代几综合题之函数与四边形

代几综合题之函数与四边形

朱贵华 函数与四边形结合的主要题型有以下四种情况：

一、坐标系中求四边形的面积的题型

二、坐标系中给出相应点判断四边形形状题型 三、坐标系中在四边形存在性题型

四、坐标系中在特殊四边形的框架下的动点，平移，甚至翻折 I 、坐标系中求四边形的面积的题型

在坐标系中求一般四边形面积的办法主要有补形法和分割法，我们之前单独给一个四边形补形的时候经常是补成一个长方形，然后再去减掉周围的三角形或梯形面积，但是在这种综合题中，如果用这种办法，会使得图形更加复杂难做，因此我们更多的是利用图形中已有的大块图形面积去减掉多余部分的图形面积，最终得到答案，而分割法的使用最好是在有一条边在坐标轴或者平行坐标轴的情况下使用。对于平行四边形与矩形，在有一条边在坐标轴或者平行坐标轴的时候使用底×高，没有的情况下可以先求他的一半（即一个三角形的面积）再×2，对于菱形与正方形还可用对角线乘积除以2的办法解决，对于梯形的话基本上就是（上底+下底）×高÷2的办法。

例1．(2013年石景山一模)如图，把两个全等的Rt △AOB 和Rt △ECD 分别置于平面直角坐标系xOy 中，使点E 与点B 重合，直角边OB 、BC 在y 轴上．已知点D (4，2)，过A 、D 两点的直线交y 轴于点F ．若△

ECD 沿DA 方向以每秒2个单位长度的速度匀速平移，设平移的时间为t （秒），记△ECD 在平移过程中某

时刻为△'''E C D ， ''E D 与AB 交于点M ，与y 轴交于点N ， ''C D 与AB 交于点Q ，与y 轴交于点P (注：平移过程中，点'D 始终在线段DA 上，且不与点A 重合). （1）求直线AD 的函数解析式；

（2）试探究在△ECD 平移过程中，四边形MNPQ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及t 的

取值；若不存在，请说明理由；

分析：四边形MNPQ 不是一个特殊四边形，我们发现NQ 在 坐标轴上，我们可以考虑用分割法，但是再仔细想想，用分割 法的话得求出M 、N 、Q 、P 四点坐标，显得有点麻烦，所以应 该考虑大面积减小面积的办法，我们发现所求四边形既在△OAB 中，也在△E ’C ’D ’中，如果找△OAB 差不多也得求那么多点的 坐标，也挺麻烦，而在△E ’C ’D ’，容易发现△MPD ’∽△EJD ， 相似比等于

JD PD ',而JD PD '=AD AD '=2

2222t -=1-21

t ，而且梯形E ’C ’QN 中，

高C ’Q=C ’D ’-QD ’，NQ=21QD ’，而QD ’=2

2

FD ’，FD ’=t 224-，所以QD ’=4-t ， C ’Q=t ，NQ=2-

21t 。易求的S △EJD =3，S △MPD ’=3×（1-21t ）2

，S 梯形E ’C ’QN =21×（4-2

1t ）t 所以S=4-S △MPD -S 梯形E ’C ’QN -,剩下的问题就迎刃而解了。

例2．如图①，已知抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋3（a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交

于点C ．

（1）求抛物线的解析式；

O

D A

y C

x

B (E ) F J E ’

C ’

D ’

N M Q P

（2）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

E

分析：这题乍一看，我们可能会直接过E点作x轴的垂涎，将四边形分成一个梯形和一个直角三角形去求，但是那样会产生问题，求面积的时候会出现xy的情况，继而转变成x的立方，这个我们是没有求过的，但是我们通过分析，连接BC后，四边形分成了△BOC和△EBC，而△BOC的面积是固定的，所以△EBC面积最大的时候，四边形EBOC的面积就是最大，而求△EBC最大面积可以根据我们之前学三角形求面积的办法解决。

例3．如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD＝2，AB＝3．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度

．．．．．从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．

设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若

不存在，请说明理由．

分析：这道题的四边形PNCD显然是个梯形，底CD不变，高BC也不变，变的只是PN的长度，而易知P 的坐标为(t,t),N的坐标为(t,-t2+4t),而且在(0≤t≤3)的范围内N总是在P的上方，所以NP=-t2+3t，面积也就很容易求了。

