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第三章作业判别函数

1. 在一个十类的模式识别问题中，有三类单独满足多类情况1，其余的类别满足多类情况2，问该模式识别问题所需判别函数的最少数目为多少？答：有3类满足多类情况1，区分它们需要3个判别函数，剩下七个满足多类情况2，

区分它们需要7*6/2=21个，共需要24个判别函数。

2．一个三类问题，其判别函数如下：

d1(x)=-x1, d2(x)=x1+x2-1, d3(x)=x1-x2-1

(a) 设这些函数是在多类情况1条件下确定的，绘出其判别界面和每一模式类别的区域。

(b) 设为多类情况2,并使d12(x)=d1(x),d13(x)=d2(x),d23(x)=d3(x).绘出其判别界面和多类情况2的区域。

(b) d12(x)=-x1, d13(x)=x1+x2-1, d23(x)=x1-x2-1

112120,10,10x x x x x -=+-=--=为三个判别界面

11213:0,0d d ω>>

22123:0,0d d ω>> 33132:0,0d d ω>>

(c) 属于1ω类的区域应满足1213()(),()()d x d x d x d x >>，故1ω的判别界面为 121212()()()210d x d x d x x x =-=--+= 131312()()()210d x d x d x x x =-=-++=

属于2ω类的区域应满足2123()(),()()d x d x d x d x >>，故2ω的判别界面为 212112()()()210d x d x d x x x =-=+-= 23232()()()20d x d x d x x =-==

属于3ω类的区域应满足3132()(),()()d x d x d x d x >>，故3ω的判别界面为 313112()()()210d x d x d x x x =-=--= 32322()()()20d x d x d x x =-=-=

3．两类模式，每类包括5个3维不同的模式，且良好分布。如果它们是线性可分的，问权向量至少需要几个系数分量？假如要建立二次的多项式判别函数，又至少需要几个系数分量？（设模式的良好分布不因模式变量变换面改变。）解：线性可分至少须系数个数为：维数＋1＝3+1＝4

若用非线性变换：权向量至少需要3r C r

+个。如：建立二次多项式判别函数，系数个数为＝1025223==+C C 。

4．用感知器算法求下列模式分类的解向量w :

ω1: {(0 0 0)T, (1 0 0)T, (1 0 1)T, (1 1 0)T} ω2: {(0 0 1)T, (0 1 1)T, (0 1 0)T, (1 1 1)T}

解：将属于2ω的训练样本乘以(－1)，并写成增广向量的形式 x1=(0 0 0 1)’ , x2=(1 0 0 1)’, x3’=(1 0 1 1)’, x4=(1 1 0 1)’

x5=(0 0 -1-1)’, x6=(0 -1 -1 -1)’, x7= (0 -1 0 -1)’, x8=(-1 -1 -1 -1)’ 第一轮迭代：取C=1，w(1)=(0,0,0,0)’ 则迭代过程为：

(1)1(0000)(0001)'0t w x ==

所以 (2)(1)1(0001)'w w x =+=

(2)2(0

001)(1001)'1,0t

w x ==>

所以 (3)(2)(0001)'w w ==

(3)3(0

001)(1011)'1,0t

w x ==>

所以 (4)(3)(0001)'w w ==

(4)4(0

001)(1101)'1,0t

w x ==>

所以 (5)(4)(0001)'w w ==

(5)5(0

001)(0011)'1t

w x =--=-

所以 (6)(5)5(0010)'w w x =+=-

(6)6(0

010)(0111)'10t

w x =----=>

所以 (7)(6)6(0010)'w w x =+=-

(7)7(0

010)(0101)'0t

w x =---=

所以 (8)(7)7(0111)'w w x =+=---

(8)8(0

111)(1111)'3,0t

w x =-------=>

所以 (9)(8)(0111)'w w ==---

第二轮迭代： (9)1(0

111)(0001)'1t

w x =---=-

所以 (10)(9)1(0110)'w w x =+=--

(10)2(0

110)(1001)'0t

w x =--=

所以 (11)(10)2(1111)'w w x =+=--

(11)3(1111)(1011)'10t

w x =--=> 所以 (12)(11)(1111)'w w ==--

(12)4(1111)(1101)'10t w x =--=>

所以 (13)(12)(1111)'w w ==-- (13)5(1111)(0

011)'0t

w x =----=

所以 (14)(13)5(1120)'w w x =+=--

(14)6(112

0)(0111)'30t

w x =-----=>

所以 (15)(14)(1120)'w w ==--

(15)7(112

0)(0101)'10t

w x =----=>

所以 (16)(15)(1120)'w w ==--

(16)8(112

0)(1111)'20t

w x =------=>

所以 (17)(16)(1120)'w w ==--

第三轮迭代：

(17)1(112

0)(0001)'0t

w x =--=

所以 (18)(17)1(1121)'w w x =+=-- (18)2(1121)(1001)'20t

w x =--=>

所以 (19)(18)(1121)'w w ==--

(19)3(1121)(1011)'0t w x =--= 所以 (20)(19)3(2112)'w w x =+=--

(20)4(2

112)(1101)'30t w x =--=>

所以 (21)(20)(2112)'w w ==--

(21)5(2

112)(0011)'1t

w x =----=-

所以 (22)(21)5(2121)'w w x =+=--

(22)6(2

121)(0111)'20t

w x =-----=>

所以 (23)(22)(2121)'w w ==--

(23)7(2

121)(0101)'0t

w x =----=

所以 (24)(23)7(2220)'w w x =+=--

(24)8(2

220)(1111)'20t

w x =------=>

所以 (25)(24)(2220)'w w ==--

第四次迭代：w= [2 -2 -2 1]’ 第五次迭代：w= [2 -2 -2 1]’

