2013年高考第二轮复习数学全国文科专题六解析几何第1讲直线与圆
专题六解析几何第1讲直线与圆
真题试做
1．(2012·安徽高考，文9)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()．
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
2．(2012·山东高考，文9)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()．A．内切B．相交C．外切D．相离
3．(2012·福建高考，文7)直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB 的长度等于()．
A．2 5 B．2 3 C． 3 D．1
4．(2012·北京高考，文9)直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为__________．
5．(2012·天津高考，文12)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为__________．
6．(2012·江苏高考，12)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k 的最大值是__________．
考向分析
直线与方程是解析几何的基础，高考中主要考查基本概念和求在不同条件下的直线方程；直线平行与垂直的关系的判定；两条直线的交点和距离问题等，一般以选择题、填空题的形式考查．对于圆的考查，主要是结合直线的方程用几何法或待定系数法确定圆的标准方程及一般方程；利用圆的性质求动点的轨迹方程；直线与圆，圆与圆的位置关系等问题，其中含参数问题为命题热点．一般以选择题、填空题的形式考查，难度不大，从能力要求看，主要考查函数与方程的思想，数形结合思想以及分析问题与解决问题的能力．
热点例析
热点一直线方程与两条直线的位置关系
【例1】经过点P(2，－3)作圆(x＋1)2＋y2＝25的弦AB，使点P为弦AB的中点，求弦AB 所在直线方程．
规律方法(1)求直线方程的方法
①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；
②待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一待定系数，再由题目中另一条件求出待定系数．
(2)两条直线平行与垂直的判定
①若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1；
②两条不重合的直线a1x＋b1y＋c1＝0和a2x＋b2y＋c2＝0平行的充要条件为a1b2－a2b1＝0且a1c2≠a2c1或b1c2≠b2c1；
③两条直线a1x＋b1y＋c1＝0和a2x＋b2y＋c2＝0垂直的充要条件为a1a2＋b1b2＝0.判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况．
(3)忽视对直线方程中的字母分类讨论而丢解或增解
直线方程的截距式x
a＋y
b＝1中，有ab≠0的限制，而截距可以取正数、负数和零，所以需
要对a，b分类讨论，否则容易造成丢解．如过点P(2，－1)，在x轴，y轴上的截距分别为a，b，且满足a＝3b的直线易漏掉过原点的情形．
变式训练1 (1)“a＝3”是“直线ax－2y－1＝0与直线6x－4y＋c＝0平行”的__________条件．()
A．充要B．充分而不必要
C．必要而不充分D．既不充分也不必要
(2)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为__________．
热点二圆的方程
【例2】(2011·课标全国高考，文20)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
规律方法圆的方程的求法
求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程一般采用待定系数法．
特别提醒：圆心到切线的距离等于半径，该结论在解题过程中经常用到，需牢记．
变式训练2 (1)已知圆C经过点A(1,3)，B(2,2)，并且直线m：3x－2y＝0平分圆的面积，则圆C的方程为__________．
(2)我们把圆心在一条直线上且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做“串圆”．在如图所示的“串圆”中，圆C1和圆C3的方程分别为x2＋y2=1和(x－3)2+(y－4)2=1，则圆C2的方程为_____________________.
热点三直线与圆的位置关系
【例3】如图所示，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程；
(3)BQ·BP是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．
规律方法(1)研究直线与圆的位置关系最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题．
(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长l
2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．
变式训练3 已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：(x－3)2＋(y＋6)2＝25.
(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；
(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程．
思想渗透
1．数形结合思想
解答与圆有关的范围问题时，经常以形助数，巧妙破解．
若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x2有公共点，则b的取值范围是()．
A．[－1,1＋22] B．[1－22，1＋22]
C．[1－22，3] D．[1－2，3]
解析：方程y＝x＋b表示斜率为1的平行直线系，曲线方程可化为(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)表示圆心为(2,3)，半径为2的下半圆．
如图所示，当直线y=x+b与半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线x－y＋b＝0的距离等于2，
即|1×2－1×3＋b|
2
＝2，解得b＝1－22或b＝1＋22(舍)．
当直线y＝x＋b过点(0,3)时，可得b＝3，由图可知满足题意的b的取值范围为1－22
≤b≤3.
答案：C
2．分类讨论思想
遇到字母时往往要对其进行讨论．
试判断方程x2＋y2＋4x＋2my＋8＝0表示的曲线类型．
解：将x2＋y2＋4x＋2my＋8＝0配方，得(x＋2)2＋(y＋m)2＝m2－4.
