万有引力定律知识点总结

一、开普勒行星运动定律

定律内容图示

第一定律（轨道定律）所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

第二定律（面积定律）对任意一个行星来说，他与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

第三定律（周期定律）所有行星的轨道半径的半长轴的三次方跟它的公转周期的平方的比值都相等，a3/T2=k。

注意：

1. 开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，对于卫星绕行星运转，也遵循类似的运动规律。

2.比例系数k与中心天体质量有关，与行星或卫星质量无关，是个常量，但不是恒量，在不同的星系中，k值不相同。

3. T为公转周期，不是自转周期。

二、万有引力定律

1.内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。

2.表达式：F＝G

22

1 r m

m

其中G=×10-11N?m2/kg2，称为为有引力恒量。

3.适用条件：用于计算引力大小的万有引力公式严格地说只适用于两质点间引力大小的计算，如果相互吸引的双方是质量分布均匀的球体，则可将其视为质量集中于球心的质点，此时r是两球心间的距离。

4.对万有引力定律的理解

（1）普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量物体之间的相互吸引力，它是自然界中物体之间的基本的相互作用之一，任何客观存在的两部分有质量的物体之间都存在着这种相互作用。

（2）相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力．它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。

（3）宏观性：通常情况下，万有引力非常小，它的存在可由卡文迪许扭秤来观察，只有在质量巨大的天体间，它的存在才有宏观物理意义。

二、重力加速度

重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大．

1.若不计地球自转的影响，则物体在地球表面的重力等于

地球对物体的万有引力，即

2

GMm

mg

R

=, 则星球表面的

重力加速度为：

2

GM

g

R

=

2.同理，若不计地球自转的影响，在距地球表面高h处的

重力加速度为：

2

()

h

GM

g

R h

=

+

3.若考虑地球自转的影响，

（1）在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg

刚好在一条直线上，则有

F＝F向＋mg，

所以mg=F一F向＝

2

GMm

R

－mRω自2

则赤道处重力加速度为：g=

2

GM

R

－Rω自2

（而地球赤道处的向心加速度a n= Rω自2 =s2，因此一般不计其自转的影响；注意：当题目中出现地球自转时需要考虑此问题。）

（2）在两极处，由于物体做圆周运动半径r为零，向心

力为零。因此重力等于万有引力，即

2

GMm

mg

R

=，此时

重力加速度达到最大值，即

2

GM

g=

三、星球瓦解问题

假设地球自转加快，即ω自变大，赤道上物体的重力由mg

＝

2

GMm

R

－m2Rω自2知，物体的重力将变小。当

2

GMm

R

=mR ω自2时，mg=0，此时地球赤道上的物体无重力，要开始“飘”起来了，若自转继续加快，星球即将要瓦解。

星球瓦解的临界角速度ω自

3

GM

R

g

R

星球瓦解的临界密度

2

3

GT

π

ρ=

六、计算天体质量和密度

“天上”法“人间”法

原理万有引力提供向心力：万有引力等于重力：

注意：计算天体质量需“一个中心、两个基本点”： 1.“一个中心”即只能计算出中心天体的质量。

2.“两个基本点” 即要计算中心天体的质量，除引力常量G 外，还要已知两个独立的物理量。 1.两颗星绕它们连线上的某点做匀速圆周运动，称之为双星。 2.方程

对m 1：Gm 1m 2/L 2

=m 1ω2

r 1 ；

对m 2：Gm 1m 2/L 2

=m 2ω2

r 2 L= r 1+ r 2

3.特点：“三个相等，三个反比”

（

1）三个相等：角速度ω、周期T 、向心力大小相等。 （2）三个反比：半径r 、线速度v 、向心加速度a n 与其质量m 成反比。

4.注意：万有引力公式12

2

Gm m F

r =

中的r 应是两星体质量中心之间的距离；而向心力公式F n =m ω

2

r 中的r 应是该星体做圆周运动的轨道半径。 七、宇宙速度

2、第一宇宙速度的三层含义

（1）最小的发射速度 （2）最大的环绕速度 （3）近地卫星的环绕速度

3、第一宇宙速度的两个计算公式

（1） v =（M 为星球质量，R 为星球半径）

（2）v （g 为星球表面重力加速度，R 为星球半径）

3.注意：两个公式是等价的；不仅可以用于地球的第一宇宙速度，也适用于其它星球。 黑洞是一种引力极强的天体，就连光也不能逃脱。当恒星的半径小到一定程度时，就连垂直表面发射的光都无法逃逸了。这时恒星就变成了黑洞。说它“黑”，是指它就像宇宙中的无底洞，任何物质一旦掉进去，“似乎”就再不能逃出。由于黑洞中的光无法逃逸，所以我们无法直接观测到黑洞。然而，可以通过测量它对周围天体的作用和影响来间接观测或推测到它的存在。

黑洞的第二宇宙速度大于光速，c R

GM

>2 八、卫星的四个参量

由万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力得：

22

222()n GMm v m m r m r ma r r T

πω==== 解得：v =ω=2T =2n

M a G r =

1.四个参量都是r 的函数，r 一定，四个参量大小不变。

2.四个参量中“三度”（线速度v 、角速度ω、加速度a ）随着r 的增加而减小，只有T 随着r 的增加而增加。

3.任何卫星的环绕速度不大于7.9km/s ，运动周期不小于。

4.上述公式适合卫星在圆轨道上运行。 八、卫星的高度

()()()

h R T m h R m h R v m h R GMm +??? ??=+=+=+2

2

222πω()()()

h R T m h R m h R v m h R GMm +??

