初中数学 中考复习 第02讲—飞镖模型和8字模型

模型一：角的飞镖模型基础

结论：C B A BDC ∠+∠+∠=∠

解答：

①方法一：延长BD 交AC 于点E 得证 ②方法二：延长CD 交AB 于点F 得证

③方法三：延长AD 到在其延长方向上任取一点为点G 得证

总结：

①利用三角形外角的性质证明

模型二：角的8字模型基础

结论：D C B A ∠+∠=∠+∠

解答：

①方法一：三角形内角和得证

】的性质得证②方法二：三角形外角【BOD

总结：

180证明

①利用三角形内角和等于

推出

②利用三角形外角的性质证明

角的飞镖模型和8字模型进阶

【例1】如图，则=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A

解答：

①方法一：飞镖ACD 得证

180=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A

②方法二：8字BECD 得证

180=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A 【例2】如图，则=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A

解答：飞镖ABF+飞镖DEC 得证

210=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A 【例3】如图，求=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A

解答：8字模型得证

360=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A 【例4】如图，求=∠+∠+∠+∠D C B A

解答：连接BD 得飞镖BAD+飞镖DBC 得证

220=∠+∠+∠+∠D C B A

【例5】如图，求=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠H G F E D C B A

解答：飞镖EHB+飞镖FAC 得证

360=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠H G F E D C B A

模型三：边的飞镖模型基础

结论：CD BD AC AB +>+

解答：延长BD交AC于点E+三角形三边关系+同号不等式【大的放左边，小的放在右边】得证

模型四：边的8字模型基础

结论：BC AD CD AB +<+

解答：三角形三边关系+同号不等式【大的放在右边，小的放在左边】得证

总结：

①三角形两边之和大于第三边

边的飞镖模型和8字模型进阶

【例1】如图，点P 为ABC ?内一点，试说明

AB PC PB PA AC BC AB <++<++)(2

1

AC BC ++

解答：三角形三边关系+边的飞镖模型可证

【例2】如图，BD AC ,是四边形ABCD 的对角线，且BD AC ,相交于点O ，求证：

AD CD BC AB BD AC AD CD BC AB +++<+<+++)(2

1

解答：边的8字模型+三角形三边关系可证

中考必会几何模型：8字模型与飞镖模型

8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ． 结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． O D C B A 模型分析 证法一： ∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A ＋∠D ＝∠AOB ．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B ＋∠C ＝∠AOB ．∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． 证法二： ∵∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∴∠A ＋∠D ＝180°－∠AOD ．∵∠B ＋∠C ＋∠BOC ＝180°， ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BOC ．又∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． （1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到． 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________； 图图① F D C B A E E B C D A 图③ 2 1O A B 图④ G F 12 A B E 解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ． ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E ＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°． 解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ．

∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ． ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠1＋∠2＝180°． （2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________． 图② F D C B A E 312图⑤ P O Q A B F C D 图⑥ 2 1 E D C F O B A （2）解法一： 如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A ＋∠B ＝∠AOP ． ∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP ．∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C ＋∠D ＝∠1＋∠2．② ，∠E ＋∠F ＝∠2＋∠3．③ 由①＋②＋③得：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°． 解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE ．∵∠AOE 是△AOB 的外角， ∴∠A ＋∠B ＝∠AOE ．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE ． ∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠2．（角的8字模型） ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝∠1＋∠2＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝360°．（四边形内角和为360°） 练习： 1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ ； 图 图① O O E E D D C C B B A A 解：如图，∵∠1=∠B+∠D ，∠2=∠C+∠CAD ， ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二：

初中常用数学模型

【1】中点+平行模型如图，如果AB ‖DE ，且C 为AE 中点，则有△ABC ≌△EDC 很好证的，当然十分实用，经常需要添加辅助线（例如延长） 【例题1】（2014 深圳某模拟） 【例题2】（2014 ） 答案：1.3 2；2.D 【2】一线三等角模型如图，若∠B=∠C=∠DEF=α（0<α≤90)则一定有△BDE 与△CEF 相似。十分好证（外角和什么一大堆），并且也很实用。经常在矩形里出题。