例4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，－2），直线x ＝m（m＞2）与x轴交于点D．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在直线x＝m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出

m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．

分析：像本题求平行四边形的面积就可以直接用底乘高的办法解决。

例5．如图，对称轴为直线

7

2

x 的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

分析：本题求平行四边形OEAF的面积的办法就可以先求△OEA的面积，再×2

练习1．如图，已知抛物线y＝a(x－1)2＋3

3(a≠0)经过点A(－2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．

练习2．已知：t 1，t 2是方程t 2

＋2t －24＝0，的两个实数根，且t 1＜t 2，抛物线 y ＝3

2x 2

＋bx ＋c 的图象经过点A （t 1，0），B （0，t 2）．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设点P （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ 是以OA 为对角线的平行四边形，求□OPAQ 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

II 、坐标系中给出相应点判断四边形形状题型

在代几综合题中判断四边形形状，在初中来说，主要判断是不是平行四边形、矩形、菱形和正方形，判断梯形的情况非常的少。而我们知道平行四边形有5个判定，矩形和菱形各有3个判定，判断正方形的办法则是先判断矩形再判断为菱形或者先判断菱形再判断矩形；但是在坐标系中，比较少见的是给角，所以在判断平行四边形的几乎不用对角相等来证明，而矩形、菱形和正方形的判定几乎都是先判定为平行四边形后再加特殊条件得到，因此我们在做这种题的时候思维也该有个先后顺序。

例6．如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数y=

2

4

1x 在第一象限内的图象上的任一点，点A 的坐标为(0,1)，直线l 过B(0,-1)且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于C,Q ，连结AQ 交x 轴于H ，直线PH 交y 轴于R ．

（1）求证：H 点为线段AQ 的中点；

（2）求证：①四边形APQR 为平行四边形；②平行四边形APQR 为菱形；

分析：①判断四边形APQR 为平行四边形，根据题意我们很容易知道AR ∥PQ ，如果能证到AR=PQ ，则很容易证明出四边形APQR 为平行四边形，根据第一问得到的结论AH=AQ ，再联系AR 与PQ ，我们很容易就锁定△AHR 与△QHP ，显而易见，平行加对顶角这两个三角形的三组对应角都相等，又有AH=HQ ，所以△AHR ≌△QHP ，所以AR=PQ ，所以四边形APQR 为平行四边形。

②由①已经得到平行四边形APQR ，因此我们只要再得到一组邻边相等或者对角线互相垂直就可以了，由于P 不是固定点，只能假设P （m,

241m ）,那么PQ=241m +1，AP=22)14

1

(-+m m =241m +1，所以AP=PQ ，所以平行四边形APQR 是菱形。

这一问，我们还可以通过证明PR ⊥AQ 的办法证，其实从第一问的证明中，我们证到△AOH ≌QCH ，所以OH=CH=

m 21，OR=PC=241m ，Rt △AOH 与Rt △HOR ，有m OA OH OH OR 2

1==，所以 Rt △AOH ≌Rt △HOR ，所以∠OHR=∠OAH ，所以∠AHR=∠OAH+∠OHA=90°，从而平行四边形APQR 是菱形。

例7．如图，Rt △ABC 的顶点坐标分别为A （0，3），B （－2

1

，23），C （1，0），∠ABC ＝90°，BC 与y 轴的交点为D ，D 点坐标为（0，

3

3

），以点D 为顶点、y 轴为对称轴的抛物线过点B ． （1）求该抛物线的解析式；

（2）将△ABC 沿AC 折叠后得到点B 的对应点B ′，求证：四边形AOCB ′是矩形.

分析：由于已经知道了∠AOC=90°，所以只需证明四边形AOCB ’为平行四边形即可，易算的AB ’=AB=1=OC,B ’C=BC=3=OA,所以四边形AOCB ’为平行四边形，所以四边形AOCB ′是矩形.

例8．如图1，平移抛物线F 1：y ＝x 2

后得到抛物线F 2．已知抛物线F 2经过抛物线F 1的顶点M 和点A （2，0），且对称轴与抛物线F 1交于点B ，设抛物线F 2的顶点为N ． （1）探究四边形ABMN 的形状及面积（直接写出结论）；

（2）若将已知条件中的“抛物线F 1：y ＝x 2”改为“抛物线F 1：y ＝ax 2

”（如图2），“点A （2，0）”改为“点A （m ，0）”，其它条件不变，探究四边形ABMN 的形状及其面积，并说明理由；

（3）若将已知条件中的“抛物线F 1：y ＝x 2”改为“抛物线F 1：y ＝ax 2

＋c ”（如图3），“点A （2，0）”改为“点A （m ，c ）”其它条件不变，求直线AB 与y 轴的交点C 的坐标（直接写出结论）．

分析：本题判断四边形ABMN 为正方形的办法，先得到PA=PM,PB=PN ，再有NB=MA,MA ⊥BN 所以四边形ABMN 为正方形。

练习3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2825y x bx c =

++经过点A （3

2

，0）和点B （1，22），与x 轴的另一个交点为C ，

（1）求抛物线的表达式；

（2）点D 在对称轴的右侧，x 轴上方的抛物线上，且BDA DAC ∠=∠，求点D 的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD ，交抛物线对称轴于点E ，连接AE ①判断四边形OAEB 的形状，并说明理由；

