学案3 不等式与不等关系
学案3 不等式与不等关系
[课程标准]
1．了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用. [知识梳理]
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法???
???<-?=-?>-;___0,___0,___0b a b a b a b a b a b a
(2)作商法????
?????>∈?<>∈?=>∈?>);0,(___1,)0,(___1,)0,(___1b R a b a b a
b R a b a b a
b R a b a b a
2．不等式的性质
(1)对称性：a ＞b ?b ＜a ；
(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ?__________； (3)可加性：a ＞b ?a ＋c _____b ＋c ，
(4)同向可加性：a ＞b ，c ＞d ?a ＋c_____b ＋d ； (5)可乘性：a ＞b ，c ＞0?ac____bc ；
(6)同向同正可乘性：a ＞b ＞0，c ＞d ＞0?ac ____bd ； (7)可乘方：a ＞b ＞0?a n ____b n (n ∈N ，n ≥1)； (8)可开方：a ＞b ＞0?n a ____n
b (n ∈N ，n ≥2)．
(9)倒数法则：a ＞b 且ab ＞0?1a ___1
b
3.有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则
①b a b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b 0)． [思考辨析]
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a
b
>1，则a >b .( )
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( )
(5)a >b >0，c >d >0?a d >b
c .( )
(6)若ab >0，则a >b ?1a <1
b .( )
[典例精讲]
题型一 比较两个数(式)的大小
例1 (1)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M
5
，则( )
A ．a
B ．c
C ．c D ．b 跟踪训练1(1)设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A B (2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________． 题型二 不等式的性质 例2 (1)已知a ，b ，c 满足c ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2 (2)若1a <1 b <0，则下列不等式：①a ＋b A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 题型三 不等式性质的应用 命题点1 应用性质判断不等式是否成立 例3 已知a >b >0，给出下列四个不等式： ①a 2>b 2； ②2a >2b － 1； ③a －b >a －b ； ④a 3＋b 3>2a 2b . 其中一定成立的不等式为( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④ 命题点2 求代数式的取值范围 例4 已知－1 变式2：若将例4条件改为－1 [达标练习] 1.设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b ； ②a c log a (b －c )． 其中所有正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③ 2.已知a ≠1且a ∈R ，试比较1 1－a 与1＋a 的大小． 课时作业3 1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( ) A ．ad >bc B ．ac >bd C ．a －c >b －d D ．a ＋c >b ＋d 2．若6 2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是( ) A ．9≤c ≤18 B ．15 C ．9≤c ≤30 D ．9 3．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xz D ．x |y |>z |y | 4．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．设α∈(0，π2)，β∈[0，π2]，那么2α－β 3 的取值范围是( ) A ．(0，5π6) B ．(－π6，5π 6) C ．(0，π) D ．(－π 6 ，π) 6．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a c >b c ，则a >b C ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b D ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1 b 7．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1 a D.2a ＋ b a ＋2b >a b 8．若a >b >0，则下列不等式一定不成立的是( ) A.1a <1 b B ．log 2a >log 2b C ．a 2＋b 2≤2a ＋2b －2 D ．b c ， d 均为实数，有下列命题 ①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0； ②若ab >0，c a －d b >0，则b c －a d >0； ③若bc －ad >0，c a －d b >0，则ab >0. 其中正确的命题是________． 10．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________． 11．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是 ________．