【例题1】（2009 ） 【例题 2】（2006 ） 【例题3】（原创） 答案：1. 2或3-24或25 2.(5 453-，) 【3】巧造旋转模型在某些几何题中，往往有一些奇怪的结论，此时可以通过几何三大变换之一【旋转】求解。巧造旋转往往要有一定的等量关系和特殊角度，如下题：

通过观察可得∠ ABC=∠C=45°，AB=AC。我们可以将△ACD绕A顺时针旋转90°得到△ABE，使得AC与AB 重合。那么就有EB⊥BC，而在RT△AED中，DE2=2AD2（等腰直角三角形）所以BE2+BD2=DE2，即BD2+CD2=2AD2是不是赶脚很难想到？要学会判断，这种感觉是要练出来的！【例题1】（2014 ） 【例题2】【例题3】（2014 菏泽改编）

答案：1.41 2.9 3.(1.)2，(2.)直角三角形，旋转后证全等，证明略 【4】等腰模型这是一个很基础的模型——什么样的结构会生成等腰三角形首先：平行+角平 分线，如图，若AD‖BE，BC 平分∠ABE，则AB=AC，很好证的，导角即可。其次：垂直+角平分这个不难理解，因为等 腰三角形三线合一。这种模型很常用，常常需要做辅助线（延长之类）【例题1】（原创）

1第一章 8字模型与飞镖模型(1)

O D C B A 图12图E A B C D E F D C B A O O 图12图E A B C D E D C B A H G E F D C B A 第一章 8字模型与飞镖模型 模型1 角的“8”字模型 如图所示，AB 、CD 相交于点O ， 连接AD 、BC 。 结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。 模型分析 8字模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。 热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。

D C B A M D C B A O 135E F D C B A 105O O 120 D C B A 模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C 。 模型分析 飞镖模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。 热搜精练 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ； 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。

O D C B A O D C B A O C B A 模型3 边的“8”字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：AC+BD>AD+BC 。 模型实例 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。 求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD ； （2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD. 模型4 边的飞镖模型 如图所示有结论： AB+AC>BD+CD 。

初中数学几个常用模型

初中数学几个数学模型 模型１、l:r=3600:n0 ①圆锥母线长5cm，底面半径长3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是 216 。 ②劳技课上，王芳制作了一个圆锥形纸帽，其尺寸如图．则将这个纸帽展开成扇形时的圆心 角等于（ C ）A．45°Ｂ．60°C．90°Ｄ．120° ③要制作一个圆锥形的模型，要求底面半径为２cm，母线长为４cm，在一个边长为8cm的正 方形纸板上，能否裁剪制作一个这种模型（侧面和底面要完整，不能拼凑）（ C ） （Ａ）一个也不能做（Ｂ）能做一个（Ｃ）可做二个（Ｄ）可做二个以上 4、（2004河北T7）在正方形铁皮上剪下个圆形和扇形,使之恰好围成如图所示的圆锥模型.设圆的半径为r,扇形的半径为R,则圆半径与扇形半径之间的关系是（D ）A、2r=R B、C、 D、 模型2、角平分线+平行=等腰三角形 如图，ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC， 交AB、AC于E、F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的 大小关系（ B ）. （A）EF>BE+CF （B）EF=BE+CF （C）EF