②点F 是OB 的中点，点M 是直线BD 上的一个动点，且点M 与点B 不重合，当1

3

BMF MFO ∠=

∠，

请直接

．．写出线段BM的长

III、坐标系中四边形存在性的题型

这种题型的问题经常是在某函数图像上是否存在某一点P，使得含P点的一个四边形是平行四边形、矩形、菱形或者正方形，也有可能是特殊的梯形，这种题型的思路应该是先找出所有这样的P点，使他满足含P点的四边形是你所需要的四边形，然后再利用这些点在指定的函数图像上确定要找的P点。对于平行四边形一般利用对角线来解决问题，矩形、菱形和正方形的话一般是先找出满足是平行四边形的P点，再从这些点中找出满足更特殊平行四边形条件的点，比如矩形再加对角线相等，菱形加邻边相等等。

例9．如图1，已知抛物线y＝ax2－2ax－3与x轴交于A、B两点，其顶点为C，过点A的直线交抛物线于另一点D(2，－3)，且tan∠BAD＝1．

（1）求抛物线的解析式；（2）连结CD，求证：AD⊥CD；

（3）点Q是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，F，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：这道题要得到的是以A 、D 、F 、Q 为顶点的四边形是平行四边形（注意：这里不是说四边形ADFQ 为平行四边形），解决办法是先找到所有这样的Q 点，使得A 、D 、F 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，然后再Q 点在抛物线上的特点确定真正要找的Q 点。找这样的Q 点，先得把四个点坐标写出来：A （-1,0），D （2，-3），Q （x,y ）,F(m,0),再利用平行四边形对角线互相平分的特点，及

2

24

321x x x x +=+与2

24

321y y y y +=+,继而推到x 1+x 2=x 3+x 4与y 1+y 2=y 3+y 4，列出关系式，当然，这里需要分类讨论。 （1）AD ，QF 为对角线，那么AD 与QF 的中点是同一点。 -1+2=x+m x=1-m 0+(-3)=y+0 y=-3

再利用Q （x,-3）在抛物线上得到x=0或x=-2(舍)，所以Q(0,-3),那么F(1，0) （2）AQ ，DF 为对角线，那么AQ 与DF 的中点是同一点。

-1+x=2+m x=m+3 0+y=-3+0 y=-3

再利用Q （x,-3）在抛物线上得到x=0或x=-2(舍)，所以Q(0,-3),那么F(-3，0) （3）AF ，DQ 为对角线，那么AF 与DQ 的中点是同一点。

-1+m=2+x x=m-3 0+0=-3+y y=3

再利用Q （x,3）在抛物线上得到x=1±7，所以Q(1±7,3),那么F(4±7，0) 例10．如图，抛物线2517

144

y x x =-+

+与y 轴交于点A ，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C （3，0）. （1）求直线AB 的函数关系式；

（2）动点P 在线段OC 上，从原点O 出发以每钞一个单位的速度向C 移动，过点P 作⊥x 轴，交直线AB 于点M ，抛物线于点N ，设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t

的取值范围；

（3）设（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 的值，平行四边形BCMN 是否为菱形？说明理由.

分析：本题第三问问t 为何值是，四边形BCMN 为平行四边形，再判断是否为菱形，根据题意，我们知道MN 平行BC ，只需MN=BC 即可得到四边形BCMN 为平行四边形，再根据此时的t 求出MC ，比较MC 与BC 是否相等及可判断出此时的t 是否是四边形BCMN 为菱形。

例10.如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。 (1)求抛物线的解析式；

(2)若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。

分析：本题要找出M 点，使得B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，根据已知的B 、C 、D 三点坐标我们发现CD ⊥BC 了，所以角C 肯定是一个直角顶点，再观察图像，只有

∠D 也为直角顶点，B 、C 、D 、M 为顶点的四边形才有可能是直角梯形，那么DM ∥BC ，根据平行k 相等，再过D 点，求出DM 的直线解析式，最后再求DM 直线与抛物线的交点求出M 点坐标。

例11.已知，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝900，∠BOA ＝300

，AB ＝2。若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内。将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处。