? ??=+=+=+2

2

222πω

3、同步卫星的轨道

同步卫星轨道必须在地球赤道的正上方，运转方向必须跟地

球自转方向一致即由西向东。通讯卫星可以实现全球的电

视转播，如果能发射三颗相对地面静止的卫星（即同步卫

星）并相互联网，即可覆盖全球的每个角落。由于通讯卫

星都必须位于赤道上空×107m处，各卫星之间又不能相距

太近，所以，通讯卫星的总数是有限的。

1.所谓人造地球卫星轨道就是人造地球卫星绕地球运行的

轨道。这是一条封闭的曲线。这条封闭曲线形成的平面叫

人造地球卫星的轨道平面，轨道平面总是通过地心的。

2.分类：(1)按轨道形状分为圆轨道(圆心为地心)和椭圆轨

道(焦点之一为地心)；(2) 按飞行方向分可分为顺行轨道

（与地球自转方向相同）、逆行轨道（与地球自转方向相

反）、赤道轨道（在赤道上空绕地球飞行）和极轨道（经过

地球南北极上空）；(3) 按离地面的高度，可分为低轨道、

中轨道和高轨道；(4)按地面观测点所见卫星运动状况分为

一般轨道、太阳同步轨道和对地静止轨道。

当卫星具有较大的动能时，它将上升到较高的轨道运动，

而在较高轨道上运动的卫星却具有较小的动能。反之，如

果人造天体在运动中动能减小，它的轨道半径将减小，在

这一过程中，因引力对其做正功，故导致其动能将增大。

同样质量的卫星在不同高度轨道上的机械能不同。其中

卫星的动能为

r

GMm

E K

2

=，由于重力加速度g随高度增大

而减小，所以重力势能不能再用E k=mgh计算，而要用到公

式

r

GMm

E P-

=（以无穷远处引力势能为零，M为地球质

量，m为卫星质量，r为卫星轨道半径。由于从无穷远向地

球移动过程中万有引力做正功，所以系统势能减小，为负。）

因此机械能为

r

GMm

E

2

-

=。同样质量的卫星，轨道半径

越大，即离地面越高，卫星具有的机械能越大，发射越困

卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是

卫星技术的一个重要方面，卫星定轨和返回都要用到这个

技术．

如图所示，在轨道A点，万有引力F A＞

2

v

m

r

，要使卫星

改做圆周运动，必须满足F A＝

2

v

m

r

和F A⊥v，在远点已满

足了F A⊥v的条件，所以只需增大速度，让速度增大到

2 v m

r

＝F A，这个任务由卫星自带的推进器完成．

这说明人造卫星要从椭圆轨道变到大圆轨道，只要在椭

圆轨道的远点由推进器加速，当速度达到沿圆轨道所需的速度，人造卫星就不再沿椭圆轨道运动而转到大圆轨道．“神州五号”就是通过这种技术变轨的，地球同步卫星也是通过这种技术定点于同步轨道上的．

2.从圆轨道变到椭圆轨道

在B点加速可实现从圆轨道变到椭圆轨道。

3.从椭圆轨道变到椭圆轨道

在近地点B点加速可实现从小椭圆轨道变到大椭圆轨道。

4.

从小圆轨道变到大圆轨道过程：先在小圆轨道的E点加速，从圆轨道变到椭圆轨道，在椭圆轨道的远地点F点再

次加速，从椭圆轨道变到大圆轨道。

【总结】要想往外轨道运动，必须加速，使它做离心运动；要想往内轨道运动，必须减速，使它做向心运动。

对接方法：宇宙飞船先在较空间站低的轨道上运行，当运行到适当位置时再加速运行到空间站的轨道，从而实现对接。

空间站实际上就是一颗可以载人的人造卫星，人和物品在地球和空间站间的运送，是通过宇宙飞船（或航天飞机）来实现的，那么能否通过将宇宙飞船（或航天飞机）发射到空间站的同一轨道上，再通过加速去追上空间站实现对接

呢？事实上，这样做是不行的，因为环绕速度与轨道半径是一一对应的，即同一个圆轨道上的卫星的环绕速度值都相同，此时万有引力刚好等于人造卫星做圆周运动所需的向心力，即F万=F向，当飞船加速时它所需的向心力也相应增大，即F万＜F向，从而使飞船产生“离心”现象，所以飞船的加速会使它偏离原来的轨道，而无法实现与空间站的对接。

连续物是指和天体连在一起的物体，其角速度和天体相同，其线速度v与R成正比。而对卫星来讲，其线速度v=，即v与R的平方根成反比。答案：AD

【例题】根据观察，在土星外层有一个环，为了判断环是土星的连续物还是小卫星群,可测出环中各层的线速度v 与该层到土星中心的距离R之间的关系.下列判断正确的( )

A.若v与R成正比，则环为连续物

B.若v2与R成正比，则环为小卫星群

C.若v与R成反比，则环为连续物

D.若v2与R成反比，则环为小卫星群

【例题】在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫做“宇宙膨胀说”，这种学说认为万有引力恒量G在缓慢地减小．根据这一理论，在很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比( )

A. 公转半径R较小

B. 公转周期T较大

C. 公转速率v较小

D. 公转角速度ω较大

六年级上册数学知识点复习：扇形统计图(人教版)

六年级上册数学知识点复习：扇形统计 图（人教版） 扇形统计图 一、扇形统计图的意义： 用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。 也就是各部分数量占总数的百分比。 二、常用统计图的优点： 1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。 2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。 3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。 三、扇形的面积大小：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。 圆柱与圆锥 一、圆柱的特征： 1、圆柱的两个圆面叫做底面，周围的面叫做侧面，底面是平面，侧面是曲面，。 2、圆柱的高：圆柱两个底面之间的距离叫做高。圆柱的高有无数条。 3、圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面沿高展开后是长方

形，长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的高，当底面周长和高相等时，侧面沿高展开后是一个正方形。 4、圆柱的侧面积=底面周长×高即S侧=h或2πr×h 、圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2即S表=S侧+S底×2或2πr×h+2×πr2 6、圆柱的体积=圆柱的底面积×高，即V=sh或πr2×h 7、将一张长方形围成圆柱有两种方法，将一张长方形进行旋转一般也有两种。 二、圆锥的特征： 1、圆锥只有一个底面，底面是个圆。圆锥的侧面是个曲面。 2、从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有一条高。 3、把圆锥的侧面展开得到一个扇形。 4、圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一，即V锥=Sh或V锥=πr2×h 、常见的圆柱圆锥解决问题：①、压路机压过路面面积; ②、压路机压过路面长度;③、水桶铁皮;④、厨师帽;通风管。 6、圆柱和圆锥的特征 圆柱圆锥