最后结果：得解向量w=(2 -2 -2 1)’，相应的判别函数为

123 d(x)=2x -2x -2x +1

5．编写求解上述问题的感知器算法程序。解：

%将样本写成增广向量的形式，并将属于w2的样本乘以（-1） X1=[0 0 0 1;1 0 0 1;1 0 1 1;1 1 0 1]; X2=[0 0 1 1;0 1 1 1;0 1 0 1;1 1 1 1]; X2=X2*(-1); A=[X1;X2];

w=[0 0 0 0]; %设置初始权向量 flag=0; %设置标志 while flag==0

m=[0 0 0 0 0 0 0 0]; for i=1:8 y=w*A(i,:)'; if y<=0 w=A(i,:)+w; m(i)=1; end ; end ;

w %输出迭代过程中权向量 if m==[0 0 0 0 0 0 0 0] flag=1; end ; end ;

6．用多类感知器算法求下列模式的判别函数： ω1: {(-1,-1)T }，ω2: {(0,0)T } ，ω3: {(1,1)T } 解：将模式样本写成增广向量的形式，即

x1=(-1 -1 1)’， x2=(0 0 1)’，x3=(1 1 1)’

取初始值123(1)(1)(1)(000)'w w w ===，取C=1 第一次迭代（k=1）：以x1作为训练样本，即

1122

33(1)(1)10(1)(1)10(1)(1)10t t t

d w x d w x d w x ======，，因123(1)=(1)(1)d d d =，所以

11(2)=(1)1(111)'w w x +=-- 22(2)=(1)1(111)'w w x -=- 33(2)=(1)1(111)'w w x -=- 第二次迭代（k=2）：以x2作为训练样本，即

112233(2)(2)21

(2)(2)21(2)(2)21t t t

d w x d w x d w x ====-==，，因2123(2)(2)(2)(2)d d d d <<，，所以 11(3)=(2)2(110)'w w x -=-- 22(3)=(2)2(110)'w w x += 33(3)=(2)2(112)'w w x -=- 第三次迭代（k=3）：以x3作为训练样本，即

1122

33(3)(3)32(3)(3)32(3)(3)30t t t

d w x d w x d w x ==-====，，因3132(3)(3)(3)(3)d d d d ><，，所以 11(4)=(3)(110)'w w =-- 22(4)=(3)3(001)'w w x -=- 33(4)=(3)3(221)'w w x +=- 第四次迭代（k=4）：以x1作为训练样本，即

1122

33(4)(4)12(4)(4)11(4)(4)15t t t d w x d w x d w x ====-==-，，因1213(4)(4)(4)(4)d d d d >>，，所以

112233(5)=(4)(110)'

(5)=(4)(0

01)'(5)=(4)(221)'

w w w w w w =--=-=-

第五次迭代（k=5）：以x2作为训练样本，即

1122

33(5)(5)22(5)(5)21(5)(5)21t t t

d w x d w x d w x ====-==-，，因2123(5)(5)(5)(5)d d d d <=，，所以

112233(6)=(5)2(111)'

(6)=(5)2(0

00)'

(6)=(5)2(222)'

w w x w w x w w x -=---+=-=-

第六次迭代（k=6）：以x3作为训练样本，即

1122

33(6)(6)33(6)(6)30(6)(6)32t t t d w x d w x d w x ==-====，，因3132(6)(6)(6)(6)d d d d >>，，所以

112233(7)=(6)(111)'

(7)=(6)(0

00)'

(7)=(6)(222)'

w w w w w w =---==-

第七次迭代（k=7）：以x1作为训练样本，即

112233(7)(7)11

(7)(7)10(7)(7)16t t t

d w x d w x d w x ======-，，因1213(7)(7)(7)(7)d d d d >>，，所以

112233(8)=(7)(111)'

(8)=(7)(0

00)'

(8)=(7)(222)'

w w w w w w =---==-

第八次迭代（k=8）：以x2作为训练样本，即

112233(8)(8)21

(8)(8)20(8)(8)22t t t d w x d w x d w x ==-====-，，因2123(8)(8)(8)(8)d d d d >>，，所以

112233(9)=(8)(111)'

(9)=(8)(0

00)'

(9)=(8)(222)'

w w w w w w =---==-

由于六、七、八这三次迭代中对x1，x2，x3都已正确分类，算法收敛，故权向量

的解为

123(111)(000)(222)T T T w w w =---==-，，

因此得三个判别函数为：d1(x)=-x1-x2-1； d2(x)=0；d3(x)=2x1＋2x2-2。 7．采用梯度算法和准则函数

1(,,)[()||]8T T J w x b w x b w x b x =

---P P

式中实数b>0，试导出两类模式的分类算法。

解：

[][

]

)sgn()(||

||412b x w x x b x w b x w x J t

t t -----=??ω ()

??≤-->-=0,10,02b x w x b x w x b x w t t t 代入 ()

J(,x)(1)()C ()C J k k k k ωωωωωωω=???

