差分方程的解法

差分方程常用解法

1、 常系数线性差分方程的解

方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （1）

其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（1）为常系数线性方程。 又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （2）

为方程（1）对应的齐次方程。

如果（2）有形如n n x λ=的解，代入方程中可得：

0...1110=++++--k k k k a a a a λλλ （3） 称方程（3）为方程（1）、（2）的特征方程。

显然，如果能求出方程（3）的根，则可以得到方程（2）的解。 基本结果如下：

（1） 若（3）有k 个不同的实根，则（2）有通解：

n k k n n n c c c x λλλ+++=...2211，

（2） 若（3）有m 重根λ(即m 个根均为λ)，则通解中有构成项：

n m m n c n c c λ)...(121----+++

（3）若（3）有一对单复根 βαλi ±=，令：?ρλi e ±=，

αβ

?βαρarctan ,22=+=，则（2）的通解中有构成项：

n c n c n n ?ρ?ρsin cos 21-

-+ （4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（2）的通项中有构

成项:

n n c n c c n n c n c c n m m m m n m m ?ρ?ρsin )...(cos )...(1221121---++---+++++++

综上所述，由于方程（3）恰有k 个根，从而构成方程（2）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：-n x

如果能得到方程（1）的一个特解：*n x ，则（1）必有通解： =n x -n x +*

n x （4）

方程（4） 的特解可通过待定系数法来确定。

例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的m 次多项式，则当b 不是特征根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为n 的m 次多

项式；如果b 是r 重特征根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（1）

中确定出系数即可。

2、差分方程的z 变换解法(复变函数和几分变换)

对差分方程两边关于n x 取Z 变换，利用n x 的Z 变换F （z ）来表示出k n x +的Z 变换，然后通过解代数方程求出F （z ），并把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的n x

例1 设差分方程1,0,0231012===++++x x x x x n n n ，求n x

解：解法1：特征方程为0232=++λλ，有根：2,121-=-=λλ

故：n n n c c x )2()1(21-+-=为方程的解。

由条件1,010==x x 得：n n n x )2()1(---=

解法2：设F （z ）=Z(n x ),方程两边取变换可得： 0)(2))((3)1.)((0102=+-+--z F x z F z z x x z F z

由条件1,010==x x 得

23)(2++=z z z

z F 由F （z ） 在2>z 中解析，有

∑∑∑∞=∞=-∞=--=---=+-+=+-+=000)21()1(2)1(1)1(1111)2111()(k k k k k k k k k k

z z z z z z z z z F 所以，n n n x )2()1(---=

3、二阶线性差分方程组

设=)(n z )(n y x n ，

)(d c b a A =，形成向量方程组 )()1(n Az n z =+ （5）

则

)1()1(z A n z n =+ （6） （6）即为（5）的解。

为了具体求出解（6），需要求出n

A ，这可以用线性代数的方法计算。常用的方法有：

（1）如果A 为正规矩阵，则A 必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A 的特征值，相似变换矩阵由A 的特征向量构成：)1()()1(,,111z p p n z p p A p p A n n n Λ=+∴Λ=Λ=---。

（2）将A 分解成ηξξη,,/,=A 为列向量，则有

A A n n n .)(.......).(1//.//-===ηξηξηξηξηξ 从而，)1(.)()1()1(1/Az z A n z n n -==+ηξ

（3） 或者将A 相似于约旦标准形的形式，通过讨论A 的特征值的性态，

找出n

A 的内在构造规律，进而分析解)(n z 的变化规律，获得它的基本性质。

4、关于差分方程稳定性的几个结果

（1）k 阶常系数线性差分方程（1）的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程（3）所有的 特征根k i i ...2,1,=λ满足1