③（2006邵阳T8. ） 将一副三角板按图（一）叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于（1：3 ） ④（2005年浙江绍兴T18．）（以下两小题选做一题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分为3分。若两小题都做，以第（1）小题计分） 选做第________小题，答案为________ （1） 将一副三角板如图叠放，则左右阴影部分面积:之比等于________ （2） 将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积 : 之比等于________ ⑤（2006年武汉市T24．10分）已知：将一副三角板(Rt △ABC 和Rt △DEF )如图①摆放， 点E 、A 、D 、B 在一条直线上，且D 是AB 的中点。将Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE 、AC 相交于点M ，直线DF 、BC 相交于点N ，分别过点M 、N 作直线AB 的垂线，垂足为G 、H 。 （1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG =DH ； （2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由； （3）当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由。 ⑥一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含300 的直角三角形组成,利用这副三角板构成 一个含有150 角的方法较多,请你画出其中两种不同构成的示意图,并在图上标出必要的标注,不写作法. ⑦将一副三角尺如图摆放一起,连接AD, 则∠ADB 的余切值为 . ⑧如图， 中， ， ， ，过点 作 于 ， A G D H M E F C B N 第24题图 图③ E F M N D A B G H 图④ C 45° 60° A E D B C F A G D H M E F C B (N ) 第24题图 图① 图②

(完整)初中数学几个常用模型资料

初 中 数 学 几 个 数 学 模 型 模型１、l:r=3600 :n 0 ①圆锥母线长5cm ，底面半径长3cm ，那么它的侧面展开图的圆心角是 216 。 ②劳技课上，王芳制作了一个圆锥形纸帽，其尺寸如图．则将这个纸帽展开成扇形时的圆心角等于（ C ） A ．45° Ｂ．60° C ．90° Ｄ．120° ③要制作一个圆锥形的模型，要求底面半径为２cm ，母线长为４cm ，在一个边长为8cm 的正方形纸板上，能否裁剪制作一个这种模型（侧面和底面要完整，不能拼凑）（ C ） （Ａ）一个也不能做 （Ｂ）能做一个 （Ｃ）可做二个 （Ｄ）可做二个以上 4、（2004河北T7）在正方形铁皮上剪下个圆形和扇形,使之恰好围成如图所示的圆锥模型.设圆的半径为r,扇形的半径为R,则圆半径与扇形半径之间的关系是 （D ）A 、2r=R B 、R r =4 9 C 、R r =3 D 、r 4模型2、角平分线+平行=等腰三角形 如图，?ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB ，过D 作直线平行于BC ，交AB 、AC 于E 、F ，当∠A 的位置及大小变化时，线段EF 和BE+CF 的大小关系（ B ）. （A ）EF>BE+CF （B ）EF=BE+CF （C ）EF

最新初中数学几个常用模型

初 中 数 学 几 个 数 学 模 型 ①圆锥母线长5cm ，底面半径长3cm ，那么它的侧面展开图的圆心角是 216 。 ②劳技课上，王芳制作了一个圆锥形纸帽，其尺寸如图．则将这个纸帽展开成扇形时的圆心角等于（ C ） A ．45° Ｂ．60° C ．90° Ｄ．120° ③要制作一个圆锥形的模型，要求底面半径为２cm ，母线长为４cm ，在一个边长为8cm 的正方形纸板上，能否裁剪制作一个这种模型（侧面和底面要完整，不能拼凑）（ C ） （Ａ）一个也不能做 （Ｂ）能做一个 （Ｃ）可做二个 （Ｄ）可做二个以上 4、（2004河北T7）在正方形铁皮上剪下个圆形和扇形,使之恰好围成如图所示的圆锥模型.设圆的半径为r,扇形的半径为R,则圆半径与扇形半径之间的关系是 （D ）A 、2r=R B 、R r =4 9 C 、R r =3 D 、r 4 模型2如图，?ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB ，过D 作直线平行于BC ， 交AB 、AC 于E 、F ，当∠A 的位置及大小变化时，线段EF 和BE+CF 的大小关系（ B ）. （A ）EF>BE+CF （B ）EF=BE+CF （C ）EF

