泛函分析9§1-5,习题选讲与答案
第九章 内积空间和希尔伯特空间
例题选讲 例1．
H ilbert
是X 可分的充分必要条件X 存在一个可数的完全规范
正交系{}n e
证明：若X 是可分的，设{}n x 是X 的一个可数稠密子集。不妨设
{}n x 是线性无关的。
用G ram Schm idt -方法，存在可数的完全规范正交系{}n e ，使span
{}1,,n e e = {}1,,n span x x 。这样。因此{}
n e 是完全的。
反之，若{}n e 是X 的一个完全规范正交系，则s
p a n {}
n e 在X 中稠密。
()01,,1,2,3,n
k
k k k k
k X a i b e a b Q N =??
=+∈=????
∑ 是X
中的可数稠密子集，因此
X
是可分的。证毕
例2．求证：P 是H ilbert 空间X 上的投影算子的充分必要条件是：
2
P P
=且*P P =
证明：设P 是X 中相对应与闭线性子空间Y 的投影算子。对任意
x ∈X
，存在1x Y ∈，2x ∈Y ⊥，使12
x x x =
+，1Px x =
。对于1x ，1x =10
x +，
其中1x Y ∈，0Y ⊥∈。因此11
Px x =，即2
1P
x P x P x
==，因此2
P P
=
设,x y X ∈，12
x x x =
+，12
y y y =
+。其中11,x y Y ∈，2
2,x
y Y
⊥
∈。这样
()()()()()1121112,,,,,Px y x y y x y x x Py x Py =+
==+=。这就证明了*P P
=。
反之，若P 满足*P P =，*
P P =。令{}Y x Px x ==，则Y
是X 中的线性
子空间。Y 还是闭的。事实上，若
n x Y
∈，
lim n n x x →∞
=，则
00lim lim n n n n Px Px x x →∞
→∞
===。故0x Y
∈，因此Y 是闭的线性子空间，我们
要证明P 是Y 上的投影算子。
设x X
∈
，则()x Px x Px =
+-。由于2P P =，因此PPx Px
=
，即P x Y ∈。
又()
*
I P I P
-=-因此，对任意的
y
Y
∈，有()()()(),,,0
x Px y x I P y x y y -=-=-=，
即
x Px Y
⊥
-∈。
由
()x Px I P x =+-，其中P x
Y ∈，()I P x Y ⊥-∈。而这种分解是唯一的，
可得P 是X 到Y 上的投影算子。证毕。
例3．设T 是H ilbert 空间X 上有界线性算子。若存在X 上的一个稠密线性子空间0X ，使对任意的0x X ∈，成立T x x
=，且T 的值域在X 中
稠密，求证：T 是酉算子
证明：由5节定理5，只要证明T 是映射到上的保范算子。设x ∈X
在
X
中稠密，必有{}0
n x X ?
，
lim n n x x
→∞
=。于是
lim lim n n n n Tx Tx x x
→∞
→∞
===。因此T 是保范的。
我们再证明T 是映射到上的，因为T 的值域在X 中稠密，因此对任意
y X
∈，存在n x X ∈，使lim
n n Tx y
→∞
=。由于{}n T x 收敛，因此n T x 柯西列。又
()
n m n m
n m
x x T x x Tx Tx -=-=-，因此{}n x 也是柯西列。设
0lim n n x x →∞
=，则y
=
lim n n Tx →∞
= 0Tx ，因此T
是映射到上的。
这样，由5节定理5，T 是酉算子，证毕 习题解答
1设
{}n x 是内积空间X 中点列，若
n x x
→ ()n →∞且对一切y X ∈有()n x y ，
→
()x y ， ()n →∞，证明：n
x x
→ ()n →∞
证明：()()()2
2
2
0n n n n n n x x x x x x x
x x x x x -=--=----+=，()n →∞
因此n
x x
→ ()n →∞
2，设12n X X X ，，是一列内积空间，令{}2n n n n
X x x X x ∞????
=∈∞??????
∑n=1，〈，
当{}n x {}n y X ∈时，规定{}{}{}n n n n x y x y αβαβ+=+，其中α，β是数，
{}{
}
1
n n n n
i x y x y ∞
==
∑
，，，证明：X 是内积空间，又当n X 都是H ilbert 空
间，证明：X 也是H ilbert 空间。
证明：1。若
n n x =，x
，则1
n n n x ∞
==∑
，x
，因此对任意n ，
0n n x =，x ，123n = ，，，
，即{}0n x =
2.
{}{}{
}
()1
1
n n n n n n n n n n
n n x y z x y x y αβαβα
β∞
∞
==+=
+=
+∑
∑，，z ，z ，z
3． 这就证明了X 是n 维线性空间。又由第七章第22题，X 是完备的（在22题中取p=2），因此X 是H ilbert 空间。
3. 设X 是n 维线性空间，{}12,, n e e e 是X 的一组基，证明(),x y 成为X 上内积的充分必要条件是存在
?n n
()αuv 正定方阵使得
()11,1
0,,α
===??
≤==
???