(用“>”连接) 学案3不等式与不等关系参考答案 判断正误：√×××√√ 例1：答案 (1)B (2)B 解析 (1)M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)， 又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)， ∴a 1－1<0，a 2－1<0. ∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0. ∴M >N . (2)方法一 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 4 4ln 3＝log 8164<1， 所以a >b ； b c ＝5ln 44ln 5 ＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c ln x x ，y ′＝1－ln x x 2 ， 易知当x >e 时，函数f (x )单调递减． 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)， 即c 跟踪训练1答案 (1)B (2)a (2)a b ＝18161618＝(1816)161 162 ＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵ 9 82∈(0,1)，∴(982)16 <1， ∵1816>0,1618>0， ∴1816<1618.即a 解析 (1)由c 0. (2)因为1a <1 b <0，所以b 0， 所以a ＋b 解析 方法一 由a >b >0可得a 2>b 2，①成立； 由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b － 1，②成立； ∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2 ＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，③成立； 若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36， a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立． 故选A. 方法二 令a ＝3，b ＝2， 可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立，故选A. 答案 (－4,2) (1,18) 例4.解析 ∵－1 变式1：解 ∵－1 变式2：解 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )， 则? ???? m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴??? m ＝52 ， n ＝12. 即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋1 2 (x －y )，又∵－1 ∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <23 2， 达标练习 1.D.由不等式性质及a >b >1知1a <1 b ， 又c <0，∴c a >c b ，①正确； 构造函数y ＝x c ， ∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数， 又a >b >1，∴a c b >1，c <0，∴a －c >b －c >1， ∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，③正确． 2.解 ∵11－a －(1＋a )＝a 21－a ，当a ＝0时，a 21－a ＝0，∴1 1－a ＝1＋a ； 当a ＜1，且a ≠0时，a 21－a ＞0，∴11－a ＞1＋a ；当a ＞1时，a 21－a ＜0，∴1 1－a ＜1＋a . 课时作业 1.答案 D 解析 由不等式的同向可加性得a ＋c >b ＋d . 2.答案 D 解析 ∵c ＝a ＋b ≤3a 且c ＝a ＋b ≥3a 2， ∴9<3a 2≤a ＋b ≤3a <30. 3.答案 C 解析 ∵x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0，∴x >0，z <0， 又y >z ，∴xy >xz . 4.答案 A 解析 由(a －b )·a 2<0?a ≠0且a 5.答案 D 解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β 3<π. 6.答案 C 解析 当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确； 对于C ，由a 3>b 3且ab <0，知a >0且b <0，所以1a >1 b 成立，C 正确；当a <0且b <0时，可知D 不正确． 7.答案 A 解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1 x 是(0，＋∞)上的增函数，但函 数g (x )＝x ＋1x 在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1 a >b －1b ?a ＋1b >b ＋1 a ，但g (a )>g (b )未必成立，故选A. 8.答案 C 解析 ∵(a －1)2＋(b －1)2>0(由a >b >0，a ，b 不能同时为1)， ∴a 2＋b 2－2a －2b ＋2>0，∴a 2＋b 2>2a ＋2b －2，∴C 项一定不成立． 9.答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab >0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即b c －a d ab >0，∴bc －ad >0，∴②正确； ∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即b c －a d ab >0，∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确． 10.解析 ∵a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，∴a ＝b ， 又a ＝log 233>1，c ＝log 32<1，∴a >c ，故a ＝b >c . 11.答案 z >y >x 解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x . 方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x . 不等关系与基本不等式同步练习题（一） （时间：120分钟 满分：150分） A.基础卷 一、选择题（5×8=40分） 1．函数)2(2 1 >-+ =x x x y 的最小值为( ) A. 2 B ． 3 C ． 4 D ．23 2．不等式0)31(>-x x 的解集是（ ） A ．)