+=-=-????

??? ,得

(1)()w k w k C +=-?

[][

]

)sgn()(||

||41

b x w x x b x w b x w x t t t -----

20,0

()(),0k t k t

t k k

k x w x b w k C w x b x w x b ?->?=-??--≤??

P P ，C 是预选固定的值。

8．用LMSE 算法求下列模式的解向量： ω1: {(0 0 0)’ , (1 0 0)’, (1 0 1)’, (1 1 0)’}， ω2: {(0 0 1)’, (0 1 1)’, (0 1 0)’, (1 1 1)’}

并编写求解该问题的LMSE 算法程序。解：写出模式的增广矩阵X 为

11001101111010011011101011

111X ??

??????

?=??

--??

---????

--??

----????

则伪逆矩阵#1()t t

X X X X -=为

#-0.250.250.250.250.250.250.250.250.250.250.250.250.250.250.250.250.250.250.250.250.250.250.250.250.5

0.25000.2500.250.25X -????------?

?=??------??

--?? 取b(1)=(1 1 1 1 1 1 1 1)’和C=1，所以#(1)(1)[1110.5]'w X b ==--

因为[](1)0.5 1.50.50.50.5 1.50.50.5'Xw = 所以[](1)(1)(1)0.50.5

0.50.50.50.50.50.5'e Xw b =-=------

#(2)(1)(1)[1.5 1.5 1.50.75]'w w X e =+=-- [](2)(1)[(1)(1)]12111211'b b e e =++=

[](2)(2)(2)0.250.250.250.250.250.250.250.25'e Xw b =-=------ #(3)(2)(2)[1.75 1.75 1.750.875]'w w X e =+=-- [](3)(2)[(2)(2)]1 2.5111 2.511'b b e e =++=

[](3)(3)(3)0.1250.1250.1250.1250.1250.1250.1250.125'

e Xw b =-=------ #

(4)(3)(3)[1.875 1.875 1.8750.9375]'w w X e =+=--

[](4)(3)[(3)(3)]1 2.75111 2.7511'b b e e =++=

[](4)(4)(4)0.06250.06250.06250.06250.06250.06250.06250.0625'

e Xw b =-=------#(5)(4)(4)[1.9375 1.9375 1.93750.9688]'w w X e =+=-- [](5)(4)[(4)(4)]1 2.875111 2.87511'b b e e =++=

[](5)(5)(5)0.03130.03130.03130.03130.03130.03130.03130.0313'

e Xw b =-=------可见e(i)=0.5*e(i-1)；如继续迭代，可使e(i)-->0.说明算法收敛，有解。

实现的程序见下：

X=[0 0 0 1;1 0 0 1;1 0 1 1;1 1 0 1;0 0 -1 -1;0 -1 -1 -1;0 -1 0 -1;-1 -1 -1 -1]; b1=[1 1 1 1 1 1 1 1]'; X1=inv(X'*X)*X';

w1=X1*b1; e1=X*w1-b1; k=1; while e1~=0

w1=w1+X1*abs(e1); b1=b1+e1+abs(e1); e1=X*w1-b1; k=k+1; end w1 k

输出w=[2 -2 -2 1] k= 52

即权向量为w=[2 -2 -2 1]

9．用二次埃尔米特多项式的势函数算法求下列模式的判别函数。

})10(,)10{(1t t -=ω，})01(,)01{(2t t -=ω 解：(1)选择合适的正交函数集{()}i x ?

本题选择二次艾尔米特函数。埃尔米特多项式的前三项的式子为：1)(0=x H ，

x x H 2)(1=，24)(22-=x x H

(2)建立二维的正交函数集

11120102221211021331201122441211121225512210212

6612012227()(,)()()1()(,)()()2()(,)()()2()(,)()()4()(,)()()42

()(,)()()42

x x x H x H x x x x H x H x x x x x H x H x x x x x H x H x x x x x x H x H x x x x x H x H x x ?????????????===============-===-271221122128812112212229912212212()(,)()()2(42)

()(,)()()2(42)()(,)()()(42)(42)

x x x H x H x x x x x x H x H x x x x x x H x H x x x ?????===-===-===--

(3)生成势函数

2222

11221212112222222222111122221122(,)()()

144164(21)(21)4(21)(21)

16(21)(21)16(21)(21)16(21)(21)(21)(21)

k i i k i k k k k k k k k k k k k K x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ??===++++--+--+--+--+----∑式中1212(,)((,)t t k k k x x x x x x ==，

(4)通过训练样本逐步计算累计位势K(x) 给定训练样本：

12:1(01),2(01):3(10),4(10)

t t t t

x x x x ωω==-==-

累计位势K(x)的迭代算法为：

第一步：取1(01)t

x =，因x1∈1ω，故

22222

12122212()(,1)144(21)4(21)16(21)16(21)(21)

K x K x x x x x x x x x ==+--+-+----第二步取2(0

1)t x =-，因x2∈1ω，故

1(2)5K x =

因1(2)K x >0和12x ω∈，故

)

12)(12(16)12(16)12(4)12(441)()(22212222221212----+-+--+==x x x x x x x x K x K 第三步取3(10)t x =，因x3∈2ω，故