∑∑∑n n
n
u u v v uv
u v
u v u v x x x e x e x x
证明： 必要性。若(),x y 是X 上内积。设
αuv =
,u v
e e 。对任意
1
==
∑n
u
u
u x x
e ,1
α
=∑n
uv
u v
u v x x =()
,x x 0>且当0
≠x 时，,1
α=∑n
uv u v u v x x = (),x x
>因此()αuv 正
定方阵。
充分性。若()αuv 正定方阵，则对任意
1
1
,===
=
∑∑
n
n
u
u u u
u u x x
e y y e ，
(),x y =,1α=∑
n
uv u v
u v x y 。下证(),x y 是X 中内积。
1．(),x x ,1
α
==
∑n
uv
u v
u v x x 因()αuv 正定方阵，可得()
,x x 0
≥，且当(),=
x x 0
=时，0=x 2.
()(),1
,αβααβ=+=+∑n
v
uv u u u v x y z x y z ()(),1
1
,,α
α
βααβ===+=+∑∑n
n
uv
u v u uv u v u v u x z e y z x z y z 。
3.
因
()
αuv 正
定
，
()
αuv
=
()
αuv 。这样
,1
,α
==
∑n
uv
u v
u v x y x y (),1
,1
,α
α
===
=∑∑n
n
uv
u v uv
u v u v u v x y x y y x
因此(),x y 是X 上内积。证毕 4. 设X 是实内积空间，若
2
2
2
x y
x
y
+=+，则x y ⊥，当X 是复内积
空间时，这个结论是否依然成立？
解 当
X
是实内积空间且
2
2
2
x y
x
y
+=+时，由
()2
2
2
,2,x y x y x y
x
y
x y
+
+=+=++得,0x y =即x y ⊥ 在复内积空间上此结论不成立 ，例如0,x y ix ≠=，
1
x =
()2
,x y
x ix x ix +=++2
2
2
2
,,x
y
i x x i x x x
y
=++-=+
但(),,x y x ix i ==-0≠
5．证明：内积空间X 中两个向量,x y 垂直的充要条件是：对一切α成立
x y α+x
≥
证明 若x y ⊥，则任意复数α，有
2
2
2
22
2
,,,,x y
x x x y y x y y x y x
αααα
α
+=+++=
+≥
因此
x y x
α+≥
若对一切数α，
x y x
α+≥，不妨设0y ≠。令2
1,2x y
y
α
=-
，则由
2
2
2
2
,x y x
y x y αα
α+=+++
2
,x y x
α≥，
得
2
2
2
4
2
11
,,042x y y x y
y
y
-
≥。
即2
2
4,,x y x y
≤，此可得
,0x y =，
即x y ⊥。证毕
6．设X 是H ilbert 空间，M X
?，并且
M ≠?
，证明()M ⊥
⊥
是X 中包
含M 的最小闭子集 。
证明：
X
中包含M 的最小
X
闭子集是Y ，若
y Y
∈，则存在n x spanM ∈，使
n x y
→设
x M
⊥
∈，则(),y x ()lim ,0
n n x x →∞
==，因此
()y M
⊥
⊥
∈，
即()Y M
⊥
⊥
?
又Y 是X 中闭子空间，
且M Y
?，则Y ⊥
?M
⊥
，
从而()()M Y ⊥
⊥
⊥
⊥
?=
Y
，所以()Y
M
⊥
⊥
=
。证毕
7．设{}n e 是[]2
,L a b 中的规范正交系，说明两元函数列()()()
,1,2,3n m e x e y n m = 是[][]2,,L a b a b ?中的规范正交系，若{}n e 完
全。则两元函数列()()(),1,2,3,n m e x e y n m
= 也是完全的‘
证明 对任意(),n m 和()','n m ，
()()()()
'
'
,n m
n m e x e y e x e y ()()()()''
'
'
b b
n m n m
nn m m a
a
e x e x dx e y e y dy σσ=
?
?，
因此()(){}n m e x e y 是规范正交系 若
[][]2
,,f L a b a b ∈?，则几乎处处[],x a b ∈，()[]2,,f
x y L a b ∈。因此若
记()()(),b
m m a
a x f
x y e y dy =?，则由于()
{}
1
m m e y ∞
=是完全的，必有
()
2
b m a
a x ?
=
2
1
n m
n b ∞
=∑
，
其中()()()()(),b b b nm
m n m n a
a
a
b a x e x dx dx f
x y e y e x dy =
=
?
?
?
，
这样()
()()2
2
2
2
1
1
,1
,b b
b
b m m nm
a a
a
a
n n m n dx f
x y dy a x dx a x dx b ∞
∞
∞
====
=
=
∑
∑∑
????