31,(-∞ B ． )31,0()0,( -∞ C ． ),31(+∞ D ．)3 1,0( 3．已知,R b a ∈、且0>ab ，则下列不等式不正确的是( ) A ．b a b a ->+ B ．b a b a +<+ C ．b a ab +≤2 D ． 2≥+b a a b 4．已知无穷数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，则有（ ） Ａ． 8 6 64a a a a ≤ Ｂ． 8664a a a a < Ｃ．8664a a a a > Ｄ．8664a a a a ≥ ５．已知01,0<<-> Ｂ．a ab ab >>2 Ｃ．2 ab a ab >> Ｄ．a ab ab >>2 ６.已知,1117,32-≤<-<≤-y x 则1 2 -y x 的取值范围是（ ） Ａ．??? ??-- 92,43 Ｂ．??? ??-0,43 Ｃ．??? ??-0,21 Ｄ．??? ??-0,43 ７．若 ,11 <++b a a b 则b a 与中必（ ） Ａ．一个大于１，一个小于１ Ｂ．两个都大于１ Ｃ．两个都小于１ Ｄ．两个的积小于１ 8．已知,,d c b a >>则（ ） Ａ． d b c a ->- Ｂ． c b d a > Ｃ．a d b c ->- Ｄ．bd ac > 第三章 不等式 §3.1 不等关系与不等式 材拓展 1．不等式的基本性质 对于任意的实数a ，b ，有以下事实： a>b ?a －b>0； a ＝ b ?a －b ＝0； ab>0，m>0，要比较a ＋m b ＋m 与a b 的大小，就可以采用以下方法： a ＋m b ＋m －a b ＝bm －am b (b ＋m )＝m (b －a )b (b ＋m ) . ∵m>0，a>b>0，∴b －a<0， ∴m (b －a )b (b ＋m )<0，∴a ＋m b ＋m b ，b>c ?a>c. (2)a>b ，c>d ?a ＋c>b ＋d. (3)a>b ，c>0?ac>bc. (4)a>b ，c<0?ac 第10课 绝对值不等式 ◇考纲解读 ①理解不等式a b a b a b -≤+≤+ ②掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式； ◇知识梳理 1.绝对值的意义 ①代数意义：___,(0)___,(0)___,(0)a a a a >??= =?? 时， |()|f x a >?____________； |()|f x a - 例2. 解不等式125x x -++> 变式1：12x x a -++<有解，求a 的取值范围 变式2：212x x a -++<有解，求a 的取值范围 变式3：12x x a -++>恒成立，求a 的取值范围 ◇能力提升 1.（2008湛江二模）若关于x 的不等式||2x a a -<-的解集为{}42|< 不等关系与不等式 【学习目标】 1．了解不等式(组)的实际背景． 2．掌握比较两个实数大小的方法． 3．掌握不等式的八条性质． 【学法指导】 1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言” 转化成“数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可． 2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论． 3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形． 一、知识温故 a－b＞0?； a－b＝0?； a－b＜0?. 3．常用的不等式的基本性质 (1)a>b?b a(对称性)； (2)a>b，b>c?a c(传递性)； (3)a>b?a＋c b＋c(可加性)； (4)a>b，c>0?ac bc；a>b，c<0?ac bc； (5)a>b，c>d?a＋c b＋d； (6)a>b>0，c>d>0?ac bd； (7)a>b>0，n∈N，n≥2?a n b n； (8)a>b>0，n∈N，n≥2?n b. 二、经典范例 问题探究一实数比较大小 问题1(实数比较大小的依据) 在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左 边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质： 如果a－b是正数，那么； 如果a－b是负数，那么； 如果a－b等于零，那么. 以上结论反过来也成立，即a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b. 问题2(作差法比较实数的大小) 向一杯a克糖水中加入m克糖，糖水变得更甜了．你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？并证明你的结论． 问题探究二不等式的基本性质 问题3在实数大小比较的基础上，可以给出不等式八条基本性质的严格证明．证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质． 请同学们借助前面的性质证明性质6： 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd. 人教A版数学必修5第三章不等式教学案 课题：§ 3.1不等式与不等关系 第1课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1 ?知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质； 2 ?过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3 ?情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式（组）正确表示出不等关系。 【教学过程】 1. 课题导入 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不 等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2. 讲授新课 1）用不等式表示不等关系 引例1:限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h, 写成不等式就是：v乞40 引例2:某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于 2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是用不等式组来表示 问题1:设点A与平面:-的距离为d,B为平面〉上的任意一点，贝U d -| AB |。 