2(3)144169K x =--+=

因2(3)K x >0和23x ω∈，故

223332121212()()(,3)121216163232K x K x K x x x x x x x x =-=--+-+

第四步取4(10)t

x =-，因x4∈2ω，故

3(4)1216324K x =--+=

因3(4)K x >0和24x ω∈，故

2232243212212()()(,4)151********K x K x K x x x x x x x x =-=---++

将全部训练样本全部重复迭代一次，得

第五步取x5=1(01)t

x =，因x5∈1ω，故

因4(5)K x =27>0和15x ω∈，故

22322

54212212()()151********K x K x x x x x x x ==---++

第六步取x6=2(0

1)t x =-，因x6∈1ω，且5(6)130K x =-<，故

2265612()()(,)3232K x K x K x x x x =+=-+

第七步取73(10)t x x ==，因x7∈2ω，且6(7)320K x =-<，故

7612()()3232K x K x x x ==-+

第八步取84(10)t

x x ==-，因x8∈2ω，且7(8)320K x =-<，故

228712()()3232K x K x x x ==-+

第九步取x9=1(01)t x =，因x9∈1ω，且4(5)K x =32>0，故

229812()()3232K x K x x x ==-+

第十步取x10=2(0

1)t x =-，因x10∈1ω，且5(6)320K x =>，故

2210912()()3232K x K x x x ==-+

从模式7~10x x 四次迭代过程中，全部模式都已正确分类，故算法已经收敛于判别函数：

221103232)()(x x x K x d +-==

10．用下列势函数

(,)k

x x k K x x e

α--=

求解以下模式的分类问题

})10(,)10{(1t t -=ω，})01(,)01{(2t t -=ω

解：取1=α，势函数为：]

)()[(2222112

)

,(k k k

x x x x x x k e

x x K -+----==

通过训练样本逐步计算累积位势K(x)

给训练样本：1 1(01),2(01)t t x x ω==-：；

2 3(10),4(10)t t x x ω==-：

以下为迭代算法：

11(01)t

x ω=∈，22

12(1)1()(,1)x x K x K x x e

---==

12(01)t

x ω=-∈，因4

1(2)0K x e -=>，所以2

12(1)21()()x x K x K x e

---==

23(10)t x ω=∈，因22(3)0K x e -=>，所以

1212

(1)(1)32()()(,3)x x x x K x K x K x x e

------=-=-

24(10)t

x ω=-∈，因243(4)0K x e e --=->，所以

1212

(1)(1)(1)43()()(,4)x x x x x x K x K x K x x e

-------+-=-=--

151(01)t

x x ω==∈，因2

4(5)120K x e -=->，所以

1212

(1)(1)(1)54()()x x x x x x K x K x e

-------+-==--

162(01)t x x ω==-∈，因425(6)20K x e e --=-<，所以

1212

12(1)(1)(1)(1)65()()(,2)x x x x x x x x K x K x K x x e

e e e

-------+---+=+=--+

273(10)t

x x ω==∈，因24

6(7)210K x e e --=--<，所以

1212

12(1)(1)(1)(1)76()()x x x x x x x x K x K x e

-------+---+==--+

284(10)t x x ω==-∈，因247(8)210K x e e --=--<，所以

1212

12(1)(1)(1)(1)87()()x x x x x x x x K x K x e

-------+---+==--+

191(01)t x x ω==∈，因248(9)120K x e e --=-->，所以

1212

12(1)(1)(1)(1)98()()x x x x x x x x K x K x e

-------+---+==--+

1102(01)t x x ω==-∈，因429(10)210K x e e --=-+>，所以

1212

12(1)(1)(1)(1)109()()x x x x x x x x K x K x e

-------+---+==--+

从模式7~10x x 四次迭代过程中，全部模式都已正确分类，故算法已经收敛于判

别函数：

222

212121212[(1)]

[(1)]

10()()x x x x x x x x d x K x e

-+---+-++-++==--+

最常用函数公式大全

Excel函数公式大全工作中最常用Excel函数公式大全一、数字处理 1、取绝对值 =ABS(数字) 2、取整 =INT(数字) 3、四舍五入 =ROUND(数字,小数位数) 二、判断公式 1、把公式产生的错误值显示为空公式：C2 =IFERROR(A2/B2,"") 说明：如果是错误值则显示为空，否则正常显示。 ? 2、IF多条件判断返回值公式：C2 =IF(AND(A2<500,B2="未到期"),"补款","") 说明：两个条件同时成立用AND,任一个成立用OR函数.

? 三、统计公式 1、统计两个表格重复的内容公式:B2 =COUNTIF(Sheet15!A:A,A2) 说明：如果返回值大于0说明在另一个表中存在，0则不存在。 ? 2、统计不重复的总人数公式：C2 =SUMPRODUCT(1/COUNTIF(A2:A8,A2:A8)) 说明:用COUNTIF统计出每人的出现次数，用1除的方式把出现次数变成分母，然后相加。

? 四、求和公式 1、隔列求和公式：H3 =SUMIF($A$2:$G$2,H$2,A3:G3) 或 =SUMPRODUCT((MOD(COLUMN(B3:G3),2)=0)*B3:G3) 说明：如果标题行没有规则用第2个公式 ? 2、单条件求和公式：F2 =SUMIF(A:A,E2,C:C) 说明：SUMIF函数的基本用法