③（2006邵阳T8. ） 将一副三角板按图（一）叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于（1：3 ） ④（2005年浙江绍兴T18．）（以下两小题选做一题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分为3分。若两小题都做，以第（1）小题计分） 选做第________小题，答案为________ （1） 将一副三角板如图叠放，则左右阴影部分面积1S :2S 之比等于________ （2） 将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积1A :2A 之比等于________ ⑤（2006年武汉市T24．10分）已知：将一副三角板(Rt △ABC 和Rt △DEF )如图①摆放， 点E 、A 、D 、B 在一条直线上，且D 是AB 的中点。将Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE 、AC 相交于点M ，直线DF 、BC 相交于点N ，分别过点M 、N 作直线AB 的垂线，垂足为G 、H 。 （1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG =DH ； （2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由； （3）当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由。 ⑥一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含300 的直角三角形组成,利用这副三角板构成 一个含有150 角的方法较多,请你画出其中两种不同构成的示意图,并在图上标出必要的标注,不写作法. ⑦将一副三角尺如图摆放一起,连接AD, 则∠ADB 的余切值为 . ⑧如图，ABC ?中，?=∠90ACB ，?=∠30B ，1=AC ，过点C 作AB CD ⊥1于1D ，A G D H M E F C B N 第24题图 图③ E F M N D A B G H 图④ C 45° 60° A E D B C F A G D H M E F C B (N ) 第24题图 图① 图②

初中数学优质专题：8字模型与飞镖模型

1 O D C B A 图1 2图E A B C D E F D C B A O O 图12图E A B C D E D C B A 第一章 8字模型与飞镖模型 模型1 角的“8”字模型 如图所示，AB 、CD 相交于点O ， 连接AD 、BC 。 结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。 模型分析 8字模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。 热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。

2 H G E F D C B A D C B A M D C B A O 135 E F D C B A 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。 模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C 。 模型分析 飞镖模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和 ∠DCB ，AM 与CM 交于M 。探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。

3 105O O 120 D C B A O D C B A 热搜精练 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ； 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。 模型3 边的“8”字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：AC+BD>AD+BC 。

实际问题与一元二次方程的几种常见模型.

实际问题与一元二次方程的几种常见模型 繁殖问题 1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 解：1设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,依题意得 1+x+（1+x）x=81 整理得： X2 +2x-80=0 解得 X1=8 x2=-10(舍去) 三轮后被感染的电脑总数为： 1+ x+ x（x +1）+x（x +1）2=739(台) 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑为739台，超过700台 2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 解：设每个支干长出x小分支，依题意得 1+x（x +1）=91 解得：X1=9 x2=-10(舍去) 答：每个支干长出9小分支

单（双）循环问题 1．参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛，共赛90场，共有多少队参加？ 解：设共有x队参加依题意列方程得 x（x -1）=90 解得：X1=10 x2=-9(舍去) 答：共有10队参加 2.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会? 解：设共有x人参加聚会，依题意列方程得 2)1 (- x x=66 解得：X1=12 x2=-11(舍去) 答：共有12人参加聚会 3.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 解：设应邀x个球队参加，依题意列方程得 2)1 (- x x=28 解得：X1=8 x2=-7(舍去) 答：应邀8个球队参加 4.初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人? 解：有x人，依题意列方程得

2021中考数学易错题飞镖模型8字模型探究试题

2021中考数学易错题飞镖模型8字模型探究试题模型一：角的飞镖模型基础 结论：C + ∠ ∠ = ∠ B + A BDC∠ 解答： ①方法一：延长BD交AC于点E得证 ②方法二：延长CD交AB于点F得证 ③方法三：延长AD到在其延长方向上任取一点为点G得证 总结： ①利用三角形外角的性质证明

模型二：角的8字模型基础结论：D ∠ ∠ = + + C B A∠ ∠

解答： ①方法一：三角形内角和得证 ②方法二：三角形外角【BOD 】的性质得证总结： ①利用三角形内角和等于 180证明 推出 ②利用三角形外角的性质证明

角的飞镖模型和8字模型进阶 【例1】如图，则= ∠E D B A + C + + ∠ ∠ ∠ + ∠ 解答： ①方法一：飞镖ACD得证 ∠E + D C A B ∠ ∠ = 180 ∠ + + ∠ +