(1)当m2－4＞0，即m＜－2或m＞2时，原方程表示以(－2，－m)为圆心，m2－4为半径的圆；
(2)当m2－4＝0，即m＝±2时，原方程表示点(－2，－2)或(－2,2)；
(3)当m2－4＜0，即－2＜m＜2时，原方程不表示任何曲线．
1．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的()．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()．
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
3．(2012·安徽安庆二模，5)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，直线l：2x＋y＝0，则圆C 上的点到直线l的距离最大值为()．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．(2012·山东潍坊二模，14)若a，b，c是Rt△ABC的三边的长(c为斜边长)，则圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为__________．
5．(2012·吉林长春实验中学二模，14)圆心在直线x－2y－1＝0上，且经过原点和点(2,1)的圆的方程为__________．
6．(2012·湖北武昌5月模拟，13)在圆x2＋y2＝4上的点，与直线l：4x＋3y－12＝0的距离的最小值是__________．
7．已知直线l过点P(0,2)，斜率为k，圆Q：x2＋y2－12x＋32＝0.
(1)若直线l和圆相切，求直线l的方程；
(2)若直线l和圆交于A，B两个不同的点，问是否存在常数k，使得OA＋OB与PQ共线？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
命题调研·明晰考向
真题试做
1．C解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，
∴
|a－0＋1|
12＋(－1)2
≤2，即|a＋1|≤2，
解得－3≤a≤1.
2．B解析：圆O1：(x＋2)2＋y2＝4的圆心为(－2,0)，半径r1＝2，
圆O2：(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心为(2,1)，半径r2＝3，|O1O2|＝42＋12＝17，
因为r2－r1＜|O1O2|＜r1＋r2，
所以两圆相交．
3．B解析：由题意作出图象如下图，由图可知圆心到直线AB的距离d＝|－2|
1＋3
＝1，
故|AB|＝2|BC|＝222－12＝2 3.
4．22解析：由题意得，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，圆心到直线x－y
＝0的距离d＝2
2
＝ 2.
设截得的弦长为l ，则由????l 22＋(2)2＝22
，得l ＝2 2. 5．3 解析：∵l 与圆相交所得弦的长为2，∴
1m 2
＋n
2
＝4－1，
∴m 2＋n 2＝13≥2|mn |，∴|mn |≤16
.
l 与x 轴的交点为A ????1m ，0，与y 轴的交点为B ???
?0，1n ， ∴S △AOB ＝12·????1m ????1n ＝12·1|mn |≥1
2×6＝3.
6．4
3 解析：圆C 的方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，直线y ＝kx －2是过定点(0，－2)的动直线．圆心C 到直线y ＝kx －2的距离d ＝
|4k －2|k 2
＋1
，要使其满足已知条件，则需d ≤1＋1，
即
|4k －2|
k 2＋1
≤1＋1，解得0≤k ≤4
3
.
故k 的最大值为4
3
.
精要例析·聚焦热点 热点例析 【例1】解：设圆心为C ，则AB 垂直于CP . k CP ＝
－3－02－(－1)＝－1，故直线AB 的方程为y ＋3＝x －2，即x －y －5＝0.
【变式训练1】(1)C 解析：两条直线平行的充要条件是：a 6＝－2－4≠－1
c
，
即?????
a ＝3，
c ≠－2，
故“a ＝3”是“直线ax －2y －1＝0与直线6x －4y ＋c ＝0平行”的必要而不充分条件．
(2)x ＋y －3＝0 解析：设圆心坐标为(x 0,0)(x 0＞0)．
由于圆过点(1,0)，则半径r ＝|x 0－1|，圆心到直线l 的距离d ＝|x 0－1|2.
由弦长为22可知? ??
??|x 0－1|22
＝(x 0－1)2－2，
整理得(x 0－1)2＝4.
∴x 0－1＝±2，∴x 0＝3或x 0＝－1(舍去)．
因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线y ＝x －1垂直的直线方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.
【例2】解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．
故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2， 解得t ＝1.
则圆C 的半径为
32＋(t －1)2＝3.
所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：
?????
x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2
＝9.
消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0. 因此x 1,2＝(8－2a )±56－16a －4a 24，
从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋1
2.①
由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.
又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.
【变式训练2】(1)(x －2)2＋(y －3)2＝1 解析：由已知得，线段AB 的中点E ????
32，52， k AB ＝
3－21－2
＝－1，故线段AB 的中垂线方程为y －52＝x －3
2，
即x －y ＋1＝0.
因为圆C 经过A ，B 两点，故圆心在线段AB 的中垂线上． 又因为直线m ：3x －2y ＝0平分圆的面积，所以直线m 经过圆心．
由????? x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0，解得?????
x ＝2，
y ＝3，
即圆心C (2,3)． 而圆的半径r ＝|CB |＝
(2－2)2＋(2－3)2＝1，
所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.