（2）一阶非线性差分方程

)(1n n x f x =+ （7）

（7）的平衡点-x 由方程)(-

-=x f x 决定，

将)(n x f 在点-x 处展开为泰勒形式：

)())(()(/---+-=x f x x x f x f n n （8）

故有：1)(/<-x f 时，（7）的解-

x 是稳定的，

1)(/>-

x f 时，方程（7）的平衡点-x 是不稳定的。

设系统分别用下面的差分方程描述

因为x(n)以N 为周期，所以: x(n 中kN —m) =x(n -m) 第三套 1.设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出, 判断系统是否是线性时不变的。 (1) y(n)=2x( n)+3 n y(n)= Z x(m) m 鱼 解: (1 ) 令：输入为x(n- n o )，输出为y '(n) =2x(n-山)+3，因为 y(n- n o ) =2x( n- n o )+3= y '(n) 故该系统是时不变的。又因为 T[ax 1 (n) + bx 2( n)] = 2ax 1 (n) + 2bx 2( n) + 3 T[ax i (n)] =2ax i (n)+3，T[bx 2(n)] =2bx 2(n) + 3 T[ax 1(n) + bx 2(n)] h aTIxJn)] +bT[x 2(n)] 故该系统是非线性系统。 n 令：输入为x(n- n o )，输出为y(n)=2： x(m-r t )，因为 m=0 n 』0 I y(n - n 。)= S x(m)北 y (n) m zzO 故系统是时变系统。又因为 n T[ax 1 (n) + bx 2(n)]=送(ax 1 (m) + bx 2(m)^ aT[x 1(n)] +bT[x 2(n)] m =0 2. 故系统是线性系统。 如果时域离散线性时不变系统的单位脉冲响应为 为周期的周期序列， 证明： h(n),输入x(n)是以N 试证明其输出 y(n)亦是以N 为周期的周期序列。 y( n)=h( n)*x( n)= □C y( n+kN)= Z m z=-oc h(m)x(n+kN - m) , k 为整数

差分方程的解法

1、常系数线性差分方程的解 方程（ 8）其中为常数，称方程（8）为常系数线性方程。 又称方程（9） 为方程（8）对应的齐次方程。 如果（9）有形如的解，带入方程中可得： （10） 称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。 显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。 基本结果如下： （1）若（10）有k个不同的实根，则（9）有通解： ， （2）若（10）有m重根，则通解中有构成项： （3）若（10）有一对单复根，令：，，则（9）的通解中有构成项： （4）若有m 重复根：，，则（9）的通项中有成项：

综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程 （9）的通解中必有k个独立的任意常数。通解可记为： 如果能得到方程（8）的一个特解：，则（8）必有通解： + （11） （1）的特解可通过待定系数法来确定。 例如：如果为n 的多项式，则当b不是特征根时，可设成形如形式的特解，其中为m次多项式；如果b是r重根时，可设特解：，将其代入（8）中确定出系数即可。 2、差分方程的z变换解法 对差分方程两边关于取Z变换，利用的Z 变换F（z）来表示出的Z变换，然后通过解代数方程求出F（z），并把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的 例1设差分方程，求 解：解法1：特征方程为，有根： 故：为方程的解。 由条件得： 解法2：设F（z）=Z(),方程两边取变换可得：

由条件得 由F（z）在中解析，有 所以， 3、二阶线性差分方程组 设，，形成向量方程组 （12）则 （13）（13）即为（12）的解。 为了具体求出解（13），需要求出，这可以用高等代数的方法计算。常用的方法有： （1）如果A为正规矩阵，则A必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值，相似变换矩阵由A的特征向量构成：。 （2）将A 分解成为列向量，则有 从而，

(完整版)差分方程模型(讲义)

差分方程模型 一. 引言 数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。 1. 确定性连续模型 1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。 2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。 3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。 4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。 2. 确定性离散模型 1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。 2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。 3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。 4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。 随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。 在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。

二. 差分方程简介 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。 1. 差分方程的定义 给定一个数列{}n x , 把数列中的前1+n 项i x ),,2,1,0(n i Λ=关联起来得到的方程，则称这个方程为差分方程。 2. 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为 02211=++++---k n k n n n x a x a x a x Λ， (1) 或者表示为 0),,,,(1=++k n n n x x x n F Λ (1’) 其中k 为差分方程的阶数，其中k a a a ,,,21Λ为差分方程的系数，且0≠k a )(n k ≤。 对应的代数方程 02211=++++--k k k k a a a Λλλλ (2) 称为差分方程(1)的对应的特征方程。(2)式中的k 个根k λλλ,,,21Λ称为(1)式的特征根。 2.1 差分方程的解 常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出方程解的形式。 2.1.1 特征根为单根(互不相同的根) 设差分方程(1)有k 个单特征根(互不相同的根)k λλλ,,,21Λ，则