②方法二：8字BECD得证 + ∠ ∠E B A + C D ∠ = + 180 + ∠ ∠ 【例2】如图，则= E ∠F + D C A B ∠ ∠ ∠ + + ∠ ∠ + + 解答：飞镖ABF+飞镖DEC得证 ∠F + ∠ E D B + A C ∠ = ∠ + 210 ∠ ∠ + + 【例3】如图，求= E D ∠F B A + C ∠ + ∠ + ∠ ∠ + ∠ + 解答：8字模型得证 ∠F + ∠ E D A B C + 360 + = ∠ ∠ ∠ + ∠ + 【例4】如图，求= ∠D C A + B ∠ + ∠ + ∠

解答：连接BD得飞镖BAD+飞镖DBC得证 + ∠D A ∠ C B = + ∠ 220 + ∠ 【例5】如图，求= ∠H G ∠ F + D A C + E B + ∠ + ∠ ∠ + + ∠ + ∠ ∠ 解答：飞镖EHB+飞镖FAC得证 ∠H ∠ + + ∠ G F A B C D E ∠ + + = 360 ∠ ∠ ∠ + + ∠ + 模型三：边的飞镖模型基础 结论：CD + > AC BD AB+

初中数学常见模型之8字模型与飞镖模型

O D C B A 图12图E A B C D E F D C B A O O 图12图E A B C D E D C B A H G E F D C B A 8字模型与飞镖模型 模型1 角的“8”字模型 如图所示，AB 、CD 相交于点O ， 连接AD 、BC 。 结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。 模型分析 8字模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。 热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。

D C B A M D C B A O 135E F D C B A 105O O 120 D C B A 模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C 。 模型分析 飞镖模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。 热搜精练 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ； 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。

O D C B A O D C B A O C B A 模型3 边的“8”字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：AC+BD>AD+BC 。 模型实例 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。 求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD ； （2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD. 模型4 边的飞镖模型 如图所示有结论： AB+AC>BD+CD 。

初中三年常用的数学模型大汇总

1 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形）。 对称：角平分线或垂直或半角。 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转。 2 对称全等模型 说明： 以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 3 对称半角模型

说明： 上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 4 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段。 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等。 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等。 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题。 5 旋转半角模型 说明： 旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

6 自旋转变换构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形； 遇90度旋90度，造等腰直角； 遇等腰旋顶点，造旋转全等； 遇中点旋180度，造中心对称。 7 共旋转模型

说明： 旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。 8 模型变形 说明： 模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。 9 中点旋转模型 说明： 两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

中考数学必会几何模型：8字模型与飞镖模型

8字模型与飞镖模型 模型1：角的8字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ． 结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． O D C B A 模型分析 证法一： ∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A ＋∠D ＝∠AOB ．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B ＋∠C ＝∠AOB ．∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． 证法二： ∵∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∴∠A ＋∠D ＝180°－∠AOD ．∵∠B ＋∠C ＋∠BOC ＝180°， ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BOC ．又∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． （1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到． 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________； 图图① F D C B A E E B C D A 图③ 2 1O A B 图④ G F 12 A B E 解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ． ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E ＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°． 解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ． ∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ． ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠1＋∠2＝180°． （2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________．

初中数学九大几何模型

初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A C D E 图 2 O A B C D E O A B C D E 图 1 图 2

二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21 S △BCD ?= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S =+= 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- O B C O A C D E O B C D E O A C D A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4

中考必会几何模型：8字模型与飞镖模型

8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型 ∠C ． O D C B A 模型分析 ∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A ＋∠D ＝∠AOB ．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B ＋∠C ＝∠AOB ．∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． ∵∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∴∠A ＋∠D ＝180°－∠AOD ．∵∠B ＋∠C ＋∠BOC ＝180°， ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BOC ．又∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． （1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到． 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________； 图图① F D C B A E E B C D A 图③ 2 1O A B 图④ G F 12 A B E 解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ． ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E ＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°． 解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ． ∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ． ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠1＋∠2＝180°．