（1）求点C 的坐标； （2）若抛物线bx ax y +=2

（a ≠0）经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式；

（3）若抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段DB 上一点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M 。问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

分析：完成第一第二问后，我们不难发现C 点就是抛物线的顶点，所以CD 总是平行PM 的，所以要使CDPM 为等腰梯形，CM=DP 或者∠CDP=∠DCM ，不难发现

∠CDP=∠DCB=60°，所以要求的M 点就是BC 与抛物线的交点，求出M 后就很容易求P 点了。

练习4.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2

>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0）， OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝

3

1

． （1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

练习5.如图，已知抛物线y ＝x 2

＋4x ＋3交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，?抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点B 的坐标为(－1，0)． （1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；

（2）在平面直角坐标系xOy 中是否存在点P ，与A 、B 、C 三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连结CA 与抛物线的对称轴交于点D ，在抛物线上是否存在点M ，使得直线CM 把四边形DEOC 分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM 的解析式；若不存在，请说明理由．

D P

M

练习6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－3

2x 2

+b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x

2

，0）三点，且x

2

-x 1=5．

（1）求b 、c 的值；

（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；

（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．

IV 、坐标系中在特殊四边形的框架下的动点，平移，甚至翻折

坐标系中动点问题，我们需要抓住的关键点有以下几点：A 、起点坐标；B 、终点坐标、C 、起点与终点之间的距离；D 、动点速度。如果是直线运动，起点是t=0的时刻动点的位置，终点是t 取最大的时刻动点的位置，知道速度，我们很快能确定在t 秒钟的时候距离起点时的长度以及距离终点的长度，继而可以确定这一时刻动点的坐标，利用这些含t 的坐标与长度根据题意去解决相应的问题。平移问题更动点问题差不多，只是起始需要记住的平移图形的顶点坐标多一点，在平移过程中，先找出特殊点的坐标变化，那么其他顶点的变化跟那个特殊点的变化是一样的，比如特殊点横坐标加2t,纵坐标减t,那么其他顶点横坐标也加2t,纵坐标减t 。翻折问题则需要记住的是翻折即对称，对称及全等，全等即对应边对应角相等，以及对应点连线与折线垂直这些特点，然后利用这些特点去解决问题。

例12.（2013年门头沟二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知矩形ABCD 的两个顶点B 、C 的坐标分别是B （1，0）、C （3，0）．直线AC 与y 轴交于点G （0，6）．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动．同时动点 Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P 、Q 的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ． （1）求直线AC 的解析式；

（2）当t 为何值时，△CQE 的面积最大？最大值为多少？

（3）在动点P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H ，使得以C 、Q 、E 、H 为顶点的四边形是菱形？ 分析：本题有两个动点，一个是P 点，一个是Q 点。 分析P 点：起点A （1，4），终点B(1，0)，AB=4,速度为1， 所以AP=t

分析Q 点:起点C （3，0），终点D （3，4），CD=4，速度为1， 所以CQ=t

第二问求面积需要CQ 的长度与E 到DC 的距离，而E 到 CD 的距离等于BC-PE,根据相似可得PE=

2

1

t ，剩下的问题可 迎刃而解。

第三问要使得以C 、Q 、E 、H 为顶点的四边形为菱形，而且 H 点要在矩形ABCD 内（包括边界），我们知道菱形被对角线

分割成两个全等的等腰三角形，所以要使那四点构成的图形为菱形，先得让△CEQ 为等腰三角形，而一个三角形为等腰三角形有三种可能：

（1）CQ=EQ ，根据图形容易判断CQEH 为菱形的话H 点在矩形ABCD 内。

这种情况EQ=CQ=t,根据相似比容易求出EC=

t 5

5

4，而根据△APE 容易求出 AE=

t 25，那么EC+AE=t 554+t 25=AC=52，从而算出t=13

20

（2）EQ=EC,根据图形CQ 为对角线，那么H 点肯定不在矩形ABCD 内，所以这种可能性

可以排除

（3）CE=CQ ，那么EH ∥CQ ，而且EH=CQ ，而CQ=AP=t ，刚好落在AD 上，所以也肯定在矩形ABCD 内（包括边界）。CE=CQ=t,AE=

t 25,EC+AE=t+t 2

5

=52,算出t=5820 . 例13.如图，已知直线y ＝－

2

1

x ＋1交坐标轴于A 、B 两点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD ，过点A ，D ，C 的抛物线与直线另一个交点为E ． （1）请直接写出点C ，D 的坐标； （2）求抛物线的解析式；

（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围； （4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D 落在x 轴上时停止，求抛物线上C 、E 两点间的抛物线弧所扫过的面积．