由于{}nm b 是关于()(){}n m e x e y 的傅立叶系数，因此我们就证明了Parseval 等式成立有第3节定理3，()(){}n m e x e y 完全的， 因此()(){}n m e x e y 是完全规范正交系，证毕
8． 设12,,,n e e e 为内积空间X 规范正交系，证明：X 到{}12,,,n span e e e 的投影算子
P
为
()1
,,n
v
v
v Px x e e
x X
==
∈∑，则Y 是
X
的闭子空间，
X Y Y
⊥
=⊕。
证明：对任意x X
∈
，12
x x x =
+，其中1
2,x
Y x Y
⊥
∈∈，因{}
1
n i i e =是
Y
的完全的规范正交系，因此
()11
,n
v
v
v x x e e ==
∑，由投影算子定义
()11
,n
v
v
v Px x x e e ===
∑。证毕
9．设X 为可分为H ilbert 空间，证明X 中任何规范正交系至多为可数集。
证明：倘若X 的一个规范正交系{}e λ
λ∈∧可数不是可数集，
则任意λλ≠‘，
2
2
2
2e e e e λλ
λ
λ
-=+=‘
‘
。
X
是可分的，则存在X 的可数稠密子集{}1n n x ∞
=因∧不可数，则必有某N
x ，及
λλ∈∧
，‘，
λλ
≠‘
使2
N x e λ-〈
，
2
N x e λ-’〈
，这
样
N N e e x e x e λλλλ-≤-+-‘
’〈。
此与
e e λλ-=‘
10．设X 是内积空间，X *是它的共轭空间，
z
f 表示λ上线性范函
z f x z
=
，，若X 到X *的映射z
F z f →
：是一一到上的映射，则X 是
H ilbert
空间。
证明 设{}1n n z ∞
=是X 中柯西列。 有(
)
()n
m
z z
n m n m
f f x x z z x z z -=-≤≥-，可知{}1
n
z
n f ∞
=是X *
中柯西列。
因X *是完备的，因此有x X **∈使
()
n
z f x
n *
→→∞。设z
x
f *
=，其中
z X
∈，
设
su p n n
z M =∞
〈+，
则()()2
n
m
n
m
n n n z z
n
n z z
z z z z z z f
f z
z z z
f f -=--=
--≤--，
()
()0n
m
z z
M z f f n ≤+-→→∞。这就证明了X 是完备的内积空间，即
为H ilbert 空间。证毕。
11. 设X 和Y 为H ilbert 空间，A 是X 到Y 中的有界线性算子，()A 和
()
A ?分别表示算子A 的零空间和值域，证明()A =
()A
⊥
*
?，
(
)
A
*
=
()
A ⊥
?，()()A A ⊥
*
?= ，()()A A *
⊥?=
证明 设()x A ∈ ，则0A x =。这样若y Y ∈，()
A y A **
∈?，必有
()(
),,0
x A y A x y *
=
=，所以x ∈()A ⊥
*
?，
设x ∈()A ⊥
*
?，则对任意y Y ∈，()(),,0Ax y x A y *==。由y 的任意性可推得0A x =，即()x A ∈ 。 以上证明了
()()
A A
⊥
*
=?
，用
A
*
代替
A
可得
()()
()
()
A A A ⊥
*
⊥
*
*
=?=?
。同时，()
()
()
A A ⊥
⊥
⊥
*
=? ，以下证明
()()
()A A ⊥
⊥
?=?
首先，由
()()
A A ???可知
()
()
A A ⊥
⊥
???从而
()()
()A A ⊥
⊥
?=??()()
A ⊥
⊥
?
又设()()
y A ⊥
⊥
∈
?，12y y y =+，其中()()12,y A y A ⊥
∈?∈?。对任意x X
∈
，
()()22,,0A
y x y Ax *
==，所以
20
A y *
=，即
()2y A *
∈
。这样
()()()212220,,,y y y y y y =
=+，即2
y =，于是()1y y A =
∈?。
这样我们就证明了()()A A ⊥
*
?= 。用A *代替A 又可得()()A A *
⊥?=
，
证毕。
12．设
T 是H ilb e r t 空间X 中的有界线性算子，1T
≤，证明：{}x T x x =
{}x T
x x *
=
=。
证明 若
T x x =，则2
,,x
Tx x x T x
*
==
x
≤
T x
*
2
x
≤‘
因此，
,x T x
x T x
*
*
=。由第一节引理1，T x *与x 线性相关，设
T x x
λ*
=。由
,,x T x x x *
=，可得
1
λ=，即
T x x
*
=。这样，
{}{}{}{}x Tx x x T x x x T x x x Tx x *
**
=?=?
