数值分析试题集(精心整理)
数值分析试题集
（试卷一）
一（10分）已知3409.1*1=x ，0125.1*
2=x 都是由四舍五入产生的近似值，判断*
2*
1x x +及*
2*
1x x -有几位有效数字。
二（10
三（15分）设],[)(b a C x f ∈，H （x ）是满足下列条件的三次多项式
)()
()(,)()(,)()(,)()(b c a c f c H c f c H b f b H a f a H <<'='===
求)()(x H x f -，并证明之。
四（15分）计算
dx x
?+1
0312，2
10-=ε。 五（15分）在[0，2]上取2,1,0210===x x x ，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代数精度。
六（10分）证明改进的尢拉法的精度是2阶的。
七（10分）对模型0,
八（15分）求方程01742
3
=--+x x x 在-1.2附近的近似值，3
10-=ε。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
（试卷二）
一 填空（4*2分）
1 ∞
=0})({k k x φ是区间[0，1]上的权函数为2
)(x x =ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中
1)(0=x φ，则=??1
0)(dx x x φ-------------------，=)(1x φ------------------。
2 ?
???
??-=4112A ，则=∞A -----------， =)(A ρ-----------------。 3 设???
?
??-+=4121a A ，当a 满足条件----------------时，A 可作LU 分解。
4 设非线性方程0)3)(133()(2
3=+-+-=x x x x x f ，其根3*1-=x ，1*2-=x ，则求*1x 的
近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是---------------------------。
二（8分）方程组AX=b ，其中????
? ??-----=15.05.025.05.01
a a A ，3,R
b X ∈
1 试利用迭代收敛的充要条件求出使雅可比迭代法收敛的a 的取值范围，a 取何值时雅可比迭代
收敛最快？
2 选择一种便于计算的迭代收敛的充要条件，求出使高斯-塞德尔迭代法收敛的a 的取值范围。
三（9分）常微分方程初值问题???==')()
,(00
x y y y x f y 的单步法公式为),(211n n n n y x hf y y +=-+，求该
公式的精度。
四（14分）设b X A =?为对称正定方程组
1 求使迭代过程)(1k k k X A b X X ?-?+=+α收敛的数α的变化范围；
2 用此法解方程组????
?
??=?????
????????
?
?----010101021
112321x x x
（取初值T
X )
1,1,1(0=，小数点后保留4位，给出前6次迭代的数据表）。
(试卷三)
一 设?
??
?
??
1511－＝A ，求A 的谱半径)(A ρ，范数为1的条件数1)(cond A 。 二 设),2,1,0(,,53)(2
==+=i i x x x f i ，分别计算该函数的二、三阶差商
],,[21++n n n x x x f ，],,,[321+++n n n n x x x x f 。
三 设向量T x x x x ),,(321=
1
若定义3212x x x x ++=，问它是不是一种向量范数？请说明理由。 2 若定义3213x x x x ++=，问它又是不是一种向量范数？请说明理由。
四 设????
?
??----=101021112A ，
将矩阵分解为T L L A =，其中L 是对角线元素)3,2,1(0=>i l ii 的下三角阵。
五 设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代法n n x x cos 3
2
41+
=+ 1 证明：对任意),(0∞-∞∈x ，均有*lim x x n n =∞
→（*
x 为方程的根）；
2 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过3
10-，列出各次迭代值；
3 此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。
六 对于求积公式
])4
3
(2)21()41(2[31)(1
f f f dx x f +-≈?
1 求该求积公式的代数精度；
2 证明它为插值型的求积公式。
（试卷四）
一 填空题（每空5分，共25分）
1 设精确值为054039412.0=x ，若取近似值05410281.0*
=x ，该近似值具有------------位
有效数字。
2 设53)(2
+=x x f ，),2,1,0( ==i i x i ，则三阶差商=+++],,,[321n n n n x x x x f --------。
3 ???
?
??=1511A ，则=)(A ρ-----------------。 4 设???? ?
?+=421a a A ，当a 满足条件 ---------------- 时，必有分解式A=LL T
，其中L 是对角线元素为正的下三角阵。
5 求积公式
)4
3
(32)21(31)41(32)(1
f f f dx x f +-≈
?
的代数精度为-----------。 二（10分）设]1,0[)(3
C x f ∈，试求一个次数不超过2的多项式)(x P ，使得
e f p e f p f p ='='====)1()1(,)1()1(,1)0()0(
三（20分）1 利用埃米特插值多项式推导带有导数项的求积公式
[][
])
()(12
)()()(2)(2
a f
b f a b b f a f a b dx x f b
a
'-'--+-≈?
且其余项为
)(30
!4)()
4(5ηf a b R ?--= )),((b a ∈η
2 利用这个公式推导所谓带修正项的复化梯形求积公式
[])
()(12
)(02
x f x f h T dx x f n n x x n
'-'-≈?
这里：n
a
b h h i x x x f x f x f x f h T i n n n -=
?+=??
?
???++++?=-,,)(21
)()()(21
0110
四（15分）试确定系数γ
βα,,，使微分方程的数值计算公式
)()(111n n
n n n y y h y y y '?+'??++?=--+γβα 具有尽可能高的局部截断误差。
（符号说明：)(,)(11n n n n x y y x y y '=''='--） 五（15分）方程
0123=--x x 在5.10=x 附近有根，对于给定的迭代关系式
2
1
11k
k x x +=+，试问：
1、问迭代是否收敛；若收敛，用列表形式给出其前6步迭代的近似根。
2、估计该迭代式的收敛速度。
六（15分）方程组b AX =，其中???