（2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________． 图② F D C B A E 312图⑤ P O Q A B F C D 图⑥ 2 1 E D C F O B A （2）解法一： 如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A ＋∠B ＝∠AOP ． ∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP ．∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C ＋∠D ＝∠1＋∠2．② ，∠E ＋∠F ＝∠2＋∠3．③ 由①＋②＋③得：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°． 解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE ．∵∠AOE 是△AOB 的外角， ∴∠A ＋∠B ＝∠AOE ．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE ． ∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠2．（角的8字模型） ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝∠1＋∠2＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝360°．（四边形内角和为360°） 练习： 1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ ； 图 图① O O E E D D C C B B A A 解：如图，∵∠1=∠B+∠D ，∠2=∠C+∠CAD ， ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二： （2）如图②，求：∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝ ．

(完整word版)初中常用数学模型

【1】中点+ 平行模型 如图，如果AB‖DE，且C 为AE中点，则有△ ABC≌△ EDC 例题2】（2014 深圳） 答案：1. 2；2.D 3 很好证的，当然十分实用，经常需要添加辅助线（例如延长） 例题1】（2014 深圳某模 拟）

2】一线三等角模型 如图，若∠ B= ∠C= ∠DEF=α（0<α≤90） 则一定有△ BDE与△ CEF相 似。 十分好证（外角和什么一大 堆）， 并且也很实用。经常在矩形里出题。

答案：1. 2或4 2-3或5 2.（- 3，4） 2 5 5 我们可以将△ ACD 绕A 顺时针旋转90°得到△ ABE，使得AC 与AB 重合。那么就有EB⊥ BC，而在RT△ AED中，DE2=2AD 2（等腰直角三角形） 所以BE2+BD 2=DE 2，即BD2+CD 2=2AD 2

如图，若 AD ‖BE ，BC 平分∠ ABE ，则 AB=AC ，很好证的，导角即可。 答案： 1. 41 2.9 3.(1.)2，(2.)直角三角形，旋转后证全等，证 明略 【4】等腰模型 例题 3】( 2014 菏泽改编)

其次：垂直+ 角平分 这个不难理解，因为等腰三角形三线合一。 这种模型很常用，常常需要做辅助线（延长之类） 【例题1】（原创） AB‖CD 【例题2】（原创） 例题3】（改 编） 1.11 2.3 3.延长CD 交AB 于M ，利用中位线，证明略

常考，选填大证明都可能会用。 是的！又是中点，中点用的很多啊 = = 这个模型怎么用？先要判断。 做题的时候看见中点， 先找有没有可以直接用的， 没有就找就 没有平行 + 中点，再没有就要想了 没事摆个中点在这里有啥用？这时试试倍长中线。 记住一句“ 倍长中线，定得全 先来举一个例子，吧里很经典的一题。 ← _← ∴CE=AB=3 ∴4-

2021年中考复习 第02讲—飞镖模型和8字模型

模型一：角的飞镖模型基础 结论：C B A BDC ∠+∠+∠=∠ 解答： ①方法一：延长BD 交AC 于点E 得证 ②方法二：延长CD 交AB 于点F 得证 ③方法三：延长AD 到在其延长方向上任取一点为点G 得证 总结： ①利用三角形外角的性质证明

模型二：角的8字模型基础 结论：D C B A ∠+∠=∠+∠

解答： ①方法一：三角形内角和得证 】的性质得证②方法二：三角形外角【BOD 总结： 180证明 ①利用三角形内角和等于 推出 ②利用三角形外角的性质证明

角的飞镖模型和8字模型进阶 【例1】如图，则=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A 解答： ①方法一：飞镖ACD 得证 180=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A ②方法二：8字BECD 得证 180=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A 【例2】如图，则=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A