差分方程与概率计算

第４期 随着科学技术的发展，差分方程在各个领域得到越来越多的应用，本文将介绍差分方程的一个简单的应用，即如何利用差分方程来求概率问题，虽然差分方程及其解法在很多方面类似于微分方程，但由于很少书籍介绍差分方程的内容，现在先了解一下差分方程的基本概念。 １．差分的概念［１］ 定义１ 设ｙ（ｔ）为定义在整数集上的函数，则称△ｙ（ｔ）＝ｙ（ｔ＋１）－ｙ（ｔ）为函数ｙ（ｔ）的一阶差分， △（△ｙ（ｔ））＝△２ｙ（ｔ）称为ｙ（ｔ）的二阶差分，△ｎｙ（ｔ）＝△（△ｎ－１ｙ（ｔ））称为ｙ（ｔ）的ｎ阶差分。 对于连续函数ｙ（ｔ），可以在区间［ａ，ｂ］内插入ｎ－１个分点：ａ＜ｔ０＜ｔ１＜…＜ｔｎ＝ｂ（为方便计算，可取等距离点），得函数值ｙ（ｔ０），ｙ（ｔ１），…，ｙ（ｔｎ），同样定义ｙ（ｔ）的各阶差分。 上述定义也可以称为向前差分，还可以用不同的形式定义向后差分与中心差分，三者实质是相同的，可以互相转换。差分具有线性运算及类似微分的运算性质。 ２．差分方程的概念［１］ 定义２差分方程的一般形式为：Ｆ（ｙ（ｔ）；△ｙ（ｔ），…，△ｎｙ（ｔ））＝０，方程中的最大足标ｉ＋ｎ与最小足标 ｉ之差为ｎ时，称之为ｎ阶的差分方程，其一般形式为：ａ０（ｔ）ｙ（ｔ）＋ａ１（ｔ）ｙ（ｔ）＋…＋ａｎ（ｔ）ｙ（ｔ）＝ｂ（ｔ），当ｂ（ｔ）＝０ 时，称为其次的，否则称为非其次的。 在求概率中应用到的一类差分方程，是一类简单的特殊形式，常用到的只有一阶常系数线性差分方程和二阶常系数线性差分方程，其一般形式为：ｘｎ＋１＝ａｘｎ＋ｂ （１）；ｘｎ＋２＝ａｘｎ＋１＋ｂｘｎ（２） ３．一阶、二阶常系数线性差分方程的解［２］引理１ 对于一阶常系数线性差分方程ｘｎ＋１＝ａｘｎ＋ｂｘｎ，ａ，ｂ为常数，若已知ｘ１＝ｃ（ｃ为常数）， 则ｘｎ＋１＝ａｎ ｃ＋（１－ａｎ ） １－ａ 引理２［３］ 对于二阶常系数线性差分方程ｘｎ＋２＝ａｘｎ＋１＋ｂｘ，ａ，ｂ为常数，若ｘ１＝ｍ１，ｘ２＝ｍ２（ｍ１，ｍ２为常数）， 则ｘｎ＋１＝λ１ｎ （ｍ１λ２－ｍ２）λ２－λ１＋λ２ｎ （ｍ２－ｍ１λ２）λ２－λ１ ，其中λ１、λ２是方程λ ２ －ａλ－ｂ＝０的两根。证明令ｘｎ＝Ａλｎ代入（２）得：Ａλｎ（λ２－ａλ－ｂ）＝０，称方程λ２ －ａλ－ｂ＝０为差分方程（２）的特征方程，且（２） 的解与特征方程的解有关系式：ｘｎ＋１＝ｃ１λ１ｎ＋１ ＋ｃ２λ２ｎ＋２ ， 因给定初值ｘ１＝ｍ１ｘ２＝ｍ２" ， 代入上式得：ｍ１＝ｃ１λ１＋ｃ２λ２ ｍ２＝ｃ１λ１２＋ｃ２λ２ ２ " 差分方程与概率计算 唐燕玉 （安庆师范学院学报编辑部，安徽安庆２４６０１１） 摘要：全文介绍了差分方程的概念，并给出了一阶差分方程ｘｎ＋１＝ａｘｎ＋ｂ的通解与给定初始条件ｘ１＝ｃ的特解，同时又给出了二阶差分方程ｘｎ＋２＝ａｘｎ＋１＋ｂｘｎ的通解与给定初始条件ｘ１＝ｍ１，ｘ２＝ｍ２的特解，并详细讨论了这两种差分方程在概率论中的应用。 关键词：概率；差分；差分方程；试验；全概公式中图分类号：Ｏ２１１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７－４２６０（２００６）０４－００９１－０３ 收稿日期：２００６－０１－２８ 作者简介：唐燕玉（１９５１－），女，安徽枞阳人，安庆师范学院学报（自然科学版）主编。 安庆师范学院学报（自然科学版） ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｎｑｉｎｇＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ） ２００６年１１月 Ｎｏｖ．２００６第１２卷第４期 Ｖｏｌ．１２Ｎｏ．４

差分方程的解法分析及MATLAB实现(程序)