P Q

E y x

A B D O C G

分析：解决第三问的一个关键是要确定平移结束时刻，A ’点的位置不难发现△OAB ∽△A ’D ’B,可算出BA ’=52，从而AA ’=53,从而得到0≤t ≤3，算S 的时候可分三段计算 （1）A ’点在x 轴上方，下方部分是个三角形，易得S=

2

4

5t （0≤t ≤1） （2）A ’点在x 轴下方，C ’点在x 轴上方，是个梯形，可用大三角形面积减小三角形面积的办法求的S=

245t -2)1(45-t =45

25-t （1≤t ≤2） （3）C ’在x 轴下方，D ’在X 轴上方，可用正方形面积减去上面部分面积的办法求出 S=5-

2)3(4

5

t -（2≤t ≤3） 解决第四问应该用面积转移思想解决，将B ’C ’E ’部分的面积转移到BCE 部分，那么扫过的面积就等于长方形BCC ’B ’的面积，等于7.5。

例14.(2013年顺义二模)已知抛物线2

14

y x bx c =-

++与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C ，连结AC,BC ，D 是线段OB 上一动点，以CD 为一边向右侧作正方形CDEF ，连结BF ．若S △OBC =8，AC=BC ． （1）求抛物线的解析式；

（2）求证：BF ⊥AB ；

（3）求∠FBE 的度数；

（4）当D 点沿x 轴正方向移动到点B 时，点E

也随着运动，则点E 所走过的路线长是 ．

分析：在坐标系中分析未放平的正方形的时候，我

们可以给他再框一个正方形，我们会发现四个全等

的直角三角形，这四个全等的三角形可以解决很多

地方的一些问题，比如这道题。经过计算，我们可

以得到A(-4，0)，B(4，0)，C(0，4)，再根据前面

所说的△GCF ≌△ODC ，发现GF=OC=4=OB,所以GFBO 为矩形，所以BF ⊥AB 。

这题有一个动点D ，起点O ，终点B ，速度未知，可见这题的问题与时间无关，更多的是几何问题，根据前面说的四个全等三角形我们又知道△ODC ≌△HED ，那么EH=OD,DH=OC=4，那么BH=DH-DB=4-DB=OD=EH ，所

A B C D E F x y O G H

以△EBH 为等腰直角三角形，所以∠FBE=45°。因为∠FBE 总是等于45°，所E 的路线是直线，而且动点D 在起点O 的时候,E 与B 重合，当动点D 运动到B 点的时候，BE=BC=24。 练习7.(2013年平谷一模)如图1，在直角坐标系中，已知直线1

12

y x =+与y 轴交于点A ， 与x 轴交于点B ，以线段BC 为边向上作正方形ABCD . （1）点C 的坐标为（ ），点D 的坐标为（ ）； （2）若抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过C 、D 两点， 求该抛物线的解析式；

（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线

BA 向上平移，直至正方形的顶点C 落在y 轴上时，

正方形停止运动. 在运动过程中，设正方形落在y 轴

右侧部分的面积为s ，求s 关于平移时间t （秒）的函数关系式， 并写出相应自变量t 的取值范围.

练习8.(2013年西城一模)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：3

4

y x m =

+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B (0,-1)，抛物线2

12

y x bx c =

++经过点B ，且与直线l 的另一个交点为C (4,n )． (1) 求n 的值和抛物线的解析式；

(2) 点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为t （0< t <4）．DE ∥y 轴交直线l 于点E ，点F 在直线l 上，且四边形DFEG 为矩形（如图2）．若矩形DFEG 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式以及p 的最大值；

(3) M 是平面内一点，将△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°后，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1．若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A 1的横坐标．．．．

图1

图2

图1

练习9.如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．

（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；

（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；

（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；

（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN＝90°？若存在，请直接写出点P的坐标．

中考数学代几综合练习题A

中考数学代几综合练习题A 1.如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始 沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时 间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积 S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（） A．B． C．D． 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q 分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）． （1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请 说明理由； （2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段 AB平行．为什么？ （3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A 点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点 也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）． （1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？ （2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变 量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？ 4.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．（1）求N点、M点的坐标； （2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l 的解析式； （3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之 差最大，求P点的坐标； ②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA 交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系 式，并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说 明理由．

二次函数综合题经典习题(含答案及基本讲解)

二次函数综合题训练题型集合 1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y+ =与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上. （1）求m的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由. 2、如图2，已知二次函数24 y ax x c =-+的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离 E B A C P 图1 O x y D x y O 3 －9 －1 －1 A B 图2