===。
即{}x Tx x = {}x T x x *==。证毕
13．设H 为H ilb e r t 空间，M 是H 的闭子空间，0x H ∈，证明：
{
}{
}
00m in
m ax ,,1
x x x M
x y
y M y ⊥
-∈=∈=
证明：设012x x x =+，其中1x M
∈，2
x
M
⊥
∈。因为1x M ∈，所以。
又对任意x M ∈，
2
2
12
x x x x x -=--
2
2
2
12
2
x x x x =-+≥，所以{
}
02
m in
x x x M
x -∈≥，这就证明了{
}0m in x x x M
-∈
2
x = 又对任意的
y M ⊥∈，
1y =，01222
,,,,x y
x y x y x y x =
+=
≤。若
20
x =，则
{
}
02
m ax
,,10x y y M y x ⊥
∈===。若
20
x ≠，则令
22
,1,
x y y x =
=
220122
2
2
,,
,x x x y x x x x x =+
=。因此又有
{
}
02
m ax
,,1x y y M y x ⊥
∈==。即
{}0m ax
,,1
x y
y M y ⊥
∈=
{
}
0m in
x x x M
=-∈证毕
14．设H 是H ilb e r t 空间。M 是H 的闭子空间，则M 为H 上某个非
连续线性范函的零空间的 充要条件是M ⊥是一维子空间，
证明：若M 是非零连续线性范函的零空间，则存在y X ∈，0y ≠，对每个x M ∈，使(),0f x x y ==。因此{}
M y ⊥
=，即{}
M span y ⊥
=是
一维子空间
反之，若M ⊥是由非零元y 生成的一维子空间，令(),f x x y
=
，则
()f
x =
0的充要条件是x y ⊥，即()
x M M
⊥
⊥
∈=。所以M 是非零连续
线性范函f 的零空间。证毕
15．设T 为H ilb e r t 空间X 上正常算子，T A iB =+为T 的笛卡儿分解，
证明：
()
12
22
T
A B
=+ ()
22
2
T
T
=。
证明 ()1由
,2
2T T T T A B i
*
*
+-=
=
及
T T TT
**
=，得
()()()()
22
4
4
T T T T T T T T A B TT
*
*
*
*
*
++--+=
-
=，所
以
2
22
A B
T T T
*
+==。
()
2()
2
2
4
2
2
2
T
T
T
T T T
*
*
=
==，即2
2
T T
=。证毕。
16．证明：A 是实内积空间X 上的自伴算子时，0A =的充要条件是对所有x X
∈
，成立,0A x x =。
证明：
0A =时。显然对任意,x y X ∈， 有
,0A x x =。若任意x X
∈，
,0A x x =。对任意,x y X
∈，
{}1
,(),(),04
Ax y A x y x y A x y x y =
++---=
由y 的任意性，可知0A x =。又由x 的任意性，0A =。证毕。 17.设
U
是
H ilb e r t
空间[]
20,2L π中如下定义的算子：
()()()[]2
,
0,2it Uf t e f t f L π=∈’
证明：U 是酉空间。
证
明
：对任
意
[]
2
.0,2f g L π∈，有
()()()20
,it
Uf g e f t g t dt π
=?()()20
it
f t e
g t dt
π-=
?
‘
因此若定义算子V ，()()()it Vg t e g t -=，则()(),,Uf g f Vg =即V U
*
=，
()()()()it
it
UU f t e
e f t f t *
-==，
因此U U I *
=。同理UU I
*
=，即U 是酉算
子。证毕
18．设Ω是平面上有界L 可测集，()2L Ω表示Ω上关于平面L 可测平方可积函数全体，对每个()2
f L
∈Ω，定义()()()T f z zf z =，z ∈Ω。证
明：T 是正常算子。 对于任意
()2
,f g L
∈Ω，
()()()
,,Tf g zf z g z dz f Sg Ω
=
=
?
，因此T *S
=
。
于是对任意
()2
f L
∈Ω，()()()()2
T Tf z zzf
z z
f
z T Tf z **=
=
=。由f 的任
意性得，T T
TT
**
=，即
T
是正常算子， 证毕
泛函分析答案
泛函分析答案： 1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的 λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 】 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=( 21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y) = ( 1 ||n p i i i x y =-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)0(n ∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或 简单地记作x n x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞ n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 $ 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2（a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2（a,b ）, 2|()|b a f t dt ? ＜∞。 当 L 2（a,b ）中内积的定义为（f,g ）= _____ ()()b a f t g t dt ? (其中f(t),g(t)∈L 2（a,b ）)时其为Hilbert 空间。 ★ 12、算子表示一种作用，一种映射。设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间，集合D ?X ， 若对D 中的每一个x ，均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定
(完整word版)泛函分析习题标准答案
第二章 度量空间 作业题答案提示 1、 试问在R 上，()()2,x y x y ρ=- 能定义度量吗？ 答：不能，因为三角不等式不成立。如取 则有(),4x y ρ=,而(),1x z ρ=，(),1z x ρ= 2、 试证明：（1）()1 2 ,x y x y ρ= -;(2)(),1x y x y x y ρ-= +-在R 上都定 义了度量。 证：（1）仅证明三角不等式。注意到 2 11 22x y x z z y x z z y ?? -≤-+-≤-+- ? ?? 故有1 112 22 x y x z z y -≤-+- （2）仅证明三角不等式 易证函数()1x x x ?=+在R +上是单调增加的， 所 以 有 ()() a b a b ??+≤+,从而有 1111a b a b a b a b a b a b ++≤≤+ ++++++ 令,,x y z R ?∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y z y x z x y z ---≤+ +-+-+-
4.试证明在[]b a C ,1 上，)12.3.2()()(),(?-=b a dt t y t x y x ρ 定义了度量。 证：（1）0)()(0),(≡-?=t y t x y x ρ（因为x,y 是连续函数） 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。 []) ,(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dt t y t z dt t z t x dt t y t z dt t z t x dt t y t x y x b a b a b a b a ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=???? 5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明 ∑∑==≤?? ? ??n i i n i i x n x 12 2 1 证：∑∑∑∑=====?≤?? ? ??n i i n i n i i n i i x n x x 12 12 122 11 8.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积 21R R R ?=上定义了度量 {}2 12/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证：仅证三角不等式。（1）略。 (2) 设12(,)x x x =，12(,)y y y =12R R ∈?，则