万有引力定律公式总结

万有引力公式 线速度 角速度 向心加速度 向心力 两个基本思路 1.万有引力提供向心力：r m r n m ma r T m r m r v m r M G ωππω======22222 2244m 2.忽略地球自转的影响： mg R GM =2 m （2 g R GM =，黄金代换式） 一、测量中心天体的质量和密度 测质量： 1．已知表面重力加速度g ，和地球半径R 。（mg R GM =2m ，则G gR M 2= ） 2．已知环绕天体周期T 和轨道半径r 。(r T m r Mm G 2224π= ，则2 3 24GT r M π=) 3．已知环绕天体的线速度v 和轨道半径r 。（r v m r Mm G 22=，则G r v M 2=） 4．已知环绕天体的角速度ω和轨道半径r 。（r m r Mm G 2 2ω=，则G r M 32ω=） 5．已知环绕天体的线速度v 和周期T 。（T r v π2=,r v m r M G 22m =，联立得G T M π2v 3=） 测密度： 已知环绕天体的质量m 、周期T 、轨道半径r 。中心天体的半径R ，求中心天体的密度ρ 解：由万有引力充当向心力

r T m r Mm G 2224π= 则2 324GT r M π= ——① 又3 3 4R V M πρρ? == ——② 联立两式得：3 23 3R GT r πρ= 当R=r 时，有2 3GT π ρ= 二、星球表面重力加速度、轨道重力加速度问题 1．在星球表面: 2 R GM mg =（g 为表面重力加速度，R 为星球半径） 2．离地面高h: 2 ) (h R GM g m += '（g '为h 高处的重力加速度） 联立得g'与g 的关系： 2 2 )('h R gR g += 三、卫星绕行的向心加速度、速度、角速度、周期与半径的关系 1．ma r M G =2m ，则2 a r M G =（卫星离地心越远，向心加速度越小） 2．r v m r Mm G 2 2=，则r GM v = （卫星离地心越远，它运行的速度越小） 3．r m r Mm G 22ω=，则3r GM =ω（卫星离的心越远，它运行的角速度越小） 4．r T m r Mm G 22 24π=，则GM T 3 2r 4π= （卫星离的心越远，它运行的周期越大）

六年级数学扇形统计图知识总结

六年级数学扇形统计图知识总 结． 教学情况记载表 学生姓名数学年级六上科目性别课时学期总主讲日日期：年月学生次课课时所在上课时间本次学校时间：星期次第授课扇形统计图的意义及实际运用。复习要求 、1扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示 各部分数量同总数之间关系，也就是各部分数量占总数的百分比，因此也叫百

分比图。常用统计图的优点：、 2统计图分类直观显示每个数量的多少、条形统计图。（1）数量的增减变化，还可清晰看出各个数量的多）、折线统计图不仅直观显示（2 少。部分和总量的关系。）（3、扇形统计图直观显示一、填空。）统计图。（）统计图，（ 1、常用的统计图有（） 统计图，）统计图表示。、如果要表示各部分数量同总数之间的关系，可以用（2 ）表示各部分所占总数的百）表示总数，用（ 3、扇形统计图是用（ 知识回顾分比。）统计图表示。 4、如果要反映数量的增减变化情况， 可以用（ ）统计图。、要反映小明家上个月各项支出占他家总支出的关系，可选用（5 : 二、选择题）。条形统计图表示，（）折线统计图表示1.（，扇形统计图表示（）细心选择、部分与总数的关C BA、数量关系的多少和增减变化情况、数量的多少系）表示优、良、及格）表示一天的气温变化情况；选择（ 2.小华应选择（ 学海无涯苦作舟书山有路勤为径 教学情况记载表 参加的人数与班级人数的关系。 A、折线统计图 B、扇形统计图 C、条形统计图 3.某公司有员工700人,元旦举行活动,图5,A、B、C 分别AC规定每人只参加一表示参加各种活动的人数的百分比,下象棋打扑克( ) 项且每人均参加,则不下围棋的人共有B人人 D.490A.259人 B.441人 C.350下围棋37%(5) , 则男生占全 4.某校男、女生比例如图6中的扇形区女生男生288312( ) 校人数的百分数为 A.48% B.52% C.92.3% D.4% (6) 三、解答 1.由图中提供信息:乒乓球、排球、足球、篮球4项球类活动中, 哪一类球类运动1,体育委员组织一次排球比赛50人,能够获得全班近的支持率?若全班人数为

高中物理公式大全全集万有引力

五、万有引力 1、开普勒三定律： ⑴开普勒第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上 ⑵开普勒第二定律（面积定律）：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积 ⑶开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 对T 1、T 2表示两个行星的公转周期，R 1、R 2表示两行星椭圆轨道的半长轴，则周期定律可表示为32 312221R R T T = 或k T R =3 3，比值k 是与行星无关而只与太阳有关的恒量 【注意】：⑴开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，只不过此时k T R =33 ‘ ，比值k ’ 是 由行星的质量所决定的另一恒量。 ⑵行星的轨道都跟圆近似，因此计算时可以认为行星是做匀速圆周运动 ⑶开普勒定律是总结行星运动的观察结果而总结归纳出来的规律，它们每一条都 是经验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的。 例题：飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T ，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A 处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B 点相切，如图所示，如果地球半径为R 0，求飞船由A 点到B 点所需要的时间。 解析：依开普勒第三定律知，飞船绕地球做圆周（半长轴和半短轴相等的特殊椭圆）运动时，其轨道半径的三次方跟周期的平方的比值，等于飞船绕地球沿椭圆轨道运动时，其半长轴的三次方跟周期平方和比值，飞船椭圆轨道的半长轴为 2 R R +，设飞船沿椭圆轨道运动的周期一、知识网络 二、 画龙点睛 概念