P B A C O x y Q 图3 3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式； ② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状； ③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 7、（07海南中考）如图7，直线43 4 +- =x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . （1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒 2 3 个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C → A 的路线运动， 当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S . ①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = . C A M y B O x C A M y B O x C A M y B O x

中考数学专题题库∶二次函数的综合题及详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b． （1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）； （2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式； （3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围． 【答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣1 2 ，﹣ 9 4 a）；（2） 27327 48 a a --；（3） 2≤t＜9 4 ． 【解析】 【分析】 （1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标； （2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可； （3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围． 【详解】 解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0）， ∴a+a+b=0，即b=-2a， ∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+1 2 ）2- 9 4 a ，

∴抛物线顶点D 的坐标为（- 1 2 ，-94a ）； （2）∵直线y=2x+m 经过点M （1，0）， ∴0=2×1+m ，解得m=-2， ∴y=2x-2， 则2 222y x y ax ax a -??+-? ＝＝， 得ax 2+（a-2）x-2a+2=0， ∴（x-1）（ax+2a-2）=0， 解得x=1或x= 2 a -2， ∴N 点坐标为（ 2a -2，4 a -6）， ∵a ＜b ，即a ＜-2a ， ∴a ＜0， 如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ， ∵抛物线对称轴为122 a x a =-=-， ∴E （- 1 2 ，-3）， ∵M （1，0），N （ 2a -2，4 a -6）， 设△DMN 的面积为S ， ∴S=S △DEN +S △DEM = 12 |（ 2a -2）-1|?|-94a -（-3）|=274?3a ?278a ， （3）当a=-1时， 抛物线的解析式为：y=-x 2-x+2=-（x+ 12 ）2+94，

(完整版)初中数学二次函数综合题及答案

二次函数题 选择题： 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是（ ） A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D （6，—6） 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２c 〈３b A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） A B C D 二填空题： 13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c ＝－２的根为————————————。 17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=x 2 +bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． （1）求此二次函数的解析式． （2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积． 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y

二次函数经典测试题及答案解析

二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函

数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ， 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．

中考数学冲刺复习：代几综合问题--知识讲解(提高)

中考冲刺：代几综合问题—知识讲解（提高） 【中考展望】 代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键． 题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题. 题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口. 【方法点拨】 方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明． 函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．

最新中考数学：代几综合题—以代数为主的综合

代几综合题（以代数为主的综合） 典题探究 例1 已知抛物线 c bx ax y ++=2与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，0）、 C （5，0）两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点D 为线段OA 的一个三等分点, 求直线DC 的解析式； （3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达 抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径 最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长． 例2 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2 23y mx mx n =++经过(35)(02)P A ，， ，两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于C 点，求直线的解析式； （3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标． 例3在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2 y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧．． ），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），将直线y kx =沿y 轴向上平移 3个单位长度后恰好经过B 、C 两点． （1） 求直线BC 及抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ACB ，求点P 的坐标； （3）连结CD ，求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数．

例4在平面直角坐标系xOy 中，抛物线234 54122+-++-- =m m x m x m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B(2，n)在这条抛物线上. (1) 求点B 的坐标； (2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED=PE. 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD(当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动) 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长； 若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。延长QF 到点M ，使得FM=QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动)。若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值. 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于点A (－2，0)、 B (6，0)，与y 轴交于点 C ，直线C D ∥x 轴，且与抛物线交于点D ，P 是抛物线上一动 点． x y O 1 1

初中数学二次函数综合题及答案(经典题型)

二次函数试题 论：①抛物线y lx21 是由抛物线y-x2怎样移动得到的22 ②抛物线y2(x 2 1）是由抛物线y 1 x2 2 :怎样移动得到的 ③抛物线y[(x1)21是由抛物线y 1 2 x21怎样移动得到的 22 ④抛物线 y ](x1)21是由抛物线 y 1 2 （x 1）2怎样移动得到22 ⑤抛物线y2(x1)21是由抛物线y 1 2 -x2怎样移动得到的 22 选择题：1、y=（m-2）x m2- m是关于x的二次函数，贝U m=（） A -1 B 2 C -1 或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）模型的是（） 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 我国人中自然增长率为1%这样我国总人口数随年份变化的关系 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x2,则抛物线的解析式是（ A y= —( x-2 ) 2+2 B y= —(x+2 )2+2 C y= (x+2 ) 2+2 D y= —( x-2 1 2 5、抛物线y= x -6x+24 2 的顶点坐标是（ A (—6,—6) B(—6, 6) C(6,6) D (6，—6) 6、已知函数y=ax2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有 ①abc〈0 ②a+ c〈 b ③ a+b+c > 7、函数y=ax2-bx+c (a丰 0) 的图象过点（ A -1 B 1 C - 的值是 b 1 ）个 -1 ,