泛函分析答案
泛函分析答案： 1、所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=(21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y)=(1 ||n p i i i x y =-∑)1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n ?∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或简单地记作x n ?x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iffx=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,foreveryx,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2 （a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2 （a,b ）,2|()|b a f t dt ?＜∞。
泛函分析习题解答
第七章 习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明 （1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1 。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使 n x x d 1),(10<。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1 。若n n o x ∞ =?∈1 则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此
最新泛函分析考试题集与答案
泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若
0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。
泛函分析习题参考答案
一、设) ,(y x d 为空间 X 上的距离，试证：) ,(1) ,(),(~x y d x y d x y d += 也是X 上的距离。 证明：显然 ,0),(~≥y x d 并且y x y x d y x d =?=?=0),(0),(~ 。 再者， ),(~) ,(1),(),(1),(),(~y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+=； 最后，由 t t t +- =+11 11的单调增加性及),(),(),(y z d z x d y x d +≤，可得 ) ,(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(~y z d z x d y z d y z d z x d z x d y z d z x d y z d z x d y x d y x d y x d +++ ++=+++≤+= ),(~),(~) ,(1) ,(),(1),(y z d z x d y z d y z d z x d z x d +=+++≤ 。 二 、设 1p ≥，1()()(, ,,)i n n p n x l ξξ=∈， ,2,1=n ，1(, ,,)p i x l ξξ=∈，则 n →∞时， 1()1(,)0p p n n i i i d x x ξξ∞ =? ?=-→ ??? ∑的充要条件为)1(n →∞时，()n i i ξξ→，1,2, i =； )2(0ε?>， 存在 0N >，使得 ()1 p n i i N ξε∞ =+<∑ 对任何自然数n 成立。 必要性证明：由1 () 1(,)0p p n n i i i d x x ξξ∞ =??=-→ ??? ∑可知，()n i i ξξ→，1,2,i =。 由 1(,,,)p i x l ξξ=∈可知， ε?>，存在 10 N >，使得 11 ()2 p p i i N εξ∞ =+<∑ ，并且 1 n N >时， () 1 ()2 p n p i i i εξξ∞=-<∑。 由此可得， 11 111() ()1 1 1p p p p p p n n p i i i i i N i N i N ξξξξε∞ ∞∞=+=+=+?????? ?≤-+< ? ? ??????? ∑ ∑∑对1n N >成立。 对于 11,2, n N =，存在20N >， 2()1 p n p i i N ξε∞ =+<∑ 。取 {}12max ,N N N =，则 ()1 p n p i i N ξ ε∞ =+<∑ 对任何自然数n 成立。 充分性证明：由条件可知， 0ε?>，存在0K >，使得 ()1 ()2p n p i i K ε ξ ∞ =+<∑ 对任何自然数 n 成立，并且 1 ()2 p p i i K εξ∞ =+<∑ 。 由 ()n i i ξ ξ→可知，存在0>N ，使得N n >时，()1 K p n p i i i ξ ξε=-<∑，并且
泛函分析答案
泛函分析题1_3列紧集p19 1.3.1 在完备的度量空间中，求证：为了子集A是列紧的，其充分必要条件是对?ε > 0，存在A的列紧的ε网． 证明：(1) 若子集A是列紧的，由Hausdorff定理， ?ε > 0，存在A的有限ε网N． 而有限集是列紧的，故存在A的列紧的ε网N． (2) 若?ε > 0，存在A的列紧的ε/2网B． 因B列紧，由Hausdorff定理，存在B的有限ε/2网C． 因C ?B ?A，故C为A的有限ε网． 因空间是完备的，再用Hausdorff定理，知A是列紧的． 1.3.2 在度量空间中，求证：紧集上的连续函数必是有界的，并且能达到它的上、下确界． 证明：设(X, ρ)是度量空间，D是紧子集，f : D→ 是连续函数． (1) 若f无上界，则?n∈ +，存在x n∈D，使得f (x n) > 1/n． 因D是紧集，故D是自列紧的． 所以{x n}存在收敛子列x n(k) →x0∈D (k→∞)． 由f的连续性，f (x n(k))→f (x0) (k→∞)． 但由f (x n) > 1/n知f (x n)→ +∞(n→∞)， 所以 f (x n(k))→ +∞ (k→∞)，矛盾． 故f有上界．同理，故f有下界． (2) 设M = sup x∈D f(x)，则?n∈ +，存在y n∈D，使得f (y n) > M- 1/n． {y n}存在子列y n(k) →y0∈D (k→∞)． 因此f ( y0 ) ≥M． 而根据M的定义，又有f ( y0 ) ≤M． 所以f ( y0 ) = M．因此f能达到它的上确界． 同理，f能达到它的下确界． 1.3.3 在度量空间中，求证：完全有界的集合是有界的，并通过考虑l 2的子集E = {e k }k≥ 1，其中e k = { 0, 0, ..., 1, 0, ... } (只是第k个坐标为1，其余都是0 )，来说明一个集合可以是有界的但不完全有界的． 证明：(1) 若A是度量空间(X, ρ)中的完全有界集． 则存在A的有限1-网N = { x0, x1, x2, ..., x n }． 令R = ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) + 1． 则?x∈A，存在某个j使得0 ≤j≤n，且ρ(x, x j) < 1． 因此，ρ(x, x0) ≤ρ(x, x j) + ρ(x j, x0) ≤ 1 + ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) = R． 所以A是度量空间(X, ρ)中的有界集． (2) 注意到ρ(e k , e j) = 21/2 ( ?k ≠ j )， 故E中任意点列都不是Cauchy列． 所以，E中任意点列都没有收敛子列(否则，该收敛子列就是Cauchy列，矛盾)．