差分方程的解法分析及MATLAB 实现（程序） 摘自：张登奇,彭仕玉.差分方程的解法分析及其MATLAB 实现[J]. 湖南理工学院学报.2014(03) 引言 线性常系数差分方程是描述线性时不变离散时间系统的数学模型,求解差分方程是分析离散时间系统的重要内容.在《信号与系统》课程中介绍的求解方法主要有迭代法、时域经典法、双零法和变换域 法[1]. 1 迭代法 例1 已知离散系统的差分方程为)1(3 1)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y ,激励信号为)()4 3()(n u n x n =,初始状态为21)2(4)1(=-=-y y ，.求系统响应. 根据激励信号和初始状态,手工依次迭代可算出24 59)1(,25)0(==y y . 利用MATLAB 中的filter 函数实现迭代过程的m 程序如下: clc;clear;format compact; a=[1,-3/4,1/8],b=[1,1/3,0], %输入差分方程系数向量,不足补0对齐 n=0:10;xn=(3/4).^n, %输入激励信号 zx=[0,0],zy=[4,12], %输入初始状态 zi=filtic(b,a,zy,zx),%计算等效初始条件 [yn,zf]=filter(b,a,xn,zi),%迭代计算输出和后段等效初始条件 2 时域经典法 用时域经典法求解差分方程:先求齐次解；再将激励信号代入方程右端化简得自由项,根据自由项形 式求特解；然后根据边界条件求完全解[3].用时域经典法求解例1的基本步骤如下. （1）求齐次解.特征方程为081432=+-αα,可算出4 1 , 2121==αα.高阶特征根可用MATLAB 的roots 函数计算.齐次解为. 0 , )4 1()21()(21≥+=n C C n y n n h （2）求方程的特解.将)()4 3()(n u n x n =代入差分方程右端得自由项为 ?????≥?==-?+-1,)4 3(9130 ,1)1()43(31)()43(1n n n u n u n n n 当1≥n 时,特解可设为n p D n y )4 3()(=,代入差分方程求得213=D . （3）利用边界条件求完全解.当n =0时迭代求出25)0(=y ,当n ≥1时,完全解的形式为 ,)4 3(213 )41()21()(21n n n C C n y ?++=选择求完全解系数的边界条件可参考文[4]选)1(),0(-y y .根据边界条件求得35,31721=-=C C .注意完全解的表达式只适于特解成立的n 取值范围,其他点要用 )(n δ及其延迟表示,如果其值符合表达式则可合并处理.差分方程的完全解为

离散系统差分方程计算

1.设离散控制系统差分方程为x采样周期T。试求：（1） 系统的脉冲传递函数。（2）系统的频率特性表达式。 解：差分方程两边取Z变换，得 脉冲传递函数 频率特性 2.假设离散系统差分方程为。其中; ，，，。试求:(1)分析系统的稳定性。（2），，。 解：（1）对差分方程两边取Z变换，得 特征方程： 解得：； 由于，即系统稳定。 （2）n=0时， n=1时， n=2时， 3.某离散控制系统的差分方程为，其中： ，，，，，，。试求：（1），。（2）分析稳定性。 解：（1）对差分方程两边Z变换，得 特征方程： 解得：； 由于，所以系统稳定。

（2）n=0时， n=1时。 4.离散控制系统的差分方程为：，其中 ，，时，时。试求：(1)，，。（2）脉冲传递函数。 解：（1）差分方程两边取Z变换，得 特征方程： 解得：； 由于，所以系统稳定。 （2）n=0时， n=1时， n=2时， 5.已知：离散控制系统的差分方程为。试求：脉冲传 递函数。系统频率特性 解：对差分方程Z变换，得 频率特性 6.某离散系统的差分方程为=，其中 ，。试求（1）脉冲传递函数，并分析稳定。（2） ，，。 解：对差分方程两边Z变换，得 （）

特征方程： 解得：； 由于，所以系统稳定。 (2)n=0时， n=1时， n=2时，y 7.已知离散系统的差分方程为，试求：（1）脉冲传递 函数。（2）分析系统稳定性 解：（1）对差分方程两边Z变换，得 (2)特征方程：=0 解得：； 由于，所以系统临界稳定。 8.离散系统差分方程为，其中 ，；。试求：，，。（）分析稳定性。 解：(1)n=0时， n=1时， n=2时， (2)对差分方程两边Z变换，得 特征方程： 解得：； 由于，所以系统稳定。 9.某离散系统差分方程为，其中：， 时，；时，。试求：，，。（2）分析