(2)????x －322＋(y －2)2＝9
4 解析：易求出C 1(0,0)，半径r 1＝1， 圆心C 3(3,4)，半径r 3＝1.
设圆C 2
的圆心坐标为C 2
(a ，b )，半径为r 2
，据题意得????
?
kC 1
C 2
＝kC 2C 3，
|C 1
C 2
|＝|C 2
C 3
|，
r 1
＋2r 2
＋r 3
＝5，
即可解出???
a ＝32
，b ＝2，
r 2
＝32，
故圆C 2的方程为????x －322＋(y －2)2＝94
. 【例3】解：(1)设圆A 的半径为R .
∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|
5＝2 5.
∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.
(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＝0. 连接AQ ，则AQ ⊥MN . ∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1.
由|AQ |＝
|k －2|
k 2＋1
＝1，得k ＝3
4
，
∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0，
∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. (3)∵AQ ⊥BP ，∴AQ ·BP ＝0， ∴BQ ·BP ＝(BA ＋AQ )·BP ＝BA ·BP ＋AQ ·BP ＝BA ·BP . 当直线l 与x 轴垂直时，得P ????－2，－5
2， 则BP ＝?
???0，－5
2. 又BA ＝(1,2)，∴BQ ·BP ＝BA ·BP ＝－5.
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．
由?
????
y ＝k (x ＋2)，
x ＋2y ＋7＝0， 解得P ? ????－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k ，∴BP ＝? ??
??
－51＋2k ，－5k 1＋2k ， ∴BQ ·BP ＝BA ·BP ＝
－5
1＋2k －10k
1＋2k ＝－5. 综上所述，BQ ·BP 是定值，且BQ ·BP ＝－5.
【变式训练3】(方法一)(1)证明：设圆心C 到直线l 的距离为d ，则有d ＝|6m ＋6－8m －3|4m 2
＋1，
整理可得4(d 2－1)m 2＋12m ＋d 2－9＝0，① 为使上面关于m 的方程有实数解，
则Δ＝122－16(d 2－1)(d 2－9)≥0，解得0≤d ≤10. 可得d ＜5，故不论m 为何实数，直线l 与圆C 总相交． (2)解：由(1)可知0≤d ≤10，即d 的最大值为10.
根据平面几何知识可知：当圆心到直线l 的距离最大时，直线l 被圆C 截得的线段长度最短．
∴当d ＝10时，线段(即弦)的最短长度为
2
52－(10)2＝215.
将d ＝10代入①可得m ＝－1
6，代入直线l 的方程得直线被圆C 截得最短线段时l 的方程
为x ＋3y ＋5＝0.
(方法二)(1)证明：将直线l 的方程变形有：m (2x －8)－y －3＝0，
解????? 2x －8＝0，－y －3＝0，得?????
x ＝4，y ＝－3，
知直线l 过定点A (4，－3)． 又∵(4－3)2＋(－3＋6)2＜25，∴A 点在圆C 内部， 因此直线l 与圆C 总相交． (2)解：同方法一． 创新模拟·预测演练
1．A 解析：直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切?圆心(a ，b )到直线y ＝x ＋2的距离d ＝r ，即|a －b ＋2|2
＝2，|a －b ＋2|＝2.解得a －b ＝0或a －b ＝－4，故选A.
2．B 解析：由圆心在直线x ＋y ＝0上，不妨设为C (a ，－a )， ∴r ＝|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|2，
解得a ＝1，r ＝2，
∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.
3．C 解析：可利用数形结合法进行分析解决．
4．2 3 5．????x －652＋????y －1102＝29
20 解析：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题设可得????
?
a 2
＋b 2
＝r 2
，
a －2
b －1＝0，
(a －2)2
＋(b －1)2
＝r 2
，
解此方程组，得?????
a ＝65
，b ＝1
10，
r 2
＝2920，
所以所求圆的方程为????x －652＋????y －1102＝2920
. 6．2
5 解析：圆的半径是2，圆心(0,0)到l ：4x ＋3y －12＝0的距离d ＝|12|42＋3
2
＝12
5，所以圆x 2＋y 2＝4上的点与直线l ：4x ＋3y －12＝0的距离的最小值是125－2＝2
5
.
7．解：(1)将圆的方程化简，得(x －6)2＋y 2＝4. 圆心Q (6,0)，半径r ＝2. 直线l 的方程为：y ＝kx ＋2，
故圆心到直线l 的距离d ＝|6k －0＋2|1＋k 2＝|6k ＋2|
1＋k
2，
因为直线l 和圆相切，故d ＝r ，即|6k ＋2|1＋k
2
＝2，
解得k ＝0或k ＝－3
4
，
所以，直线l 的方程为y ＝2或3x ＋4y －8＝0.