问题2:某种杂志原以每本 2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提 高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等 第十二章 不等式选讲 第69讲 绝对值不等式 1．绝对值三角不等式 定理1：如果a ，b 是实数，那么||a ＋b ≤||a ＋||b ，当且仅当__ab ≥0__时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么||a －b ≤||a －c ＋||c －b ，当且仅当__(a －c )(c －b )≥0__时，等号成立． 2．含绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式||x ＜a ，||x ＞a 的解集 (2)≤c (c ＞0)和≥c (c ＞0)型不等式的解法 ①||ax ＋b ≤c ?－c ≤ax ＋b ≤c ； ②||ax ＋b ≥c ?ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c . 1．思维辨析(在括内打“√”或打“×”)． (1)对||a ＋b ≥||a －||b 当且仅当a ＞b ＞0时等号成立．( × ) (2)对||a －||b ≤||a －b 当且仅当||a ＞||b 时等号成立．( × ) (3)对||a －b ≤||a ＋||b 当且仅当ab ≤0时等号成立．( √ ) (4)||ax ＋b ≤c 的解等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( √ ) (5)不等式||x －1＋||x ＋2＜2的解集为?.( √ ) 2．设ab ＜0，a ，b ∈R ，那么正确的是( C ) A ．||a ＋b ＞||a －b B ．||a －b ＜||a ＋||b C ．||a ＋b ＜||a －b D ．||a －b ＜||||a －||b 解析 由ab ＜0，得a ，b 异号， 易知|a ＋b |＜|a －b |，|a －b |＝|a |＋|b |，|a －b |＞||a |－|b ||， ∴C 项成立，A ，B ，D 项均不成立． 3．不等式1＜||x ＋1＜3的解集为( D ) A ．(0,2) B ．(－2,0)∪(2,4) C ．(－4,0) D ．(－4，－2)∪(0,2) 解析 1＜|x ＋1|＜3?1＜x ＋1＜3或－3＜x ＋1＜－1?0＜x ＜2或－4＜x ＜－2. 4．不等式|2x －1|＜2－3x 的解集是( C ) A ．? ?? ? ??x |x ＜12 B ．? ??? ??x |1 2≤x ＜35 C ．? ?? ???x |x ＜35 D ．? ?? ? ??x |x ＞35 解析 |2x －1|＜2－3x ?3x －2＜2x －1＜2－3x ????? ? 3x －2＜2x －1，2x －1＜2－3x ?? ???? x ＜1，x ＜ 3 5 ?x ＜3 5 . 5．若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为__(5,7)__． 解析 由|3x －b |＜4得－4＜3x －b ＜4，即－4＋b 3＜x ＜4＋b 3， ∵不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3， 则??? 0≤－4＋b 3＜1， 3＜4＋b 3≤4 ?? ???? 4≤b ＜7， 5＜b ≤8，∴5＜b ＜7. 一 绝对值不等式的解法 学案29：不等关系与不等式 知识梳理： 一．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a － b ＞0?a >b ；a －b ＝0?a ＝b ；a －b ＜0?a b ?ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ?ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)． [试一试]1．(2013·北京高考)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1b C ．a 2>b 2 D. a 3>b 3 2. 12－1 ________3＋1(填“>”或“<”)． 四.方法：1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0?1a <1b ；(2)a <0b >0,0 (1)真分数的性质：b a b －m a －m (b －m >0)； (2)假分数的性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b 0)． [练一练]若00，则 b ＋ c a ＋c 与a ＋c b ＋c 的大小关系为________． 1.已知a 1，a 21212 ) A ．M 不等关系与不等式（第一课时） 一、教学任务分析 1、感受不等关系的普遍存在 通过一系列的具体情境，使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系。 2、利用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 通过具体问题情境，让学生学习如何利用不等式（组）研究及表示不等关系，进一步理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 3、初步掌握运用作差比较法比较实数和代数式的大小。 二、教学重点和难点 重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。 三、教学基本流程 四、教学情景设计 1、引入：章头图及古诗《题西林壁》引入，介绍不等量关系也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中也起着重要的作用，也正是实际问题的需要我们要研究不等量关系。介绍本章将要研究表示不等量关系的不等式的基本知识。 设计意图：使学生体会不等关系的普遍存在，了解学习不等式的意义。 2、创设情境，让学生感受生活中的不等关系。 师：多媒体出示情景：（1）交通标志(限速、限高、限宽)；（2）商家打折海报（一折起、低至几折）；（3）产品含量指标。问：表示什么含义？怎么表示其中的不等关系？ 生：分析各种不等关系，口答并尝试用不等式（组）表示。 师：引导学生准确表述，给出不等式定义，板书学生口答的各问题中不等式（组）。 设计意图：进一步让学生感受生活中的不等关系，知道用不等式（组）表示这种不等关系。 3、知识探究一：具体情境中如何用不等式研究及表示不等关系。 师：多媒体出示问题1（销售收入问题）、2（实际安排生产问题）。 学生：独立思考后，与本组同学交流讨论结果。完成后交流展示，小组代表板书结果，并说明式子的含义。 师：点评学生结果，找有不同结果的小组讲解不同方法或补充，引导学生分析比较。 