?? ??-----=15.05.025
.05.01
a a A ，????
? ??=121b 试利用迭代收敛的条件给出使雅可比迭代法收敛的a 的取值范围，给出使雅可比迭代收敛最快的a 取值，并用2至3个a 的具体值进行计算，数值化地说明其迭代收敛的快慢程度。
（说明：数值实验的数据请以列表形式写出。）
（试卷五）
一 填空题（每空5分，共25分）
1 已知3409.1*1=x ，0125.1*
2=x 都是由四舍五入产生的近似值，*
2*
1x x +的有效数字是几位-----------------。
2 设53)(2
+=x x f ，),2,1,0( ==i i x i ，则二阶差商=++],,[21n n n x x x f --------。
3 ???
?
??=1511A ，则=1A -----------------。 4 设???
?
??-+=4121a A ，当a 满足条件 ---------------- 时，A 可作LU 分解。
5 设),,2,1,0(n i x i =是互异节点，对于n k ,,2,1,0 =，≡∑=n
i i
k
i x l x
)(-----------。
二（10
三（25分）1 设在上具有二阶连续导数，利用泰勒展开推导以下求积公式
6
)()(2)()()()()(3
2a b a f a b a f a b a f dx x f b
a
-''+-?'+-?≈?
2 利用这个公式推导以下复化求积公式
[])
()(6
)(02
x f x f h T dx x f n n x x n
'-'+≈?
这里：n a b h h i x x x f x f x f x f h T i n n n -=?+=??
?
?
??++++?=-,,)(21)()()(210110
3 对于给定精度4
10-=ε，利用上述求积公式n T ，选取合适的求积步长h ，计算dx
e I x
?-=1
2
的近似值。
四（10分）常微分方程初值问题???==')()
,(00
x y y y x f y 的数值公式为),(211n n n n n y x hf y y y --=-+，
求该公式的精度。
五（15分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代法n n x x cos 3
2
41+
=+ 1 证明：对任意),(0∞-∞∈x ，均有*lim x x n n =∞
→（*
x 为方程的根）；
2 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过3
10-，列出各次迭代值；
3 此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。 六（15分）设方程组
???
??=+-=++--=++3
103220241225321
321321x x x x x x x x x 1 给出雅可比迭代算式；
2 说明其收敛性；
3 取初始向量T
X )0,0,0(0=，给出其前6步迭代所求出的近似值。
（说明：数据请以列表形式写出。）
（试卷六）
一 填空题（每空5分，共25分）
1 已知3409.1*1=x ，0125.1*
2=x 都是由四舍五入产生的近似值，*
2*
1x x +的有效数字是几位-----------------。
2 设53)(2
+=x x f ，),2,1,0( ==i i x i ，则二阶差商=++],,[21n n n x x x f --------。
3 ???
?
??=1511A ，则=1A -----------------。 4 设???
?
??-+=4121a A ，当a 满足条件 ---------------- 时，A 可作LU 分解。
5 设),,2,1,0(n i x i =是互异节点，对于n k ,,2,1,0 =，≡∑=n
i i
k
i x l x
)(-----------。
二（10
三（25分）1 设在上具有二阶连续导数，利用泰勒展开推导以下求积公式
6
)()(2)()()()()(3
2a b a f a b a f a b a f dx x f b
a
-''+-?'+-?≈?
2 利用这个公式推导以下复化求积公式
[])
()(6
)(02
x f x f h T dx x f n n x x n
'-'+≈?
这里：n a b h h i x x x f x f x f x f h T i n n n -=?+=??
?
?
??++++?=-,,)(21)()()(210110
3 对于给定精度4
10-=ε，利用上述求积公式n T ，选取合适的求积步长h ，计算dx
e
I
x ?-=1
2
的近似值。
四（10分）常微分方程初值问题???==')()
,(00
x y y y x f y 的数值公式为),(211n n n n n y x hf y y y --=-+，
求该公式的精度。
五（15分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代法n n x x cos 3
2
41+
=+ 1 证明：对任意),(0∞-∞∈x ，均有*lim x x n n =∞
→（*
x 为方程的根）；
2 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过3
10-，列出各次迭代值；
3 此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。 六（15分）设方程组
???
??=+-=++--=++3
103220241225321
321321x x x x x x x x x 1 给出雅可比迭代算式；
2 说明其收敛性；
3 取初始向量T
X )0,0,0(0=，给出其前6步迭代所求出的近似值。
（说明：数据请以列表形式写出。）
（试卷六）
一 填空题（每空5分，共25分）
1 设精确值为054039412.0=x ，若取近似值05410281.0*
=x ，该近似值具有------------位
有效数字。
2 设53)(2
+=x x f ，),2,1,0( ==i i x i ，则三阶差商=+++],,,[321n n n n x x x x f --------。
3 ???
?
??=1511A ，则=)(A ρ-----------------。 4 设???? ?
?+=421a a A ，当a 满足条件 ---------------- 时，必有分解式A=LL T
，其中L 是对角线元素为正的下三角阵。
5 求积公式
)4
3
(32)21(31)41(32)(1
f f f dx x f +-≈
?
的代数精度为-----------。 二（10分）设]1,0[)(3
C x f ∈，试求一个次数不超过2的多项式)(x P ，使得
e f p e f p f p ='='====)1()1(,)1()1(,1)0()0(
三（20分）1 利用埃米特插值多项式推导带有导数项的求积公式
[][
])
()(12
)()()(2)(2
a f
b f a b b f a f a b dx x f b
a
'-'--+-≈?