? 3、单条件模糊求和公式：详见下图说明：如果需要进行模糊求和，就需要掌握通配符的使用，其中星号是表示任意多个字符，如"*A*"就表示a前和后有任意多个字符，即包含A。 ? 4、多条件模糊求和公式：C11 =SUMIFS(C2:C7,A2:A7,A11&"*",B2:B7,B11) 说明：在sumifs中可以使用通配符*

实变函数习题解答(1)

第一章习题解答 1、证明 A (B C)＝(A B) (A C) 证明：设x∈A (B C)，则x∈A或x∈(B C)，若x∈A，则x∈A B，且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)。若x∈B C，则x∈B且x∈C，于是x∈A B且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)，因此 A (B C) ? (A B) (A C) (1) 设x∈(A B) (A C)，若x∈A，则x∈A (B C)，若x∈A，由x∈A B 且x∈A C知x∈B且x∈C，所以x∈B C，所以x∈A (B C)，因此 (A B) (A C) ? A (B C) (2) 由(1)、(2)得，A (B C)＝(A B) (A C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A B)＝(A B)－B ②A (B－C)＝(A B)－(A C) ③(A－B)－C＝A－(B C) ④A－(B－C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A C)－(B D) (A－B)＝A B A－(A B)＝A C(A B)＝A (CA CB) ＝(A CA) (A CB)＝φ (A CB)＝A－B (A B)－B＝(A B) CB＝(A CB) (B CB) ＝(A CB) φ＝A－B ②(A B)－(A C)＝(A B) C(A C) ＝(A B) (CA CC)＝(A B CA) (A B CC)＝φ [A (B CC)]＝ A (B－C) ③(A－B)－C＝(A CB) CC＝A C(B C) ＝A－(B C) ④A－(B－C)＝A C(B CC)＝A (CB C) ＝(A CB) (A C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A CB) (C CD) ＝(A C) (CB CD)＝(A C) C(B D) ＝(A C)－(B D)

实变函数试题库(5)及参考答案

实变函数试题库及参考答案（5）本科一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立）二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（）（A ）()x ?是E 上的连续函数（B ）()x ?是E 上的单调函数（C ）()x ?在E 上一定不L 可积（D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（）（A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则（）（A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点，则（）（A ）E 是可数集（B ）E 是闭集（C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点

Excel常用函数及使用方法

excel常用函数及使用方法一、数字处理（一）取绝对值：=ABS(数字) （二）数字取整：=INT(数字) （三）数字四舍五入：=ROUND(数字,小数位数) 二、判断公式（一）把公式返回的错误值显示为空： 1、公式：C2=IFERROR(A2/B2,"") 2、说明：如果是错误值则显示为空，否则正常显示。（二）IF的多条件判断 1、公式：C2=IF(AND(A2<500,B2="未到期"),"补款","") 2、说明：两个条件同时成立用AND,任一个成立用OR函数。三、统计公式（一）统计两表重复 1、公式:B2=COUNTIF(Sheet15!A:A,A2) 2、说明：如果返回值大于0说明在另一个表中存在，0则不存在。（二）统计年龄在30~40之间的员工个数公式=FREQUENCY(D2:D8,{40,29} （三）统计不重复的总人数 1、公式：C2=SUMPRODUCT(1/COUNTIF(A2:A8,A2:A8)) 2、说明：用COUNTIF统计出每人的出现次数，用1除的方式把出现次数变成分母，然后相加。

（四）按多条件统计平均值 =AVERAGEIFS(D:D,B:B,"财务",C:C,"大专") （五）中国式排名公式 =SUMPRODUCT(($D$4:$D$9>=D4)*(1/COUNTIF(D$4:D$9,D$4:D$9))) 四、求和公式（一）隔列求和 1、公式：H3=SUMIF($A$2:$G$2,H$2,A3:G3) 或=SUMPRODUCT((MOD(COLUMN(B3:G3),2)=0)*B3:G3) 2、说明：如果标题行没有规则用第2个公式（二）单条件求和 1、公式：F2=SUMIF(A:A,E2,C:C) 2、说明：SUMIF函数的基本用法（三）单条件模糊求和说明：如果需要进行模糊求和，就需要掌握通配符的使用，其中星号是表示任意多个字符，如"*A*"就表示a前和后有任意多个字符，即包含A。（四）多条求模糊求和 1、公式：=SUMIFS(C2:C7,A2:A7,A11&"*",B2:B7,B11) 2、说明：在sumifs中可以使用通配符* （五）多表相同位置求和 1、公式：=SUM(Sheet1:Sheet19!B2) 2、说明：在表中间删除或添加表后，公式结果会自动更新。

实变函数论试题及答案

实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。因此，n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ，0 2E ，2E 。解：(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤， (){}222,1E x y x y =+< ， (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<，证明E 是可测集。证明：对任何正整数n ，由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ，对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?，12 m E =。解：在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ，接下来在剩下的两个闭区间分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时，一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间，剩下的n 2个闭区间，如此重复下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。