设计意图：问题方式给出，强化学生的问题意识，使学生在具体问题情境中经历如何利用不等式研究及表示不等关系。小组合作探究，使学生交流对于问题的认识。展示不同结果，使学生认识思考问题严谨性和不同角度。师最后介绍两问题中反映的生产要求如何解决，是本章后续章节会解决的问题。激发学生学习欲望，体会数学知识与生活的密切相关。 4、知识探究二：比较实数和代数式大小的方法——作差法。 生：结合学案上知识探究二中所填结果，与同组学生交流结论。 师：提问引导学生表述：要比较两数或代数式大小，可以让两数或两式相减，比较结果和0的大小。若结果大于0，则前者大于后者；若……。 设计意图：让学生分析作差法具体做法，明确这种比较大小的方法如何运用。 5、课堂练习：作差法比较代数式的大小。 生：可独立完成，也可与同组同学交流，在规定时间完成。 师：巡视，指导学生疑难处，找完成好的两生板演结果，并让板演学生讲解。点评学生思路，进一步总结作差法中变形结果的形式： 3.4 基本不等式：√ab≤（a+b）2（二） [学习目标] 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题． 知识点一基本不等式求最值 1．理论依据： (1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值 为s2 4 . (2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2p. 2．基本不等式求最值的条件： (1)x，y必须是正数； (2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 3．利用基本不等式求最值需注意的问题： (1)各数(或式)均为正． (2)和或积为定值． (3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可． (4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性． 知识点二基本不等式在实际中的应用 基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系； (4)作出结论． 题型一 利用基本不等式求最值 例1 (1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2 －4x ＋5 2x －4有( ) A ．最大值54 B ．最小值5 4 C ．最大值1 D ．最小值1 (2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为____． (3)已知x ，y ∈R ＋ ，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为____． 答案 (1)D (2)－2 (3)3 解析 (1)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋1 2（x －2） ＝12??? ???（x －2）＋1x －2≥1. 当且仅当x －2＝ 1 x －2 ，即x ＝3时，等号成立． (2)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2， 当且仅当t ＝1 t ，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立， ∴y 的最小值为－2. (3)xy ＝12·? ?? ?? x 3·y 4≤12·? ?? ???x 3＋y 422 ＝12·? ?? ??122 ＝3， 当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝3 2 ，y ＝2时，等号成立， ∴xy 的最大值为3. 反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件． 含有绝对值的不等式 教学目标 （1）掌握绝对值不等式的基本性质，在学会一般不等式的证明的基础上，学会含有绝对值符号的不等式的证明方法； （2）通过含有绝对值符号的不等式的证明，进一步巩固不等式的证明中的由因导果、执要溯因等数学思想方法； （3）通过证明方法的探求，培养学生勤于思考，全面思考方法； （4）通过含有绝对值符号的不等式的证明，可培养学生辩证思维的方法和能力，以及严谨的治学精神。 教学建议 一、知识结构 二、重点、难点分析 ①本节重点是性质定理及推论的证明．一个定理、公式的运用固然重要，但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推导过程中所蕴含的数学思想与方法，通过证明过程的探求，使学生理清思考脉络，培养学生勤于动脑、勇于探索的精神． ②教学难点一是性质定理的推导与运用；一是证明含有绝对值的不等式的方法选择．在推导定理中进行的恒等变换与不等变换，相对学生的思维水平是有一定难度的；证明含有绝对值的不等式的方法不外是比较法、分析法、综合法以及简单的放缩变换，根据要证明的不等式选择适当的证明方法是无疑学生学习上的难点． 三、教学建议 （1）本节内容分为两课时，第一课时为含有绝对值的不等式性质定理的证明及简单运用，第二课时为含有绝对值的不等式的证明举例． （2）课前复习应充分．建议复习：当时 ； ； 以及绝对值的性质： ，为证明例1做准备． （3）可先不给出含有绝对值的不等式性质定理，提出问题让学生研究：是否等于？ 大小关系如何？是否等于？等等．提示学生用一些数代入计算、比较，以便归纳猜想一般结论． （4）不等式的证明方法较多，也应放手让学生去探讨． （5）用向量加减法的三角形法则记忆不等式及推论． （6）本节教学既要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神． 教学设计示例 含有绝对值的不等式 教学目标 理解及其两个推论，并能应用它证明简单含有绝对值不等式的证明问题。 教学重点难点 不等关系与不等式导学案 【学习目标】能用不等式（组）正确表示出不等关系, 掌握不等式的基本性质； 【重点难点】作差法比较两实数大小. 【学习过程】 1、用不等式表示不等关系 例1某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示. 变式训练1： （1）b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式 . （2）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高 0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不 等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 例2 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？