§7.4.1-3空间曲面和空间曲线
§7.4空间曲面和空间曲线
本节以两种方式来讨论空间曲面： （1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程； （2）已知一个三元方程，研究这方程的图形。
7.4.1球面与柱面 (一)球面
空间中与一定点等距离的点的轨迹叫球面。 求球心在点),,( z y x M ，半径为R 的球面方程。 设),,(z y x M 为球面上的任一点，则有R M M = ，即
R z z y y x x =-+-+-222)()()( ，化简得：
2222)()()(R z z y y x x =-+-+- 。 ①
满足方程①，因此，方程①是球面的方程。 当0=== z y x 时，即球心在原点的球面方程为
2
222R z y x =++。 ②
例1.指出方程05642222=+--+++z y x z y x 表示何种曲面。 解：9415964412222+++-=+-++-+++z z y y x x ，
22223)3()2()1(=-+-++z y x ，方程表示以)3 ,2 ,1(-为球心，3为半径的球面。
（二）柱面
动直线L 沿给定曲线C 平行移动所形成的曲面，称为柱面。动直线L 称为柱面的母线，定曲线C 称为柱面的准线。
y
现在来建立以xoy 面上的曲线C ：?
??== . 0,
0),(z y x F
为准线，平行于L z 轴的直线
设) ,,( z y x M 为柱面上任一点，过 M 作平行于轴的直线 z ，交xoy 面于点
) 0 ,
,( y x M ，由柱面定义可知点上必在准线C M 。故有0),(= y x F 。由于
M M 与点点有相同的横坐标和纵坐标，故的坐标点 M 也必满足方程
0),(=y x F 。反之，如果空间一点) ,,( z y x M 满足方程0),(=y x F ，即0
),(= y x F ，故
)
,,( z y x M 且与轴平行的直线 z 必通过
上的点准线C ) 0 , ,( y x M ，即) 0 , ,( y x M 在过) 0 , ,( y x M 的母线上，于是) ,,( z y x M 必在柱面上，因此方程0),(=y x F 表示平行于轴的柱面 z 。
一般地 方程0) ,(=y x F 表示母线轴的柱面平行于 z ； 方程0) ,(=z y H 表示母线轴的柱面平行于 x ； 方程0) ,(=z x G 表示母线轴的柱面平行于 y 。 以二次曲线为准线的柱面称为二次柱面。 例如：方程2
2
2
a y x =+表示圆柱面；方程
12
22
2=+
b
y a
x 表示椭圆柱面；
方程12
2
22
=-
b x a y 表示双曲柱面；方程Py x 22=表示抛物柱面。
y
22
a
y =
x
x y
1
2
2=b
y
例2．指出下列方程在空间直角坐标系中分别表示什么图形？
（1）116
92
2=+y
x 母线平行于z 轴的椭圆柱面。
（2）x z 22
= 母线平行于y 轴的抛物柱面。
（3）1=xy 母线平行于z 轴的双曲柱面。
（4）19
42
2=-y z 母线平行于x 轴的双曲柱面。
例3．求母线平行于向量k i a +-=，准线为???
??=++=++
2221222222z y x z y x 的柱面方程。
解：设),,( z y x M 是准线上的任一点，则过点 M 平行于}1 ,0 ,1{-=a
的直线
必在 L 柱面上，而的 L 方程为
1
01
z z y y x x -=-=--，其参数方程为 ????
???-==+=????????+==-=t
z z y y t
x x t z z y y t x x 代入准线方程，得
?????**=-+++*=-+++
) ( 2)(2)(2)(
1)()(2
22222t z y t x t z y t x 0)( ) ()(22=-**-*?t z 得，故z t =，代入中和) ()(***，t 消去，
则得所求柱面方程为1)(22=++y z x 。
x Py
7.4.2 空间曲线
（一）空间曲线的一般方程
空间曲线L 可以看作两个曲面1∑与2∑的交线。若曲面1∑与2∑的方程分别为
0) , ,(=z y x F 与0) , ,(=z y x G ，则其交线L 的方程为
???==0),,(0),,(z y x G z y x F ①
方程组①称为空间曲线的一般方程。
例4．方程组???
