点PQ线反向平移 思路：作对称（同侧变异侧）---对称点平移定长线段（“一定两动”化“两定一动”）---连接两定点---动点反向平移定长线段---连接所得点. 法二：先平移后对称 将点A沿直线平移PQ的长度得A',作定点A'关于动点所在直线（河）的对称点A”,连接A”B,则交直线（河）于点Q,将点Q沿直线反向平移PQ个长度得点P,即此时AP+PQ+BQ最短. 思路：定点平移定长线段（“一定两动”化“两定一动”）----作对称（同侧变异侧）----连接两定点---动点反向平移定长线段---连接所得点. 作图模型：对称+平移+连接+反向平移+连接 简析：典型的“平移型将军饮马问题”（要将“一定两动”转变为“两定一动”问题即转化为“饮马问题”）.具体思路均是构造定点关于动点所在直线（河）的对称点. 反思：“平移型将军饮马”问题，需通过平移定线段转化为“将军饮马”问题来解决.具体思路可“先对称后平移”，也可“先平移后对称”.通过平移将一定点变为两定点，再将同侧定点通过对称转变为异侧定点，连接原定点和对称点即可得最短距离. (思路：定点沿河平移定长，作出对称点，连接异侧两定点) 将军饮马问题 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题 1.两点之间，线段最短； 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4.垂线段最短. 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′， 在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则 需PA′+PB值最小，从而转化为模型1. 3. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两 点到l的距离不相等） 要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大 解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求； 理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P′， 连接AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱ 将军饮马模型 Revised as of 23 November 2020 将军饮马问题 将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题。 1.将军饮马故事 “将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”原题：如图，一位将军，从A地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短 A B 模型一：一条定直线，同侧两定点 在直线l的同侧有两点A,B,在L上求一点P，使得PA+PB值最小。 一般做法：作点 A（B）关于直线的对称点，连接 A’B，A’B 与直线交点即为所求点。A’B即为最短距离。 理由：A ’为 A 的对称点，所以无论 P 在直线任何位置都能得到 AP=A ’P 。所以 PA+PB=PA ’+PB 。这样问题就化成了求 A ’到 B 的最短距离，直接相连就可以了。 例一：某供电部门准备在输电主干线L 上连接一个分支线路，分支点为M ，同时向新落成的A 、B 两个居民小区送电。已知两个居民小区A 、B 分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。 （1）如果居民小区A 、B 位于主干线L 的两旁，如图（1）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短最短线路的长度是多少千米 （2）如果居民小区A 、B 位于主干线L 的同旁，如图（2）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短此时分支点M 与A1的距离是多少千米 模型二：一条定直线，一定点，一动点 如图，已知直线L 和定点A ，在直线K 上找一点M ，在直线L 上找一点P ，使得AP+PB 值最小。 A B B A A ’ B ’ A ’ B ’ L L 2020年中考数冲刺难点突破将军饮马与最值问题 专题一将军饮马中两定一动模型与最值问题 【专题说明】 这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转化为两点之间线段最短问题。 1、如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】 在中，，AD是的中线，可得点B和点D关于直线AD对称，连结CE，交AD于点P，此时最小，为EC的长，故选B. 【答案】10 【详解】 解：如图： 连接DE 交AC 于点P ，此时PD ＝PB ， PB +PE ＝PD +PE ＝DE 为其最小值， ∵四边形ABCD 为正方形，且BE ＝2，AB ＝8， ∵∵DAB ＝90°，AD ＝AB ＝8，AE ＝AB -BE ＝6， 在Rt∵ADE 中，根据勾股定理，得 DE ＝22AD AE + ＝2286+ ＝10． ∵PB +PE 的最小值为10． 故答案为10． 3、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边BC 交x 轴于点D ，AD x ⊥轴，反比例函数(0)k y x x =>的图象经过点A ，点D 的坐标为(3,0)，AB BD =． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P 为y 轴上一动点，当PA PB +的值最小时，求出点P 的坐标． 912 （2）过点B 作BE AD ⊥垂足为E ， ∵90B =o ∠，AB BD =，BE AD ⊥ ∵1322 AE ED AD ===， ∵39322OD BE +=+ =， ∵93(,)22B ， 则点B 关于y 轴的对称点193(,)22 B -，直线1AB 与y 轴的交点就是所求点P ，此时PA PB +最小， 设直线AB 1的关系式为y kx b =+，将 (3,3)A ,193(,)22B - ，代入得， 33932 2k b k +=???-+=?? 解得：15k =，125b =， ∵直线1AB 的关系式为11255 y x =+， 当0x =时，125 y =， ∵点12(0,)5 P 答：点P 的坐标为12(0, )5． 点C ，点D 是该抛物线的顶点． 将军饮马模型 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现． B 当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使P A ＋PB 最小． B 连接AB 交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点． P A ＋PB 的最小值为AB l A B 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小． l P B' A B 作点B 关于直线l 的对称点B '， 连接AB '交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点． P A ＋PB 的最小值为AB A A 模型实例 例1：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD ＋PE 最小值是 ． E D P P E C D 解答：如图所示，∵点B 与点D 关于AC 对称， ∴当点P 为BE 与AC 的交点时，PD ＋PE 最小，且线段BE 的长． ∵正方形ABCD 的面积为12，∴其边长为23∵△ABE 为等边三角形，∴BE ＝AB ＝23PD ＋PE 的最小值为3 例2：如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠BCD ＝15°，P 为CD 上的动点，则PA PB - 的最大值是多少？ 解答： 如图所示，作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′C ，连接A ′B 并延长交CD 于点P ，则点P 就是PA PB -的值最大时的点，PA PB -＝A ′B ． ∵△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC 等于4，∴∠ACB ＝90°．将军饮马
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