且其余项为
)(30
!4)()
4(5ηf a b R ?--= )),((b a ∈η
2 利用这个公式推导所谓带修正项的复化梯形求积公式
[])
()(12
)(02
x f x f h T dx x f n n x x n
'-'-≈?
这里：n a b h h i x x x f x f x f x f h T i n n n -=?+=??
?
???++++?=-,,)(21)()()(210110
四（15分）试确定系数γ
β
α,,，使微分方程的数值计算公式
)()(111n n
n n n y y h y y y '?+'??++?=--+γβα 具有尽可能高的局部截断误差。
（符号说明：)(,)(11n n n n x y y x y y '=''='--） 五（15分）方程
0123=--x x 在5.10=x 附近有根，对于给定的迭代关系式
2111k
k x x +
=+，试问：
1、问迭代是否收敛；若收敛，用列表形式给出其前6步迭代的近似根。
2、估计该迭代式的收敛速度。
六（15分）方程组b AX =，其中???
?? ??-----=15.05.025
.05.01
a a A ，????
? ??=121b 试利用迭代收敛的条件给出使雅可比迭代法收敛的a 的取值范围，给出使雅可比迭代收敛最快的a 取值，并用2至3个a 的具体值进行计算，数值化地说明其迭代收敛的快慢程度。
（说明：数值实验的数据请以列表形式写出。）
（试卷七）
一 填空题（每空4分，共24分）
1 已知3409.1*1=x ，0125.1*
2=x 都是由四舍五入产生的近似值，*
2*
1x x +的有效数字是几位-----------------。
2 设???
?
??-+=4121a A ，当a 满足条件----------------时，A 可作LU 分解。
3 设非线性方程0)3)(133()(2
3=+-+-=x x x x x f ，其根3*1-=x ，1*2-=x ，则求*1x 的
近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是---------------------------。
4 设????
??-=4112A ，则=∞A -----------， =)(A ρ-----------------。
5 用积分?=8
2
2ln 2x dx
计算2ln ，为使误差的绝对值不超过51021-?，问用复化梯形公式至少要
取-------------------------个结点。
二（21分）设]2,0[)(5
C x f ∈，插值条件如下表
1 2 求其余项)()(x P x f -；
3 给出)5.0(f ，)5.1(f 的近似值。 三（25分）设],[)(2
b a C x f ∈
1 推导中矩公式
3)(24)
(2)()(a b f b a f a b dx x f b
a
-''+
??
? ??+-=?
ξ ),(b a ∈ξ； 2 导出复化中矩公式；
3 利用复化中矩公式，计算定积分?-1
2
2
dx e
x π
（精度为410-=ε，并将各次复化的计算结果
排成一张数据表）。
四（15分）求常数A 、B 、C 、D ，使解微分方程初值问题
),(y x f y ='，00)(y x y = 的下列数值计算公式
)(1111-+-+'?+'?+'?+?=n n n
n n y D y C y B h y A y （1） ),(111+++='n n n
y x f y ),(n n n
y x f y =' ),(111---='n n n
y x f y 的局部截断误差尽可能地高( 假设（1）式右端所用信息均为准确的 )。 五（15分）设b X A =?为对称正定方程组
1 求使迭代过程)(1k k k X A b X X ?-?+=+α收敛的数α的变化范围；
2 用此法解方程组?????
??=?????
???????? ??----01010102
1112321x x x （取初值T
X )1,6.0,5.0(0=，给出前6次迭代的数据表）。
第1问提示：考虑使迭代矩阵A I G ?-=α
的范数12
的α取值。 （试卷八） 一（15分）已知精确值为054039412.0=x ，若取近似值05410281.0* =x ，试问 该近似值具有几位有效数字。 二（15分）方程012 3=--x x 在5.10=x 附近有根，对于给定的迭代关系式 2111k k x x + =+，试问： 1、该迭代是否收敛？ 2、若收敛，估计收敛速度。 三（15分）已知函数表如下，求二次拉氏插值多项式)(2x L 。 x 3 1 4 y 4 2 5 四（20分）在[－1，1]上，取节点1,0,1210==-=x x x ，构造插值型求积公式，并求它的代数精度。 五（15分）写出线性方程组 ???? ??????=?????????????????????----010121021112321x x x 的雅可比迭代式。 六（20分）试确定系数γβα,,，使微分方程的数值计算公式 )()(111n n n n n y y h y y y '?+'??++?=--+γβα 具有尽可能高的局部截断误差。 （符号说明：)(,)(11n n n n x y y x y y '=''='--） （试卷九） 一 填空题（每空4分，共24分） 1 已知3409.1*1=x ，0125.1* 2=x 都是由四舍五入产生的近似值，* 2* 1x x +的有效数字是几位。 51* 111021-?≤ -x x ，51* 22102 1-?≤-x x ，从而 4151* 2 2*11*2*121102 1 10)()(--?≤ ≤-+-≤+-+x x x x x x x x 故* 2*1x x +具有4位有效数字。 2 设? ?? ? ??-+=4121a A ，当a 满足何条件时，A 可作LU 分解。 若011≠+=a A ，02)1(42≠++=a A ，即：23 ,1-≠-≠a a ，则A 可作LU 分解。 3 设非线性方程0)3)(133()(2 3=+-+-=x x x x x f ，其根3*1-=x ，1*2-=x ，则求*1x 的 近似值时，求其二阶局部收敛的牛顿迭代公式。 )3()1()(3+-=x x x f ，)84()1()(2+-='x x x f ，其迭代式为 .84)3)(1(1 ++--=+n n n n n x x x x x ，8 43632 1+++=+n n n n x x x x 84))3((3)3(21+--=--+n n n x x x ，故)(43 843))3(()3(2 121∞→-→+=----=++n x x x e e n n n n n 因此，上述迭代为二阶局部收敛的 4 设??? ? ??-=4112A ，求∞A ，)(A ρ。 541=+-=∞A ，2)3(λλ-=?-I A ，3)(=A ρ 5 用积分 ?=8 2 2ln 2x dx 计算2ln ，为使误差的绝对值不超过5 1021-?，问用复化梯形公式至少要取多少个结点。 n h 6 = ，取结点),,1,0(2n i ih x i =+=，作复化梯形求积公式n T ，其误差为 22222565)]21(81[122ln 2h h T n ?-=----=-，欲使52102 1 2565-?≤?h ，取31016-?≤h ， 310166-?≤n ，3108 3 ?≥n ，结点个数375≥n 即可。 二（21分）设]2,0[)(5 ，插值条件如下表 1 2 求其余项)()(x P x f -； 3 给出)5.0(f ，)5.1(f 的近似值。 