??>=
+-≥=++)0(4)2()0(22
22222a a y a x z a z y x 表示上半球面和圆柱面的交线L 。
例5．方程组?????=++=+2
2222
22R
z y x R y x 表示圆柱面与球面的交线，它是xoy 平 面上的一个圆。
注意：表示空间曲线的方程组不是唯一的。
例如??
???==++02222z R
z y x
也表示同一个圆，一般说来，用两个方程 的组合代替方程之一，仍表示同一曲线。
例6．方程组?????=+=+1
12222x z y x ( 0 , 0 , 0≥≥≥z y x )
表示两个圆柱的交线L 在第一卦限的部分。
x
此曲线亦可用方程组?????=-=+01
22z y y x ( 0 , 0 , 0≥≥≥z y x )表示。
例7．方程组?????==+14
22z y x 表示在平面上的圆 1=z 。
方程组?????==+0
4
22z y x 表示在面上的圆 xoy 。
（二）空间曲线的参数方程
空间曲线L 上动点M 的坐标z y x ,,也可以用另一个变量的 t 函数来表示， 即
??
?
??===)()()
(t z z t y y t x x ②
t 当取定一个值时，由方程组②就得到曲线上一点的坐标，通过的 t 变动，可以得到曲线上所有的点，方程组②称为曲线的 L 参数方程，为 t 参数。 例7．设质点在圆柱面222r y x =+上以均匀的轴绕角速度 z ω旋转，同时又以均匀的线速度向 v 平行于轴 z 的方向上升。运动开始，即0=t 时，质点在
) 0 0, ,(r P 处，求质点的运动方程。
解：取t 时间
为参数，t 经过质点的 位置为) , ,(z y x P ，作面xoy PQ ⊥， 垂足为) 0 , ,(y x Q ，则从 P 到P 所 经过的角t ω=θ，上升的高度为
vt QP =，即质点的运动方程为：
??
?
??=ω=ω= sin cos vt z t r y t
r x 此方程称为螺旋线方程。
x y
也可以用其它变量作参数；例如令t ω=θ，则螺旋线方程为
??
?
??θ=θ=θ
=
sin cos b z r y r x ， 这时ω=v b ，而参数为θ。
（三）空间曲线在坐标面上的投影 1．空间直线在坐标平面上的投影的概念
已知空间曲线L 和平面π，从L 上各点 向平面π作垂线，垂足所构成的曲线1L 称 为曲线L 在平面π上的投影曲线。准线为曲
线L 而母线垂直于平面π的柱面称为空间曲线L 关于平面π的投影柱面。投影曲线1L 就是投影柱面与平面π的交线。
特殊地，以L 曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面称为空间L 曲线关于xoy 面的投影柱面，此投影柱面与xoy 面的交线称为L 曲线在xoy 面上的投影曲线。 同样可以定义L 曲线关于yoz 面、xoz 面的投影柱面和投影曲线。
2．投影曲线方程的求法
设空间L 曲线的一般方程为 ?????==0
),,(0),,(z y x G z y x F ，
消去z ，得0),(1=Φy x ，它表示母线平行于z 轴的柱面方程。
因为柱面方程是由z L 消去曲线得到的，所以L 曲线上点的前两个坐标y x ,必满足该方程，因此柱面过L 曲线，故方程0),(1=Φy x 所表示的柱面就是L 曲线关于xoy 面的投影柱面。
而方程 ???==Φ 0z
),(1y x 就是L 曲线在xoy 面上的投影曲线的方程。
同样，从L 曲线的方程中分别消去y x 与，得到柱面方程0),(2=Φz y 与
0),(3=Φz x ，则???==Φ 0 0),(2x z y 与???==Φ 0 0
),(3y z x 分别是L 曲线在yoz 面和xoz 面
上的投影曲线的方程。
例8．求球面3222=++z y x 与旋转抛物面z y x 222=+的交线L 在xoy 面上的