应用泛函分析习题解答
1 泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章 第 一 节 3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞
泛函分析第七章 习题解答125
第七章习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2.设],[b a C ∞ 是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明（1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 21 ),()()()()(0 t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞ 按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1。 证明令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({ =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使n x x d 1 ),(10< 。设,0),(110>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是开集 显然B o n n ??∞ =1 。若n n o x ∞ =?∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此)(∞?→??→? n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =?∞ =1 。 4.设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明（1）若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数，于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=
实变函数论与泛函分析曹广福1到5章课后答案
第一章习题参考解答 3．等式)()(C B A C B A --=?-成立的的充要条件是什么？ 解： 若)()(C B A C B A --=?-，则 A C B A C B A C ?--=?-?)()(. 即，A C ?. 反过来, 假设A C ?, 因为B C B ?-. 所以, )(C B A B A --?-. 故, C B A ?-)(?)(C B A --. 最后证，C B A C B A ?-?--)()( 事实上，)(C B A x --∈?, 则A x ∈且C B x -?。若C x ∈，则C B A x ?-∈)(；若C x ?，则B x ?，故C B A B A x ?-?-∈)(. 从而,C B A C B A ?-?--)()(. A A C B A C B A C =?-?--=?-?)()(. 即 A C ?. 反过来，若A C ?，则 因为B C B ?-所以)(C B A B A --?- 又因为A C ?，所以)(C B A C --?故 )()(C B A C B A --??- 另一方面，A x C B A x ∈?--∈?)(且C B x -?，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ?因为C B x -?，所以B x ?故B A x -∈. 则 C B A x ?-∈)(. 从而 C B A C B A ?-?--)()( 于是，)()(C B A C B A --=?- 4．对于集合A ，定义A 的特征函数为????∈=A x A x x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是 一集列 ，证明： （i ）)(inf lim )(inf lim x x n n A n n A χχ= （ii ）)(sup lim )(sup lim x x n n A n n A χχ= 证明：（i ）)(inf lim n n m N n n n A A x ≥∈??=∈?，N ∈?0n ，0n m ≥?时，m A x ∈. 所以1)(=x m A χ，所以1)(inf =≥x m A n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x m n A n m N b A n χχ
泛函分析 曹广福版答案
21．试在2([1,1])L -中将函数231,,,,t t t L 进行正交化. 解： 根据Schmidt 正交化过程, 可取 0()1u t =, 01000(,)()()(,) t u u t t u t u u =- 1111 1111t dt t t dt --?=- =??? ; 2 2 2 102101100(,)(,)()()()(,) (,) t u t u u t t u t u t u u u u =- - 112 2 2 111 1 1 1 1111t tdt t dt t t t tdt dt ----??=- -??? ? ? ? 2 13 t =- ; L L 再单位化可得 000()()|||| u t e t u = = = ; 111()()|||| 2 u t e t u = = = ; 2 22221()1()|||| 43t u t e t t u - ? = = = -??? ; L L . 解二： 引入如下形式的Legendre 正交多项式: 2 1,0, ()(1),1,2,. k k k k k u t d t k dt =?? =?-=??L 我们断言{}0()k k u t ∞ =是2 ([1,1])L -中由2 3 1,,,,t t t L 直交 化所得到的直交函数列。 首先我们断言{}0()k k u t ∞ =是直交的. 事实上, 不失一 般性, 可设l k ≥. (i) 如果0k =, 显然有 1 001((),())2u t u t dt -= =?; 而对于1,2,l =L 1 201 ((),())(1)l l l l d u t u t t dt dt -= -? 1 12 1 1 (1) 0l l l d t dt ---= -=. (ii) 对于1k ≥, 根据定积分的分部积分法，可以得到 1 221 ((),())(1)(1)k l k l k l k l d d u t u t t t dt dt dt -= -? -? 1 12 21 1 (1)(1)k l k l k l d d t d t dt dt ---= -?-? 1 1221 1 (1) (1) l k l k l k d d t t dt dt ---=-- 1 1221 1 (1)(1)l k l k l k d d t d t dt dt -----?-? 1 222 222 2 1 (1) (1)(1)l k l k l k d d t t dt dt dt -+-+-=--? -? =L 1 221 (1) (1)(1)k l l l k k l d t t dt dt ++-=--? -? ， (*) 当l k =时， 2222(1)(1)(2)!k l k k k k l k d d t t k dt dt ++-= -=， 因此 ((),())((),())k l k k u t u t u t u t = 12 1 (1) (1)(2)!k k t k dt -=--?? 1 20 (1)2(2)!(1)k k k t dt =--? /2 20 2(2)! (1sin )sin k k s d s π=-? /2 21 2(2)! cos k k sds π+=?