填空题: 13、无论m为任何实数，总在抛物线y=x2+ 2mx+ m上的点的坐标是------------ 。 16、若抛物线y=ax2+bx+c（0）的对称轴为直线x =2,最小值为—2,则关于方程ax2+bx+c =-2的根为一 17、抛物线y= （k+1）x2+k2-9开口向下，且经过原点，则k= ---------------- 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y==x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点 4 （1）求此二次函数的解析式. （2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点并求出最大面积. 2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A B两点（A在B的左侧），与y轴 9 交于点C （0，4），顶点为（1，2）? （1）求抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点卩，使厶CDP为等腰三角形，请直接写岀满足条件的所有点P的坐标. （3）若点E是线段AB上的一个动点（与A B不重合），分另U连接AC BC过点E作EF // AC交线段BC于点F，连接CE记厶CEF的面积为S S是否存在最大值若存在，求出 存在，请说明理由. 4 2 3、如图，一次函数y=—4x—4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y= + bx+ c的图象经过A C两点，且与x轴交于点B （1）求抛物线的函数表达式；己，使厶EBC的面积最大, （第2题图） S的最大值及此时E点的坐标；若不

历年初三数学中考代数几何综合题及答案

中考数学代数几何综合题 Ⅰ、综合问题精讲： 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是?BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且??BF AD =，EM 切⊙O 于M 。 ⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝12 BC·CE； ⑶如果AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。 解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵??BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB ⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图) ∵A 是?BDC 中点，∴HC＝HB ＝12 BC ， ∵∠CA E ＝900，∴AC 2＝CH·CE＝12 BC·CE ⑶∵A 是?BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2 ① ∵AC 2＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ② ①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2＝17 ∵EC 2＝AC 2＋AE 2，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠A EC ＝AE AC ＝132 点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就非常关键. 【例2】（2005，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分 别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内 作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○。过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长； （2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。

二次函数综合题训练(含答案)

二次函数综合题训练 一、综合题（共24题；共305分） 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为，该图象与轴相交于点、，与轴相交于点，其中点的横坐标为1． （1）求该二次函数的表达式； （2）求． 2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）． （1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围； （2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移(n＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n 的值． 3.已知抛物线y＝2x2-4x＋c与x轴有两个不同的交点. （1）求c的取值范围； （2）若抛物线y＝2x2-4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m与n的大小，并说明理由. 4.如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2，3）. （1）求a的值和图象的顶点坐标。 （2）点Q（m，n)在该二次函数图象上. ①当m=2时，求n的值；

②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围. 5.若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，则称 为的伴随函数，如：是的伴随函数. （1）若是的伴随函数，求直线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数的伴随函数与轴两个交点间的距离为4，求，的值. 6.已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点. （1）求k的值： （2）若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标. 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点． （1）求拋物线的解析式； （2）过点作直线轴，点在直线上且，直接写出点的坐标．8.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 9.如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过点 ，与轴另一交点为，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值；

北京中考数学一、二模拟考试代几综合试题汇编

2013年北京中考数学一、二模拟考试代 几综合试题汇编 1.（2013.昌平一模25）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B，C在x轴上，点A，E在y轴上，OB︰OC=1︰3，AE=7，且tan∠OCE=3，tan∠ABO= 2. （1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式； （2）点D在（1）中的抛物线上，四边形ABCD是以BC 为一底边的梯形，求经过B、D两点的一次函数解析式；（3）在（2）的条件下，过点D作直线DQ∥y轴交线段CE于点Q，在抛物线上是否存在点P，使直线PQ与坐标 轴相交所成的锐角等于梯形ABCD的底角，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 2.（201 3.朝阳一模25）如图，二次函数y=ax2+2ax+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，∠CBO的正切值是2． (1)求此二次函数的解析式． (2)动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点． ①直接写出点P所经过的路线长． ②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E、作

DF⊥AB于点F，连接PE、PF，在旋转过程中，∠EPF的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF的度数；若变化，请说明理由． ③在②的条件下，连接EF，求EF的最小值． 3.（2013.大兴一模25）小明同学在研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请你帮小明解答以下问题： （1）若测得（如图1），求的值； （2）对同一条抛物线，小明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过作 轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标；（3）对该抛物线，小明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、所连的线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

二次函数综合题经典习题(含答案)