投影曲线方程。
解：交线L 为 ?????=+=++)
2( 2)
1(3
2
2
222z
y x z y x
(1)－(2)得 03z 2z 2=-+，0)1)(3(=-+z z ， 3-=z （舍去），1=z 。
交线L 也可表示为：?????==++
13222z z y x ， 消去z ，得交线L 关于xoy 面的投影
柱面方程：222=+y x 。
∴交线L 在xoy 面上的投影曲线方程是?????==+0
2
22z y x ，
它在xoy 面上是以（0，0，0）为圆心，2为半径的圆。
若在曲线L 的方程中，出现有一个缺z 项的方程时，则此方程所表示的曲面正巧是经过该曲线且母线平行于z 轴的柱面，它就是曲线L 关于xoy 平面的投影柱面，这样就可省略消去z 的过程。
例9．求L 曲线：?????=+=++ 864
2
2
222y y x z y x xoy 在、yoz 面上的投影曲线的方程。 解：面上在曲线xoy L 的投影曲线方程为?????==+
0822z y
y x 。
x L 的方程中消去从曲线，面的关于得曲线 yoz L 投影柱面方程：2z +y 8=64，
故面上在曲线 yoz L 的投影曲线是一段抛物线：?????≤≤==+)80(
064
82y x y z 。
7.4.3旋转曲面的方程
（一）旋转曲面的定义
以一条平面曲线绕同平面上的一条直线旋转所形成的曲面称为旋转曲面，这条定直线称为旋转曲面的轴。 （二）旋转曲面的方程
设在yoz 平面上L 曲线的方程为???==00
),(x z y F ，将轴绕曲线 z L 旋转一周，得到
一个旋转曲面。
设) , ,(z y x M 为旋转曲面上的任意一点， 过点M 作垂直于z 轴的平面，交z 轴于点
) ,0 ,0(z P ，交曲线L 于点) , ,0( z y M 。
由于点M 是由点轴绕 z M 旋转而得，故有
z z PM PM == ,， （1） ∵22y x PM +=， y PM =， ∴22y x y +±= ， （2） 又∵ M 在曲线L 上，∴0) ,(= z y F 。
将（1），（2）代入0) ,(= z y F ，即得旋转曲面方程：0) z ,(22=+±y x F 。
一般地，若在曲线L 的方程???==00),(x z y F 中，z 保持不变，而将22 y x y +±换成，
就得到曲线L 绕z 轴旋转而成的旋转曲面方程：0) ,(22=+±z y x F 。
同理，轴绕曲线 y L 旋转而成的旋转曲面方程为： 0),(22=+±z x y F 。
例10．求直线??
?=≠=0)
0(x a ay z 轴绕 z 旋转一周所成的旋转曲面的方程。 解：∵yoz 坐标面上的直线)0(≠=a ay z 绕z 轴旋转， ∴将z 保持不变，22 y x y +±换成， 则得)(22y x a z +±=，
即所求旋转曲面方程为)(2222y x a z +=， 该方程表示的曲面称为圆锥面， 点o 称为圆锥的顶点。
例11．求抛物线??
???=>=0)
0(22x p pz y ，绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程。
解：在方程pz y 22=中，将2y 换成22y x +，而z
得pz y x 222=+，即为所求旋转曲面的方程。 该曲面称为旋转抛物面。
例12．求椭圆???
??==+ .01
2222x b z a y 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面的方程。
解：在方程
12
222=+b z a y 中，将2y 换成22y x +，而z 保持不变，
则
12
22
22=+
+b
z a
y x 该曲面称为旋转椭球面。
x y
y
例13．求双曲线???