六年级数学扇形统计图知识总结

学生姓名性别年级六上科目数学 上课时间日期：年月日主讲 学期 课时 总课时 次课 学生 所在 学校时间：星期 本次 授课 第次 复习要求扇形统计图的意义及实际运用。 统计图分类1、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间关系，也就是各部分数量占总数的百分比，因此也叫百分比图。 2、常用统计图的优点： （1）、条形统计图直观显示每个数量的多少。 （2）、折线统计图不仅直观显示数量的增减变化，还可清晰看出各个数量的多少。（3）、扇形统计图直观显示部分和总量的关系。 知识回顾一、填空。 1、常用的统计图有（?? ）统计图，（?? ）统计图，（?? ? ）统计图。 2、如果要表示各部分数量同总数之间的关系，可以用（）统计图表示。 3、扇形统计图是用（）表示总数，用（）表示各部分所占总数的百 分比。 4、如果要反映数量的增减变化情况，可以用（）统计图表示。

5、要反映小明家上个月各项支出占他家总支出的关系，可选用（）统计图。 细心选择二、选择题: 1.折线统计图表示（? ），扇形统计图表示（? ），条形统计图表示（ ? ）。 A、数量关系的多少和增减变化情况 B、数量的多少?? C、部分与总数的关系 2.小华应选择（? ）表示一天的气温变化情况；选择（? ）表示优、良、及格参加的人数与班级人数的关系。 A、折线统计图??? B、扇形统计图?? C、条形统计图 3.某公司有员工700人,元旦举行活动,图5,A、B、C 分别 表示参加各种活动的人数的百分比,规定每人只参加一项 且每人均参加,则不下围棋的人共有( ) A.259人 B.441人 C.350人 D.490人 4.某校男、女生比例如图6中的扇形区, 则男生占全校人数的百分数为( ) A.48% B.52% C.92.3% D.4% 运用练习三、解答 1.由图中提供信息:乒乓球、排球、足球、篮球4项球类活动中, 哪一类球类运动能够获得全班近 1 4 的支持率?若全班人数为50人,体育委员组织一次排球比赛,估计会有多少人积极参加比赛? C 打扑克 B 下围棋37% A 下象棋 (5) 女生 288 男生 312 (6)

六年级数学扇形统计图知识总结

学生姓名性别 年 级 六上科目数学 上课时间日期：年月日主讲 学 期 课 时 总课时 次课 学生 所在 学校时间：星期 本 次 授 课 第次 复习要求扇形统计图的意义及实际运用。 统计图分类1、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间关系，也就是各部分数量占总数的百分比，因此也叫百分比图。 2、常用统计图的优点： （1）、条形统计图直观显示每个数量的多少。

（2）、折线统计图不仅直观显示数量的增减变化，还可清晰看出各个数量的多少。 （3）、扇形统计图直观显示部分和总量的关系。 知识回顾一、填空。 1、常用的统计图有（）统计图，（）统计图，（）统计图。 2、如果要表示各部分数量同总数之间的关系，可以用（）统计图表示。 3、扇形统计图是用（）表示总数，用（）表示各部分所 占总数的百分比。 4、如果要反映数量的增减变化情况，可以用（）统计图表示。 5、要反映小明家上个月各项支出占他家总支出的关系，可选用（）统计图。 细心选择二、选择题: 1.折线统计图表示（），扇形统计图表示（），条形统计图表示（）。 A、数量关系的多少和增减变化情况 B、数量的多少 C、部分与总数的关系 2.小华应选择（）表示一天的气温变化情况；选择（）表示优、 良、及格参加的人数与班级人数的关系。

A、折线统计图 B、扇形统计图 C、条形 统计图 3.某公司有员工700人,元旦举行活动,图5,A、B、 C 分别表示参加各种活动的人数的百分比,规定 每人只参加一项且每人均参加,则不下围棋的人 共有( ) 人人人人 4.某校男、女生比例如图6中的扇形区, 则男生占全校人数的百分数为( ) % % % 运用练习三、解答 1.由图中提供信息:乒乓球、排球、足球、篮球4项球类活动中, 哪一类球类运动能够获得全班近1 4 的支持率若全班人数为50人,体育委员组织一次排球比赛,估计会有多少人积极参加比赛 蓝球 16% 排球 18% 足球 24% 其它 乒乓球 32% C 打扑克 B 下围棋37% A 下象棋 (5) 女生 288 男生 312 (6)

(完整版)万有引力与航天重点知识、公式总结

万有引力与航天重点规律方法总结 一.三种模型 1．匀速圆周运动模型： 无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可看成质点，围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动 2．双星模型： 将两颗彼此距离较近的恒星称为双星,它们相互之间的万有引力提供各自 转动的向心力。 3.“天体相遇”模型： 两天体相遇，实际上是指两天体相距最近。 二.两种学说 1.地心说：代表人物是古希腊科学家托勒密 2/日心说：代表人物是波兰天文学家哥白尼 三.两个定律 1.开普勒定律： 第一定律（又叫椭圆定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆 的一个焦点上 第二定律（又叫面积定律）：对每一个行星而言，太阳和行星的连线，在相等时间内扫 过相同的面积。 第三定律（又叫周期定律）：所有行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴R 的三次方跟公 转周期T 的二次方的比值都相等。 表达式为：)4(2 23 π GM K K T R == k 只与中心天体质量有关的 定值与行星无关 2.牛顿万有引力定律 1687年在《自然哲学的数学原理》正式提出万有引力定律 ⑴.内容:宇宙间的一切物体都是相互吸引的.两个物体间引力的方向在它们的连线上,引力的大小跟它们的质量的乘积成正比,跟它们之间的距离的二次方成反比. ⑵.数学表达式: r F Mm G 2 =万 ⑶.适用条件: a.适用于两个质点或者两个均匀球体之间的相互作用。（两物体为均匀球体时，r 为两球心间的距离） b. 当0→r 时，物体不可以处理为质点，不能直接用万有引力公式计算 c. 认为当0→r 时，引力∞→F 的说法是错误的 ⑷．对定律的理解 a.普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都有这种相互作用力 b.相互性：两个物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，而不是平衡力关系。 c.宏观性：在通常情况下万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附 近的物体间,它的存在才有实际意义. d.特殊性:两个物体间的万有引力只与它们本身的质量、它们之间的距离有关.与所在 空间的性质无关,与周期及有无其它物体无关. （5）引力常数G ：