(2)将直线l 的方程和圆的方程联立得?????
y ＝kx ＋2，
(x －6)2＋y 2
＝4，
消去y 得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0，
因为直线l 和圆相交，故Δ＝[4(k －3)]2－4×36×(1＋k 2)＞0，
解得－3
4
＜k ＜0.
设A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)，则有???
x 1＋x 2＝－4(k －3)
1＋k 2
，
x 1x 2
＝
36
1＋k 2
，
而y 1＋y 2＝kx 1＋2＋kx 2＋2＝k (x 1＋x 2)＋4，
OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，PQ ＝(6，－2)．
因为OA ＋OB 与PQ 共线， 所以－2×(x 1＋x 2)＝6×(y 1＋y 2)， 即(1＋3k )(x 1＋x 2)＋12＝0，
代入得(1＋3k )????
??－4(k －3)1＋k 2＋12＝0，解得k ＝－3
4. 又因为－3
4＜k ＜0，所以没有符合条件的常数k .
高三文科数学二轮复习策略
高三文科数学二轮复习策略 抓《考试说明》与信息研究 第二轮复习中，不可能再面面俱到。要在复习中做到既有针对性又避免做无用功，既减轻学生负担，又提高复习效率，就必须认真研究《考试说明》，吃透精神实质，抓住考试内容和能力要求，同时还应关注近三年的高考试题以及对试题的评价报告，捕捉高考信息，吸收新课程的新思想、新理念，从而转化为课堂教学的具体内容，使复习有的放矢，事半功倍。 突出对课本基础知识的再挖掘 近几年高考数学试题坚持新题不难，难题不怪的命题方向。强调对通性通法的考查，并且一些高考试题能在课本中找到“原型”。尽管剩下的复习时间不多，但仍要注意回归课本，只有透彻理解课本例题，习题所涵盖的数学知识和解题方法，才能以不变应万变。当然回归课本不是死记硬背，而是抓纲悟本，引导学生对着课本目录回忆和梳理知识，对典型问题进行引申，推广发挥其应有的作用。 抓好专题复习，领会数学思想 高考数学第二轮复习重在知识和方法专题的复习。在知识专题复习中可以进一步巩固第一轮复习的成果，加强各知识板块的综合。尤其注意知识的交叉点和结合点，进行必要的针对性专题复习。例如: 1.函数与导数。此专题函数和导数、应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。 2.三角函数、平面向量和解三角形。此专题中平面向量和三角函数的图像与性质，恒等变换是重点。 3.数列。此专题中数列是重点，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。 4.立体几何。此专题注重点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是重点。 5.解析几何。此专题中解析几何是重点，以基本性质、基本运算为目标。突出直线和圆、圆锥曲线的交点、弦长、轨迹等。 6.概率与统计、算法初步、复数。此专题中概率统计是重点，以摸球、射击问题为背景理解概率问题。 7.不等式、推理与证明。此专题中不等式是重点，注重不等式与其他知识的整合。 专题复习对备课的要求很高，通过对例习题的精选、精讲、精练，力求归纳出知识模块形成体系，同时也要能提炼出数学思想层次的东西。
高考文科数学专题复习导数训练题(文)
考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析： ()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为 21=k ，所以()211'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()251= f ， 所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线 32 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析： 443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-， 带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ： x x x y 232 3+-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析： 直线过原点，则 ()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02 0300 23x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2 +-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为 ()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 2632302 002 0+-=+-x x x x ， 整理得：03200=-x x ，解得： 2 30= x 或00=x （舍），此时， 830-=y ，41-=k 。所以，直线l 的方程为x y 41 -=，切点坐标是??? ??-83,23。 考点四：函数的单调性。 例5.已知 ()132 3+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值围。 解析：函数()x f 的导数为 ()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0'
(完整)高考文科数学导数专题复习
高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0
(完整版)高三文科数学数列专题.doc
高三文科数学数列专题 高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1. 等差数列{ a n}的前n项和记为S n，已知a1030, a2050 . （ 1）求通项a n； （ 2）若S n242 ，求 n ； （ 3）若b n a n20 ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n的最小值. 2. 等差数列{ a n}中，S n为前n项和，已知S77, S1575 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）若b n S n，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n. n 3. 已知数列{ a n}满足a1 1 a n 1 ( n 1) ，记 b n 1 ， a n . 1 2a n 1 a n （1）求证 : 数列{ b n}为等差数列； （2）求数列{ a n}的通项公式 . 4. 在数列a n 中， a n 0 ， a1 1 ，且当 n 2 时，a n 2S n S n 1 0 . 2 （ 1）求证数列1 为等差数列；S n （ 2）求数列a n的通项 a n； （ 3）当n 2时，设b n n 1 a n，求证： 1 2 (b2 b3 b n ) 1 . n 2(n 1) n 1 n 5. 等差数列{ a n}中，a18, a4 2 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设S n| a1 | | a2 || a n |，求 S n；