??==- 012222y b z a x ，轴绕 z 旋转所得的曲面方程。
解：绕z 轴所成的旋转曲面称为旋转单叶双曲面，其方程为
12
22
22=-
+b
z a
y x 。
绕x 轴所成的旋转曲面称为旋转双叶双曲面，其方程为12
222
2=+-b
z y a x 。
y
x
空间曲线与曲面
实验七空间曲线与曲面 实验目的 1．掌握空间直线、平面的画法。 2．了解常见的空间曲线与曲面的画法。 与本实验相关的理论 最基本的空间作图函数是Plot3 ，用于作所有二元函数的三维立方体图形，其格式是： Plot3D[f，{x，xmin，xmax}，{y，ymin，ymax}，可选项] 由于很多曲面和绝大多数曲线都不能用显函数的形式表示。Mathematica 还提供了Parametric Plot3D参数作图函数，其格式是：Parametric Plot3D[{x[u，v]，y[u，v] ，z[u，v]} ，{u，umin，umax}，{v，vmin，vmax}，可选项] Mathematica作三维图形的机理是先在XOY坐标面给定区域内计算出一系列格点的值，再用矩形“小瓦片”拟合张在上面的曲面上。因而如果曲面的表面变化复杂，可通过设置更细的“瓦片”分割来改善。这时候可增加选项PlotPoint―>n 来说明分割数n。 实验步骤 一、画空间曲线 注意空间曲线的参数方程只有一个参变量，如果要画出螺旋线 x=10cost , y=10sint , z=2t 的图形，只要输入： Parametric Plot3D[{10cos[t]，10sin[t]，2t} ，{t，0，20}] 空间直线也类似地处理。 例1：求过A（3，5，-2），B（3，5，-2）的直线方程，并画图。 分析：空间直线方程可由点向式写出，再改成参数式
) 2(4)2(535313----=--=--z y x 化为参数式是：t x 23-=，t y 25-=，t z 62+-= 输入：Parametric Plot3D[{3-2t ，5-2t ，-2+6t} ，{t ，0，1}] 二、画空间曲面 例2：求过A （1，0，0），B （0，2，0），C （0，0，3），的平面方程，并画图。 分析：平面方程可由截距式写出，y x z 2 333--=。 输入：Parametric Plot3D[{3-3x-3y/2} ，{x ，-1，1}，{y ，-1，1}] 例3：画出二元函数22),(y x y x f +=的图形。 输入：Parametric Plot3D[{x^2+y^2} ，{x ，-4，4}，{y ，-4，4}] 例4：画出椭球心在原点，3=a ，4=b ，5=c 的椭球面。 输入：Parametric Plot3D[{3*Cos[u] Cos[v], 4*Sin[u] Cos[v],5*Sin[v]} ，{u ，0，2Pi}，{v ，-Pi/2，Pi/2}] 例5：画出以x y cos =为准线，母线平行于Z 轴的柱面。 输入：Parametric Plot3D[{x,Cos[x],z} ，{x ，-4，4}，{z ，-4，4}] 例6：画出由平面曲线z x cos 1+=绕Z 轴放转而成的旋转面。 输入：Parametric Plot3D[{（1+Cos[u]）Cos[v] ，（1+Cos[u]）Sin[v] ，u} ，{u ，-Pi ，Pi}，{v ，0，2Pi}] 例7：画单叶双曲面。 输入：Parametric Plot3D[{Sec[u]Cos[v] ，Sec[u]Sin[v] ，Tan[u]} ，{u ，-Pi/2+0.5，Pi/2-0.5}，{v ，0，2Pi}]
实验2-空间曲线曲面图形的绘制
实验二空间曲线曲面图形的绘制 一、实验目的 熟练掌握使用Mathematica软件绘制空间曲线曲面图形的方法. 二、实验容与Mathematica命令 1．基本三维图形 函数(,) 的图形为三维空间的一个曲面，Mathematica中，绘制三维曲面图形的 z f x y 基本命令格式为 Plot3D[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},Options] 其中，f为一个二元显函数. 该命令有众多可供使用的选项，可执行命令“Options[Plot3D]”查询. 1）绘制曲面的基本方法 运行t1=Plot3D[Sin[x+y]*Cos[x+y],{x,0,4},{y,0,4}] 图1 2）用PlotRange 设定曲面的表面的变化围 运行Show[t1,PlotRange{-0.2,0.5}]
图2 3）坐标轴上加标记，并且在每个外围平面上画上网格 运行Show[t1,AxesLabel{"Time","Depth","Value"},FaceGrids All] 图 3 4）观察点的改变 将观察点改变在（2，-2，0），运行 Show[t1,ViewPoint{2,-2,0}]
图 4 也可用鼠标拖动改变视点。 5）无网格和立体盒子的曲面 运行 Show[t1,Mesh False,Boxed False] 图 5 6）没有阴影的曲面 利用Shading取消曲面的阴影运行 Show[t1,Shading False]