设e dx cx bx ax x P ++++=2 3 4 ) (，利用插值条件可得线性方程组 2=e ，3=++++e d c b a ，424816=++++e d c b a ，1=d ，141232-=+++d c b a 利用图形计算器，解此线性方程组可得 2/1-=a ，2/3=b ，1-=c ，1=d ，2=e 22 3 21)(234++-+-=x x x x x P 令2 2)2)(1()()()()(--?--=Φt t t x k t P t f t ，其中)(x k 使x x ,0)(=Φ为异于0，1，2的点 )(t Φ在0，1，2，x 四个互异点处值为零，据罗尔定理与插值条件，)(t Φ'在[0，2]上有五个互 异的零点，反复使用罗尔定理可知，在（0，2）上，至少存在一点ξ，使0)() 5(=Φξ，亦即 !5)(0)()(0) 5() 5(?--=Φ=x k f ξξ，故! 5) ()()5(ξf x k = )2,0()2)(1(! 5)()()(22 )5(∈--?=-ξξx x x f x P x f 在函数库中建立插值多项式，可求得 40625.23277)5.0()5.0(≈= ≈P f ，78125.332 121)5.1()5.1(≈=≈P f 三（25分）设],[)(2 b a C x f ∈ 1 推导中矩公式 3)(24) (2)()(a b f b a f a b dx x f b a -''+ ?? ? ??+-=? ξ ),(b a ∈ξ； 2 导出复化中矩公式； 3 利用复化中矩公式，计算定积分?-1 2 2 dx e x π （精度为410-=ε，并将各次复化的计算结果 排成一张数据表）。 2)2 (!2)()2(!1) 2( 2)(b a x f b a x b a f b a f x f +-''++-+'+ ?? ? ??+=η 两边积分有 3)(24) (2)()(a b f b a f a b dx x f b a -''+ ?? ? ??+-=? ξ n a b h -= ，取结点),,1,0(n i ih a x i =+=，作复化中矩公式 )]()([24 )()(24)()(2 1 02 11 021 02 1101a f b f h x f h h f h x f h dx x f I n i i n i i n i i n i x x i i '-'+≈''+==∑∑∑∑?-=+-=-=+-=+ξ 复化中矩公式为∑-=+ =1 2 1)(n i i n x f h R ， 其中22 1 h x x i i +=+ ，截断误差为)]()([24 2 a f b f h R I n '-'= - 欲计算定积分 ?-1 2 2 dx e x π ，这里2 2 )(x e x f -= π ，2 4 )(x xe x f -- ='π ， π πe h e h f f h R I n 6]04[24)]0()1([242 22-=--='-'=- 3623622h h R I n =??≤-，欲使421036- 1052=?=-h 于是 2020 /10 1=-=-=h a b n ，)20,,1,0( ==i ih x i ∑=+- ?= 19 400 )2/1(202 101i i e R π ，在HP38G 上进行计算可得 842787.020=R 四（15分）求常数A 、B 、C 、D ，使解微分方程初值问题 ),(y x f y ='，00)(y x y = 的下列数值计算公式 )(1111-+-+'?+'?+'?+?=n n n n n y D y C y B h y A y （1） ),(111+++='n n n y x f y ),(n n n y x f y =' ),(111---='n n n y x f y 的局部截断误差尽可能地高( 假设（1）式右端所用信息均为准确的 )。 由于假定了（1）式右端所用信息均为准确的，从而 )(6 )(2)()()()(43 211h O h x y h x y h x y x y x y y n n n n n n +'''-''+'-==-- )(2 )()()()())(,(32 1111h O h x y h x y x y x y x y x f y n n n n n n n +'''+''-'='=='---- )())(,(n n n n x y x y x f y '==' )(2 )()()()())(,(32 1111h O h x y h x y x y x y x y x f y n n n n n n n +'''+''+'='=='++++ ) ()2/2/6/()()2/()()()()(4321h O D B A h x y D B A h x y D C B A h x y x y A y n n n n n +++-'''+-+''+ +++-'+?=+ 将之与)(1+n x y 的展开式 )(6 )(2)()()()(43 21h O h x y h x y h x y x y x y n n n n n +'''+''+ '+=+ 相比较，有 ???????=++-=-+=+++-=6/12/2/6/2/12/11D B A D B A D C B A A 解得 ???? ?? ?====3 /13/43/11 D C B A 所求的数值公式为 )3 1 3431(1111-+-+'?+'?+'?+=n n n n n y y y h y y 五（15分）设b X A =?为对称正定方程组 1 求使迭代过程)(1k k k X A b X X ?-?+=+α收敛的数α的变化范围； 2 用此法解方程组???? ? ??=????? ???????? ??----01010102 1112321x x x （取初值T X )1,6.0,5.0(0=，给出前6次迭代的数据表）。 （第1问提示：考虑使迭代矩阵A I G ?-=α谱半径1)( i λα?-1 ),,2,1(n i = 从而 i n i G αλρ-=≤≤1max )(1 欲使1)( λα2 0<< ),,2,1(n i = 因此，只需 ) (2 2 01 A ρλα= < < 即可。 对于矩阵??? ? ? ??----=10102 1112A ，利用HP38G ，可求得其特征值为2469.3)(≈A ρ，故616.00<<α 不妨取5.0=α，于是有迭代式 ???? ? ??+?????? ??=+02/102/102/1002/12/12/101k k X X 将????? ??2/102/1002 /12/12/10存入M1，将???? ? ??02/10存入M2，将迭代初值??? ?? ??16.05.0存入M3，在HOME 窗口输入迭代式 M1*M3+M2 ?M3，作四次迭代，可出得如下数表 一 填空题（每空4分，共24分） 1 已知3409.1*1=x ，0125.1* 2=x 都是由四舍五入产生的近似值，* 2* 1x x +的有效数字是几位。 51* 111021-?≤ -x x ，51* 22102 1-?≤-x x ，从而 4151* 2 2*11*2*121102 1 10)()(--?≤ ≤-+-≤+-+x x x x x x x x 故* 2*1x x +具有4位有效数字。 2 设? ?? ? ??-+=4121a A ，当a 满足何条件时，A 可作LU 分解。 若011≠+=a A ，02)1(42≠++=a A ，即：23 ,1-≠-≠a a ，则A 可作LU 分解。 3 设非线性方程0)3)(133()(2 3=+-+-=x x x x x f ，其根3*1-=x ，1*2-=x ，则求*1x 的 近似值时，求其二阶局部收敛的牛顿迭代公式。 )3()1()(3+-=x x x f ，)84()1()(2+ -='x x x f ，其迭代式为 .84)3)(1(1 ++--=+n n n n n x x x x x ，8 43632 1+++=+n n n n x x x x 8 4))3((3)3(21+--=--+n n n x x x ，故)(43 843))3(()3(2 121∞→-→+=----=++n x x x e e n n n n n 因此，上述迭代为二阶局部收敛的 4 设??? ? ??