1 (n N *) ， T n b1 b2 b n (n N *) ，是否存在最大的整数m 使得对任（ 3）设b n n(12 a n ) 意 n N * ，均有T n m m 的值，若不存在，请说明理由. 成立，若存在，求出 32 6. 已知数列{log2(a n1)} 为等差数列，且a13, a39 . （ 1）求{ a n}的通项公式； （ 2）证明： 1 1 ... 1 1. a2 a1 a3 a2 a n 1 a n 7. 数列{ a n}满足a129, a n a n 12n 1(n 2, n N * ) . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设b n a n，则 n 为何值时， { b n } 的项取得最小值，最小值为多少？n 8. 已知等差数列{ a n}的公差d大于0 , 且a2,a5是方程x2 12 x 27 0 的两根,数列 { b n } 的前 n 项和 为 T n,且 T n 1 1 b n. 2 （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式； （ 2）记c n a n b n，求证:对一切 n N 2 , 有c n. 3 9. 数列{ a n}的前n项和S n满足S n2a n 3n . （1）求数列{ a n}的通项公式a n； （2）数列{ a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 . 10. 已知数列{ a n}的前n项和为S n，设a n是S n与 2 的等差中项，数列{ b n} 中， b1 1，点 P(b n , b n 1 ) 在 直线 y x 2 上. （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式
高考文科数学二轮复习必考点统计与概率十六
考点过关检测（十六） 1．(2019·东北三省联考)树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示． (1)求a的值； (2)求这200人年龄的平均数( 同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)； (3)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率． 解：(1)由10×(0.010＋0.015＋a＋0.030＋0.010)＝1，得a＝0.035. (2)平均数为20×0.1＋30×0.15＋40×0.35＋50×0.3＋60×0.1＝41.5(岁)； 设中位数为x，则10×0.010＋10×0.015＋(x－35)×0.035＝0.5， 解得x≈42.1. (3)200人中第1,2组的人数分别为20,30，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2,3，分别记为a1，a2，b1，b2，b3. 从5人中随机抽取3人，有(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)，共10个基本事件， 其中第2组恰好抽到2人，包含(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，共6个基本事件．
文科艺术生高考数学复习试题
精心整理 文科艺术生高考复习数学试题内容：集合与简易逻辑、函数、复数、统计与概率、立体几何（平行）、程序框图 1.已知全集R U =，集合{}{}3|,5,4,3,2,1≥∈==x R x B A ，右图中阴影部分所表示的集合为（） A.{}1 B.{}2,1 C.{}32,1， D.{}21,0， 2.命题“∈?x R,0123=+-x x ”的否定是（） A ．∈?x R,0123≠+-x x B ．不存在∈x R,0123≠+-x x C ．∈?x R,0123=+-x x D ．∈?x R,0123≠+-x x 3．已知函数()1,0,, 0.x x x f x a x -≤?=?>?若()()11f f =-，则实数a 的值等于（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．已知ni i m -=+11，其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=+ni m （） A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +2 D ．i -2 5．已知,a b R ∈，命题“若1a b +=，则2212 a b +≥”的否命题是（） A ．若2211,2a b a b +≠+<则B ．若2211,2 a b a b +=+<则 C ．若221,12a b a b +<+≠则D ．若221,12 a b a b +≥+=则 6．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是（） （A ）10（B ）11（C ）12（D ）16 7.“x x 22-<0”是“40< 函 数 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数 x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出． ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是 大田职专11级1—5班数学专题复习 立体几何模块 1、如图，四边形ABCD 与''ABB A 都是边长为a 的正方形，点E 是A A '的中点，'A A ⊥平面ABCD .。（I ）计算：多面体A 'B 'BAC 的体积； （II ）求证：C A '//平面BDE ； (Ⅲ) 求证：平面AC A '⊥平面BDE ． 2、如图，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，ο45=∠ABC ，1DC =， 2=AB ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ． （Ⅰ）求证：//AB 平面PCD ； （Ⅱ）求证：⊥BC 平面PAC ； （Ⅲ）若M 是PC 的中点，求三棱锥M ACD -的体积． 3、如图，在三棱锥A —BCD 中，AB ⊥平面BCD ，它的正视图和俯视图都是直角三角形，图中尺寸单位为cm 。（I ）在正视图右边的网格内,按网格尺寸和画三视图的要求，画出三棱锥的侧（左）视图；（II ）证明：CD ⊥平面ABD ；（III ）按照图中给出的尺寸，求三棱锥A —BC D 的侧面积。 B ' ? D C A ' B A E M C A P 5、（11-3泉质） 6、如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=?，点M 是棱PC 的中点，N 是棱PB 的中点，PA ⊥平面ABCD ，AC 、BD 交于点O 。 （1）求证：平面OMN//平面PAD ； （2）若DM 与平面PAC 所成角的正切值为2，求三棱锥 P —BCD 的体积。 8、 9、已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点． 求证：（Ⅰ）直线MF ∥平面ABCD ； （Ⅱ）平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1． A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M F 水寨中学2013届高三文科数学专题复习-选择填空题 选择题的解法： 解选择题的主要方法有： 1.直接法 2.图解法 3.排除法 4.特殊值法 5.推理分析法 6.验证法. 