图 6 7）给曲面着色 Show[t1,Lighting False 图 7 Show[t1,Lighting None]
空间曲线地切线与空间曲面地切平面
第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面 一、空间曲线的切线与法平面 设空间的曲线C 由参数方程的形式给出：?? ? ??===)()()(t z z t y y t x x ，),(βα∈t ． 设),(,10βα∈t t ，)(),(),((000t z t y t x A 、))(),(),((111t z t y t x B 为曲线上两点，B A ，的连线AB 称为曲线C 的割线，当A B →时，若AB 趋于一条直线，则此直线称为曲线C 在点A 的切线． 如果)()()(t z z t y y t x x ===，，对于t 的导数都连续且不全为零（即空间的曲线C 为光滑曲线），则曲线在点A 切线是存在的．因为割线的方程为 ) ()() ()()()()()()(010010010t z t z t z z t y t y t y y t x t x t x x --=--=-- 也可以写为 010********)()() ()()()()()()(t t t z t z t z z t t t y t y t y y t t t x t x t x x ---=---=--- 当A B →时，0t t →，割线的方向向量的极限为{})(),(),(000t z t y t x '''，此即为切线的方向向量，所以切线方程为 ) () ()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-． 过点)(),(),((000t z t y t x A 且与切线垂直的平面称为空间的曲线C 在点 )(),(),((000t z t y t x A 的法平面，法平面方程为 ))(())(())((00'00'00'=-+-+-z z t z y y t y x x t x 如果空间的曲线C 由方程为 )(),(x z z x y y == 且)(),(0' 0'x z x y 存在，则曲线在点)(),(,(000x z x y x A 的切线是 ) () ()()(100000x z x z z x y x y y x x '-= '-=- 法平面方程为
数学实验教程实验6(空间曲线与曲面
实验6 空间曲线与曲面 实验目的 1．学会利用软件命令绘制空间曲线和曲面 2．通过绘制一些常见曲线、曲面去观察空间曲线和曲面的特点 3．绘制多个曲面所围成的区域以及投影区域。 实验准备 1．复习常见空间曲线的方程 2．复习常见空间曲面的方程 实验内容 1．绘制空间曲线 2．绘制空间曲面：直角坐标方程、参数方程 3．旋转曲面的生成 4．空间多个曲面的所围成的公共区域以及投影区域 软件命令 表6-1 Matlab 空间曲线及曲面绘图命令 实验示例 【例6.1】绘制空间曲线 绘制空间曲线sin ,cos ,x at t y at t z ct ===，在区间09t π≤≤上的图形，这是一条锥面螺旋线，取a=10,c=3。
【程序】： t=0:pi/30:9*pi; a=10; c=3; x=a*t.*sin(t); y=a*t.*cos(t); z=c*t; plot3(x,y,z,’mo ’) 【输出】：见图6-1。 图6-1 空间曲线的绘制 【例6.2】利用多种命令绘制空间曲面 绘制二元函数 22 2 2 sin x y z x y += +在区域:99,99D x y -≤≤-≤≤上的图形。 【程序】：参见Exm06Demo02.m 。 【输出】：见图6-2。 图 6-2 绘制空间曲面 【例6.3】绘制Mobius 带 Mobius 带的参数方程为 122122 cos sin cos ,[0,2],[,] sin u u x r u y r u r c v u v a b z v π=??==+∈∈??=?，， 其中,,a b c 为常数，绘制其图形。
曲面与空间曲面的归纳
曲面与空间曲线的总结
曲面与空间曲线一.曲面及其方程： 1.曲面方程的一般概念： 定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z) 都满足方程F(x,y,z)=0， 而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为 该曲面的方程，而曲面称为此方程的‘图形’。 例1：求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。 解： 设M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是 |AM|=|BM|由距离公式得 此即所求点的规迹方程，为一平面方程。 2.坐标面及与坐标面平行的平面方程： ①坐标平面xOy 的方程：z=0 ②过点（a,b,c)且与xOy 面平行的平面方程：z=c 222222)6()5()4()1()3()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x 整理得 631044=-++z y x