电子表格常用函数公式及用法

电子表格常用函数公式及用法 1、求和公式： =SUM(A2:A50) ——对A2到A50这一区域进行求和； 2、平均数公式： =AVERAGE(A2:A56) ——对A2到A56这一区域求平均数； 3、最高分： =MAX(A2:A56) ——求A2到A56区域（55名学生）的最高分；4、最低分： =MIN(A2:A56) ——求A2到A56区域（55名学生）的最低分； 5、等级： =IF(A2>=90,"优",IF(A2>=80,"良",IF(A2>=60,"及格","不及格"))) 6、男女人数统计： =COUNTIF(D1:D15,"男") ——统计男生人数 =COUNTIF(D1:D15,"女") ——统计女生人数 7、分数段人数统计：方法一：求A2到A56区域100分人数：=COUNTIF(A2:A56,"100") 求A2到A56区域60分以下的人数；=COUNTIF(A2:A56,"<60") 求A2到A56区域大于等于90分的人数；=COUNTIF(A2:A56,">=90") 求A2到A56区域大于等于80分而小于90分的人数； =COUNTIF(A1:A29,">=80")-COUNTIF(A1:A29," =90")

求A2到A56区域大于等于60分而小于80分的人数； =COUNTIF(A1:A29,">=80")-COUNTIF(A1:A29," =90") 方法二：（1）=COUNTIF(A2:A56,"100") ——求A2到A56区域100分的人数；假设把结果存放于A57单元格；（2）=COUNTIF(A2:A56,">=95")－A57 ——求A2到A56区域大于等于95而小于100分的人数；假设把结果存放于A58单元格；（3）=COUNTIF(A2:A56,">=90")－SUM(A57:A58) ——求A2到A56区域大于等于90而小于95分的人数；假设把结果存放于A59单元格；（4）=COUNTIF(A2:A56,">=85")－SUM(A57:A59) ——求A2到A56区域大于等于85而小于90分的人数； …… 8、求A2到A56区域优秀率：=(COUNTIF(A2:A56,">=90"))/55*100 9、求A2到A56区域及格率：=(COUNTIF(A2:A56,">=60"))/55*100 10、排名公式： =RANK(A2，A$2:A$56) ——对55名学生的成绩进行排名； 11、标准差：=STDEV(A2:A56) ——求A2到A56区域(55人)的成绩波动情况（数值越小，说明该班学生间的成绩差异较小，反之，说明该班存在两极分化）； 12、条件求和：=SUMIF(B2:B56,"男"，K2:K56) ——假设B列存放学生的性别，K列存放学生的分数，则此函数返回的结果表示求该班

实变函数作业1

作业(1) 第1章集合第2章 n 维空间中的点集一、单项选择题 1.)\(C B A C B A = 成立的充分必要条件是（）． (A) B A ? (B) A B ? (C) C A ? (D) A C ? 2. A B B A = )\(成立的充分必要条件是（）． (A) B A = (B) ?=B (C) B A ? (D) A B ? 3.设 ∞=+=1 ]11,0[n n M ，则M 是（）． (A) 非开非闭型集合 (B) 仅开非闭型集合 (C) 仅闭非开型集合 (D) 既开且闭型集合 4.任意多个闭集的并一定是（）． (A) 闭集 (B) 开集 (C) 完备集 (D) 可测集 5.设n R E ?，n R x ∈0，若0),(0=E x d ，则（）． (A) E x ∈0 (B) E x '∈0 (C) 00E x ∈ (D) E x ∈0 二、填空题 1.设)1,1(n n n n A n ++-=，则=∞= 1n n A ，=∞= 1 n n A ． 2.设)1,1(++-=n n n n A n ，则=∞= 1n n A ，=∞= 1 n n A ． 3.设]11,0(n A n +=，则=∞→n n A lim ，=∞ →n n A lim ． 4.设),2,1(,]211,0[,]1212,0[212 =+=--=-n n A n A n n ，则=∞→n n A lim ，=∞→n n A lim ． 5.设n R E ?更多试题及答案+扣二九七九一三九六八四，n R x ∈0，如果0x 的任何邻域中都含有E 的个点，则称0x 是E 的聚点． 6.设n R E ?，n R x ∈0，如果存在0x 的邻域),(0δx N ，使得),(0δx N E ，则称0x 是E 的内点．三、证明题 1.证明 ∞=>=>1 }1{}0{n n x x x x ．

(完整版)《实变函数及泛函分析基础》试卷及答案

试卷一：一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（）（A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集（D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有

常用excel函数公式大全

常用的excel函数公式大全一、数字处理 1、取绝对值 =ABS(数字) 2、取整 =INT(数字) 3、四舍五入 =ROUND(数字,小数位数) 二、判断公式 1、把公式产生的错误值显示为空公式：C2 =IFERROR(A2/B2,"") 说明：如果是错误值则显示为空，否则正常显示。

2、IF多条件判断返回值公式：C2 =IF(AND(A2<500,B2="未到期"),"补款","") 说明：两个条件同时成立用AND,任一个成立用OR函数。三、统计公式 1、统计两个表格重复的内容公式:B2 =COUNTIF(Sheet15!A:A,A2) 说明：如果返回值大于0说明在另一个表中存在，0则不存在。

2、统计不重复的总人数公式：C2 =SUMPRODUCT(1/COUNTIF(A2:A8,A2:A8)) 说明:用COUNTIF统计出每人的出现次数，用1除的方式把出现次数变成分母，然后相加。四、求和公式