变式训练2： 某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式． 2、不等式的基本性质 （1）, a b b c a c >>?>（2）a b a c b c >?+>+ （3）,0 a b c ac bc >>?>（4）,0 a b c ac bc >>?+>+；（6）0,0 a b c d ac bd >>>>?>； （7）0,,1n n n n a b n N n a b a b >>∈>?>> 3、两代数式比较大小 a b a b ->?>0 a b a b -=?=0 a b a b - a 6 Ｂ． Ｃ． Ｄ． ６.已知 - 2 ≤ x < 3,-17 < y ≤ -11, 则 的取值范围是（ ） Ａ． -? 3 2 ? ? 3 ? ? 1 ? ?3,- ? Ｂ． - ,0 Ｃ． - ,0 Ｄ． - ,0 ? ??Ａ． a - c > b - d Ｂ． a 不等关系与基本不等式同步练习题（一） （时间：120 分钟 满分：150 分） A.基础卷 一、选择题（5×8=40 分） 1．函数 y = x + 1 ( x > 2) 的最小值为( x - 2 ) A. 2 B ． 3 C ． 4 D ． 3 2 2．不等式 x (1 - 3x) > 0 的解集是（ ） 1 1 1 1 A ． (-∞, ) B ． (-∞,0) (0, ) C ． ( ,+∞) D ． (0, ) 3 3 3 3 3．已知 a 、b ∈ R, 且 ab > 0 ，则下列不等式不正确的是( ) A ． a + b > a - b B ． a + b < a + b C ． 2 ab ≤ a + b D ． b a + ≥ 2 a b 4．已知无穷数列 { n }是各项均为正数的等差数列，则有（ ） Ａ． a 4 ≤ a 6 a a ５．已知 a < 0,-1 < b < 0 ，则 a, ab, ab 2 的大小关系是（ ） Ａ． a > ab > ab 2 Ｂ． ab 2 > ab > a Ｃ． ab > a > ab 2 Ｄ． ab > ab 2 > a x 2 y - 1 ? ? 4 9 ? ? 4 ? ? 2 ? ? 4 ? ７．若 ab + 1 a + b < 1, 则 a 与 b 中必（ ） Ａ．一个大于１，一个小于１ Ｂ．两个都大于１ Ｃ．两个都小于１ Ｄ．两个的积小于１ 8．已知 a > b , c > d , 则（ ） b > Ｃ． c - b > d - a Ｄ． ac > bd d c 《绝对值不等式的解法》教学设计 富源四中朱树平 课题：绝对值不等式的解法 科目数学教学对象学生课 时 1 提供者朱树平单位富源四中 一、教学目标 熟练掌握含一个或两个绝对值不等式的解法，会用函数的思想来解决不等式的相关问题．培养学生观察、分析、解决问题的能力 二、教学内容及模块整体分析 含一个或两个绝对值不等式的解法，零点分段法解绝对值不等式，函数思想的应用。 三、学情分析 学生基础差，少讲多练，以基础题为主。 四、教学策略选择与设计 讲练结合，多媒体展现。 五、教学重点及难点 熟练掌握含一个或两个绝对值不等式的解法，会用函数的思想来解决不等式的相关问题． 六、教学过程 教师活动学生活动设计意图 提问的方式总结前面学过的知识问题: 你能一眼看出下面两个不等式的解集吗? ⑴1 x< ⑵ 1 x> 让学生熟练掌 握 一般地，可得解集规律: 形如|x| x>a } 注：如果0 a≤，不等式的解集易得. 利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式. 解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式（组），根据式子的特点可用下列解法公式进行转化：⑴()()() f x a a f x a f x a (0) >>?><- 或； ⑵()() (0) f x a a a f x a <>?-<<； ⑶()()() f x g x f x g x f x g x ()()() >?><- 或； ⑷()() ()()() f x g x g x f x g x ?> ???? 更熟练的掌握 一般情况 试解不等式 |x-1|+|x+2|≥5 利用|x-1|=0，|x+2|=0的零点， 将数轴分为三个区间，然后在这 三个区间上将原不等式分别化为 不含绝对值符号的不等式求 解．体现了分类讨论的思想． {} 23 ≥≤ x x x- 或熟练掌握零点分段法在解不等式中的应用。 2 (2)|3|4 x x -< (3)|32|1 x-> 第一课时：不等式关系与不等式 知识点一 不等关系 思考 限速40km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km /h ，用不等式如何表示？ 答案 v ≤40. 梳理 试用不等式表示下列关系： (1)a 大于b a ＞b (2)a 小于ba b ?a －b >0；a ＝b ?a －b ＝0； a b ?b b ，b >c ?a >c (传递性)； 第三节.不等关系与基本不等式 基本不等式 (3)a >b ?a ＋c >b ＋c (可加性)； (4)a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac 3.1不等关系与不等式 [提出问题] 在日常生活中，我们经常看到下列标志： 问题1：你知道各图中的标志有何作用吗？其含义是什么？ 提示：①最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里； ②限制重量：装载总重量G不得超过10 t； ③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m； ④限制宽度：装载宽度a不得超过3 m； ⑤时间范围：t∈[7.5,10]． 问题2：你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？ 提示：①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10. [导入新知] 不等式的概念 我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”或“≤”连接两个数或两个代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． [化解疑难] 1．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的． 2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换 [提出问题] 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． 问题1：怎样判断两个实数a，b的大小？ 