小学统计图的基本知识点

小学统计图的知识点 一、统计图的各类： （1）条图：又称直条图，表示独立指标在不同阶段的情况，有两维或多维，图例位于右上方。 （2）百分条图和圆图：描述百分比（构成比）的大小，用颜色或各种图形将不同比例表达出来。 （3）线图：用线条的升降表示事物的发展变化趋势，主要用于计量资料，描述两个变量间关系。 （4）半对数线图：纵轴用对数尺度，描述一组连续性资料的变化速度及趋势。（5）直方图：描述计量资料的频数分布。 （6）散点图：描述两种现象的相关关系。 （7）统计地图：描述某种现象的地域分布。 小学数学中三种常见统计图。扇形统计图、条形统计图、折线统计图可以从不同的角度反映一组数据信息的特点与规律，三种统计图有着各自特点，因此解决实际问题时要注意统计图的特点，学会收集、描述、分析数据，从而作出合理的决策。 二、统计图的意义 * 用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。

（二）分类 1 条形统计图 - 用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按照一定的顺序排列起来。 - 优点：很容易看出各种数量的多少。 - 注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。 - 取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定； - 复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例。 制作条形统计图的一般步骤: （1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。 （2）在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。 （3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。 （4）按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。

万有引力定律公式总结

万有引力定律知识点 班级： 姓名： 一、三种模型 1、匀速圆周运动模型：无论自然天体还是人造天体都可以看成质点，围绕中心天体做匀速圆周运动。 2、双星模型：将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们相互之间的万有引力提供各自转动的向心力。 3、“天体相遇”模型：两天体相遇，实际上是指两天体相距最近。 二、两种学说 1、地心说：代表人物是古希腊科学托勒密 2、日心说：代表人物是波兰天文学家哥白尼 三、两个定律 第一定律（椭圆定律）：所有行星绕太阳的运动轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的每一个焦点上。 第二定律（面积定律）：对每一个行星而言，太阳和行星的连线，在相等时间内扫过相同的面积。 第三定律（周期定律）：所有行星绕太阳运动的椭圆轨道半长轴R 的三次方跟公转周期T 的二次方的比值都相等。 （表达式 ） 四、基础公式 线速度：v ==== 角速度：== == 向心力：F=m =m(2r=m(2 )2r= m(2)2r=m =m 向心加速度：a= = (2r= (2)2r= (2 )2r== 五、两个基本思路 1．万有引力提供向心力：ma r T m r m r v m r M G ====22 2224m πω 2.忽略地球自转的影响： mg R GM =2m （2g R GM =，黄金代换式） 六、测量中心天体的质量和密度 测质量： 1．已知表面重力加速度g ，和地球半径R 。（mg R GM =2m ，则G gR M 2=）一般用于地球 2．已知环绕天体周期T 和轨道半径r 。(r T m r Mm G 2224π= ，则2 3 24GT r M π=) 3．已知环绕天体的线速度v 和轨道半径r 。（r v m r Mm G 22=，则G r v M 2=） 4．已知环绕天体的角速度ω和轨道半径r （r m r Mm G 22ω=，则G r M 32ω=） 5．已知环绕天体的线速度v 和周期T （T r v π2=,r v m r M G 22m =，联立得G T M π2v 3=） 测密度：

统计图知识点总结

统计图知识点总结 扇形统计图 用整个圆的面积表示总数，用圆的一部分的扇形面积表示各部分占总数的百分数，这样的统计图称“扇形统计图”．又称“百分比较图”或“圆形图”．该图可清楚地表示各部分同总数间的关系． 条形统计图 用一个单位长度表示一定的数量，并根据各个数量的多少画出长短不同而宽度相同的直条，然后把这些直条按照一定的顺序排列起来所构成的统计图．条形统计图一般简称“条形图”，也叫“长条图”、“直条图”．条形图可画成竖条，也可画成横条．从条形统计图可直观地看出各个数量的多少． 折线统计图 用一个单位长度表示一定的数量，根据所统计的数量的多少，依一定的次序，描出相应的各点，然后把各点用线段顺次连结成一条折线，这样的统计图称为“折线统计图”．折线统计图的纵、横向的单位长度可相等，也可不等．从图中折线的每条线段的上升或下降以及它的倾斜度，可清楚地看出数量的增减变化的幅度或发展趋势． 制图步骤 制作条形统计图的步骤是： 1．根据统计资料整理数据． 2．作图定标尺．先画纵轴，确定一定的比例（即标尺），作为长度单位；再画横轴，纵、横轴的长短要适中． 3．画直条．条形的宽度、间隔要一致． 4．写上条形统计图的总标题、制图日期及数量单位． 制作折线统计图的步骤是： 1．根据统计资料整理数据． 2．先画纵轴，后画横轴，纵、横都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量． 3．根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来． 制作扇形统计图的步骤是： 1．根据统计资料，整理或计算出必要的数据（包括部分占整体的百分数）． 2．根据数据，算出各部分扇形圆心角的度数． 3．根据需要，取适当的半径画圆，用量角器依次按圆心角把圆分成几个扇形． 4．标上每部分的内容及占总体的百分数．用虚线、实线或不同颜色将各部分区分开来．