泛函分析习题解答
第 七 章 习 题 解 答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 （23． n x 1)1<。设δ )∞。因B 4. 设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明 （1）若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数，于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=
= ) ,(),(1) ,(),(),(1),(z y d z x d z y d z y d z x d z x d +++++ ) ,(1),(),(1),(z y d z y d z x d z x d +++≤=),(),(___ __z y d z x d +。 5. 证明点列{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞ ∈的充要条件为n f 的各阶导数在 [a ，b]上一致收敛于f 的各阶导数。 证明 若{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞ ∈，即 t a ≤ ∑∞ +=o r r 即d A={f|当t 上)(t f n 一致收敛于f （t ）。设B t ∈，则0)(lim )(==∞ >-t f t f n n ，所以f ∈E ，这就证明了E 为闭集 充分性。当B 是闭集时，设f ∈A 。因f 在B 上连续而B 是有界闭集，必有B t ∈0，使 )(max )(0t f t f B t ∈=。设 0)(0>=-δt f a 。我们证明必有A f U ?),(δ。设),(δf U g ∈，则若B t ∈， 必有δ<-)()(t g t f ，于是a t f t f t g t f t g =+<+-≤)(||)(|)()(|)(|0δ，所以A g ∈，这样就证明了A 是开集 必要性。设A 是开集，要证明B 是闭集，只要证明对任意.....2,1,=∈n B t n 若0t t n >-)(∞?→? n ，
泛函分析答案泛函分析解答(张恭庆)
第五章习题第一部分01-15 1. M 为线性空间X 的子集，证明span( M )是包含M 的最小线性子空间． [证明] 显然span( M )是X 的线性子空间．设N 是X 的线性子空间，且M ? N ． 则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) ? N ． 所以span( M )是包含M 的最小线性子空间． 2. 设B 为线性空间X 的子集，证明 conv(B ) = {∑=n i i i x a 1| a i ≥ 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i ∈B , n 为自然数}． [证明] 设A = {∑=n i i i x a 1 | a i ≥ 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i ∈B , n 为自然数}．首先容易看出A 为 包含B 的凸集，设F 也是包含B 的凸集，则显然有A ? F ，故A 为包含B 的最小凸集． 3. 证明[a , b ]上的多项式全体P [a , b ]是无限维线性空间，而E = {1, t , t 2, ..., t n , ...}是它的一个基底． [证明] 首先可以直接证明P [a , b ]按通常的函数加法和数乘构成线性空间， 而P [a , b ]中的任一个元素皆可由E 中有限个元素的线性组合表示． 设c 0, c 1, c 2, ..., c m 是m + 1个实数，其中c m ≠ 0，m ≥ 1． 若∑=m n n n t c 0= 0，由代数学基本定理知c 0 = c 1 = c 2 = ... = c m = 0， 所以E 中任意有限个元素线性无关， 故P [a , b ]是无限维线性空间，而E 是它的一个基底。 4. 在 2中对任意的x = (x 1, x 2)∈ 2 ，定义|| x ||1 = | x 1 | + | x 2 |，|| x ||2 = (x 12 + x 22)1/2， || x ||∞ = max{ | x 1 |, | x 2 | }．证明它们都是 2 中的范数，并画出各自单位球的图形． [证明] 证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略． 5. 设X 为线性赋范空间，L 为它的线性子空间。证明cl(L )也是X 的线性子空间． [证明] ?x , y ∈cl(L )，?a ∈ ，存在L 中的序列{ x n }, { y n }使得x n x ，y n y ． 从而x + y = lim x n + lim y n = lim (x n + y n )∈cl(L )，a x = a lim x n = lim (a x n ) ∈cl(L )． 所以cl(L )是X 的线性子空间． [注] 这里cl(L )表示子集L 的闭包． 6. 设X 为完备的线性赋范空间，M 为它的闭线性子空间，x 0? M ．证明： L = { a x 0 + y | y ∈M , a ∈ }也是X 的闭线性子空间． [证明] 若a , b ∈ ，y , z ∈ M 使得a x 0 + y = b x 0 + z ， 则(a - b ) x 0 = z - y ∈ M ，得到a = b ，y = z ；即L 中元素的表示是唯一的． 若L 中的序列{ a n x 0 + y n }收敛于X 中某点z ，则序列{ a n x 0 + y n }为有界序列． 由于M 闭，x 0? M ，故存在?r > 0，使得|| x 0 - y || ≥ r ，?y ∈ M ．则当a n ≠ 0时有 | a n | = | a n | · r · (1/r ) ≤ | a n | · || x 0 + y n /a n || · (1/ r ) = || a n x 0 + y n || · (1/r )， 所以数列{ a n }有界，故存在{ a n }的子列{ a n (k ) }使得a n (k ) a ∈ ．