-=4112A ，求∞A ，)(A ρ。 541=+-=∞ A ，2)3(λλ-=?-I A ，3)(=A ρ 5 用积分 ?=8 2 2ln 2x dx 计算2ln ，为使误差的绝对值不超过51021-?，问用复化梯形公式至少要取多少个结点。 n h 6 = ，取结点),,1,0(2n i ih x i =+=，作复化梯形求积公式n T ，其误差为 22222565)]21(81[122ln 2h h T n ?-=----=-，欲使52102 1 2565-?≤?h ，取31016-?≤h ， 310166-?≤n ，3108 3 ?≥n ，结点个数375≥n 即可。 二（21分）设]2,0[)(5 ，插值条件如下表 1 2 求其余项)()(x P x f -； 3 给出)5.0(f ，)5.1(f 的近似值。 设e dx cx bx ax x P ++++=2 3 4 ) (，利用插值条件可得线性方程组 2=e ，3=++++e d c b a ，424816=++++e d c b a ，1=d ，141232-=+++d c b a 利用图形计算器，解此线性方程组可得 2/1-=a ，2/3=b ，1-=c ，1=d ，2=e 22 3 21)(234++-+-=x x x x x P 令2 2)2)(1()()()()(--?--=Φt t t x k t P t f t ，其中)(x k 使x x ,0)(=Φ为异于0，1，2的点 )(t Φ在0，1，2，x 四个互异点处值为零，据罗尔定理与插值条件，)(t Φ'在[0，2]上有五个互 异的零点，反复使用罗尔定理可知，在（0，2）上，至少存在一点ξ，使0)() 5(=Φξ，亦即 !5)(0)()(0) 5() 5(?--=Φ=x k f ξξ，故! 5) ()()5(ξf x k = )2,0()2)(1(! 5)()()(22 )5(∈--?=-ξξx x x f x P x f 在函数库中建立插值多项式，可求得 40625.23277)5.0()5.0(≈= ≈P f ，78125.332 121)5.1()5.1(≈=≈P f 三（25分）设],[)(2 b a C x f ∈ 1 推导中矩公式 3)(24) (2)()(a b f b a f a b dx x f b a -''+ ?? ? ??+-=? ξ ),(b a ∈ξ； 2 导出复化中矩公式； 3 利用复化中矩公式，计算定积分?-1 2 2 dx e x π （精度为410-=ε，并将各次复化的计算结果 排成一张数据表）。 2)2 (!2)()2(!1) 2( 2)(b a x f b a x b a f b a f x f +-''++-+'+ ?? ? ??+=η 两边积分有 3)(24) (2)()(a b f b a f a b dx x f b a -''+ ?? ? ??+-=? ξ n a b h -= ，取结点),,1,0(n i ih a x i =+=，作复化中矩公式 )]()([24 )()(24)()(2 1 02 11 021 02 1101a f b f h x f h h f h x f h dx x f I n i i n i i n i i n i x x i i '-'+≈''+==∑∑∑∑?-=+-=-=+-=+ξ 复化中矩公式为∑-=+ =1 2 1)(n i i n x f h R ， 其中22 1 h x x i i +=+ ，截断误差为)]()([24 2 a f b f h R I n '-'= - 欲计算定积分 ?-1 2 2 dx e x π ，这里2 2 )(x e x f -= π ，2 4 )(x xe x f -- ='π ， π πe h e h f f h R I n 6]04[24)]0()1([242 22-=--='-'=- 3623622h h R I n =??≤-，欲使421036- 1052=?=-h 于是 2020 /10 1=-=-=h a b n ，)20,,1,0( ==i ih x i ∑=+- ?= 19 400 )2/1(202 101i i e R π ，在HP38G 上进行计算可得 842787.020=R 四（15分）求常数A 、B 、C 、D ，使解微分方程初值问题 ),(y x f y ='，00)(y x y = 的下列数值计算公式 )(1111-+-+'?+'?+'?+?=n n n n n y D y C y B h y A y （1） ),(111+++='n n n y x f y ),(n n n y x f y =' ),(111---='n n n y x f y 的局部截断误差尽可能地高( 假设（1）式右端所用信息均为准确的 )。 由于假定了（1）式右端所用信息均为准确的，从而 )(6 )(2)()()()(43 211h O h x y h x y h x y x y x y y n n n n n n +'''-''+'-==-- )(2 )()()()())(,(32 1111h O h x y h x y x y x y x y x f y n n n n n n n +'''+''-'='=='---- )())(,(n n n n x y x y x f y '==' )(2 )()()()())(,(32 1111h O h x y h x y x y x y x y x f y n n n n n n n +'''+''+'='=='++++ ) ()2/2/6/()()2/()()()()(4321h O D B A h x y D B A h x y D C B A h x y x y A y n n n n n +++-'''+-+''+ +++-'+?=+ 将之与)(1+n x y 的展开式 )(6 )(2)()()()(43 21h O h x y h x y h x y x y x y n n n n n +'''+''+ '+=+ 相比较，有 ???????=++-=-+=+++-=6/12/2/6/2/12/11D B A D B A D C B A A 解得 ???? ?? ?====3 /13/43/11 D C B A 所求的数值公式为 )3 1 3431(1111-+-+'?+'?+'?+=n n n n n y y y h y y 五（15分）设b X A =?为对称正定方程组 1 求使迭代过程)(1k k k X A b X X ?-?+=+α收敛的数α的变化范围； 2 用此法解方程组???? ? ??=????? ???????? ??----01010102 1112321x x x （取初值T X )1,6.0,5.0(0=，给出前6次迭代的数据表）。 （第1问提示：考虑使迭代矩阵A I G ?-=α谱半径1)( i λα?-1 ),,2,1(n i = 从而 i n i G αλρ-=≤≤1max )(1 欲使1)( λα2 0<< ),,2,1(n i = 因此，只需 ) (2 2 01 A ρλα= < < 即可。 对于矩阵??? ? ? ??----=10102 1112A ，利用HP38G ，可求得其特征值为2469.3)(≈A ρ，故616.00<<α 不妨取5.0=α，于是有迭代式 ???? ? ??+?????? ??=+02/102/102/1002/12/12/101k k X X 将????? ??2/102/1002 /12/12/10存入M1，将???? ? ??02/10存入M2，将迭代初值??? ?? ??16.05.0存入M3，在HOME 窗口输入迭代式 M1*M3+M2 ?M3，作四次迭代，可出得如下数表 （试卷十一） 一 填空题（每空4分，共24分） 1 已知3409.1*1=x ，0125.1* 2=x 都是由四舍五入产生的近似值，* 2* 1x x +的有效数字是几位。 