万有引力定律的推导及完美之处

万有引力定律的推导及完美之处 现在由开普勒第一定律来求行星所受的力的量值。既然轨道为椭圆，我们就可把轨道方程写为 1cos P r e θ=+ 或1cos e P P μθ=+ 把这关系式1cos e P P μθ=+代入比耐公式 2222()d F h d m μμμθ+=- ，就得到 222222 22()d mh h m F mh d P P r μμμμθ=-+=-=- 这表明行星所受力是引力，且与距离平方成反比。 乍一看来，似乎不需要开普勒第三定律就已经能推出胡克的万有引力公式。其实不然，我们并不能把 22h m F P r =-化成22k m F r =-，因为式22h m F P r =-中的h 和P 对每一个行星来讲都具有不同的数值（2r h θ=，1r μ=，P 为椭圆曲线正焦弦长度的一半），而式中的2k 是一个与行星无关的常数。 开普勒第一定律：行星绕太阳作椭圆运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线，在相等的时间内所扫过的面积相等。 开普勒第三定律：行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方成正比。 为了能把22h m F P r =-化为 22k m F r =-，就得利用开普勒第三定律，由行星公转的周期得 22324T P a h π= 虽然h 和P 都是和行星有关的常数，但根据开普勒第三定律中2 3T a 是与行星无关的常数，可以得到2P h （或2 h P ）是一个与行星无关的常数（即跟行星质量无关，而是由太阳决定了行 星轨道的性质）。因而可以令22h k P =，我们就可以把22h m F P r =-化为 22k m F r =-， 即 2222h m k m F P r r =-=-

六年级上册扇形统计图总复习

第七单元：扇形统计图知识点 1、我们学过的扇形统计图有三大类：（条形统计图）（折线统计图）（扇形统计图） 2、（条形统计图）能更好的反应数量的多少。 3、（折线统计图）既能反应出数量的多少，又能反应数量的增减变化情况。 4、（扇形统计图）能反应各部分数量与总数量之间的关系。 5、在扇形统计图中，整个圆表示（总数量）也就是（单位“1”），各个扇形表示（各部分占总数量的百分之几） 6、扇形的大小与（各部分占总数量的百分比）有关。 巩固练习： 1、如果只表示数量的多少，可以选用（）统计图；如果想要表示出数量的增减变化情况，可以选用（）统计图；如果要清楚的了解各部分数量同总数量的关系，可以用（）统计图。 2、判断下列各种情况选择哪种统计图更合适： ①、在一次期中检测中，优、良、中、差的学生占全体学生的百分比情况！ ②、要反应某地区xx~xx年人口增长变化情况。 ③、要反应李军家各项支出占总支出的情况 ④、某市xx~xx年财政收入的增减情况？ ⑤、在一植树活动中，统计每种数各有多少棵？ ⑥、育才小学一至六年级学生所占全校学生的百分比情况： 3、右图是鸡蛋各部分质量统计图。从图中我们可以看出：一 个鸡蛋中蛋壳的质量占（），蛋黄的质量占（）， 蛋清的质量占（）。如果一个鸡蛋重80克，那么这个鸡 蛋的蛋清重（）克。 4、下图是某学校教师最喜欢看的电视节目统计图。 ①、最喜欢《走进科学》的老师占全体教师的 （）%。 ②、最喜欢（）和（） 的人数差不多。 ③、如果学校有150名老师，那么最喜欢《新 闻联播》的老师有多少人？ ④、你知道了什么的数学信息？ ⑤、计算一下《探索.发现》和《焦点访谈》两个扇形的圆心角的度数。

(完整word版)高中物理万有引力定律知识点总结和典型例题精选

万有引力定律 人造地球卫星 『夯实基础知识』 1．开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值） 丹麦天文学家 第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上； 第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等； 第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．即k T r =23 开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上概括出的，给出了行星运动的规律。 2．万有引力定律及其应用 (1) 内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。 2r Mm G F =（1687年） 2211/1067.6kg m N G ??=-叫做引力常量，它在数值上等于两个质量都是1kg 的物体相距1m 时的相互 作用力，1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出。 万有引力常量的测定——卡文迪许扭秤 实验原理是力矩平衡。 实验中的方法有力学放大（借助于力矩将万有引力的作用效果放大）和光学放大（借助于平面境将微小的运动效果放大）。 万有引力常量的测定使卡文迪许成为“能称出地球质量的人”：对于地面附近的物体m ，有2E E R m m G mg =（式中R E 为地球半径或物体到地球球心间的距离），可得到G gR m E E 2 =。 (2)定律的适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r 应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体，r 是两球心间的距离． 当两个物体间的距离无限靠近时，不能再视为质点，万有引力定律不再适用，不能依公式算出F 近为无穷大。 (3) 地球自转对地表物体重力的影响。 体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，

高中物理万有引力定律公式

高中物理万有引力定律公式 1.开普勒第三定律：T2/R3=K(=4π2/GM){R：轨道半径，T：周期，K：常量(与行星质量无关，取决于中心天体的质量)｝ 2.万有引力定律：F=Gm1m2/r2(G=6.67×10-11N?m2/kg2，方向在它们的连线上) 3.天体上的重力和重力加速度：GMm/R2=mg;g=GM/R2{R：天体半 径(m)，M：天体质量(kg)｝ 4.卫星绕行速度、角速度、周期： V=(GM/r)1/2;ω=(GM/r3)1/2;T=2π(r3/GM)1/2{M：中心天体质量｝ 5.第一(二、三)宇宙速度V1=(g地r地)1/2=(GM/r 地)1/2=7.9km/s;V2=11.2km/s;V3=16.7km/s 6.地球同步卫星GMm/(r地+h)2=m4π2(r地+h)/T2{h≈36000km，h：距地球表面的高度，r地：地球的半径｝ 注： (1)天体运动所需的向心力由万有引力提供，F向=F万; (2)应用万有引力定律可估算天体的质量密度等; (3)地球同步卫星只能运行于赤道上空，运行周期和地球自转周 期相同; (4)卫星轨道半径变小时，势能变小、动能变大、速度变大、周 期变小(一同三反); (5)地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为7.9km/s。 (1)内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引 力大小跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。 (2)适用条件：