二次函数综合题训练题 1、如图1,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y x m与该二次函数的图象交 于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4) ，B点在轴y上. (1 )求m的值及这个二次函数的关系式； (2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合)，过P作x轴的垂线与这个二次 函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关 系式，并写出自变量x的取值范围； (3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由? 2、如图3,已知抛物线y ax2 bx c经过0(0,0) , A(4,0),B(3, 3)三点，连结AB,过 点B作BC// x轴交该抛物线于点 C. (1) 求这条抛物线的函数关系式? (2) 两个动点P、Q分别从O A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动.其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线A T B T C的路线向C点运动.设这两个动点运动的时间为t (秒)(0 V t V 4) , △ PQA的面积记为S. ①求S与t的函数关系式； ②当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状； ③是否存在这样的t值，使得△ PQA是直角三角形？若存在，请直接写出此时P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由

图3

4 3、如图7,直线y —x 4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过 3 点A、C和点B 1,0 .（1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积； 3 （3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC 2 按O T A T C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O T C A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动?设D、E同时从点O出发t秒时，ODE的面积为S . ①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE // OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在， 请说明理由； ②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； 4、如图5,已知抛物线y a x2 b x c的顶点坐标为E（ 1,0 ），与y轴的交点坐标为（0,1 ）. （1）求该抛物线的函数关系式? （2）A、B是x轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4, A在B的左边，过A作ADL x轴交抛物线于D,过B作BC L x轴交抛物线于 C.设A点的坐标为（t,0 ）,四边形ABCD 的面积为S. ①求S与t之间的函数关系式■ ②求四边形ABCD勺最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？ ③当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P,使得△ PAE的周 长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时△ PAE的周长；若不存在，说明理由. A O E B x 图5

2020年中考数学代几综合问题专题复习(35页)

2020年中考数学代几综合问题 专题复习 (名师精讲必考知识点，建议下载练习) 【中考展望】 代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键． 题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题. 题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口. 【方法点拨】 方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、

根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明． 函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型． 几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现． 2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等． 3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力． 4．解几何综合题应注意以下几点： （1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系； （2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化； （3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；

2018北京中考数学一模代几综合

28．对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设 AQ BQ k CQ +=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ k CQ = （或2BQ CQ ）． 已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ． （1）如图1 ，当r = ①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________． ②2(1A +是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值． ②当k =r 的取值范围． （3）若存在r 的值使得直线y b =+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的 ”，直接写出b 的取值范围． x

28. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”. （1）已知点A （2,0），B （），则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______； （2）若点C （1,2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式； （3）⊙O P 的坐标为(3,m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．

中考数学二次函数综合练习题附答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线22343 23y x x =- -+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ． （1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标； （3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2323 y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）； （3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】 【分析】 （1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可 【详解】 （1）∵2343 2333y x x =- -+a=233 - ，则抛物线的“衍生直线”的解析式为

中考代几综合复习

中考代几综合复习 一．解答题 1．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E是BC上的两点，且∠DAE=45°．将△AEC绕着点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接DF． （1）请猜想DF与DE之间有何数量关系？ （2）证明你猜想的结论． 2．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CF⊥AB于E，C是的中点，连接BD，连接AD，分别交CE、 BC于点P、Q． （1）求证：P是AQ的中点； （2）若tan∠ABC=，CF=8，求CQ的长．

3．已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DF⊥AC于点F，交BA的延长线于点E．求证： （1）BD=CD； （2）DE是⊙O的切线． 5．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF． （1）求证：△BDF≌△CDE； （2）若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形． 7．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A、B重合），过点C作⊙O的切线CD，过A作CD的垂线，垂足是M点． （1）如图1，若CD∥AB，求证：AM是⊙O的切线． （2）如图2，若AB=6，AM=4，求AC的长．

8．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点． （1）求出抛物线的解析式； （2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标． 二．选择题（共5小题） 9．如图，菱形ABCD的周长为20cm，sin∠BAD=，DE⊥AB于点E，下列结论中：①S ABCD=15cm2；②BE=1cm； ③AC=3BD．正确的个数为（） A．0个B．1个C．2个D．3个 10．如图，∠AOB=90°，∠B=30°，△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A′在AB上，则旋转角α的大小可以是（） A．30°B．45°C．60°D．90°

二次函数练习题及答案

二次函数练习题 一、选择题： 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限() A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交 x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线上的点， 且-1

10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是() A. B. C. D. 二、填空题： 11. 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________. 12. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________. 13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________. 14. 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________. 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________. 16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的 情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m. 17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________. 18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________. 三、解答题： 19. 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0)，(1)求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标；(2)求此二次函数的解析式；