51* 111021-?≤ -x x ，51* 22102 1-?≤-x x ，从而 4151* 2 2*11*2*121102 1 10)()(--?≤ ≤-+-≤+-+x x x x x x x x 故* 2*1x x +具有4位有效数字。 2 设??? ? ??-+=4121a A ，当a 满足何条件时，A 可作LU 分解。 若011≠+=a A ，02)1(42≠++=a A ，即：23 ,1-≠-≠a a ，则A 可作LU 分解。 3 设非线性方程0)3)(133()(2 3=+-+-=x x x x x f ，其根3*1-=x ，1*2-=x ，则求*1x 的 近似值时，求其二阶局部收敛的牛顿迭代公式。 )3()1()(3+-=x x x f ，)84()1()(2+ -='x x x f ，其迭代式为 .84)3)(1(1 ++--=+n n n n n x x x x x ，8 43632 1+++=+n n n n x x x x 8 4))3((3)3(21+--=--+n n n x x x ，故)(43 843))3(()3(2 121∞→-→+=----=++n x x x e e n n n n n 因此，上述迭代为二阶局部收敛的 4 设? ?? ? ??-=4112A ，求∞A ，)(A ρ。 541=+-=∞ A ，2)3(λλ-=?-I A ，3)(=A ρ 5 用积分 ?=8 2 2ln 2x dx 计算2ln ，为使误差的绝对值不超过5 1021-?，问用复化梯形公式至少要取多少个结点。 n h 6 = ，取结点),,1,0(2n i ih x i =+=，作复化梯形求积公式n T ，其误差为 数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x ) 《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。 数值分析模拟试题 一、填空题（每小题3分，共30分） 1、已知近似值* 2.4560x =是由真值x 经四舍五入得到，则相对误差限为 。 2 、为减少舍入误差的影响，应将10改写成 。 3、设(1,1,2,3)T x =-，则12_______,_______,_______x x x ∞===。 4、设1123A -??=????，则1________,________F A A ==，A 的谱半径()A ρ=。 5、用Gauss-Seidel 迭代法解方程组1212423 x ax ax x +=??+=-?，其中a 为实数，则该方法收敛的充要 条件是a 满足 。 6、迭代法12213k k k x x x +=+收敛于*x =，此迭代格式是 阶收敛的。 7、设01(),(),,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的Lagrange 插值基函数，则0()n i i l x ==∑。 8、设3()321f x x x =++，则差商[0,1,2,3]_____,[0,1,2,3,4]_____f f ==。 9、数值积分的辛普森公式为()b a f x dx ≈?。 10、数值积分公式0()()n b k k a k f x dx A f x =≈∑?中，0n k k A ==∑。 二、设函数2()(3)x x a x ?=+-，由迭代公式1()k k x x ?+=产生的序列为{}k x ，试讨论 ⑴当a 为何值时，序列{}k x 收敛； ⑵当a 取何值时，收敛速度最快，并指出迭代法收敛的阶。（12分） 三、设4()[0,2]f x C ∈，且(0)2,(1)1,(2)0,'(1)0f f f f ==-==，试求函数()f x 的三次 插值多项式()P x ，并求余项表达式。（14分） 四、用矩阵的直接三角分解法（即LU 分解）解方程组Ax b =，其中 二 1 求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。 9 设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故 又，故， 即，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。 10设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式 求证：（1）对任意初始向量，收敛； （2）收敛到的解。 证明（1）所给格式可化为 这里存在是因为，由A对称正定，，故也对称正定。 设迭代矩阵的特征值为，为相应的特征向量，则与做内积，有 因正定，故，从而，格式收敛。 1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为 二 1求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式 时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方 法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 数值分析整理版试题及答案 例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为 []()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2） 解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因 ，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3. 若，求和. 解：由均差与导数关系 于是 4. 若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表 太原科技大学硕士研究生 2014/2015学年第1学期《数值分析》课程试卷 一、填空题（每空4分，共32分） 1、设?????≤≤-++<≤+=2 1,1321 0,)(2 323x x bx x x x x x s 是以0,1,2为节点三次样条函数，则b=__-2___ 2、解线性方程组12312312388 92688 x x x x x x x x x -++=-?? -+=??-+-=? 的Jacobi 迭代格式（分量形式）为 ?? ???+--=++-=++=+++)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2) (3)(2)1(1882/)96(88k k k k k k k k k x x x x x x x x x ，其相应的迭代矩阵为??????????-0812/102/9810。 3、方程03 =-a x 的牛顿法的迭代格式为__3 12 3k k k k x a x x x +-=-__________，其收敛的阶为 2 。 4、已知数x 的近似值0.937具有三位有效数字，则x 的相对误差限是310534.0-? 解：x 1≈0.937， 31102 1 )(-?≤ x ε 3 31111 10(x )2 (x )0.53410x 0.937 r εε--?=≤=? 5、用列主元高斯消去法解线性方程组 ??? ??=--=++=++2333220221 321321x x x x x x x x 作第1次消元后的第2，3个方程分别为? ? ?