提示：若a－b是正数，则a＞b；若a－b是负数， 则a 不等关系与不等式 课题：不等关系与不等式（二） 课型：新授课 1．知识与技能 （1）使学生掌握常用不等式的基本性质； （2）会将一些基本性质结合起来应用. （3）学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系； 教学目标 2．过程与方法 以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等 式的有关基本性质研究不等关系； 3.情感、态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情 境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学 生学习方式，提高学习质量。 教学重点理解不等式的性质及其证明 教学难点利用不等式的基本性质证明不等式 批注教学过程： 一、复习提问 1．比较两实数大小的理论依据是什么？ 2．“作差法”比较两实数的大小的一般步骤. 3．初中我们学过的不等式的基本性质是什么? 基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的 方向不变. 基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 其数学含义： （1）若a＞b，则a＋c＞b＋c，a－c＞b－c； （2）若a ＞b ，c ＞0，则ac ＞bc ， c a ＞c b ；（3）若a ＞b ， c ＜0，则ac ＜bc ，c a ＜c b ..二、新授 常用的不等式的基本性质 （1）a b b a , （对称性） （2）c a c b b a >?>>, （传递性） （3）c b c a b a +>+?>, （可加性） （4）,0a b c ac bc >>?>；,0a b c ac bc >?>>>>0,0（同向不等式的可乘性） （6）n n n n b a b a n N n b a >>?>∈>>,1,,0 （可乘方性、可开方性）例1：已知0,0,a b c >><求证：c c a b >例2：如果30＜x ＜42，1６＜y ＜24，求x ＋y ，x －2y 及 y x 的取值范围.∵30＜x ＜42，1６＜y ＜24 ∴－4８＜－2y ＜－32， ∴30＋1６＜x ＋y ＜42＋24 即4６＜x ＋y ＜６６； ∴30－4８＜x －2y ＜42－32 即－1８＜x －2y ＜10； .8 2145,16 422430<<< 课题: §3.1.1不等式与不等关系(1) 授课类型：新授课 【教学目标】 1．通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质； 2．通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯． 【教学重点】 用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题．理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值． 【教学难点】 用不等式（组）正确表示出不等关系． 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系．如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等．人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系．在数学中，我们用不等式来表示不等关系． 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系． 2.讲授新课 1）用不等式表示不等关系 引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是：40v ≤ 引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5% 2.3%f p ≤?? ≥? 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤． 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提 高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5 (80.2)0.1 x x -- ? 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5 (80.2)200.1 x x -- ?≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍．怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？ 解：假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ； （2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负． 第七章不等式 知识点 最新考纲 不等关系与不等式了解不等关系，掌握不等式的基本性质. 一元二次不等式及其解法了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会解一元二次不等式. 二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题. 基本不等式 ab≤a＋b 2 (a，b＞0) 掌握基本不等式ab≤ a＋b 2 (a，b＞0)及其应用. 绝对值不等式 会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式． 了解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a ②a <0b >0，0不等关系与基本不等式同步练习题
人教a版必修5学案：3.1不等关系与不等式(含答案)
第10课--绝对值不等式(经典例题练习、附答案)
不等关系与不等式经典教案
人教a版数学必修5第三章不等式教学案
2019届一轮复习全国通用版 第69讲绝对值不等式 学案
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高中数学第三章不等式3.4基本不等式：√ab≤(a+b)2(二)学案新人教A版必修5
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不等关系与不等式导学案
不等关系与基本不等式同步练习题
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