①严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用; ②两个质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r是两个球体球心间的距离; ③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离; ④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r为两物体质心间的距离。 (3)注意：公式中F是两物体间的引力，F与两物体质量乘积成 正比，与两物体间的距离的平方成反比，不要理解成F与两物体质 量成正比，与距离成反比。 (4)对万有引力定律的理解： ②万有引力的相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力。它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。 ③万有引力的客观性：通常情况下，万有引力非常小，它的存在可由卡文迪许扭秤来观察，只有在质量巨大的天体间，它的作用才 有宏观物理意义。 ④万有引力的特殊性：两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量有关，与它们之间的距离有关，和所在空间的性质无关，和周 围有无其他物体的存在无关。

第六章万有引力定律知识归纳

第六章：万有引力定律知识归纳 1、（1）开普勒第一定律： _______________________________________________________________________________________________________________________________________ （2）开普勒第二定律： ____________________________________________________________________ 从这个定律能得出行星在近日点的速度______（填大于，小于，等于）远日点的速度。 （3）开普勒第三定律： ______________________________________________________________________________________________________________________________________ 用公式k=_________来表示；R 表示______________；T 表示____________周 期；K 与_________有关；根据公式3Mm G ＝R m 2)2(π 可得K=____________；当我们把行星的椭圆轨道按圆的轨道来近似处理时，则R 表示______________ 2、万有引力定律内容及公式： 内容： ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 公式：_________________________其中引力常量G=_______________ 定律适用条件： (1)______________________(2)_______________________________ 3、(1)地球上的重力和重力加速度:在质量为M 、半径为R 的天体表面上，如果忽略天体自转的影响，质量为m 的物体的重力加速度g ，可以认为是由天体对它的万有引力产生的。由万有引力定律和牛顿第二定律有：mg R Mm G =2，则该天体表面的重力加速度为：=g ________由此式可知，天体表面的重力加速度是由天体的质量和半径决定的 (2)远离地面的高空物体: 远离地面高空且只受万有引力作用的物体，作落体运动，这时万有引力不提供向心力，也不产生向心加速度，即，万有引力

(完整版)六年级数学扇形统计图知识总结

学生姓名 1 ： 'E 1 性别 E t 年级\ 六上 i I 科目 数学 i : 学期i 总课时 !日期：年 月 日 i 主讲 : 课时i 次课 学生 I II 1 1 || 1 口 | 口 r)\住 ! 1 时间：星期 1 i 本次i 第次 3 课！弟次 学校 ■ : —碗 aal d-h aa ■一 一 s a a a ? ? a a AA had i 三 A 3 -三 A m H W ■ S> J - — T i 复习要求i 扇形统计图的意义及实际运用 11 II ! ]i 、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部? I I 分数量同总数之间关系，也就是各部分数量占总数的白分比，因此也叫白分比 ! ! i 图。 I II II II I ： E | | 【2、常用统计图的优点： ! 11 H [| i 统计图分类| | I I （1）、条形统计图直观显示每个数量的多少。 I I I II H [| J [ ：| I I I | |（2）、折线统计图不仅直观显示数量的增减变化，还可活晰看出各个数量的多少。| I ； E | i i （3）、扇形统计图直观显示部分和总量的关系。 i [ II II I |: [ :| I ---------------------------------------------------------------------------------------- 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1 i 一、填空。 I b I I i 1、常用的统计图有（ ）统计图，（）统计图，（）统计图。j | | 2、如果要表示各部分数量同总数之间的关系，可以用（ ）统计图表示。 ， | i 3、扇形统计图是用（ ）表示总数，用（ ）表示各部分所占总数的白! ;知识回顾I 分比。 ; | [4、如果要反映数量的增减变化情况，可以用（ ）统计图表示。 ； I I 5、要反映小明家上个月各项支出占他家总支出的关系，可选用（ ）统计图。！ I I I II H I I ： [ ] I I I I E I i E 二、选择题： ！ i I 1.折线统计图表示（ ），扇形统计图表示（ ），条形统计图表示（ ）。i I E I !细心选择! A 、数量关系的多少和增减变化情况 B 、数量的多少 部分与总数的关系! | | ! I- h ■! ■! ■■ n ii H J ! ! 2.小华应选择（）表示一天的气温变化情况；选择（ ）表示优、良、及格参； 加的人数与班级人数的关系。

六年级上册统计图知识点总结

知识概括 知识点一：扇形统计图 扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。 我们可以从扇形统计图获取信息，先与整体比较，看看部分占整体的百分比是多少，再看一下各部分之间谁占的百分比大，在此基础上仔细分析，得出结论。 【例题1】观察下面某班参加课外运动的统计情况，回答问题. 某班最喜欢运动项目统计图 哪项运动占比最大________________ （1）喜欢乒乓球的人数占全班人数的（ ）%。 （2）如果全班人数有100人，喜欢乒乓球的人数是（ ）人。 知识点二：在格子图中绘制条形统计图 条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目。 制图过程： （1）在格子图上方居中位置写上统计图的标题，在上方的右侧标明制图日期。 （2）确定横轴和纵轴。 （3）在横轴上适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔。 （4）在纵轴上确定单位长度。 【例题2】(1)某小学五年级各班人数统计表，用条形统计图表示上面的两数据.

从图上可以得出以下信息 （1）3个班中（）个班人数最多 （2）一班人数占3个班总人数的（）%. (3)二班和三班的人数占3个班总人数的（ )%. (2） 从图上可以得出以下信息 （1）3个班共有多少人（） （2）（）个班男生人数最多，该班男生人数占3个班男生人数的（）%. （3）一班人数占3个班总人数的（）%. （4）3个班中（）个班女生占的比例最大 练习：下图是四年级同学喜欢的运动项目如下表，用条形统计图画出喜欢每个项目的人数；

【例题4】折线统计图的意义和绘制方法： 折线统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目。 问题导入：2005年甲、乙两城市月平均降水量统计表 月份1 月 2 月 3 月 4月5月6月7月8月9月10 月 11 月 12 月 甲 市 51020256014018021070301510 乙 市 205080160290280210240190653015你能分别用折线统计图表示2005年两个城市的月平均降水量吗 问题（1）甲市几月份降水量最高几月份降水量最低 （2）乙市几月份降水量最高几月份降水量最低 （3）两城市（）月份的平均降水量相差最多，相差（）毫米。 （4）甲乙两城市几月份平均降水量最接近 课后演练 1、甲、乙两个村1998-2006年家庭汽车拥有量如下图：