=+--=-5.35.125 .15.03232x x x x 6、设???? ??-=3211A ，则=∞)(A Cond __4____. 1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使 迭代收敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--% 华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷C （2015年1月9日） 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请按要求填写在本试卷上； 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生； 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。 一、（12分）解答下列问题： 1）设近似值0x >，x 的相对误差为δ，试证明ln x 的绝对误差近似为δ。 2）利用秦九韶算法求多项式 542()681p x x x x x =-+-+ 在3x =时的值（须写出计算形式），并统计乘法次数。 （12分）解答下列问题： 1）设()235f x x =+，求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。 2）利用插值方法推导出恒等式： 33220,0[]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。 （1）设{}∞ =0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，求1()q x 和2()q x 。 （2）求形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合： 四、（14分）对积分()10I f x dx = ?，试 （1）构造一个以012113,,424 x x x ===为节点的插值型求积公式； （2）指出所构造公式的代数精度； （3）用所得数值求积公式计算积分1 203x dx ?的精确值； （4）指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。 （1）设?? ????=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。 （2）用列主元Gauss 消去法解方程组： 12312315410030.112x x x ????????????=????????????-?????? 六、（13分）对2阶线性方程组 11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? （11220a a ≠ ） （1）证明求解此方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散； （2）当同时收敛时，试比较它们的收敛速度。 1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为 例1、 已知函数表 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1） 故所求二次拉格朗日插值多项式为 （2）一阶均差、二阶均差分别为 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平 方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 所以，法方程为 011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ，经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011 6 a = 故，所求最佳平方逼近多项式为* 111()46S x x =+ 例3、 设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近 多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，这样，有 所以，法方程为 解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为 例4、 用4n = 的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1 ? 。 解： （1）用4n =的复合梯形公式 由于2h =，( )f x =()121,2,3k x k k =+=，所以，有 （2）用4n =的复合辛普森公式 由于2h =，( )f x =()121,2,3k x k k =+=，()12 220,1,2,3k x k k + =+=，所以，有 例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。 解：先消元 再回代，得到33x =，22x =，11x = 所以，线性方程组的解为11x =，22x =，33x = 例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。 解： 设 则由A LU =的对应元素相等，有 1114u = ，1215u =，1316u =， 2111211433l u l =?=，3111311 22 l u l =?=， 2112222211460l u u u +=?=-，2113232311 545l u u u +=?=-， 一． 单项选择题（每小题2分，共10分） 1． 在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 5102 1 -?，则该数是（ ） A 0.001523 B 0.15230 C 0.01523 D 1.52300 2． 设方阵A 可逆，且其n 个特征值满足：n λλλ>≥> (21) ，则1-A 的主特征值是（ ） A 11λ B n λ1 C 1λ或n λ D 11λ或n λ1 3． 设有迭代公式 → →+→+=f x B x k k ) () 1(。若||B|| > 1，则该迭代公式（ ） A 必收敛 B 必发散 C 可能收敛也可能发散 4． 常微分方程的数值方法，求出的结果是（ ） A 解函数 B 近似解函数 C 解函数值 D 近似解函数值 5． 反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（ ） A 追赶法 B LU 分解法 C 雅可比迭代法 D 高斯—塞德尔迭代法 二． 填空题（每小题4分，共20分） 1． 设有方程组 ??? ??=+-=+-=+0 21324321 32132x x x x x x x x ，则可构造高斯—塞德尔迭代公式为 ?? ??? 2． 设?? ?? ??????----=111112101A ，则=∞A 3． 设1)0(,2'2 =+=y y x y ，则相应的显尤拉公式为=+1n y 4． 设 1)(+=ax x f ,2)(x x g =。若要使)(x f 与)(x g 在[0，1]上正交，则a = 5． 设 T x )1,2,2(--=→ ，若有平面旋转阵P ，使P → x 的第3个分量为0，则P = ???? ? ????? 三． 计算题（每小题10分，共50分） 1． 求 27的近似值。若要求相对误差小于0.1%，问近似值应取几位有效数字？ 