③坐标面yOz 、坐标面zOx 以及过（a,b,c)点且分别与之平行的平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b 3. 球面方程： ①球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R 为半径 的球面方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 ②球面的一般方程： x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。 例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面 解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22 故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。 4.母线平行于坐标轴的柱面方程： 一般我们将动直线l 沿定曲线c 平行移动所形成的轨迹 称为柱面。其中直线l 称为柱面的母线，定曲线c 称为柱面 的准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。 此时有以下结论： 若柱面的母线平行于z 轴，准线c 是xOy 面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0; 同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面。 分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。其几何意义为：无论z 取何值，只要满足F(x,y)=0，则总在柱面上。 几种常见柱面：x+y=a 平面； 2 22a y x =+圆柱面
曲面与空间曲线的方程
第 2 章曲面与空间曲线的方程 本章教学目的：通过本章学习，使学生理解空间坐标系下曲面与空间曲线方程之定义及 表示，熟悉空间中一些特殊曲面、曲线的方程。 本章教学重点：空间坐标系下曲面与空间曲线方程的定义。 本章教学难点：(1)空间坐标系下母线平行于坐标轴的柱面方程与平面坐标系下有关平面 曲线方程的区别； ( 2)空间坐标系下，空间曲线一般方程的规范表示。 本章教学内容： § 1 曲面的方程 普通方程： 1 定义：设工为一曲面，F(x, y, z) =0为一三元方程，空间中建立了坐标系以后， 若工上任一点P(x,y,z)的坐标都满足F(x，y, z)=0，而且凡坐标满足方程的点都在曲 面工上，则称F (x, y, z) =0为工的普通方程，记作 2：F (x, y, z) =0. 不难看出，一点在曲面2上〈一〉该点的坐标满足工的方程，即曲面上的点与其 方程的解之间是一一对应的???》的方程的代数性质必能反映出2的几何性质。 2 三元方程的表示的几种特殊图形：空间中任一曲面的方程都是一三元方程,反之,是否任一三 元方程也表示空间中的一个曲面呢？一般而言这是成立的,但也有如下特殊情况 1 ° 若F( x, y, z) =0 的左端可分解成两个(或多个)因式F1( x, y, z) 与F2 (x, y, z)的乘积，即 F (x, y, z)= F i (x, y, z) F2 (x, y, z),贝U F (x , y , z) =0〈一〉F i (x , y , z) =0 或F2 (x , y , z) =0 ,此时 F( x y z) =0 表示两叶曲面1与 2 它们分别以F1( x y z) =0 F2( x y z) =0 为其方程此时称F(x y z)=0 表示的图形为变态曲面。如 F(x,y,z) xyz 0 即为三坐标面。 2 0方程F(x,y,z) (x2 y2 z2) x i2 y 2 2 (z 3)2 0 仅表示坐标原点和点( i 2 3) 3 °方程F(x, y,z) 0可能表示若干条曲线如 F(x, y,z) (x2 y2)(y2 z2) 0 即表示z 轴和x 轴 °方程F(x, y,z) 0不表示任何实图形如 4
空间曲线与曲面的绘制
空间曲线与曲面的绘制 本实验的目的是：利用数学软件Mathematica 绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲面图形的特 点，以加强几何的直观性。 1. 空间曲线的绘制 绘制空间曲线时一般使用曲线的参数方程，利用命令“ParametricPlot3D ”如画出参数方程「x =x(t) * y = y(t) , h Et “2所确定的空间曲线的命令格式为： Z =z(t) ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,tmi n, tmax}, 选项] 例1 画出旋转抛物面z = x2y2与上半球面z = 1亠：1 - x2- y2交线的图形。 