差分方程

差分方程

第九节差分方程 迄今为止，我们所研究的变量基本上是属于连续变化的类型. 但在经济管理或其它实际问题中，大多数变量是以定义在整数集上的数列形式变化的，银行中的定期存款按所设定的时间等间隔计息，国家财政预算按年制定等等. 通常称这类变量为离散型变量. 对这类变量，我们可以得到在不同取值点上的各离散变量之间的关系，如递推关系等. 描述各离散变量之间关系的数学模型称为离散型模型. 求解这类模型就可以得到各离散型变量的运行规律. 本节将介绍在经济学和管理科学中最常见的一种离散型数学模型—差分方程. 内容分布图示 ★引言★差分的概念★例1-5 ★差分方程的概念★例6 ★例7 ★一阶常系数线性齐次差分方程 ★一阶常系数线性非齐次差分方程 ★例9-14 ★例15 ★例16 ★二阶常系数线性差分方程

★ 二阶常系数线性齐次差分方程的通解 ★ 例17 ★ 例18 ★ 例19 ★ 二阶常系数线性非齐次差分方程的特解 ★ 例20-23 差分方程在经济学中的应用 ★ 模型1 ★ 模型2 ★模型3 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-9 ★ 返回 内容要点： 一、 差分的概念与性质 一般地，在连续变化的时间范围内，变量y 关于时间t 的变化率是用dt dy 来刻画的；对离散型的变量y ，我们常取在规定的时间区间上的差商 t y ??来刻画变量y 的变化率. 如果 选择1=?t ，则 )()1(t y t y y -+=? 可以近似表示变量y 的变化率. 由此我们给出差分的定义. 定义 1 设函数).(t y y t = 称改变量t t y y -+1为函数t y 的差分, 也称为函数t y 的一阶差分, 记为t y ?, 即 t t t y y y -=?+1 或 )()1()(t y t y t y -+=?. 一阶差分的差分称为二阶差分t y 2?, 即 t t t t y y y y ?-?=??=?+12)(

有限差分法求解偏微分方程MATLAB

南京理工大学 课程考核论文 课程名称：高等数值分析 论文题目：有限差分法求解偏微分方程姓名：罗晨 学号： 成绩： 有限差分法求解偏微分方程

一、主要内容 1.有限差分法求解偏微分方程，偏微分方程如一般形式的一维抛物线型方程： 22(,)()u u f x t t x αα??-=??其中为常数 具体求解的偏微分方程如下： 22001 (,0)sin()(0,)(1,)00 u u x t x u x x u t u t t π???-=≤≤?????? =??? ==≥??? 2.推导五种差分格式、截断误差并分析其稳定性； 3.编写MATLAB 程序实现五种差分格式对偏微分方程的求解及误差分析； 4.结论及完成本次实验报告的感想。 二、推导几种差分格式的过程： 有限差分法（finite-difference methods ）是一种数值方法通过有限个微分方程近似求导从而寻求微分方程的近似解。有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。 推导差分方程的过程中需要用到的泰勒展开公式如下： ()2100000000()()()()()()()......()(()) 1!2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n +'''=+-+-++-+- (2-1) 求解区域的网格划分步长参数如下：

差分方程的基本知识(3)

差分方程模型的理论和方法 1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。

时间序列分析讲义 第01章 差分方程

第一章 差分方程 差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。 §1.1 一阶差分方程 假设利用变量t y 表示随着时间变量t 变化的某种事件的属性或者结构，则t y 便是在时间t 可以观测到的数据。假设t y 受到前期取值1-t y 和其他外生变量t w 的影响，并满足下述方程： t t t w y y ++=-110φφ (1.1) 在上述方程当中，由于t y 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值1-t y ，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。如果变量t w 是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量t w 是随机变量，则此方程是随机差分方程。在下面的分析中，我们假设t w 是确定性变量。 例1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为t m 、t I 、bt r 和ct r ，则可以估计出美国货币需求函数为： ct bt t t t r r I m m 019.0045.019.072.027.01--++=- 上述方程便是关于t m 的一阶线性差分方程。可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。 1.1.1 差分方程求解：递归替代法 差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。 由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程： 0=t ：01100w y y ++=-φφ 1=t ：10101w y y ++=φφ t t =：t t t w y y ++=-110φφ 依次进行叠代可以得到： 1011211010110101)()1()(w w y w w y y ++++=++++=--φφφφφφφφ 0111122113121102)1(w w w y y φφφφφφφ++++++=- i t i i t t i i t w y y ∑∑=-=++=0 111 1 0φφφφ (1.2) 上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。上述通过叠代将 t y 表示为前期变量和初始值的形式，从中可以看出t y 对这些变量取值的依赖性和动态变化 过程。 1.1. 2. 差分方程的动态分析：动态乘子(dynamic multiplier) 在差分方程的解当中，可以分析外生变量，例如0w 的变化对t 阶段以后的t y 的影响。假设初始值1-y 和t w w ,,1 不受到影响，则有：