1、隔列求和公式：H3 =SUMIF($A$2:$G$2,H$2,A3:G3) 或 =SUMPRODUCT((MOD(COLUMN(B3:G3),2)=0)*B3:G3)说明：如果标题行没有规则用第2个公式 2、单条件求和公式：F2 =SUMIF(A:A,E2,C:C) 说明：SUMIF函数的基本用法

3、单条件模糊求和公式：详见下图说明：如果需要进行模糊求和，就需要掌握通配符的使用，其中星号是表示任意多个字符，如"*A*"就表示a前和后有任意多个字符，即包含A。

4、多条件模糊求和公式：C11 =SUMIFS(C2:C7,A2:A7,A11&"*",B2:B7,B11) 说明：在sumifs中可以使用通配符* 5、多表相同位置求和公式：b2 =SUM(Sheet1:Sheet19!B2) 说明：在表中间删除或添加表后，公式结果会自动更新。 6、按日期和产品求和

实变函数积分理论部分复习试题[附的答案解析版]

2011级实变函数积分理论复习题一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。（×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ，()f x 在[0,]n 上黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数） 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在

第一章复变函数习题及解答

第一章复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-；（2） ππ2(cos isin )33-；（3）1cos isin αα-+；（4）1i e +；（5）i sin R e θ ；（6）i + 答案（1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3；原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ．（2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-；答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数（1 （2 答案（1）（2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部．

【解】令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为说明已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根．证因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =，故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根．注此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值.

实变函数试题库(4)及参考答案

实变函数试题库及参考答案（4）本科一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则（） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =

三角函数常用公式公式及用法

三角函数常用公式及用法珠海市金海岸中学唐云辉 1、终边相同的角及其本身在内的角的表示法: S={ | k 360°,k Z}，或者 S { | 用法：用来将任意角转化到 0?2的范围以便于计算。公式中k 的求法：如是正角就直接除以3600或2，得到的整数就是我们要求的k ，剩余的角就是公式中的；如果是负角，就先取绝对值然后再去除以 3600或者2，得到的整数加1后再取相反数就是上述公式中的 k,等于3600或者2减去剩余的角的值。用法：前者是弧长公式，用以计算圆弧的长度；后者为扇形的面积公式，用以计算扇形的面积。 3.三角形面积公式： 1 , 1 1 1 abc 2 S 』= a h a = ab si nC =—bc si nA = —ac si nB = =2R sin A si n B si nC 2 2 2 4R 2 a sin BsinC 2 sin A 2 2 b sinAsinC c sinAsinB = = =pr= P (P a)(p b)(p c) 2si nB 2sinC 1 ( 其中p -(a 2 4 ?同角关系： b c) , r 为三角形内切圆半径) (1 )、商的关系：① tan =y = sin x cos 用法：一般用来计算三角函数的值。 (2 )、平方关系：sin 2 cos 2 1 行运算，遇到sin cos m 就先平方而后再运算，遇到sin cos sin 2 cos 2 这类题目就联想 2 2 到分母为"1” =s in cos 进行运算即可。 --------- K (3)、辅助角公式： asin bcos Va 2 b 2 sin( ) (其中 a>0,b>0 ，且 tan —) a 用法：用以将两个异名三角函数转化成同名三角函数，以便于求取相关的三角函数。 5、函数y= Asin( x ) k 的图象及性质：( 0, A 0 ) 2、 L 弧长= n nR R =180 扇 =丄LR 」F 2 2 2 n R 2 360 2k ,k Z} 用法：凡是见了 sin cos m 或者sin cos ?2 sin 2 cos 的形式题目都可以用上述平方关系进

实变函数习题解答

第一章习题解答 1、证明 A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 证明：设x∈A Y(B I C)，则x∈A或x∈(B I C)，若x∈A，则x∈A Y B，且 x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A I C)。若x∈B I C，则x∈B且x∈C，于是x∈A Y B 且x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A Y C)，因此 A Y(B I C) ? (A Y B)I(A Y C) (1) 设x∈(A Y B) I(A Y C)，若x∈A，则x∈A Y(B I C)，若x∈A，由x∈A Y B 且x∈A Y C知x∈B且x∈C，所以x∈B I C，所以x∈A Y(B I C)，因此 (A Y B)I(A Y C) ? A Y(B I C) (2) 由(1)、(2)得，A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A I B)＝(A Y B)－B ②A I(B－C)＝(A I B)－(A I C) ③(A－B)－C＝A－(B Y C) ④A－(B－C)＝(A－B)Y(A I C) ⑤(A－B)I(C－D)＝(A I C)－(B Y D) (A－B)＝A I B A－(A I B)＝A I C(A I B)＝A I(CA Y CB) ＝(A I CA)Y(A I CB)＝φY(A I CB)＝A－B (A Y B)－B＝(A Y B)I CB＝(A I CB)Y(B I CB) ＝(A I CB)Yφ＝A－B ②(A I B)－(A I C)＝(A I B)I C(A I C) ＝(A I B)I(CA Y CC)＝(A I B I CA)Y(A I B I CC)＝φY[A I(B I CC)]＝ A I(B－C) ③(A－B)－C＝(A I CB)I CC＝A I C(B Y C) ＝A－(B Y C) ④A－(B－C)＝A I C(B I CC)＝A I(CB Y C) ＝(A I CB) Y(A I C)＝(A－B)Y(A I C) ⑤(A－B)I(C－D)＝(A I CB)I(C I CD) ＝(A I C)I(CB I CD)＝(A I C)I C(B Y D)