泛函分析习题1
习题1 1.(张燕石淼)设在全体实数R 上，定义两个二元映射2(,)()x y x y ρ=-和 (2) (,)d x y ，证明(1)(,)ρR 不是度量空间；(2)(,)d R 是度量空间． 2.(范彦勤孙文静)设X ρ(,)为度量空间，:f ∞→∞[0,+][0,+]为严格单调函数，且满足,x y f ?∈∞[0,+],(0)=0,()()()f x y f x f y +≤+，令(,)((,))d x y f x y ρ=，证明X d (,)为度量空间． 3. (武亚静张丹)设X d (,)为度量空间，证明,,,x y z w X ?∈有 (,)(,)(,)(,)d x z d y w d x y d z w -≤+． 4.(崔伶俐杨冰)设全体实数列组成的集合为{}123(,,,....,...)|,1,2,...n i X x x x x x R i =∈=，对于123(,,,....,...)n x x x x x =及12(,,...,...)n y y y y =∈X ，定义11(,)12k k k k k k x y d x y x y ∞ =-=+-∑ ．证明 X d (,)为度量空间． 5.设()X n 为0和1组成的n 维有序数组，例如(3){000,001,010,011,100,101,110,111}X =，对于任意的,()x y X n ∈，定义(,)d x y 为x 和y 中取值不同的个数，例如在(3)X 中，(110,111)1d =，(010,010)0d =(010,101)3d =．证明((),)X n d 为度量空间． 6.(苏艳丁亚男)设X d (,)为度量空间， A X ?且A ≠φ．证明A 是开集当且仅当A 为开球的并． 7.(张振山赵扬扬)设X d (,)和Y ρ(,)是两个度量空间．那么映射:f X Y →是连续映射当且仅当Y 的任意闭子集F 的原象1()f F -是X 中的闭集． 8.(王林何超)设{}n x 与{}n y 是度量空间X d (,)的两个Cauchy 列．证明(),n n n a d x y =是收敛列． 9.(李敬华孙良帅)设X d (,)和Y ρ(,)是两个度量空间，在X Y ?上定义度量 112212121 ((,),(,)){[(,)][(,)]}p p p x y x y d x x d y y γ=+，其中1122(,),(,)x y x y X Y ∈?，1p ≥为正数．证明 X Y ?是完备空间当且仅当X d (,)和Y ρ(,)均是完备空间． 10.(李秀峰钱慧敏)设X d (,)是完备的度量空间，{}11n G x G ∈是X 中的一列稠密的开子集， 证明 1 n n G ∞ =也是X 中的稠密子集． 11.(王胜训闫小艳)设n A ?R ，证明A 是列紧集当且仅当A 是有界集． 12 (冯岩盛谢星星)设X d (,)为度量空间，A X ?且A φ≠．证明 （1）{|,(,)}x x X d x A ε∈<是X 的开集． （2）{|,(,)}x x X d x A ε∈≤是X 的闭集，其中0ε>．
泛函分析习题标准答案
第二章 度量空间 作业题答案提示 1、 试问在 R 上， x, y x y 能定义度量吗？ 答：不能，因为三角 不等式不成立。如取 则有 x, y 4,而 x,z 1， z,x 1 义了度量 证：（1）仅证明三角不等式。注意到 xy 故有 x y 2 x z 2 z y 2 (2)仅证明三角不等式 易证函数 x x 在 R 上是单调增 加的， 1x 所 以 有 a b a b , 从 而 有 a b a b a b 1 a b 1 a 1b 1a b 令 x, y, z R ,令 a z x ,b y z 即 y x z x y z 1 y x 1 z x 1 y z 2、 试证明： 1） x,y x y 2;(2) x,y 1 x x y y 在R 上都定 1 x z 2 z
4. 试证明在 C 1 a,b 上， (x,y) x(t) y(t ) dt (2.3.12) 定义了度量。 证：(1) (x,y) 0 x(t) y(t) 0(因为 x,y 是连续函数) (x,y) 0 及 (x,y) (y,x)显然成立。 (2) (x,y) a x(t) y(t) dt a x(t) z(t)dt z(t) y(t) dt b b a x(t) z(t)dt a z(t) y(t)dt (x,z) (z,y) 5. 试由 Cauchy-Schwarz 不等式证明 n 2 n 2 x i n x i i1 i1 8. 试证明下列各式都在度量空间 R 1, 1 和 R 1,R 2 的 Descartes 积 R R 1 R 2 上定义了度量 (1) 1 2;(2)~ ( 12 22)1/2 ;(3)~ max 1, 2 证：仅证三角不等式。 ( 1)略。 (2) 设 x (x 1,x 2)， y (y 1,y 2) R 1 R 2 ，则 证： n 2 n n 2 12 n x i x i n x i i1 i1 i1 i1
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