一、直接法 直接法就是通过推理或演算，直接从选择支中选取正确答案的方法。 例1：曲线311y x =+在点P （1,12）处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ） A.-9 B.-3 C.9 D.15 二、图解法 据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出 正确判断的方法叫图解法或数形结合法 图解法体现了数形结合的思想。它是将函数、方程、不等式，甚至某些“式 子”以图形表示后,再设法解决的基本方法。其思维形象直观、生动活泼。 图解法，不但要求我们能建立起由“数”到“形”的联想，同时还必须自觉 地将“形”转化到“数”。 例2：函数2ln 2(0)()21(0)x x x x f x x x ?-+>=?+≤? 的零点的个数（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 三、排除法：也称筛选法(或淘汰法)，结合估算、特例、逻辑分析等手段否定三 个选项，从而得到正确的选项． 例3：过抛物线y 2＝4x 的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P 和Q ，那么线段 PQ 中点的轨迹方程是______。 A. y 2＝2x －1 B. y 2＝2x －2 C. y 2＝－2x ＋1 D. y 2＝－2x ＋2 ()()22 013()A 10 B 01 C 1 D 33 6b a x x b ax a a a a <<+->-<<<<<<<<例4：设，若关于的不等式的解集中的整数恰有个，则 ．．．． 四、特殊化法 用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各 个选项进行检验，从而作出正确判断,常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊 函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。 欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数 2020高考文科数学各类大题专题汇总 一、三角函数 二、数列 三、立体几何 四、概率与统计 五、函数与导数 六、解析几何 七、选做题 大题专项练(一)三角函数 A组基础通关 1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且c cos B+(b-2a)cos C=0. (1)求角C的大小; (2)若c=2,求△ABC的面积S的最大值. 因为c cos B+(b-2a)cos C=0, 所以sin C cos B+(sin B-2sin A)cos C=0, 所以sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos C, 所以sin(B+C)=2sin A cos C. 又因为A+B+C=π, 所以sin A=2sin A cos C. 又因为A∈(0,π),所以sin A≠0, 所以cos C=. 又C∈(0,π),所以C=. (2)由(1)知,C=, 所以c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab. 又c=2,所以4=a2+b2-ab. 又a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立, 所以ab≤4.所以△ABC面积的最大值(S△ABC)max=×4×sin. 2.如图,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M为AD上一点,AM=2MD=2,∠BMC=60°. (1)若∠AMB=60°,求BC; (2)设∠DCM=θ,若MB=4MC,求tan θ. 由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°. 在Rt△ABM中,MB=2AM=4;在Rt△CDM中,MC=2MD=2. 在△MBC中,由余弦定理,得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC=12,BC=2. (2)因为∠DCM=θ, 所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°. 在Rt△MCD中,MC=; , 在Rt△MAB中,MB= °- 由MB=4MC,得2sin(60°-θ)=sin θ, 所以cos θ-sin θ=sin θ, 即2sin θ=cos θ, 整理可得tan θ=. 专题1：集合 【考试要求】 1、集合的含义与表示 （1）了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系。 （2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法和描述法）描述不同的具体集合。 2、集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义。 3、集合的基本运算 （1）理解两个集合并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集。 （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。 （3）能用Venn 图表达集合的关系及运算。 【知识要点】 1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：、、。 （2）集合中元素与集合的关系： 2、集合间的基本关系： 思考：a {}a ；?{0}；?{}? 感悟：正确理解集合的含义，正确使用集合的基本符号。 3、集合的基本运算 是任何非空集A ??，?B(B ≠?) 4、常用的结论 （1）)()()(B C A C B A C U U ?=?B)(C )()(U ?=?A C B A C U （2）A B A B ??= ；A B A B ??= 【考点精练】 考点一：集合的有关概念 1、已知集合2{2013,10122013,2012}A a a a =+-+，且2013A ∈，求实数a 的取值集合。 变式：已知集合{,,1}b a a 与集合2{,,0}a a b +相等，求20132013a b +的值。 2、用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则由：17A ；5-A ；17B 。 3、设集合{1,1,3}A =-，2{2,4}B a a =++，则{3}A B = 时，实数a 的值为。 考点二：集合间的基本关系 1、设全集为R ，集合{|21}M x y x ==+，2 {|}N y y x ==-，则（ ） A 、M N ? B 、N M ? C 、M N = D 、{(1,1)}M N =-- 2、设集合{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，则满足()C A B ? 的集合C 的个数是（ ）A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3、若x A ∈，则 1A x ∈，就称A 是伙伴关系的集合，集合11 {1,0,,,1,2,3}32 M =-的所有非空子集中具有伙伴关系的集合各数是。 4、设2 {|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-= （1）若1 5 a =，试判定集合A 与B 的关系；（2）若B A ?