用matlab实现线性常系数差分方程的求解

数字信号处理课程设计 题目：试实现线性常系数差分方程的求解 学院： 专业： 班级： 学号： 组员： 指导教师：

题目：用Matlab 实现线性常系数差分方程求解 一． 设计要求 1． 掌握线性常系数差分方程的求解 2． 熟练掌握Matlab 基本操作和各类函数调用 3． 结合Matlab 实现线性常系数差分方程的求解 二．设计原理 1．差分与差分方程 与连续时间信号的微分及积分运算相对应，离散时间信号有差分及序列求和运算。设有序列f(k),则称…,f(k+2),f(k+1),…,f(k －1),f(k －2),…为f(k)的移位序列。序列的差分可以分为前向差分和后向差分。一阶前向差分定义为 ()(1)()f k f k f k ?=+- （3.1—1） 一阶后向差分定义为 ()()(1)f k f k f k ?=-- （3.1—2） 式中Δ和Δ称为差分算子。由式（3.1—1）和式（3.1—2）可见，前向差分与后向差分的关系为 ()(1)f k f k ?=?- （3.1—3） 二者仅移位不同，没有原则上的差别，因而它们的性质也相同。此处主要采用后向差分，并简称其为差分。 由查分的定义，若有序列1()f k 、2()f k 和常数1a ，2a 则 1122112211221112221122[()()][()()][(1)(1)][()(1)][()(1)]()() a f k a f k a f k a f k a f k a f k a f k f k a f k f k a f k a f k ?+=+--+-=--+--=?+? （3.1—4） 这表明差分运算具有线性性质。 二阶差分可定义为 2()[()][()(1)]()(1) ()2(1)(2) f k f k f k f k f k f k f k f k f k ?=??=?--=?-?-=--+- （3.1—5） 类似的，可定义三阶、四阶、…、n 阶差分。一般地，n 阶差分

差分方程模型的理论和方法

第九章 差分方程模型的理论和方法 引言 1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模： 在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而 建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。 差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。 第一节 差分方程的基本知识 一、 基本概念 1、 差分算子 设数列{}n x ，定义差分算子n n n x x x -=??+1:为n x 在n 处的向前差分。 而1--=?n n n x x x 为n x 在n 处的向后差分。 以后我们都是指向前差分。 可见n x ?是n 的函数。从而可以进一步定义n x ?的差分： n n x x 2)(?=?? 称之为在n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。 类似可定义在n 处的k 阶差分为：

差分方程求解

例题：已知差分方程51 (2)(1)()(+1)+0.5()66 x k x k x k r k r k +-++=，其中r (k )=1，k ≥0，x (0)=1， x (1)=2。 (1) 试由迭代法求其全解的前5项； (2) 分别由古典法求其零输入解、零状态解，以及全解； (3) 用Z 变换法求解差分方程。 解：注：解题过程中出现的下标“zi ”和“zs ”分别表示零输入条件和零状态条件。 1. 迭代法 题目中给出的条件仅仅是零输入初始条件，进行迭代求解时的初始条件应该是全解初始条件。 (1) 零输入初始条件 本题已给出零输入时的两个初始条件x zi (0)=1，x zi (1)=2。 (2) 零状态初始条件 取k =-2时，则51 (0)(1)(2)(1)0.5(2)66x x x r r --+-=-+-，得x zs (0)=0； 取k =-1 时，则51 (1)(0)(1)(0)0.5(1)66 x x x r r -+-=+-，求得x zs (1)=1。 (3) 全解初始条件 x (0)= x zi (0)+ x zs (0)=1； x (1)= x zi (1)+ x zs (1)=3。 (4) 根据求出的全解x (0)和x (1)，利用迭代法求解 取k =0时，则51(2)(1)(0)(1)0.5(0)66x x x r r -+=+，求得23(2)6x =； 取k =1时，则51(3)(2)(1)(2)0.5(1)66x x x r r -+=+，求得151 (3)36x =； 取k =2时，则51(4)(3)(2)(3)0.5(2)66x x x r r -+=+，求得941 (4)216 x =。 2. 古典法 (1) 零输入解 令输入为零，则得齐次方程 51 (2)(1)()066 x k x k x k +-++= (a) 根据差分方程定义的算子()()n d x k x k n =+，可得它的特征方程251 066 d d -+= 求得特征根为： 112d = ，21 3 d =