有关万有引力定律及其公式的理解

有关万有引力定律及其公式的理解 万有引力定律由牛顿于1687年在《原理》上首次发表，它和牛顿运动定律一起，构成了天体力学的基础。它是以牛顿为代表的科学家们经过长期探索，总结出的智慧的结晶。该定律指出：自然界中任何两个物体之间都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1，m2的乘积成正比，与它们之间的距离r 的平方成反比。这个结论经过检验与事实相符，成为科学史上伟大的定律之一——万有引力定律。其公式为 ，下面本人就该定律和其物理公式的理解做简要的阐述。 一、万有引力定律的理解 万有引力定律主要涉及了三个方面的内容，首先它提出了万有引力定律是自然界中的任何物体，即万有引力具有普遍性。大到天体与天体之间，小到微观粒子之间都存在万有引力作用，比如质子与质子之间，和电子与电子之间。这里要特别注意的是，电荷之间的排斥力或吸引力属于电场力，由于微观粒子间的万有引力非常小，所以我们通常可以忽略不计，只有质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义，即万有引力具有宏观性。其次，定律还指出了万有引力的方向是在它们的连线上，根据力是物体间的相互作用的知识，即两物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们等大、反向、共线、分别作用在两个物体上。我们还能得出，万有引力由受力物体指向施力物体。第三，由定律的内容我们可以知道影响万有引力大小的因素是物体质量和物体间的距离，即引力的大小只与物体的质量m1，m2的乘积成正比，与它们之间的距离r 的平方成反比。而与所在空间的性质无关，与周围有无其他物体也无关，这体现了万有引力的特殊性。万有引力定律的提出对人类研究和探索宇宙提供的非常主要的现实指导意义。 二、万有引力公式的理解 引力常量G 的数值是卡文迪许通过著名的扭秤实验得出的，在国际单位制中G=6.67259×10-11Nm 2/Kg 2,通常取G=6.67×10-11Nm 2/Kg 2。引力常量G 的得出成为万有引力定律正确性的有力证据，也使得在用万有引力定律计算天体质量，天体密度等有关问题时具有了现实的操作性。比如，我们根据天体对它的卫星（或行星）的引力就是卫星绕天体做匀速圆周运动的向心力： G 2r mM =m 224T πr ，由此可得：M=23 24GT r π；ρ=V M =334R M π=3223R GT r π（R 为行星的半径） 由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r 及运行周期T ，就可以算出天体的质量M ，若知道行星的半径则可得行星的密度。 另外，公式中的r ，指的是两物体间的距离。若两物体可以看做质点，或的质量分布均匀的球体，那么r 就是两质点或两球心之间的距离。若求任意的两个物体间的引力，必须把每个物体分成很多小部分，每个小部分看成是一个质点，计算所有这些质点间的相互作用力，这种情况高中阶段一般不研究。所以万有引力定律的公式一般只用来直接计算可以看作是质点的两个物体，质量分布均匀的两球体或质量分布均匀的球体与质点之间的万有引力。例如对两个相距不太远的非球形物体，例如两个60kg 的人相距1m 时，求他们之间的吸引力就不 能简单地把两人质心间距作为r 代入公式来计算。如果两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可看成质点，公式可近似适用，其中r 为两物体质心间的距离。 下面我们举个典型的例子，如图所示，有质量为m 、半径为R 的质量分布均匀的球体A 与用同种材料制成的半径为 均匀球体B ，两球球心相距L ， 现在在球A 中靠近B 球一边与A 球相切的挖一个半径为 的球形洞，三个球心在同一条连线上，求挖空后两球间的万有引力。

万有引力定律公式、例题及其应用

万有引力定律及其应用 知识网络: 教学目标： 1．掌握万有引力定律的内容并能够应用万有引力定律解决天体、卫星的运动问题 2．掌握宇宙速度的概念 3．掌握用万有引力定律和牛顿运动定律解决卫星运动问题的基本方法和基本技能 教学重点：万有引力定律的应用 教学难点：宇宙速度、人造卫星的运动 教学方法：讲练结合，计算机辅助教学 教学过程： 一、万有引力定律：（1687年） 221r m m G F = 适用于两个质点或均匀球体；r 为两质点或球心间的距离；G 为万有引力恒量（1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出）2211/1067.6kg m N G ??=- 二、万有引力定律的应用 1．解题的相关知识： （1）在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：一是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即22 2r v m r Mm G =＝r T m 224πr m 2ω=；二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G 2R mM ＝mg 从而得出GM ＝R 2g 。 （2）圆周运动的有关公式：ω＝T π2，v=ωr 。 讨论： 万有引力定律 天体运动 地球卫星

①由222r v m r Mm G =可得：r GM v = r 越大，v 越小。 ②由r m r Mm G 22ω=可得：3r GM =ω r 越大，ω越小。 ③由r T m r Mm G 222?? ? ??=π可得：GM r T 32π= r 越大，T 越大。 ④由向ma r Mm G =2可得：2r GM a =向 r 越大，a 向越小。 点评：需要说明的是，万有引力定律中两个物体的距离，对于相距很远因而可以看作质点的物体就是指两质点的距离；对于未特别说明的天体，都可认为是均匀球体，则指的是两个球心的距离。人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。 2．常见题型 万有引力定律的应用主要涉及几个方面： （1）测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力） 由r T m r Mm G 222?? ? ??=π 得2324GT r M π= 又ρπ?=334R M 得3 23 3R GT r πρ= 【例1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T =30 1s 。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G =6.67?1011-m 3/kg.s 2 ) 解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。 设中子星的密度为ρ，质量为M ，半径为R ，自转角速度为ω，位于赤道处的小物块质量为m ，则有 R m R GMm 22ω= T πω2= ρπ33 4R M = 由以上各式得23GT π ρ=，代入数据解得：314/1027.1m kg ?=ρ。 点评：在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分