1、 方程组中，，则求解方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代均收敛的a 的范围是___________。 2、，则A 的LDL T 分解中，。 3、，则__________，_______________. 4、已 知，则用复合梯形公式计算求 得，用三点式求得____________. 5、，则_________ ，三点高斯求积公式______________. 6设* 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则* x 有________位有效数字。 7 3()1,[0,1,2,3]f x x x f =+-=设 则差商(均差)_____________，[0,1,2,3,4]f =________________。 8 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是__________________。 9.梯形求积公式和复化梯形公式都是插值型求积公式_____（对或错）。 10.牛顿—柯特斯求积公式的系数和()0n n k k C ==∑__________________。 11.用二次拉格朗日插值多项式2()sin0.34L x 计算的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。 12.用二分法求方程3()10[1.0,1.5]f x x x =--=在 区间内的一个根，误差限 210ε-=。 13.用列主元消去法解线性方程组 1231231 232346,3525,433032.x x x x x x x x x ++=??++=??++=? 14. 确定求积公式 012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h -≈-++? 。 中待定参数i A 的值(0,1,2)i =，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。 15、 试求使求积公式的代数精度 尽量高，并求其代数精度。 16.证明区间[a,b]上带权()x ρ的正交多项式(),1,2,n P x n = 的n 个根都是单根，且位于区间(a,b)内。 17.设()()[,],max ()n n a x b f x C a b M f x ≤≤∈=，若取 21cos ,1,2,,222k a b a b k x k n n +--=+= 作节点，证明Lagrange 插值余项有估计式21()max ()!2n n n a x b M b a R x n -≤≤-≤ 18用n=10的复化梯形公式计算时， （1）试用余项估计其误差 （2）用n=10的复化梯形公式计算出该积分的近似值。 19已知方程组AX ＝f,其中 （1）列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 （2）求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，SOR 迭代法的最佳松弛参数 和SOR 法 的谱半径(可直接用现有结论) 20试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？ 21证明方程=)(x f x 2-x -3=0在区间(2,3)内有且仅有一个根,并用迭代法求方程在区间(2,3)内的根,精确到小数点后4位。 22设f (1)=2，f (3)=4，f (4)=6，用拉格朗日插值法求f (x )的二次插值多项式P 2(x )，并求f (2)的近似值。 数值分析试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D． 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案 1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解， ， 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 数值分析试题及答案汇 总 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 数值分析试题 一、填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =(x )在有解区间满足 |’(x )| <1 ，则使用该迭代函数 的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差 商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当系数 a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…) 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 (B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5105.0-?,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算） 解：2*103400.0-?=x ，325*102 1102 1---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算） 解：10314159.0?= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需 41*102 1 -?≤-ππ，3*3102 1102 1--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +， b a ?有几位有效数字（有效数字的计算） 解：3*1021 -?≤-a a ，2*102 1-?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤ -+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤ -+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差（误差的计算） 解：已知δ=-* *x x x ，则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=， 已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差 限与相对误差限。（误差限的计算） 解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 πππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v 相对误差限为 %420 1 20525) 5,20() 5,20(),(2 ==??≤ -ππv v r h v 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。（函数误差的计算） 解：%* *a x x x =-， )%(* **** *na x x x n x x x y y y n n n =-≤-= - 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大（函数误差的计算）数值分析试题及答案汇总
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