差分方程

差 分 方 程 内 容 提 要 一、差分及差分方程 1、差分 设t y 在区间[0,)+∞上定义。记()t y y t =，其中0,1,2,.t =L 称 1(1)()t t t y y y y t y t +?=-=+-，0,1,2,t =L 为()y t 在时刻t 的一阶差分（习惯上把t 以时间计），称21t t t y y y +?=?-? 即一阶差分的差分为()y t 在时刻t 的二阶差分。高于二阶的差分可依此类推。 （由1t t t y y y +?=-，知21212t t t t t t y y y y y y +++?=?-?=-+， 一般1110!(1)!()! k k k k i t t t t k i i k y y y y i k i --++-=?=?-?=--∑，0,1,2,t =L ） 2、差分方程 设t y 在区间[0,)+∞上定义，称包含有自变量t ，未知函数()()t t y y y t =及其一阶差分t y ?的方程(,,t t t y y ??=，0,1,2,t =L （1）为一阶差分方程，或者称包含有,t t y 及1t y +的方程 1(,,)0t t t y y ?+=，0,1,2,t =L （2） 为一阶差分方程。如果把函数()(0,1,2,)y t t =L 代入差分方程（1）或（2），能使方程（1）或（2）对0,1,2,t =L 均为恒等式，称()(0,1,2,)y t t =L 为差分方程（1）或（2）的解。一阶差分方程的一般解包含有一个任意常数，任意常数取特定值的解称为特解，确定特解的条件0(0)y y =称为定解条件 二阶及高于二阶的差分方程、一般解、特解类似定义。 形如 11()()t t y a t y f t ++= 或 2112()()()t t t y a t y a t y f t ++++= 的方程分别称作一阶或二阶线性差分方程，其中12(),,(),0a t a f t C t ∈≥。 线性差分方程（齐次、非齐次）的解的性质与线性微分方程（齐次、非齐次）的解的性质完全一样。 二、一阶常系数线性差分方程 1、齐次方程 10,0,1,2,, t t y ay t a ++==L 为常数 由迭代法易知齐次方程的一般解为(),1,2,3,t t y C a t =-=L 满足条件0(0)y y =的特解为0()t t y y a =-，1,2,3,t =L 2、非齐次方程 1()t t y ay f t ++=，0,1,2,3,t =L ，故非齐次方程的一般解为(),1,2,t t t y C a Y t =-+=L ， 其中()t C a -是对应齐次方程10t t y ay ++=的一般解，t Y 是原非齐次方程的一个特解（取

给定下述系统的差分方程

第四套 1. 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果、稳定系统，并说明理 由。 (1) 1 1()()N k y n x n k N -== -∑ (2) ()()(1)y n x n x n =++ (3) () ()x n y n e = 解： （1）只要N ≥1，该系统就是因果系统，因为输出只与n 时刻的和n 时刻以前的输入有关。如果|()|x n M ≤，则|()|y n M ≤，因此系统是稳定系统。 （2）该系统是非因果系统，因为n 时刻的输出还和n 时刻以后（（n+1）时间）的输入有关。如果|()|x n M ≤，则|()||()||(1)|2y n x n x n M ≤++≤，因此系统是稳定的。 （3）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果 |()|x n M ≤，则() |()| |()|||x n x n M y n e e e =≤≤，因此系统是稳定的。 2. 工程实际中，经常采用数字滤波器对模拟信号进行滤波处理，处理系统框 图如图所示。图中T 为采样周期，假设T 满足采样定理（无频率混叠失真）。把从()a x t 到y(t)的整个系统等效成一个模拟滤波器。 (a)如果数字滤波器h(n)的截止频率为8 c w ra d π = ， 1T =10 kHz ，求整个等 效系统的截止频率c Ω。 (b)对于1T =20 kHz ，重复(a)。 解： (a) 对采样数字滤波器，w T =Ω，所以

8 c c w T π =Ω= 8c c w T T π Ω= = 最后一级理想低通滤波器的截止频率为T π rad/s ，因此整个系统截止频 率由8c T π Ω= rad/s 确定。 110000625 21616 c c f T πΩ= = == Hz (b) 当1/T=20 Hz 时，与(a)同样道理得： 1200001250 1616 c f T = == Hz 3. 求以下序列x(n)的频谱()jw X e (1)1()()|1jw jw a jw z e X e X z e e --=== - (2) ()an e u n - 解： （1）0 0()[()][()]n X z Z x n Z n n z δ-==-= ()()|jw jn w jw z e X e X z e -=== （2）1 1()[()]1an a X z Z e u n e z ---==- 1()()|1jw jw a jw z e X e X z e e --=== - 4. 设h(n)为一个LSI 系统的单位采样响应，h(n)= 21 ()(2)3 n u n +-,求其频 率响应。 解：其频率响应为： 2 2 1 ()()() 3n jw jnw jnw n H e h n e e +∞ ∞ --=-∞ = = ∑ ∑ 改变这个和的下限以使其开始于n=0，得： 4 (2)4 20 1 1 1 ()() ()() 33 3n n jw j n w jw jw n n H e e e e +∞ ∞ -+--====∑∑ 利用几何级数，得