X = cost 解：它们的交线为平面z=1上的圆x2+y2=1，化为参数方程为*y = sint,t"O,勿]，下面的 z = 1 mathematica命令就是作出它们的交线并把它存在变量p中： p ParametricPlot3D Cos t , Sin t , 1 , t, 0, 2 Pi 运行即得曲线如图1所示。 在这里说明一点，要作空间曲线的图形，必须先求出该曲线的参数 乍(x, y, z) =0 方程。如果曲线为一般式，其在xOy面上的投影柱面的 面及其方程 一曲面方程的概念 空间曲面可看做点的轨迹，而点的轨迹可由点的坐标所满足的方程来表达。因此，空间曲面可由方程来表示，反过来也成立。 为此，我们给出如下定义： 若曲面 S与三元方程 F x y z (,,) 0 (1) 有下述关系： 1、曲面 S上任一点的坐标均满足方程(1)； 2、不在曲面 S上的点的坐标都不满足方程(1)。 那么，方程(1)称作曲面 S的方程，而曲面S称作方程(1)的图形。 下面，我们来建立几个常见的曲面方程。 【例1】球心在点 ) , , ( z y x M ，半径为R的球面方程。 解：设M x y z (,,)是球面上的任一点，那么M M R 0=， 即： ()()()x x y y z z R -+-+-=020202 ()()()x x y y z z R -+-+-=0202022 (2) (2)式就是球面上任一点的坐标所满足的方程。 反过来，不在球面上的点 ''''M x y z (,,)，'M 到M 0的距离M M R 0'≠， 从而点 'M 的坐标不适合于方程(2)。 故方程(2)就是以 M x y z 0000(,,)为球心，R 为半径的球面方程。 若球心在原点，即 M x y z O 0000000(,,)(,,)=，其球面方程为 x y z R 2222++= 【例2】设有点A (,,)123和B (,,)214-，求线段AB 垂直平分面π 的方程。 解：所求平面π是与A 和B 等距离的点的几何轨迹，设M x y z (,,)是所求平面上任意 的一点，则 AM BM = 即： ()()()()()()x y z x y z -+-+-=-+++-123214222222 第2章 曲面与空间曲线的方程 本章教学目的：通过本章学习，使学生理解空间坐标系下曲面与空间曲线方程之定 义及表示，熟悉空间中一些特殊曲面、曲线的方程。 本章教学重点：空间坐标系下曲面与空间曲线方程的定义。 本章教学难点：（1）空间坐标系下母线平行于坐标轴的柱面方程与平面坐标系下有 关平面曲线方程的区别； （2）空间坐标系下，空间曲线一般方程的规范表示。 本章教学内容： §1 曲面的方程 一 普通方程： 1 定义：设Σ为一曲面，F （x ，y ，z ）=0为一三元方程，空间中建立了坐标系以后， 若Σ上任一点P （x ,y ,z ）的坐标都满足F （x ，y ，z ）=0，而且凡坐标满足方程的点都在曲面Σ上，则称F （x ，y ，z ）=0为Σ的普通方程，记作 Σ：F （x ，y ，z ）=0. 不难看出，一点在曲面Σ上〈═〉该点的坐标满足Σ的方程，即曲面上的点与其方程的解之间是一一对应的 ∴Σ的方程的代数性质必能反映出Σ的几何性质。 2 三元方程的表示的几种特殊图形： 空间中任一曲面的方程都是一三元方程，反之，是否任一三元方程也表示空间中的 一个曲面呢？一般而言这是成立的，但也有如下特殊情况 1° 若F （x ，y ，z ）=0的左端可分解成两个（或多个）因式F 1（x ，y ，z ） 与F 2（x ，y ，z ）的乘积，即F （x ，y ，z ）≡F 1（x ，y ，z ）F 2（x ，y ，z ），则 F （x ，y ，z ）=0〈═〉F 1（x ，y ，z ）=0或F 2（x ，y ，z ）=0，此时 F （x ，y ，z ）=0表示两叶曲面1∑与2∑，它们分别以F 1（x ，y ，z ）=0，F 2（x ，y ，z ）=0为其方程，此时称F （x ，y ，z ）=0表示的图形为变态曲面。如 0),,(=≡xyz z y x F 即为三坐标面。 20方程()()[] 0)3(21)(),,(222222=-+-+-++≡z y x z y x z y x F 仅表示坐标原点和点（1，2，3） 3°方程0),,(=z y x F 可能表示若干条曲线，如 0))((),,(2 222=++≡z y y x z y x F 即表示z 轴和x 轴 4°方程0),,(=z y x F 不表示任何实图形，如 §7.4空间曲面和空间曲线 本节以两种方式来讨论空间曲面： （1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程； （2）已知一个三元方程，研究这方程的图形。 7.4.1球面与柱面 (一)球面 空间中与一定点等距离的点的轨迹叫球面。 求球心在点),,( z y x M ，半径为R 的球面方程。 设),,(z y x M 为球面上的任一点，则有R M M = ，即 R z z y y x x =-+-+-222)()()( ，化简得： 2222)()()(R z z y y x x =-+-+- 。 ① 满足方程①，因此，方程①是球面的方程。 当0=== z y x 时，即球心在原点的球面方程为 2 222R z y x =++。 ② 例1.指出方程05642222=+--+++z y x z y x 表示何种曲面。 解：9415964412222+++-=+-++-+++z z y y x x ， 22223)3()2()1(=-+-++z y x ，方程表示以)3 ,2 ,1(-为球心，3为半径的球面。 （二）柱面 动直线L 沿给定曲线C 平行移动所形成的曲面，称为柱面。动直线L 称为柱面的母线，定曲线C 称为柱面的准线。 y 现在来建立以xoy 面上的曲线C ：? ??== . 0, 0),(z y x F 为准线，平行于L z 轴的直线 设) ,,( z y x M 为柱面上任一点，过 M 作平行于轴的直线 z ，交xoy 面于点 ) 0 , ,( y x M ，由柱面定义可知点上必在准线C M 。故有0),(= y x F 。由于 M M 与点点有相同的横坐标和纵坐标，故的坐标点 M 也必满足方程 0),(=y x F 。反之，如果空间一点) ,,( z y x M 满足方程0),(=y x F ，即0 ),(= y x F ，故 ) ,,( z y x M 且与轴平行的直线 z 必通过 上的点准线C ) 0 , ,( y x M ，即) 0 , ,( y x M 在过) 0 , ,( y x M 的母线上，于是) ,,( z y x M 必在柱面上，因此方程0),(=y x F 表示平行于轴的柱面 z 。 一般地 方程0) ,(=y x F 表示母线轴的柱面平行于 z ； 方程0) ,(=z y H 表示母线轴的柱面平行于 x ； 方程0) ,(=z x G 表示母线轴的柱面平行于 y 。 以二次曲线为准线的柱面称为二次柱面。 例如：方程2 2 2 a y x =+表示圆柱面；方程 12 22 2=+ b y a x 表示椭圆柱面； 方程12 2 22 =- b x a y 表示双曲柱面；方程Py x 22=表示抛物柱面。 y 22 a y = x x y 1 2 2=b y 第六节空间曲线的切线与空间曲面 的切平面 欧阳光明（2021.03.07） 一、空间曲线的切线与法平面 设空间的曲线C 由参数方程的形式给出：?? ???===)()()(t z z t y y t x x ，),(βα∈t ． 设),(,10βα∈t t ，)(),(),((000t z t y t x A 、))(),(),((111t z t y t x B 为曲线上两点，B A ，的连线AB 称为曲线C 的割线，当A B →时，若AB 趋于一条直线，则此直线称为曲线C 在点A 的切线． 如果)()()(t z z t y y t x x ===，，对于t 的导数都连续且不全为零（即空间的曲线C 为光滑曲线），则曲线在点A 切线是存在的．因为割线的方程为 也可以写为 当A B →时，0t t →，割线的方向向量的极限为{})(),(),(000t z t y t x '''，此即为切线的方向向量，所以切线方程为 )()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-． 过点)(),(),((000t z t y t x A 且与切线垂直的平面称为空间的曲线C 在点)(),(),((000t z t y t x A 的法平面，法平面方程为 如果空间的曲线C 由方程为 且)(),(0'0'x z x y 存在，则曲线在点)(),(,(000x z x y x A 的切线是 法平面方程为 如果空间的曲线C 表示为空间两曲面的交，由方程组 确定时，假设在),,(000z y x A 有0),(),(≠??=A z y G F J ，在),,(000z y x A 某邻域内满足隐函数组存在定理条件，则由方程组 ? ??==0),,(0),,(z y x G z y x F ，在点),,(000z y x A 附近能确定隐函数 有)(),(0000x z z x y y ==，) ,(),(1,),(),(1x y G F J dx dz z x G F J dx dy ??-=??-=。于是空间的曲线C 在 点),,(000z y x A 的切线是 即 法平面方程为 类似地，如果在点),,(000z y x A 有0),(),(≠??A y x G F 或0),(),(≠??A x z G F 时，我们得到的切线方程和法平面方程有相同形式。 所以，当向量 时，空间的曲线C 在),,(000z y x A 的切线的方向向量为r 例6.32 求曲线θθθb z a y a x ===,sin ,cos 在点()πb a ,0,-处的切线方程． 解 当πθ=时，曲线过点()πb a ,0,-，曲线在此点的切线方向向量为 {}{}b a b a a ,,0|,cos ,sin -=-=πθθθ， 所以曲线的切线方程为 b t z z a t y y t x x )()(0)(000-=--=-．空间曲面与空间曲线学习总结
曲面与空间曲线的方程
§7.4.1-3空间曲面和空间曲线
空间曲线的切线与空间曲面的切平面之欧阳光明创编