，求实数a 组成的集合C 。 专题1 函数与导数 一、函数 1.函数的三要素是什么? 定义域、值域和对应关系是函数的三要素,是一个整体,研究函数问题时必须“定义域优先”. 2.求函数的定义域应注意什么? 求函数的定义域时,若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,只需构建并解不等式(组).在实际问题中,除要考虑解析式有意义外,还要使实际问题有意义.已知f (x )的定义域是[a ,b ],求 f ( g (x ))的定义域,是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围,而已知f (g (x ))的定义域是[a ,b ],指的是x ∈[a ,b ]. 3.判断函数的单调性有哪些方法? 单调性是函数在其定义域上的局部性质.常见判定方法:①定义法,取值、作差、变形、定号,其中变形是关键,常用的方法有通分、配方、因式分解;②图象法;③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则;④导数法. 4.函数的奇偶性有什么特征? 奇偶性的特征及常用结论:①若f (x )是奇函数,0在其定义域内,则f (0)=0.②f (x )是偶函数?f (x )的图象关于y 轴对称;f (x )是奇函数?f (x )的图象关于原点对称.③奇函数在对称(关于原点对称)的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称(关于原点对称)的单调区间内有相反的单调性.④若f (x+a )为奇函数,则f (x )的图象关于点(a ,0)对称;若f (x+a )为偶函数,则f (x )的图象关于直线x=a 对称. 5.指数函数、对数函数的图象与性质有哪些? 指数函数与对数函数的图象和性质: 指数函数y=a x 对数函数y=log a x 图象 性质 当0 高三文科数学导数专题复习 1.已知函数)(,3 ,sin )(x f x x b ax x f 时当π =+=取得极小值 33 -π . （Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件： （1）直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点； （2）对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”. 试证明：直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”. 2. 设函数3 221()231,0 1.3 f x x ax a x a =- +-+<< （1）求函数)(x f 的极大值； （2）若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围． 3.如图所示，A 、B 为函数)11(32 ≤≤-=x x y 图象上两点，且AB//x 轴，点M （1，m ）（m>3）是△ABC 边AC 的中点. （1）设点B 的横坐标为t ，△ABC 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式)(t f S =； （2）求函数)(t f S =的最大值，并求出相应的点C 的坐标. 4. 已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数. （I ）求)(x f 、)(x g 的表达式； （II ）求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； (III ）当1->b 时,若21 2)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围 5. 已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2x =处有极值，曲线()y f x =在1x =处的切线平行于直线32y x =--，试求函数()f x 的极大值与极小值的差。 6.函数x a x x f - =2)(的定义域为]1,0(（a 为实数）. （1）当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域； （2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围； （3）求函数)(x f y =在∈x ]1,0(上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值. 7.设x=0是函数2()()()x f x x ax b e x R =++∈的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设]2,2[,,)1()(,0212 2-∈++-=>+ξξ问是否存在x e a a x g a ，使得|1|)()(21≤-ξξg f 成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由. 8. 设函数()2ln q f x px x x =- -，且()2p f e qe e =--，其中e 是自然对数的底数. （1）求p 与q 的关系； 2020高考数学（文科）二轮复习综合模拟卷（四） 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A={x|ln x＜1}，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B=（） A. （0，e） B. （-1，2） C. （-1，e） D. （0，2） 2.已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=（） A. B. C. 2 D. 3.如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听 力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位 数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x，y的值分别 为（） A. 7，8 B. 5，7 C. 8，5 D. 8，7 4.设不等式组，确定的平面区域为D，在D中任取一点P（x，y）满足x ＋y≥2概率是（） A. B. C. D. 5.已知cosα=，则sin（）=（） A. B. C. D. 6.已知直线l在y轴上的截距为2，且与双曲线的渐近线平行，则直线l的 方程是（） A. B. 或 C. 或 D. 7.函数在的图象大致为( ) A. B. C. D. 8.函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，若其图象向左平 移个单位长度后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（） A. 关于点（，0）对称 B. 关于点（，0）对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 9.已知函数f(x)＝2sin x -ax+1的图象在点(0，1)处的切线方程为y＝x+1，则a＝（） A. 0 B. 1 C. -1 D. -2 10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，O为底面矩形ABCD两条对角线的交 点，若异面直线A1O与BC所成的角为60°，则长方体ABCD-A1B1C1D1的体积 为（） A. B. C. D. 11.