实变函数试题库及参考答案

实变函数试题库及参考答案（1）本科一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ??是可数集，则*m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ?∈?，()E x f x a ??≥??是，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上二、选择题 1．下列集合关系成立的是（） 2．若n R E ?是开集，则（） 3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（）三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ??是无限集，则（） A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（） A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限

4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（） A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. （） 2. 可数个可测集的并是可测集. （） 3. 相等的集合是对等的. （） 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （）五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？ 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??，其中E 为[]0,1中有理数集，求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ，求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U 2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞ =，则实变函数试题库及参考答案（1）本科一、填空题

第1章复变函数习题-答案~习题详解

第一章习题详解 1．求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角： 1) i 231 + 解： ()()()13 2349232323231231i i i i i i -=+-=-+-=+ 实部：13 3 231= ??? ??+i Re 虚部：132231-=?? ? ??+i Im 共轭复数：1323231i i += ?? ? ??+ 模：131 1323231 2 22=+= +i 辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 232213 3132 2231231+? ?? ??-=+-=+??? ??+=??? ??+arg 2) i i i -- 131 解： ()()()2 532332113311131312i i i i i i i i i i i i i i -=-+-=++---=+-+-=-- 实部：2 3131=??? ??--i i i Re 虚部：25131-=?? ? ??--i i i Im 共轭复数：253131 i i i i +=?? ? ??-- 模：2 34 4342531312 22= =+= --i i i 辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 235223252131131+??? ??-=+???? ? ??-=+??? ??--=??? ??--arg

3) ()()i i i 25243-+ 解： ()()()2 26722672 72625243i i i i i i i --= -+= --= -+ 实部：()()2725243-=?? ? ??-+i i i Re 虚部：()()1322625243-=- =?? ? ??-+i i i Im 共轭复数：()()226725243i i i i +-= ?? ? ??-+ 模： ()() 292522627252432 2 =?? ? ??-+??? ??-=-+i i i 辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 272622722625243+??? ??=+????? ? ?--=??? ??-+ 4) i i i +-21 8 4 解：i i i i i i 3141421 8-=+-=+- 实部：( )1421 8=+-i i i Re 虚部：( )3421 8-=+-i i i Im 共轭复数：() i i i i 314218+=+- 模：103142221 8 =+=+-i i i 辐角：( )()πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 2321324421821 8 +-=+?? ? ??-=++-=+-arg 2．当x 、y 等于什么实数时，等式 ()i i y i x +=+-++13531成立？解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有： ()()()i i i y i x 8235131+=++=-++ ?? ?=-=+8321y x ? ??==?111 y x 即1=x 、11=y 时，等式成立。

实变函数综合练习题

实变函数综合练习题《实变函数》综合训练题（一）（含解答）一、选择题（单选题） 1、下列集合关系成立的是（ A ）（A ）(\)A B B A B ?=? （B ）(\)A B B A ?= （C ）(\)B A A A ?? （D ）(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集，则（ B ）（A ）E E '? （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ）（A ）P 是可数集（B ）P 是开集（C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ）（A ）()x ?是E 上的连续函数（B ）()x ?是E 上的单调函数（C ）()x ?在E 上一定不L 可积（D ）()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0E f x x =?，则（ A ）（A ）在E 上，()f z 不一定恒为零（B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ）（A ）E 是可数集（B ）E 是闭集（C ）E 中的每一点都是聚点（D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ）

（A ）*m E 可以等于零（B ）* 0m E > （C ）E 可能是可数集（D ）E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是（A 、B 、C ）（A ）[,]a b 上的简单函数（B ）[,]a b 上的可测函数（C ）E 上的连续函数（D ）[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）（A ）()f z +和()f z - 有且仅有一个在E 上L 可积（B ）()f z + 和()f z - 都在E 上L 可积（C ）()f z 在E 上不一定L 可积（D ）()f z 在E 上一定L 可积 5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ）（A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数（B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数（C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续（D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导三、填空题（将正确的答案填在横线上） 1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B =C A B ? 。 2、设n E R ?，如果E 满足E E '?，则E 是闭集。 3、若开区间(,)αβ是直线上开集G 的一个构成区间，则(,)αβ满足(,)G αβ?、 ,G G αβ??。 4、设A 是无限集，则A 的基数A ≥ a （其中a 表示可数基数）。 5、设1E ，2E 为可测集，2mE <+∞，则12(\) m E E ≥ 12mE mE -。 6、设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，若对任意实数a ，都有[()]E x f x a > 是可测集，则称()f x 是可测集E 上的可测函数。

复变函数论第三版课后习题答案

第一章习题解答（一） 1 ．设z ，求z 及Arcz 。解：由于3i z e π-== 所以1z =，2,0,1, 3 Arcz k k ππ=-+=±。 2 ．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12 z z 。解：由于6412,2i i z e z i e ππ -==== 所以()6 46 41212222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3．解二项方程44 0,(0)z a a +=>。解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+====。 4．证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。证明：由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3 是内接于单位圆 1 =z 的一个正三角形的顶点。证由于1 321 ===z z z ，知 321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。因为 3 33 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 21212z z z z ++= 所以， 1212 1-=+z z z z ，又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z