差分方程基本概念和方法

差分方程基本概念和方法 考察定义在整数集上的函数，(),,2,1,0,1,2, n x f n n ==-- 函数()n x f n =在n 时刻的一阶差分定义为： 1(1)()n n n x x x f n f n ?+=-=+- 函数()n x f n =在n 时刻的二阶差分定义为一阶差分的差分： 21212n n n n n n x x x x x x ???+++=-=-+ 同理可依次定义k 阶差分 k n x ? 定义1．含有自变量n ,未知函数n x 以及n x 的差分2,, n n x x ??的函数方程, 称为常 差分方程，简称为差分方程。出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方 程的阶。 k 阶差分方程的一般形式为 (,,, ,)0k n n n F n x x x ??= 其中(,,,,)k n n n F n x x x ??为,,, k n n n n x x x ??的已知函数，且至少k n x ?要在式中出 现。 定义2．含有自变量n 和两个或两个以上函数值1,, n n x x +的函数方程，称为（常） 差分方程，出现在差分方程中的未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。 k 阶差分方程的一般形式为 1(,,, ,)0n n n k F n x x x ++= 其中1(,,,,)n n n k F n x x x ++为1,,, n n n k n x x x ++的已知函数，且n x 和n k x +要在式中一定 要出现。 定义3．如果将已知函数()n x n ?=代入上述差分方程，使其对0,1,2, n =成为恒 等式，则称()n x n ?=为差分方程的解。如果差分方程的解中含有k 个独立的任意

差分方程方法

第四章 差分方程方法 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等等，但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型，因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。 下面就不同类型的差分方程进行讨论。所谓的差分方程是指：对于一个数列{}n x ，把数列中的前1+n 项()n i x i ,2,1,0=关联起来所得到的方程。 4．1常系数线性差分方程 4.1.1 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为 02211=+?+++---k n k n n n x a x a x a x (4.1) 其中k 为差分方程的阶数，()k i a i ,,2,1 =为差分方程的系数，且()n k a k ≤≠0。对应的代数方程 02 211=++++--k k k k a a a λ λλ （4.2） 称为差分方程的（4.1）的特征方程，其特征方程的根称为特征根。 常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出差分方程解的形式。 1. 特征根为单根 设差分方程（4.1）有k 个单特征根 k λλλλ,,,,321 ，则差分方程（4.1）的通解为 n k k n n n c c c x λλλ+++= 2211， 其中k c c c ,,,21 为任意常数，且当给定初始条件 () 0 i i x λ= ()k i ,,2,1 = (4.3) 时，可以唯一确定一个特解。 2. 特征根为重根 设差分方程（4.1）有l 个相异的特征根()k l l ≤≤1,,,,321λλλλ 重数分别为 l m m m ,,,21 且k m l i i =∑=1 则差分方程（4.1）的通解为

常微分方程与差分方程知识点

常微分方程与差分方程知识点 考试纲要 常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程 微分方程的简单应用 差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 考试要求 1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念 2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法 3、会解二阶常系数齐次线性微分方程 4、了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程 5、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念 6、了解一阶常系数线性差分方程的求解方法 7、会用微分方程求解简单的经济应用问题 重要知识点 1、微分方程通解中任意常数的个数与微分方程的阶数相同 2、变量可分离微分方程解法 g(y)dy f (x)dxg(y)dy f(x)dx G(y) F(x) C 3、齐次微分方程解法 dy(y)T殳u y- dU dx T再用y代替u dx x x (u) u x x 附：可化为齐次的方程 c C| 0,可化为齐次微分方程 a b . . a1 bi dy ax by c dx ax by c c或c o a b a b x X h 0,设h,带入原方程解出h,k,可化为齐次微分方程y Y k 设印b,dy ax by c ,令ax a b dx (ax by) c 则可化为史的变量可分离微分方程 dx by v, 0,

7、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 齐次方程y t 1 ay t 0的通解为y t C a ，其中C 是一个任意常数。 若给定初始条件y 0 C o ，则y 0 C 0 a t 即为满足该初始条件的特解。 对于非齐次方程 y t 1 ay t f (t)，其通解也是非齐次方程的一个特解 y t*与对应齐次方程通解之和。即: ? t y t y t C a 。