已知边长为2的等边△ABC中，向量，满足，，则下列式子错误 的是（） A. B. C. D. 12.已知三角形ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍， 则最小内角的余弦值为（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.函数f（x）=的定义域为______． 14.已知是等差数列，是其前项和，若，，则的值是________． 15.若存在两个正实数x、y，使得等式x+m（y-2ex）（ln x-ln y）=0成立，其中e为自 然对数的底数，则实数m的取值范围是______． 16.已知O为原点，过点的直线与圆O：相交于A，B两点，若 的面积为2，则直线的方程为________． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分） 17.已知数列{a n}的前n项和为． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前n项和T n． 高考文科数学专题复习导数训练题（文) 一、考点回顾 1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主,主要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义。 2.导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用。 ３.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大(小）值，而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最大(小）值。 二、经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是 。 解析： ()2'2+=x x f ,所以()3211'=+=-f 答案：3 点评:本题考查多项式的求导法则。 考点二:导数的几何意义。 例２. 已知函数()y f x =的图象在点(1 (1))M f ，处的切线方程是1 22y x = +,则 (1)(1)f f '+= 。 解析：因为 21= k ，所以()211'= f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25 ,所 以 ()25 1= f ,所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线 32 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析： 443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-， 带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为:025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3+-=，直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00 ≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析: 直线过原点，则 ()000 ≠= x x y k 。由点 () 00,y x 在曲线C 上,则 02 30023x x x y +-=，∴?2302 00 0+-=x x x y 。又263'2 +-=x x y ,∴ 在 ()00,y x 处 曲线C 的切线斜率为 ()263'02 00+-==x x x f k ,∴?2632302 002 0+-=+-x x x x ，整理 得:0 3200=-x x ,解得： 230= x 或00=x (舍），此时,830-=y ,41 - =k 。所以，直线l 的方程为 x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23。 答案：直线l 的方程为 x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23 点评:本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围。 解析:函数()x f 的导数为 ()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0' 第2讲统计与统计案例 [做小题——激活思维]s 1．采用系统抽样的方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将800人随机编号为1,2，…，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，在抽到的40人中，编号落入区间[1,200]的人做试卷A，编号落入区间[201,560]的人做试卷B，其余的人做试卷C，则做试卷C的人数为() A．10B．12C．18D．28 [答案]B 2．某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人，现按分层抽样的方法从该校的所有教师中抽取56人进行某项调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师人数为() A．81 B．152 C．182 D．202 [答案]C 3．为了参加端午节龙舟赛，某龙舟队进行了6次测试，测得最 大速度(单位：m/s)的茎叶图如图所示，则6次测试的最大速度的平 均数为________m/s，方差为________． [答案]3347 3 4．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据，第i 次试验零件个数x i (单位：个)与加工零件所花费时间 y i (单位：小时)的数据资料，算得∑10i ＝1 x i ＝80，∑10i ＝1 y i ＝20，∑10i ＝1 x i y i ＝184，∑10i ＝1 x 2i ＝720，那么加工零件所花费时间y 对零件个数x 的线性回归方程为________． y ^ ＝0.3x －0.4 [由题意知 n ＝10，x ＝1n ∑n i ＝1 x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑n i ＝1 y i ＝20 10＝2， 又∑n i ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， ∑n i ＝1 x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24， 由此得b ^＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^ x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回归方程为y ^ ＝0.3x －0.4.] 5．在西非“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表： 感染与服用疫苗有关”． 0．05 [由题意算得， K 2 ＝100×(10×30－20×40)250×50×30×70 ≈4.762＞3.841，高考文科数学函数专题讲解及高考真题精选含答案
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