解答：飞镖ABF+飞镖DEC 得证 210=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A 【例3】如图，求=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A 解答：8字模型得证 360=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A 【例4】如图，求=∠+∠+∠+∠D C B A

解答：连接BD 得飞镖BAD+飞镖DBC 得证 220=∠+∠+∠+∠D C B A 【例5】如图，求=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠H G F E D C B A 解答：飞镖EHB+飞镖FAC 得证 360=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠H G F E D C B A 模型三：边的飞镖模型基础 结论：CD BD AC AB +>+

初中数学：常见的几何模型汇总(高清图片版)

初中常见几何模型汇总 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形 遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等 遇中点旋180度，造中心对称

共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。 模型变换

说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。 中点旋转：

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。 几何最终模型 对称最值(两点间线段最短)

(完整word版)第一章8字模型与飞镖模型(无答案)

O D C B A 图12图E A B C D E F D C B A O O 图12图E A B C D E D C B A H G E F D C B A 第一章 8字模型与飞镖模型 模型1 角的“8”字模型 如图所示，AB 、CD 相交于点O ， 连接AD 、BC 。 结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。 模型分析 8字模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。 热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。

D C B A M D C B A O 135E F D C B A 105O O 120 D C B A 模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C 。 模型分析 飞镖模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。 模型实例 如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。 热搜精练 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ； 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。

O D C B A O D C B A O C B A 模型3 边的“8”字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：AC+BD>AD+BC 。 模型实例 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。 求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD ； （2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD. 模型4 边的飞镖模型 如图所示有结论： AB+AC>BD+CD 。

初中数学常见模型部分解题思路

初中数学常见模型解题思路 代 数 篇 1、循环小数化分数：(1)设元(2)扩大(3)相减抵消法【等式性质的运用】 例：把0.108108108...化为分数. 设a =0.108108108...①两边同时乘以1000，得 1000a =108.108108...② ②-①，得999a =108，从而得a =108/999=4/37. 2、对称式计算技巧：“平方差公式、完全平方公式”【整体思想的结合】 22,,,y x xy y x y x +-+中，知二求二. (加减配合，灵活变形.) 如xy y x y x 2)(222++=+ xy y x y x 2)(222-+=+； xy y x xy y x y x 4)(2)(2222-+=-+=-. 3、特殊公式21 )1(222±+=±x x x x 的变型及应用. 4、立方和/差公式：).)(())((22332233y xy x y x y x y xy x y x y x ++-=-+-+=+； 5、等差数列求和的法：首尾相加法. (方法+公式) 例：计算1+2+3+4+...+2018. 【规律推导法；等式性质推导】 6、等比数列求和法：(1)设元(2)乘等比(3)相减(4)求解. 例：计算1+2+4+8+...+2n . 【这两种数列均可用等式性质进行推导】 7、mn m n n m mn m n n m += +-=-11;11的灵活应用. 例：计算(1)3801...3012011216121++++++；(2).17 1532 151328...97167512538314?-?++?-?+?-? 8、韦达定理求关于两根的代数式的值. (1) 对称式：变和积..1 111222222y x y x y x xy y x ++++；；；(x 、y 为一元二次方程的两根) (2) 非对称式：根的定义 降次 变和积(一代入二韦达) 9、三大非负数及三大永正数(如|x |+2). 10、常用最值式：正数+±2)(y x 等 11、换元大法. 12、自圆其说加减法与两肋插刀法。代数式或函数变型(如配方)只能加一个数，同时减去同一个数；如果是方程则只需要两边同时加上或者减去同一个数即可。 13、拆项法、配方法。(原理同上) 14、十字相乘法. 15、统计概率：两查(抽样；普查)、三事(必然；随机；不可能)、四图(折线；条形；扇形；直方)、三数三差、两频(频数；频率)一概(概率). 16、一元二次方程应用题.如利率问题、握手送花问题等 17、b a =，则b a ±=在动点问题中的巧妙应用(避免繁琐的因为点的相对位置变